MIS NOTAS DE CLASE José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia. enero - 2006
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CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS La idea es presentar un resumen del material que usé en la preparación de los cursos para estudiantes de las carreras de Ingenieria y ciencias básicas. Se trata de una disciplina de gran utilidad en diversos campos del conocimiento tales como: física, química, ciencias naturales, biología, geología e ingeniería en general, pretendiendo un aprendizaje rápido, pero con muchos ejercicios propuestos, algunos de la vida diaria.
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN .......................................................................... % 1. Modelación por medio de ecuaciones diferenciales .......................... % 2. Algunas sugerencias para la construcción de modelos .................... % 3. Prueba del modelo ........................................................................... & 4. Modelo del crecimiento ilimitado de la población ........................... ' 5. Solución analítica del modelo poblacional ........................................ ( 6. Modelo logístico de la población ....................................................Þ ) 7. Análisis cualitativo del modelo logístico ........................................Þ * 8. Sistemas depredador-presa ........................................................... "! 9. Un modelo de ahorro ..................................................................... "# 10. Un problema de mezclado ........................................................... "$ 11. Mezcla en un tanque .................................................................... "$ 12. Ejercicios ...................................................................................... "% Capítulo 1 Ecuaciones de primer orden ............................................................... "* §1. Enunciado del problema .............................................................. "* §2. Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden .................................................................................... #" 2.1. La geometría de .C ....................................................... #" .> œ 0 >ß C 2.2. Campo de pendientes ................................................................ ## 2.3. Casos especiales importantes ..................................................... #$ 2.4. Campo de pendientes para ecuaciones autónomas .C .> œ 0 C ........................................................................................... #% 2.5. Técnica numérica ....................................................................... #' 2.6. Ejercicios ................................................................................... #) §3. Técnicas cualitativas .................................................................. $! 3.1. Equilibrio y líneas de fase .......................................................... $" 3.2. Ecuaciones autónomas .C .> œ 0 C ............................................... $" 3.3. Metáfora de la cuerda ................................................................ $" 3.4. Como dibujar líneas de fase ...................................................... $# 3.5. Como usar las líneas de fase para esbozar soluciones .............. $$
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3.6. Dibujo de líneas de fase a partir de sólo información cualitativa ....................................................................................... $% 3.7. El papel de los puntos de equilibrio .......................................... $% 3.8. Clasificación de los puntos de equilibrio ................................... $& 3.9. Localización de los puntos de equilibrio .................................... $' 3.10. Teorema de la linealización ..................................................... $' 3.11. Ejercicios ................................................................................. $( §4. Teoría cuantitativa 4.1. Ecuaciones con variables separables ......................................... %! 4.2. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones de variables separables ........................................................................................ %$ 4.3. Ecuaciones D.O. de primer orden con coeficientes homogéneos ..................................................................................... %% 4.4. Ecuaciones diferenciables transformables a homogéneas ......... %' 4.5. Breves notas de cálculo en varias variables ............................... %) 4.5.1. Derivada de un campo escalar ................................................ %) Teorema de la función implícita ..................................................... %* 4.6. Ecuaciones difenciables exactas .............................................. %* 4.6.1. Diferenciales totales y formas exactas .................................. %* 4.6.2. Ecuaciones exactas ................................................................ &" 4.6.3. Factor de integración ............................................................ &# §5. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden .................... &% 5.1. La ecuación Cw +C œ ! .............................................................. && 5.2. Ecuación Cw +C œ , B .............................................................. && 5.3. La ecuación diferencial lineal general de primer orden ............. &' 5.4. Ecuación de Lagrange ............................................................... &* §6. Aplicaciones geométricas .......................................................... '! §7. Compartimientos ....................................................................... '$ 7.1. Problemas de mezcla ................................................................. '% 7.2. Calentamiento y enfriamiento .................................................. '( 7.3. Mecánica Newtoniana ............................................................... (" 7.3.1. Procedimiento para modelos Newtonianos ........................... (" 7.4. Un circuito L-R en serie ............................................................ ($ 7.5. Ejercicios .................................................................................. (& Ejercicios generales sobre el capítulo I............................................. )# Capítulo II Ecuaciones con Operadores ............................................................ )* §1. Preliminares ............................................................................... )* §2. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes......................... *" 2.1. Introducción .............................................................................. *" 2.2. La ecuación homogénea de segundo orden .............................. *# 2.3. Ecuaciones de segundo orden con condiciones iniciales ........... *% §3. Dependencia e independencia lineal .......................................... *( 3.4. Una fórmula para el Wronskiano .............................................. "!! §4. La ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden .............................................................................................. "!" §5. La ecuación diferencial lineal homogénea de orden 8 .............. "!$ §6. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden 8 que satisfacen condiciones iniciales ................................ "!& §7. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes reales .........."!*
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§8. Ejercicios.................................................................................... ""# §9. La ecuación diferencial lineal no homogénea de orden 8 .......... ""% 9.2. Un método especial para resolver ecuaciones no homogéneas.. "") §10. Álgebra de los operadores con coeficientes constantes.......... "#! 10.3. Ejercicios ............................................................................... "#% §11. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales autónomos en dos variables ............................................................................ "#% §12. Movimiento Armónico simple.................................................. 13( Capítulo III Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables.......... "&$ §1. Introducción ............................................................................ "&$ §2. Problemas con valores iniciales para una ecuación homogénea. "&% §3. Soluciones de la ecuación homogénea ..................................... "&' §4. Wronskiano e independencia lineal .......................................... "&( §5. Reducción de orden de una ecuación diferencial homogénea ... "'" §6. La ecuación diferencial no homogénea .................................... 1'$ §7. Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes analíticos ...................................................................................... "'& §8. La ecuación de Legendre ......................................................... "') §9. Ecuaciones lineales con puntos singulares regulares ............. "($ 9.1. Introducción .......................................................................... "($ 9.2. La ecuación de Euler .............................................................. "(% 9.3. Ejercicios ............................................................................... "(( 9.4. Ecuaciones de segundo orden con puntos singulares regulares, caso particular ............................................................ "() 9.5. Ecuación de segundo orden con puntos singulares regulares caso general ................................................................................ ")" 9.6. Ecuación de Bessel ................................................................ ")% 9.7. Ejercicios .............................................................................. "*! §10. Def. y propiedades lineales de la transformada de Laplace...... "*$ 10.2. La transformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales ... #!# 10.3. Convolución ........................................................................ #!$ 10.4. Ejercicios ............................................................................. #!& §11. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ...................... #!( 11.2. Sistemas homogéneos de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes ............................................................... #!( 11.3. Sistemas de ecuaciones dif. lineales no homogéneos ......... 2"( 11.4. Ejercicios ............................................................................ ##! Bibliografia .................................................................................. ##'
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INTRODUCCIÓN 1. MODELACION POR MEDIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES.
¿Que es un modelo? Es el proceso de representación del "mundo real", en
términos matemáticos. Los modelos matemáticos que estudiamos son sistemas que evolucionan con el tiempo, pero con frecuencia, también están supeditados a otras variables. Una vez elaborado el modelo, debemos comparar las predicciones de éste con los datos del sistema. Si el modelo y el sistema concuerdan, tenemos confianza en que las hipótesis hechas al crear el modelo son razonables y que podemos usarlo para hacer predicciones; si no concuerdan, entonces debemos estudiar y mejorar nuestras suposiciones.
Los tipos de predicciones que son razonables dependen de nuestras hipótesis. Si nuestro modelo se basa en reglas precisas, como las leyes de Newton sobre el movimiento, o las de interés compuesto, entonces podemos usarlo para hacer predicciones cuantitativas muy exactas. 2. ALGUNAS SUGERENCIAS PARA LA CONSTRUCCION DE MODELOS.
Los pasos básicos para elaborar un modelo son: Paso ".Establezca claramente las hipótesis en las cuales se basará el modelo. Estas deben describir las relaciones entre las cantidades por estudiarse. Paso #.Defina completamente las variables y los parámetros que se usarán en el modelo. Paso $.Use las hipótesis formuladas en el paso " para obtener ecuaciones que relacionen las cantidades del paso #. Las cantidades en nuestros modelos se agrupan en tres categorías: la variable
independiente, las variables dependientes y los parámetros.
En ecuaciones diferenciales la variable independiente casi siempre es el tiempo. Las variables dependientes son cantidades que son funciones de la
variable "independiente". Por ejemplo en física "la posición es una función del tiempo". Es posible enunciar vagamente el objetivo de un modelo expresado en términos de una ecuación diferencial, por ejemplo: "describa el comportamiento de la variable dependiente, conforme cambie la variable independiente". Podemos preguntar si la variable dependiente aumenta o disminuye, o si oscila, o tiende a un límite. Los parámetros son cantidades que no cambian con el tiempo (o con la variable dependiente) pero que pueden ajustarse (por causas naturales, o por un experimento científico). Por ejemplo, si estamos analizando la cantidad de ozono en las capas superiores de la atmósfera, entonces la velocidad con que se libran los fluorocarbonos de los refrigeradores, es un parámetro. En el paso3, formulamos las ecuaciones. La mayor parte de los modelos que consideremos son expresados como ecuaciones diferenciales. En otras palabras, esperamos encontrar derivadas en nuestras ecuaciones. Ponga
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atención a frases como "razón de cambio de..." "tasa de crecimiento de …" . Ya que razón de cambio es sinónimo de derivada. Por supuesto, ponga atención también a "velocidad" (derivada de la posición) y "aceleración" (derivada de la velocidad) en modelos de física. La palabra es, significa, "es igual " e indica dónde se encuentra la igualdad. Una importante regla empírica que usamos al formular modelos es: Simplifique siempre que pueda el álgebra. Por ejemplo al modelar la velocidad @ de un gato, al caer de un edificio alto, podemos suponer que: La resistencia del aire crece al aumentar la velocidad del gato: 5@ Ð/8 /6 -+=9 ./ 6+ 83/@/Ñ resistencia del aire œ œ # 5@ Ð /8 /6 -+=9 ./6 1+>9Ñ Veamos otro ejemplo interesante. Mediante la adopción de las prácticas babilónicas de la medición cuidadosa y las observaciones detalladas, los antiguos griegos, trataron de comprender la naturaleza a partir del análisis lógico. Los convincentes argumentos de Aristóteles, de que el mundo no era plano sino esférico, llevaron a los científicos de aquella época a considerar la siguiente pregunta ¿a qué equivale la circunferencia de la tierra?. Y resulta asombroso que Eratóstenes haya logrado obtener una respuesta, bastante precisa, para este problema sin tener que salir de la antigua ciudad de Alejandría. Su método implicaba ciertas suposiciones y simplificaciones: La tierra es una esfera perfecta, los rayos del sol viajan en trayectorias paralelas, la ciudad de Siena se encuentra a &!!! estadios (" /=>+.39 œ ##! C+Ñ œ ! para todo >. Tenemos ! œ #!!!! ("$!/!ß!&>
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lo que da
‰ > œ #!P8ˆ #!!!! ("$! ¸ #!Þ'$ Después de dejar que $5000 acumulen intereses durante diez años, podemos retirar $1000 anualmente, por más de diez años 10. UN PROBLEMA DE MEZCLADO.
El nombre de mezclado se refiere a una colección de problemas diferentes, donde dos o más sustancias se mezclan entre sí, a distintas velocidades. Los ejemplos varían del mezclado de contaminantes en un lago, a la mezcla de productos químicos en un tanque; a la difusión de humo de cigarro en el aire en un cuarto, a la mezcla de especias en un platillo de curry. 11. MEZCLA EN UN TANQUE.
Consideremos un gran tanque que contiene azúcar y agua con los que se prepararán refrescos embotellados. Suponga que
ì El tanque contiene 100 galones de líquido, la cantidad que fluye hacia adentro es la misma que fluye hacia afuera, pero siempre hay 100 galones en el tanque. ì El tanque se mantiene bien mezclado, por lo que la concentración de azucar es uniforme en todo el tanque. ì El agua azucarada que contiene 5 cucharadas de azúcar por galón, entra al tanque a través del tubo E, a razón de 2 galones por minuto. ì El agua azucarada que contiene 10 cucharadas de azúcar por galón, entra al tanque a través del tubo F , a razón de 1 galón por minuto. ì El agua azucarada sale del tanque a través del tubo G a razón de 3 galones por minuto. Para elaborar el modelo, > es el tiempo medido en minutos (la variable independiente). Para la variable dependiente tenemos dos opciones. Podemos escoger la cantidad total de azúcar WÐ>Ñ en el tanque en el tiempo >, medida en cucharadas, o bien GÐ>Ñß la concentración de azúcar en el tanque, en el tiempo > medida en cucharadas por galón. Desarrollemos el modelo para WÐ>Ñ en el tanque como la variable dependiente, la razón de cambio de W es la diferencia entre la cantidad de azúcar que se añade y la cantidad de azúcar que se retira.
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El azúcar que entra en el tanque llega por los tubos E y F, y puede calcularse fácilmente multiplicando el número de galones por minuto de la mezcla endulzada que entra al tanque por la cantidad de azúcar por galón. La cantidad de azúcar que sale del tanque por el tubo G , depende de la concentración de W azúcar en el tanque en ese momento. La concentración está dada por "!! , por lo que el azúcar que sale del tanque, en ese momento, es el producto del número de galones que sale por minuto (3 galones por minuto) y la W concentración "!! . El modelo es .W W #†& ï 1 † 10 $ "!! í .C œ ðñò /8>?,9E >?,9 F >?,9 G Así la ecuación del modelo estará dada por .W $†W #!!!$†W .> œ #! "!! œ "!! Posteriormente veremos que la solución de esta ecuación se puede obtener analíticamente y estará dada por la fórmula WÐ>Ñ œ G/!Þ!$> #!!! $ Donde la contante G se puede determinar si se conoce la cantidad axacta de azúcar que se encuentra inicialmente en el tanque. Considerando el caso en el cual G œ !, la solución es dada por WÐ>Ñ œ #!!! y constituye la solución de $ equilibrio. 12. EJERCICIOS
1. Considere el modelo de población .T T ‰ ˆ .> œ !Þ%T " #$! donde T Ð>Ñ es la población en el tiempo >. (a) ¿Para qué valores de T está en equilibrio la población? (b) ¿Para qué valores está creciendo la población? (c) ¿Para qué valores de T está decreciendo la población? 2. Considere el modelo de población .T T ‰ˆ T ˆ ‰ .> œ !Þ# " #!! &! " T donde T es la población en el tiempo >Þ a) ¿Para qué valores de T está en equilibrio la población? (b) ¿Para qué valores está creciendo la población? (c) ¿Para qué valores de T está decreciendo la población? 3. Considere la ecuación diferencial .C $ # .> œ C C "#CÞ (a) ¿Para qué valores de C está CÐ>Ñ en equilibrio? (b) ¿Para qué valores de C(t) está creciendo? (c) ¿Para qué valores de C está CÐ>Ñ decreciendo? 4. La tasa a la que una cantidad de un isótopo radiactivo se desintegra es proporcional a la cantidad de isótopos presentes. La constante de proporcionalidad depende sólo de la partícula radiactiva considerada. Modele la desintegración radioactiva usando la notación > œ >3/7:9 Ðvariable independiente)
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Ñ œ -+8>3.+. ./ 3=ó>9:9= 3@9= :+3-?6+< :/ /8 /6 >3/7:9 > Ðvariable dependiente) -- œ >+=+ ./ ./=38>/1 œ ! es , medido en años. Ajuste el modelo para tomar en cuenta cada una de las situaciones siguientes: (a) 100 peces son cultivados cada año. (b) Un tercio de la población de peces es cultivada anualmente. (c) El número de peces cultivados cada año es proporcional a la raíz cuadrada del número de peces en el lago. 10. Suponga el parámetro 5 œ !Þ$ de razón de crecimiento y la capacidad R œ #&!! de soporte en el modelo logístico de población del ejercicio 9, y también que T Ð!Ñ œ #&!!Þ (a) Si 100 peces son cultivados cada año, ¿qué predice el modelo para el comportamiento a largo plazo de la población de peces? En otras palabras, ¿qué da un análisis cualitativo del modelo? (b) Si cada año se cultiva una tercera parte de los peces, ¿qué predice el modelo para el comportamiento a largo plazo de dicha población? 11. El rinoceronte es actualmente muy raro. Suponga que se aporta suficiente terreno para su preservación y que hay entonces más espacio que rinocerontes. En consecuencia, no habrá peligro de una sobrepoblación. Sin embargo, si la población es muy pequeña, los adultos fértiles tendrán dificultades en encontrarse cuando sea el tiempo de apareamiento. Escriba una ecuación diferencial que modele la población de rinocerontes con base a esas hipótesis. (Note que hay más de un modelo que se ajusta a esas suposiciones) 12. Considere las siguientes hipótesis respecto a la fracción de una pieza de pan cubierta por moho: ì Las esporas de moho caen sobre el pan a una razón constante. ì Cuando la proporción cubierta es pequeña, la fracción de pan cubierto por el moho se incrementa a una razón proporcional a la cantidad de pan cubierto. ì Cuando la fracción de pan cubierto por el moho es grande, la razón de crecimiento disminuye. ì Para sobrevivir, el moho debe estar en contacto con el pan. Usando estas hipótesis, escriba una ecuación diferencial que modele la proporción de una pieza de pan cubierta por el moho. (Observe que hay más de un modelo razonable que se ajusta a esas hipótesis).
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13. La siguiente tabla contiene datos sobre la población de búhos amarillos en ciertas ciudades de Inglaterra Año Población Año Población 1947 34 1954 52 1948 40 1955 60 1949 40 1956 64 1950 40 1957 64 1951 42 1958 62 1952 48 1959 64 1953 48 (a) ¿Que modelo de población usaría usted para modelar esta población? (b) ¿Puede usted calcular los valores del parámetro? (o por lo menos hacer estimaciones razonables). (c) ¿Qué predice su modelo para la población actual? 14. Para los siguientes sistemas: depredador-presa, identifique qué variable dependiente B o C, es la población presa y cuál es la población depredadora. ¿Está limitado el crecimiento de la población presa por otros factores ajenos al número de depredadores? ¿Tienen los depredadores fuentes de alimento aparte de las presas? (Suponga que los parámetros α," ,# ,$ , y, R son todos positivos) # .B .B œ αB α BR " BC .> œ αB " BC .> (a) .C (b) .C .> œ # C $ BC .> œ # C $ BC 15. En los siguientes modelos de población depredador-presa, B representa la presa y C representa los depredadores. .B .B .> œ &B $BC .> œ B )BC Ð3Ñ .C Ð33Ñ .C " .> œ #C # BC .> œ #C 'BC (a) ¿En qué sistema se reproduce más rápido la presa cuando no hay depredadores (cuando C œ !) e igual número de presas? (b) ¿En qué sistema tienen los depredadores más éxito de cazar presas? En otras palabras, si el número de depredadores y presas son iguales para los dos sistemas, ¿en qué sistema tienen los depredadores un mayor efecto sobre la razón de cambio de las presas? (c) ¿Qué sistema requiere más presas para que los depredadores logren una tasa de crecimiento dada (suponiendo números idénticos de depredadores en ambos casos)? 16. El sistema .B È .> œ +B ,C B .C È .> œ -C B ha sido propuesto como un modelo para un sistema depredador-presa de dos especies particulares de microorganismos (donde +ß , y - son parámetros). (a) ¿Qué variable, B o C, representa la población depredadora? ¿Qué variable representa la población presa? (b) ¿Qué pasa a la población depredadora si la presa se extinque?
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17. Los siguientes sistemas son modelos de las poblaciones de parejas de especies que compiten por recursos (un incremento en una especie disminuye la tasa de crecimiento de la otra) o cooperan (un incremento en una especie aumenta la razón de crecimiento de la otra). Para cada sistema identifique las variables (independiente o dependiente) y los parámetros (capacidad de soporte, medida de interacción entre las especies, etc.). ¿Compiten o cooperan las especies? (Suponga que todos los parámetros son positivos.) # .B .B œ αB α BR " BC .> œ # B $ BC .> (a) .C (b) .C .> œ αC " BC .> œ # C $ BC 18. En un campo de concentración de prisioneros, el capitán de una barraca que contenía unos 12 mil prisioneros, recibió la orden de incendiarla. El capitán decide dar una oportunidad a los prisioneros para salvarse, si resolvían el siguiente problema: Hay dos puertas de salida, una de ellas los conduce a la libertad y la otra opera un mecanismo que acaba con la barraca en segundos. El capitán les ofrece diez bolsas con monedas, cada una de ellas contiene 100 monedas, pero una contiene monedas falsas junto con la clave para saber cuál de las puertas lo lleva a la libertad. Tienen una balanza que pueden usar solamente una vez. Si las monedas falsas pesan dos gramos y las verdaderas un gramo ¿qué hicieron los prisioneros, si finalmente quedaron en libertad?. Establezca un modelo para resolver este problema.
CAPITULO I ECUACIONES DE PRIMER ORDEN §1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Sea 0 Ð>ß BÑ una función de las variables reales > y B donde 7 œ Ð>ß BÑ pertenece a un conjunto abierto H de d # . Se llama SOLUCION o integral de la ecuación .B w .> œ 0 Ð>ß BÑ o B œ 0 Ð>ß BÑ a toda función continua y diferenciable B œ :Ð>Ñ definida sobre un intervalo abierto no vacío M de d tal que su gráfico esté contenido en H y tal que se tenga :w Ð>Ñ œ 0 Ð>ß :Ð>ÑÑ para todo > − M La ecuación Bw œ 0 Ð>ß BÑ es llamada ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN, > es la variable independiente y B es la variable dependiente o función incógnita. Resolver esta ecuación, es hallar las soluciones y estudiarlas. Se le llama más particularmente " PROBLEMA DE CAUCHY " al hecho de hallar la solución :Ð>Ñ a Bw œ 0 Ð>ß BÑ œ BÐ> Ñ œ B ß donde Ð> ß B Ñ − H ! ! ! ! Veremos que bajo hipótesis convenientes sobre la función 0 , el problema de Cauchy posee siempre al menos una solución y que posee una sola cuando se impone a 0 condiciones suplementarias.
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Decir que un arco # de H con ecuación B œ :Ð>Ñ es solución de la ecuación Bw œ 0 Ð>ß BÑ definida en H equivale a decir que # posee una tangente en todo punto, cuyas pendientes estan dadas por 0 Ð>ß BÑ. Un tal arco # será llamado ARCO INTEGRAL.
En los próximos parágrafos utilizaremos otra notación, es decir, consideraremos la ecuación Bw œ 0 Ð>ß BÑ en la forma J Ð>ß BÐ>Ñß Bw Ð>ÑÑ œ !. Con el fin de facilitar un poco el estudio de las ecuaciones diferenciales, la primera notación es llamada NORMAL y a la segunda NO NORMAL. El vocablo ORDINARIO se refiere al hecho de que en el problema solamente aparecerán derivadas ordinarias y no hay derivadas parciales. Como un ejemplo consideremos el caso en el cual 0 es independiente de >, esto es, cuando se tiene la ecuación Bw œ .B Ð"Ñ .> œ 0 Ð>Ñ donde 0 está definida en un cierto intervalo M ; el problema objeto de las ecuaciones diferenciales es hallar una función F definida en M , tal que Fw exista ahí, y que Fw Ð>Ñ œ 0 Ð>Ñ. Este es uno de los problemas más importantes del cálculo. Más todavia, si 0 es contínua en M sabemos que la función integral F! definida por > F! Ð>Ñ œ '>! 0 ÐBÑ.B donde >! es un cierto punto fijo en M , es una solución de Ð"Ñ. Además si F es cualquier solución de Ð"Ñ, entonces existe una constante - tal que FÐ>Ñ œ F! Ð>Ñ para todo > en Mß dando lugar a una familia de soluciones de esta forma, conocida como solución general. Así en el caso en el cual 0 es continua, todas las soluciones de Ð"Ñ son conocidas, y el estudio de la ecuación diferencial Ð"Ñ se reduce al estudio de la integración. Como un segundo ejemplo lo encontramos en los modelos de población que afirma: la velocidad de crecimiento de una población es proporcional a la población misma. Con este enunciado y usando al tiempo > como variable independiente y con :Ð>Ñ representando la población en cualquier instante, entonces la velocidad de crecimiento estará dada por .: .> y la ecuación diferencial de la población es dada por .: Ð#Ñ .> œ 5: donde 5 es un parámetro que se usa como la constante de proporcionalidad. Hay tres teorias o métodos para hallar la solución de una ecuación diferencial a saber: el cualitativo, el cuantitativo y el numérico. El primero es un mecanismo basado en técnicas geométricas, el segundo utiliza cálculo con tácticas que permiten obtener fórmulas y el tercero utiliza los computadores . Así por la teoría cuantitativa la solución de Ð#Ñ esta dada por :Ð>Ñ œ -/5> la cual existe para todo > real.
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Las ecuaciones diferenciales de una forma más general, involucran derivadas de orden superiores. Supongamos ahora que J es una función definida para B real en un intervalo M , y para los números complejos C" ß C# ß âß C8" definidos en los conjuntos W" ß W# ß âß W8" respectivamente. El problema de hallar una función F sobre Mß la cual tenga 8 derivadas ahí, y tal que para toda B − M , se cumplan las siguientes condiciones 3Ñ FÐ5-"Ñ ÐBÑ − W5 Ð5 œ "ß #ß $ß âß 8 "Ñ ÐFÐ!Ñ ÐBÑ œ FÐBÑÑ 33Ñ J ÐBß FÐBÑß âß FÐ8Ñ Ñ œ ! se llama ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN 8 ß y se representa por: J ÐBß Cß C w ß âß CÐ8Ñ Ñ œ ! Ð3Ñ Una función F definida en un intervalo Mß la cual es 8 veces derivable y además satisfaciendo las condiciones 3Ñß 33Ñ se llama SOLUCION de Ð#Ñ en M . Generalmente aquí también vamos a considerar ecuaciones de la forma CÐ8Ñ œ 0 ÐBß Cß C w ß âß CÐ8 "Ñ Ñ . Terminamos esta sección con el siguiente cuadro sinóptico el cual nos resume las ideas básicas
§2. TEORIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Una nota muy interesante del análisis cuantitativo se halla en el hecho de que en muchos problemas, las variables B y C son consideradas equivalentes, refierense a la ecuación diferencial .C Ð$Ñ .B œ 0 ÐBß CÑ y es natural considerar, conjuntamente con Ð$Ñ la ecuación .B " Ð%Ñ .C œ 0 ÐBßCÑ
Si ambas ecuaciones tienen sentido, entonces son equivalentes, ya que si la función C œ CÐBÑ es solución de la ecuación Ð$Ñ entonces la función inversa
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B œ BÐCÑ es solución de Ð%Ñ y, por lo tanto, las ecuaciones Ð$Ñ y Ð%Ñ poseen curvas integrales comunes. Si, en cambio, en algunos puntos una de las ecuaciones Ð$Ñ o Ð%Ñ pierde su sentido, entonces en esos puntos es natural sustituirla por la otra ecuación. .C
2.1 LA GEOMETRIA DE .> œ 0 Ð>ß CÑ
Si la función CÐ>Ñ es la solución de la ecuación .C .> œ 0 Ð>ß CÑ y su gráfica pasa por el punto Ð>" ß C" Ñ donde C" œ CÐ>" Ñß entonces la ecuación diferencial dice que la derivada .C .> en > œ >" está dada por el número 0 Ð>" ß C" Ñ. Geométricamente, esta igualdad de .C .> en > œ >" con 0 Ð>" ß C" Ñ significa que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de CÐ>Ñ en el punto Ð>" ß C" Ñ es 0 Ð>" ß C" Ñ. Note que no hay nada especial acerca del punto Ð>" ß C" Ñ, aparte del hecho de que es un punto sobre la gráfica de la solución CÐ>ÑÞ
La igualdad de .C .> y 0 Ð>ß CÑ debe valer para todo >, para la cual CÐ>Ñ satisfaga a la ecuación diferencial. En otras palabras, con los valores del lado derecho de la ecuación diferencial se obtienen las pendientes de las tangentes en todos los puntos sobre la gráfica de CÐ>ÑÞ Esto sugiere un método de hallar la solución de una ecuación diferencial conocido como el nombre de TEORIA CUALITATIVA para la solución de ecuaciones diferenciales. 2.2. CAMPO DE PENDIENTES.
Esta simple observación geométrica nos conduce a visualizar las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden de la forma .C .> œ 0 Ð>ß CÑ. Si nos dan la función 0 Ð>ß CÑ, obtenemos una idea burda de las gráficas de las soluciones de la ecuación diferencial, mediante el bosquejo de un conjunto de trazos o conjunto de pequeños segmentos cuyas pendientes en el punto Ð>ß CÑ es justamente 0 Ð>ß CÑ, dicho conjunto es conocido como el CAMPO DE PENDIENTES. En esta forma seleccionando puntos en el plano Ð>ß CÑ y segmentos ahí de pendientes 0 Ð>ß CÑ se obtienen un conjunto de líneas minitangentes a curvas solución de la ecuación .C .> œ 0 Ð>ß CÑ, llamadas MARCAS o ISOCLINAS. Una vez que tenemos una gran cantidad de dichas marcas podemos visualizar las gráficas de las soluciones. Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial .C .> œ C >Þ En otras palabras el lado derecho de la ecuación diferencial está dada por la función 0 Ð>ß CÑ œ C >. Para adquirir algo de práctica con la idea de campo de pendientes, delineamos su campo en forma manual con un pequeño número de puntos. Luego veremos una versión general por medio de un computador
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de este campo de pendientes. Elaborar estas gráficas manualmente suele resultar tedioso por lo que consideramos sólo nueve puntos en el plano >C. Por ejemplo en el punto Ð>ß CÑ œ Ð"ß "Ñ tenemos 0 Ð>ß CÑ œ 0 Ð"ß "Ñ= " " œ #. Por tanto esbozamos un pequeño segmento de línea con pendiente # con centro en Ð"ß "Ñ. Para bosquejar el campo de pendientes en todos los nueve puntos usamos la función 0 Ð>ß CÑ para calcular las pendientes apropiadas. Los resultados se resumen en el siguiente cuadro Ð>ß CÑ 0 Ð>ß CÑ Ð>ß CÑ 0 Ð>ß CÑ Ð>ß CÑ 0 Ð>ß CÑ Ð "Þ"Ñ # Ð!ß "Ñ " Ð"ß "Ñ ! Ð "ß !Ñ " Ð!ß !Ñ ! Ð"ß !Ñ " Ð "ß "Ñ ! Ð!ß "Ñ " Ð"ß "Ñ # Una vez que tenemos esos valores, los usamos para obtener un croquis aproximado del campo de pendientes para la ecuación
El esbozo del campo de pendientes se hace más fácil si usamos una computadora. La gráfica es un croquis del campo de pendientes para esta ecuación sobre la región ˜Ð>ß CÑÎ $ Ÿ > Ÿ $ß $ Ÿ C Ÿ $™ en el plano >C, calculamos valores de la función 0 Ð>ß CÑ sobre #& ‚ #& Ð'#& puntosÑ en esa región.
