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Métodos Numéricos Grado en Informática Tema 5: Diferenciación e Integración Numérica Luis Alvarez León
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Contenido 1
Introducción a la Diferenciación Numérica
2
Fórmulas para calcular la derivada primera
3
Fórmulas para calcular la derivada segunda
4
Derivadas de funciones de varias variables
5
Integración Numérica
6
Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica
7
Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples
8
Fórmulas de Integración Numérica Compuestas
9
Práctica 5. Implementación del Método de Simpson
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Contenido 1
Introducción a la Diferenciación Numérica
2
Fórmulas para calcular la derivada primera
3
Fórmulas para calcular la derivada segunda
4
Derivadas de funciones de varias variables
5
Integración Numérica
6
Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica
7
Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples
8
Fórmulas de Integración Numérica Compuestas
9
Práctica 5. Implementación del Método de Simpson
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Diferenciación e Integración Numérica El método de Muller para calcular ceros de una función
El método de Muller para calcular ceros de una función utiliza las siguientes fórmulas basadas en 3 puntos para calcular la primera y segunda derivada de una función:
00
f (xn−1 ) ≈ 2
f 0 (xn−1 ) ≈
f (xn−2 )−f (xn−3 ) xn−2 −xn−3
−
f (xn−1 )−f (xn−2 ) xn−1 −xn−2
xn−3 − xn−1
f (xn−1 ) − f (xn−2 ) f 00 (xn−1 ) + (xn−1 − xn−2 ) xn−1 − xn−2 2
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Introducción a la Diferenciación Numérica
2
Fórmulas para calcular la derivada primera
3
Fórmulas para calcular la derivada segunda
4
Derivadas de funciones de varias variables
5
Integración Numérica
6
Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica
7
Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples
8
Fórmulas de Integración Numérica Compuestas
9
Práctica 5. Implementación del Método de Simpson
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos La manera habitual de aproximar la derivada de una función f (x) en un punto xi consiste en utilizar el desarrollo de Taylor centrado en xi : f (x) = f (xi ) +
f 0 (xi ) f 00 (xi ) f N) (xi ) (x − xi ) + (x − xi )2 + ... + (x − xi )N + ... 1! 2! N!
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos La manera habitual de aproximar la derivada de una función f (x) en un punto xi consiste en utilizar el desarrollo de Taylor centrado en xi : f (x) = f (xi ) +
f 0 (xi ) f 00 (xi ) f N) (xi ) (x − xi ) + (x − xi )2 + ... + (x − xi )N + ... 1! 2! N!
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos La manera habitual de aproximar la derivada de una función f (x) en un punto xi consiste en utilizar el desarrollo de Taylor centrado en xi : f (x) = f (xi ) +
f 0 (xi ) f 00 (xi ) f N) (xi ) (x − xi ) + (x − xi )2 + ... + (x − xi )N + ... 1! 2! N!
Si tomamos un punto xj 6= xi , y despejamos f 0 (xi ) obtenemos: f (xj ) − f (xi ) f 00 (xi ) f (xj ) − f (xi ) − (xj − xi ) − .... = + O xj − xi xj − xi 2! xj − xi donde O xj − xi indica, básicamente, que el error cometido es una suma de potencias de xj − xi en la que la potencia más pequeña es 1.. f 0 (xi ) =
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos La manera habitual de aproximar la derivada de una función f (x) en un punto xi consiste en utilizar el desarrollo de Taylor centrado en xi : f (x) = f (xi ) +
f 0 (xi ) f 00 (xi ) f N) (xi ) (x − xi ) + (x − xi )2 + ... + (x − xi )N + ... 1! 2! N!
Si tomamos un punto xj 6= xi , y despejamos f 0 (xi ) obtenemos: f (xj ) − f (xi ) f 00 (xi ) f (xj ) − f (xi ) − (xj − xi ) − .... = + O xj − xi xj − xi 2! xj − xi donde O xj − xi indica, básicamente, que el error cometido es una suma de potencias de xj − xi en la que la potencia más pequeña es 1.. Se denomina orden de la aproximación a la potencia más pequeña que aparece en el término del error. Por lo tanto, en este caso, diremos que el orden de aproximación es 1. Si xj > xi , entonces la derivada se calcula hacia adelante, mientras que si xj < xi , la derivada se calcula hacia atrás. f 0 (xi ) =
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos La manera habitual de aproximar la derivada de una función f (x) en un punto xi consiste en utilizar el desarrollo de Taylor centrado en xi : f (x) = f (xi ) +
f 0 (xi ) f 00 (xi ) f N) (xi ) (x − xi ) + (x − xi )2 + ... + (x − xi )N + ... 1! 2! N!
Si tomamos un punto xj 6= xi , y despejamos f 0 (xi ) obtenemos: f (xj ) − f (xi ) f 00 (xi ) f (xj ) − f (xi ) − (xj − xi ) − .... = + O xj − xi xj − xi 2! xj − xi donde O xj − xi indica, básicamente, que el error cometido es una suma de potencias de xj − xi en la que la potencia más pequeña es 1.. Se denomina orden de la aproximación a la potencia más pequeña que aparece en el término del error. Por lo tanto, en este caso, diremos que el orden de aproximación es 1. Si xj > xi , entonces la derivada se calcula hacia adelante, mientras que si xj < xi , la derivada se calcula hacia atrás. f 0 (xi ) =
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos La manera habitual de aproximar la derivada de una función f (x) en un punto xi consiste en utilizar el desarrollo de Taylor centrado en xi : f (x) = f (xi ) +
f 0 (xi ) f 00 (xi ) f N) (xi ) (x − xi ) + (x − xi )2 + ... + (x − xi )N + ... 1! 2! N!
