Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas (app (app_D_APL) D APL) Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y laplaciano Recordatorio: Coordenadas cartesianas Recordatorio

Gradiente 1 Divergencia

2 1

Métodos Matemáticos en Física Leccion: Coordenadas curvilíneas Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y Laplaciano Recordatorio: Coordenadas cartesianas Recordatorio

Laplaciano

3

4

2

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas Operadores diferenciales: gradiente, di divergencia i y llaplaciano, l i

Coordenadas curvilíneas: cilíndricas

3

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas Coordenadas curvilíneas: ilí cilíndricas

Gradiente

5

4

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y laplaciano

Coordenadas curvilíneas : cilíndricas Divergencia

6 Laplaciano p

5

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y laplaciano

Coordenadas curvilíneas : esféricas (radio r, ángulos polar  y azimutal )

6

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y laplaciano

Coordenadas curvilíneas : esfér Gradiente Divergencia

7 8

7

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y laplaciano

Coordenadas curvilíneas : esfér Laplaciano

9 8

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas Problema a resolver (Clase/Casa)

Comprobar si la siguiente funcion

satisface o NO a Ec. Laplace u=0 estudiando en coordinadas cilindricas 2D

9

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas Solucion

(=u ; r=, = )

Expresamos esta funcion en coordinadas cilindricas

10

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas Hallamos derivadas

11

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas Laplaciano (=u

; r=, r= =

)

12

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas NOTA Si se usan coodinadas cartezianas

13

Métodos Matemáticos en Física

Lección 7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Oscilaciones transversales de membranas circulares ( borde fijo)

Formulación matemática

10

Necesitamos habitualmente 2 Cond. Contorno ( problema en limite agujero abierto en el centro con radio0

14

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér.) esfér ) C.7 C 7 APL Oscilaciones transversales de membranas circulares ( borde fijo)

De forma laplaciano

10

Con termino divergente se ve que podría admitir soluciones divergentes en punto =0 Otra condición de contorno entonces será: á 15

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Oscilaciones transversales de membranas circulares ( borde fijo)

Finalmente, veamos que condiciones debe satisfacer la solución con respecto de la variable angular la coincidencia de bordes  y +2- (0) implica que las correspondientes condiciones también deben coincidir.

11

16

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Hallamos ondas estacionarias

Separamos variables

17

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Separamos variables radial y angular  Obtenemos problema SL para función angular

Solución: combinación de funciones Sen; Cos o alternativamente:

18

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Por cada de autovalores m=m2 obtenemos así dos f funciones i li linealmente l t iindependientes d di t que son ortogonales entre si

NOTA representa la función compleja conjugada

19

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Por cada de autovalores m=m2 permitido obtenemos problema bl SL para variable i bl radial di l 

Como mencionamos antes, antes condición Excluye soluciones divergentes en punto =0 =0 20

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Condición de ortoganalidad para funciones radiales y demostración de que autovalores (≠ (≠´)) son positivos (ver Cap 4 4, APL)

21

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

R l Realizando d cambio b d de variables bl x= 1/2 para redefinir d f R( R())

Llegamos a Ec.

22

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Cada una de estas ecuaciones se denomina d orden de d m m.

ecuación de Bessel

Solución general es combinación de funciones Bessel y Neuman

Jm representa la función de Bessel de orden m Nm la función de Neuman de orden m 23

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Como funciones Neuman se divergen en el punto x = 0 

De condición de contorno para =0 obtendremos autovalores del problema SL

24

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Si xnm presenta n-ésimo cero de la función de Bessel de orden d m 

25

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Con cada uno de estos valores propios se encuentran asociadas las funciones

26

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Condición de ortganalidad de autofunciones

Si m=m´ Son siempre ortoganales para distintos indices (n) Debido a componente radial

1. Autofunciones con distintos m, m´ son ortogonales l (compomente angular)

27

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Frecuencias propias

xn,m representa la n-ésima raíz de la ecuación Jm(x) = 0. 28

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Frecuencias de tono principal:

perfil tono principal:

VER Videos sobre BESSEL FUNCTIONS [YouTube] http://www.ovguide.com/bessel-function9202a8c04000641f800000000000be1a 29

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Relación entre tonos principales p p de membrana cuadrada (L) y circular con la misma tensión, tensión densidad de masa y superficie:

L2=02

/√2 √2

√2

Factor √ 2 perdido en libro APL ?