2.3. CASOS ESPECIALES IMPORTANTES.
Desde el punto de vista analítico, las ecuaciones de las formas .C .> œ 0 Ð>Ñ, y .C .> œ 0 ÐCÑ son algo más fáciles de considerar que las ecuaciones más complicadas, por que son lo que más tarde llamaremos de variable separable. La geometría de sus campos de pendientes es igualmente especial.
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.C .>
œ 0 Ð>Ñ. Si el lado derecho de la ecuación diferencial en consideración, es simplemente una función de >, o en otras palabras, si .C .> œ 0 Ð>Ñ la pendiente en cualquier punto es la misma que la de cualquier otro punto con la misma coordenada >. Geométricamente esto implica que todas las marcas de pendientes sobre cada línea vertical son paralelas. Siempre que un campo de pendientes tiene esta propiedad geométrica para todas las líneas verticales del dominio en CAMPO DE PENDIENTES PARA
consideración, sabemos que la ecuación correspondiente es realmente una ecuación de la forma .C de .> œ 0 Ð>Ñ. Por ejemplo, consideremos el campo pendientes mostrado en la gráfica. Generamos este campo de
.C pendientes a partir de la ecuación y del cálculo sabemos que .> œ #> # CÐ>Ñ œ ' #>.> œ > G donde G es la constante de integración. Por consiguiente la solución general de la ecuación diferencial consiste en la función de la forma CÐ>Ñ œ ># G
.C
2.4. CAMPO DE PENDIENTES PARA ECUACIONES AUTÓNOMAS .>
œ 0 ÐCÑ
El lado derecho de la ecuación no depende de la variable independiente >. El campo de pendientes en este caso es también algo especial. Aquí las pendientes que corresponden a dos puntos diferentes con la misma coordenada C son iguales. Es decir, 0 Ð>" ß CÑ œ 0 Ð># ß CÑ œ 0 ÐCÑ ya que el lado derecho de la ecuación diferencial depende sólo de C. En otras palabra, el campo de pendientes de una ecuación autónoma es paralelo a lo largo de cada línea horizontal.
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Por ejemplo, para hallar el campo de pendientes de la ecuación autónoma .C .> œ %CÐ" CÑ, hallamos los ceros de la función 0 ÐCÑ œ %CÐ" CÑ y después su signo, en efecto: Ð3Ñ %CÐ" CÑ œ ! Í C œ !ß C œ "Þ Ð33Ñ Signo de %CÐ" CÑ À
Ú ! =3 C ! • C " ! =3 C œ !ß C œ " =31 .C .> es Û Ü ! =3 ! C " El hecho de que las ecuaciones autónomas producen campos de pendientes que son paralelos a lo largo de líneas horizontales, indica que podemos así
obtener un número infinito de soluciones a partir de una solución, trasladando nuevamente la gráfica de la solución dada hacia la izquierda o hacia la derecha.
EJEMPLO. Resolver la ecuación diferencial
.C .>
C#
œ / "! =/8# C
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C#
/ "! =/8# C œ ! Í =/8# C œ ! Í C œ 81 C# #Ñ / "! =/8# C ! :+9.9 C "Ñ
2.5. TÉCNICA NUMÉRICA.
El concepto geométrico de un campo de pendientes, tal como lo vimos en la sección 2.1 está íntimamente relacionada con un método numérico fundamental para aproximar soluciones de una ecuación diferencial. Dado un problema de valor inicial .C œ 0 Ð>ß CÑ Ð"Ñ œ .> CÐ>! Ñ œ C! El método es debido al matemático suizo del siglo XVII Leonhard Euler y por eso lleva su nombre. Para describir el método de Euler, comenzamos con el problema de valor inicial Ð"Ñ. Como nos es dada la función 0 Ð>ß CÑ, podemos trazar su campo de pendientes en el plano >C. La idea del método es empezar en el punto Ð>! ß C! Ñ en el campo de pendientes y dar pequeños pasos dictados por las tangentes en ésta. Primero elegimos un tamaño del paso ?> (pequeño) , el cual determina la exactitud de la solución aproximada, así como el número de cálculos que son necesarios para obtener la aproximación. Comenzamos en Ð>! ß C! Ñ, seguimos hacia un segundo punto Ð>1 ß C1 Ñ donde >" œ >! ?> y Ð>1 ß C1 Ñ es un punto sobre la línea que pasa por Ð>! ß C! Ñ y cuya pendiente es proporcionada por el campo de pendientes en Ð>! ß C! Ñ. En Ð>1 ß C1 Ñ repetimos el proceso, esto es por Ð>1 ß C1 Ñ pasamos un segmento cuya pendiente es dada por el campo de vectores o sea por 0 Ð>" ß C" Ñß y sobre ésta tomamos un nuevo punto Ð>2 ß C2 Ñ donde ># œ >" ?>. De la misma manera usamos el campo de pendientes en el punto Ð>5 ß C5 Ñ para calcular el siguiente punto Ð>5" ß C5" Ñ. Así la secuencia de valores C! ß C" ß C# ß â son aproximaciones a la solución en los tiempos >! ß >" ß ># ß â. Geométricamente el método produce una sucesión de pequeños segmentos de línea que conectan Ð>5 ß C5 Ñ con Ð>5" ß C5" Ñ . Para poner en practica el método de Euler, necesitamos una fórmula que nos determine Ð>5+1 ß C5+1 Ñ a partir de Ð>5 ß C5 Ñ. Encontrar >5" es fácil, pues especificando el tamaño del paso ?>, se tiene entonces
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>5" œ >5 ?> Para obtener C5" a partir de Ð>5 ß C5 Ñ, usamos la ecuación diferencial. Sabemos que la pendiente de la solución a la ecuación .C .> œ 0 Ð>ß CÑ en el punto Ð>5 ß C5 Ñ es 0 Ð>5 ß C5 Ñ, y el método de Euler usa esta pendiente para calcular C5" . De hecho determina al punto Ð>5+1 ß C5+1 Ñ suponiendo que se encuentra sobre el segmento que pasa por Ð>5 ß C5 Ñ con pendiente 0 Ð>5 ß C5 Ñ
Ahora podemos usar nuestro conocimiento básico de las pendientes para determinar C5" . De la fórmula para la pendiente de una línea recibimos C5" C5 >5" >5 œ 0 Ð>5 ß C5 Ñ. Como >5" œ >5 ?>, el denominador >5" >5 es justamente ?>, por lo tanto, tenemos C5" C5 œ 0 Ð>5 ß C5 Ñ Í C5" C5 œ 0 Ð>5 ß C5 Ñ?> ?> de donde C5" œ C5 0 Ð>5 ß C5 Ñ?> Esta es la fórmula deseada para el método de Euler. En resumen se siguen los siguientes pasos 1. Establezca el tamaño de ?> 2. Use la ecuación diferencial para determinar la pendiente de 0 Ð>5 ß C5 Ñ 3. Calcule el siguiente punto Ð>5+1 ß C5+1 Ñ mediante las fórmulas >5" œ >5 ?> y C5" œ C5 0 Ð>5 ß C5 Ñ?>. EJEMPLO: Usando el método de Euler halle la solución aproximada del problema .C œ > C# ß ! Ÿ > Ÿ " ß ?> œ !Þ#& œ .> CÐ!Ñ œ " Usamos la fórmula de Euler C5" œ C5 0 Ð>5 ß C5 Ñ?>, y una partición para el intervalo Ò!ß "Ó con paso ?> œ !Þ#&ß obteniendo >! œ !ß >" œ !Þ#&ß ># œ !Þ&ß >$ œ !Þ(& y >% œ ". Así iniciamos con C! œ "ß luego calculamos 0 Ð!ß "Ñ œ ! "# œ ". Para calcular C" tenemos C" œ C! 0 Ð!ß "Ñ!Þ#& œ " Ð "Ñ!Þ#& œ !Þ(& luego se calcula 0 Ð>" ß C" Ñ œ >" C"# œ !Þ#& Ð!Þ(&Ñ# œ !Þ$"#&ß ahora C# œ C" 0 Ð>" ß C" Ñ!Þ#& œ !Þ(& Ð !Þ$"#&Ñ!Þ#& œ !Þ'%'& se evalúa enseguida 0 Ð># ß C# Ñ œ ># C## œ !Þ& Ð!Þ'%'&Ñ# œ !Þ!)#!%, en esta forma C$ œ C# 0 Ð># ß C# Ñ!Þ#& œ !Þ'%'& !Þ!)#!% † !Þ#& œ !Þ''(!"
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de esta manera 0 Ð>$ ß C$ Ñ œ >$ C$# œ !Þ(& Ð!Þ''(!"Ñ# œ !Þ$!&!*), para obtener C% œ C$ 0 Ð>$ ß C$ Ñ † !Þ#& œ !Þ''(!" !Þ$!&!*) † !Þ#& œ !Þ(%$#)& finalmente 0 Ð>% ß C% Ñ œ >% C%# œ " Ð!Þ(%$#)&Ñ# œ !Þ%%(&#). Resumimos todos los cálculos anteriores en la siguiente tabla 5 >5 C5 Ð>5 ß C5 Ñ 0 Ð>5 ß C5 Ñ ! ! " Ð!ß "Ñ " " !Þ#& !Þ(& Ð!Þ#&ß !Þ(&Ñ !Þ$"#& # !Þ& !Þ'%'& Ð!Þ&ß !Þ'%'&Ñ !Þ!)#!% $ !Þ(& !Þ''(!" Ð!Þ(&ß !Þ''(!"Ñ !Þ$!&!*) % " !Þ(%$#)& Ð"ß !Þ(%$#)&Ñ !Þ%%(&#) Finalmente la solución aproximada es la poligonal cuyos vértices estan dados por el conjunto ˜Ð!ß "Ñ, Ð!Þ#&ß !Þ(&Ñ,Ð!Þ&ß !Þ'%'&Ñ,Ð!Þ(&ß !Þ''(!"Ñ,Ð"ß !Þ(%$#)&Ñ™ En el plano >C podemos observar el gráfico de este conjunto
2.6. EJERCICIOS
En los ejercicios 1 a 8, use el método de Euler con el tamaño de paso dado ?> para aproximar la solución al problema de valor inicial, en el intervalo de tiempo especificado. Su respuesta debe incluir una tabla de los valores aproximados de la variable de pendiente. Trate de incluir también un croquis de la gráfica de la solución aproximada .C œ #C "ß ! Ÿ > Ÿ # ". œ .> ß ?> œ !Þ& CÐ!Ñ œ $ .C œ > C# ß ! Ÿ > Ÿ " #. œ .> ß ?> œ !Þ#& CÐ!Ñ œ " .C œ C# #C "ß ! Ÿ > Ÿ # $. œ .> ß ?> œ !Þ& CÐ!Ñ œ " .C œ =/8 C ß ! Ÿ > Ÿ $ %. œ .> ß ?> œ !Þ& CÐ!Ñ œ " .A œ Ð$ AÑÐA "Ñ ß ! Ÿ > Ÿ & &. œ .> ß ?> œ "Þ! AÐ!Ñ œ % .A œ Ð$ AÑÐA "Ñß ! Ÿ > Ÿ & '. œ .> ß ?> œ !Þ& AÐ!Ñ œ ! (.
.C .>
#
œ /C ß ! Ÿ > Ÿ # CÐ!Ñ œ #
ß
?> œ !Þ&
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.C .>
#
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œ /C ß " Ÿ > Ÿ $ ). ß ?> œ !Þ& CÐ"Ñ œ # *Þ Compare sus respuestas a los ejercicios ( y ), y dé sus observaciones. "!Þ Compare sus respuestas a los ejercicios & y '. ¿Está funcionando bien el método de Euler en este caso? ¿Qué haría usted para evitar las dificultades que pueden surgir? ""ÞHaga un análisis cualitativo de la solución del problema de valor inicial en el ejercicio ' y compare sus conclusiones con sus resultados. ¿Qué está mal con las soluciones aproximadas obtenidas por el método de Euler? .C œ ÈC "#. Considere el problema de valor inicial : œ .> . Usando el método de CÐ!Ñ œ " Euler, calcule tres soluciones diferentes aproximadas correspondientes a ?> œ "Þ!ß !Þ& y !Þ#& sobre el intervalo ! Ÿ > Ÿ %. Grafique las tres soluciones. ¿Cuáles son sus predicciones acerca de la solución real al problema de valor inicial? .C œ#C "$. Considere el problema de valor inicial : œ .> . CÐ!Ñ œ " Usando el método de Euler, calcule tres soluciones diferentes aproximadas correspondientes a ?> œ "Þ!ß !Þ& y !Þ#& sobre el intervalo ! Ÿ > Ÿ %. Grafique las tres soluciones. ¿Qué predicciones hace usted acerca de la solución real al problema de valor incial? ¿Comó se relacionan las gráficas de esas soluciones aproximadas con la gráfica de la solución real? ¿Por qué?. En los ejercicios "% a "(, consideramos la ecuación del modelo del circuito VG Z Ð>Ñ@.@.> œ VG Suponga que Z Ð>Ñ œ /!Þ"> la fuente de voltaje Z Ð>Ñ está decayendo exponencialmente. Si V œ !Þ# y G œ ", use el método de Euler para calcular los valores de la solución con las condiciones iniciales dadas sobre el intervalo ! Ÿ > Ÿ "!Þ "%. @- Ð!Ñ œ ! "&. @- Ð!Ñ œ # "'. @- Ð!Ñ œ # "(. @- Ð!Ñ œ % $ "). Considere el polinomio :ÐCÑ œ C #C #. Empleando la tecnología apropiada, (a) esboce el campo de pendientes para .C .> œ :ÐCÑ, (b) dibuje las gráficas de algunas de las soluciones usando el campo de pendientes, (c) describa la relación entre las raíces de :ÐCÑ y las soluciones de la ecuación diferencial, y (d) con el método de Euler, aproxime la o las raíces reales de :ÐCÑ con tres cifras decimales "*.Considere el polinomio :ÐCÑ œ C$ %C ". Mediante la tecnología apropiada, (a) bosqueje el campo de pendientes para .C .> œ :ÐCÑ,
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(b) esboce las gráficas de algunas de las soluciones utilizando el campo de pendientes, (c) describa la relación entre las raíces de :ÐCÑ y las soluciones de la ecuación diferencial, y (d) aplicando el método de Euler, aproxime la, o las, raíces reales de :ÐCÑ con tres cifras decimales. ÒW?1/ negativad. §3. TÉCNICAS CUALITATIVAS TEOREMA DE EXISTENCIA:Supongamos que 0 Ð>ß CÑ es una función continua en
un rectángulo de la forma ÖÐ>ß CÑÎ+ > ,ß - C .× en el plano >C. Si Ð>! ß C! Ñ es un punto de este rectángulo, entonces existe % ! y una función CÐ>Ñ definida para >9 % > >! %, la cual resuelve el problema de valores iniciales œ
.C .>
œ 0 Ð>ß CÑ CÐ>! Ñ œ C! TEOREMA DE UNICIDAD:Supongamos que 0 Ð>ß CÑ y `0 `C son funciones continuas en un rectángulo de la forma ÖÐ>ß CÑÎ+ > ,ß - C .× en el plano >C. Si Ð>! ß C! Ñ es un punto de éste rectángulo si C" Ð>Ñ y C# Ð>Ñ son dos funciones que resuelven el
problema de valores iniciales
œ
.C .>
œ 0 Ð>ß CÑ CÐ>! Ñ œ C! para todo > en el intervalo >9 % > >! % (para algún % positivo), entonces C" Ð>Ñ œ C# Ð>Ñ para todo > en el intervalo >9 % > >! %. Es decir la solución
del problema es única.
EJEMPLO 1. Para el problema de valores iniciales
œ
.C .>
œ ># >C$ CÐ"Ñ œ ' ¿implican los teoremas anteriores la existencia de una solución única? # En efecto, en este caso 0 Ð>ß CÑ œ ># >C$ y `0 `C œ $>C . Puesto que ambas funciones son continuas en cualquier rectángulo que contenga al punto Ð"ß 'Ñ, se cumplen las hipótesis de los teoremas anteriores, luego el problema de valores iniciales, posee una solución única en un intervalo con centro en B œ ", de la forma Ð" %ß " %Ñ donde % !Þ EJEMPLO 2. Para el problema de valores iniciales
œ $C $ œ CÐ#Ñ œ ! ¿implican los teoremas anteriores la existencia de una solución única? # "$ En efecto, en este caso 0 Ð>ß CÑ œ $C $ y `0 . Desafortunadamente , `0 `> œ #C `C no es continua o incluso indefinida en C œ !. Por consiguiente, no existe un intervalo que contenga a Ð#ß !Ñ en la cual 0 y `0 `C sean continuas. .C .>
#
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3.1. EQUILIBRIO Y LÍNEAS DE FASE.
Dada la ecuación diferencial .C .> œ 0 Ð>ß CÑ podemos obtener una idea de cómo se comportan las soluciones, dibujando sus campos de pendientes y gráficas, o usando el método de Euler y calculando soluciones aproximadas. A veces hasta podemos obtener fómulas para las soluciones y trazar los resultados. Todos estos procedimientos requieren una buena cantidad de trabajo, ya sea numérico (cálculo de las pendientes o el método de Euler) o analítico. .C
3.2. ECUACIONES AUTÓNOMAS .> œ 0 ÐCÑ Si conocemos el CAMPO DE PENDIENTES a lo largo de una línea vertical > œ >! ,
entonces lo conocemos en todo el plano >C. De manera que, en vez de graficarlo todo, podríamos dibujar sólo una línea que contuviese la misma información. Esta línea se llama LINEA DE FASE para la ecuación autónoma. 3.3. METÁFORA DE LA CUERDA.
Suponga que le dan la ecuación diferencial autónoma .C .> œ 0 ÐCÑ. Piense que una cuerda cuelga verticalmente, extendiéndose infinitamente hacia arriba y hacia abajo. La variable dependiente C le da a usted una posición de la cuerda (la cuerda es el eje C). La función 0 ÐCÑ proporciona un número para cada posición sobre la cuerda. Suponga que el número 0 ÐCÑ está realmente impreso sobre la cuerda a la altura C para cada valor de C. Por ejemplo, a la altura C œ #Þ"(, el valor 0 Ð#Þ"(Ñ está impreso sobre la cuerda. Usted está ahora sobre la cuerda a la altura C! en el tiempo > œ ! y recibe las siguientes instrucciones: "Lea el número que está impreso sobre la cuerda y desplácese hacia arriba o hacia abajo de la cuerda, con velocidad igual a ese número. Ascienda si el número es positivo o descienda si el número es negativo. (Un número grande positivo significa que usted subirá muy rápidamente, mientras que un número negativo cercano a cero, significa que usted descenderá lentamente). Conforme se desplace, continúe leyendo los números sobre la cuerda y ajuste su velocidad, de modo que siempre concuerde con el número impreso sobre la cuerda". Si usted obedece a este conjunto extraño de instrucciones genera una función CÐ>Ñ que da su posición sobre la cuerda en el tiempo >. Su posición en el tiempo > œ ! es CÐ!Ñ œ C! , porque es ahí donde usted estaba situado inicialmente. La velocidad de su movimiento .C .> en el tiempo > estará dada por el número sobre la cuerda, por .C lo que .> œ 0 ÐCÐ>ÑÑ para toda >. Por consiguiente, su función de posición CÐ>Ñ es .C œ 0 ÐCÑ una solución del problema de valor inicial œ .> CÐ!Ñ œ C! . La línea de fase es una imagen de esta cuerda. Como es tedioso registrar los valores numéricos de todas las velocidades, solo marcamos la línea de fase con los números en que la velocidad es cero, e indicamos el signo de la velocidad sobre los intervalos intermedios. La línea de fase proporciona información cualitativa acerca de las soluciones.
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EJEMPLO: Consideremos la ecuación
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œ ÐC "ÑC y hallemos su línea de fase y el gráfico aproximado de sus soluciones. Primeramente se hace notar que una forma sencilla de hallar la línea de fase de .C .> œ 0 ÐCÑ, es hallando el signo de 0 ÐCÑ sobre una recta horizontal y luego se levanta verticalmente destacando sobre ella los puntos de equilibrio y marcando sobre ésta recta con una flecha hacia arriba, en aquellos intervalos donde el signo de 0 ÐCÑ es positivo y con una flecha hacia abajo en los intervalos donde el signo de 0 ÐCÑ es negativo, así en el caso particular de 0 ÐCÑ œ ÐC "ÑC , tenemos =31 C ! " =3C ÐC "Ñ ! " =31ÐC "ÑC ! " .C .>
Ú ! =3 C ! Luego =310 ÐCÑ œ Û ! =3 ! C " Ü ! =3 C " Los valores C œ ! • C œ " son los puntos de equilibrio y las funciones C" Ð>Ñ œ ! • C# Ð>Ñ œ " para todo > son las soluciones de equilibrio y constituyen las asíntotas para el gráfico de las soluciones
3.4. COMO DIBUJAR LÍNEAS DE FASE
Podemos dar una definición más precisa a la línea de fase dando los pasos requeridos para dibujarlas. Para la ecuación autónoma .C .> œ 0 ÐCÑ ì Dibuje la línea C ì Encuentre los puntos de equilibrio (los números tales que 0 ÐCÑ œ !) y márquelos sobre la línea ì Encuentre los intervalos de valores C para los cuales 0 ÐCÑ !ß y dibuje las flechas que señalen hacia arriba sobre esos intervalos ì Encuentre los intervalos de valor C, para los cuales 0 ÐCÑ ! y dibuje flechas que señalen hacia abajo en esos intervalos.
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3.5. COMO USAR LAS LÍNEAS DE FASE PARA ESBOZAR SOLUCIONES
Con este propósito consideremos la ecuación .A .> œ Ð# AÑ=/8 A , como lo hemos hecho antes iniciamos estableciendo el signo de la función 0 ÐAÑ œ Ð# AÑ=/8 A así
Ú Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý luego =310 ÐCÑ œ Û Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ü
ã ! ! ! ! ! ã
=3 #1 A 1 =3 1 A ! =3 ! A # =3 # A 1 =3 1 A #1
En resumen suponga que CÐ>Ñ es una solución de la ecuación diferencial autónoma .C .> œ 0 ÐCÑ ì Si 0 ÐCÐ!ÑÑ œ !ß entonces CÐ!Ñ es un punto de equilibrio y CÐ>Ñ œ CÐ!Ñ para todo >, es solución ì Si 0 ÐCÐ!ÑÑ !ß entonces CÐ>Ñ es creciente para todo > y CÐ>Ñ ∞ß cuando > se incrementa, o bien CÐ>Ñ tiende al primer punto de equilibrio mayor que CÐ!Ñ ì Si 0 ÐCÐ!ÑÑ !ß entonces CÐ>Ñ es decreciente para toda > y CÐ>Ñ ∞, cuando > se incrementa, o bien CÐ>Ñ tiende al primer punto de equilibrio menor que CÐ!Ñ. Cuando > decrece, podemos encontrar resultados similares que también son válidos (el tiempo corre hacia atrás). Si 0 ÐCÐ!ÑÑ !ß entonces CÐ>Ñ (en tiempo negativo) a ∞, o al siguiente punto de equilibrio menor. Si 0 ÐCÐ!ÑÑ !ß entonces CÐ>Ñ tiende (en tiempo negativo) a +∞, o al siguiente punto de equilibrio mayor. 3.6. DIBUJO DE LÍNEAS DE FASE A PARTIR DE SÓLO INFORMACION CUALITATIVA
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Para dibujar la línea de fase de la ecuación diferencial .C .> œ 0 ÐCÑß tenemos que conocer la posición de los puntos de equilibrio y los intervalos sobre los que las soluciones son crecientes o decrecientes. Es decir, tenemos que saber cuáles son los puntos en los cuales 0 ÐCÑ œ !, los intervalos en que 0 ÐCÑ ! y aquellos en los cuales 0 ÐCÑ !. En consecuencia, podemos dibujar la línea de fase para la ecuación diferencial sólo con la información cualitativa acerca de la función 0 ÐCÑ. Por ejemplo, suponga que no conocemos una fórmula para 0 ÐCÑ, pero que tenemos su gráfica. De la gráfica podemos determinar los valores de C para los cuales
0 ÐCÑ œ ! y decidir en cuales intervalos 0 ÐCÑ ! y 0 ÐCÑ !. Con esta información es posible dibujar la línea de fase y a partir de ella obtener los croquis cualitativos de las soluciones. Podemos pasar entonces de la información cualitativa de 0 ÐCÑ a las gráficas de las soluciones de la ecuación diferencial .C .> œ 0 ÐCÑ, sin escribir jamás una fórmula. Para modelos dados la información disponible es completamente cualitativa, este enfoque es muy apropiado. 3.7. EL PAPEL DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO.
Ya hemos determinado que toda solución de una ecuación diferencial .C autónoma .> œ 0 ÐCÑ tiende a +∞ o -∞ cuando > aumenta, o bien tiende asintóticamente a un punto de equilbrio cuando > crece. Por consiguiente, los puntos de equilibrio son sumamente importantes para entender el comportamiento a largo plazo de las soluciones. También vimos que para dibujar una línea de fase necesitamos encontrar los puntos de equilibrio esto es, los intervalos en los cuales 0 ÐCÑ es positiva y en los que 0 ÐCÑ es negativa. Si 0 es continua, podemos cambiar de positivo a negativo sólo en los puntos C! donde 0 ÐC! Ñ œ !, es decir en los puntos de equilibrio. Por lo tanto, estos últimos también juegan un papel crucial en el esbozo de la línea de fase. De hecho, los puntos de equilibrio son la clave para encontrar la línea de fase. EJEMPLO Dada la siguiente línea de fase hallar el espacio de soluciones
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3.8. CLASIFICACION DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO.
Dada su importacia, es conveniente ponerle nombre a los diferentes tipos de puntos de equilibrio y clasificarlos de acuerdo con el comportamieto de las soluciones cercanas. Consideremos un punto de equilibrio C œ C! , como el mostrado
Para C ligeramente menor que C! ß las flechas señalan hacia arriba; para C ligeramente mayor que C! , las fechas señalan hacia abajo. Una solución con condición inicial cercana a C! es una asíntota a C! cuando > ∞. Decimos que un punto de equilibrio C! es un SUMIDERO si cualquier solución con condición inicial lo suficientemente cercano a C! es asintótica a C! cuando > aumenta. Decimos que un punto de equilibrio C! es una FUENTE cuando todas las soluciones que comienzan suficientemente cerca de C! tienden hacia C! conforme > decrece. Esto significa que todas las soluciones que comienzan cerca de C! (pero no en C! ) tenderán a alejarse de C! a medida que > se incrementa. Entonces, una fuente es un sumidero si el tiempo transcurre hacia atrás. (El nombre de fuente debe supuestamente ayudar a imaginar soluciones que brotan de un punto). Los sumideros y las fuentes son dos tipos principales de puntos de equilibrio. Todo punto de equilibrio que no es ni fuente ni sumidero es llamado NODO
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.C EJEMPLO: Dada la ecuación .> œ C# C ' clasificar los puntos de equilibrio
como sumideros, fuentes o nodos
(1) C# C ' œ ÐC #ÑÐC $Ñ así C œ # y C œ $ son los puntos de equilibrio (2) =31Ð C # Ñ # =31ÐC $Ñ $ =31 .C $ # .>
(3) La línea de fase es
así
! para $ C # ! para C $ß C # de aquí $ es sumidero, # es una fuente. (4) Las trayectorias se pueden apreciar en la gráfica. .C .> .C .>
3.9. LOCALIZACIÓN DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO.
Para localizar el tipo de punto de equilibrio sin necesidad de hacer la línea de fase, existe un resultado conocido como teorema de linearización el cual es un resultado similar al famoso criterio de la segunda derivada para la clasificación de los puntos críticos de una función, y a continuación lo recordamos. Sea C œ 0 ÐBÑ y B! un punto crítico, es decir, 0 w ÐB! Ñ œ ! tenemos (a) si 0 ww ÐB! Ñ ! ß entonces Ð B! ß 0 Ð B! ÑÑ es un máximo local (b) si 0 ww Ð B! Ñ !, entonces Ð B! ß 0 Ð B! ÑÑ es un mínimo local (c) si 0 ww Ð B! Ñ œ !, entonces Ð B! ß 0 Ð B! ÑÑ no es ni máximo ni mínimo local, es un punto de cambio de concavidad por ejemplo. 3.10. TEOREMA DE LA LINEARIZACIÓN.