Si tomamos un punto xj 6= xi , y despejamos f 0 (xi ) obtenemos: f (xj ) − f (xi ) f 00 (xi ) f (xj ) − f (xi ) − (xj − xi ) − .... = + O xj − xi xj − xi 2! xj − xi donde O xj − xi indica, básicamente, que el error cometido es una suma de potencias de xj − xi en la que la potencia más pequeña es 1.. Se denomina orden de la aproximación a la potencia más pequeña que aparece en el término del error. Por lo tanto, en este caso, diremos que el orden de aproximación es 1. Si xj > xi , entonces la derivada se calcula hacia adelante, mientras que si xj < xi , la derivada se calcula hacia atrás. f 0 (xi ) =
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
xi = 1
f 0 (1) = 4
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
xi = 1
f 0 (1) = 4
xj = 0
f 0 (1) ≈
f (xj )−f (xi ) xj −xi
=
0−2 0−1
=2
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
xi = 1
f 0 (1) = 4
xj = 0
f 0 (1) ≈
xj = 2
f 0 (1) ≈
f (xj )−f (xi ) xj −xi f (xj )−f (xi ) xj −xi
=
0−2 0−1
=
10−2 2−1
=2 =8
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
xi = 1
f 0 (1) = 4
xj = 0
f 0 (1) ≈
xj = 2
f 0 (1) ≈
xj = 1.1
f 0 (1) ≈
f (xj )−f (xi ) xj −xi f (xj )−f (xi ) xj −xi f (xj )−f (xi ) xj −xi
=
0−2 0−1
=
10−2 2−1
=
2.431−2 1.1−1
=2 =8 = 4.31
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
xi = 1
f 0 (1) = 4
xj = 0
f 0 (1) ≈
xj = 2
f 0 (1) ≈
xj = 1.1
f 0 (1) ≈
xj = 1.01
f 0 (1) ≈
f (xj )−f (xi ) xj −xi f (xj )−f (xi ) xj −xi f (xj )−f (xi ) xj −xi f (xj )−f (xi ) xj −xi
=
0−2 0−1
=
10−2 2−1
=
2.431−2 1.1−1
=
2.040301−2 1.01−1
=2 =8 = 4.31 = 4.0301
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xr
− xi )2 +
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi )3 + ...
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xr
f (xl ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xl
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xl
− xi )2 + − xi )2 +
f 000 (xi ) 3! (xr f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )3 + ...
− xi )3 + ...
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xr
f (xl ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xl
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xl
− xi )2 + − xi )2 +
f 000 (xi ) 3! (xr f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )3 + ...
− xi )3 + ...
Despejamos la derivada primera y nos preguntamos por que factores hay que multiplicar las igualdades para que al sumar desaparezca el término en la derivada segunda f 0 (xi ) =
(f (xr )−f (xi )) xr −xi
−
f 00 (xi ) 2! (xr
− xi ) −
f 000 (xi ) 3! (xr
f 0 (xi ) =
(f (xl )−f (xi )) xl −xi
−
f 00 (xi ) 2! (xl
− xi ) −
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )2 − ... − xi )2 − ...
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xr
f (xl ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xl
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xl
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi )2 + − xi )2 +
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )3 + ...
− xi )3 + ...
Despejamos la derivada primera y nos preguntamos por que factores hay que multiplicar las igualdades para que al sumar desaparezca el término en la derivada segunda (xl − xi )·
f 0 (xi ) =
(f (xr )−f (xi )) xr −xi
−(xr − xi )· f 0 (xi ) =
−
(f (xl )−f (xi )) xl −xi
f 00 (xi ) 2! (xr
−
− xi ) −
f 00 (xi ) 2! (xl
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi ) −
− xi )2 − ...
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )2 − ...
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xr
f (xl ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xl
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xl
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi )2 + − xi )2 +
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )3 + ...
− xi )3 + ...
Despejamos la derivada primera y nos preguntamos por que factores hay que multiplicar las igualdades para que al sumar desaparezca el término en la derivada segunda (xl − xi )·
f 0 (xi ) =
(f (xr )−f (xi )) xr −xi
−(xr − xi )· f 0 (xi ) =
−
(f (xl )−f (xi )) xl −xi
f 00 (xi ) 2! (xr
−
− xi ) −
f 00 (xi ) 2! (xl
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi ) −
− xi )2 − ...
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )2 − ...
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xr
f (xl ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xl
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xl
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi )2 + − xi )2 +
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )3 + ...
− xi )3 + ...
Despejamos la derivada primera y nos preguntamos por que factores hay que multiplicar las igualdades para que al sumar desaparezca el término en la derivada segunda (xl − xi )·
f 0 (xi ) =
(f (xr )−f (xi )) xr −xi
−(xr − xi )· f 0 (xi ) =
−
(f (xl )−f (xi )) xl −xi
f 00 (xi ) 2! (xr
−
− xi ) −
f 00 (xi ) 2! (xl
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi ) −
− xi )2 − ...
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )2 − ...
Sumando las 2 ecuaciones y despejando obtenemos :
f 0 (xi ) =
(xl ) (xi ) (xi − xl ) f (xxr )−f + (xr − xi ) f (xxi )−f r −xi i −xl
xr − xl
+ O(h2 )
donde h =| xr − xi |≈| xl − xi |
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos
En el caso de que los puntos esten equiespaciados, es decir xr = xi + h y xl = xi − h la fórmula para calcular la primera derivada se simplifica obteniendo f 0 (xi ) =
f (xi + h) − f (xi − h) + O(h2 ) 2h
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
xi = 1
f 0 (1) = 4
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
xi = 1 h=1
f 0 (1) = 4 (xi −h) = f 0 (1) ≈ f (xi +h)−f 2h
10−0 2
=5
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
xi = 1 h=1
f 0 (1) = 4 (xi −h) = f 0 (1) ≈ f (xi +h)−f 2h
h = 0.1
f 0 (1) ≈
f (xi +h)−f (xi −h) 2h
=
10−0 2 =5 2.431−1.629 0.2
= 4.01
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 0 (x) = 3x 2 + 1
xi = 1 h=1
f 0 (1) = 4 (xi −h) = f 0 (1) ≈ f (xi +h)−f 2h
h = 0.1
f 0 (1) ≈
h = 0.01
f 0 (1) ≈
f (xi +h)−f (xi −h) 2h f (xi +h)−f (xi −h) 2h
= =
10−0 2 =5 2.431−1.629 = 4.01 0.2 2,040301−1,960299 = 0.02
4.0001
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Introducción a la Diferenciación Numérica
2
Fórmulas para calcular la derivada primera
3
Fórmulas para calcular la derivada segunda
4
Derivadas de funciones de varias variables
5
Integración Numérica
6
Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica
7
Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples
8
Fórmulas de Integración Numérica Compuestas
9
Práctica 5. Implementación del Método de Simpson
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos Partimos de nuevo de los desarrollos en serie de Taylor y nos planteamos por que factores hay que multiplicar las ecuaciones para que al sumar desaparezca el término en derivada primera f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xr
f (xl ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xl
− xi ) +
f 00 (xi ) 2! (xl
− xi )2 + − xi )2 +
f 000 (xi ) 3! (xr f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )3 + ...
− xi )3 + ...
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos Partimos de nuevo de los desarrollos en serie de Taylor y nos planteamos por que factores hay que multiplicar las ecuaciones para que al sumar desaparezca el término en derivada primera (xl − xi )·
f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
−(xr − xi )· f (xl ) = f (xi ) +
− xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xl
f 00 (xi ) 2! (xr
− xi ) +
− xi )2 +
f 00 (xi ) 2! (xl
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi )2 +
− xi )3 + ...