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Frecuencia de primer armónico (Hay onda azimutal]:

perfil de 1er armónico: ó i

VER: Azimuthal Spin Waves Simulations 31

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Oscilaciones transversales de membranas circulares ( borde LIBRE)

Formulación matemática

Separamos variables PERO en este caso solución no trivial existe también para =0 0 y es asociada con su desplazamiento rígido a velocidad constante.

10

(*) 32

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Resulta instructivo discutir el movimiento rígido de la membrana, no tanto por su física puesto que es extremadamente simple, sino por el juego matemático que presenta. Separando paran variables ar a de m modo anterior ant r r se ve qu que func funciones n angu angulares ar son admisibles pero para funciones radiales R0,m tenemos otra formulación del problema Como =0

SL(*)Ec. SL( ) Ec. LAPLACE !!!

33

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Para los casos en que m≠0, todos los términos de la ecuación son del mismo i orden d respecto t d de 

tiene sentido buscar soluciones particulares en forma de potencias en 

S d Son dos soluciones l i particulares ti l y linealmente li l t independientes i d di t Como una de soluciones se diverge en centro de membrana Soluciones admisible  34

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

COMO ninguna de estas funciones cumple la condición de contorno a menos que Am =0  Concluimos entonces que no existen soluciones no triviales de los problemas de SL estudiada con m≠0. m≠0

35

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Ecuación para m=0

Integrando, obtenemos Con a - constante arbitraria bit i

Solución general (A,B- arbitrarias)

36

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Para cumplir condición de contorno para =0 debemos imponer B=0 Entonces soluciones para =0 deben ser constantes R00=const A partir Ec. Ec Como =0

Llegamos a solución del problema

37

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Vibraciones de la membrana (borde LIBRE,

≠0)

CLASE Ec. Para Autovalores de membrana circular borde libre Hallar: a) Autofunciones v(,) para desarollar Solucion general b) Condicion para hallar autovalores nm

38

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Vibraciones de la membrana (borde LIBRE,

≠0)

a) Autofunciones

ortogonales vn,m( (,) )

para desarollar solucion general b) Condicion para hallar autovalores nm Imponiendo CC  n-ésimo cero de la derivada de la función de Bessel de orden m  autovalores

39

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Frecuencia de tono principal (mas bajo)

Modo n=1, m=0 [funcion radial J0(x)] tiene frecuencia de sonido cero (caso de bordes libres)

40

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Perfil de tono fundamental

41

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL RESUME: ORTOGANALIDAD de Autofun.Radiales (bordes fijos/libres )

xk

es k-esimo cero de Funcion Bessel (B. Fijos)

x`k

es k-esimo cero de derivada de Funcion Bessel (B. Fijos)

Auto AutoFunciones

Definidas entre 0BORDE + Son Ortoganales con peso x

 42

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL ORTOGANALIDAD

=m de antes 43

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

CLASE de Problemas: PROBLEMAS de Leccion 7PR Oscilaciones de membrana circular con bordes fijos (resumen) Solucionaremos distintos casos con velocidad/desplazamiento iniciales

44

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Membrana en forma de anillo con radios 1 ; 2 CLASE: Autovalores+Autofunciones? Problema SL

Separando variables: Para funciones angulares tendremos mismo problema de antes (membrana)

45

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Problema SL para parte radial

Solución general

46

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Imponiendo CC

Para cada valor del número entero m, las ecuaciones anteriores representan un sistema lineal de ecuaciones h homogéneas é para los l coeficientes fi i A y B. B

47

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Solamente para determinados valores de  estos sistemas de ecuaciones que dan soluciones no triviales con A,B ≠0 Tales autovalores son soluciones de problema

Para cada valor del número entero m, tenemos (n- enteros y positivos) infinitas soluciones que forman conjunto numerable nm .