Suponga que C! es un punto de equilibrio de la ecuación diferencial donde 0 es una función diferenciable continuamente. Entonces ì Si 0 w Ð C! Ñ !, entonces C! es un sumidero
.C .>
œ 0 ÐCÑ
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36.
ì si 0 w Ð C! Ñ !ß entonces C! es una fuente ì si 0 w Ð C! Ñ œ !, o si 0 w Ð C! Ñ no existe, entonces necesitamos información adicional para determinar el tipo de C! . Este teorema se deriva inmediatamente del análisis anterior a su enunciado, una vez que recordamos que si 0 w Ð C! Ñ !, entonces 0 está decreciendo cerca de C! y si 0 w Ð C! Ñ !, entonces 0 está creciendo cerca de C! . Este análisis y esas conclusiones son un ejemplo de LINEARIZACION, y es una técnica que a menudo encontramos de utilidad. La derivada 0 w Ð C! Ñ nos da el comportamiento de la mejor aproximación lineal a 0 cerca de C! . Si representamos 0 por su mejor aproximación lineal entonces la ecuación diferencial que obtenemos es muy cercana a la ecuación diferencial original para la C más próxima a C! . Como ejemplo, consideremos la ecuación diferencial .C & % .> œ 2ÐCÑ œ CÐ-9=ÐC #CÑ #(1C Ñ ¿Comó se ve la línea de fase cerca de C œ !?. Dibujar la línea de fase para ésta ecuación será muy complicado. Tendríamos que encontrar los puntos de equilibrio y determinar el signo 2ÐCÑ. Por otra parte es fácil observar que C œ ! es un punto de equilibrio porque 2Ð!Ñ œ !Þ Calculemos 2 w ÐCÑ œ -9=ÐC& #CÑ CÐ&C% #Ñ=/8ÐC & #CÑ #( † &1C % Aquí 2 w Ð!Ñ œ -9=Ð!Ñ œ " !ß luego por el teorema de linearización concluimos que C œ ! es una fuente. 3.11. EJERCICIOS
En los ejercicios 1 a 4, nos referimos a una función 0 , pero no proporcionamos su fórmula. Sin embargo, supongamos que 0 satisface la hipótesis del teorema de unicidad en todo el plano >C, y damos varias soluciones para la ecuación diferencial dada. Finalmente, especificamos una condición inicial. Usando el teorema de unicidad, ¿qué puede concluir usted acerca de la solución con la condición inicial dada? "Þ .C #Þ .C .> œ 0 ÐCß >Ñ .> œ 0 ÐCÑ C" Ð>Ñ œ $ a> es solución, C" Ð>Ñ œ % a> es una solución, CÐ!Ñ œ " C# Ð>Ñ œ # a> es una solución, C$ Ð>Ñ œ ! a> es una solución, CÐ!Ñ œ " .C $Þ .> œ 0 Ð>ß CÑ %Þ .C .> œ 0 Ð>ß CÑ C" Ð>Ñ œ > # a> es solución C" Ð>Ñ œ " a> es una solución, # C# Ð>Ñ œ > a> es solución C# Ð>Ñ œ " ># a> es una solución, CÐ!Ñ œ " CÐ!Ñ œ ! En los ejercicios 5 a 8 se da una condición inicial para la ecuación diferencial .C .> œ ÐC #ÑÐC $ÑC ¿Qué dice el teorema de existencia y unicidad respecto a la solución correspondiente? &Þ CÐ!Ñ œ % 'Þ CÐ!Ñ œ $ (Þ CÐ!Ñ œ " )Þ CÐ!Ñ œ " # # *Þ (a) Demuestre que C" œ > y C# Ð>Ñ œ > " son soluciones a .C # # # % .> œ C C #C> #> > > Þ
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37.
(b) Compruebe que si CÐ>Ñ es una solución de la ecuación diferencial en el inciso (a) y ! CÐ!Ñ "ß entonces ># CÐ>Ñ ># " para todo >Þ # $ "!Þ Considere la ecuación diferencial .C .> œ C Þ (a) Demuestre que C" Ð>Ñ œ ! para todo > es una solución >$ (b) Compruebe que C# Ð>Ñ œ #( es una solución. (c) Verifique que C" Ð!Ñ œ C# Ð!Ñ pero que C" ÐCÑ Á C# Ð>Ñ para toda >. ¿Por qué este ejemplo no contradice el teorema de unicidad? "". Considere una ecuación diferencial de la forma .C .> œ 0 ÐCÑ, que es una ecuación autónoma, y suponga que la función 0 ÐCÑ es continuamente diferenciable. (a) Suponga que C" Ð>Ñ es una solución y que un máximo local en > œ >! . Sea C! œ C" Ð>! Ñ. Demuestre que 0 ÐC! Ñ œ ! (b) Use la información del inciso (a) para esbozar el campo de pendientes a lo largo de la línea C œ C! en el plano >C. (c) Demuestre que la función constante C# Ð>Ñ œ C! es una solución (en otras palabras C# es una solución de equilibrio) (d) Verifique que C" Ð>Ñ œ C! para todo > (e) Compruebe que si una solución de .C .> œ 0 C tiene un mínimo local, entonces es una función constante; es decir, también corresponde a una solución de equilibrio. " " "#Þ a Demuestre que C" > œ >" y C# œ ># son soluciones de la ecuación .C # .> œ C . # b ¿Qué puede decir usted acerca de las soluciones de .C .> œ C para la cual la condición inicial C ! satisface la condición " C ! "# ? c Sugerencia: Podría encontrar la solución general, pero ¿qué información puede obtener usted de su respuesta al sólo inciso a d. C "$Þ Considere la ecuación .C .> œ > # a Demuestre que la función constante C" > œ ! es una solución b Compruebe que hay un número infinito de otras funciones que satisfacen la ecuación diferencial que concuerdan con esta solución cuando > Ÿ !, pero que son diferentes de cero cuando > !Þ cSugerencia: Usted necesita definir esas funciones usando un lenguaje como: C > œ â cuando > Ÿ ! y C > œ â cuando > !d. En los ejercicios "% a "( se da un problema de valor inicial. a Encuentre una fórmula para la solución. b Establezca el dominio de definición de la función. c Describa qué le ocurre a la solución cuando tiende a los limites de su dominio de definición. ¿Por qué puede extenderse la solución para un tiempo mayor? " $ "%Þ .C C ! œ" "&Þ .C C ! œ! .> œ C ß .> œ C" ># ß "'Þ
.C .>
œ
" C#
#
ß
C ! œ"
"(Þ
.C .>
œ
" C# ß
C " œ!
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38.
En los ejercicios ") a #&, esboce las líneas de fase para la ecuación diferencial dada. Identifique los puntos de equilibrio como sumideros, fuentes o nodos. .C .C " ")Þ .C "*. .C œ C# 'C "' #!. .C .> œ $C " C .> œ cosÞC #". .> œ C# # ##Þ .A #$. .A #%. .A .> œ AcosA .> œ A # =/8ÞA .> œ A #A "! #&Þ .A .> œ tanÞA En los ejercicios #' a $# se da una ecuación diferencial y se especifican varias condiciones inciales. Esboce las gráficas de las soluciones que satisfacen a esas condiciones iniciales. En cada ejercicio, coloque todas sus gráficas sobre un par de ejes. " #'Þ .C .> œ $C " C à C ! œ "ß C # œ "ß C ! œ # ß C ! œ # # #(Þ .C .> œ C 'C "'à C ! œ "ß C " œ !ß C ! œ "!ß C ! œ & .C #)Þ .> œ cosÞCà C ! œ !ß C " œ "ß C ! œ 1# ß C ! œ 1 #*Þ .A .> œ AcosÞAà A ! œ !ß A $ œ "ß A ! œ #ß A ! œ " .A $!Þ .> œ A # =/8ÞAà A ! œ "ß A ! œ (% ß A ! œ "ß A ! œ $ " $"Þ .C .> œ C# à C ! œ !ß C " œ $ß C ! œ # pregunta capciosa # ˆ"‰ $#Þ .A .> œ A #A "!à A ! œ !ß A # œ "ß A ! œ #Þ En los ejercicios $$ a $*, describa el comportamiento a largo plazo de la # solución de la ecuación diferencial .C .> =C %C # con la condición inicial dada $$Þ C ! œ ! $%ÞC ! œ " $&ÞC ! œ " $'ÞC ! œ "! $(Þ C ! œ "! $)ÞC $ œ " $*ÞC " œ !Þ %!ÞConsidere la ecuación autónoma .C .> œ 0 C . Suponga que sabemos que 0 " œ 0 # œ !Þ a Escriba todos los posibles comportamientos de la solución de C > que satisfacen la condición inicial C ! œ ". b Suponga también que 0 C ! para " C #Þ Describa todos los posibles comportamientos de la solución C > que satisface la condición inicial C ! œ "Þ En los ejercicios %" a %%, encontrar la gráfica de una función 0 C Þ Esboce la línea de fase para la ecuación diferencial autónoma .C .> œ 0 C
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39.
En los ejercicios %& a %' se muestra una línea de fase para una ecuación diferencial autónoma .C .> œ 0 C . Haga un bosquejo de la gráfica de la función correspondiente 0 C Þ (Suponiendo que C œ ! está a la mitad del segmento mostrado en cada caso)
%*Þ Sea 0 C una función continua. a Suponga que 0 "! ! y 0 "! !. Demuestre que hay un punto de equilibrio para .C .> œ 0 C entre C œ "! y C œ "!. b Considere que 0 "! !, que 0 "! ! y que hay muchos puntos de equilibrio finitos entre C œ "! y C œ "!. Si C œ " es una fuente, demuestre que .C debe tener por lo menos dos sumideros entre C œ "! y C œ "!ß .> œ 0 C (¿Puede usted decir dónde están localizados?)
§4. TEORIA CUANTITATIVA 4.1. ECUACION CON VARIABLES SEPARABLES
Las ecuaciones diferenciales del tipo 1ÐCÑ.C œ 0 ÐBÑ.B se llaman ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES. Para este modelo de ecuaciones el análisis cuantitativo nos brinda el siguiente resultado:
Si 0 y 1 son funciones continuas y J w ÐBÑ œ 0 ÐBÑß Kw ÐCÑ œ 1ÐCÑß y C es alguna solución de 1ÐCÑ.C œ 0 ÐBÑ.Bß entonces existe una constante - tal que KÐCÐBÑÑ œ J ÐBÑ - . Inversamente, cualquier función diferenciable C la cual satisface KÐCÑ œ J ÐBÑ - para cualquier constante -ß es solución de la ecuación 1ÐCÑ.C œ 0 ÐBÑ.B. TEOREMA.
DEMOSTRACION. La segunda afirmación es clara, pues cualquier función que
satisface a la ecuación KÐCÑ œ J ÐBÑ - es una solución de la ecuación w 1ÐCÑC œ 0 ÐBÑ, lo cual es inmediato por la regla de la cadena para la diferenciación. Por lo tanto necesitamos solamente probar que cualquier solución tiene la misma forma. Sea C cualquier solución de la ecuación 1ÐCÑ.C œ 0 ÐBÑ.B la cual podemos escribir en la forma siguiente .C 1ÐCÐBÑÑ .B œ 0 ÐBÑ ß para todo > Ð&Ñ Sea LÐBÑ œ KÐCÐBÑÑ, donde K es cualquier antiderivada de 1. Entonces por la regla de la cadena y la identidad Ð&Ñ obtenemos L w ÐBÑ œ Kw ÐCÐBÑÑC w ÐBÑ œ 1ÐCÐBÑÑC w ÐBÑ œ 0 ÐBÑ œ J w ÐBÑ
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Esto es, L y K tienen la misma derivada. Se sigue que existe una constante - tal que LÐBÑ œ J ÐBÑ - y por lo tanto se tiene que KÐCÐBÑÑ œ J ÐBÑ - .
El teorema anterior nos indica que cualquier solución de una ecuación de variable separable 1ÐCÑ.C œ 0 ÐBÑ.B puede obtenerse integrando miembro a miembro así ' 1ÐCÑ.C œ ' 0 ÐBÑ.B Ð'Ñ donde - es una constante arbitraria. Hemos obtenido la ecuación Ð'Ñ, satisfecha para todas las soluciones de la ecuación 1ÐCÑ.C œ 0 ÐBÑ.B. Además toda solución de la ecuación Ð'Ñ es solución de 1ÐCÑ.C œ 0 ÐBÑ.B ya que si la función CÐBÑ se sustituye en la ecuación Ð'Ñ, la tranforma en una identidad, entonces derivando dicha identidad obtenemos que CÐBÑ satiface a 1ÐCÑ.C œ 0 ÐBÑ.B. Es posible que en algunos problemas no sea posible expresar las integrales indefinidas ' 1ÐCÑ.Cß ' 0 ÐBÑ.B en funciones elementales; pero, a pesar de esto, consideraremos resuelto también en este caso el problema de la integración de la ecuación diferencial 1ÐCÑ.C œ 0 ÐBÑ.B en el sentido de que lo hemos reducido a un problema más simple, ya estudiado en el cálculo integral. Si hay que obtener una solución particular que satisface la condición CÐB! Ñ œ C! ß ésta evidentemente se determina por la ecuación 'CC 1ÐCÑ.C œ 'BB 0 ÐBÑ.B ! ! la cual se obtiene de 'CC 1ÐCÑ.C œ 'BB 0 ÐBÑ.B ! ! usando la condición inicial CÐB! Ñ œ C! . EJEMPLO 1. Estudie la solución de la ecuación B.B C.C œ ! Las variables están separadas, ya que el coeficiente de .B es función de B, y el coeficiente de .C es función de sólo C. Integrando obtenemos ' B.B ' C.C œ -ß o bien B# C# œ -"# la cual es una familia de circunferencias con centro en el origen de coordenadas.
# .C EJEMPLO 2. Estudie la solución de la ecuación /B .B œ P8C . # .C B Integrando obtenemos ' / .B œ ' . Las integrales no se pueden resolver por P8C
funciones elementales, sin embargo, la ecuación original se considera integrada, puesto que el problema se redujo a un problema de integración.
Las ecuaciones del tipo :" ÐBÑ B .B > .B # ' ' È œ %>.> Í œ %>.> Í # B œ #> Í #ÈB # œ #># # Í ¹ ¹ È " È " B
.C .B
È B œ ># Í B œ > % Þ
B
"
"
EJEMPLO 6. Como ya fue mencionado en la introducción, se ha establecido que
la velocidad de desintegración radioactiva es proporcional a la cantidad B de sustancia aún no desintegrada. Hallar la dependencia de B respecto al tiempo t, si en el momento inicial para > œ >! era B œ B! . Supondremos conocido el coeficiente de proporcionalidad 5ß llamado constante de desintegración. La ecuación diferencial del proceso tendrá la forma .B .> œ 5B, separando variables e integrando B > .B ¸ ¸ œ 5.> Í P8 B œ 5> Í P8¸B¸ P8¸B! ¸ œ 5Ð>>! Ñ ¹ ¹ B Í ¸B¸ œ ¸B! ¸/5Ð>>! Ñ .
B!
>!
4.2. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE VARIABLE SEPARABLE
Muchas ecuaciones diferenciales pueden ser reducibles a ecuaciones con variables separables mediante una sustitución adecuada. A dicho grupo pertenecen, por ejemplo las ecuaciones de la forma
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.C .B
œ 0 Ð+B ,CÑ donde + y , son magnitudes constantes, las cuales se transforman en ecuaciones con variables separables por medio de una sustitución como por ejemplo D œ +B ,C. Efectivamente, pasando a las nuevas variables B y D tenemos .D .D .B œ + ,0 ÐDÑ Í +,0 ÐDÑ œ .B
con lo que hemos separado las variables. Integrando, obtenemos .D B œ ' +,0 ÐDÑ GÞ EJEMPLO 1. Halle la solución de la ecuación
.C .B
œ #B C
Haciendo D œ #B C, tenemos .C .D .D .D .D ‘ .B œ .B #ß Ê .B # œ D Í .B œ D # Í D# œ .B integrando se tiene P8¸D #¸ œ B G Í D # œ /BG Í D œ # G/B Í #B C œ # G/B Luego, C œ # #B G/B . EJEMPLO 2. Estudiar las soluciones de la ecuación
D œBC Así
.D .B
1 %,
o lo que es .C œ " .B œ" .D .B
lo mismo, B C œ D 1% ß >+8D>+8 1 >+8ÐD 1% Ñ œ " ">+8D†>+8% 1 %
œ
#>+8D ">+8D
de donde,
œ >+8ÐB CÑ. Aquí se hace en esta forma >+8D" œ " ">+8D œ "#>+8D" ">+8D .C .B
Ð">+8DÑ.D #>+8D
œ .B
integrando se recibe ' ˆ " " ‰.D œ B G " Í " P8 =/8ÐB C 1 Ñ " ÐB C 1 Ñ œ B G . #>+8D # # # % # % 4.3. ECUACIONES DIFERENCIALES COEFICIENTES HOMOGÉNEOS.
ORDINARIAS
DE
PRIMER
ORDEN
CON
Ocasionalmente una ecuación diferencial ordinaria (D.O.) cuyas variables no son separables puede convertirse en una cuyas variables son separables por medio de una sustitución apropiada. Un ejemplo en donde este método siempre funcionará, es cuando los coeficientes de la ecuación son funciones homogéneas del mismo grado, de acuerdo con la siguiente definición. DEFINICION. Se dice que una función continua 0 ÐBß CÑ es homogénea de grado - si, para todo número real > 0 Ð>Bß >CÑ œ >- 0 ÐBß CÑÞ B Por ejemplo, las funciones B# C# y BC son homogéneas de grado dos, / C y #BC " son funciones homogéneas de grado !, y ÈBC es homogénea de grado - "# . C
Supongamos ahora que Q ÐBß CÑ y R ÐBß CÑ son funciones homogéneas del mismo grado - y consideremos la ecuación diferencial Q ÐBß CÑ.B R ÐBß CÑ.C œ !. Afirmamos que la sustitución C œ @B convertirá a esta ecuación en una cuyas variables sean separables. En efecto, tenemos entonces
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Q ÐBß @BÑ.B R ÐBß @BÑÐ@.B B.@Ñ œ ! la cual debido a la homogeneidad que hemos supuesto en Q y R puede escribirse en la forma B- Q Ð"ß @Ñ.B B- R Ð"ß @ÑÐ@.B B.@Ñ œ ! de donde Q" Ð@Ñ.B R" Ð@ÑÐ@.B B.@Ñ œ ! en donde Q" y R" son funciones únicamente de @, separando ahora las variables se obtiene R" Ð@Ñ .B B Q" Ð@Ñ@R" Ð@Ñ .@ œ !Þ OBSERVACÍON: La forma normal de una ecuación homogénea es
Cw œ
Q ÐBßCÑ R ÐBßCÑ
en donde la función Q R es homogénea de grado !. En este caso el argumento que acabamos de dar implica que la sustitución C œ @B convertirá a la ecuación C w œ 0 ÐBß CÑ en una cuyas variables son separables siempre que 0 ÐBß CÑ sea homogénea de grado !. EJEMPLO 1. Hallar la solución general de la ecuación: C w œ
BC BC
Como la función BC BC es homogénea de grado !, hacemos la sustitución C œ @B, con lo que obtenemos .@ @ B .B œ "@ "@ Se separan ahora las variables para obtener .B @" B @# " .@ œ ! se sigue que P8¸B¸ "# P8Ð@# "Ñ >+8" @ œ P8Gß G ! De donde " BÈ@# " œ G/>+8 @ ß G Á! C >+8" ÐCÎBÑ # # È y como @ œ B ß tenemos B C œ G/ , en donde G es una constante arbitraria distinta de cero.
EJEMPLO 2. Hallar la solución del problema
BC.B B# .C œ CÈB# C# .C CÐ!Ñ œ " La ecuación es homogénea y la sustitución C œ @B lleva la ecuación a la de variable separable siguiente: .@ .@ .B Ð"Ñ B œ @# È"@# @ œ
Haciendo la sustitución @ œ >+89ß obtenemos # ' # È.@ # œ È"@ G @ @ "@
integrando la ecuación Ð"Ñ obtenemos P8 GB œ P8@
È"@# @
œ P8 BC
É" C # C B
#
B
œ P8 BC
ÈB# C # C
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De donde
ÈB#C# œ CP8G CP8C Como CÐ!Ñ œ " se tiene que P8G œ ", obteniéndose la solución deseada ÈB#C# œ C CP8C
EJEMPLO 3. Halle la solución del problema de valores iniciales .C ÐB ÈC# BCÑ .B œC œ CÐ"Ñ œ " La ecuación es homogénea y la sustitución C œ @B lleva a la ecuación .@ .@ ÐB ÈB# @# B# @ÑÐ@ B .B Ñ œ B@ Í Ð" È@# @ÑÐ@ B .B Ñœ@ .@ Í @Ð" È@# @Ñ BÐ" È@# @Ñ .B œ @ .@ Í BÐ" È@# @Ñ .B œ @È@# @ Separando variables tenemos "È@# @ œ .B È # B Integrando tenemos
'
@
.@ @È@# -@
@ @
'
.@ @
œ '
.B B
Para calcular la primera integral se hace la sustitución @ œ ' È.@# œ #É @" G Así
@
" D
obteniendo
@
@ @
G G G É B C œ P8 BC #É @" Í #É CB @ P8@ œ P8 B Í # C œ P8 BC C
" B
Pero CÐ"Ñ œ " de donde G œ ". Luego la solución deseada es CB #É CB C œ P8 BC o sea #É C P8 BC œ !
4.4 ECUACIONES DIFERENCIABLES TRANSFORMABLES A HOMOGÉNEAS.
Las ecuaciones del tipo
.C .B
" C-" œ 0 Š ++"# B, B,# C-# ‹ pueden reducirse a ecuaciones
homogéneas, si trasladamos el origen de coordenadas al punto de intersección ÐB" ß C" Ñ de las rectas +" B ," C - " œ ! y + # B , # C - # œ ! esto siempre y cuando + " ," º+ , º Á ! # # Obteniéndose el caso conocido como conforme, pues se conservan los ángulos en la transformación entre planos. Efectivamente, los términos independientes -" y -# en las ecuaciones de estas rectasß en las nuevas coordenadas \ œ B B" ß ] œ C C" ß será igual a cero; y también los coeficientes de las .C .] coordenadas permanecen invariables .B œ .\ ß y la ecuación toma la forma .] .\
\," ] œ 0 Š ++"# \, ‹ o bien #]
.] .\
] œ Š +" ," \] ‹ œ Ñ ,Ð>Ñ.> !
Ahora /E < œ F G es valida si y sólo si +8 $ >+8# >+8 α œ ">+8 $ >+8 # C w Pero >+8 # œ B ß y >+8 $ œ C , la pendiente de CÐBÑÞ Por lo tanto C w ÐCÎBÑ BC w C >+8 α œ "C w ÐCÎBÑ œ BCC w
y como >+8 " œ
" >+8 $
œ
" Cw
llegamos a la ecuación diferencial BC w C " BCC w = C w ß
C „ÈB# C #
o , Cw œ . B Finalmente, para determinar el signo correspondiente aquí, observamos que C w debe ser positivo y que ÈB# C# ¸C¸, de donde debemos utilizar el signo positivo, y de ello se sigue que C está determinado como la solución de la ecuación C ÈB# C # Cw œ B Como el segundo miembro de esta ecuación es una función homogénea de grado cero, la ecuación puede resolverse mediante el cambio de variable C œ @Bß omitiendo detalles, el resultado es # # B " C œ G #G ß G Á !. Estas curvas forman una familia uniparamétrica de parábolas que se abren hacia arriba simétricas, con respecto al eje de las Cß = y con su foco en el origen. Con esto hemos resuelto el problema y probado simultáneamente, el hecho geométrico bien conocido de que un rayo de luz que tiene su origen en el foco de un paraboloide de revolución se refleja paralelamente al eje del paraboloide.
§7. COMPARTIMIENTOS
El sistema básico de un compartimiento consiste de una función BÐ>Ñ que representa la capacidad de una sustancia presente en el compartimiento en el instante >, la velocidad de entrada a la cual fluye la sustancia en el interior del
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compartimiento, y la velocidad de salida con la cual dicha sustancia abandona el compartimiento.
Puesto que la derivada de B con respecto al tiempo > se puede interpretar como la razón de cambio de la cantidad de sustancia presente en el compatimiento con respecto al tiempo, las presunciones sobre un comportamiento sugieren .B .> œ @/69-3.+. ./ /8>3/7:9Ñ por la concentración Ð-+8>3.+.Î@96?7/8Ñ resulta la velocidad de entrada Ð-+8>3.+.Î>3/7:9Ñ. La velocidad de salida de la sustancia normalmente es más difícil de encontrar. Si se proporciona la velocidad de salida de la mezcla de fluidos contenidos en el tanque ¿cómo determinar la concentración de la sustancia en esta mezcla?. Una suposición simplificadora la cual se puede hacer, es que la concentración se mantiene uniforme en la mezcla. Entonces es posible calcular la concentración de la sustancia en la mezcla dividiendo la cantidad BÐ>Ñ por el volumen de la mezcla contenida en el tanque en el tiempo >. Multiplicando esta concentración por la velocidad de salida de la mezcla se obtiene la velocidad de salida deseada de la sustacia. EJEMPLO 1. Considere un gran tanque que contiene "!!! P de agua dentro del cual una solución de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de ' PÎ738. La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de ' PÎ738. Si la concentración de la sal en la salmuera que entra en el tanque es de " 51ÎP, determine cuando será de "# 51ÎP la concentración de sal en el tanque. En efecto, podemos considerar el tanque como un compartimiento. Si denotamos con 'PÎ738
BÐ>Ñ 'PÎ738 "!!!P BÐ!Ñ œ ! 51
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BÐ>Ñ la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante >. Primero se debe determinar la velocidad a la cual entra la sal en el tanque, puesto que la concentración de la salmuera es de " 51ÎP, se concluye que la velocidad de entrada de sal al interior de tanque es Ð'PÎ738ÑÐ" 51ÎPÑ œ ' 51Î738 Por hipótesis la salmuera se mantiene bien agitada así que la concentración de la sal en el tanque se mantiene uniforme, y en cualquier instante es igual a BÐ>Ñ dividida por el volumen del fluido contenido en el tanque. Puesto que éste contene inicialmente "!!! P y la velocidad del flujo al interior del tanque es la misma que la velocidad de salida, el volumen es igual a la constante "!!! P, por consiguiente la velocidad de salida está dada por BÐ>Ñ Ð' PÎ738ÑŠ "!!! 51ÎP‹ œ $BÐ>Ñ &!! 51Î738
Puesto que el tanque contiene inicialmente sólo agua, hacemos BÐ!Ñ œ !Þ Resulta así el siguiente problema de valores iniciales .B $B œ ' &!! .> œ BÐ!Ñ œ ! como un modelo matemático para el problema de mezclas. Esta ecuación es de variable separable o lineal y su solución analítica es muy fácil, obteniéndose que BÐ>Ñ œ "!!!Ð" /$>Î&!! Ñ Así la concentración de sal en el tanque en el tiempo > es BÐ>Ñ $>Î&!! 51ÎP "!!! œ " / Para determinar cuándo la concentración de la sal es de "# O1ÎPß se despeja > de la ecuación " /$>Î&!! œ "# Í /$>Î&!! œ "# por lo tanto, > œ &!!68# ¸ ""&Þ&# 738Þ $
EJEMPLO 2. Para el problema de mezcla descrito en el ejemplo ", supóngase que la salmuera sale del tanque a razón de & PÎ738 en vez de ' PÎ738, con todas las demás condiciones iguales. Determine la concentración de sal en el tanque en función del tiempo En efecto, puesto que la diferencia entre la velocidad de flujo hacia el interior 'PÎ738 "51ÎP
BÐ>Ñ &PÎ738 ¿P? BÐ>Ñ œ ! 51
del tanque y la velocidad de salida es ' & œ "PÎ738, la cantidad con la cual la sal abandona el tanque es BÐ>Ñ &BÐ>Ñ Ð&PÎ738ÑŠ "!!!> 51Î738‹ œ "!!!> 51Î738 Resulta el problema de valor inicial
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&B œ ' "!!!> œ BÐ!Ñ œ ! como modelo matemático para el problema de mezclas. Puesto que la ecuación & es lineal, podemos hallar el factor integrante para .B .> "!!!> B œ ' .B .>
.Ð>Ñ œ /' "!!!> œ Ð"!!! >Ñ& Así la ecuación se nos transforma en . & & .> Ð"!!! >Ñ B œ Ð"!!! >Ñ † ' de donde BÐ>Ñ œ Ð"!!! >Ñ GÐ"!!! >Ñ& pero BÐ!Ñ œ ! entonces G œ Ð"!!!Ñ' , luego BÐ>Ñ œ Ð"!!! >Ñ Ð"!!!Ñ' Ð"!!! >Ñ& La concentración sera entonces dada por BÐ>Ñ ' ' "!!!> œ " Ð"!!!Ñ Ð"!!! >Ñ 51ÎP
EJEMPLO 3. Consideremos un tanque que contiene un volumen de "!!!! 7>$ . Supongamos que en el tiempo > œ ! el agua está limpia y que el estanque tiene dos corrientes que fluyen hacia él, la E y la F , y otra más de salida, la corriente G . Supóngase que desde la corriente E fluyen &!! 7>$ por día hacia el estanque, y desde la F corren (&! 7>$ por día &.>
En el tiempo > œ !, el agua que llega al estanque por la corriente E se contamina por la sal del cauce a una concentración de & kilogramos por cada "!!! 7>$ . Supongamos que el agua en el tanque está bien mezclada, por lo que la concentración de sal en cualquier tiempo dado es constante. Para empeorar las cosas, tome en cuenta también que en el instante > œ ! alguien empieza a arrojar basura en el estanque a razón de &! 7>$ por día. La basura se asienta en el fondo del estanque, reduciendo el volumen en &! 7>$ por día. Para ajustar la basura que llega, se incrementa la razón de agua que sale por la corriente G a "$!! 7>$ por día y los bordes del estanque no se desbordan. La descripción se parece mucho a la de los problemas de mezclado que hemos considerado (donde "estanque" reemplaza a "tanque" y "corriente" reemplaza a
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"tubo"). El nuevo elemento aquí es que el volumen total no es constante, pues éste disminuye &!7>=$ por día, a causa de la basura arrojada. Si WÐ>Ñ es la cantidad de sal (en kilogramos) en el estanque en el tiempo >, entonces .W .> es la diferencia entre la razón de entrada de sal y la razón de salida de este sólido del estanque. La sal ingresa al estanque sólo por la corriente Eß y la velocidad a la cual entra, es el producto de su concentración en el agua, y la razón a la que el agua entra por la corrienta A. Como la concentración es de & kilogramos por "!!! 7>=$ y la razón a la que el agua ingresa al tanque por la corriente E es de &!! 7>=$ por día, así la razón a la que la sal entra al estanque es & Ð&!!ÑÐ "!!! Ñ œ #& kilogramos por día. La razón a la que la sal sale por la corriente G es el producto de su concentración en el estanque y la razón a la que el agua sale del estanque Ð"$!! 7>=$ por díaÑ. Para determinar la concentración, observamos que ésta es el cociente de la cantidad W de sal en el estanque por el volumen Z . Como el volumen es inicialmente de "!!!! 7>=$ y disminuye en &! 7>=$ por día, sabemos W que Z Ð>Ñ œ "!!!! &!>. Por consiguiente la concentración es "!!!!&!> , y la razón a la que la sal sale del estanque es W #'W ‰ œ #!!> "$!!ˆ "!!!!&!> La ecuación diferencial que modela la cantidad de sal en el estanque es por lo tanto .W & #'W .> œ # #!!> Este modelo es válido sólo mientras haya agua en el estanque, es decir, en tanto que el volumen Z Ð>Ñ œ "!!!! &!> sea positiva. La ecuación diferencial es entonces válida para ! Ÿ > Ÿ #!!. Como el agua está limpia en el tiempo > œ !ß la condición inicial es WÐ!Ñ œ !Þ La ecuación diferencial para la sal en el estanque no es autónoma. Su campo de pendientes está dado, y a partir de ésta o mediante el método de Euler podríamos aproximar la solución con el valor inicial WÐ!Ñ œ !Þ Como la ecuación es lineal podemos también encontrar una fórmula para la solución. Reescribiendo la ecuación diferencial como .W #'W & .> #!!> œ # vemos que el factor integrante es #' .Ð>Ñ œ /' #!!> .> œ Ð#!! >Ñ#' Multiplicando ambos lados por .Ð>Ñ se obtiene . #' W œ #& Ð#!! >Ñ#' .> Ð#!! >Ñ De donde se halla la solución deseada ˆ #!!> ‰#' . W œ #!!> "! #! #!!