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )3 + ...
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos Partimos de nuevo de los desarrollos en serie de Taylor y nos planteamos por que factores hay que multiplicar las ecuaciones para que al sumar desaparezca el término en derivada primera (xl − xi )·
f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
−(xr − xi )· f (xl ) = f (xi ) +
− xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xl
f 00 (xi ) 2! (xr
− xi ) +
− xi )2 +
f 00 (xi ) 2! (xl
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi )2 +
− xi )3 + ...
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )3 + ...
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f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
−(xr − xi )· f (xl ) = f (xi ) +
− xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xl
f 00 (xi ) 2! (xr
− xi ) +
− xi )2 +
f 00 (xi ) 2! (xl
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi )2 +
− xi )3 + ...
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )3 + ...
Sumando las 2 ecuaciones obtenemos : (xl − xi )(f (xr ) − f (xi )) − (xr − xi )(f (xl ) − f (xi )) = f 00 (xi ) (xr − xi )2 (xl − xi ) − (xl − xi )2 (xr − xi ) + 2 f 000 (xi ) (xr − xi )3 (xl − xi ) − (xl − xi )3 (xr − xi ) + .... 3!
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos Partimos de nuevo de los desarrollos en serie de Taylor y nos planteamos por que factores hay que multiplicar las ecuaciones para que al sumar desaparezca el término en derivada primera (xl − xi )·
f (xr ) = f (xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xr
−(xr − xi )· f (xl ) = f (xi ) +
− xi ) +
f 0 (xi ) 1! (xl
f 00 (xi ) 2! (xr
− xi ) +
− xi )2 +
f 00 (xi ) 2! (xl
f 000 (xi ) 3! (xr
− xi )2 +
− xi )3 + ...
f 000 (xi ) 3! (xl
− xi )3 + ...
Sumando las 2 ecuaciones obtenemos : (xl − xi )(f (xr ) − f (xi )) − (xr − xi )(f (xl ) − f (xi )) = f 00 (xi ) (xr − xi )2 (xl − xi ) − (xl − xi )2 (xr − xi ) + 2 f 000 (xi ) (xr − xi )3 (xl − xi ) − (xl − xi )3 (xr − xi ) + .... 3! despejando f 00 (xi ) y agrupando términos obtenemos:
f 00 (xi ) = 2
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f (xr )−f (xi ) xr −xi
−
f (xi )−f (xl ) xi −xl
xr − xl
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+ O(h)
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos
En el caso de que los puntos esten equiespaciados, es decir xr = xi + h y xl = xi − h, la fórmula para calcular la segunda derivada se simplifica obteniendo f 00 (xi ) =
f (xi + h) + f (xi − h) − 2f (xi ) + O(h2 ) h2
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 00 (x) = 6x
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 00 (x) = 6x
xi = 1
f 00 (1) = 6
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 00 (x) = 6x
xi = 1 h=1
f 00 (1) = 6 f 00 (1) ≈ f (xi +h)+f (xhi2−h)−2f (xi ) =
10+0−2·2 12
=6
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 3 + x
f 00 (x) = 6x
xi = 1 h=1
f 00 (1) = 6 f 00 (1) ≈ f (xi +h)+f (xhi2−h)−2f (xi ) =
10+0−2·2 12
=6
La fórmula para la derivada segunda es exacta para polinomios de grado 3.
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 4 f 00 (x) = 12x 2
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 4 f 00 (x) = 12x 2 xi = 1
f 00 (1) = 12
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 4 f 00 (x) = 12x 2 xi = 1 h=1
f 00 (1) = 12 f 00 (1) ≈ f (xi +h)+f (xhi2−h)−2f (xi ) =
16+0−2 1
= 14
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 4 f 00 (x) = 12x 2 xi = 1 h=1
f 00 (1) = 12 f 00 (1) ≈ f (xi +h)+f (xhi2−h)−2f (xi ) =
h = 0.1
f 00 (1) ≈
f (xi +h)+f (xi −h)−2f (xi ) h2
=
16+0−2 = 14 1 1,4641+0.6561−2 0.01
= 12.02
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos
Ejemplo f (x) = x 4 f 00 (x) = 12x 2 xi = 1 h=1
f 00 (1) = 12 f 00 (1) ≈ f (xi +h)+f (xhi2−h)−2f (xi ) =
h = 0.1
f 00 (1) ≈
h = 0.01
f 00 (1) ≈
f (xi +h)+f (xi −h)−2f (xi ) h2 f (xi +h)+f (xi −h)−2f (xi ) h2
= =
16+0−2 = 14 1 1,4641+0.6561−2 = 12.02 0.01 1.040604+0.960596−2 = 12.0002 0.0001
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Contenido 1
Introducción a la Diferenciación Numérica
2
Fórmulas para calcular la derivada primera
3
Fórmulas para calcular la derivada segunda
4
Derivadas de funciones de varias variables
5
Integración Numérica
6
Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica
7
Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples
8
Fórmulas de Integración Numérica Compuestas
9
Práctica 5. Implementación del Método de Simpson
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Diferenciación e Integración Numérica Derivadas de funciones de varias variables
Consideremos una función de 2 variables como por ejemplo : F (x, y ) = x 3 y 2
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Diferenciación e Integración Numérica Derivadas de funciones de varias variables
Consideremos una función de 2 variables como por ejemplo : F (x, y ) = x 3 y 2 Las derivadas parciales de F (x, y ) son : ∂F (x, y ) = 3x 2 y 2 ∂x
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Diferenciación e Integración Numérica Derivadas de funciones de varias variables
Consideremos una función de 2 variables como por ejemplo : F (x, y ) = x 3 y 2 Las derivadas parciales de F (x, y ) son : ∂F (x, y ) = 3x 2 y 2 ∂x
∂F (x, y ) = 2x 3 y ∂y
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Diferenciación e Integración Numérica Derivadas de funciones de varias variables
Consideremos una función de 2 variables como por ejemplo : F (x, y ) = x 3 y 2 Las derivadas parciales de F (x, y ) son : ∂F (x, y ) = 3x 2 y 2 ∂x
∂F (x, y ) = 2x 3 y ∂y
Para aproximar numéricamente la derivada parcial en una dirección se pueden utilizar las mismas fórmulas que en una dimensión dejando el resto de variables constantes. Por ejemplo ∂F (x + h)3 y 2 − (x − h)3 y 2 (x, y ) ≈ ∂x 2h ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Derivadas de funciones de varias variables
Consideremos una función de 2 variables como por ejemplo : F (x, y ) = x 3 y 2 Las derivadas parciales de F (x, y ) son : ∂F (x, y ) = 3x 2 y 2 ∂x
∂F (x, y ) = 2x 3 y ∂y
Para aproximar numéricamente la derivada parcial en una dirección se pueden utilizar las mismas fórmulas que en una dimensión dejando el resto de variables constantes. Por ejemplo ∂F (x + h)3 y 2 − (x − h)3 y 2 (x, y ) ≈ ∂x 2h
∂F x 3 (y + h)2 − x 3 (y − h)2 (x, y ) ≈ ∂y 2h ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Derivadas de funciones de varias variables
Consideremos una función de 2 variables como por ejemplo : F (x, y ) = x 3 y 2 Las derivadas parciales de F (x, y ) son : ∂F (x, y ) = 3x 2 y 2 ∂x
∂F (x, y ) = 2x 3 y ∂y
Para aproximar numéricamente la derivada parcial en una dirección se pueden utilizar las mismas fórmulas que en una dimensión dejando el resto de variables constantes. Por ejemplo ∂F (x + h)3 y 2 − (x − h)3 y 2 (x, y ) ≈ ∂x 2h
∂F x 3 (y + h)2 − x 3 (y − h)2 (x, y ) ≈ ∂y 2h ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Derivadas de funciones de varias variables
Podemos considerar que una imagen digital es una función de 2 variables donde (x, y ) representa la posición de un pixel y F (x, y ) el nivel de gris o color.
