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MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y ACOMPAÑAMIENTO A DOCENTES DE CUNDINAMARCA Y DUITAMA PARA EL DESARROLLO DE LOS NIVELES DE COMPETENCIA DE MATEMÁTICAS Y DISEÑO DE SECUENCIAS DIDÁCTICAS A PARTIR DE LAS EXPERIENCIAS SIGNIFICATIVAS DE LOS MAESTROS

REPRESENTACION DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS EN UN REGISTRO UNIDIMENSIONAL: LA RECTA NUMÉRICA Docentes: Dilia Esther Castro Carrascal Mariela Suárez Ávila Asesora: Teresa Pontón Ladino Universidad del Valle

1. JUSTIFICACIÓN Después de haber encontrado falencias en las pruebas saber específicamente en números fraccionarios, planteamos este trabajo de intervención en el aula. Pensar en una propuesta para la enseñanza de las fracciones nos lleva a reflexionar que quien tenga una buena comprensión de los números racionales tendrá una mejor manera de comprender los fenómenos y situaciones que le rodean, y por tanto, de relacionarse con su

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entorno social y cultural. Ante todo la enseñanza de los números racionales se Justifica por su dimensión pragmática. Para vivir y comprender cabalmente todas las cuestiones cotidianas matematizables de nuestro mundo: Entre otras se pueden citar a manera de ejemplo: áreas, la densidad, velocidad, el interés ganado en una cuenta de ahorros, los descuentos en un almacén, los resultados de una encuesta, etc., es importante una buena comprensión de los números racionales, yo que ellas, o son mediciones, o son razones entre dos o más mediciones, y en ambos casos, los resultados son números racionales. Pero esta dimensión pragmática también se desplaza a la escuela, ya que los números racionales son potentes herramientas conceptuales para otras disciplinas, tales como las ciencias naturales o sociales. En primer lugar los estudiantes presentan dificultad en la comprensión de la unidad como patrón de medida y en la participación de la misma, esto los lleva a tener confusiones en la resolución de problemas o actividades que involucren la comprensión de la unidad geométrica o aritmética y su partición. En virtud de lo anterior se han desarrollado durante los últimos años múltiples investigaciones sobre la enseñanza de estos en los distintos periodos de la escolaridad en que formalmente se presenta. Esta serie de trabajos muestran como el concepto de número racional esta ligado a una red conceptual de gran complejidad y cuyo aprendizaje tardaría un gran periodo de tiempo. En esta red conceptual se pueden identificar, ligadas al concepto de número racional, nociones como las de división, partición, acortamientos, relaciones parte todo, medidas fraccionarias, razones, proporciones, etc. Lo comprensión de esta red conceptual permite el tratamiento didáctico de su enseñanza a través del diseño de situaciones significativas que permitan al alumno trabajar los distintos aspectos que conforman el concepto de número racional. Además las pruebas arrojan resultados negativos en cuanto al sistema espacial y sistemas geométricos, no identifican relaciones de congruencia y semejanza entre figuras, confunden área con superficie y no aplican las dimensiones de las unidades respectivas en situaciones aditivas y multiplicativas. También los estudiantes presentan gran dificultad en la compresión y resolución de problemas que involucren cantidades enteras y más aún si estas son fraccionarias Por tal razón, se hace necesario que los estudiantes de los grados cuarto y quinto de la institución educativa Técnico Agropecuaria San Ramón conozcan el sistema de los números fraccionarios racionalizando su comprensión y puedan operar desarrollando su habilidad en el manejo de este sistema en las formas aditiva y multiplicativa de acuerdo a los estándares que se establecen como las actividades que se organizan y que deben estar

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encaminadas a la comprensión y al uso que tiene este sistema en la vida matemática misma y en el uso cotidiano de los mismos para encontrarle sentido y significado a este sistema de numeración. Aunque existen diferencias entre distintos autores en explicar los múltiples caminos por los cuales el niño accede a significados distintos de las operaciones básicas de las operaciones aritméticas, existe un acuerdo en la necesidad de que la escuela ofrezca en múltiples contextos, variadas oportunidades de modelar situaciones problemáticas con estas operaciones. Estos autores afirman que los estándares de calidad desconocen estos estudios, pero es al lector con base en el análisis que se ofrece en este articulo, juzgar si esta propuesta se soporta en un requisito mínimo que debe exigirse a cualquier planteamiento que pretenda construirse en un referente para el mejoramiento de la calidad educativa en un campo disciplinar especifico de un país, cual es el ser construida sobre las construcciones que la comunidad de expertos en la educación y didáctica en este campo ha ganado, como fruto de las investigaciones y debates realizados a lo largo de muchos años. Dickson, Lerner D, Kamir, Orozco M, Brissiaud R y Castaño J, Otros investigadores, muestran lo complejo que resulta para un niño el apropiarse de la idea de unidad relativa y lograr manejar de forma apropiada un sistema basado unidades de valores diferentes. De igual forma muestran como a los niños les resulta de gran dificultad llegar a la comprensión y manejo adecuado de los algoritmos de las operaciones básicas de la aritmética de los naturales, racionales y como conviene incentivar en un comienzo el aprendizaje de procedimiento no formales más cercanos a las comprensiones ganadas por los niños. Usualmente los estudiantes de los grados cuarto y quinto presentan dificultad en el reconocimiento de la partición de la unidad, la representación en la recta numérica, patrón de medida, equivalencia y operabilidad entre ellos. En el proceso de aprendizaje de las fracciones comúnmente se desarrollan los temas de una manera expositiva por parte del maestro. Primero se presentan las definiciones de acuerdo a la estructura matemática del concepto y seguido se presentan ejemplos. Terminada al exposición con una serie de ejercicios sobre el tema trabajado, los cuales en su mayoría no le exigen al alumno una actividad cognitiva significativa que le implique un tipo de razonamiento, sino que los lleva a una repetición de un modelo determinado, terminando en la mecanización de algoritmos. Otra forma de llevar acabo este proceso es la presentación de una serie de ejercicios para que los alumnos “construyan” el concepto, terminando con un conjunto de ejercicios, donde el alumno debe mecanizar lo visto en las actividades. Es importante centrar nuestra atención, desde la perspectiva propuesta, que en este proceso se privilegia el uso de un sólo sistema de representación semiótica; es

