Metodología en Base a las Opciones Reales para Calcular la Ley de Corte Marginal de una Operación Minera Bajo Incertidumbre en el Precio del Commodity Matías Siñaa, Juan Ignacio Guzmánb , José Joaquín Jarac a

Pontificia Universidad Católica de Chile, Escuela de Ingeniería, Departamento de Minería, Alumno de Sexto Año, [email protected] b Pontificia Universidad Católica de Chile, Escuela de Ingeniería, Departamento de Minería, Profesor Asistente, [email protected] c Pontificia Universidad Católica de Chile, Escuela de Ingeniería, Departamento de Minería, Profesor Asistente Adjunto, [email protected]

Resumen Se presenta una metodología para calcular la ley de corte marginal óptima de una operación minera cuando existe incertidumbre en valor que tendrá el precio del commodity en el tiempo. Se formula para esto una ecuación de beneficio en base a la opción real de procesar el mineral al momento de su extracción. La ley de corte marginal corresponde al porcentaje mínimo que el mineral debe contener del commodity para que su procesamiento entregue un beneficio económico positivo. Su utilidad dentro de la industria minera es fundamental para la correcta valorización, diseño y operación de los proyectos de inversión. Este trabajo contribuye a la literatura existente al desarrollar una herramienta cuantitativa para valorizar la flexibilidad cuando existe incertidumbre en el precio del commodity. Esta se puede aplicar a la mayoría de los modelos estocásticos utilizados para modelar los precio de los commodities. Se ilustra la metodología con un caso de estudio en que el precio del commodity sigue un proceso de Wiener generalizado. Los resultados muestran que cuando el precio presenta este comportamiento las leyes de corte marginal en el tiempo disminuyen.

Palabras clave: operación minera, incertidumbre en el precio, ley de corte marginal, opciones reales

1. Introducción

La actividad minera para la mayoría de las operaciones consiste en la extracción, procesamiento y posterior comercialización de un recurso mineral finito y heterogéneo. Las características que diferencian a esta industria de otras son que: i) es intensiva en el uso de capital, ii) tiene tiempos de

capitalización prolongados, iii) se desarrolla en un enclave geográfico fijo y iv) tienen niveles de productividad decrecientes en el tiempo. Estas características la convierten en una industria particularmente sensible a cambios asociados a la incertidumbre de sus variables. Las fuentes de incertidumbre pueden clasificarse según si son de carácter interno o externo a la organización [1]. Dentro de las principales fuentes de incertidumbre se encuentran el recurso mineral a explotar, el precio del commodity y las políticas medioambientales y fiscales del país en el cual se sitúa la operación. El recurso mineral es una fuente de incertidumbre interna debido a que corresponde a una interpretación geológica realizada en base a sondajes y estimaciones geoestadísticas. El precio del commodity es una fuente de incertidumbre externa debido a que depende mayormente de la demanda. Finalmente, las políticas medioambientales y fiscales son fuentes de incertidumbre externas ya que dependen del gobierno. De todas las fuentes de incertidumbres descritas, la asociada al precio del commodity es la que cuenta en la actualidad con mayor validación en la literatura para su modelación.

El origen de las opciones reales se basa en la analogía que existe entre una opción financiera de compra y un proyecto de inversión [2]. Las opciones reales son una herramienta útil para la evaluación de proyectos debido a que consideran la flexibilidad ante la incertidumbre en el proceso de valorización. Esta es su principal diferencia con respecto al método de los flujos de caja descontados. Al igual que las opciones financieras, otorgan el derecho y no la obligación a realizar una acción en el futuro ante escenarios sujetos a incertidumbre [3]. Son distintas a las opciones financieras debido a que consideran activos tangibles propios de una organización y no de un mercado bursátil. Las metodologías para la valorización de opciones reales más utilizadas son las siguientes: i) ecuaciones diferenciales parciales [4], ii) método binomial [5], iii) simulaciones de Montecarlo y iv) Método de Longstaff y Schwartz [6]. En este trabajo se emplea una metodología de valorización original basada en funciones de probabilidad truncadas y en probabilidades condicionales que permite la obtención de soluciones analíticas de forma directa.

En este trabajo se calculó la ley de corte marginal óptima en el tiempo para una operación minera teórica mediante la valorización de la opción de procesar el mineral. La fuente de incertidumbre que se consideró fue el precio del commodity. Se escogió esta fuente de incertidumbre por el motivo de que cuenta con herramientas validadas en la literatura para modelar su comportamiento. Se desarrolló un modelo que obtiene soluciones analíticas y que puede incorporarse o complementarse con algoritmos ya existentes para la optimización de tareas específicas dentro de la industria minera.