7.2. CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO
Nuestra meta es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en un lapso de 24 horas en función de la temperatura externa, del calor que se genera dentro
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del edificio y del sistema de calefacción o aire acondicionado. A partir de este modelo nos gustaría responder las tres preguntas siguientes: (a) ¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio? (b) ¿Comó varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño cuando no se emplea calefacción o aire acondicionado? (c) ¿Comó varía la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en el invierno, cuando se emplea calefacción? Un planteamiento natural para modelar la temperatura interior de un edificio consiste en utilizar el análisis compartimental. Si X Ð>Ñ representa la temperatura del interior del edificio en el tiempo > y se considera al edificio como un sólo compartimiento, entonces la razón de cambio de la temperatura es exactamente la diferencia entre la razón a la que aumenta la temperatura y la razón a la que la misma disminuye. Consideraremos tres factores principales que afectan la temperatura del interior del edificio. El primer factor es el calor producido por las personas, luces y máquinas que se encuentran dentro del edificio. Esto ocasiona una razón de incremento de la temperatura que se denotará con LÐ>Ñ. El segundo factor es el calentamiento (ó enfriamiento) que proporciona el calefactor (o el aire acondicionado). Esta razón de incremento (ó disminución) de la temperatura se representará con Y Ð>Ñ. En general la razón de calentamiento adicional LÐ>Ñ y la razón de calefacción (ó aire acondicionado) Y Ð>Ñ se describen en términos de energía por unidad de tiempo (tales como unidades térmicas británicas (btu) por hora). Sin embargo, multiplicando por la capacidad calórica del edificio (en unidades de grados de cambio de temperatura por energía calorífica) se pueden expresar ambas cantidades LÐ>Ñ y Y Ð>Ñ en términos de temperatura por unidad de tiempo. El tercer factor es el efecto de la temperatura exterior Q Ð>Ñ sobre la temperatura interior del edificio. La evidencia experimental ha demostrado que este factor se puede modelar usando la LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO, que establece que hay una razón de cambio de la temperatura X Ð>Ñ que es proporcional a la diferencia entre la temperatura exterior R Ð>Ñ y la temperatura interior X Ð>ÑÞ Esto es, la razón de cambio de la temperatura del edificio debida a Q Ð>Ñ es 5ÒQ Ð>Ñ X Ð>ÑÓ La constante positiva 5 depende de las propiedades físicas del edificio, tales como el número de puertas, de ventanas y el tipo de aislamiento, pero 5 no depende de Q ß X ó >Þ Por consiguiente, cuando la temperatura exterior es mayor que la interior, entonces Q Ð>Ñ X Ð>Ñ ! y hay un aumento en la razón de cambio de la temperatura del edificio debido a Q Ð>Ñ. Por otra parte, cuando la temperatura exterior es menor que la interior, entonces Q Ð>Ñ X Ð>Ñ !, y hay una disminución de dicha razón de cambio. Resumiendo, obtenemos .X Ð"Ñ .> œ 5ÒQ Ð>Ñ X Ð>ÑÓ LÐ>Ñ Y Ð>Ñ
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donde la razón de calentamieto adicional LÐ>Ñ es siempre no negativa y Y Ð>Ñ es positiva para el sistema de calefacción y negativa para el de refrigeración por aire adicionado. Un modelo más detallado de la dinámica de la temperatura del edificio podría incluir más variables para representar diferentes temperaturas en diferentes cuartos o zonas. Dicho planteamiento utilizaría el análisis compartimental, siendo los cuartos los distintos compartimentos. Puesto que la ecuación Ð"Ñ es lineal, se puede resolver usando el método examinado en la teoría general. Reescribiendo Ð"Ñ en la forma canónica .X Ð#Ñ .> Ð>Ñ T Ð>ÑX Ð>Ñ œ UÐ>Ñ (función de forzamiento) se donde T Ð>Ñ ³ 5ß UÐ>Ñ ³ 5Q Ð>Ñ LÐ>Ñ Y Ð>Ñ encuentra que el factor integrante es .Ð>Ñ œ /B: ' 5.> œ /5> Para resolver Ð#Ñ, se multiplica cada miembro por /5> y se integra: 5> 5> /5> .X .> Ð>Ñ 5/ X Ð>Ñ œ / UÐ>Ñ /5> X Ð>Ñ œ ' /5> UÐ>Ñ.> G Resolviendo para X Ð>Ñ resulta X Ð>Ñ œ /5> Ö' /5> Ò5Q Ð>Ñ LÐ>Ñ Y Ð>ÑÓ.> G×.
EJEMPLO 2. Encontrar la temperatura del edificio X Ð>Ñ si la razón de calentamiento adicional LÐ>Ñ es igual a la constante L! , no hay calefacción ó enfriamiento ÐY Ð>Ñ ´ !Ñ , y la temperatura exterior Q Ð>Ñ varía en forma de onda senoidal durante un período de 24 horas, con su mínimo en > œ ! (media noche) y su máximo en > œ "# (medio día); esto es Q Ð>Ñ œ Q! F -9= A> 1 donde F es una constante positiva y A œ ##%1 œ "# radianes/hora (ésta podría ser la situación durante la primavera ó el otoño, cuando no se utiliza calefacción ni aire acondicionado). SOLUCION: La función UÐ>Ñ dada por UÐ>Ñ ³ 5Q Ð>Ñ LÐ>Ñ Y Ð>Ñ en este caso UÐ>Ñ œ 5 Q! F -9= A> L! Þ Si hacemos F! ³ Q! L! ÎO , entonces UÐ>Ñ œ 5 F! F -9= A> Ð$Ñ donde 5F! representa el valor medio diario de UÐ>Ñ; esto es " ' #% 5F! œ #% ! UÐ>Ñ.>. Cuando la función de forzamiento UÐ>Ñ de la ecuación Ð$Ñ se sustituye en la expresión de la temperatura dada por la ecuación X Ð>Ñ œ /5> ' /5> Q Ð>Ñ LÐ>Ñ Y Ð>Ñ .> G ‘ß el resultado (luego de utilizar integración por partes) es X Ð>Ñ œ /5> Ö' /5> 5F! 5F -9= A> .> G× X Ð>Ñ œ F! FJ Ð>Ñ G/5> donde
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J Ð>Ñ œ
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-9= A>ÐAÎ5Ñ =/8 A> "ÐAÎ5Ñ#
La constante G se elige de tal modo que a la media noche (>! œ !) el valor de la temperatura X sea igual a cierta temperatura inicial X! . De esta manera F G œ X! FJ Ð!Ñ œ X! "ÐAÎ5Ñ #
EJEMPLO 3. Supóngase que en el edificio del ejemplo2 está instalado un
termostato sencillo que se utiliza para comparar la temperatura interior real
del edificio con una temperatura deseada XH . Si la temperatura real es menor que la temperatura deseada, el calefactor proporciona calentamiento; de lo contrario, se encuentra apagado. Si la temperatura real es mayor que la deseada, el acondicionador del aire proporciona enfriamiento; de lo contrario, se encuentra apagado. (En la práctica, hay una zona muerta alrededor de la temperatura deseada en la cual la diferencia de temperatura no resulta suficiente para activar el termostato, pero este hecho no se toma en cuenta aquí). Suponiendo que la cantidad de calor ó enfriamiento suministrado es proporcional a la diferencia de temperatura, es decir Y Ð>Ñ œ 5Y ÒXH X Ð>ÑÓ donde 5Y es la constante (positiva) de proporcionalidad, encuentre X Ð>Ñ. SOLUCION: Si el control, proporcional Y Ð>Ñ se sustituye directamente en la ecuación diferencial del modelo .X .> œ 5ÒQ Ð>Ñ X Ð>ÑÓ LÐ>Ñ Y Ð>Ñ de la temperatura del espacio, se obtiene .X .> œ 5ÒQ Ð>Ñ X Ð>Ñ Ó LÐ>Ñ 5Y ÒXH X Ð>ÑÓ = 5 5Y X Ð>Ñ LÐ>Ñ 5Q Ð>Ñ 5Y XH Í .X .> Ð5 5Y ÑX Ð>Ñ œ 5Q Ð>Ñ 5Y XH Í .X .> T X Ð>Ñ œ UÐ>Ñ donde T ³ 5 5Y y UÐ>Ñ œ 5Q Ð>Ñ LÐ>Ñ 5Y XH Cuando la razón de calentamiento adicional es una constante L! y la temperatura exterior Q varía como onda senoidal durante un período de #% horas de la misma forma que sucedió en el ejemplo #, la función de forzamiento es UÐ>Ñ œ 5ÐQ! F -9= A>Ñ L! 5Y XH. La función UÐ>Ñ tiene un término constante y un término coseno exactamente como la ecuación UÐ>Ñ œ 5ÐQ! F -9= A>Ñ del ejemplo anterior y esta equivalencia resulta más aparente, luego de la siguiente sustitución UÐ>Ñ œ 5" ÐF# F" -9=A>Ñ Ð%Ñ donde 1 A œ ##%1 œ "# , 5" œ 5 5 Y 5Y XH 5Q! L! F# œ , F" œ F5 5" 5" Las expresiones para la constante T y la función de forzamiento UÐ>Ñ de la ecuación Ð%Ñ son iguales a las expresiones del ejemplo 2 excepto que las
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constantes 5ß F! y F son reemplazadas respectivamente por las constantes 5" ß F# y F" . Por consiguiente, la solución de la ecuación diferencial .X .> T X Ð>Ñ œ UÐ>Ñ será igual que la solución de la temperatura en el ejemplo 2, excepto que $ términos constantes están cambiados. De esta manera X Ð>Ñ œ F# F" J" Ð>Ñ G/5" > donde AÎ5" =/8 A> J" Ð>Ñ ³ -9= A> " AÎ5 # "
La constante G se elige de manera que en el tiempo >! œ ! el valor de la temperatura sea igual a X! . Así que G œ X! F# F" J Ð!Ñ.
7.3 MECANICA NEWTONIANA. La mecánica es el estudio del movimiento de los objetos y el efecto de las fuerzas que actúan sobre ellos. Constituye el fundamento de varias ramas de la física y la ingeniería. La mecánica Newtoniana o clásica trata del movimiento de objetos ordinarios, es decir, objetos que son grandes comparados con un átomo, y de movimiento lento comparado con la velociadad de la luz. Un modelo de la mecánica Newtoniana se puede basar en las leyes de Newton del
movimiento:
". Cuando un cuerpo no está sujeto a ninguna fuerza externa resultante, se mueve a velocidad constante. #. Cuando un cuerpo está sujeto a una o más fuerzas externas, la razón de cambio con respecto al tiempo, de la cantidad de movimiento del cuerpo, es igual a la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre él. $. Cuando dos cuerpos actúan recíprocamente, la fuerza que el primero ejerce sobre el segundo es igual en magnitud, pero de dirección opuesta, a la fuerza que el segundo ejerce sobre el primero. 7.3.1 PROCEDIMIENTO PARA MODELOS NEWTONIANOS
". Determine todas las fuerzas pertinentes que actúan sobre el objeto en estudio. Es útil trazar un diagrama sencillo del objeto y describir en él estas fuerzas. #Þ Elegir un sistema de ejes coordenados apropiados para representar el movimiento del objeto y las fuerzas que actuan sobre él. Téngase presente que este sistema de coordenadas debe ser un marco de referencia inercial . .B $ÞAplicar la ley de Newton tal como se expresa en la ecuación .: .> œ J Ð>ß Bß .> Ñ donde :Ð>Ñ es la cantidad de movimiento o en la ecuación .B 7 .@ .> œ 7+ œ J Ð>ß Bß .> Ñ EJEMPLO. A un objeto de masa 7 se aplica una velocidad dirigida hacia abajo @! ß y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza gravitacional es constante y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, determine la ecuación del movimiento de dicho objeto.
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#. J" œ 71
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$. J# œ 5@Ð>Ñ œ 5Bw Ð>Ñ
%.La fuerza neta que actúa sobre el objeto es J œ J" J# œ 71 5@Ð>Ñ. &. Aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos 7 .@ .> œ 71 5@. Puesto que la velocidad inicial del objeto es @! , obtenemos el problema de valores iniciales siguiente: 7 .@ œ 71 5@ œ .> @Ð!Ñ œ @! La ecuación del movimiento es 71 ‰ 7ˆ Þ5>Î7 BÐ>Ñ œ 71 ÑÞ 5 5 @! 5 Ð" /
Cuando un objeto se mueve sobre una superficie, se encuentra una fuerza de resistencia llamada FRICCION . Dicha fuerza tiene una magnitud de .R , donde . es el coeficiente de fricción y R la magnitud de la fuerza normal que la superficie aplica al objeto. La fricción actúa en dirección opuesta al movimiento. Suponga que un objeto de masa 7 œ $! 51 se suelta desde la parte superior de un plano inclinado un ángulo de α=$!! con respecto al horizontal.
Suponga que la fuerza gravitatoria es constante, la resistencia del aire es despreciable y el coeficiente de fricción es . œ !Þ#. Determine la ecuación del movimiento del objeto cuando se desliza por el plano. Si la superficie del plano tiene 6 œ & 7>= de longitud. ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando llega a la parte inferior? Según las fuerzas que actúan sobre el cuerpo tenemos "Þ J" œ 71=/8$!! en dirección del movimiento #Þ J# œ .R en dirección contraria al movimiento $Þ R œ 71 -9= $!9 la fuerza normal %Þ Por la segunda ley de Newton tenemos 71=/8$!9 71.-9=$!9 œ 7 .@ .> ß @Ð!Ñ œ !
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$! † *Þ)Þ!Þ& $! † *Þ) † !Þ)'' † !Þ# œ $! .@ .> .@ Í *Þ) !Þ& !Þ)'' † !Þ# œ .@ Í œ $Þ#!#'% .> .> Luego se tiene que @ œ $Þ#!#'%>ß para el espacio tenemos el problema de valores iniciales siguiente .B œ $Þ#!#'%> œ .> BÐ!Ñ œ ! de donde obtenemos que BÐ>Ñ œ "Þ'!"$#># luego > œ È"Þ'!"$#BÐ>Ñ ahora al llegar el objeto a la parte inferior el tiempo será > œ È"Þ'!"$# † & œ #Þ)$ =/1?8.9=. Por lo tanto la velocidad al llegar el objeto a la parte inferior es de @ œ $Þ#!#'% † #Þ)$ œ *Þ!' 7>=Î=/1
La ley de Newton para la temperatura nos dice: "la rapidez con la que la temperatura X Ð>Ñ cambia, es proporcional a la diferencia entre la tempertura del cuerpo y la temperatura constante X! , del medio que lo rodea". Este enunciado nos permite establecer un modelo para la temperatura de un objeto dado por el problema de valores iniciales siguiente: .X œ 5ÐX X! Ñ œ .> X Ð>! Ñ œ X! EJEMPLO: Al sacar un bizcocho del horno, su temperatura es de $!!! F. Tres minutos después, su temperatura es de #!!! F. ¿Cuánto demorará en enfriarse hasta una temperatura ambiente de ("! F? En efecto, Tenemos según el modelo el siguiente problema de valores iniciales .X œ 5ÐX (!Ñ œ .> >Ð!Ñ œ $!! Un análisis de la ecuación nos lleva a que la solución es dada por X Ð>Ñ œ (! G/5> y usando la condición inicial se tiene que G œ #$! por lo tanto la temperatura del bizcocho está dada por X œ (! #$!/5> . Por otra parte se sabe que X Ð$Ñ œ #!! luego obtenemos el valor de la constante de proporcionalidad 5 œ "# 68 "$ #$ œ !Þ"*!"). El tiempo necesario para llegar a la temperatura ambiente se calcula de la ecuación X Ð>Ñ œ (! #$!/!Þ"*!"*> ß cuando X Ð>Ñ œ ("Þ
7.4 UN CIRCUITO P V EN SERIE
La segunda ley de Kirchhoff dice que en un circuito en serie que contiene, sólo una resistencia y un inductor la suma de las caídas de voltaje a través .3 ‰ del inductor ˆ P .> y de la resistencia 3V es igual al voltaje IÐ>Ñ suministrado al circuito .3 P .> V3 œ IÐ>Ñ. donde P y V son constantes conocidas como inductancia y resistencia respectivamente. A veces a la corriente 3Ð>Ñ se la llama respuesta del sistema, obteniendo así un modelo para los circuitos eléctricos. EJEMPLO. Una batería de "# voltios se conecta a un circuito simple en el cual la inductancia es "# henrio y la resistencia es de "! ohmios. Determine la corriente 3, si la corriente inicial es cero.
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Según el modelo recibimos el siguiente problema de valores iniciales
œ
" .3 # .>
"!3 œ "# 3Ð!Ñ œ ! Esta ecuación es de variable separable y nos lleva a .3 '&3 œ %.> La cual por integración se obtiene: 3 œ &" ' G/#!> y haciendo uso de la condición inicial tenemos la corriente en cualquier instante 3Ð>Ñ œ '& " /#!>
En 1960 Willard Libby gana el premio nobel de química al descubrir la teoría que se basa en que el isótopo G "% se produce en la atmósfera por la acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno: El cociente de la cantidad de G "% y la cantidad de carbono ordinario presente en la atmósfera es una constante, en consecuencia, la proporción de isótopo presente a todos los organismos vivos es la misma que en la atmósfera. Cuando un organismo muere la absorción de G "%, cesa. Así, comparando la proporción de G "% que hay en un fósil con la proporción constante encontrada en la atmósfera es posible obtener una estimación razonable de su edad. El método se basa en que la vida media del G "% radiactivo es aproximadamente &'!! años. " EJEMPLO. Se encuentra que un hueso fosilizado contiene "!!! de la cantidad original de G "%: Determine la edad de fósil. Aquí tenemos un modelo de tipo exponencial dado por el problema de valores iniciales siguiente .E œ 5E œ .> EÐ!Ñ œ E! La solución ya es conocida y estudiada anteriormente y está dada por EÐ>Ñ œ E! /5> . Cuando > œ &'!! años , EÐ&'!!Ñ= E#! , de lo cual podemos determinar el valor de 5 E! 5&'!! Í &'!!5 œ -68# Í 5 œ !Þ!!!"#$() # œ E! / E! !Þ!!!"#$()> Por lo tanto EÐ>Ñ œ E! / . Cuando EÐ>Ñ œ "!!! œ E! /!Þ!!!"#$()> , de donde se obtiene 68"!!! > œ !Þ!!!"#$() ¸ &&Þ)!! años.
7.5 EJERCICIOS
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". Una solución de salmuera fluye a razón de ) L/min hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene "!! L de solución de salmuera en la cual estaban disueltos & kg de sal. La solución en el interior del tanque se mantiene bien agitada y fluye al exterior con la misma rapidez. Si la concentración de sal en la salmuera que entra al tanque es de !Þ& kg/L, determine la cantidad de sal presente en el tanque al cabo de > minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración de sal en el tanque el valor de !Þ# kg/L ? #. Una solución de sal fluye a razón constante de & L/min hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene &! L de solución de salmuera en la cual se disolvieron & kg de sal. La solución contenida en el tanque se mantiene bien agitada y fluye al exterior con la misma rapidez. Si la concentración de sal en la salmuera que entra al tanque es de !Þ& kg/L, determine la cantidad de sal presente en el tanque al cabo de > minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración de sal en el tanque el valor de !Þ$ kg/L? $. Una solución de ácido nítrico fluye a razón constante de ' L/min hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene #!! L de una solución de ácido nítrico al !Þ& %Þ La solución contenida en el tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del mismo a razón de ) L/min. Si la solución que entra en el tanque es de #!% de ácido nítrico, determine la cantidad de ácido nítrico presente en el tanque al cabo de > minutos. ¿En qué momento el porcentaje de ácido nítrico contenido en el tanque será del "!%? %. Una solución de salmuera fluye a razón constante de % L/min hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene "!! L de agua. La solución contenida en el tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia al exterior a razón de $ L/min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra al tanque es de !Þ# kg/L, determine la cantidad de sal contenida en el tanque al cabo de > minutos. ¿En qué momento la concentración de sal contenida en el tanque será de !Þ" kg/L? &. Una alberca, cuyo volumen es de "!Þ!!! galones gal , contiene agua con el !Þ!"% de cloro. Empezando en > œ !, desde la ciudad se bombea agua que contiene !Þ!!"% de cloro, hacia el interior de la alberca a razón de & gal/min, y el agua de la alberca fluye al exterior a la misma velocidad. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en la alberca al cabo de " hr ? ¿Cuándo tendrá el agua de la alberca !Þ!!#% de cloro?. '. El aire del interior de un pequeño cuarto con dimensiones de "# por ) por ) pies contiene $% de monóxido de carbono. Empezando en > œ !, se sopla aire fresco que no contiene monóxido de carbono, hacia el interior del cuarto a razón de "!! pies$ /min. Si el aire del cuarto sale al exterior a través de una abertura a la misma velocidad. ¿cuándo tendrá el aire del interior del cuarto !Þ!"% de monóxido de carbono?. (. La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a razón de $ cm$ /seg, y sale de él, a la misma velocidad. El órgano tiene un volumen líquido de "#& -7$ . Si la concentración del medicamento en la sangre
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que entra en el órgano es de !Þ# g/cm$ ß ¿cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante >, si inicialmente no había vestigio alguno del medicamento? ¿Cuándo la concentración del medicamento en el ógano será de !Þ" g/cm$ ? ). El agua del río Aguadulce fluye al lago Magdalena a razón de $!! gal/min. El lago Magdalena contiene aproximadamente "!! millones de galones de agua. La fumigación de los naranjales cercanos ha ocasionado que la concentración de plaguicidas en el lago llegue a ser de !Þ!!!!$&, ó $& partes por millón. Si se suspende la aplicación de plaguicida, ¿cuánto tiempo transcurrirá antes de que la concentración de los mismos en el lago, esté por debajo de "! partes por millón? (Suponga que el río Aguadulce no contiene plaguicida y que el volumen del lago permanece constante). *. En "*(!, el Depto. de Recursos Naturales arrojó en un lago "!!! ejemplares de una especie de pez híbrido. En "*(( se calculó que la población de esta especie en el lago era de $!!!. Usando una ley malthusiana para el crecimiento de la población, calcule la población de estos peces en el lago en "*)!. ¿Cuál sería el cálculo correspondiente a "**" usando la ley malthusiana?
Nota: La ley de Malthus del crecimiento afirma que alimentos y población se encuentran en una relación inversa por una diferente progresión de crecimiento. La población crece en progresión geométrica, mientras que los alimentos lo hacen en progresión aritmética.
"!. En "*(! se estimó que la población de iguanas en el zoológico de Barranquilla era exactamente de $!!! ejemplares. Usando una ley malthusiana para el crecimiento de la población, calcule la población de iguanas en el zoológico para el año #!!!. "". Una bola de nieve se derrite de tal manera que la razón de cambio de su volumen es proporcional al área de su superficie. Si el diámetro de la bola de nieve era inicialmente de % pulgadas y al cabo de $! minutos su diámetro es de $ pulgadas, ¿cuándo será su diámetro de # pulgadas?. En términos matemáticos, ¿cuándo desaparecerá la bola de nieve?. "#. Suponga que la bola de nieve del problema "" se derrite de tal manera que la razón de cambio de su diámetro es proporcional al área de su superficie. Con los mismos datos proporcionados, ¿cuándo será su diámetro de una pulgada? En términos matemáticos, ¿cuándo desaparecerá la bola de nieve? "$. En la mañana de un sábado caluroso, mientras las personas se encuentran trabajando, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior del edificio a (&! F. A mediodía se apaga el acondicionador y la gente regresa a casa. La temperatura exterior permanece constante a *&! F durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del edificio es % hr, ¿cuál será la temperatura interior del edificio a las # À !! p.m.? ¿En qué momento la temperatura interior del edificio será de )!! F?. "%. En una mañana templada de sábado, mientras las personas trabajan, el calefactor mantiene la temperatura interior de un edificio a #"! C. A mediodía se apaga el calefactor y la gente regresa a casa. La temperatura exterior
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permanece constante a "#! C durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del edificio es de $ hr, ¿en qué momento la temperatura interior del edificio será de "'! C?. Si algunas ventanas se dejan abiertas y la constante de tiempo se reduce a # hr, ¿en qué momento la temperatura interior será de "'! C?. "&. Un taller mecánico sin calefacción ni aire acondicionado tiene una constante de tiempo de # hr. Si la temperatura exterior varía en forma de onda senoidal con un mínimo de &!! F a las # À !! a.m. y un máximo de )!! F a las # À !! p.mß determine las horas a las que el edificio alcanzará sus temperaturas mínima y máxima, suponiendo que el término exponencial ha desaparecido. "'. Durante el verano, la temperatura interior de una camioneta llega a ser de "$!! F, mientras la temperatura exterior es de *&! F constante. Cuando el conductor entra en el vehículo, enciende el equipo de aire acondicionado con el termostato fijado a '!! F. Si la constante de tiempo de la camioneta es de " " " 5 œ #hr y el de la camioneta con su sistema de aire acondicionado es de 5" œ $ hr, ¿en qué momento la temperatura interior del vehículo será de )!! F? "(. Un lunes en la mañana la temperatura de una sala ha descendido a %!! J ß al igual que la temperatura exterior. A las ( À !! a.m. el portero enciende el equipo de calefacción con el termostato a (!! F. La constante de tiempo del edificio es de 5" œ # hr y la del edificio, junto con sus sistemas de calefacción, es "Î5" œ "# hr. Suponiendo que la temperatura exterior permanece constante, ¿cuál será la temperatura del interior de la sala a las ) À !! a.m? ¿En que momento la temperatura del interior de la sala será de '&! F? "). Un calefactor solar de agua consta de un tanque de agua caliente y un panel solar. El tanque se encuentra bien aislado y tiene una constante de tiempo de '% hr. El panel solar genera #!!! btu/hr durante el día y el tanque tiene una capacidad calórica de #! J por btu. Si el agua del tanque se encuentra inicialmente a ""!! F y la temperatura ambiente del exterior del tanque es de )!! F, ¿cuál será la temperatura en el interior del tanque al cabo de "# horas de luz solar? Nota: btu indica unidades térmicas británicas.