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decir una enseñanza monoregistro, en la lengua natural, ó en el registro numérico ó en el registro simbólico, sin exigir tratamientos u operaciones entre estos y por ende sin los procesos de conversión entre ellos. Es decir, se trata de lo que se ha dado en llamar una enseñanza monoregistro. Debido a la aplicación mecánica de algoritmos en un discurso monoregistro, el alumno ausente de un proceso significativo, no logrando comprender, evaluar, cuestionar o sustentar sus respuestas a la luz de una situación problema planteada, sin lograr generar algún tipo de razonamiento que le permita plantear o sustentar sus hipótesis de trabajo. La comprensión de la división de la unidad es decir pasar del concepto de Natural al concepto de número Fraccionario se necesita haber abarcado un trabajado sobre la unidad, su partición en partes congruentes tomando el status de número (teniendo en cuenta unidades fraccionarias

1 1 1 1 , , , ,... ) sin 2 3 4 5

perder la noción de la unidad, así como una extensión de significados en el concepto del número fraccionario en cualquier situación dada, es decir saberlo contextualizar. El paso que se da del número Natural al número Racional implica la comprensión de procesos de medición y partición de una unidad en el marco de situaciones en donde la unidad de medida no este contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir o en las que se hace necesario expresar una magnitud en relación con otras magnitudes como por ejemplo relacionar fracciones, números mixtos y números decimales. El hecho de saber contextualizar el sistema de los números fraccionarios debe llevar al estudiante a interpretar las fracciones en diferentes contextos. Autores como Kieren (1993), entre otros, señalan que las particiones y reparticiones en partes iguales ocupan un lugar privilegiado en la escogencia de las competencias de base requeridas para el aprendizaje de las fracciones. Brousseau (1981, 1986-b) otro autor reconocido ha insistido sobre la distinción entre fracción, medida y operación lineal en la construcción, para que los estudiantes puedan observar los modelos matemáticos destinados a generar situaciones a partir de problemas físicos que pueden generar ciertos resultados (racionales). Por otro lado los contextos discretos o continuos son relevantes a las diferentes maneras de realizar las aprehensiones al realizar las particiones y reparticiones (Steffe and Olive; 1990), (Streefland; 1991). Por su parte Duady (1986) privilegia las interacciones entre marcos matemáticos y físicos, para plantear problemas que generen invariantes necesarias para la conceptualización de número racional. Estudios didácticos como los realizados Gallardo y Rojano (1988), Vasco (1994), Rojano (1994), Ohlsson (1988), Mancera (1992), Jiménez (), Obando (1999),

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Freudenthal (1994), Martínez C y Lascano M (1999), Llenares. S y Sánchez. M (1998). Carretero (1986, 1987 y 1989), están centradas en la propuesta de líneas generales para la construcción dentro del contexto escolar de los números Racionales y algunos de ellos han permitido el estudio de variables desde lo cognitivo. Todas estas investigaciones logran brindar elementos de análisis frente a la complejidad de la construcción y enseñanza de las relaciones fraccionarias debido a la variedad de significantes problemas además de conocer sus características y propiedades. Un número Racional

a tienen muchas interpretaciones, lo que determina b

como objetivo de enseñanza que los alumnos lleguen a dotar de significado a las diferentes interpretaciones, pero también establecer relaciones entre ellas. Cuatro son las interpretaciones que vamos a considerar: medida, reparto, operador y razón. a. Medida: Relación de una parte y de un todo (sea este continuo o discreto), Las situaciones que configuran esta interpretación del número racional implican situaciones de medida y por tanto consideran un todo dividido en partes. El número racional indica la relación entre la parte y 4 5 el todo, ejemplo: Pedro se ha comido de una pizza. de las fichas 5 3 que tengo son rojas. Juan ha pintado el 60% de la pared. Los modos de representación que se pueden usar son: las que se apoyan en el modelo área:

4 Una representación de , considerando el rectángulo grande como la 5 unidad y para indicar la relación entre la parte sombreada y el rectángulo 1 grande (ó una representación de considerando el rectángulo grande 5 como unidad) y para indicar la relación entre los rectángulos sin sombrear y el rectángulo grande. 5 Una representación de si consideramos la parte sombreada la unidad. 3 Las que se apoyan en el modelo conjunto (magnitud discreta)

El modelo conjunto puede ser:

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3 si la unidad es el conjunto total de fichas y la 5 parte el grupo de fichas sombreadas y considerando cada fracción unitaria (1/n), formada por en grupo de dos fichas. 6 1 en el caso anterior si consideramos cada fracción unitaria ( ) 10 n formada por un grupo de una ficha. 5 si la unidad es el grupo de fichas sombreadas y la parte del grupo 3 1 total de fichas considerando la fracción unitaria formada por dos 3 fichas. 10/6 en el caso anterior con cada fracción unitaria formada por una ficha.

