M´ etodos Num´ ericos (SC–854) Integraci´ on c M. Valenzuela 2007–2008  (1 de abril de 2008)

1.

Definici´ on del problema Dada una funci´ on f (x) se desea calcular la integral definida  xf x0

f (x) dx

(1)

para valores dados de x0 y xf .

2.

Rect´ angulos

Todos los m´etodos que veremos se basan en evaluar la funci´ on f (x) para valores de x y aproximar el a´rea bajo la curva mediante estos puntos. El m´etodo m´as sencillo consiste en aproximar el a´rea bajo la curva mediante rect´ angulos como se muestra en la figura 1. f (x)

A1

x1 x0

A2

x2

A3

x3

A4

x4

···

A5

x5

x6

An

xn

xn+1 xf

x

Figura 1: Aproximaci´ on mediante rect´angulos del a´rea bajo la curva de f (x). El a´rea del i´esimo rect´angulo es Ai = f (xi ) (xi − xi−1 ) .

(2)

Si asumimos que la funci´ on va ser evaluada en puntos uniformemente espaciados, es decir que h = xi+1 − xi es constante para toda i, entonces podemos escribir Ai como Ai = hf (xi ),

(3)

el ´area total es entonces igual a A=

n  i=1

Ai = h

n  i=1

f (xi ).

(4)

Integraci´ on

M´etodos Num´ericos (SC–854)

f (x)

A1

x1 x0

A2

x2

A3

x3

A4

x4

···

A5

x5

x6

An

xn

x

xn+1 xf

Figura 2: Aproximaci´ on mediante trapecios del ´area bajo la curva de f (x).

3.

Trapecios

Podemos obtener una mejor aproximaci´ on al valor de la integral definida si aproximamos el ´area mediante trapecios como se muestr en la figura 2. El a´rea del i´esimo trapecio es Ai =

fi + fi+1 2

(xi+1 − xi ) .

(5)

De nuevo, asumimos que el espaciamiento de los datos es uniforme e igual a h, por lo tanto, Ai = h El a´rea total es A=

n 

Ai =

i=1

fi + fi+1 . 2

(6)

n h (fi + fi+1 ) 2 i=1

(7)

h h A = (f1 + 2f2 + 2f3 + · · · 2fn + fn+1 ) = 2 2

4.



f1 + fn+1 + 2

n 



fi

(8)

i=2

M´ etodo de Romberg

Suponga que se calcula num´ericamente la integral de f (x) para un valor h1 = h, llam´emosle R(1, 1) al valor obtenido. Si despu´es se calcula la integral para h2 = h1 /2, llam´emosle R(2, 1), podemos obtener una mejor estimaci´ on del valor de la integral asum2 iendo que el error es proporcional a h : valor estimado = R(1, 1) + Ch2i 

valor estimado = R(2, 1) + C c M. Valenzuela, 2007–2008 (1 de abril de 2008) 

hi 2

2

(9) (10)

P´agina 2

Integraci´ on

M´etodos Num´ericos (SC–854)

Si eliminamos la constante C podemos despejar el valor estimado para obtener lo siguiente: valor estimado = R(1, 2) =

1 (4R(2, 1) − R(1, 1)) , 3

(11)

donde le hemos llamado R(1, 2) al valor estimado. Ahora, supongamos que obtenemos la integral de f (x) para h3 = h/4, llam´emosle R(3, 1). Podemos calcular un valor estimado de la misma manera, obteniendo que R(2, 2) =

R(2, 1) − R(1, 1) 1 (4R(2, 1) − R(1, 1)) = R(2, 1) + . 3 3

(12)

Ahora, podemos obtener una mejor estimaci´ on del valor de la integral utilizando R(1, 2) y R(2, 2) de la siguiente manera: R(1, 3) =

R(2, 2) − R(1, 2) 1 (16R(2, 2) − R(1, 2)) = R(1, 3) + . 15 15

(13)

De lo anterior, podemos deducir el m´etodo de Romberg. Dado un valor inicial de h, se calcula la integral de f (x) para valores de paso de h, h/2, h/4, h/8, etc. (que es equivalente a que el n´ umero de trapecios sea igual a n, 2n, 4n, 8n, etc.). Al valor de estas integral les llamamos R(1, 1), R(2, 1), R(3, 1), R(4, 1), etc. Con cada valor de R podemos obtener una estimaci´on mejor asumiendo que el error es proporcional al cuadrado del paso utilizado mediante la f´ ormula: R(i, j + 1) = R(i + 1, j) +

R(i + 1, j) − R(i, j) 4j − 1

.