48

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Relación entre A, B para cada nm

Autofunciones de problema SL se presentan como

()=Acos(m)+Bsen(m)

49

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL autovalores del mismo problema PERO con borde EXTERIOR “libre”

50

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL autovalores del mismo problema PERO con borde EXTERIOR libre

51

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Membrana semicircular con bordes fijos CLASE (sin usar libros, libros SOLO Apuntes) AutoFunciones angulares [REALES]

()

Autofunciones (“ladrillos”) de solucion para: a) todos bordes fijos b) todos bordes libres

52

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Membrana semicircular Bordes libres vs. B. fijos

Problema SL

Separando p variables: Para funciones angulares tendremos nuevo problema

 53

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Problema SL

Soluciones que cumplen CC

Forma de autofunciones v 

54

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Autovalores:

Son relacionados con raíces de Ec.

55

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) TODOS bordes “libres”

Autovalores:

 x k   k     0  ,

2

x`k

es k-esimo cero de derivada de Funcion Bessel

R(r ) ( )  J (  k  )  Cos (k ) 56

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL PROBLEMA CLASE

Oscilaciones O il i de d una membrana b despues de golpe puntual en =R/2,  /2 =/2 ANTES: Discusión de forma de funciones DELTA de Dirac en coordinadas Curvilíneas

57

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL DELTA de Dirac en coordinadas esfericas

SIN dependencia d d i azimutal i t l

SIN dependencia azimutal y radial 58

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL DELTA de Dirac en coordinadas CILINDRICAS

SIN dependencia azimuthal

En Coordinadas Cilindricas SOLO dependencia p radial

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL PROBLEMA CLASE Ver Solucion en LATEX/ PDF

Oscilaciones O il i de d una membrana b despues de golpe puntual en =R/2,  /2 =/2

60

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Oscilaciones de un gas encerrado en un tubo cilíndrico 0

E de Ec. d ondas d

[u= describe la densidad]

L

CC si gas no puede atravesar paredes

61

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Recordamos que Lapaciano correspondiente admite soluciones de problema SL divergentes en =0

0 L

Hay que imponer condición

62

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Ondas estacionarias S Separamos variables: i bl

0 L

Problema para v(r) ( ) resolvemos separando por z

63

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL 0 Soluciones SL para variable z

L

autovalores

64

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL 0 Soluciones SL para función w()

L

CC

65

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Soluciones (análogos a ya obtenidos para membrana circular con bordes libres)

autovalores

0 L

Oscilaciones en dirección z con simetría radial y angular (n,m=0) [NOTA: aquí libro APL cuenta raíces desde n=0]

Raíces de Ec.

66

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Autofunciones

0 L

La correcta resolución del problema proporciona una solución en la que no aparece v0,0,0. Esta solución no lleva oscilación pero corresponde a disminución gradual y lineal de densidad con tiempo Esta solución (v0,0,0 ) es imposible ya que paredes son cerrados

67

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Frecuencia de tono principal? Oscilaciones c ac n solo longitudinales ng tu na

nml  a nml

Depende de relación entre longitud y radio de cilindro

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Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Frecuencia de tono principal

Depende de relación entre: 0

0 L Tomo mas bajo consiste en oscilaciones a lo largo del eje del cilindro

L

Tono mas bajo coresponde a oscilaciones radiales

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Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