"*. Si en el problema ") se emplea ahora un tanque más grande con una capacidad calorífica de "! F por mil btu y una constante de tiempo de (# hr (con todos los demás factores iguales), ¿cuál sería la temperatura en el interior del tanque al cabo de "# hr? #!. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a *&! C se enfría y llega a )!! C en & minutos, mientras permanece servida en un cuarto con temperatura de #"! G . Usando solamente la ley de Newton del enfriamiento, determine en qué momento alcanzará el café una temperatura ideal de &!! C. #". La ley de Stefan de la radiación establece que la razón de cambio de la temperatura de un cuerpo que se encuentra a X grados Kelvin es un medio Q grados Kelvin, es proporcional a Q % X % . Esto es, .X %‰ ˆ % .> œ 5 Q X
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donde 5 es una constante positiva. Resuelva esta ecuación usando separación de variables. Explique por qué las leyes de Newton y de Stefan son aproximadamente iguales, cuando X se acerca de Q y Q es constante. Sugerencia: Factorice Q % X % ‘. ##. Dos amigos se sientan a conversar y a disfrutar una taza de café. Cuando se sirve el café, el amigo impaciente en seguida le agrega una cucharadita de crema. El amigo tranquilo espera & minutos antes de añadir la crema (la cual se ha mantenido a temperatura constante). Los dos empiezan ahora a beber su café. ¿Quién tiene el café más caliente?. Suponga que la crema está más fría que el aire y use la ley de Newton del enfriamiento. #$. Demuestre que G" cosÞA> G# =/8ÞA> se puede expresar en la Ecos A> α , donde E œ ÈG"# G## y tanÞα œ GG#" . cSugerencia: Utilice una identidad trigonométrica conocida con G" œ EcosÞαß G# œ E=/8Þαd. Use este hecho para verificar la representación alternativa de la función " # ‘ # J > œ cosA> AÎO =/8ÞA> œ " AÎO cos A> α . # " AÎO
#%. La temperatura de una cerveza fría que inicialmente se encuentra a $&! F, se eleva a %!! F en $ minutos al encontrarse en un cuarto con temperatura de (!! F. ¿Cuál será la temperatura de la cerveza si se deja por un espacio de #! minutos?. #&. Un vino blanco a temperatura ambiente de (!! F se refrigera en hielo $#! F . Si transcurren "& minutos para que el vino se enfrie a '!! F, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que el vino alcance la temperatura de &'! J ? #'. Un vino rojo se saca de la bodega, que es un lugar frío a "!! C, y se deja reposar en un cuarto con temperatura de #$! C. ¿En qué momento la temperatura del vino llegará a ser de "!! C, si transcurren "! minutos para alcanzar los "&! C? #(. Un objeto con masa de & kg se suelta a partir del reposo, a "!!! metros arriba del suelo, y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad 5 œ &! kg/seg, determine la ecuación del movimiento del objeto. ¿En qué momento se producirá el impacto del objeto contra el suelo?. #). Un objeto de %!! libras se suelta a partir del reposo a &!! pies arriba del suelo, y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza en libras debida a la resistencia del aire es "!@, donde @ es la velocidad del objeto en pies/seg, determine la ecuación del movimiento del objeto. ¿En qué momento se producirá el impacto del objeto contra el suelo?. #*. Si el objeto del problema #( tiene una masa de &!! kg en vez de & kg, ¿en qué momento golpea el suelo? cSugerencia: En este caso, el término exponencial es demasiado grande para ser ignorado. Use el método de Newton para aproximar el tiempo > en el que el objeto golpea el suelod.
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$!. Si el objeto del problema #) se suelta del reposo a $! pies arriba del suelo en vez de &!! pies, ¿en qué momento se producira el impacto contra la superficie? cSugerencia: Utilice el método de Newton para despejar >d. $". A un objeto con masa de & kg se le aplica una velocidad inicial hacia abajo de &! m/seg, y luego se le deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons R debida a la resistencia del aire es "!@, donde @ es la velocidad del objeto en m/seg. Determine la ecuación del movimiento del objeto. Si el objeto se encuentra inicialmente a &!! metros arriba del suelo, determine en qué momento golpeará contra la superficie. $#. A un objeto con masa )kg se le aplica una velocidad inicial hacia arriba de #! m/seg, y luego se le deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons debida a la resistencia del aire es "'@, donde @ es la velocidad del objeto en m/seg. Determine la ecuación del movimiento del objeto. Si el objeto se encuentra inicialmente a "!! metros arriba del suelo, determine en qué momento golpeará contra la superficie. $$. Un paracaidista cuyo peso masa es de (& kg se deja caer desde un helicóptero que se encuentra a #!!! metros arriba de la superficie, y cae hacia el suelo bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista, con la constante de proporcionalidad 5" œ $! kg/seg cuando el paracaídas esta cerrado, y 5# œ *! kg/seg cuando está abierto. Si el paracaídas no se abre sino hasta que la velocidad del paracaidista llega a ser de #! m/seg, ¿al cabo de cuántos segundos llegará a la superficie?. $%. Un paracaidista cuyo peso masa es de "!! kg se deja caer desde un helicóptero suspendido a $!!! metros de la superficie, y cae bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la constante de proporcionalidad 5$ œ #! kg/seg cuando el paracaídas está cerrado, y 5% œ "!! kg/seg cuando está abierto. Si el paracaídas no se abre sino hasta $! segundos después de que el paracaidista abandona el helicóptero, ¿al cabo de cuántos segundos llegará a la superficie?. Si el paracaídas no se abre sino hasta " minuto después de abandonar el helicóptero ¿al cabo de cuántos segundos llegará al paracaidista a la superficie? $&. Un objeto con masa de "!! kg inicialmente en reposo, se deja caer al agua desde un barco, y se sumerge. Mientras que la gravedad atrae al objeto hacia abajo, una fuerza de boyanza igual a "Î%! del peso del objeto lo empuja hacia arriba peso=mg . Si se supone que la resistencia del agua ejerce una fuerza sobre el objeto que es proporcional a la velocidad del propio objeto, con constante de proporcionalidad igual a "! kg/seg, encuentre la ecuación del movimiento del objeto. ¿Cuántos segundos transcurrirán para que la velocidad del objeto sea de (! m/seg?. $'. Un objeto con masa de # kg se suelta partiendo del reposo, desde una plataforma a $! metros sobre el agua y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Después de que el objeto golpea la superficie del agua, empieza a sumergirse con la gravedad atrayéndolo hacia abajo y la fuerza de boyanza
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empujándolo hacia arriba. Suponiendo que la fuerza de la gravedad es constante, que la fuerza de boyanza es "# del peso (pso=mg), y que la fuerza debido a la resistencia del aire o a la resistencia del agua es proporcional a la velocidad, con constante de proporcionalidad 5" œ "! kg/seg en el aire y 5# œ "!! kg/seg en el agua, encuentra la ecuación del movimiento del objeto. ¿Cuál será la velocidad del objeto, " minuto después de haberse soltado?. $(. En el ejemplo de la caida libre de un objeto se encontró la velocidad del 71 ‰ 5>Î7 ‰ ˆ objeto como función del tiempo ˆ@ > œ 71 . En ciertos casos 5 @! 5 / es útil tener una expresión, independiente de >, que relacione @ y B. Encuentre esta relación para el movimiento considerado en el ejemplo en consideración. ˆ .Z ‰ cSugerencia: Sea @ > œ Z B > ß entonces .@ .> œ .B Z d. $). Cuando la velocidad @ de un objeto es muy grande, la magnitud de la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a @# , y la fuerza actúa en dirección opuesta al movimiento del objeto. Si un proyectil de masa 7 se lanza hacia arriba con una velocidad inicial @! a partir de una altura inicial B! , y la magnitud de la fuerza debida a la resistencia del aire es 5@# ß 5 !, demuestre entonces que @ > y B > están dadas por +/α> , + α> @ > œ -./ k α,- lnk. -/α> k B! +-,. α> ß B > œ α. lnk- ./ α-. lnk- . kß donde 71 71 71 + œ É 71 5 ŠÉ 5 @! ‹ß , œ É 5 ŠÉ 5 @! ‹ - œ É 71 5 @! ß
. œ É 71 5 @! ß
α œ #É 51 7 Þ
$*. Un proyectil con masa de # kg es lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de #!! m/seg, la magnitud de la fuerza ejercida sobre el proyectil por la resistencia del aire es k@kÎ#!. ¿En qué momento alcanzará el proyectil su máxima altura sobre el suelo?¿Cuál es la altura máxima?. %!. Un objeto de masa 7 se suelta del reposo y cae bajo la influencia de la gravedad. Si la magnitud de la fuerza debida a la resistencia del aire es 5@8 ß donde 5 y 8 son constantes positivas, encuentre la velocidad limitante del objeto (suponiendo que este límite existe) cSugerencia:Demuestre que la .@ existencia de una velocidad limitada finita implica que .> Ä ! cuando > Ä ∞dÞ %". Un volante giratorio se pone en movimiento por medio de un motor que ejerce un par fuerza giratoria constante X . Un par de atraso debido a la fricción es proporcional a la velocidad angular es A. Si el momento de inercia del volante es M y su velocidad angular inicial es A! , encuentre la ecuación de la velocidad angular A en función del tiempo. cSugerencia: Use la segunda ley de Newton del movimiento rotacional, es decir, momento de inercia por aceleración angular=pard. %#. Encuentre la ecuación de la velocidad angular A del problema %", suponiendo que el par de atraso es proporcional a ÈA.
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%$. En el problema %# están M œ &!51 7# , y el par de atraso igual a &ÈAR 7. Si el motor se apaga cuando su velocidad angular es de ##& rad/seg, determine cuánto tiempo transcurrirá antes de que el volante quede en reposo. %%. Un velero va navegando (en trayectorias rectilíneas) bajo la acción de un viento ligero de " m/seg. Repentinamente, el viento arrecia y sopla a una intensidad suficiente para aplicar una fuerza constante de '!! N al velero. La otra única fuerza que actúa sobre la embarcación es la resistencia del agua, que es proporcional a la velocidad del velero. Si la constante de proporcionalidad de la resistencia del agua es 5 œ "!! kg/seg, y la masa del velero es &! kg, encuentre la ecuación del movimiento del velero. ¿Cuál es la velocidad máxima del velero bajo la acción de este viento?. %&. En el problema %% se observa que cuando la velocidad del velero alcanza el valor de & m/seg, el bote empieza a levantarse del agua y "planea". Cuando esto sucede, la constante de proporcionalidad de la resistencia del agua disminuye a 5! œ '! kg/seg. Encuentre ahora la ecuación del movimiento del velero. ¿Cuál es la velocidad máxima del velero bajo la acción de este viento cuando se encuentra planeando?. %'. Vuelo de un cohete: Un cohete con masa inicial 7! kg se lanza verticalmente desde la superficie de la tierra. El cohete expele gas a razón constante de α kg/seg y a una velocidad constante de " m/seg relativa al cohete. Suponga que el campo gravitacional es igual a una constante 1 kg/seg# . Puesto que la masa no es constante, la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza es igual a la razón de cambio con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento, da lugar a la ecuación 7! α> .@ .> α" œ 1 7! α> .B donde @ œ .> es la velocidad del cohete, B es su altura con respecto a la superficie de la tierra, y 7! α> es la masa del cohete a los > segundos después del lanzamiento. Si la velocidad inicial es cero, resuelva la ecuación anterior para determinar la velocidad del cohete y su altura con respecto a la superficie para ! Ÿ > Ÿ 7! Îα. %(. Hallar la velocidad inicial mínima de un cuerpo que se dispara en dirección radial desde la tierra y se escapa de ella. %). Un objeto que pesa & libras, se abandona a partir del reposo desde la parte superior de un plano inclinado %&! con respecto al horizontal. La resistencia del aire es numéricamente igual a #@, y el coeficiente de rozamiento es #. Encontrar una expresión para la velocidad en función del tiempo. %*. Un cable de densidad A cuelga suspendido de sus extremos. Hallar la ecuación de la curva que adopta el cable sometido a la acción de su peso. &!. Se calienta una bala de cobre hasta una temperatura de (!! . En el instante > œ ! se sumerge en agua que se mantiene a una temperatura constante de #!! ß si a los & minutos la temperatura de la bala se reduce a '!! . Hallar X > , la temperatura en función del tiempo.
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&". Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior, donde la temperatura ambiente es de "!! . Después de un minuto el termómetro marca #&! , y después de & minutos marca ")! Þ ¿Cuál es la temperatura de la habitación?. &#. Un cuerpo se calienta de #!! a $!! en "! minutos, si se sumerge en un líquido cuya temperatura constante es de )!! . ¿Cuánto tiempo tardará en calentarse de %!! a (!! ?. &$. Un cultivo tiene inicialmente '! bacterias. Si se encuentran )& a los $ minutos, ¿cuántas bacterias hay a los & minutos?. &%. ÞEn #! años se pierde el $!% de la cantidad inicial de una sustancia radioactiva. Hallar la vida media. &&. Si la desintegración de una sustancia, nos dice que la cantidad presente en "!! años es "(! gramos y en #!! años es "!! gramos, calcular su vida media.
EJERCICIOS GENERALES SOBRE EL CAPITULO M .
Encontrar la solucion ´ general de cada una de las siguientes ecuaciones 1. BC w +#C =!
2. Ð" B# Ñ Cw C =!
3. Ð=/8 BÑ Cw +Ð-9= BÑ C = !
ex
4. C w +5C = ! , 5 constante
5. #C w +$C =
6. $BCw C = P8 B + " VÁ! 8. Ð$B# +"Ñ Cw #BC ='B 9. ÐB# +"ÑCw +BC = Ð" #BÑ ÈB# +"
d3 7. P dx + V3 = I , P, V , I constantes, P,
dy 10. B =/8 B dx + Ð=/8 B+B -9= BÑ C = Be
11. Cw =
C # sen BC cos# B sen B cos B
B
B C = Ð"+ È" B# Ñ 1B# 13. =/8 B -9= B ddBC +C = >+8# B 14. Ð"+=/8 BÑ ddBC + Ð#-9= BÑC = >+8 B w #
e
12. B ddBC + È
15. CC +BC B = !
16. #Ð" B# Ñ Cw Ð" B# Ñ C = BC$ e
B
17. ÐB# +B+"ÑCCw +Ð#B+"ÑC# =#B " 18. B ddBC + È C = " + È#B+" 2B+1
19. ÐB# +"ÑÈC C w œ Be
3B/2
+Ð"-BÑ# CÈC
20. B# C$ C B # .B B$ C# B .C œ ! B) 21. BCw + LnC B = B(CB#+Ln LnB 22. =/8'2B Cw + C = Ð"+ -9= BÑ C#/3 23. ÐB "Ñ Cw #C = ÈÐB# "ÑC BB(3B+4)C $ 24. C w = (B+1)Ln (B$ +2B1)C #
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25. ÐBC# Ñ w = ÐBCÑÐB# +"Ñ 26. Encontrar la solucion ´ particular de la ecuacion ´ BC w Ð=/8 BÑC œ ! en el intervalo Ð!,∞Ñ que pasa por el punto Ð", "Ñ. 27. a) Encontrar la curva solucion ´ de la ecuacion ´ B ddBC +C =
eB /2 que pasa por el
31. Hallar la solucion ´ de la ecuacion ´ C w +C# Ð"+#e ÑC +e
2B
#
punto Ð#, $Ñ. b) ¿Cual ´ es la ordenada del punto de la curva solucion ´ encontrada en a) correspondiente al punto B œ "?. Hallar la pendiente de la curva solucion ´ en este punto. 28. Hallar la solucion ´ de la ecuacion ´ C w BC# +Ð#B "ÑC = B " , sabiendo que C œ " es solucion ´ particular. 29. Hallar la solucion ´ de la ecuacion ´ C w +BC# #B# C+B$ = B+" , sabiendo que C = B " es solucion ´ particular. 30. Hallar la solucion ´ de la ecuacion ´ #C w ÐC/BÑ# " = !, sabiendo que C œ B es solucion ´ particular. B
= ! sabiendo que
B C œ e es solucion ´ particular.
32. Hallar la solucion ´ de la ecuacion ´ Cw Ð=/8# BÑ C# + sen B1cosB C+-9=# B œ ! cos B sabiendo que C œ sen ´ particular. B es solucion 33. Verificar en los ejercicios M a \ que la funcion ´ dada es una solucion ´ de la ~ y especificar elß oß los intervalos en el ecuacion ´ diferencial que la acompana cual éste es el caso. I. C = Ð- +=/8 BÑ# , ÐC w Ñ# %-9=# B = ! # # "/2 II. C = Ð - B Ñ , CC w + B = ! ÈB + 1 III. C = -ÐB + È BÑ , C w + BC ’ 2(B + 1) "“ = ! IV. C = >+8" ÐB + -Ñ , V. C =
eB P8 -B,
VI. C = ÐB+- =/8 B)"/2 , sen B VII. C = c + cos B ,
C w =/8 C -9=$ C = ! BÐCw C) e = ! x
#CC w + ÐB C# Ñ ->1 B " = ! C w =/8 B C# Ð-9= B + =/8 BÑ = !
VIII . C = P8 ÐB + -Ñ + # , IX. C = -ÐB+-Ñ ,
Cw
e(y2) " = !
ÐC w Ñ# + BC w C = ! X . C = ++8 C+B-9=# C=! ÈC + 1
X. B + Š 2(C+1) ‹C w = !. C
VIII.BC$
eB +Cw Ð"+CÑ=!
IX. C w È" B# +#B = !
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82.
36. ¿Como ´ esta ´ relacionada la familia de curvas C = ÐB -Ñ# con las soluciones de la ecuacion ´ C w = #È C ? 37. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales I. ÐB+"ÑÐC "Ñ .B + ÐB "ÑÐC +"Ñ.C = ! II. -9= C.B + B =/8 C .C = ! III. Cw =B-m Cn , 7, 8 son enteros positivos V. BC .B + ÐB# +"Ñ
eC
#
.C = !
I V. B .B +
e(x+y) -9= C .C = !
VI.ÐBC# +C # B "Ñ .B+ÐC "Ñ .C = !
VII. B .B + Ð$B C $Ñ .C + BC Ð.B+.CÑ = ! VIII. ˜È"+C/B ™ .B + BC .C = !
IX. B P8ÐBCÑ .B + P8C Ð.C B .BÑ = !
X. =/8ÐB+CÑ .B + =/8 CÐ-=-B .C -9= B .BÑ = !
38. Halle la solucion ´ de cada una de las siguientes ecuaciones: a)
ex+C =/8 B .B + Ð#C+"ÑeC .C = ! #
c) ÐB# +C# Ñ .B + #BC .C = ! e) ÐB CÑ .B + Ð#C BÑ .C = ! # y# g) C w = xx# +y # h) ÐB+Ce
y/x
Ñ .B Be
y/x
.C =!
b) C w =
C # 9 B# +4 2x+3y x #
d) C w = f) $B# .B +ÐC "!B# Ñ .C = ! g) Ð#BC+C# Ñ .B ÐB#+#BCÑ.C=! i) CÐP8 xy +"Ñ.B BP8 xy .C = !
x+2y j) C w = 2x+3y+1 k) Ð%B+#C+"Ñ.B Ð#B C "Ñ.C = ! l) Ð*B+(B &Ñ.B+Ð&B+%C-$Ñ.C=! m) Ð B+C #Ñ.B+ÐB+C+#Ñ.C = ! ~ Cw = 7y9x1 n) Ð%B+""C %#Ñ.B + Ð""B *C $(Ñ.C = ! n) 7x+4y37
o) Cw = x+y+1 p) Cw = C B+" x+y 1 q) Cw = 2x+y r) Ð#B+$C+"Ñ.B+ Ð%B+'C+&Ñ.C œ ! s) ÐB+C+#Ñ.B Ð#B #C+$Ñ.C =! t) Ð'B+$C &Ñ.B Ð#B+CÑ.C =! u) .B+Ð$C B #Ñ.C = ! v) &Ð&B C+#Ñ.B+ÐC &B+"Ñ.C =! 39. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones mediante el cambio de variable que se indica: a) ÐB+C #+ x" Ñ.B + Ð# B CÑ.C = ! , B+C = ? b) Ð#B #C+Be Ñ.C Ð#B #C "Ñ.C = ! , B C = ? x
c) BÐB+ÈCÑ.B +#ÈC .C = ! , d) B# C .B ÐB$ +C5 Ñ.C = ! , e)
ey Ð"+ y" Ñ.B +
x y
.C = ! ,
f) ÐC# P8BÑ.B + BC$ .C = ! ,
C = ?# B = ?C
B = ?e , C œ @ v
B=
eu ,
C = È@
40. Mostrar que cada una de las siguientes ecuaciones es exacta y hallar su integral general a) #BC.B+ÐB# +%CÑ.C = ! b) CÐC# $B# Ñ.B+BÐ$C# B# Ñ.C œ ! x dy " c) y dx d) Ð$B# +'BC C# Ñ.B+Ð$B# #BC+$C# Ñ.C = ! (x+y)# + y .C = ! x dy e) B# .B+C# .C+ y dx =! x# +y#
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83.
f) Ð&B% *B# C# +&C% Ñ.B + #BCÐ"!C# $B# Ñ.C = ! x dy + y dx g) y dxxy + xÈdy1+(xy) =! h) Ò"+P8ÐBCÑÓ.B + Ð"+ xy Ñ.C = ! # i) ’P8ÐB CÑ +
x+y xy “.B
+ ’P8ÐB CÑ
j) ÐCe +e Ñ.B+Ðe +Be Ñ.C œ ! x
x
C
C
x+y xy “.C
=!
k) Ð xy +P8 CÑ.B+Ð xy +P8 BÑ.C = !
l) CÒ=/8 ÐB+CÑ+B -9= ÐB+CÑÓ.B + BÒ=/8 ÐB+CÑ+C -9= ÐB+CÑÓ.C = ! ll)
ex ÐB# ex + ex +BC+CÑ.C + ÐBex +CÑ.C= !
o) C’ "# p) CŠ
1 (xy)# “.B
1 x# +y#
+ B’ #" +
1 ‹.B xÈx# y#
1 (xy)# “.C
+ Š Èx1# y#
q) CÐe + CÑ.B +BÐe +#CÑ.C = ! xy
=!
x x# + y# ‹.C
=!
xy
r) =/- B Ð>+8 B >+8 C + C =/- BÑ.B + Ð=/- B =/- # C + >+8 BÑ .C = ! s) Ò "+ >+8 ÐBCÑÓ.B + Ò =/- ÐBCÑ >+8ÐBCÑ + B =/- # ÐBCÑÓÐC .B+B .CÑ = ! t) u)
exy ÐC .B +B.CÑ + 2 cos (xy) sen (xy)
y Èx# y#
ÐB .C + C .BÑ +
ÐB .B C .CÑ + ÈB# C# .C = !
esenx eseny Ð-9= B .B + -9= C .CÑ = !
41. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones mediante el hallazgo de un factor de integracion. ´ " a) Ð"+BCÑ.B + BŠ y + B‹ .C = ! b) CÐ"+C$ Ñ .B + BÐC$ #Ñ.C = !
c) CÐ#+BCÑ.B + BÐ"+BCÑ .C = ! d) CÐC .B B .CÑ + $ ÈC% B% ÐC .B + B .CÑ = ! e) Ð=/- B + C >+8 BÑ.B + .C = ! f) CÐB# +C# "Ñ.B+BÐB# +C # +"Ñ.C = ! g) Ò#BC =/8ÐB+CÑ+C =/- ÐB+CÑÓ.B+Ò#BC =/8ÐB+CÑ+B =/- ÐB+CÑÓ.C = ! i) CÐB+B# +C# Ñ.B+ÐB# +#C# Ñ.C=! h) Ò#ÐB+CÑ=/- # B+>+8 BÓ.B+>+8 B .C = ! j) CÒ#ÐB+CÑ+Ð"+B# Ñ>+8-" BÓ.B + ÒÐB$ +#B# C +B+#CÑ>+8-" BÓ.C = ! k) ÐB$ +B+CÑ.B B.C = ! l) BÐ" CÑ.B .C = ! # # ll) ÐC +"Ñ.B+CÐB+C "Ñ.C = ! o) =/8 B Ð#+$C =/8# BÑ.B+=/- B .C = ! p) ÐC# "Ñ .B + B ÐC# "Ñ ÈC+"‘ .C = ! q) Ð $C% +B$ CÑ.B + ÐBC$ $B% Ñ .C = ! r) CÐ#B# +CÑ .B + BÐC B# Ñ .C = ! s) CÐC# +"Ñ .B + BÐC # "Ñ P8 B .C = ! t) CÐ%BC+$Ñ .B + BÐ$BC+#Ñ .C = ! u) C w = v) Ð=/8 B B -9= BÑ .B + #Š xy# #
x) .B + Ð xy =/8 CÑ .C = ! z)
x sen x ‹ .C y
ex .B + Ðex -9> C+#C -=- CÑ .C = !
e2x + C "
=!
y) C .B + Ð#BC e
-2y
Ñ .C = !
42. Demuestre que si Q ÐB,CÑ .B + R ÐB,CÑ .C = ! es una ecuacion ´ homogenea, ´ entonces tiene a .ÐB,CÑ = ÒBQ ÐB,CÑ + CR ÐB,CÑÓ" como un factor integrante.
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84.
43. Demuestre que la ecuacion si 0 ÐB,CÑ es tal que ´ C w = 0 ÐB,CÑ es homogenea ´ 0 ÐB,>BÑ = 0 Ð",>Ñ donde > es un parámetro real. Use este hecho para determinar si las siguientes ecuaciones son homogeneas y resuélvalas ´ x$ +xy# +y$ y w w a) C = x# y+xy# b) C = P8 B P8 C + xx+ y c) C w =
"
(x# +3xy+4y# ) # x+2y
d) C w =
sen (xy) x # + y#
dy 44. Resolver las siguientes ecuaciones en donde : = dx a) C =Ð: "ÑB + +: + , b) C = C:# +Ð#B "Ñ: c) C = 7:B + +: + , d) C = B: + "/È:-" 45. Hallar la familia de curvas ortogonales a la familia dada: a) C = GB b) C + B = G c) C# = %ÐB GÑ # # # # # d) B + #C = G e) B + C #GC = + f) B# + GC# = " 46. Hallar la ecuacion ´ de las curvas tales que la parte de cada tangente
comprendida entre el eje de las C y el punto de tangencia quede dividido en dos partes iguales por el eje de las B. 47. Hallar la ecuacion ´ de las curvas tales que la parte de cada tangente comprendida entre el eje de las B y el punto de tangencia este ´ dividido en dos partes iguales por el eje de las C . 48. La normal en el punto T ÐB,CÑ de una curva corta al eje de las B en Q y al eje de las C en R . Hallar la ecuacion ´ de las curvas para las cuales R es el punto medio de T Q . 49. La normal en el punto T ÐB,CÑ de una curva corta al eje de las B en Q y al eje de las C en R . Hallar la ecuacion ´ de las curvas para las cuales T es el punto medio de Q R . 50. Las normales en todos los puntos de una curva pasan por un punto fijo. Hallar la ecuacion ´ de la curva. 51. La tangente en cada punto de una curva Cß la recta que une ese punto con el origen forman un triangulo isosceles con base en el eje de las B. Hallar la ´ ´ ecuacion ´ de la curva sabiendo que pasa por el punto Ð#,#Ñ. 52. Hallar la ecuacion ´ de una curva tal, que si en un punto cualquiera de ella se trazan la normal y la ordenada, el segmento que ambas interceptan sobre el eje de las B, es una constante. 53. El eje de las B, la tangente y la ordenada en cada punto de una curva forman un triangulo de ´ area constante k. Hallar la ecuacion ´ ´ de la curva, obteniendo los valores correspondientes de k y de la constante de integracion ´ suponiendo que pasa por los puntos Ð!,%Ñ y Ð",#Ñ. 54. Hallar la ecuacion ´ de la curva que pasa por el punto Ð",#Ñ y tal que la tangente en un punto cualquiera T y la recta que une este punto con el origen determinan ´ angulos complementarios con el eje de las B. 55. La parte de la normal comprendida entre el punto T ÐB,CÑ de una curva y el eje de las B tiene una longitud constante k. Hallar la ecuacion ´ de la curva. # 56. Hallar las trayectorias ortogonales del haz de curvas B C=k.
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85.
57. En un circuito de corriente alterna de intensidad 3, con autoinduccion ´ P y .3 resistencia V , la fuerza electromotriz (f.e.m) es igual a V3 mas . En una ´ P dt corriente alterna, a traves ´ de un circuito de resistencia V y autoinduccion ´ P, el valor de la f.e.m. se calcula mediante una serie, basando los cálculos en el supuesto de que e œ I=/8(A>), siendo I y A constantes. Halle la intensidad de la corriente y el tiempo > si 3= ! cuando > = !. 58. Una fuerza electromotriz e =I =/8(A>) actua ´ sobre un circuito que contiene una resistencia V y una capacitancia G en serie. Suponiendo que el condensador se descarga al principio, la f.e.m. en los extremos del circuito en el tiempo > es 1' G o
t
3 .>. Si se supone que 3 = ! cuando > = !. Halle 3 en funcion ´ de >.
59. Dos circuitos de resistencias I" y I# e inductancias P" y P# , respectivamente, estan ´ conectados en paralelo entre los cables de una línea de transmision. ´ La corriente total que reciben es 3=M=/8(A>), en donde M y A son constantes. Calcular la corriente en cada circuito y la f.e.m. entre los cables suponiendo que ambas corrientes son cero cuando > = !. 60. Por una resistencia de V ohmis que tiene una capacidad colorífica de G calorías por grado centígrado pasa una corriente de 3 amperios. Suponiendo que el calor se pierde con una rapidez igual a 5 veces la diferencia entre su temperatura X y la del aire X! , halla la temperatura de la resistencia en funcion ´ del tiempo. 61. Usando coordenadas rectangulares, hallar la forma de un reflector tal que la luz procedente de un punto fijo sea reflejada paralelamente a una recta fija. 67. Hallar la ecuacion area comprendida entre la ´ de una curva tal que el ´ curva, el eje de las B, una ordenada fija y una ordenada variable, sea proporcional a la diferencia entre sus ordenadas. 68. El ´ area limitada por C œ G , C œ 0 ÐBÑ una ordenada fija y una ordenada variable es proporcional a la diferencia entre las abscisas correspondientes. Hallar la ecuacion ´ de 0 ÐBÑ. 69. Halle la ecuacion ´ de una curva tal que la suma de los intersectos de la tangente en cualquier punto es una constante 5 . 70. La tangente a una curva en cualquier punto, forma con los ejes de coordenadas un TRIÁNGULO de área constante #5 . Hallar la ecuacion ´ de tal curva. 71. Hallar la ecuacion ´ de una curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados, es constante Ð5Ñ. 72. Hallar la ecuacion ´ de la curva cuya normal en cualquier punto pasa por el origen. 73. Si el producto de las distancias de los puntos Ð +,!Ñ y Ð+,!Ñ a la tangente de una curva en cualquier punto es una constante 5 . Hallar la ecuacion ´ de dicha curva. 74. Si la longitud de la tangente a la curva es constante Ð5Ñ, hallar la ecuacion ´ de la curva.