Una representación de

La otra idea importante en la interpretación medida es la noción de parte (subgrupos) equivalente. En este sentido la parte puede estar subdividida en otras partes. El tamaño (la cantidad), de una subparte (subgrupo) depende del número de partes que se realicen. La manera en la que pensemos sobre la unidad y la parte nos proporcionará 3 6 representaciones simbólicas diferentes, por ejemplo: = 5 10 La noción de equivalencia se apoya en la idea de realizar diferentes divisiones que resultan en la misma relación entre la parte y el todo. b. Reparto: Cociente y números decimales. Los números racionales pueden ser vistos como un cociente, es decir, como el resultado de una división en situaciones de reparto, por ejemplo: Juan tiene que repartir 3 pizzas entre 5 amigos. ¿Qué fracción de pizza le 3 corresponde a cada amigo?, es la cantidad de pizza que le corresponde 5 a cada amigo de Juan, en la situación de reparto anterior. En este tipo de actividades lo que importa es el proceso a través del cual los alumnos hacen el reparto. 1 Por ejemplo: Un alumno puede dividir tres pizzas en mitades ( ) y dar a 2 cada uno de los 5 niños una mitad de pizza, y le sobra otra mitad. A continuación divide esta mitad en 5 partes y da a cada uno de los niños 1 1 una de esas partes ( de ). 5 2

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Estas situaciones de reparto llevan implícita la idea de que la parte que le toca a cada niño es equivalente en tamaño (partes congruentes) aunque no necesariamente de la misma forma. Las ideas de suma y equivalencia aparecen de manera natural en este tipo de situaciones. Por otra parte la idea de división está intrínsicamente vinculada a la idea de número racional. Las fracciones decimales se forman con divisiones en 10 partes de una unidad, y realizando divisiones sucesivas. En este caso, situar un número racional en la recta numérica depende de la división de la unidad en partes equivalentes. El significado de la fracción como cociente puede producir, al realizar la división, una expresión decimal finito o infinito. Por ejemplo: 1 Produce una expresión decimal infinita: 0,33333.... • 3 1 • Produce una expresión finita: 0,25 4 Las expresiones decimales finitas tienen la ventaja de que es posible encontrar una “fracción decimal equivalente” y por tanto una fracción equivalente con el denominador, con potencias de 5 y 2 (los divisores de 10) 1 = 0,25 = 25/100 Por ejemplo: 4 Los decimales finitos se pueden usar para aproximar cualquier número con la exactitud deseada. c. Operador: Significado funcional de la preposición “de” La interpretación del número racional como operador se apoya en el significado de función. Un número racional actuando sobre una parte, un 3 grupo o un número modificándolo. Por ejemplo: “ ” es visto como una 5 sucesión de “multiplicar por 3 y dividir por 5” (ó dividir por 5 y multiplicar por 3). 3 1 P de P = de (3P) = 3 ( ) 5 5 5 3 Es decir “ de” significa: 5 3 - 3 veces de la unidad 5 1 de (3 veces la unidad) 5

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En contextos físicos la interpretación operador está vinculada a aumentos o disminuciones. El operador “3/5 de” es la sucesión de una multiplicación (hace una cantidad tres veces su cantidad original) y una división (reduce una cantidad 1/5 de su tamaño inicial). 3 Reducir la longitud del siguiente segmento en de la longitud inicial 5

3 proporciona la 5 relación entre el número inicial y el resultado. Una representación de los resultados producidos por un número racional como operador en una tabla:

Con la interpretación operador el número racional

Entrada Salida

10 6

15 9

20 12

50 30

Dada una tabla los alumnos pueden realizar actividades de identificar el operador, o identificar la salida dada una entrada (ó viceversa, la entrada dada una salida). d. Razón: Índice comparativo Una razón es una comparación de dos cantidades (de igual o diferente magnitud). 12 La razón 12 Km. en 9 minutos ( ) compara Kilómetros y minutos. 9 4 La razón 4 huevos blancos por 2 huevos rojos en un a.C. de huevos ( ). 2 2 La razón 4 huevos blancos en el a.C. de 6 huevos ( ) 3 La información que proporciona una razón es distinta del sentido cardinal de los números naturales. Las razones pueden ser comparaciones parte – parte en un conjunto o comparaciones parte – todo. Ejemplos: La relación entre chicos y chicas en el aula es 3 chicas pro cada 2 chicos (3: 2) Una planta medía 11 cm a las dos semanas medía 14 cm. ¿Cuánto ha

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3 ). 11 El 33 % de los alumnos han suspendido el examen de matemáticas (33:100). En los ejemplos anteriores, la relación entre chicos y chicas es una comparación parte – parte del conjunto total de la clase. En esta situación nosotros no conocemos cual es el número total de alumnos de la clase, pero lo razón nos da información sobre la relación entre chicos y chicas. El último ejemplo muestra un índice comparativo estandarizado, un porcentaje que muestra una comparación parte – todo (33 de 100).

crecido el relación a lo que medía hace dos semanas? (

Con referencia a una interpretación muy potente para los grados de cuarto y quinto, es necesario detallar el estudio realizado por Martínez C y Lascano, M, (1999) donde establecen variables pertinentes de la delación parte _ todo: e.

Relación parte – todo:

Para el caso de la interpretación de la fracción como relación parte – todo, Piaget, Inhelder y Szeminska (1960 citado en Linares y Sánchez, 1988, pp 80 y 81) proponen siete atributos que caracterizan dicha relación. 1. Un todo está compuesto por elementos separables, una región o superficie es vista como divisible. 2. La separación se puede realizar en un número determinado de partes. El “todo” se puede dividir en el número de partes pedido 3. Las subdivisiones cubren el todo; ya que algunos niños cuando se les pedía dividir un pastel entre tres muñecos, cortaban tres trozos e ignoraban el resto. 4. El número de partes no coincide con el número de cortes. 5. Los trozos – partes- son iguales. Las partes tienen que ser del mismo tamaño- congruentes. 6. Las partes también se pueden considerar como totalidad (un octavo de un todo se puede obtener dividiendo los cuartos en mitades). 7. El “todo” se conserva Más adelante, Payne (1976, citado en Linares y Sánchez, 1988, p.81) propone otros cuatro atributos que ve como esenciales a esta interpretación de la fracción: manejar el control simbólico de las fracciones; considerar las relaciones parte - todo en contextos continuos y discretos. Trabajar con fracciones mayores que la unidad y reconocer subdivisiones equivalentes, por ejemplo, notar que un tercio es equivalente a dos sextos, a tres novenos, etc. Con respecto al proyecto de diseño de una secuencia didáctica se tuvo como propósito posibilitar en los estudiantes el reconocimiento y la apropiación de los atributos de la fracción como relación parte – todo. Al