VER Movies: M i  http://www.me.rochester.edu /courses/ME201/webmovies/m ovies.html

r0

70

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Semana de 19 de Noviembre  SOLUCION de varias problemas Coord Coord. cilindricas

r0

1. Problema Clase: Golpe puntual sobre medio de membrana 2 Problema 2. P bl m Ec. E Fourier F u i en n Cilindro Cilind (Lec.7 (L 7 Prob P b Fourier F u i Cilinder Cilind p.8p 8 15) 3. PROBLEMAS Laplace y Poisson en disco (Lect.7 Pr_Laplace_Circule, p28-40 28 40 4. Problemas con Ec. Laplace CC flujos determinados ( Circulo, anillo, p. 41-44 misma Leccion 7 PR Laplace_Circule) p p 5. PROB. EX.PAR.2 de 10/11 (Ec.Laplace en sector) a) Problemas LAPLACE en Cilindro Finito (TEORIA de Func. Func Bessel argumento Imaginario) [Lección_7_PROBLEMAS_Laplace_Circule pp. 45-71] a) VARIAS Problemas sueltas C. Cilindricas ( TEX)

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Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL TUTORÍA EXTRAORDINARIA MÉTODOS MATEMÁTICOS III. III Aula 01.03.AU.401 AULA 401 DEL MÓDULO 03 Fecha: 27/11/2012( Martes ) Hora inicial: 16:30 Hora final: ***

72

RESUMEN de temas que consideramos antes de Parcial II Autofunciones ortogonales a usar para desrollar soluciones? Ondas Difusion Laplace/Poisson a) b) c)) d) …

Efectos de forma? Efectos de Condiciones de borde (Homogeneos/No-homogeneos) Condiciones d iniciales l ( …golpes?) l ?) Problemas homogeneas/no homogeneas 73

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Distribución estacionaria de temperatura de un cuerpo semicilíndrico a) Semicilindro infinito EJEMPLO para introducir otras funciones especiales ( FUNCION BESSEL MODICIFACA) que aparecen en solución de Ec. Laplace Consideremos un semicilindro infinito en el que la temperatura de su superficie se mantiene constante. constante Supongamos que entre su superficie curva y su superficie plana existe una diferencia de temperatura T. Veamos cual es la distribución de temperatura p en el interior de este semicilindro.

74

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Para intentar resolver este problema empleando el método de Fourier debemos reformularlo de tal manera que nos aparezcan condiciones de contorno homogéneas en SUPERFICIE PLANA.

T0

0

0

T0-

75

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Reformulación con CC homogéneas con u(,) ( ) que CUMPLE CC homogeneas h en parte plana u=0 0

76

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Como antes, separamos variables (,) y h hagamos uso de d problema bl SL para parte t angular u=0

Soluciones:

77

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Podemos buscar la solución en forma (de momento cilindro es infinito) * u=0 0 Sustituyendo en u=0 Obtenemos:

Error en libro APL

d 2 Rn 1 dRn n 2   2 Rn  0 2 d  d  78

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL De CC

u=0 0

Obtenemos CC que deben cumplir funciones

Rn(0) ?

79

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL de A partir de Sol General (*) ( ) usando CC

u=0 0

u ( 0 ,  )   Rn (0 ) Sen(n ) n

usando ortoganalidad usand rt analidad de aut autofunciones funci nes 

sen(n)

80

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL soluciones linealmente independientes de Ec.

d 2 Rn 1 dRn n 2   2 Rn  0 2 d  d 

u=0 0

son Aplicando CC a Solucion general F Formada d con condicion di i 

Obtenemos funciones Rn: 81

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Solución S lución tteniendo ni nd ssolo l términos no nulos de serie u=0

82

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Paginas 169-172 de libro APL demuestran que intento de solucionar problema con CC homogéneas en dirección radial serán infructuosos

Discusión Di ió d den pag. 169-72 169 72 nos muestra t que la l eficacia fi i del d l método de Fourier depende en gran medida de nuestra habilidad para escoger los problemas de Sturm-Liouville adecuados.

83

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Semicilindro finito (L):

funciones de Bessel modificadas.