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75. Si la proyeccion ´ sobre el ej e B del segmento de la normal es constante 5 , hallar la ecuacion ´ de la curva. 76. Si la distancia del origen a la tangente de una curva es igual al valor absoluto de la abscisa del punto de tangencia, hallar la ecuacion ´ de la curva. 77. Hallar la ecuacion ´ de un reflector tal que los rayos de luz que proceden del origen son reflejados paralelamente al eje B. 78. Un objeto de un peso T , se deja caer desde una altura de 30 mts. Si despreciamos la resistencia del aire y consideramos como direccion ´ positiva la direccion ´ hacia abajo, hallar el tiempo en que caera ´ al piso. 79. Un cuerpo de peso T , cae desde una altura h, con una velocidad inicial @o œ !, conforme cae, actua el la resistencia del aire que suponemos ´ sobre ´ numericamente igual a dos veces la velocidad instantánea. Hallar la velocidad y ´ la distancia en > segundos. 80. Hallar la velocidad inicial mínima de un cuerpo que se dispara en direccion ´ radial desde la tierra y se escapa de ella. 81. Un objeto que pesa 5 libras, se abandona a partir del reposo desde la parte superior de un plano inclinado 45o con respecto al horizontal. La resistencia del aire es numericamente igual a #@, y el coeficiente de rozamiento es 2. Encontrar ´ una expresion ´ para la velocidad en funcion ´ del tiempo. 82. Un cable de densidad A cuelga suspendido de sus extremos. Hallar la ecuacion ´ de la curva que adopta el cable sometido a la accion ´ de su peso. 83. Se calienta una bala de cobre hasta una temperatura de 70o C. En el instante > œ ! se sumerge en agua que se mantiene a una temperatura constante de 20o C, si a los 5 minutos la temperatura de la bala se reduce a 60o C. Hallar X Ð>Ñ, la temperatura en funcion ´ del tiempo. 84. Un termometro que esta ´ ´ en el interior de una habitacion ´ se lleva al exterior, o donde la temperatura ambiente es de 10 C. Despues ´ de un minuto el termometro marca 25o C, y despues de 5 minutos marca 18o C. ¿ Cual ´ ´ es la temperatura de la habitacion? ´ 85. Un cuerpo se calienta de 20o C a 30o C en 10 minutos, si se sumerge en un líquido cuya temperatura constante es de 80o C. ¿Cuanto tiempo tardara ´ ´ en o o calentarse de 40 C a 70 C? 86. Un cultivo tiene inicialmente 60 bacterias. Si se encuentran 85 a los 3 minutos, ¿ cuantas bacterias hay a los 5 minutos ? ´ ~ 87. En 20 anos se pierde el 30% de la cantidad inicial de una sustancia radioactiva. Hallar la vida media. 88. Si la desintegracion ´ de una sustancia, nos dice que la cantidad presente en ~ ~ es 100 gramos, calcular su vida media. 100 anos es 170 gramos y en 200 anos 89. Se disuelven 60 libras de sal en un tanque que contiene 200 litros de agua. Se bombea dentro del tanque, salmuera a razon ´ de 5 litros por minuto con una concentracion ´ de 3 libras por litro y la mezcla que se mantiene uniforme se extrae a razon ´ de 10 litros por minuto. ¿Que cantidad de sal hay dentro del tanque en cualquier instante ?
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90. El aire de una habitacion ´ cuyas dimensiones son 8 mts de largo por 5 de ancho por 3 mts de alto, presenta una contaminacion ´ de 80% de CO# por metro cubico. Se abre una ventana por la cual entran 5 mts$ por minuto, de aire ´ contaminado al 5% de CO# por mt$ . Encontrar una expresion ´ del nivel de contaminacion ´ en funcion ´ del tiempo. 91. Un recipiente semiesférico de radio 10 mts tiene en el fondo un orificio, cuya área es 10 cm# ; en > œ !, se abre el orificio y el agua fluye hacia el exterior. Encontrar una expresion ´ en funcion ´ del tiempo que indique la cantidad de aguaÞ
CAPITULO II ECUACIONES CON OPERADORES §1. PRELIMINARES: Sean •" y •# dos espacios vectoriales : •" •# una aplicacion ´ lineal. Gran parte del estudio de las transformaciones lineales se ~ metodos dedican a disenar para la resolucion ´ ´ de ecuaciones de la forma B œ C, en donde C se conoce y B es desconocida. Tales ecuaciones se conocen con el nombre genérico de ECUACIONES CON OPERADORES, y apareceran ´ a todo lo largo de estas notas como ecuaciones diferenciales lineales. En general la tecnica ´ para resolver una ecuacion ´ con operadores depende de cual ´ sea el operador indicado, y tambien ´ de cuales son los espacios vectoriales en los que se opera. Sin embargo, hay cierto numero de hechos concernientes a tales ecuaciones ´ que pueden probarse usando tan solo ´ la linealidad de , y nos proponemos exponerlos a continuacion ´ en este mismo momento. En primer lugar, se dice que un vector Bo de •" es una solucion ´ de B œ C, si Bo œ C, y a la totalidad de tales vectores se las llama el CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuacion. ´ Al caso especial B œ !, se le conoce como ECUACIÓN HOMOGÉNEA, y su conjunto solucion ´ es un subespacio de •" pues se trata del NÚCLEO de , y entonces es conocido como ESPACIO SOLUCIÓN de la ecuacion Una de ´ homogenea. ´ las propiedades mas ´ importantes de las ecuaciones con operadores es que el problema de resolver una ecuacion B œ C se puede reducir ´ NO HOMOGÉNEA completamente al problema de su ECUACIÓN HOMOGÉNEA ASOCIADA B œ !. Efectivamente, si Bp es una solucion ´ fija de B œ C, y si Bh es una solucion ´ cualesquiera de B œ !, entonces Bp Bh es también solucion ´ de B œ C ya que por la linealidad se tiene Bp +Bh œ Bp Bh œ C ! œ C.
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Ademas, ´ toda solucion ´ Bo de B œ C puede escribirse en esta forma para un Bh adecuado, ya que de Bo Bp œ Bo Bp œ C C œ ! se sigue que Bo Bp œ Bh es una solucion ´ de B œ !, y por lo tanto que Bo œ Bp Bh como lo hemos afirmado. La solucion se llama frecuentemente SOLUCIÓN ´ Bp que aparece en este analisis ´ PARTICULAR de B œ C, y en estos términos podemos enunciar el anterior resultado como sigue: TEOREMA : Si Bp es una solucion ´ particular de B œ C , entonces el conjunto solucion ´ de esta ecuacion ´ consta de todos los vectores de la forma Bp Bh , donde Bh es una solucion asociada B œ !. ´ arbitraria de la ecuacion ´ homogenea ´ Geometricamente, este teorema afirma que el conjunto solucion ´ ´ de una ecuacion puede obtenerse del espacio solucion ´ con operadores no homogenea ´ ´ de su ecuacion asociada mediante una TRANSLACIÓN de ese ´ homogenea ´ subespacio por una solucion ´ particular Bp en la forma sugerida en la figura. Algebráicamente esto nos da un procedimiento para resolver B œ C, a saber, encontrar todas las soluciones de B œ !, una solucion y luego ´ de B œ C sumarlas.
Uno de los principales problemas en el estudio de las ecuaciones con operadores (o de ecuaciones arbitrarias de cualquier tipo) es el de determinar condiciones bajo las cuales la ecuacion ´ tendra ´ soluciones. Este es el llamado PROBLEMA DE EXISTENCIA de las ecuaciones con operadores, y los teoremas que establecen tales condiciones se llaman TEOREMAS DE EXISTENCIA. De igual, o incluso mayor importancia es el problema de determinar cuando B œ C admite a lo SUMO UNA solucion ´ para un C − •# dada. Este problema se conoce como el PROBLEMA DE UNICIDAD para ecuaciones con operadores, y puede siempre resolverse mediante el examen de la ecuacion B œ ! y se emplea ´ homogenea ´ el siguiente teorema: TEOREMA: Una ecuacion unica (con tal ´ con operadores B œ C tendra ´ una solucion ´ ´ de que al menos tenga una solucion) B œ ! ´ si y solo ´ si su ecuacion ´ homogenea ´ no tenga ninguna solucion ´ distinta de cero, es decir, si y solo ´ si ker œ ! . DEMOSTRACION: Ä ) Sea Bo la unica solucion ´ de B œ C y tomemos B" − ker ´ entonces tenemos por la linealidad de que Bo B" œ Bo B" œ C ! œ C
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de donde Bo B" es otra solucion se sigue que ´ de B œ C, como Bo es unico, ´ B" œ ! Í B" − {!} así ker © {!} Í ker = {!}. à ) Sean B" y B# dos soluciones de B œ C entonces tenemos que B" œ ÐB# Ñ Í B" B# œ ! Í B" B# − ker pero ker œ {!} luego B" B# œ ! Í B" œ B# de donde la unicidad de las soluciones de B œ C. §2. ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES 2.1 INTRODUCCION: Una ecuacion ´ diferencial lineal de orden 8 con coeficientes
constantes es una ecuacion ´ de la forma (n) (n1) ao C + a" C + a# C(n2) + â + an C œ b B donde ao Á !, a" , a# ,â, an son constantes complejas y b es una cierta funcion ´ definida en un intervalo M . Dividiendo por ao podemos obtener una ecuacion ´ de la misma forma, pero con ao œ ". Por consiguiente siempre podemos suponer que ao œ ", y la ecuacion ´ se transforma en C(n) + a" C(n1) + a# C(n2) + â + an C = b B (1) Es conveniente representar la expresion ´ diferencial que aparece en el primer miembro de la igualdad (1) por P C . Así P C œ C(n) + a" C(n1) + a# C(n2) + â + an C y entonces la ecuacion ´ (1) puede escribirse simplemente así : PC =b B Si b B œ ! para toda B − M , la funcion ´ correspondiente P B œ ! es llamada ECUACIÓN HOMOGÉNEA, mientras que si b B Á 0 para algun ´ B − M , P B œ b B se llama ECUACIÓN NO HOMOGÉNEA. Vamos a considerar que P tiene significado por sí mismo como un OPERADOR DIFERENCIAL que opera sobre funciones que tienen 8 derivadas en M , y transforma dichas funciones 9 en funciones PÐ9Ñ cuyo valor en B esta ´ dado por (n) (n1) PÐ9ÑÐBÑ = 9 B + a" 9 B +â+an 9 B Así PÐ9Ñ œ 9(n) + a" 9(n1) +â+an 9 Por consiguiente, una solucion ´ de PÐCÑ œ bÐBÑ es una funcion ´ 9 que tiene 8 derivadas en M , tales que PÐ9Ñ œ b. Desde un punto de vista teorico, si b es contínua en M , es posible obtener todas ´ las soluciones de PÐCÑ B = bÐBÑ. Esto fué lo que hicimos para 8 œ " en el primer capítulo. En esta sección vamos a considerar primero el caso sencillo de la ecuacion ´ de segundo orden Ð8 œ #Ñ. Todas las soluciones de la ecuacion ´ homogenea pueden hallarse mediante un sencillo artificio que la reduce al ´ problema algebráico de buscar las raíces de un polinomio. Las soluciones de la ecuacion pueden generalizarse empleando las soluciones de la ´ no homogenea, ´ ecuacion correspondiente, justo con una integral que involucre a la ´ homogenea ´ funcion que sirven ´ b B . En seguida mostramos la forma en que los metodos ´
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para resolver el caso de segundo orden y pueden generalizarse para resolver la ecuacion ´ de orden 8. Finalmente indicamos un metodo para resolver ecuaciones no homogeneas, que ´ ´ sirve para un gran numero de b's, y el cual a menudo es mas de aplicar ´ rapido ´ ´ que el metodo general. ´ 2.2. LA ECUACION HOMOGÉNEA DE SEGUNDO ORDEN.
Aquí se estudia la ecuacion ´ P C = Cww + a" Cw + a# C œ ! (2) donde a" y a# son constantes. Recordemos que la ecuacion ´ de primer orden con coeficientes constantes Cw + aC = ! tiene una solucion ´ dada por
e ax .
La
constante a en esta solucion, es la raíz de la ecuacion ´ ´ < + a œ !. Dado que si se deriva cualquier numero de veces la funcion ´ exponencial ´
erx , donde < es
una constante, siempre se obtiene un numero constante de veces ´ razonable suponer que para una constante adecuada # >µ w È Ü B ! œ !ß B ! œ ) #
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Vibraciones libres amortiguadas: Si en la ecuación " se tiene 0 > œ ! consideramos el movimiento de un sistema regido por la ecuación # 7 ..>B# , .B $ .> 5B œ ! .# B , .B 5 Í .># 7 .> 7 B œ ! para llegar a la solución se hace lo siguiente: B" œ B Bw" œ B# 5 B# œ Bw" Bw# œ 7 B" 7, B# obteniéndose el sistema siguiente: w ! " B" B" ” B • œ ” 5 , •” B • # # 7 7 cuyo polinomio característico está dado por " , 5 , 5 # º 5 , - º œ -ˆ- 7 ‰ 7 œ - 7 - 7 , 7 7 cuyas raíces estan dadas por 7, „É 7, # %5 7 #
È
#
%57 , œ #7 „ , #7 La forma de solución de la ecuación $ depende de la naturaleza de estas raíces y, en particular del discriminante , # %57. Movimiento oscilatorio o subamortiguado. ,# %57 . Si ,# %57, el discriminante ,# %57 es negativo y existen dos raíces complejas conjugadas del polinomio 5 , característico -# 7, - 7 . Dichas raíces son α „ 3" , donde α œ #7 ß " È # " œ #7 %57 , Þ Por consiguiente, la solución general de $ es B > œ /α> G" cosÞ" > G# =/8Þ" > así, #
B > œ /α> E =/89cos" > cos9=/8" > œ /α> E=/ " > 9
donde E œ È G"# G## y tanÞ9 œ GG"# Resulta ahora evidente que B > es el producto de un factor exponencial E/α> œ E/ ,Î#7 > llamado factor de amortiguación, y un factor senoidal =/8Ð" > 9Ñ que explica el movimiento oscilatorio. Puesto que el factor senoidal varía entre " y " con periodo #1" , la solución B > variará entre E/α> y E/α> con cuasiperiodo T œ #1Î" œ È %71 # y cuasifrecuencia %75,
"ÎT . Además ya que , y 7 son positivos, α œ ,Î#7 es negativo, y así el factor de amortiguación tiende a cero cuando > Ä ∞.
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140.
En la figura se proporciona la gráfica de una solución típica B > . El sistema se llama subamortiguado por que no hay presente suficiente amortiguación , es muy pequeño para prevenir que el sistema oscile. Movimiento críticamente amortiguado. ,# œ %75 Si , # œ %75 , el discriminante 5 ,# %75 œ ! y la ecuación -# 7, - 7 œ ! tiene la raíz repetida ,Î#7. Por tanto la solución general de $ es ahora de la forma B > œ G" G# > / ,Î#7 > Para comprender el movimiento descrito por la función B > œ G" G# > / ,Î#7 > , primero consideramos el movimiento de B > cuando > Ä ∞. Haciendo uso de la regla de L'Höpital G# > G# lim B > œ lim G/ ",Î#7 > œ lim ,Î#7 / ,Î#7 > œ ! >Ä∞
>Ä∞
>Ä∞
recuérdese que ,Î#7 ! . Por consiguiente, B > tiende a cero cuando > Ä ∞. Además, puesto que , , Bw > œ ˆG# #7 G" #7 G# >‰/ ,Î#7 > vemos que la derivada es idénticamente cero cuando G" œ G# œ ! o se anula para un punto (cuando el factor lineal dentro del paréntesis es cero). Si la solución trivial no se tiene encuenta, se deduce que B > tiene a lo sumo un máximo o un mínimo local para > !. Por tanto, B > no oscila. Esto deja, cualitativamente, sólo tres posibilidades para el
movimiento descrito por B > , dependiendo de las condiciones iniciales. Dichas posibilidades se ilustran en la figura. Este caso especial en el que ,# œ %75 se llama movimiento críticamente amortiguado, ya que si , dismimuye de valor, se presentaría la oscilación.
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141.
Movimiento sobreamortiguado: Si ,# %57, el discriminante , # %57 es positiva y 5 existen dos raíces reales distintas de la ecuación característica -# 7, - 7 œ !, È
#
È
#
%57 %57 , , -" œ #7 , #7 ß -# œ #7 , #7 En consecuencia, la solución general es B > œ G " / -" > G # / -# > % # # obviamente, -# es negativa. Y como , , %57, esto es, , È, # %75 , se deduce que -" también es negativa. Por tanto, cuando > Ä ∞ß ambas funciones exponenciales incluidas en % se hacen nulas y B > Ä !. Además, puesto que Bw > œ G" -" /-" > G# -# /-# > œ /-" > ˆG" -" G# -# / -# -" > ‰ se deduce que Bw > œ ! solamente cuando G" -" G# -# / -# -" > œ !. Así que una solución no trivial B > puede tener a lo sumo un máximo o un mínimo local para > !. Como en el caso de amortiguación crítica, el movimiento es no oscilatorio y será cualitativamente semejante a uno críticamente amortiguado. En este caso, donde , # %57ß el movimiento se llama sobreamortiguado. EJEMPLO: Supóngase que el movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está regido por .# B .B w .># , .> #&B œ !ß B ! œ " ß B ! œ ! Encuentre la ecuación del movimiento y trace su gráfica para los casos en donde , œ )ß , œ "!ß yß , œ "# SOLUCIÓN: El polinomio característico es : - œ -# , - #&, cuyas raíces son -"# œ #, „ "# È, # "!! Caso 1: Cuando , œ ), las raíces son % „ $3. Así que éste es un caso de subamortiguación, y la ecuación del movimiento tiene la forma B > œ G" /%> cos $> G# /%> =/8 $> Haciendo B ! œ " y Bw ! œ ! resulta el sistema " œ G" ß %G" $G# œ ! , cuya solución es G" œ "ß G# œ %$ . Para expresar B > como producto de un factor de amortiguación y un factor senoidal, hacemos E œ ÈG"# G## œ &$ ß tan9 œ GG"$ œ %$
donde 9 es el ángulo del primer cuadrante. µ !Þ'% radianes. Entonces B > œ &$ /%> =/8 $> 9 donde 9=arctan $% µ Caso 2: Cuando , œ "! existe solamente una raíz del polinomio característico : - œ -# "!- #& œ ! a saber - œ &. Este es un caso de amortiguación crítica y la ecuación del movimiento tiene la forma B > œ G" G# > /&> Haciendo \ ! œ " y Bw ! œ !, resulta ahora G" œ "ß G# &G" œ ! y entonces G" œ "ß G# œ &. Por consiguiente B > œ " &> /&> .
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La gráfica de la función B > dada por " &> /&> y se representa en la figura adjunta. Nótese que B > es cero solamente para > œ "& y, en consecuencia no cruza el eje > para > !. Caso 3: Cuando , œ "#ß las raíces del polinomio característico # : - œ - "#- #& œ ! son ' „ È"". Este es un caso de sobreamortiguación, y la ecuación del movimiento tiene la forma Š'È""‹>
Š'È""‹>
B > œ G" / G# / . w Haciendo B ! œ " y B ! œ !, resulta G" G# œ "ß Š ' È""‹G" Š ' È""‹G# œ !
de donde se obtiene G" œ Š"" 'È""‹‚## y G# œ Š"" È""‹‚##. Por consiguiente B> œ œ
""'È"" Š'È""‹> / ## /
Š'È""‹>
##
""'È"" Š'È""‹> / ##
š"" 'È"" Š"" 'È""‹/#
È"">
›
La gráfica de este movimiento sobreamortiguado se representa por medio de la línea del gráfico adjunto.
Vibraciones forzadas: Considere ahora el caso en el que actua una fuerza externa periódica, digamos J! cos A>, a un sistema masa-resorte. En este caso, la ecuación del movimiento es # 7 ..>B# , .B & .> 5B œ J! cos A> Primero supongamos que no hay amortiguamiento; entonces la ecuación & se reduce a # 7 ..>B# 5B œ J! cos A> ' È siempre y cuando A! œ 5Î7 Á A, la solución general de la ecuación ' es ! B > œ G" cos A! > G# =/8 A> 7 AJ# A # cos A> !
Las constantes G" y G# son determinadas por las condiciones iniciales. En general el movimiento resultante es la suma de dos movimientos periódicos de frecuencias A y A! , y amplitudes diferentes. Pulsaciones: Supóngase que la masa está inicialmente en reposo, esto es, B ! œ Bw ! œ !, entonces, resulta que las constantes G" y G# de la ecuación
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B > œ G" cos A! > G# =/8 A>
J! 7 A!# A#
cos A>
B > œ -A! G" =/8A! > A! G# cos A> w
B ! œ ! œ G"
J! 7 A!# A#
Í G" œ
J! A 7 A!# A# J! 7 A!# A#
Bw ! œ ! œ A! G# Ê G# œ ! y la solución de la ecuación 7Bww 5B œ J! cos A> es ! B œ 7 AJ# A cos A> cos A! > # !
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=/8 A>
(
Esta es la suma de dos funciones periódicas, pero de la misma amplitud. Haciendo uso de las identidades trigonométricas cos E „ F œ cosEcosF … =/8E=/8F con E œ A! A >Î# y F œ A! A >Î# podemos escribir ( en la forma A! A > > ! B œ 7 A#J =/8 A! A # A# =/8 # #
Si kA! Ak es pequeño, entonces A! A ¦ kA! Ak, y , consecuentemente, =/8 A! A >Î# es una función rápidamente oscilante, comparada con =/8 A! A >Î#. Entonces el movimiento es una oscilación rápida con frecuencia circular A! A Î#, pero con una amplitud senoidal que varía lentamente. Este tipo de movimiento, que posee una variación periódica !
de la amplitud, presenta lo que se llama pulsación. Tal fenómeno ocurre en acústica, cuando dos diapasones de una frecuencia casi igual se hacen sonar simultáneamente. En este caso, la variación periódica de la amplitud puede percibirse simplemente con el oído. En electrónica, la variación de la amplitud con el tiempo se llama modulación de amplitud. Resonancia: Como un segundo ejemplo, considérese el caso A œ A! à esto es, el periodo de la función de fuerza es igual al periodo natural del sistema. Entonces el término no homogéneo J! cos A> es una solución de la ecuación homogénea. En # este caso, la solución de la ecuación 7 ..>B# 5B œ J! cos A> es J! B > œ G" cos A! > G# =/8 A! > #7A >=/8 A! > ) ! Debido a la existencia del término >=/8 A! > en la ecuación ), independientemente de los valores de G" y G# es claro que el movimiento no está acotada cuando > Ä ∞
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Este fenómeno se conoce como
resonancia. Sin embargo, en la práctica probablemente se rompería. Por
supuesto, tan pronto como B se hace grande, nuestra teoría ya no es válida porque hemos supuesto que B es pequeña cuando usamos una relación lineal para determinar la constante del resorte. Si se incluye amortiguamiento en el sistema, el movimiento permanecerá acotado; sin embargo, aún puede haber una respuesta grande a la función de entrada J! cos A> si el amortiguamiento es pequeño y A está cercano a A! . Vibraciones forzadas amortiguadas: El movimiento del sistema masa-resorte con amortiguamiento y la función de fuerza J! cos A> pueden determinarse de una manera directa. Aunque los cálculos son un tanto laboriosos no son difíciles. La solución de la ecuación # 7 ..>B# , .B .> 5B œ J! cos A> es J! B > œ G " / -" > G # / -# > cos A> $ # # donde $ está dado por
É7# A! A# , # A#
cos $ œ 7 A#! A# ‚? y =/8 $ œ ,AÎ? con ? œ É7# A#! A#
#
, # A#
Aquí -" y -# son raíces de : - œ 7-# , - 5 . Como se mostró en la última sección, tanto /-" > como /-# > tienden a cero cuando > Ä ∞. De aquí que, cuando >Ä∞ J! B Ä B: > œ cos A> $ # # É7# A! A# , # A# G " / -" > G # / -# > a
Por esta razón B- > œ menudo se llama solución transitoria y B: > solución del estado estable. Hablando en términos generales la solución transitoria nos permite satisfacer las condiciones iniciales impuestas cuando el tiempo aumenta, la energía puesta en el sistema por el desplazamiento y la velocidad iniciales se disipan a través de la fuerza de amortiguación y el movimiento representa entonces la respuesta del sistema a la fuerza externa J > . Sin amortiguamiento (lo cual, por supuesto, es imposible en cualquier sistemas físico) el efecto de las condiciones iniciales persistiría todo el tiempo.
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145.
Note que 7# A#! A# , # A# nunca es cero, incluso para A œ A! à de ahí que, con amortiguamiento, el movimiento siempre está acotado. Para valores fijos de 7ß , y 5 la amplitud de la solución del estado estable será un máximo cuando # 7# A# A#! , # A# es un mínimo; esto corresponde a la elección 5 ‰# A# œ A#! "# ˆ 7 * Al diseñar un sistema masa-resorte para detectar fuerzas periódicas en un intervalo estrecho de frecuencias alrededor de A, es evidente que desearíamos elegir a 5ß , y 7 en forma que la ecuación * se satisfaga o se satisfagan aproximadamente. En esta forma, obtenemos la respuesta máxima del sistema para tales fuerzas, haciendo más fácil su detección. Una situación similar ocurre en problemas que comprenden la detección de señales eléctricas en redes eléctricas.
La segunda ley de Kirchhoff: En un circuito cerrado el voltaje aplicado es igual a la suma de las caídas de voltaje en el resto del circuito. De acuerdo con las leyes elementales de la electricidad, sabemos que Caída de voltaje a través de la resistencia œ MV Caída de voltaje a través de la capacitancia œ G" U Caída de voltaje a través de la inductancia œ P .M .> Por lo tanto " P .M "! .> VM G U œ I > .U En virtud de que M œ .> podemos sustituir en la ecuación "! obtenemos # " P ..>U# V .U "" .> G U œ I > • U ! œ U! ß U ! œ M ! œ M ! . EJEMPLO: Determine el comportamiento de la solución de "" cuando > Ä ∞ si I > œ I! cos A> y VÁ! # " Ð3Ñ Estudiemos inicialmente la homogénea P ..>U# V .U .> G U œ ! cuyo polinomio característico esta dado por : - œ P-# V - G" las raíces características son -"# œ y la solución será
V„ÉV# % PC #P
U- œ G" /-" > G# /-# > .
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146.
Como ya lo hemos hecho en las vibraciones mecánicas U- Ä ! cuando > Ä ∞. Para encontrar la solución particular de •• • PU VU C" U œ I! =/8A> "# tomamos como solución de prueba a U: œ Ecos A> F=/8 A> encontrando que E y F deben satisfacer al siguiente sistema ˆ C" PA# ‰E AVF œ I! AVE ˆ C" PA# ‰F œ ! Resolviendo para E y F obtenemos # cos A> AVI! =/8 A> U: > œ I! "ÎC-"ÎPAC PA # # A# I # Esta ecuación también puede escribirse en la forma I! =/8 A>$ U: > œ # É "ÎCPA# A# V #
donde $ esta dado por =/8 $ œ "ÎG PA# ‚? cos $ œ AVÎ?
y
?=É "ÎG PA#
#
A# V #
Ya que U œ U- > U: > y como U- > Ä ! cuando > Ä ∞, se deduce que U > Ä U: > cuando > Ä ∞. Por esto U: > frecuentemente se le llama la solución del estado estable de la ecuación "# . Generalmente, deseamos conocer la corriente del estado estable en el circuito y ésta puede hallarse derivando U: > Þ Obtenemos I! cos A>$ M: > œ # ÉV# cAP"Î A G d
En electrónica se conoce a AP "Î AG con el nombre de reactancia del circuito y a ÉV # cAP "Î A G d# como la impedancia del circuito.
EJERCICIOS. En los problemas " a ) clasifique el punto crítico, y determine si es estable, asintóticamente estable o inestable. .B .B .B .B .> œ $B #C .> œ &B C .> œ #B C .> œ B %C "Þ .C #Þ .C $Þ .C %Þ .C .> œ #B #C .> œ $B C .> œ $B #C .> œ %B (C .B .> .C .>
.B .B .B œ B &C .> œ #B &C .> œ $B #C .> œ B C &Þ 'Þ .C (Þ .C )Þ .C " œ B $C .> œ B #C .> œ %B C .> œ % C En cada uno de los problemas 9 a 12 determine el punto crítico ÐB! ß C ! Ñ, y, luego, clasifique su tipo y examine su estabilidad, haciendo la transformación B œ B! ?ß C œ C! @
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*Þ ""Þ
.B .> œ B C # .C .> œ B C .B .> œ B C .C .> œ #B C &
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"!Þ "
"#Þ
"$Þ La ecuación del amortiguamiento es
.B .> œ #B C .C .> œ B #C " .B .> œ α " C .C .> œ # $ B
movimiento #
147.