(14)

Los valores de R pueden ordenarse en una tabla al estilo de diferencias divididas como se muestra a continuaci´ on: R(1, 1) R(2, 1) R(3, 1) R(4, 1) R(5, 1)

R(1, 2) R(2, 2) R(3, 2) R(4, 2)

R(1, 3) R(2, 3) R(3, 3)

R(1, 4) R(2, 4)

R(1, 5)

El algoritmo contin´ ua evaluando valores de R(i, 1) hasta que la diferencia del valor absoluto entre las u ´ltimas dos estimaciones de mayor orden obtenidas, sea menor que una toleracia que escoge el usuario. El m´etodo de Romberg se utiliza junto con el m´etodo de trapecios.

5.

Par´ abolas: M´ etodo de Simpson 1/3

El m´etodo de Simpson 1/3 aproxima el a´rea bajo la curva de f (x) mediante par´ abolas como se muestra en la figura 3. Se hace pasar un polinomio de segundo orden por cada tres puntos. El polinomio definido por los puntos xi−1 , xi , y xi+1 puede obtener mediante el polinomio de interpolaci´ on de Newton: P2 (x) = a1 + a2 (x − xi−1 ) + a3 (x − xi−1 )(x − xi ) c M. Valenzuela, 2007–2008 (1 de abril de 2008) 

(15) P´agina 3

Integraci´ on

M´etodos Num´ericos (SC–854)

f (x)

A1

x1 x0

x2

···

A2

x3

x4

x5

An/2

xn−1

xn

xn+1 xf

x

Figura 3: M´etodo de Simpson 1/3. donde a1 = fi−1 fi − fi−1 a2 = h a3 =

(16) (17)

fi−1 − 2fi + fi+1

(18)

2h2

N´ otese que los coeficientes a1 , a2 y a3 var´ıan de segmento a segmento, y por lo tanto, que el polinomio P2 (x) es diferente para cada intervalo de tres puntos. Para simplificar el c´ alcula del a´rea bajo la curva en el intervalo de xi−1 a xi+1 , esto es Ai , se traslada la curva a x = 0 como se muestra en la figura 4. Por lo tanto, el a´rea Aj est´a dada de la siguiente manera:  xi+1 xi−1

 2h

P2 (x) dx =

0



=

(a1 x + a2 x + a3 x(x − h)) dx

x2 a1 x + a2 + a3 2 2

 3 x

= a1 2h + a2 2h + a3



2h

x2 + h 3 2

8h3 + 2h3 3

(20) 

0

2 = a1 2h + a2 2h2 + a3 h3 3 = 2hfi−1 + (fi − fi−1 )2h + = 2hfi−1 + 2hfi − 2hfi+1 +

c M. Valenzuela, 2007–2008 (1 de abril de 2008) 

(19)

(21) (22)

h (fi−1 − 2fi + fi+1 ) 3 h h h fi−1 − 2 fi + fi+1 3 3 3

(23) (24)

P´agina 4

Integraci´ on

M´etodos Num´ericos (SC–854)

f (x) fi+1

fi fi−1 Aj

xi−1

xi

xi+1

0

h

2h

x

Figura 4: C´ alculo del a´rea Aj bajo la curva en [xi−1 , xi+1 ] en el m´etodo de Simpson 1/3.

=

h h h fi−1 + 4 fi + fi+1 3 3 3

(25)

=

h (fi−1 + 4fi + fi+1 ) 3

(26)

El a´rea total es A=



n/2

Aj =

j

A =

h f2j−1 + f2j + f2j+1 3 j=1

h (f1 + 4f2 + 2f3 + 4f4 + 2f5 + · · · + 2fn−1 + 4fn + fn+1 ) 3

(28)

n/2 n/2−1   h ⎝f1 + fn+1 + 4 f2j + 2 f2j+1 ⎠ 3 j=1 j=1

(29)

⎛

=

6.

(27)

⎞

Simpson 3/8

El m´etodo de Simpson 3/8 aproxima el a´rea bajo la curva de f (x) mediante polinomios c´ ubicos. Por cada cuatro puntos se hace pasar un polinomio de tercer orden. Para los puntos xi , xi+1 , xi+2 , xi+3 el ´area bajo la curva es  xi+3 xi

P3 (x) dx =

3h (fi + 3fi+1 + 3fi+2 + fi+3 ) 8

(30)

´ Area total: n/3

A =

3h  (f3j−2 + 3f3j−1 + 3f3j + f3j+1 ) 8 j=1

c M. Valenzuela, 2007–2008 (1 de abril de 2008) 

(31)

P´agina 5

Integraci´ on

M´etodos Num´ericos (SC–854)

=

3h (f1 + 3f2 + 3f3 + 2f4 + 3f5 + 3f6 + · · · + 2fn−2 + 3fn−1 + 3fn + fn+1 ) (32) 8

=

n/3 n/3−1   3h ⎝f1 + fn+1 + 3 (f3j−1 + f3j ) + 2 f3j−2 ⎠ 8 j=1 j=1

⎛

c M. Valenzuela, 2007–2008 (1 de abril de 2008) 

⎞

(33)

P´agina 6