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desarrollar esta secuencia se observaron varias dificultades en los estudiantes: Una relacionada con el uso inadecuado de instrumentos de dibujo y medida como la regla, la escuadra, el compás y el transportador; y las otras relacionadas con el reconocimiento y la apropiación de algunos de los atributos de la fracción en el contexto de su interpretación como relación parte – todo. El artículo se divide en dos partes. En la primera se da cuenta de algunas características del contexto en el que se desarrolló la experiencia e incluye un resumen descriptivo de la secuencia didáctica. En la segunda, se exponen propiamente las evidencias que apoyan la existencia de las dificultades a las que hemos hecho referencia. Al trabajar sobre fracciones como relación parte- todo es necesario realizar acciones sobre un todo(unidad) una vez que el todo ha sido o está siendo rajado, cortado, rebanado, roto o dividido y coloreado en partes iguales o se imagina o piensa como si lo fuera, queda constituida la fracción. Una vez constituida, ésta pasa a ser el resultado de una acción física o mental. Surge entonces, la necesidad de comunicar la acción y su resultado a través del lenguaje que puede ser oral, gráfico, escrito en palabras y/o escrito en símbolos numéricos propios de las matemáticas. Así, pues aparecen las diversas representaciones que ponen de manifiesto la relación que se establece entre las partes y el todo y se dota de sentido y significado a la fracción en su interpretación como relación parte-todo y al símbolo matemático que la representa. La fracción como relación parte –todo es además generadora de símbolos y lenguaje. Por otra parte, diferentes análisis y estudios que han realizado pedagogos para la enseñanza de las matemáticas desde varios puntos de vista o perspectivas han mostrado que los estudiantes conceptualizan el sistema numérico de los naturales operándolos y relacionándolos de acuerdo a sus experiencias y enseñanza que aprenden en la escuela. Autores como Brissiaud y Kamii coinciden que la comprensión del número es mucho más que el aprendizaje de la sucesión numérica y el aprendizaje de la lectura y escritura de los numerales, consideran que es ante todo el proceso de apropiarse de un sistema de signos como herramienta cultural en diferentes contextos en los cuales los niños tengan que resolver problemas relativos a la comparación de la extensión de las cantidades de varias colecciones. El análisis que estos autores ofrecen a los estándares relativos a los números fraccionarios y su representación decimal, utilizan la representación fraccionaria o decimal, lo muestra la importancia de la variedad de representaciones para la significación de estas cantidades. No es solo un sistema de signos que tiene una sintaxis, sino un conjunto de signos que tienen una reglas de tratamiento y de conversión a otros registros que permiten dominar el concepto. Carlos Eduardo Vasco, uno de los pedagogos que se ha interesado por la

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enseñanza de las matemáticas teniendo en cuenta los lineamientos curriculares, estándares de calidad competencias y desempeños plantea que no es difícil distinguir las competencias de los desempeños pues no puede saberse si alguien tiene una determinada competencia a menos que logre un desempeño aceptable en tareas especificas relacionadas con ella. A partir del documento de Carlos Vasco. “El archipiélago de los fraccionarios”. Plantea que el pensamiento matemático y sistemas numéricos, afirma que el paso del concepto de número natural al concepto de número Racional necesita una reconceptualización de la unidad y del proceso mismo de medir, así como una extensión del concepto de número. El paso del número natural al número racional implica la comprensión de líneas medidas en situaciones en donde la unidad de medida no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir o el las que es necesario expresar una magnitud en relación con otras magnitudes, las primeras situaciones llevan al número racional como medidor o como operador ampliador o reductor( algunos de estos últimos considerados algunas veces como partidores o fraccionadores de la unidad en partes iguales ), representado usualmente por una fracción como tres cuartos o por un decimal como 0,75 o por un porcentaje como el 75 % . Las otras situaciones llevan al número racional como razón, expresado a veces por frases como, tres de cuatro, o tres de cada cuatro, o la relación de tres a cuatro, o por la abreviatura 3:4. Exigirse un buen desempeño a quien no tenga la competencia respectiva. Por esta razón afirma que los estándares básicos de calidad están orientados más a las competencias que a los contenidos temáticos, sin excluir estos últimos, se llamara desempeño a la manera como el estudiante responde a las muchas experiencias u otras tareas propicias para saber si alcanzo o no estos estándares. Los estándares tienen en cuenta tres aspectos que deben estar presentes en la actividad matemática y que fueron sugeridos en los Lineamientos curriculares para el área como procesos generales: el planteamiento y la resolución de problemas, el razonamiento y la comunicación, Estos procesos hacen referencia a las habilidades mentales que se desarrollan de manera gradual e integral en el ejercicio de las matemáticas. Planteamiento y Resolución de problemas. Este aspecto ser refiere al desarrollo de habilidades para comprender, proponer y resolver situaciones no solo de área de matemáticas sino de la vida cotidiana. La resolución de problemas debe ser eje central del currículo de matemáticas y como tal, debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte integral de la actividad matemática.