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Diferenciación e Integración Numérica Derivadas de funciones de varias variables
La derivada en la dirección horizontal de una imagen detecta los bordes verticales
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Diferenciación e Integración Numérica Derivadas de funciones de varias variables
La derivada en la dirección vertical de una imagen detecta los bordes horizontales
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Contenido 1
Introducción a la Diferenciación Numérica
2
Fórmulas para calcular la derivada primera
3
Fórmulas para calcular la derivada segunda
4
Derivadas de funciones de varias variables
5
Integración Numérica
6
Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica
7
Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples
8
Fórmulas de Integración Numérica Compuestas
9
Práctica 5. Implementación del Método de Simpson
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Diferenciación e Integración Numérica Integración Numérica
b
Z
f (x)dx = ?
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a Luis Alvarez León ()
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Diferenciación e Integración Numérica Integración Numérica
Z
b
f (x)dx = Area encerrada por la curva y el eje x en [a,b] a Luis Alvarez León ()
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Contenido 1
Introducción a la Diferenciación Numérica
2
Fórmulas para calcular la derivada primera
3
Fórmulas para calcular la derivada segunda
4
Derivadas de funciones de varias variables
5
Integración Numérica
6
Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica
7
Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples
8
Fórmulas de Integración Numérica Compuestas
9
Práctica 5. Implementación del Método de Simpson
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Sea f (x) una función definida en un intervalo [a, b], vamos a aproximar el valor de la integral de f (x) en [a, b] utilizando la evaluación de f (x) en ciertos puntos de [a, b]. Es decir, una fórmula de integración numérica se puede escribir como Z
b
f (x)dx ≈ a
N−1 X
wk f (xk )
k =0
donde xk representa los puntos de evaluación de f (x) y wk el peso de cada punto de evaluación.
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Ejemplo
Veamos como se construye la fórmula de Cuadratura de Gauss utilizando un sólo punto Z
1
f (x)dx ≈ w0 f (x0 ) −1
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Ejemplo
Veamos como se construye la fórmula de Cuadratura de Gauss utilizando un sólo punto Z
1
f (x)dx ≈ w0 f (x0 ) −1
Para calcular w0 y x0 vamos a exigir que la fórmula se exacta para polinomios de grado 0 y 1.
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Ejemplo
Veamos como se construye la fórmula de Cuadratura de Gauss utilizando un sólo punto Z
1
f (x)dx ≈ w0 f (x0 ) −1
Para calcular w0 y x0 vamos a exigir que la fórmula se exacta para polinomios de grado 0 y 1. R1
−1 1dx
=
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Ejemplo
Veamos como se construye la fórmula de Cuadratura de Gauss utilizando un sólo punto Z
1
f (x)dx ≈ w0 f (x0 ) −1
Para calcular w0 y x0 vamos a exigir que la fórmula se exacta para polinomios de grado 0 y 1. R1
−1 1dx
=2=
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Ejemplo
Veamos como se construye la fórmula de Cuadratura de Gauss utilizando un sólo punto Z
1
f (x)dx ≈ w0 f (x0 ) −1
Para calcular w0 y x0 vamos a exigir que la fórmula se exacta para polinomios de grado 0 y 1. R1
−1 1dx
= 2 = w0 f (x0 ) =
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Ejemplo
Veamos como se construye la fórmula de Cuadratura de Gauss utilizando un sólo punto Z
1
f (x)dx ≈ w0 f (x0 ) −1
Para calcular w0 y x0 vamos a exigir que la fórmula se exacta para polinomios de grado 0 y 1. R1
−1 1dx
= 2 = w0 f (x0 ) = w0
=⇒
w0 =
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Ejemplo
Veamos como se construye la fórmula de Cuadratura de Gauss utilizando un sólo punto Z
1
f (x)dx ≈ w0 f (x0 ) −1
Para calcular w0 y x0 vamos a exigir que la fórmula se exacta para polinomios de grado 0 y 1. R1
= 2 = w0 f (x0 ) = w0
R1
=
−1 1dx
−1 xdx
=⇒
w0 = 2
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Ejemplo
Veamos como se construye la fórmula de Cuadratura de Gauss utilizando un sólo punto Z
1
f (x)dx ≈ w0 f (x0 ) −1
Para calcular w0 y x0 vamos a exigir que la fórmula se exacta para polinomios de grado 0 y 1. R1
= 2 = w0 f (x0 ) = w0 =⇒ w0 = 2 i1 x2 = 0 = w0 f (x0 ) =⇒ x0 = xdx = 2 −1 −1 1dx
R1
−1
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Ejemplo
Veamos como se construye la fórmula de Cuadratura de Gauss utilizando un sólo punto Z
1
f (x)dx ≈ w0 f (x0 ) −1
Para calcular w0 y x0 vamos a exigir que la fórmula se exacta para polinomios de grado 0 y 1. R1
= 2 = w0 f (x0 ) = w0 =⇒ w0 = 2 i1 x2 = 0 = w0 f (x0 ) =⇒ x0 = 0 xdx = 2 −1 −1 1dx
R1
−1
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Definición Una fórmula de integración numérica se denomina exacta de orden M si, para cualquier polinomio P(x) de grado menor o igual que M, la fórmula es exacta. Es decir Z
b
P(x)dx = a
N−1 X
wk P(xk )
k =0
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Definición Una fórmula de integración numérica se denomina exacta de orden M si, para cualquier polinomio P(x) de grado menor o igual que M, la fórmula es exacta. Es decir Z
b
P(x)dx = a
N−1 X
wk P(xk )
k =0
La fórmula de cuadratura de Gauss que utiliza N puntos es exacta de orden M = 2N − 1 ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Definición Una fórmula de integración numérica se denomina exacta de orden M si, para cualquier polinomio P(x) de grado menor o igual que M, la fórmula es exacta. Es decir Z