#
de
ß αß " ß # ß $ ! un
sistema
masa-resorte
con
7 ..>B# , .B .> 5B œ ! donde 7ß , y 5 son constantes positivas. Escriba esta ecuación de segundo orden como un sistema de dos ecuaciones de primer orden para B" œ Bß B# œ .B .> . Demuestre que B" œ !ß B# œ ! es un punto crítico y analice la naturaleza y estabilidad del punto crítico, como una función de los parámetros 7ß , y 5 . Puede aplicarse un análisis similar a la ecuación del circuito eléctrico # " P ..>M# V .M .> G M œ ! "%Þ En este problema se muestra de qué manera los pequeños cambios en los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, pueden afectar un punto crítico que es un centro. Considere el sistema .B .> œ !B C .C .> œ B !C Demuestre que las raíces de la ecuación característica son „ 3 de modo Ð!ß !Ñ es un centro. Considere ahora el sistema .B .> œ %B C .C .> œ B %C donde ¸%¸ es arbitrariamente pequeño. Demuestre que la ecuación característica tiene las raíces % „ 3. Por tanto, no importa qué tan pequeña sea ¸%¸ Á ! el centro se desplaza hacia un punto espiral. Si % ! entonces el punto espiral es asintóticamente estable; si % ! el punto espiral es inestable. "&ÞEn este problema se muestra de qué manera los pequeños cambios en los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales pueden afectar la naturaleza de un punto crítico, cuando las raíces de la ecuación característica son iguales. Considere el sistema .B .> œ -B C .C .> œ !B C Demuestre que las raíces de la ecuación característica son Ñ œ !à BÐ!Ñ œ "ß B w Ð!Ñ œ !Þ Encuentre la ecuación del movimiento y trace su gráfica para , œ 'ß ) y "!Þ ")ÞEl movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguación está regido por B ww ,B w Ð>Ñ '%BÐ>Ñ œ !à BÐ!Ñ œ "ß B w Ð!Ñ œ !Þ Encuentre la ecuación del movimiento y trace su gráfica para , œ "!ß "' y #!Þ "*ÞEl movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguación está regido por B ww "!B w Ð>Ñ 5BÐ>Ñ œ !à BÐ!Ñ œ "ß B w Ð!Ñ œ !Þ Encuentre la ecuación del movimiento y trace su gráfica para 5 œ #!ß #& y $!Þ #!ÞEl movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguación está regido por B ww %B w Ð>Ñ 5BÐ>Ñ œ !à BÐ!Ñ œ "ß B w Ð!Ñ œ !Þ Encuentre la ecuación del movimiento y trace su gráfica para 5 œ #ß % y 'Þ #"ÞUn peso de %6, se sujeta a un resorte suspendido del techo. Cuando el peso llega al reposo en equilibrio, el resorte ha sido estirado $ pulgadas. La constante de amortiguación del sistema es "# 6, † =/1Î:3/. Si el peso se levanta # pulgadas arriba del punto de equilibrio y se aplica una velocidad inicial dirigida hacia arriba, de "# :3/Î=/1, determine la ecuación de movimiento del peso y proporcione su factor de amortiguación, cuasiperíodo y cuasifrecuencia. ##ÞUna masa de #! 51 estira un resorte *) cm al llegar al reposo en equilibrio. La constante de amortiguación del sistema es "%! R † =/1Î7. Si la masa se tira #&cm hacia abajo de la posición de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba de "7Î=/1. ¿en qué momento regresará a su posición de equilibrio? #$Þ Una masa de # 51 estira un resorte %* -7 al llegar al reposo en equilibrio. La constante de amortiguación del sistema es )È&51Î=/1. Si la masa se tira "!cm hacia abajo del punto de equilibrio y se le aplica una velocidad de # 7Î=/1 dirigida hacia abajo, ¿cuál es el desplazamiento máximo que alcanzará a partir de la posición de equilibrio? #%Þ Un peso de ) 6, estira un resorte " :3/ al llegar al reposo en equilibrio. La constante de amortiguación del sistema es "% 6, † =/1Î:3/. Si el peso se levanta "
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149.
:3/ sobre la posición de equilibrio y se suelta, ¿cuál es el desplazamiento máximo que alcanzará abajo de la posición de equilibrio? #&Þ Un peso de ) 6, estira un resorte " :3/ al llegar al reposo en equilibrioÞ La constante de amortiguación del sistema es # 6, † =/1Î:3/. Si el peso se levanta ' :?61+.+= arriba del punto de equilibrio y se le aplica una velocidad de # :3/=Î=/1 dirigida hacia arriba, ¿en qué momento alcanzará la masa su máximo desplazamiento sobre la posición de equilibrio? #'Þ Una masa de " 6, estira un resorte *Þ) -7 al llegar al reposo en equilibrioÞ La constante de amortiguación del sistema es !Þ# R † =/1Î7. Si la masa es impulsada hacia abajo a partir de la posición de equilibrio con una velocidad de "7Î=/1, ¿en qué momento alcanzará su máximo desplazamiento debajo de la posición de equilibrio? #(ÞUn peso de )6, se sujeta a un resorte suspendido del techo. Cuando el peso llega al reposo en equilibrio, el resorte ha sido estirado # :3/=. La constante de amortiguación , del sistema es " 6, † =/1Î:3/Þ Si el peso se eleva ' pulgadas sobre la posición de equilibrio y se la aplica una velocidad inicial dirgida hacia arriba de " :3/Î=/1, encuentre la ecuación del movimiento del peso. ¿Cuál es el desplazamiento máximo que alcanzará el peso arriba del punto de equilibrio? #)ÞDemuestre que para el sistema subamortiguado del problema #(, los tiempos en los que la curva solución BÐ>Ñ dada por BÐ>Ñ œ É ( /#> =/8Ð#È$> FÑ toca las curvas exponenciales „ ÈÐ(Î"#Ñ/> ß no son los mismos valores de > para los cuales la función BÐ>Ñ alcanza sus extremos relativos. #*ÞPara un sistema subamortiguado, verifique que cuando , ! el factor de amortiguación tiende a la constante E, y la cuasifrecuencia tiende a la frecuencia natural ÈÐ5Î7ÑÎ#1 $!ÞUna masa de "! 51 se sujeta a un resorte suspendido del techo. Esto ocasiona que el resorte se estire # 7 al llegar al reposo en equilibrio. En el instante > œ !, se aplica una fuerza externa 0 Ð>Ñ œ #! -9= %> al sistema. La constante de amortiguación del sistema es $R † =/1Î7. Determine la solución estacionaria del sistema. $"ÞUna masa de ) 51 se sujeta a un resorte suspendido del techo. Esto ocasiona que el resorte se estire "Þ*' 7 al llegar al reposo en equilibrio. En el instante > œ !, se aplica una fuerza externa 0 Ð>Ñ œ -9= #> R al sistema. La constante de amortiguación del sistema es $ R † =/1Î7. Determine la solución estacionaria del sistema. $#ÞUna masa que pesa $# 6, se sujeta a un resorte suspendido del techo y queda en reposo en su posición de equilibrio. En el instante > œ !ß se aplica una fuerza externa 0 Ð>Ñ œ $ -9= %> 6, al sistema. Si la constante del resorte es de & 6,Î:3/ , y la constante de amortiguación es de # 6, -seg/pie, encuentre la solución estacionaria del sistema. $$ÞUna masa que pesa ) 6, se sujeta a un resorte suspendido del techo y queda en reposo en su posición de equilibrio. En el instante > œ !, se aplica una fuerza "#
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150.
externa 0 > œ #cos#> 6, al sistema. Si la constante del resorte es de "' lb/pie, y la constante de amortiguación es de "' 6, -seg/pie, encuentre la ecuación del movimiento de la masa. ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del sistema? $%ÞUna masa de # 51 se sujeta de un resorte suspendido del techo. Esto ocasiona que el resorte se estire #! centímetros al quedar en reposo en equilibrio. En el instante > œ !, la masa se desplaza & centímetros abajo de la posición de equilibrio, y se suelta. En el mismo instante, se aplica una fuerza externa 0 > œ !Þ$cos> N al sistema. Si la constante de amortiguación del sistema es de &N-seg/m, determine la ecuación del movimiento de la masa. ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del sistema? $&ÞDetermine la ecuación del movimiento de un sistema no amortiguado en resonancia regido por .# B # *B œ #cos $> œ .> B ! œ "ß Bw ! œ ! Grafique la solución. $'ÞDetermine la ecuación del movimiento de un sistema no amortiguado en resonancia regido por .# B # B œ &cos > œ .> B ! œ !ß Bw ! œ " Grafique la solución. $(ÞUn circuito VPG en serie tiene una fuerza electromotriz dada por I > œ =/8"!!> voltios, un resistor de !Þ!# ohmios, un inductor de !Þ!!" henrios y un capacitor de # faradios. Si la corriente inicial y la carga inicial del capacitor son cero. Determine la corriente del circuito para > !. $)ÞUn circuito VPG en serie tiene una fuerza electromotriz dada por I > œ #! voltios, un resistor de "!! ohmios, un inductor de % henrios y un capacitor de !Þ!" faradios. Si la corriente inicial es cero y la carga inicial del capacitor es de % culombios, determine la corriente del circuito para > !Þ $*. Un circuito VPG en serie tiene una fuerza electromotriz dada por I > œ %!cos#> voltios, un resistor de # ohmios, un inductor de "Î% henrios y un capacitor de "Î"$ faradios. Si la corriente inicial es cero y la carga inicial del capacitor es $Þ& culombios, determine la carga del capacitor para > !Þ %!. Un circuito VPG en serie tiene una fuerza electromotriz dada por I > œ "!cos#> voltios, un resistor de "#! ohmios, un inductor de % henrios y un capacitor de ##!! " faradios. Encuentre la corriente solución estacionaria de este circuito. ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito? %". Un circuito VPG en serie tiene una fuerza electromotriz dada por I > œ $!=/8&!> voltios, un inductor de # henrios y un capacitor de !Þ!# faradios (el circuito no incluye resistor). ¿Cuál es la corriente del circuito para > ! si > œ !ß M ! œ ; ! œ !?. %#ÞUn circuito VPG en serie tiene una fuerza electromotriz de la forma I > œ I! cos# > voltios, un resistor de "! ohmios, un inductor de % henrios y un
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151.
capacitor de !Þ!" faradios. Gráfique la curva de respuesta a la frecuencia para este circuito. %$ÞUn sistema resorte-masa con amortiguación consta de una masa de ( kg, un resorte con constante $ N/m, una componente de fricción con constante de amortiguación # N-seg/m, y una fuerza externa dada por 0 > œ "!cos"!> N. Usando un resistor de "! ohmios, construya un circuito VPG en serie que sea análogo a este sistema mecánico, en el sentido de que ambos sistemas estén regidos por la misma ecuación diferencial. %%. Un sistema resorte-masa con amortiguación consta de un peso de "' lb, un resorte con constante '% lb/pie, una componente de fricción con constante de amortiguación de "! lb/seg/pie, y una fuerza externa dada por 0 > œ #!cos)> lb. Usando un inductor de !Þ!" henrios, construya un circuito VPG en serie que sea análogo a este sistema mecánico.
C A P I T U L O lll
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES
§1. INTRODUCCION.
Una ecuacion ´ diferencial lineal de orden 8 con coeficientes variables de la forma: ao B C(n) + a" B C(n1) + â + an B C = b B donde ao , a" ,á , an , b, son funciones cuyos valores son complejos, y las cuales estan ´ definidas en algun ´ intervalo real M . A los puntos donde ao B = ! se les llama PUNTOS SINGULARES, y con frecuencia se requieren consideraciones especiales acerca de la ecuacion ´ en dichos puntos. Por consiguiente, en este capítulo suponemos que ao B Á ! en M . Dividiendo entre ao , podemos obtener una ecuacion ´ de la misma forma, pero en la cual queda reemplazado el coeficiente de 8 C por la constante ". Así, consideremos la ecuacion ´ (n) (n1) C + a" B C + â + an B C = b B (1) Igual que en el caso en el cual a" , a# , á , an , eran constantes, vamos a designar por P C al miembro izquierdo de (1), así : P C = C(n) + a" B C(n1) + â + an B C (2) y entonces (1) se puede expresar simplemente como P C = b B . Si b B œ ! para toda B en M , decimos P C œ ! es una ecuacion ´ HOMOGÉNEA, mientras que si b B Á ! para algun ´ P C = b B se ´ B en M , entonces la ecuacion llama ecuacion ´ NO HOMOGÉNEA.
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152.
A P vamos a asignarle significado propio como un operador que toma cada funcion ´ 9, la cual tiene 8 derivadas en M , para transformarla en la funcion ´ P9 definida en M , cuyo valor para B esta ´ dada por (n) P 9 B = 9 + a" B 9(n1) + â + an B 9 (3) Así, una solucion ´ de (1) en M , es una funcion ´ F, definida en M , que tiene 8 derivadas en dicho intervalo, y ademas ´ satisface la ecuacion ´ P C = b B . En este capítulo suponemos que las funciones con valores complejos a" , a# , á , an , b, son continuas en cierto intervalo real M , y que P C siempre representa la expresion ´ (2). La mayoría de los resultados que desarrollamos en el capítulo 2 para el caso en el cual a" , a# , á , an , son constantes, siguen siendo válidos para el caso general el cual se esta ´ estudiando ahora. §2. PROBLEMAS CON VALORES INICIALES PARA ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Aún cuando en muchos casos no es posible expresar una solucion ´ de (1) en términos de funciones elementales, si se puede demostrar que siempre existen dichas soluciones. De hecho, por ahora supongamos el siguiente resultado, el cual incluya al teorema 6.4 del capítulo 2, como caso particular, se da una demostracion ´ en un teorema posterior. TEOREMA 2.1 (Existencia). Sean a" , a# , á , an funciones continuas en un intervalo M el cual contiene al punto Bo . Si α" , α# , á , αn son 8 constantes cualesquiera, entonces existe una solucion ´ 9 de P C œ C(n) + a" B C(n1) + â + an B C = ! en M el cual satisface las condiciones 9 Bo = α" , 9w Bo = α# , á , 9(n1) Bo = αn Dos cosas son muy importantes en este teorema : (3) la solucion ´ existe en todo el intervalo M donde las funciones a" , a# , á , an son continuas, y (33) cualquier problema con valores iniciales tiene una solucion. ´ Puede no ser cierto ninguno de estos resultados si se anula el coeficiente de C(n) para algun ´ ´ punto de M . Por ejemplo, consideremos la ecuacion w BC C = ! cuyos coeficientes son continuos para toda B real. Esta ecuacion ´ junto con la condicion ´ inicial C " = ", tiene la solucion ´ 9" , donde 9" B = 1B Pero esta solucion ´ existe solo ´ para ! < B < ∞. También si 9 es una solucion ´ cualquiera, entonces B9 B = c donde c es una cierta constante. Por consiguiente, en el origen solo ´ existe la solucion problema con valor inicial ´ trivial (c = 0), lo cual implica que el unico ´ BCw + C = ! , C ! = α" la cual tiene solucion ´ cuando α" = !. En forma completamente analoga al caso en el cual los coeficientes son ´ constantes el teorema 2.1, se demuestra mediante una estimacion ´ de
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153.
² 9 B ² = c|9 B |# + |9w B |# + â + |9(n1) B |# d TEOREMA 2.2. Sean b" , b# , á , bn , constantes no negativas, tales que para todo B en M | aj B | Ÿ b j , 4 = ",#, á , 8 , y definimos 5 de la siguiente manera : 5 = " + b" + b # + â + b n si Bo es un punto en M , y 9 es una solucion ´ de P C = ! en M , entonces "/2
para todo B en M .
² 9 Bo ² e
k(xxo )
ek(xx )
Ÿ ² 9 B ² Ÿ || 9 Bo ||
o
DEMOSTRACION. Como P C = !, tenemos
9(n) B = a" B 9(n1) B â an B 9 B y, por consiguiente: |9(n) B | Ÿ | a" B | |9(n1) B | + â + | an B | |9 B | Ÿ b" | 9(n1) B | + â + bn | 9 B | Ahora, si en todo lo anterior sustituimos bj por |aj |, podemos seguir la demostracion ´ dada para el teorema 6.1 de capítulo 2. Hacemos notar que si M es un intervalo cerrado y acotado, esto es, de la forma a Ÿ B Ÿ b con a, b, reales, y si las aj son continuas en M , entonces siempre existen ciertas constantes finitas bj , tales que, en M , | aj B | Ÿ bj . TEOREMA. 2.3. (EXISTENCIA Y UNICIDAD). Sea Bo un punto en M , y sean α" , α# ,á , αn constantes cualesquiera. Existe a lo mas ´ una solucion ´ 9 de P C œ !, la cual
ademas ´ satisface las condiciones
9 B = α" , 9w B = α# , á , 9(n1) B = αn (4) DEMOSTRACION. Sean 9 , < dos soluciones de P C œ !, definidas en M , las cuales satisfacen en Bo las condiciones (4), y consideremos ; = 9 .>—.= s
xo
(7)
TEOREMA 5.10. Si 9" es una solucion ´ de (6) en un intervalo M , y 9" B Á ! en M
existe una segunda solucion ´ 9# de la ecuacion ´ (6) , que está dada por la ecuacion ´ (7) . Las funciones 9" ,9# forman una base para las soluciones de (6) en M .
Como un ejemplo sencillo, consideremos la siguiente ecuacion ´ # ww w B C (BC + "&C =! B>! $ Es facil ´ verificar que la funcion ´ 9" B = B es una solucion ´ en el intervalo ! , ( 5 = ", #, ... , 8 )
Wk (t) b(t) W(9" , 9# , ... , 9n )(t)
.>
Aquí [ (9" , 9# , ... , 9n ) > es el Wronskiano de la base 9", 9# , ... , 9n y [k es el determinante que se obtiene a partir de [ 9" , 9# , ... , 9n reemplazando la 5 -esima columna ˆ9k , 9kw , ... , 9k(n1) ‰por !,!, ... ," . ´ TEOREMA. 6.11. Sea b continua en un intervalo M , y sean 9" , 9# ,...,9n base para las soluciones de P C = ! en M . Toda solucion ´ < de P B = b B puede escribirse
como
< = + À Para las no homogéneas usar el método de variación del parámetro usado para obtener la solución particular en caso de los coeficientes constantes. # Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones siguientes para kBk ! À + B# Cww BCw %C œ " , B# Cww $BCw &C œ ! - B# Cww # 3 BCw $3C œ ! . B# Cww BCw %1C œ B $ Sea 9 una solución para B !ß de la ecuación de Euler B# Cww +BCw ,C œ ! sea < > œ 9 /> . + Demuestre que < satisface a la ecuación + " BCw , < > œ ! , Calcule el polinomio característico de la ecuación satisfecha por D . Es más, integrando por partes, obtenemos lo siguiente: X X X > D " œ lim '! /B BD .B œ lim ’ BD /B ¹ D '! /B BD" .B“ ! X œ D lim '! /B BD" .B œ D > D . X Ä∞
X Ä∞
∞ ya que X / Ä ! cuando X Ä ∞. También, dado que > " œ '! /B .B œ " si D es un entero positivo 8ß > 8 " œ 8x Así, la función gama es una generalización de la función factorial, a números que no son enteros. La relación > D " œ D > D puede usarse para definir > D cuando D es tal que Å/ D !, siempre que D no sea un entero negativo. Para comprobar esto supongamos que R es el entero positivo tal que R Å/ D Ÿ R ". Entonces Å/ D R !, y podemos definir > D en términos de > D R de la siguiente manera: DR > D œ D D"> â Å/ D ! $ DR " , X Ä∞
D X
siempre y cuando D Á R ". La función gama no está definida para los valores !ß "ß #ß á Regresamos a la función " , si usamos la -! dada por # obtenemos una solución de la ecuación de Bessel de orden α, la cual se representa por Nα , y se le llama FUNCIÓN DE BESSEL de orden α de primera clase:
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Nα B œ ˆ B# ‰
∞
α
7œ!
" 7 7x> 7α"
185.
ˆ B# ‰#7 Å/ α !
%
Obsérvese que esta fórmula de Nα se reduce a N! cuando α œ !, ya que > 7 " œ 7x Existe ahora dos casos según que 7 α " existe para 7 œ !ß "ß #ß á ß siempre que α no sea un entero positivo, vemos que Nα existe en este caso, aún cuando "@8
ˆ B# ‰#8@
" 8 8x> "@8
#8@ #
ˆ B# ‰#8@"
ahora multiplicando por B se tiene BN@w B œ ∞
œ@ 8œ!
∞
8œ!
" 8 #8@ 8x> "@8
" 8 8x> "@8
œ @N@ B B
ˆ B# ‰#8@ œ
ˆ B# ‰#8@ #
∞
8œ" ∞
œ @N@ B B 8œ! ∞
œ @N@ B B 8œ!
∞
ˆ B# ‰#8@" B#
" 8 8 8x> "@8
8œ! " 8 ˆ B ‰#8@" 8" x> "@8 #
" 8" 8x> #@8
ˆ B# ‰#8@"
" 8 8x> "e@"f8
ˆ B# ‰#8e@"f œ @N@ B BN@" B
EJEMPLO #. Encuentre una expresión alternativa para N " B , usando el hecho de
que >ˆ "# ‰ œ È1
#
Veámoslo; como @ œ "# , entonces N "# B œ
∞ 8œ!
" 8 ˆ B ‰#8 # 8x>ˆ" "# 8‰ # "
Ahora bien, observe que 8 œ !ß >ˆ" "# ‰ œ "# >ˆ "# ‰ œ "# È1 8 œ "ß >ˆ" $# ‰ œ $# >ˆ $$ ‰ œ #$# È1 È1 œ &†%†$†#†" È1 œ #&x È1 8 œ #ß >ˆ" &# ‰ œ &# >ˆ &# ‰ œ &†$ & #x #$ #$ %†# ( ( ( (†&†$ (†'†&†%†$†#†" È1 8 œ $ß >ˆ" # ‰ œ # >ˆ # ‰ œ #% È1 œ #% '†%†# È1 œ #(x ( $x En general x È1 >ˆ" "# 8‰ œ ##8" #8" 8x Por lo tanto, podemos escribir ∞
N "# B œ
"
8
#8" x È1 8œ! 8x ##8" 8x
ˆ B# ‰#8 # œ É 1#B "
∞
8œ!
" 8 #8" #8" x B
œ É 1#B =/8B.
"Þ Demostrar que las series que definen N! y O! convergen para kBk ∞ 9.7. EJERCICIOS
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188.
#Þ Suponga que 9 es cualquier solución de la ecuación B# Cww BCw B# C œ ! " para B !, y sea < B œ B # 9 B . Demostrar que < satisface la ecuación B# Cww ˆB# "% ‰C œ ! para B !. $. Demostrar que N! tiene una infinidad de ceros positivos. (Sugerencia: Si " “.>ß !B+ . !
!
, Demuestre que N! y 9# son linealmente independientes en el intervalo ! B +
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189.
*Þ + Demuestre que las series que definen a Nα y a Nα convergen para kBk ∞ , Demuestre que la serie infinita involucrada en la definición de O8 converge para kBk ∞Þ "!ÞSea 9 cualquier solución de la ecuación de Bessel de orden α para B ! B# Cww BCw B# α# C œ !ß " y hagamos < B œ B # 9 B . Demuestre que < satisface la ecuación Cww ’"
para B !.
" # % α B#
“C œ !
È# =/8 B >ˆ "# ‰ È# cos BÞ >ˆ "# ‰
""Þ + Demuestre que B # N "# B œ "
, Demuestre que B # N "# B œ "
(Sugerencia: De acuerdo con el ejercicio 10, < B œ B # N "# B "
satisface la ecuación
ˆ "# ‰ œ È1Þ). "#Þ + Demuestre que N!w B œ N" B , Demuestre que O!w B œ O" B "$ÞDemuestre que entre cualesquiera dos ceros positivos de N! siempre existe un cero de N" . (Sugerencia: Use el ejercicio 12 + , y el teorema de Rolle). "%ÞDemuestre que si α !, entonces Nα tiene una infinidad de ceros positivos. " (Sugerencia: Si < B œ B # Nα B entonces < satisface la ecuación: ‡ Cww " B C œ ! donde " α # " B œ " % B# à vea ejercicio 10. Para cada B suficientemente grande, digamos B B! ß " B "% . Compare ‡ con la ecuación: Cww "% C œ ! la cual es satisfecha por la función ; B œ =/8 BÎ# ). " "&ÞPara α fijo, α !, y - !, suponga 9- B œ B # Nα -B . Demuestre que: 9-ww ’ % B# “9- œ -# 9"
α #
(Sugerencia: - # 9- B œ < -B , donde < está definida como en el ejercicio 14.) "'ÞSi -ß . son positivos, demuestre que " -# .# '! 9- B 9. B .B œ 9- " 9.w " 9. " 9-w " (Sugerencia: Use el ejercicio 15 para demostrar que w 9- 9.ww 9. 9-ww œ ˆ9- 9.w 9. 9-w ‰ œ -# .# 9- 9. y luego integre de ! hasta ".) "(ÞSi α !, - !ß y Nα - œ !ß demuestre que '!" 9-# B .B œ '!" BNα# -B .B œ !, si - Á .. ")ÞSi α !ß - !ß y Nα - œ !, demuestre que "
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190.
'!" 9-# B .B œ '!" BNα# -B .B œ " cNαw - d# . # "*ÞDefine "Î> 5 , donde 5 es un entero no positivo. Demuestre que si 8 es un entero, la fórmula para N8 B da: N8 B œ " 8 N8 B #!Þ + Use la fórmula de Nα B para demostrar que Bα Nα B w œ Bα Nα" B . , Demuestre que Bα Nα B w œ Bα Nα" B . #"ÞDemuestre que Nα" B Nα" B œ #Nαw B ß y Nα" B Nα" B œ #αB" Nα B (Sugerencia: Use los resultados del ejercicio 20). ##Þ + Demuestre que entre dos ceros positivos cualesquiera de Nα , siempre existe un cero de Nα" . ÐSugerencia: Use 20 , , y el teorema de Rolle). , Demuestre que entre dos ceros positivos cualesquiera de Nα" , siempre existe un cero de Nα . (Sugerencia: Use el ejercicio 20 + , y el teorema de Rolle.) §10.DEFINICIÓN Y PROPIEDADES LINEALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Sabemos por el cálculo que si 0 ß 1 son funciones continuas en el intervalo + Ÿ B ∞, tales que + !Ÿ0 B 1 B ß aB − c+ß ∞Ñ ∞ $ ' , + 1 B .B converge (es decir, lim '+ 1 B .B existe)
∞ Entonces '+ 0 B .B es convergente. TEOREMA 1.Supongamos que 0 sea continua en el intervalo + Ÿ B ∞ y que lim B: 0 B œ E existe, donde T "ß entonces la integral $ Ä∞
BÄ∞
es convergente.
'+∞ k0 B k.B
DEMOSTRACIÓN:Como lim B: k0 B k œ kEk existe, entonces para todo % ! existe un , !
tal que si B ,, entonces % Ÿ B: k0 B k kEk Ÿ %. Tomando % œ ", obtenemos ! Ÿ B: k0 B k Ÿ kEk "Þ De donde k0 B k Ÿ kEBk" si B ,. : ∞ " Como la integral ', B: .B es convergente ‡ si : ", entonces por el criterio de ∞ comparación ', k0 B k.B es convergente y por lo tanto '+∞ k0 B k.B œ '+, k0 B k.B ',∞ k0 B k.B es convergente. . BÄ∞
‡
'"V
" B: .B œ Å
'"∞ ": .B œ B
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Š
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" :" :" B
‹“ œ ’ V "
" :" :" V
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∞ y '+ B": .B es convergente si + ".
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" :"
cuando
V Ä ∞,
luego
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191.
.
LEMA: Supongamos que 1 sea una función continua y decreciente en el intervalo
∞ + Ÿ B ∞, y supongamos además que lim 1 B œ ! entonces '+ 1 B =/8 B .B es BÄ∞
convergente.
La demostración de este lema se hace por los métodos tradicionales y se deja al lector interesado, como un ejercicio ∞ EJEMPLO: Como una consecuencia del lema anterior se sigue que '+ =/8B B .B es convergente. DEFINICIÓN 1: Sea : una función definida en un intervalo N que contiene al intervalo ! Ÿ > ∞. Diremos que 0 = œ _: M es la transformada de Laplace de :, si y sólo si, la integral ' ∞ /=> : > .> ! converge para algún valor de =. DEFINICIÓN 2: Se dice que una función 0 es de orden exponencial en c!ß ∞Ñ si existen constantes G y αß G !, tales que k0 > k Ÿ G/α> para todo > !Þ La función constante 0 > œ " es de orden exponencial, como puede verse haciendo α œ !ß G œ " en k0 > k Ÿ G/α> . También lo son las funciones >8 ß /+> ß =/8 ,>ß cos ,>ß >8 /+> =/8 ,>ß >8 /+> cos ,> Por ejemplo, la prueba de que >8 /α> cos ,> es de orden exponencial se sigue así: Si + ! 8 +> 8 +> 8 cos ,> / œ />+> ¹ > / /#+> ¹ Ÿ >/#+>
y la regla de L'Höspital muestra que esta expresión tiende a cero a medida que > Ä ∞. En particular, termina por ser menor que ", y por lo tanto k>8 /α> cos,>k Ÿ /#α> para valores suficientemente grandes de >. Luego existe una constante G ! tal que k>8 /α> cos,>k Ÿ G/#α> para todo > !Þ Si + Ÿ ! la demostración es aún más fácil, pues entonces k>8 /α> cos,>k Ÿ >8 y la desigualdad >8 /> para valores grandes de > implica la existencia de una constante G ! tal que k>8 /α> cos,>k Ÿ G/> para > !Þ # Por otra parte la función /> no es de orden exponencial, ya que ># lim //α> œ lim /> >α œ ∞ para todo α. >Ä∞
>Ä∞
TEOREMA 2: Si 0 es una función continua a tramos, de orden exponencial entonces
existe un número real α tal que '! /=> 0 > .> converge para todos los valores de = αÞ ∞
DEMOSTRACIÓN: Esta afirmación es una consecuencia inmediata de un teorema bien
conocido de comparación del análisis; a saber, si 0 y 1 son funciones integrables en todo intervalo de la forma c+ß , d, donde + es fijo y , + es arbitrario y si k0 > k Ÿ 1 > ∞ ∞ para todo > +, entonces '+ 0 > .> existe siempre que '! 1 > .> exista. Dado por cierto este resultado, escojamos G y α de forma que k0 > k Ÿ G/α> para todo > ! (recuérdese que 0 es de orden exponencial). Entonces '!∞ /=> G/α> .> œ G '!∞ / =α > .> œ lim G " / =α >! ‘ œ G , si =>α =α =α >! Ä∞
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192.