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Se propone considerar en el currículo de matemáticas: • Formulación de problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas. • Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas. • Verificación e interpretación de resultados a la luz del problema original. • Generalización de soluciones y estrategias para nuevas situaciones de problemas. • Adquisición de confianza en el uso significativo de las matemáticas. Los trabajos sobre resolución de Problemas se consideran bajo dos perspectivas: • Una como estrategia didáctica que permite la interacción con situaciones problémicas para fines pedagógicos. • Otra, como objetivo general del área para desarrollar la capacidad de resolución de problemas fundamental en toda la educación básica. Razonamiento Matemático Se entiende por razonar a la acción de pensar, analizar y organizar ideas para llegar a una conclusión. El razonamiento está estrechamente relacionado con las matemáticas como comunicación, como modelación, y como procedimientos. Razonar en matemáticas tiene que ver con: • Dar cuenta del cómo y el porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones. • Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas. • Formular hipótesis, hace conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos. • Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente • Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas, más que una memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar. Comunicación Matemática La comunicación se refiere a la habilidad necesaria para expresar conceptos, explicar procedimientos y emitir opiniones. • Diversos estudios han identificado la comunicación como uno de los procesos más importantes para aprender matemáticas y resolver problemas. • La comunicación es la esencia de la enseñanza, el aprendizaje y la

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evaluación de las matemáticas. • Un ambiente que facilite la comunicación en matemáticas debe permitir. .- Adquirir seguridad para hacer conjeturas, para preguntar porqué, para explicar su razonamiento, para argumentar y para resolver problemas. .- Motivar a hacer preguntas y a expresar aquellas que no se atreven a exteriorizar. .- Leer, interpretar y conducir investigaciones matemáticas en clase: discutir, escuchar y negociar frecuentemente sus ideas con otros estudiantes en forma individual, en pequeños grupos y con la clase completa. .- Escribir sobre las matemáticas y sobre sus impresiones y creencias tanto en informes de grupo como en diarios personales, tareas en casa y actividades de evaluación. .- Hacer informes orales en clase mediante gráficos, palabras, ecuaciones, tablas y representaciones físicas. .- Pasar frecuentemente del lenguaje de la vida diaria al lenguaje de las matemáticas y al de la tecnología. Los lineamientos curriculares hacen referencia a otros dos aspectos fundamentales en la educación matemática: la modelación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. Los estándares están organizados en cinco tipos de pensamiento matemático que están relacionados con los conocimientos básicos propuestos en los lineamientos curriculares y que tienen que ver con los procesos específicos que desarrollan el pensamiento matemático, y con sistemas propios de las matemáticas. Pensamiento Numérico y sistemas numéricos. Se refiere a la compresión general que tiene una persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a usar esta compresión en formas flexibles para hace juicios matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones. Incluye la compresión de los números y de la numeración, la compresión del concepto de las operaciones, sus propiedades, las relaciones entre ellas, los cálculos y las aplicaciones de dichas operaciones a diferentes contextos. Pensamiento Espacial y sistemas geométricos. Se considera como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del

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espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones materiales. Hace referencia al análisis de las propiedades de los espacios en dos y tres dimensiones y las formas y figuras que contienen. Pensamiento Métrico y sistemas de Medidas. Se refiere a la compresión de las características mensurables de objetos tangibles e intangibles. Incluye la construcción de conceptos de cada magnitud, la compresión de procesos de conservación de magnitudes, la estimación y la selección de unidades de medida, entre otros. Pensamiento Aleatorio y sistemas de Datos. Se desarrolla mediante contenidos de probabilidad y estadística pero en un ambiente permanente de exploración y de investigación. Crea la necesidad de utilizar con más frecuencia el pensamiento inductivo y hacer énfasis en la recolección, organización e interpretación conjuntos de datos. Pensamiento Variación al y sistemas algebraicos y analíticos. Implica dejar de trabajar los contenidos de matemáticas de una manera fragmentada y, por el contrario, involucrar conceptos y procedimientos relacionados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas de la cotidianidad, de las ciencias y de la matemática misma. Se refiere al concepto de variable y de función, al estudio de patrones y de representaciones gráficas y a las relaciones entre ellos. El lineamiento que habla específicamente del tema de los fraccionarios, identifica los números naturales y los racionales positivos en su expresión decimal y fraccionaria, los usa en diferentes contextos y los representa de distintas formas. Por tal razón este proyecto conlleva a hacer una reflexión y transformación en los nuevas propuestas de aula para el abordaje de las matemáticas, mediante el desarrollo del pensamiento numérico y a través de prácticas cotidianas significativas que ayuden a desarrollar su pensamiento numérico, su operabilidad y sus relaciones numéricas con otros sistemas de equivalencia, utilizando el registro unidimensional de la recta numérica para que los estudiantes de los grados cuarto y quinto reconozcan el significado de la partición de la unidad, la representación en la recta numérica, el uso de patrones de medida fraccionarios, equivalencias, relaciones de orden y operabilidad entre ello, siempre reconociendo el papel de la unidad. Al

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trabajar las fracciones como relación parte todo, se hace necesario ejecutar acciones sobre la unidad como base fundamental; es decir sobre un todo, una vez que se ha fraccionado con diferentes sistemas que pueden ser: sombrear, cortar, recortar, etc. en partes iguales de la unidad quedando constituida la fracción como parte de un todo. Así aparecen las diferentes representaciones que dan evidencia de la relación que se establece entre las partes y el todo y se dota de sentido y significado a la fracción en su interpretación como relación parte-todo y al símbolo matemático que representa la fracción. Con este enfoque la propuesta que se hace para la enseñanza del sistema numérico fraccionario es la de quiere brindar al estudiante la oportunidad de transitar a través de las diferentes representaciones de la unidad convertida en fracción en forma concreta grafica, verbal y numérica.