b
P(x)dx = a
N−1 X
wk P(xk )
k =0
La fórmula de cuadratura de Gauss que utiliza N puntos es exacta de orden M = 2N − 1 ULPGCLogo
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Definición Se denominan polinomios de Legendre LN (x) a la familia de polinomios dada por L0 (x) = 1, L1 (x) = x, y para N = 2, 3, .... NLN (x) = (2N − 1)xLN−1 (x) − (N − 1)LN−2 (x)
Teorema Sean{x˜k }k =1,..,N los ceros del polinomio de Legendre LN (x). Si definimos ˜k = w
Z
1
−1
Πi6=k (x − x˜i) dx Πi6=k (x˜k − x˜i)
entonces la fórmula de integración numérica generada por los puntos x˜k y los ˜ k es exacta hasta el orden 2N − 1 para el intervalo [−1, 1]. pesos w ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Ejemplo ˜ k en A continuación se exponen algunos valores de raíces x˜k y coeficientes w función del grado del polinomio LN (x) : N 2 3
4
x˜k 0,5773502692 −0,5773502692 0,7745966692 0. − 0,7745966692 0,8611363116 0,3399810436 −0,3399810436 − 0,8611363116
˜k w 1. 1 0,5555555556 0,8888888889 0,5555555556 0,3478548451 0,6251451549 0,6251451549 0,3478548451 ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema (2 puntos) Aproximar el valor de la siguiente integral, utilizando las fórmulas de Legendre para N = 2 y N = 3: Z
1
−1
N−1 X x 3 − x 4 dx ' wk f (xk ) k =0
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema (2 puntos) Aproximar el valor de la siguiente integral, utilizando las fórmulas de Legendre para N = 2 y N = 3: Z
1
−1
N−1 X x 3 − x 4 dx ' wk f (xk ) k =0
Solución: 1 P N=2 wk f (xk ) = 1 · f (0,5773502692) + 1 · f (−0,5773502692) = −. 222 22 k =0
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Problema (2 puntos) Aproximar el valor de la siguiente integral, utilizando las fórmulas de Legendre para N = 2 y N = 3: Z
1
−1
N−1 X x 3 − x 4 dx ' wk f (xk ) k =0
Solución: 1 P N=2 wk f (xk ) = 1 · f (0,5773502692) + 1 · f (−0,5773502692) = −. 222 22 k =0
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Problema (2 puntos) Aproximar el valor de la siguiente integral, utilizando las fórmulas de Legendre para N = 2 y N = 3: Z
1
−1
N−1 X x 3 − x 4 dx ' wk f (xk ) k =0
Solución: 1 P N=2 wk f (xk ) = 1 · f (0,5773502692) + 1 · f (−0,5773502692) = −. 222 22 k =0
N=3
2 P
wk P (xk ) = 0,555 · f (0,774) +0,888 · f (0) + 0,555 · f (−0,774) = −. 4
k =0
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema (2 puntos) Aproximar el valor de la siguiente integral, utilizando las fórmulas de Legendre para N = 2 y N = 3: Z
1
N−1 X x 3 − x 4 dx ' wk f (xk )
−1
k =0
Solución: 1 P N=2 wk f (xk ) = 1 · f (0,5773502692) + 1 · f (−0,5773502692) = −. 222 22 k =0
N=3
2 P
wk P (xk ) = 0,555 · f (0,774) +0,888 · f (0) + 0,555 · f (−0,774) = −. 4
k =0
El valor exacto de la integral es Luis Alvarez León ()
R1 −1
x 3 − x 4 dx = − 25 = −. 4 Métodos Numéricos
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Cuando el intervalo [a, b] es infinito, es decir, a = −∞ o b = ∞, hay que emplear otros métodos para aproximar las integrales. En el caso [a, b] = (−∞, ∞), se utilizan los ceros de los denominados polinomios de Hermite. En este caso, la fórmula de integración numérica aproxima la integral de la siguiente forma: Z
∞
−∞
2
f (x)e−x dx ≈
N−1 X
wk f (xk )
k =0
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Cuando el intervalo [a, b] es infinito, es decir, a = −∞ o b = ∞, hay que emplear otros métodos para aproximar las integrales. En el caso [a, b] = (−∞, ∞), se utilizan los ceros de los denominados polinomios de Hermite. En este caso, la fórmula de integración numérica aproxima la integral de la siguiente forma: Z
∞
2
f (x)e−x dx ≈
−∞
N−1 X
wk f (xk )
k =0
Los puntos que se utilizan para calcular los integrales son : N 1 2
x˜k 0. −0. 707 106 781 0. 707 106 781
˜k w 1. 772 453 851 0. 886 226 925 5 0. 886 226 925 5 ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema (2 puntos) Aproximar, utilizando dos puntos de aproximación, el valor de la integral: Z ∞ 1 dx 2 −∞ 1 + x
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema (2 puntos) Aproximar, utilizando dos puntos de aproximación, el valor de la integral: Z ∞ 1 dx 2 −∞ 1 + x
Solución: R∞
1 −∞ 1+x 2 dx
=
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Problema (2 puntos) Aproximar, utilizando dos puntos de aproximación, el valor de la integral: Z ∞ 1 dx 2 −∞ 1 + x
Solución: R∞
1 −∞ 1+x 2 dx
= arctan(x)]∞ −∞ =
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Problema (2 puntos) Aproximar, utilizando dos puntos de aproximación, el valor de la integral: Z ∞ 1 dx 2 −∞ 1 + x
Solución: R∞
1 −∞ 1+x 2 dx
= arctan(x)]∞ −∞ =
π 2
−
−π 2
=π
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema (2 puntos) Aproximar, utilizando dos puntos de aproximación, el valor de la integral: Z ∞ 1 dx 2 −∞ 1 + x
Solución: R∞
1 −∞ 1+x 2 dx
= arctan(x)]∞ −∞ =
π 2
−
−π 2
=π=
R∞
2
ex −x 2 dx −∞ 1+x 2 e
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema (2 puntos) Aproximar, utilizando dos puntos de aproximación, el valor de la integral: Z ∞ 1 dx 2 −∞ 1 + x
Solución: R∞
1 −∞ 1+x 2 dx
= arctan(x)]∞ −∞ =
π 2
−
−π 2
=π=
R∞
2
ex −x 2 dx −∞ 1+x 2 e
2
f (x) = R∞
ex 1+x 2
1 −∞ 1+x 2 dx
' w1 f (x1 ) + w2 f (x2 ) = 0,8862269255 · f (−0,707106781) + ULPGCLogo
+0,8862269255 · f (0,707106781) = 1. 948 2 Luis Alvarez León ()
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Polinomios de Laguerre
Para el intervalo (0, ∞), se utilizan los polinomios de Laguerre. En este caso, la fórmula de integración numérica aproxima: Z 0
∞
f (x)e−x dx ≈
N−1 X
wk f (xk )
k =0
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Polinomios de Laguerre