2. Formulación del modelo

El beneficio que obtiene una operación minera al extraer una unidad de mineral se puede formular como una opción real. Esto se debe a que se tiene el derecho y no la obligación a procesarlo. Se procesará el mineral exclusivamente si el beneficio de esto es positivo, por lo que la función de beneficio es la siguiente,

( ) En la ecuación (1) mineral,

* ( )

+

[1]

( ) corresponde al precio del commodity en el instante

al costo de procesar el mineral y

,

a la ley del

a la tasa de descuento. Se puede formular la

ecuación de la siguiente manera equivalente,

( )

( , ( ) ( )

-

)

( ( )

)

[2]

Se nota de la ecuación (2) que para poder obtener la ley de corte marginal óptima se debe conocer la distribución probabilidad que sigue el precio el commodity en el instante

. En este trabajo se

consideró que este puede modelarse como un proceso de Wiener generalizado descrito por la siguiente ecuación,

[3] ( √ ) El parámetro

[4]

en la ecuación (3) corresponde a la volatilidad del precio en el tiempo. Mediante

el lema de Ito es posible demostrar que la distribución de probabilidad que sigue el precio del commodity en el tiempo es la siguiente [7],

( )

(

√ )

[5]

La utilidad de saber que el precio del commodity sigue una distribución de probabilidad Normal es que existen fórmulas para poder calcular la primera y la segunda parte de la ecuación (2). Las fórmulas para calcular el valor esperado truncado por un término inferior y la probabilidad acumulada ambos para una distribución Normal son respectivamente las siguientes,

,

-

( ) ( )

, -

( )

(

[6]

[7]

)

Al utilizar las ecuaciones (6) y (7) en la ecuación (2) se obtiene el valor de la opción de procesar el material,

(

( (

√

) )

)

(

)

[8]

[9]

√

Se puede graficar la ecuación (8) en función de la ley para ver desde que punto existe un beneficio razonable de tener la opción de poder procesar una unidad de mineral en el instante

.

3. Resultados y discusión

Se ilustra la metodología desarrollada en un caso de estudio que considera una operación minera con las siguientes características,

Tabla 1.- Valor de los parámetros utilizados Parámetro Valor Unidades

R

100

mu

90

mu

10

%

3

mu/tu

Al graficar la ecuación (8) para distintos instante de tiempo con los parámetros de la Tabla 1 se obtuvo lo siguiente,

Figura 1.- Beneficio en función de la ley y la fecha de extracción La Figura (1) muestra que la ley de corte marginal disminuye en función del tiempo cuando se modela el precio del commodity como un proceso de Wiener generalizado. Esto se debe a que una fecha de extracción mayor aumenta la incertidumbre en el precio del commodity y con esto la probabilidad de que el mineral pueda ser procesado económicamente. Se aprecia además que es posible utilizar estar curvas para definir las fechas de extracción que maximizan el valor del negocio. Para esto se debe postergar la extracción del mineral con las leyes bajas y adelantar el con las leyes altas.

4. Conclusiones

El trabajo contribuye a la literatura al desarrollar una herramienta analítica para calcular la ley de corte marginal de una operación minera bajo incertidumbre en el precio del commodity. A pesar de que se consideró solo el caso en que el precio se comporta como un proceso de Wiener generalizado es posible extender el trabajo a otros modelos como el geométrico Browniano o el de OrnsteinUhlenbeck con reversión a la media. Esto se debe a que ambos modelos siguen distribuciones de probabilidad conocidas que permite emplear un desarrollo análogo.

La fórmula desarrollada para cuantificar el beneficio esperado de una unidad de mineral en función de su ley y su fecha de extracción permite a la industria minera optimizar su secuencia de extracción. Se puede emplear de forma complementaria además para fijar la tasa de extracción óptima en el tiempo y evaluar en qué contexto es conveniente un cierre temporal de la operación. Esto es especialmente importante en el contexto de que actualmente gran parte de los proyectos de inversión son yacimientos de baja ley. Estos proyectos requieren de estas herramientas en su diseño y valorización para justificar su inversión debido a que con el método de los flujos de caja descontados en la mayoría de los casos no tienen valor.

Referencias 1. Guzmán, J.I. “Inversión Bajo Incertidumbre: Tipos de Incertidumbres”. Minería Chilena. 2011, 359: 146-147. 2. Myers, S. “Determinants of Corporate Borrowing”. Journal of Financial Economics. 1977, 5(2): 147-176. 3. Trigeorgis, L. “Real Options Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation”. MIT Press. 1996. 4. Black, F., & Scholes, M. “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”. Journal of Political Economy. 1973, 81(3): 637-654. 5. Cox, J., Ross, S., & Rubenstein, M. “Option Pricing: A Simplified Approach”. Journal of Financial Economics. 1979, 7(1): 229-263. 6. Longstaff, F., & Schwartz, E. “Valuing American Options by Simulation: A Simplified Least-Squares Approach”. Review of Financial Studies. 2004, 14(1): 113-147. 7. Oksendal, B. (1998). Stochastic differential equations: An introduction with applications (5th ed.). Berlin: Springer.