2. OBJETIVO GENERAL

Significar la representación fraccionaria con actividades potentes en la recta numérica que generen el concepto de unidad, relaciones de orden y subdivisión a partir de patrones de medida fraccionaria. 3. LOGROS 1. Reconocer el orden numérico e identificar la unidad que gradúa regularmente la recta. 2. Identificar las posibles subdivisiones que se pueden realizar en la recta numérica a partir de un punto señalado y reconocer las unidades enteras entre fracciones dadas.

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3. Reconocer en el registro unidimensional (recta numérica) relaciones de orden entre cantidades fraccionarias. 4. Reconocer que las fracciones equivalentes ocupan un mismo punto en la recta numérica. 5. Reconocer que mediante el uso adecuado de la recta numérica podemos encontrar un número entero entre dos fracciones. INDICADORES DE LOGROS 1. Ubica en la recta números enteros positivos. 2. Ubica en la recta numérica números enteros dado.

enteros entre dos números

3. Ubica el número entero o fraccionario que corresponde al punto señalado por la flecha en la recta numérica graduada regularmente. 4. Establece las unidades enteras en representación fraccionaria. 5. Fracciona

unidades

fraccionarias

enteras

1 1 1 1 , , , ,... en 2 3 4 5

de

partes

acuerdo

a

congruentes

las

unidades

utilizando

la

graduación de la recta. 6. Ordena las fracciones de menor a mayor en la recta numérica y realiza una graduación regular de acuerdo a la unidad fraccionaria

1 1 1 1 , , , ,... . 2 3 4 5

7. Reconoce fracciones que sean equivalentes a números enteros en la recta numérica. 8. Determina diferentes representaciones fraccionarias ubicadas en un mismo punto de la recta numérica. 9. Ubica dos expresiones equivalentes que representen los puntos señalados.

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10. Intercala un entero entre los dos fraccionarios utilizando la recta numérica. 11. Ubica las fracciones en la recta graduada señalando con flechas. 12. Dada algunas fracciones ubica cada una en la correspondiente unidad. 4. METODOLOGÍA Se parte del reconocimiento de que los procesos de enseñanza y aprendizaje se producen siempre en un contexto social que en caso de la educación formal es la institución escolar y el aula. En dicho contexto se produce siempre un proceso de interacción entre el profesor y el estudiante y objeto de conocimiento. Es por ello que la metodología utilizada para el desarrollo de las clases y/o actividades que están enmarcadas en este proyecto se da principalmente a partir de un trabajo individual inicial, donde el estudiante formula posibles hipótesis de solución frente al reconocimiento y representación de fraccionarios, luego se realiza el proceso de socialización por parte de los estudiantes y la complementación y ampliación por parte de la profesora, se establece un diálogo bilateral dando la posibilidad de que los estudiantes sean participantes activos del proceso. Los educadores deben manejar con seguridad algunos conceptos como: medida, operador y razón que le permitan desarrollar los ejercicios propuestos. El proyecto cuenta con cinco actividades las cuales llevan un desarrollo secuencial para cumplir los indicadores de logro, obteniendo así un resultado satisfactorio. El maestro hará una clara explicación y orientación de las tareas a realizar en cada actividad asegurándose de que sea comprendido el sentido de la actividad y las consignas para su óptimo desarrollo. Finalmente se realizan talleres y se dan explicaciones generales que permitan establecer las regularidades de la representación fraccionaria en un registro unidimensional y bidimensional. Una vez terminado cada taller se procederá a su socialización, exigiendo por parte de los alumnos una argumentación de sus procedimientos con el fin de contrastar su pertinencia en la solución del problema y así validar e institucionalizar el más potente desde el punto de vista matemático. En la aplicación de esta secuencia didáctica es fundamental que se den los tres momentos de trabajo planteados. El trabajo en gran grupo, el cual se

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hace con el fin de plantear situaciones problemas que actualicen conceptos que se introducen en el área, indagar los conocimientos previos que poseen los niños acerca de estos nuevos temas, explicar las tareas y consignas de cada actividad y resolver dudas e inquietudes de los estudiantes. El trabajo en pequeño grupo se hace importante por la potencia que tiene a nivel de movilizar conocimiento matemático, al posibilitar los intercambios de puntos de vista con fines de validación y objetivización de dicho conocimiento (de un conocimiento científico). En este aspecto es valioso agregar al concepto de Zona de Desarrollo Próximo que plantea Vygostski. “La Zona de Desarrollo Próximo, es contra lo que se puede pensar, no es una cualidad intrínseca al sujeto aprendiz sino que se genera cada vez en cada nueva interacción. Así mismo, cae decir que la Zona de Desarrollo próxima no es única ni polivalente para todos los sujetos, sino que con cada nuevo compañero de actividad se generará en el individuo aprendiz una zona de Desarrollo próximo diferente en función de la diferencia que exista entre el nivel de competencia real del aprendiz y, a su vez, el nivel de interacción que se dé entre ambas personas”1.

Por lo tanto, el trabajo en pequeños grupos más que entenderse como una estrategia metodológica es una forma de entender la organización social de la clase en función de la institucionalización de los conocimientos científicos. Esta forma de intervención permite a su vez, hacer un seguimiento de la actividad cognitiva de cada niño durante todo el proceso de la secuencia didáctica.