Para el intervalo (0, ∞), se utilizan los polinomios de Laguerre. En este caso, la fórmula de integración numérica aproxima: Z
∞
f (x)e−x dx ≈
0
N−1 X
wk f (xk )
k =0
Los puntos y pesos de integración son N 1 2
x˜k 1. 0. 585 786 438 3. 414 213 562
˜k w 1. 0. 853 553 390 3 0. 146 446 609 3
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos xk , y los pesos wk que hacen exacta hasta el orden 2N − 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b]
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos xk , y los pesos wk que hacen exacta hasta el orden 2N − 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b] Solución: Tenemos que hacer un cambio de variable en la integral para llevarla al intervalo [−1, 1] Z
b
Z
1
f (x) dx = a
f −1
(b − a) t + b + a 2
b−a dt 2
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos xk , y los pesos wk que hacen exacta hasta el orden 2N − 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b] Solución: Tenemos que hacer un cambio de variable en la integral para llevarla al intervalo [−1, 1] Z
b
Z
1
f (x) dx = a
f −1
(b − a) t + b + a 2
b−a dt 2
Buscamos un cambio de variable x(t) tal que x(−1) = a y x(1) = b. Dicho cambio viene dada por una recta que tiene por ecuación : ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos xk , y los pesos wk que hacen exacta hasta el orden 2N − 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b] Solución: Tenemos que hacer un cambio de variable en la integral para llevarla al intervalo [−1, 1] Z
b
Z
1
f (x) dx = a
f −1
(b − a) t + b + a 2
b−a dt 2
Buscamos un cambio de variable x(t) tal que x(−1) = a y x(1) = b. Dicho cambio viene dada por una recta que tiene por ecuación : ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos xk , y los pesos wk que hacen exacta hasta el orden 2N − 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b] Solución: Tenemos que hacer un cambio de variable en la integral para llevarla al intervalo [−1, 1] Z
b
Z
1
f (x) dx = a
f −1
(b − a) t + b + a 2
b−a dt 2
Buscamos un cambio de variable x(t) tal que x(−1) = a y x(1) = b. Dicho cambio viene dada por una recta que tiene por ecuación : x(t) − a t − (−1) (b − a) t + b + a = → x(t) = b−a 1 − (−1) 2 Luis Alvarez León ()
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos xk , y los pesos wk que hacen exacta hasta el orden 2N − 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b] Solución: Tenemos que hacer un cambio de variable en la integral para llevarla al intervalo [−1, 1] Z
b
Z
1
f (x) dx = a
f −1
(b − a) t + b + a 2
b−a dt 2
Buscamos un cambio de variable x(t) tal que x(−1) = a y x(1) = b. Dicho cambio viene dada por una recta que tiene por ecuación : x(t) − a t − (−1) (b − a) t + b + a = → x(t) = b−a 1 − (−1) 2 Luis Alvarez León ()
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Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos xk , y los pesos wk que hacen exacta hasta el orden 2N − 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b] Solución: Tenemos que hacer un cambio de variable en la integral para llevarla al intervalo [−1, 1] Z
b
Z
1
f (x) dx = a
f −1
(b − a) t + b + a 2
b−a dt 2
Buscamos un cambio de variable x(t) tal que x(−1) = a y x(1) = b. Dicho cambio viene dada por una recta que tiene por ecuación : x(t) − a t − (−1) (b − a) t + b + a = → x(t) = b−a 1 − (−1) 2 Luis Alvarez León ()
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos xk , y los pesos wk que hacen exacta hasta el orden 2N − 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b] Solución: Tenemos que hacer un cambio de variable en la integral para llevarla al intervalo [−1, 1] b
Z
Z
1
f (x) dx = −1
a
Z
b
f (x) dx ' a
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f
N X k =1
wk
(b − a) t + b + a 2
b−a f 2
b−a dt 2
(b − a) xk + b + a 2
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos xk , y los pesos wk que hacen exacta hasta el orden 2N − 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b] Solución: Tenemos que hacer un cambio de variable en la integral para llevarla al intervalo [−1, 1] b
Z
Z
1
f (x) dx = −1
a
Z
b
f (x) dx ' a
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f
N X k =1
wk
(b − a) t + b + a 2
b−a f 2
b−a dt 2
(b − a) xk + b + a 2
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Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss
Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos xk , y los pesos wk que hacen exacta hasta el orden 2N − 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b] Solución: Tenemos que hacer un cambio de variable en la integral para llevarla al intervalo [−1, 1] b
Z
Z
1
f (x) dx = −1
a
Z
b
f (x) dx ' a
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f
N X k =1
wk
(b − a) t + b + a 2
b−a f 2
b−a dt 2
(b − a) xk + b + a 2
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Contenido 1
Introducción a la Diferenciación Numérica
2
Fórmulas para calcular la derivada primera
3
Fórmulas para calcular la derivada segunda
4
Derivadas de funciones de varias variables
5
Integración Numérica
6
Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica
7
Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples
8
Fórmulas de Integración Numérica Compuestas
9
Práctica 5. Implementación del Método de Simpson
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración para integrales múltiples
Consideremos una fórmula de integración numérica en una variable Z
1
f (x)dx = −1
N X
˜ k f (x˜k ) w
k =1
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración para integrales múltiples
Consideremos una fórmula de integración numérica en una variable Z
1
f (x)dx = −1
N X
˜ k f (x˜k ) w
k =1
A partir de esta fórmula podemos deducir
Z
1
Z
1
Z F (x, y ) dxdy =
−1
−1
1
N X