Formulación matemática con cambio de variables

84

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Buscu m s soluciones Buscuemos s luci n s en n forma: f rm : u=0

Contornos Homogeneos

con

85

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Son resultados de solucion de DOS problemas SL SL ()

u=0 0

SL (z)

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Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Sustituyendo solución en u=0 y haciendo uso de ortoganalidad vnm(,) obtendremos u=0

Resulta conveniente expresar estas ecuaciones en términos de una nueva variable y renombrar las funciones incógnitas como

87

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL La Ec. Para variable radial obtiene forma: NOTA: Cambios de signos en comparacion con Ec. Bessel (p.22 L7A)

u=0

RECORDATORIO:

Ec Ec.Bessel Bessel de orden m

88

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

ecuación de Bessel modificada de orden n. Que se le denomina

Mas adelante discutiremos en detalle sus soluciones.

u=0

Una de soluciones linealmente independientes que es agotada t d en punto t x=0 0 se le l denomina d i función f ió de d Bessel modificada de orden n y es In(x) ( ERROR en LIBRO APL =m). m) 89

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Forma de funciones In(x)

u=0

En solucion general suman funciones Bessel modificades de 1-ra y 2-da especie (McDonald) http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Bessel

90

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL A partir de CC

u=0 Usando ortoganalidad de funciones

91

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Solución ó final para distribución ó de temperatura en semi-cilindro longitud finita

u=0

Con

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Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Tipo recurso: 01.03.AU.4 01 03 AU 4 TUTORIA Extraordinaria Mierclores 28 de Noviembre reserva: 0104/01.03.AU.401 Fecha: 28/11/2012( Miércoles ) H Hora iinicial: i i l 16:30 16 30 93

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Resolución de problemas en coordinadas esféricas

NASA_2010_2011 El 'comecocos' de una luna de Saturno Imagen termica, la temperatua de fondo es aprox.123K

94

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Oscilaciones de un gas encerrado en una esfera Ec. Para ondas [u= describe la d densidad] id d]

r0

CC si gas no puede atravesar paredes

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Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

a gun de los coeficientes algunos c f c nt que qu contiene c nt n operador Laplaciano divergen en los puntos tales que r = 0 o sen = 0.

r0

Esto implica, como veremos mas adelante, que algunas de las soluciones de Ec. divergen en dichos puntos CC p para considerar solo soluciones acotadas

96

Métodos Matemáticos en Física

Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Ondas estacionarias Separación de Variables

r0

P bl Problema SL :

97

Métodos Matemáticos en Física Lección 7A: Coordenadas curvilíneas RECORDATORIO

Coordenadas curvilíneas : esfér (radio r, r ángulos polar  y azimutal )

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL DELTA de Dirac en coordinadas esfericas

SIN dependencia d d i azimutal i t l

SIN dependencia azimutal y radial 99

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Buscamos soluciones: Problema SL para variables angulares: Ec. para harmonicos esfericos

NOTA: no hay misma condición para ángulo polar!

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 APL Harmonicos Esfericos  0 =0

101

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Buscamos soluciones separando 2 variable angulares: r0 Problemas SL para cada de variables angulares:

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Con cambio de variables Y redefinición 

r0

Llegamos a denominadas

ecuaciones asociadas de Legendre

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL En capítulo 8 de libro APL se demostrara que Ec. tiene soluciones NO divergentes en ((=0,) , ) SOLO si 

r0

Tales soluciones se denominan funciones (o polinomios) asociadas i d d de L Legendre d con

m=-L….+L (enteros)

Soluciones para m=0 se denominan funciones d L de Legendre d Pn(x) ( ) (ver Cap.8 Libro APL)

(polinomios) 104

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL En Cap. 7 de libro APL demuestra su ortoganalidad: r0

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_asociados_de_Legendre http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios de Legendre http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_de_Legendre

r0

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Algunos funciones asociadas de Legendre (t=Cos ) (mas detalles Cap.8 APL) VER FIGURAS

r0

107

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Autofunciones para parte angular:

se les denomina esféricas

r0

armónicos esféricos, o funciones

108

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Condición de ortoganalidad de armónicos esféricos

r0

ver 109

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Armónicos esféricos r0

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL SL para parte Radial: r0

De aquíí se ve que D autovalores son iguales o mayores de cero

p.166 APL se demuestra que =0 corresponde a movimiento sin oscilaciones 111

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Introduciendo cambio r0

Cada una de estas ecuaciones resulta ser la ecuación de Bessel de orden [l + ½] Soluciones de estas ecuaciones:

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL A partir de CC r0

Para cada valor l una de estas ecuaciones determina un conjunto infinito, pero numerable, de autovalores  permitidos 113

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Autovalores se puede presentar como

Con

r0

k-esima raíz de ecuación

son las l denominadas d i d

funciones de Bessel esféricas 114

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Soluciones radiales linearmente independientes (no estan mencionados i d en C7 d de libro lib APL): APL)

Funciones Neuman esfericas

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Autofunciones de problema completo SL r0

Ortoganalidad

con 117

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 APL Harmonicos Esfericos  0 =0

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Dichas autofunciones vklm((r,,) , ,) se usan para describir asimetría espacial (GPS)

r0

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Entre recientes aplicaciones de harmonicos esfericos: Funciones de eliminacion en creacion de imagenes 3D con PC

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL x=Cos()

Polinomios Legendre

H Harmonicos i Esfericos E f i VIDEO http://www.youtube.com/watch?v=1kiSa SwvKzE&NR=1 http://www.youtube.com/watch?v=6bq1a 121 qa5Sq4&NR=1

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

Dimensiones críticas: bomba nuclear esférica Difusión en un medio con posibilidad de reacción en cadena. Una bomba nuclear explota cuando las dimensiones del explosivo superan unas determinadas dimensiones críticas. críticas

Además, en la reacción se desprende energía.

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Estos dos neutrones pueden provocar dos nuevas reacciones del 35U. mismo tipo si es que se encuentran dos con núcleos de 235 U Si esto sucediera se generarían cuatro nuevos neutrones con los cuales u l s sse podrían p d í n iniciar ini i cuatro u t nuevas nu s reacciones i n s y así sí sucesivamente. E Esto se denomina d reacción ó en cadena. d PERO también hay que tener en cuenta que los neutrones creados como producto de la fisión de nuclear pueden escapar de la muestra a través de su superficie. superficie Dicho escape resulta mas fácil cuanto menores sean las dimensiones de la muestra: cualquier punto de una muestra suficientemente pequeña se encuentra relativamente cerca de su superficie. superficie 123

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Muestra esférica Calculemos cual es el radio crítico de una muestra de combustible nuclear en forma de esfera. El transporte de neutrones en la muestra es por difusión.

r0

(1)

Con ell miembro C i b de d lla derecha d h en esta t ecuación ió se tiene ti en cuenta que, de acuerdo con la reacción nuclear, existe una fuente de neutrones dentro de la muestra que es proporcional a su concentración. 124

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL dada la facilidad con la que los neutrones escapan de la muestra se puede d pensar que una aproximación i ió de d CC como concertación t ió de d neutrones nula corresponde bastante razonable a la situación real. Buscamos densidad dentro como (2) Con v(r,,)Soluciones de problema SL

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Como vimos antes:

con

Con autovalores de CC Como seros de función esférica de Bessel

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Sustituyendo (2) en Ec. 1 y usando ortoganalidad, obtendremos ecuación para coeficientes temporales :

Falta índice m (=0 por simetría)

Cuya solución tiene forma

Temperatura desminuye con tiempo para Temperatura aumenta con tiempo si para alguno de autovalores k,l:

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Para que la densidad nunca aumente con el tiempo, para autovalor mas bajo debería ser :

Radio critico:

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Muestra semi-esférica Problema SL

Con esta ultima condición nos aseguramos que la densidad de neutrones es nula en la superficie plana de la semiesfera. 129

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Ahora harmónicos esféricos que son admisibles son (con m=0)

El valor mas bajo de l con el cual se satisface esta condición es l = 1.

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Condicion de estabilidad t temporal l

Radio critico es dado por condición:

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL Puesto que el valor mas bajo de l permitido es l = 1,

Donde

representa el primer cero de la función Bessel esferica j3/2((z)) 132

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Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 C 7 APL

BOMBA NUCLEAR Consiste en disponer de dos semiesferas cuyos radios R sean tales que

Resferac