Brown, A. L. Y French, L. A. (1979). The zone of proximal development: implications for intelligence testing in the year 2000. En: R.J. Sternberg y D.K. Detterman (eds). Human intelligence. Norwood, NJ: Ablex. 1

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DISEÑO DE LA ACTIVIDAD Nº 1 La actividad esta diseñada utilizando la recta numérica graduada regularmente para el reconocimiento del orden numérico, y la utilización de la unidad de medida y la subdivisión de la misma. Análisis matemático: En el primer punto de la actividad se les da a los estudiantes la recta graduada de uno en uno, para que ellos ubiquen tres enteros teniendo en cuenta el orden y la distancia con el cero. En la segunda parte de la actividad se les da algunos puntos en la recta y el estudiante debe hacer las subdivisiones teniendo en cuenta la unidad base de la recta (1). En el primer punto de la parte B, se les da los puntos (2,5) de manera que el reconozca que entre dos y cinco hay tres unidades y que entre cero y dos hay dos unidades, de tal manera que los enteros que están entre dos y cinco pueden ser 3 ó 4. En el segundo punto se les da los enteros (1,5) de tal manera que logre reconocer que entre uno y cinco hay cuatro unidades, y los números enteros que se pueden identificar son: 2,3, ó 4. En el tercer punto de la parte B, se les da los enteros (3,7), de tal manera que logre reconocer que entre tres y siete hay cuatro unidades y los número enteros que se pueden identificar son: 4,5 ó 6. En el cuarto punto de la parte B, se les da los enteros (5,8) de tal manera que logre reconocer que entre cinco y ocho hay tres unidades, y los números enteros que se pueden identificar son: 6 ó 7.

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CONTENIDO DE LA ACTIVIDAD 1

NOMBRE DEL ESTUDIANTE________________________________________________ GRADO__________________ FECHA:________________________ A. Ubica los siguientes números en la recta numérica. 1, 8, 10.

0 B. Ubica un número entero entre los números dados ( debes dividir la recta en unidades ) a. (2, 5)

0

5

2

B. (1, 5)

0

1

5

C. (3, 7)

0

3

7

D. (5, 8)

0

5

8

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DISEÑO DE LA ACTIVIDAD Nº 2 La actividad esta diseñada utilizando la recta numérica graduada regularmente para reconocer las unidades enteras y unidades fraccionadas, de igual manera se identifican los números mixtos. Con esta actividad se induce a los estudiantes a reconocer la conversión de un numero mixto a un fraccionario identificando las veces que cabe la unidad fraccionaria en las unidades enteras .Ej.: una unidad entera y un medio equivale a dos medios y otro medio (ya que una unidad es igual a dos medios) en total un entero y un medio a tres medios. Además en la segunda parte de la actividad se hace énfasis en establecer la relación entre unidades fraccionarias y unidades enteras. Ej.: Una unidad entera es igual a dos medios. Tres tercios es igual a cuatro cuartos 2 unidades enteras son iguales a cuatro medios Seis tercios es igual a ocho cuartos Es decir un entero se puede expresar de diferentes formas dependiendo de la unidad de medida. Análisis matemático En esta actividad se les da la escala graduada de cero a seis y se debe subdividir esa escala de acuerdo a la unidad fraccionaria, en medios y tercios, de tal manera que el estudiante ubique cantidades mayores que la unidad, por ejemplo:

Asociando números enteros con fracciones, o en términos de fracciones ubicando cuantas unidades fraccionarias hay en siete unidades de 1/3 o tres unidades de ½. En la segunda parte de la actividad los estudiantes logran asociar esa representación entera con diferentes representaciones fraccionarias, dependiendo de la unidad fraccionaria escogida. Por ejemplo; una unidad es igual a cuatro unidades de un cuarto, ó tres unidades de tercios, ó cinco unidades de quintos ú ocho unidades de octavos.

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CONTENIDO DE LA ACTIVIDAD 2

NOMBRE DEL ESTUDIANTE________________________________________________ GRADO__________________ FECHA: ________________________ A. Ubica el número que corresponde al punto señalado por la flecha.

0

1

3

2

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

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B. Establece las medidas enteras que corresponden a las siguientes

fracciones (utiliza la recta numérica).

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DISEÑO DE LA ACTIVIDAD Nº 3 Con estas actividades el estudiante parte de un cuarto para subdividir la unidad en cuatro partes congruentes, utiliza fracciones que sean equivalentes a números enteros. Ej.: Doce cuartos = a tres Cuatro cuartos = a uno De igual manera razona sobre estas cantidades en relación a la ubicación en un registro unidimensional. Análisis matemático En la primera y segunda parte de esta actividad se les da la recta regulada y los estudiantes deben establecer relaciones de orden entre fracciones de igual unidad fraccionaria, ejemplo: cuartos, tercios. En la tercera parte se dan diferentes unidades fraccionarias, cuartos, tercios, medios y simultáneamente se pueden hacer subdivisiones.

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CONTENIDO DE LA ACTIVIDAD 3

NOMBRE DEL ESTUDIANTE___________________________________________________ GRADO__________________ FECHA: __________________________ A.

Ordena las funciones de menor a mayor en la recta numérica. Realiza una graduación regular de acuerdo a la unidad fraccionaria. ,

0

,

1

,

2

3

4

5

2

3

4

5

B. ,

0

,

1

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DISEÑO DE LA ACTIVIDAD Nº 4 En esta actividad se les da diferentes fracciones, ellos deben reconocer las equivalentes, ubicarlas en la recta numérica y determinar dichas equivalencias por suposición, es decir que se ubican en un mismo punto. Análisis matemático Mediante esta actividad el estudiante tiene la posibilidad de ubicar en la recta numérica fracciones localizadas en un mismo punto, de igual manera identificar que dichas fracciones son equivalentes. Al finalizar esta actividad se pretende que el estudiante realice diferentes ejercicios reconociendo las fracciones equivalentes y asumiendo diferentes representaciones fraccionarias para un número entero.

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CONTENIDO DE LA ACTIVIDAD 4

NOMBRE DEL ESTUDIANTE_________________________________________________ GRADO__________________ FECHA: ________________________ A. Determina cuál de las siguientes fracciones están ubicadas en un mismo punto de la recta numérica. Únelas con líneas.