˜ k F (x˜k , y )dy = w
−1 k =1
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración para integrales múltiples
Consideremos una fórmula de integración numérica en una variable Z
1
f (x)dx = −1
N X
˜ k f (x˜k ) w
k =1
A partir de esta fórmula podemos deducir
Z
1
Z
1
Z F (x, y ) dxdy =
−1
−1
1
N X
˜ k F (x˜k , y )dy = w
−1 k =1
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración para integrales múltiples
Consideremos una fórmula de integración numérica en una variable Z
1
f (x)dx = −1
N X
˜ k f (x˜k ) w
k =1
A partir de esta fórmula podemos deducir
Z
1
Z
1
Z F (x, y ) dxdy =
−1
−1
1
N X
˜ k F (x˜k , y )dy = w
−1 k =1
N X k =1
˜k w
Z
1
F (x˜k , y ) dy
−1
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración para integrales múltiples
Consideremos una fórmula de integración numérica en una variable Z
1
f (x)dx = −1
N X
˜ k f (x˜k ) w
k =1
A partir de esta fórmula podemos deducir
Z
1
Z
1
Z F (x, y ) dxdy =
−1
−1
1
N X
˜ k F (x˜k , y )dy = w
−1 k =1
N X k =1
˜k w
Z
1
F (x˜k , y ) dy
−1
=
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración para integrales múltiples
Consideremos una fórmula de integración numérica en una variable Z
1
f (x)dx = −1
N X
˜ k f (x˜k ) w
k =1
A partir de esta fórmula podemos deducir
Z
1
Z
1
Z F (x, y ) dxdy =
−1
−1
1
N X
˜ k F (x˜k , y )dy = w
−1 k =1
=
N X
N X k =1
˜k w
Z
1
F (x˜k , y ) dy
−1
N X ˜k ˜ j F x˜k , x˜j w w
k =1
j=1 ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración para integrales múltiples
Consideremos una fórmula de integración numérica en una variable Z
1
f (x)dx = −1
N X
˜ k f (x˜k ) w
k =1
A partir de esta fórmula podemos deducir
Z
1
Z
1
Z F (x, y ) dxdy =
−1
−1
1
N X
˜ k F (x˜k , y )dy = w
−1 k =1
=
N X
N X k =1
˜k w
Z
1
F (x˜k , y ) dy
−1
N N X X ˜ k ,j F x˜k , x˜j , ˜k ˜ j F x˜k , x˜j = w w W
k =1
j=1
k ,j=1
˜ k ,j = w ˜k w ˜j donde W
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Introducción a la Diferenciación Numérica
2
Fórmulas para calcular la derivada primera
3
Fórmulas para calcular la derivada segunda
4
Derivadas de funciones de varias variables
5
Integración Numérica
6
Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica
7
Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples
8
Fórmulas de Integración Numérica Compuestas
9
Práctica 5. Implementación del Método de Simpson
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula del rectángulo
Z
b
f (x)dx = a
x0 = a,
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xM+1 = b
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula del rectángulo
Z
b
f (x)dx = a
x0 = a,
M Z X
xk +1
f (x)dx ≈
k =0 xk
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xM+1 = b
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula del rectángulo
b
Z
f (x)dx = a
x0 = a,
M Z X
xk +1
k =0 xk
f (x)dx ≈
M X xk + xk +1 f (xk +1 − xk ) 2
k =0
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xM+1 = b
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula del trapecio
Z
b
f (x)dx = a
x0 = a,
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xM+1 = b
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula del trapecio
Z
b
f (x)dx = a
x0 = a,
M Z X
xk +1
f (x)dx ≈
k =0 xk
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xM+1 = b
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula del trapecio
b
Z
f (x)dx = a
x0 = a,
M Z X
xk +1
k =0 xk
f (x)dx ≈
M X f (xk ) + f (xk +1 k =0
2
(xk +1 − xk ) ULPGCLogo
xM+1 = b
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula de Simpson
Z
b
f (x)dx = a
x0 = a,
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xM+1 = b
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula de Simpson
Z
b
f (x)dx = a
x0 = a,
M Z X
xk +1
f (x)dx ≈
k =0 xk
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xM+1 = b
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula de Simpson
Z
b
f (x)dx = a
M Z X
xk +1
k =0 xk
x0 = a,
f (x)dx ≈
M f (x ) + 4f X k
k =0
xk +xk +1 2
6
+ f (xk +1 )
(xk +1 − xk ) ULPGCLogo
xM+1 = b
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson Z
xk +1
Z
xk +1
f (x)dx ≈ xk
f (xm ) + f 0 (xm )(x − xm ) +
xk
f 00 (xm ) (x − xm )2 dx 2
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson Z
xk +1
Z
xk +1
f (x)dx ≈ xk
f (xm ) + f 0 (xm )(x − xm ) +
xk
f (xm )(xk +1 − xk ) + 0 +
f 00 (xm ) 3
f 00 (xm ) (x − xm )2 dx = 2
xk +1 − xk 2
3
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson Z
xk +1
Z
xk +1
f (x)dx ≈ xk
f (xm ) + f 0 (xm )(x − xm ) +
xk
f (xm )(xk +1 − xk ) + 0 +
f 00 (xm ) 3
f 00 (xm ) (x − xm )2 dx = 2
xk +1 − xk 2
3
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson Z
xk +1
Z
xk +1
f (x)dx ≈ xk
f (xm ) + f 0 (xm )(x − xm ) +
xk
f (xm )(xk +1 − xk ) + 0 +
f 00 (xm ) 3
f 00 (xm ) (x − xm )2 dx = 2
xk +1 − xk 2
3
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson Z
xk +1
Z
xk +1
f (x)dx ≈ xk
f (xm ) + f 0 (xm )(x − xm ) +
xk
f (xm )(xk +1 − xk ) + 0 +
f 00 (xm ) 3
f 00 (xm ) (x − xm )2 dx = 2
xk +1 − xk 2
3
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson Z
xk +1
Z
xk +1
f (x)dx ≈ xk
f (xm ) + f 0 (xm )(x − xm ) +
xk
f (xm )(xk +1 − xk ) + 0 +
f 00 (xm ) 3
f 00 (xm ) (x − xm )2 dx = 2
xk +1 − xk 2
3
Ahora aproximamos f 00 (xm ) utilizando los puntos xk , xm , xk +1
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson Z
xk +1
Z
xk +1
f (x)dx ≈ xk
f (xm ) + f 0 (xm )(x − xm ) +
xk
f (xm )(xk +1 − xk ) + 0 +
f 00 (xm ) 3
f 00 (xm ) (x − xm )2 dx = 2
xk +1 − xk 2
3
Ahora aproximamos f 00 (xm ) utilizando los puntos xk , xm , xk +1 f 00 (xm ) ≈
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson Z
xk +1
Z
xk +1
f (x)dx ≈ xk
f (xm ) + f 0 (xm )(x − xm ) +
xk
f (xm )(xk +1 − xk ) + 0 +
f 00 (xm ) 3
f 00 (xm ) (x − xm )2 dx = 2
xk +1 − xk 2
