Profr. Efraín Soto Apolinar.

Método de Sustitución El nombre de este método nos indica qué es lo que vamos a hacer: para resolver el S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas vamos a «despejar» una de las incógnitas de una de las ecuaciones, vamos a sustituir este despeje en la otra ecuación y así tenemos un problema de una ecuación lineal con una incógnita. Después resolvemos esta ecuación lineal y encontramos el valor de una de las variables. Para encontrar el otro valor podemos sustituir el valor de la variable conocida en el despeje que hicimos antes y terminamos. El siguiente ejemplo te muestra el procedimiento. Resuelve:

x + y = 10 x−y= 2

Ejemplo 1

• Este ejemplo es el primero que estudiamos con el método de eliminación, así que ya conocemos la solución de este sistema: x = 6, y = 4. • Primero vamos a despejar una variable de alguna de las ecuaciones. • Vamos a despejar y de la primera ecuación. • Para esto, sumamos en ambos lados de la primera ecuación − x, y así obtenemos:

−
x +
x + y = 10 − x y = 10 − x • Ahora utilizamos este despeje para sustituirlo en la otra ecuación. • La sustitución es válida en este procedimiento porque si y = 10 − x, entonces, los valores de x y de y satisfacen a la primera ecuación. • Pero también deben satisfacer a la otra ecuación, por eso sustituimos ese valor de y, pues en ambas ecuaciones debe ser el mismo. • Aquí está la sustitución: x−y x − (10 − x )

= 2 = 2

• Observa que ahora tenemos solamente una ecuación con una sola incógnita. • Obtuvimos esto porque la condición que impone la primera ecuación ya está incluida en esta nueva ecuación lineal. • Y esto se incluyó cuando sustituimos el despeje que obtuvimos de ella. • Ahora debemos realizar las operaciones indicadas y resolver para encontrar el valor de la única variable que se encuentra en la ecuación: x − 10 + x

= 2 x − 10 + 10 = 2x = x =

2 2 + 10 12 6

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• Vemos que el valor de x es el que ya conocíamos. • Ahora vamos a calcular el valor de y. Para esto sustituimos el valor de x que acabamos de encontrar en el despeje que hicimos antes:

= 10− x = 10 − 6 = 4

y

• Y de nuevo, el valor que encontramos coincide con el resultado correcto.

Para decidir qué variable despejar y de qué ecuación, es una buena idea identificar la variable que tenga coeficiente igual a uno en una de las ecuaciones. Esto te facilitará los cálculos posteriores. Resuelve: Ejemplo 2

2 x + y = 18 3x − 4y = 5

• Primero observamos que la variable y en la primera ecuación tiene coeficiente igual a uno. • Por eso, vamos a despejar esa variable de esa ecuación: 2x+y

= 18 y = 18 − 2 x

• Ahora sustituimos este despeje en la otra ecuación: 3x − 4y = 5 3 x − 4 (18 − 2 x ) = 5 • Ahora vamos a realizar las operaciones indicadas para a encontrar el valor de la única variable en esta ecuación: x 3 x − 4 (18 − 2 x ) 3 x − 72 + 8 x  11 x −  7 2 + 72 11 x x

= = = = =

5 5 5 + 72 77 7

• Ahora que conocemos el valor de una variable, podemos utilizar este valor para encontrar el valor de la otra variable. • Para esto, sustituimos en el despeje que hicimos al principio: y

= = = =

18 − 2 x 18 − 2 (7) 18 − 14 4

• Entonces, la solución de este S.E.L. es: x = 7, y = 4. www.aprendematematicas.org.mx

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• Ahora vamos a comprobar que la solución que encontramos es correcta:

⇒ 2 (7) + 4 = 18 ⇒ 3 (7) − 4 (4) = 5

2 x + y = 18 3x − 4y = 5

Una vez que hayamos encontrado el valor de una de las variables, también podemos encontrar el valor de la otra variable sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones que forman en S.E.L. Esto se justifica porque la solución debe satisfacer a cada una de las ecuaciones que forman el S.E.L. Resuelve:

3x + 2y = 7 2x + 3y = 8

Ejemplo 3

• Podemos ver que ninguno de los coeficientes de las variables es igual a 1. • Esto nos indica que debemos despejar alguna variable y tendremos que trabajar necesariamente con fracciones. • Elegimos despejar x de la segunda ecuación: 2x+3y

= 8 = 8−3y 8−3y x = 2 8 3y 3y = − = 4− 2 2 2

2x

• Ahora debemos sustituir este despeje en la primera ecuación: 3x+2y  3y +2y 3· 4− 2

= 7



= 7

• Ahora podemos resolver la ecuación y tratar de encontrar el valor de y: 9y +2y = 7 2 9y 4y + =7 12 − 2 2 5y 12 − =7 2 12 −

12 − 7

=

5

=

5 (2) 5 2

5y 2 5y 2

= y = y

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• Ahora que conocemos el valor de y, podemos sustituir este valor en cualquiera de las dos ecuaciones y encontrar el valor de x: 3x+2y

7

3 x + 2 (2)

= = 3x+4 = 3x = x =

7 7 7−4 = 3 1

• Y la solución del S.E.L. es: x = 1, y = 2. • Ahora verificamos que la solución sea correcta:

⇒ 3 (1) + 2 (2) = 7 ⇒ 2 (1) + 3 (2) = 8

3x + 2y = 7 2x + 3y = 8

Como viste en el ejemplo anterior, algunas veces, cuando usemos este método, necesariamente tendremos que trabajar con fracciones. Otras veces, podremos simplificar el trabajo cuando tengamos una ecuación con una variable despejada. Resuelve: Ejemplo 4

x+ y=8 y=2x −1

• Como en la segunda ecuación la variable y ya está despejada, vamos a sustituirla de inmediato en la primera ecuación: x+y

8

x + (2 x − 1)

= = 3x−1 = 3x = x =

8 8 9 3

• Ahora, a partir del valor de x, podemos encontrar el valor de y utilizando el despeje:

= = = y = y

2x−1 2 (3) − 1 6−1 5

• Entonces, la solución del S.E.L. es: x = 3, y = 5. • Ahora comprobamos que la solución esté correcta: x+ y =8 y =2x −1

⇒ 3+ 5 =8 ⇒ 5 = 2 (3) − 1

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En algunos casos aplicados, una ecuación tendrá despejada una variable, sugiriendo el empleo de este método para resolver el S.E.L. Alberto es 2 años mayor que Blanca. Si sus edades suman 32 años, ¿qué edad tiene cada uno? • Primero tenemos que convenir en los símbolos que denotarán las edades de cada uno. • Por comodidad, podemos elegir como A la edad que tiene Alberto y B la edad que tiene Blanca. • Ahora vamos a traducir a una ecuación la primera información que se nos da: «Alberto es 2 años mayor que Blanca.» • Si Blanca tiene, por ejemplo, 5 años, entonces, Alberto tendrá 5 + 2 = 7 años. • Es decir, para encontrar la edad de Alberto, sumamos dos a la edad de Blanca. • La ecuación que modela esa restricción impuesta en el problema es: A = B+2 • Ahora vamos con la segunda restricción: «Sus edades suman 32 años...» • Esta restricción es muy sencilla de traducir: dado que A representa la edad de Alberto y B representa la edad de Blanca, la suma: A + B debe ser igual a 32: A + B = 32 • Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, con la primera ecuación ya despejada. • Así que sustituimos esta primera ecuación en la segunda y resolvemos: A+B

( B + 2) + B 2B+2 2B B

= = = = =

32 32 32 30 15

• Hasta aquí sabemos que Blanca tiene 15 años. • Entonces, como Alberto tiene 2 años más, debe tener 17. • Y se cumple que la suma de sus edades es 32 años: 17 + 15 = 32.

Observa cómo cuando resolvimos el S.E.L. podemos fácilmente traducir la penúltima ecuación (2 B = 30) como: «Pensé un número, lo multipliqué por 2 y obtuve 30. ¿Qué número pensé?» Obviamente, pensó el 15. La ecuación anterior (2 B + 2 = 32) se traduce así: «Cuando al número 2 B le sumo 2 obtengo 32. ¿Cuánto vale el número 2 B?», pues vale 32 − 2 = 30. Es una buena idea traducir a palabras cada ecuación que sepas cómo traducir. Eso te ayudará a entenderlas mejor cada vez. www.aprendematematicas.org.mx

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Ejemplo 5

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La familia Álvarez viaja de Acaxochitlan hacia Bacaxochitlan a una velocidad de 91 km/hr. La familia Blanco viaja de Bacaxochitlan hacia Acaxochitlan a una velocidad constante de 65 km/hr. Si ambos inician su viaje exactamente a la misma hora, ¿cuántas horas tardarán en encontrarse si la distancia entre ambas poblaciones es de 455 kilómetros y utilizan la misma ruta para viajar? • Para resolver este problema suponemos que las dos familias utilizan la misma ruta para ir de una población a la otra. • Como ambos inician el recorrido al mismo tiempo, ambos han utilizado la misma cantidad de tiempo para la hora en que se encuentran. • Si denotamos como A al tiempo que lleva de recorrido la familia Álvarez, y B la cantidad de tiempo que ha recorrido la familia Blanco, tenemos que: A=B • La familia Álvarez viaja a una velocidad constante de 91 km/hr. • Esto significa que en A horas ha recorrido: (91 · A) kilómetros. • Por su parte la familia B viaja a 65 km/hr. • Por lo que ha recorrido (65 · B) kilómetros en B horas. • Cuando ellos se encuentren en el camino, la suma de las distancias que han recorrido será igual a la distancia entre Acaxochitlan y Bacaxohitlan. 91 A + 65 B = 455 • Pero ya sabíamos que A = B, por lo que: 91 A + 65 B

= 455 91 A + 65 A = 455 156 A = 455 35 11 55 455 = = 2+ = 2+ A = 156 12 12 60 • Esto es, 2 horas con 55 minutos. • Vamos a verificar el resultado, para esto utilizamos la siguiente ecuación:     35 35 91 + 65 = 455 12 12 3 185 2 275 6 090 + = = 455 12 12 12

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Ejemplo 6

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Créditos Albert Einstein

Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 22 de agosto de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

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