B. Ubica dos expresiones equivalentes que representen los puntos señalados (mirar el ejemplo).

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DISEÑO DE LA ACTIVIDAD Nº 5 La actividad está diseñada para que los estudiantes utilicen la recta numérica y comprueben que podemos encontrar un número entero entre dos fracciones. Al finalizar la actividad podrán encontrar algunas fracciones dadas en la correspondiente unidad. Análisis matemático En la parte A de la actividad se les da parejas de números fraccionarios y el estudiante debe encontrar un número entero entre las dos fracciones, utilizando la recta numérica. En un primer momento las fracciones están dadas en un mismo patrón fraccionario (tercios, quintos) y en otra parte de la actividad se cambian patrones fraccionarios: cuartos con tercios y octavos con séptimos. En la parte B se les da la recta graduada para que el estudiante ubique fracciones según las indicaciones dadas teniendo en cuenta todo lo construido en las otras actividades. En la parte C de la actividad se les dan diferentes unidades bidimensionales, deben reconocer los fraccionarios dados dependiendo de la subdivisión de las superficies dadas.

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CONTENIDO DE LA ACTIVIDAD 5 INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEPARTAMENTAL TÉCNICO AGROPECUARIO SAN RAMÓN FUNZA NOMBRE DEL ESTUDIANTE___________________________________________________ GRADO__________________ FECHA: __________________________ A. Intercala un entero entre los dos fraccionarios. (Utiliza la recta si deseas).

B. Ubica los segmentos fraccionarios en la recta graduada (señala con flecha)

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C. Cada una de las siguientes fracciones corresponde a las subdivisiones de las unidades. Ubica cada una en la correspondiente unidad.

1 2 , , 3 5

4 3 , 6 4

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ANÁLISIS A POSTERIORI DE LA ACTIVIDAD ACTIVIDAD 1 En esta actividad los estudiantes lograron reconocer el orden numérico, el concepto de patrón de medida, la utilización de la unidad de medida y la subdivisión de la misma. También es una actividad muy potente para el adecuado uso de la regla, utilizando la correspondencia entre las unidades métricas y los segmentos a ser medidos; iniciando desde cero y conservando el orden. ACTIVIDAD 2 Se utilizó la recta numérica graduada regularmente, los alumnos reconocieron las unidades enteras y unidades fraccionarias, también identificaron los números mixtos, reconociendo que representaban cantidades que eran mas grande que las unidades enteras. Además lograron establecer relaciones de equivalencias entre cantidades representadas como números mixtos a expresiones fraccionarias identificando las equivalencias de las unidades completas con las relaciones fraccionarias. Ejemplos: A3_ Cuarto

A19_ Quinto

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A_2 Quinto

ACTIVIDAD 3 Los estudiantes presentaron dificultades principalmente en el manejo de la regla, confunden unidades longitudinales como cm, dm, mm, al trabajar en la recta numérica. Algunos niños lo realizaron contando de uno en uno, ubicando el comienzo de la recta numérica (como el inicio de la “flecha”) y no la ubicación del cero. Algunos niños presentaron dificultad al tomar un patrón de medida exacto para subdividir la unidad, pues para ello se debía dividir un número entero entre el número de partes deseadas y en algunos casos la división daba un número decimal, lo cual dificultaba la medición. ACTIVIDAD 4 En esta actividad los estudiantes lograron establecer relaciones de orden entre fracciones de igual unidad fraccionaria, como por ejemplo medios, tercios, quintos y simultáneamente pudieron hacer las respectivas subdivisiones. Por otro lado, en esta actividad los estudiantes lograron reconocer las diferentes equivalencias, ubicándolas en la recta numérica estableciendo un mismo punto para su ubicación, también identificaron que dichas fracciones como equivalentes. ACTIVIDAD 5 Los estudiantes reconocieron que entre dos cantidades fraccionarias se pueden encontrar un número entero, estableciendo las equivalencias entre las unidades y el patrón de medida dado, con la finalidad de establecer relaciones de orden y encontrar nuevas cantidades entre las dadas, utilizando los patrones fraccionarios determinados.

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CONCLUSIONES GENERALES Al finalizar la aplicación y el desarrollo de cada una de las actividades secuénciales se hace un análisis del cual se puede deducir lo siguiente: 1) Falta dominio en el manejo de la regla como patrón de medida. 2) La mayoría de los estudiantes comprendieron la conformación de la unidad como un todo y sus subdivisiones. 3) Hay reconocimiento del orden numérico en la recta graduada y ubicación de enteros positivos en la misma. 4) Establece unidades enteras en fracciones.

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BIBLIOGRAFÍA: ¾ ESTÁNDARES CURRICULARES “ÁREA MATEMÁTICAS” “APORTES PARA EL ANÁLISIS” ASOCIACIÓN COLOMBIANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA. GRUPO EDITORIAL GIA. ¾ FORMACIÓN PARA LA ARTICULACIÓN DE ESTÁNDARES BÁSICOS DE CALIDAD Y LINEAMIENTOS CURRICULARES, RESULTADOS DE LAS PRUEBAS SABER. R. TORRES LIGIA AMPARO. LADINO PONTÓN, TERESA ¾ MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. LINEAMIENTOS CURRICULARES, EDITORIAL MAGISTERIO. 1ª EDICIÓN. SANTAFE DE BOGOTÁ. 1998. PP 5671. ¾ APUNTES DE LA CAPACITACIÓN BRINDADA POR LA UNIVERSIDAD DEL VALLE. DOCENTE TERESA PONTÓN ¾ ESTÁNDARES CURRICULARES. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. ¾ ASESORIA DEL PROFESORES DEL ÀREA DE EDUCACIÒN MATEMÀTICA. UNIVERSIDAD DEL VALLE.

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