3
Ahora aproximamos f 00 (xm ) utilizando los puntos xk , xm , xk +1 f 00 (xm ) ≈
f (xk +1 ) − 2f (xm ) + f (xk ) 2 xk +1 −xk 2
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson Z
xk +1
Z
xk +1
f (x)dx ≈ xk
f (xm ) + f 0 (xm )(x − xm ) +
xk
f (xm )(xk +1 − xk ) + 0 +
f 00 (xm ) 3
f 00 (xm ) (x − xm )2 dx = 2
xk +1 − xk 2
3
Ahora aproximamos f 00 (xm ) utilizando los puntos xk , xm , xk +1 f 00 (xm ) ≈
f (xk +1 ) − 2f (xm ) + f (xk ) 2 xk +1 −xk 2
Por tanto, sustituyendo este valor en la aproximación anterior obtenemos Z xk +1 f (xk +1 ) − 2f (xm ) + f (xk ) xk +1 − xk f (x)dx ≈ f (xm )(xk +1 − xk ) + 3 2 xk ULPGCLogo
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Diferenciación e Integración Numérica Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson Z
xk +1
Z
xk +1
f (x)dx ≈ xk
f (xm ) + f 0 (xm )(x − xm ) +
xk
f (xm )(xk +1 − xk ) + 0 +
f 00 (xm ) 3
f 00 (xm ) (x − xm )2 dx = 2
xk +1 − xk 2
3
Ahora aproximamos f 00 (xm ) utilizando los puntos xk , xm , xk +1 f 00 (xm ) ≈
f (xk +1 ) − 2f (xm ) + f (xk ) 2 xk +1 −xk 2
Por tanto, sustituyendo este valor en la aproximación anterior obtenemos Z xk +1 f (xk +1 ) − 2f (xm ) + f (xk ) xk +1 − xk f (x)dx ≈ f (xm )(xk +1 − xk ) + 3 2 xk x +x f (xk +1 ) + f (xk ) + 4f k 2 k +1 = (xk +1 − xk ) 6 Luis Alvarez León ()
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Contenido 1
Introducción a la Diferenciación Numérica
2
Fórmulas para calcular la derivada primera
3
Fórmulas para calcular la derivada segunda
4
Derivadas de funciones de varias variables
5
Integración Numérica
6
Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica
7
Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples
8
Fórmulas de Integración Numérica Compuestas
9
Práctica 5. Implementación del Método de Simpson
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Métodos Numéricos
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Diferenciación e Integración Numérica Práctica 4. Implementar el método de Simpson
Implementar en C el método de Simpson. Los parámetros de la función serán: Los límites del intervalo de integración en precisión real y el número de subintervalos en los que se dividirá el intervalo inicial. La función devolverá el valor de la integral obtenido. Probar el método para aproximar las siguientes integrales con diferentes valores para el parámetro de número de subintervalos y comprobar que el resultado se aproxima al valor exacto de la integral. 1
Rπ
2
R1
3
0
0
sin(x)dx = 2 √x
R∞
1−x 2
−∞ e
dx = 1
−x 2 dx
=
√
π = 1. 772 5
Nota: Las integrales con límites infinitos se aproximarán cambiando el infinito por un número grande. Cambiar la precisión de la aritmética y valorar si hay diferencias ULPGCLogo en los resultados Luis Alvarez León ()
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Diferenciación e Integración Numérica Práctica 4. Implementar el método de Simpson
Implementar en C el método de Simpson. Los parámetros de la función serán: Los límites del intervalo de integración en precisión real y el número de subintervalos en los que se dividirá el intervalo inicial. La función devolverá el valor de la integral obtenido. Probar el método para aproximar las siguientes integrales con diferentes valores para el parámetro de número de subintervalos y comprobar que el resultado se aproxima al valor exacto de la integral. 1
Rπ
2
R1
3
0
0
sin(x)dx = 2 √x
R∞
1−x 2
−∞ e
dx = 1
−x 2 dx
=
√
π = 1. 772 5
Nota: Las integrales con límites infinitos se aproximarán cambiando el infinito por un número grande. Cambiar la precisión de la aritmética y valorar si hay diferencias ULPGCLogo en los resultados Luis Alvarez León ()
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Implementar en C el método de Simpson. Los parámetros de la función serán: Los límites del intervalo de integración en precisión real y el número de subintervalos en los que se dividirá el intervalo inicial. La función devolverá el valor de la integral obtenido. Probar el método para aproximar las siguientes integrales con diferentes valores para el parámetro de número de subintervalos y comprobar que el resultado se aproxima al valor exacto de la integral. 1
Rπ
2
R1
3
0
0
sin(x)dx = 2 √x
R∞
1−x 2
−∞ e
dx = 1
−x 2 dx
=
√
π = 1. 772 5
Nota: Las integrales con límites infinitos se aproximarán cambiando el infinito por un número grande. Cambiar la precisión de la aritmética y valorar si hay diferencias ULPGCLogo en los resultados Luis Alvarez León ()
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Rπ
2
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sin(x)dx = 2 √x
R∞
1−x 2
−∞ e
dx = 1
−x 2 dx
=
√
π = 1. 772 5
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Rπ
2
R1
3
0
0
sin(x)dx = 2 √x
R∞
1−x 2
−∞ e
dx = 1
−x 2 dx
=
√
π = 1. 772 5
Nota: Las integrales con límites infinitos se aproximarán cambiando el infinito por un número grande. Cambiar la precisión de la aritmética y valorar si hay diferencias ULPGCLogo en los resultados Luis Alvarez León ()
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Implementar en C el método de Simpson. Los parámetros de la función serán: Los límites del intervalo de integración en precisión real y el número de subintervalos en los que se dividirá el intervalo inicial. La función devolverá el valor de la integral obtenido. Probar el método para aproximar las siguientes integrales con diferentes valores para el parámetro de número de subintervalos y comprobar que el resultado se aproxima al valor exacto de la integral. 1
Rπ
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sin(x)dx = 2 √x
R∞
1−x 2
−∞ e
dx = 1
−x 2 dx
=
√
π = 1. 772 5
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