∞ y el teorema de comparación implica que '! /=> 0 > .> existe para todo = α.
Denotemos por X al conjunto de todas las funciones continuas por tramos, de orden exponencial, el cual es un espacio vectorial real y sea ¹ el conjunto de todas las funciones de valor real definidas en un intervalo de la forma =! ß ∞ o c=! ß ∞Ñ ß =! ∞ . Podemos entonces hacer también de ¹ un espacio vectorial real con tal que modifiquemos la adición, que hasta aquí hemos usado para los espacios funcionales, para acomodarla al hecho de que los elementos de ¹ no están definidos en el mismo intervalo. Específicamente, si 0 y 1 son funciones cualesquiera de ¹ß 0 1 es definida como una función cuyo dominio es la intersección de los dominios de 0 y de 1, y cuyo valor en cualquier punto = de tal intersección, es 0 = 1 = . Entonces, con la multiplicación escalar usual ¹ es un espacio vectorial real. En esta forma podemos afirmar que la transformada de Laplace es una aplicación entre los dos espacios vectoriales X y ¹. Desafortunadamente ¿ À X ¹ no es una transformación lineal pues en general ¿c0 1d no es necesariamente la función ¿c0 d ¿c1dß como puede verse si consideramos el caso en el que 0 > œ cos α> y 1 > œ cos α>, en este caso, ¿c0 d ¿c1d es la función cero en el intervalo !ß ∞ , pero no está definida para = Ÿ !, mientras que ¿c0 1d œ ¿ ! es cero en todo eje de los = − ∞ß ∞ . Resulta claro por esto, que lo único que estamos autorizados a decir es que ¿c0 1d y ¿c0 d ¿c1d son idénticas para aquellos valores de = en donde tanto la una como la otra función estén definidas; afirmación que no es del todo análoga a asegurar la igualdad funcional. Pero una vez que hemos reconocido esta dificultad, es claro que podemos sortearla simplemente acordando considerar dos funciones en ¹ como idénticas siempre que coincidan en un intervalo de la forma +ß ∞ . Dando por válida esta identificación, es ahora fácil probar que ¿ c 0 1 d œ ¿ c0 d ¿c1 d para cualesquiera dos funciones 0 y 1 en X , y como siempre es cierto que ¿ α0 œ α¿ 0 siempre que α sea una transformación lineal de X a ¹. Una vez hecha esta aclaración, nos preguntamos si ¿ es o no uno a uno; es decir ¿implica ¿c0 d œ ¿c1d que 0 œ 1?. El lector debe darse cuenta que esto no es otra cosa que preguntarse, desde otro punto de vista, si una ecuación con operadores de la forma ¿cCd œ : = puede resolverse en forma única para C cuando se ha dado :, y por ahora se debe saber ya que ésta no es una pregunta ociosa. Como en la discusión de la linealidad de ¿, hay una dificultad trivial que nos impide dar una respuesta afirmativa, pues si 0 y 1 son funciones en X que difieren solamente es sus puntos de discontinuidad, entonces ¿c0 d œ ¿c1d aunque 0 Á 1. Pero dos funciones tales estan muy próximas a ser idénticas, y siendo esto lo peor que podría suceder, estaríamos ciertamente justificando la afirmación de que prácticamente ¿ es uno a uno. TEOREMA DE LERCH 3: Sean 0 y 1 funciones continuas por tramos, de orden exponencial, y supongamos que existe un número real =! , tal que ¿c0 d œ ¿c1d, para todo = =! . Entonces, con la posible excepción de los puntos de discontinuidad, 0 > œ 1 > para todo > !.
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193.
Así pues, siempre que una ecuación ¿cCd œ : = pueda resolverse para C, la solución es esencialmente única. En realidad, si convenimos en considerar como idénticas, dos funciones cualesquiera en X , que coinciden en todos los puntos, salvo en sus puntos de discontinuidad, podemos hablar entonces de la solución de una tal ecuación. A esta solución se le llama la TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE de la función :, y se la denota mediante ¿" c:d. Está caracterizada por la propiedad ¿" c:d œ C si y sólo si ¿cCd œ :. A estas alturas de nuestra discusión, sólo nos queda contestar una pregunta de orden general; a saber, ¿aplica ¿ a X sobre ¹?. En términos de ecuaciones con operadores esto es equivalente a preguntarse si ¿cCd œ : tiene una solución para toda función : de ¹, y en esta ocasión la respuesta es un honesto no, ya que tenemos el siguiente teorema: TEOREMA 4: Si 0 es una función continua a tramos y de orden exponencial, entonces lim ¿c0 d œ ! =Ä∞
DEMOSTRACIÓN: En efecto, al probar el teorema 2 vimos que existen constantes G
α tales que
y
G k¿c0 dk Ÿ =α para todo = α, y el resultado deseado resulta al tomar el límite cuando = Ä ∞
Basándonos en este teorema podemos afirmar que, funciones tales como "ß =ß =/8 = = y =" no tienen transformada inversa en X , ya que ninguna de ellas tiende a cero cuando = Ä ∞ EJEMPLOS " Sea 0 > œ ", entonces ' ∞ /=> .> œ lim ' B /=> .> œ lim =" " /=B œ =" ! ! BÄ∞ "
BÄ∞
esto si ! = ∞. Luego ¿ " œ = œ : = o también ¿" =" œ " Observemos que " define en este caso una función en el intervalo ! = ∞. # Sea 0 > œ >/> entonces '!∞ /=> >/> .> œ lim '!B >/> "= .> œ lim ’
œ lim ’ BÄ∞
" "=
#
BÄ∞ " /B "= "= #
Luego ¿ >/> œ
" "=
$ Hallar ¿" ’ =# "
#
BÄ∞ B B "= "= /
o también ¿" Š
"
“
" > "= "= >/
“œ
" "=
" "= #
#
" ="
/> "= “
>œB
#
>œ!
si = "
‹ œ >/"
Usando fracciones parciales tenemos > > " "ˆ " " ‰ " > > d œ ¿Š / / =# " œ # =" =" œ # c¿ / ¿ / # ‹ si = "
es decir ¿ =/82 > œ =#"" ß y , ¿" ˆ =#"" ‰ œ =/82 > para ! Ÿ > ∞.
En forma análoga se puede obtener una lista poco menos que infintas de fórmulas entre las cuales están
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194.
" + 8x 8 ¿ " œ "= ß = !à ¿ /+> œ =+ ß = +à ¿c=/8 +>d œ =# + œ =8" , = !ß 8 entero # ß = !à ¿ > no negativo. Aunque estas fórmulas no dejan de ser significativas, es claro que cualquier aplicación de la transformada de Laplace debe fundarse en resultados más sustanciales. Uno de los importantes es una fórmula que expresa la transformada de la derivada de 0 en términos de ¿ 0 y el comportamiento de 0 en !. Este resultado depende a su vez del hecho de que cualquier función continua en !ß ∞ y tiene una derivada continua por tramos que es de orden exponencial, es también ella misma de orden exponencial. En particular, esto nos permite deducir la existencia de ¿ 0 a partir de la continuidad de 0 y la existencia de ¿ 0 w y esto es precisamente lo que necesitamos probar. TEOREMA 5: Sea 0 continua en !ß ∞ , y supongamos que 0 w es continua por tramos y de orden exponencial en c!ß ∞Ñ. Entonces ¿ c 0 w d œ =¿ c 0 d 0 ! en donde 0 ! œ lim 0 > . En general, Si 0 ß 0 w ß 0 ww ß á ß 0 8" son continuas para todo
> !, y si 0
es continua a tramos y de orden exponencial en c!ß ∞Ñ, entonces >Ä!
8
¿c0 ww d œ =# ¿c0 d =0 ! 0 w ! ã 8 ‘ ¿ 0 œ =8 ¿c0 d =8" 0 ! =8" 0 w ! â 0 8" ! DEMOSTRACIÓN: Para establecer la primera usamos la integración por partes para evaluar ¿c0 w d como sigue: ∞ ∞ ∞ ∞ ¿c0 w d œ '! /=> 0 w > .> œ /=> 0 > ¹ ='! /=> 0 > .> œ =¿c0 d /=> 0 > ¸
∞ y la demostración se completará si podemos mostrar que / 0 > ¸! œ 0 ! . Observemos con este fin, que como 0 es de orden exponencial /=> 0 > Ä ! cuando ∞ > Ä ∞ siempre que = sea suficientemente grande. Luego /=> 0 > ¸! se anula en su límite superior y, tomando en cuenta el hecho de que 0 puede tener una discontinuidad de salto en el origen, tenemos ∞ /=> 0 > ¸! œ lim /=> 0 > lim /=> 0 > œ lim/=> 0 > œ 0 ! !
!
>Ä∞
>Ä!
=>
>Ä!
como se pedía. Las segundas fórmulas se pueden establecer ahora mediante el uso repetido de la primera, con lo que la demostración del teorema queda terminada.
EJEMPLOS " Si 0 > œ ˆ +" ‰cos +>ß entonces 0 w > œ =/8 +>ß y por lo tanto utizando el teorema 5, # # = ‰ +# + ¿c=/8+>d œ += ¿ccos +>d +" œ += ˆ =# + +" œ =+ == œ =#+ # # +# # # Como H8 >8 œ 8x implica que ¿cH8 >8 d œ ¿c8xd œ 8x¿c"d œ 8x= ß = !Þ Por otra parte, por el teorema 5, tenemos ¿cH8 >8 d œ =8 ¿c>8 d =8" † ! â ! De donde =8 ¿c>8 d œ 8x= para todo entero no negativo 8ß y 8x ¿c>8 d œ =8" ß=!
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195.
Una vez conocida la mecánica del uso de las fórmulas de diferenciación, estamos en posición de ilustrar el uso de las transformadas de Laplace en la solución de los problemas de valores iniciales. Nuestro ejemplo tiene que ser forzosamente simple, ya que nuestra lista de transformadas es por el momento bastante limitada. $ Utilizando las transformadas de Laplace tratemos de resolver el siguiente .# C .B#
C œ" C ! œ !ß Cw ! œ " . Comenzamos por aplicar el operador ¿ a ambos miembros de la ecuación dada, para obtener ¿cCww d ¿cCd œ ¿c"d si sólo si " " =# ¿cCd " ¿cCd œ "= Í ¿cCd œ = =" œ =" "= problema de valores iniciales
de donde se sigue inmediatamente que C œ /> ".
TEOREMA 6. Si 0 es una función de orden exponencial en c!ß ∞Ñ y + es un número real
no negativo, entonces En general
> + ¿’'! 0 B .B“ œ "= ¿ 0 "= '! 0 B .B .
Î > Ñ " ' +' > '+ â'+> 0 B .Bâ.B œ "8 ¿ 0 "8 '!+ 0 B .B 8" ¿ ï ! ! 0 B .B.B â = = = Ï 8veces Ò '!+ '+> â'+> 0 B .Bâ.B. â "= ðóñóò 8 " @/-/=
DEMOSTRACIÓN: La prueba está basada en la observación de que si 0 es de orden
exponencial, entonces también lo es '+ 0 B .B. Al usar la integración por partes con > ? > œ '+ 0 B .B y .@ œ /=> .> tenemos ∞ ∞ > ∞ > > ¿’'+ 0 B .B“ œ '! /=> ’'+ 0 B .B“.> œ "= /=> '+ 0 B .B¹ "= '! /=> 0 > .> >
> Pero como '+ 0 B .B es de orden exponencial, el primer término en esta expresión tiende a cero cuando > Ä ∞ dado que = es suficientemente grande y por lo tanto > ! ¿’'+ 0 B .B“ œ "= ¿c0 d "= '+ 0 B .B !
Excepto en lo que se refiere a cambios notacionales obvios, esto es lo deseado. La segunda fórmula se obtiene mediante la representación de este resultado.
En la práctica, las fórmulas de integración con + œ !ß en cuyo caso asumen las fórmulas mucho más sencillas > ¿’'! 0 B .B“ œ "= ¿c0 d > > ¿’'! â'! 0 B .Bâ.B“ œ
> EJEMPLOS " Como '! cos +B .B œ
" =8 ¿c0 d ˆ +" ‰=/8 +>,
así
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" + ¿c=/8 +>d
œ ¿’'! cos +B .B“ œ "= ¿ cos+B œ >
196.
" = = =# +#
+ Luego ¿c=/8 +>d œ =# + =! #ß # Utilizando las fórmulas de integración > B '! B/ .B œ >/> /> " nos da ¿c>/> /> "d œ "= ¿c>/> d. Empleando la linealidad de ¿ tenemos entonces ¿c>/> d ¿c/> d ¿ " œ "= ¿c>/> d. De donde " ¿c>/> d- =" "= œ "= ¿c>/> d y de ello se sigue que =" " " ˆ" "= ‰¿c>/> d œ =" "= œ = = =" œ = ="
¿c>/> d œ
= ="
†
" = ="
œ
" ="
para
calcular
¿c>/> d,
como
#
Se tienen otras propiedades útiles de la transformada de Laplace las cuales presentamos en los resultados que siguen TEOREMA 7. Si ¿c0 d œ : = entonces ¿c/+> 0 > d œ : = + ∞ ∞ DEMOSTRACIÓN: ¿c/+> 0 > d œ '! /=> /+> 0 > .> œ '! / =+ > 0 > .> œ œ ¿ c0 d = + œ : = +
A este resultado se le denomina a veces el primer teorema de traslación y puede escribirse en términos de transformación inversa como ¿" c: = + d œ /+> ¿" c: = d o como ¿" c: = d œ /+> ¿" c: = + d EJEMPLOS: " Como ¿ccos $>d œ =#=* , entonces ¿c/#> cos $>d œ =## =# * #=$ ‘ =# %=#! , teniéndose que =# ( #=$ œ #=# œ #’ =#=##"' “ # =# # "' "'
# Calculemos ¿" #=$ =# %=#!
œ
Pero tenemos ¿" ’ =#=## "' “ œ /#> cos %> y ¿" ’ De donde ¿" ’
#=$ “ =# # "'
% “ =# # "'
(% ’
% “ =# # "'
œ /#> =/8 %>
œ #/#> cos %> (% /#> =/8 %>
Para formular nuestro siguiente resultado debemos introducir la llamada función escalonada unitaria .+ > ß que está definida por la fórmula Ú !ß > Ÿ + Ý Ý Ý Ý Ý .+ > œ Û Ý Ý Ý Ý Ý Ü "ß > +
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197.
Esta función nos permite escribir la fórmula para una función tal como la curva senosoidal Ú !ß > Ÿ + Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý 0 > œÛ Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ý Ü =/8 > + mostrada en la gráfica, en una forma muy sencilla. En efecto, puede que .+ > sea cero para > Ÿ +ß tenemos 0 > œ .+ > =/8 > + una expresión que está mucho mejor adaptada al cálculo que la definición de 0 > . En general la expresión
0 > œ .+ > 1 > + œ œ
!ß >Ÿ! 1 >+ ß >+ describe la función obtenida al trasladar o "correr" 1 > + unidades a la derecha y aniquilar luego la porción a la izquierda de +. Tales funciones surgen en la práctica como estímulos retrasados a sistemas físicos y son de considerable importancia práctica. TEOREMA 8. Sea 0 > œ .+ > 1 > + ß + ! una función continua de orden += exponencial. Entonces ¿c0 d œ / ¿c1d ∞ ∞ DEMOSTRACIÓN À ¿c0 d œ '! /=> 0 > .> œ '+ /=> 1 > + .> Luego si hacemos B œ > +ß obtenemos ∞ ∞ ¿c0 d œ '! /= B+ 1 B .B œ /+= '! /=> 1 B .B œ /+= ¿c1d y el teorema queda demostrado
Para aplicar el teorema 8 en el cálculo de las transformadas inversas, lo reescribimos en la forma ¿" c/+= ¿c1 > dd œ .+ > 1 > + o como ¿" c/+= : = d œ .+ > 1 > + donde : = œ ¿c1 > dÞ EJEMPLO: Si 0 > œ .+ > =/8 >ß entonces ¿c0 d œ ¿c.+ > =/8 > + + d œ /+= ¿c=/8 > + d œ /+= ¿c=/8 > cos + cos >=/+ +d += =/8 + œ /+= ecos +¿c=/8 >d =/8 +¿ccos >df œ / cos=#+= "
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198.
. TEOREMA 9: Si ¿c0 d œ : = , entonces ¿c>8 0 > d œ " .= 8: = . DEMOSTRACIÓN: Se establece este resultado diferenciando ambos lados de la ecuación 8
8
: = œ '! /=> 0 > .> , 8 veces con respecto a =. Tenemos, así ∞ ` ∞ . . ' ∞ => 0 > .> œ '! `= c/=> 0 > d.> œ '! /=> >0 > .> .= : = œ .= ! / así . .= : = œ ¿c>0 > d y así sucesivamente.
Esta vez la fórmula correspondiente en términos de ¿" es .8 ‘ œ " 8 >8 ¿" c: = d ¿" .= 8: = . . ˆ " ‰ #= EJEMPLOS. " ¿c>=/8 >d œ .= ¿c=/8 >d œ .= =# " œ =# " # ∞
# ¿c>8 d œ "
8 .8 .B8 ¿c"d
Supongamos
$
. ‰ ˆ .= Š
" =# "
‹,
que
vemos
¿’'! 0 B .B“ œ "= ¿c0 d tenemos >
¿" ’
" =# "
#
8 .8 " ˆ ‰ .=8 =
8 8x 8x =8" œ =8" " deseamos calcular ¿" Š =# " Al comparar # ‹. " " . ˆ " ‰ que œ #= y aplicando la .= =# " =# " #
œ "
> “ œ #" '! ¿"
œ "
8
"
" =# "
#
con
fórmula
. ˆ " ‰‘ .= =# " .>
Pero la fórmula del teorema 9 con 8 œ ", nos da . ˆ " ‰‘ ¿" .= œ >¿" =#"" ‘ œ >=/8 > . =# " De donde > " "' > ¿" ’ =# " >=/8 > .> œ #" '! >=/8 >.> œ #" >cos > #" =/8 > #“ œ # !
TEOREMA 10: Si 0 es de orden exponencial y es periódica con período :, entonces ' : /=> 0 > .>
¿c0 d œ ! "/:= DEMOSTRACIÓN: Por definición ∞ : #: 8" : => ¿c0 d œ '! /=> 0 > .> œ '! /=> 0 > .> ': /=> 0 > .> â '8: / 0 > .> â Hacemos ahora B 8: œ > en la integral 8 " ésima de la anterior serie para obtener '8:8" : /=> 0 > .> œ '!: /= B8: 0 B 8: .B œ /8:= '!: /=B 0 B .B en donde el último paso se sigue de la periodicidad de 0 . De donde : : : ¿c0 d œ '! /=B 0 B .B /:= '! /=B 0 B .B â /8:= '! /=> 0 > .B â : œ c" /:= /#:= â /8:= âd'! /=B 0 B .B Pero la serie geométrica de radio /=: es convergente a "/"=: , teniéndose ' : /=> 0 > .>
¿c0 d œ ! "/=: EJEMPLOS: " Hallar la transformada de Laplace de la función que se muestra en la gráfica
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199.
En este caso 0 es periódica con período #, de donde ¿ c0 d œ
' # /=> 0 > .> ! "/#=
œ
' " /=> .> ! "/#=
œ
"/= = "/#=
" = "/=
œ
# Hallar la transformada de Laplace de la función con período : œ =/8 A>ß si ! > 1ÎA : > œœ !ß si 1/A > #1ÎA
Se tiene
¿ c: > d œ
" ' 1ÎA /=> =/8 A> .> "/#1=ÎA !
œ
#1 A
, dada por
A =# A# "/1=A
Obteniéndose la rectificación de la función =/8 A>Þ
10.2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
El empleo de la transformada de Laplace en la resolución de problemas de valores iniciales se presentó y justificó ya. En esta sección ilustramos como las fórmulas que acabamos de deducir nos permiten resolver problemas más complejos. EJEMPLO À Hallar la solución del problema de valores iniciales siguiente: Cww %Cw "$C œ #> $/#> cos$> œ C ! œ !ß Cw ! œ " Tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de esta ecuación y aplicando las condiciones iniciales dadas, obtenemos =# =# ¿cCd " %=¿cCd "$¿cCd œ #¿c>d $¿c/#> cos $>d œ =## $ =# # * De donde ¿cCd œ
" =# %="$
# =# =# %="$
$ =# =# %="$
#
y ahora debemos encontrar la transformada inversa de los diversos téminos del segundo miembro de esta ecuación. Podemos resolver la cuestión en lo que respecta al primero, sin dificultad, ya que " " " $ =# %="$ œ =# # * œ $ Š =# # * ‹. De donde
¿"
" ‘ =# %="$
œ $" ¿" Š
$ ‹ =# # *
œ $" /#> =/8$>
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200.
Para manejar la segunda, usamos el método de fracciones parciales, como sigue # E F H=I =# =# %="$ œ = =# =# %="$ de donde # œ E H =$ %E F I =# "$E %F = "$F Para que esta ecuación se verifique idénticamente en =, se debe tener ) E F œ ! Ê G œ E œ "'* %E F H œ ! Ê H œ %E F % ) "$E %F œ ! Ê E œ "$ † F œ "'* # "$F œ # Ê F œ "$ ) # ) ' y de ello se sigue que E œ "'* ß F œ "$ ß G œ "'* ß H œ "'* . Por lo tanto # ) ˆ"‰ # ˆ"‰ ) ˆ =# ‰ "! $ ‹ # =# =# %="$ œ "'* = "$ =# "'* =# %="$ "'* $ Š
y
=# *
¿" Š =#
# =# %="$
Finalmente, como $ =# œ =# %="$ #
‹œ
) "'*
$ . ˆ " ‰ # .= =# %="$
# "$ >
œ
) #> cos$> "'* /
"! #> =/8$> &!( /
" . $ # .= Š =# # * ‹
podemos aplicar los teoremas 7 y 9 para obtener =# " #> ¿" ’ =#$%="$ =/8$> # “ œ # >/
Combinando estos resultados vemos que la solución es ) #> # #> C œ "(* =/8$> "'* / cos$> "# >/#> =/8$> "$ > &!( /
10.3 CONVOLUCIÓN
) "'* .
Estableceremos la más importante propiedad de la transformada de Laplace, la llamada fórmula de convolución. DEFINICIÓN: Sean : y < funciones continuas por tramos y de orden exponencial, definimos una nueva función :‡< de la siguiente manera > :‡< > œ A > œ '! : ? < > ? .? " :‡< se llama la convolución de : y < Las siguientes propiedades resultan inmediatamente de la definición. # :‡< œ 0 1 0 . 0“ œ : = < =
Cuando se escribe en términos de transformadas inversas se obtiene
> ¿" c: = < = d œ '! 0 > 0 1 0 . 0 œ 0 ‡1 > DEMOSTRACIÓN: Usado la definición de la transformada de Laplace tenemos > ∞ > ∞ > > ¿’'! 0 > 0 1 0 . 0“='! /=> ’'! 0 > 0 1 0 . 0 “.> œ '! '! /=> 0 > 0 1 0 . 0.>
en donde la integración se efectua sobre la región del plano >0 descrita por desigualdades ! Ÿ 0 Ÿ >ß ! Ÿ > ∞
Pero esta región está también descrita por 0 Ÿ > ∞ß ! Ÿ 0 ∞ de donde se deriva que la integral reiterada anterior puede ecribirse como ' ∞ ' ∞ /=> 0 > 0 1 0 . 0 .> ß o , ' ∞ 1 0 ’' ∞ /=> 0 > 0 .> “. 0 ! 0 ! 0 ∞ hacemos ahora el cambio de variable ? œ > 0 en '0 /=> 0 > 0 .> y obtenemos '0∞ /=> 0 > 0 .> œ '!∞ /= ?0 0 ? .? .
las
De donde > ∞ ∞ ¿ ’'! 0 > 0 1 0 . 0“ œ '! 1 0 '! /= ?0 0 ? .?‘. 0 ∞ ∞ ∞ ∞ œ '! /=0 1 0 '! /=? 0 ? .?‘ . 0 œ '! /=? 0 ? .?'! /=0 1 0 . 0 œ ¿ c0 d ¿ c 1 d y la demostración es completa.
El teorema de convolución tiene una forma más sugestiva con transfomada inversa dada por ¿" c: = < = d œ ¿-" c: = d‡¿-" c< = d EJEMPLOS: " Hallar ¿" ’ = =#"" “ ¿" ’ = =#"" “ œ ¿" ˆ =" ‰‡¿" ˆ =#"" ‰ œ "‡=/8> œ '! =/80. 0 œ " cos> >
# Calcular la convolución de : > œ < > œ =/8 +> Tenemos, > =/8 +> ‡ =/8 +> œ '! =/8 +? =/8+ > ? .? > œ '! =/8 +? c=/8+>cos +? cos +> =/8 +? d.? > > œ =/8 +>'! =/8 +? cos+? .? cos +>'! =/8# +? .?
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œ =/+ +>Ð
> cos# +? ¹ #+ !
cos +>Ð ?#
202.
> =/8#+? ¹ %+ !
cos# +> =/8#+> ‰ ˆ> #+ ‹ cos +> # %+ =/8 +>cos# +> +> =/8 +> >cos# +> #cos +>†cos #+ %+ >cos +> #
" œ =/8 +> Š #+
+> œ =/8 #+ +> œ =/8 #+ $ Mostrar que ¿ > ¿ =/8 +> œ ¿ > =/8> ß = !, y deducir que >‡=/8> œ > =/8> Sabemos que ¿ > œ ="# ß ¿ =/8 > œ =#"" à luego ¿ >‡=/8 > œ ="# =#"" œ ="# =#"" œ ¿ > ¿ =/8 > De donde A > œ >‡=/8 > œ > =/8 >
10.4 EJERCICIOS
" # $ % &
Demostrar que 0 ‡1 œ 1‡0 Demostrar que 0 ‡ 1 2 œ 0 ‡1 0 ‡2 Demostrar que 0 ‡ 1‡2 œ 0 ‡1 ‡2 Hallar "‡" y "‡"‡" Supongamos que 0 > es de orden exponencial y que lim 0 >> existe. Suponiendo >Ä!
que podemos invertir el orden de integración en el cálculo, demostrar que ∞ ¿’ 0 >> “ œ '= ¿c0 d.=.
En los ejercicios que siguen, encuentre J = o 0 > según el caso ' ¿ >/"!> ( ¿ >/'> ) ¿ >$ /#> * ¿ˆ>"! /(> ‰ >™ "! ¿ /> =/8 $> "" ¿ /#> cos %> "# ¿ /&> =/82$> "$ ¿˜ cosh /> # "% ¿š> /> /#> › "& ¿˜/#> > " # ™ "' ¿e/> =/8# >f
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En los problemas que siguen escriba la función dada en términos de funciones escalonadas. Encuentre la transformada de Laplace de cada función !, !Ÿ>" !, ! Ÿ > $#1 %& 0 > œ œ # %' 0 > œ œ > , > " =/8 >ß > ! >ß ! Ÿ > " =/8 >, ! Ÿ > #1 %( +Þ 0 > œ œ %( ,Þ 0 > œ œ !ß > # !, > #1
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203.
&! Dibuje el gráfico de la función dada por 0 > œ ¿" ˜ ="#
&" Dibuje el gráfico de la función dada por 0 > œ ¿" š #=
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. En los problemas que siguen, use el teorema 9 en el caso 8 œ " ß 0 > œ "> ¿" ˜ .= J =™ para calcular la transformada inversa de Laplace que se indica # ™ &# ¿" ˜log =$ &$ ¿" šlog ==# " &% ¿" ˜arctan "= ™ =" % ›
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En los problemas que siguen, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación dada sujeta a las condiciones iniciales que se indican. (' .C (( .C .> C œ "ß C ! œ ! .> #C œ >ß C ! œ " w %> () C %C œ / ß C ! œ # (* Cw C œ =/8 >ß C ! œ ! )! Cww &Cw %C œ !ß C ! œ "ß Cw ! œ ! )" Cww 'Cw "$C œ !ß C ! œ !ß Cw ! œ $ )# Cww 'Cw *C œ >ß C ! œ !ß Cw ! œ " )$ Cww %Cw %C œ >$ ß C ! œ "ß Cw ! œ ! )% Cww %Cw %C œ >$ /#> ß C ! œ !ß Cw ! œ ! )& Cww #Cw &C œ " >ß C ! œ !ß Cw ! œ % )' Cww C œ =/8 >ß C ! œ "ß Cw ! œ " )( Cww "'C œ "ß C ! œ "ß Cw ! œ # )* Cww Cw œ /> cos > ß C ! œ !ß Cw ! œ ! *! Cww #Cw œ /> =/82 >ß C ! œ !ß C ! œ ! *" #Cwww $Cww $Cw #C œ /> ß C ! œ Cw ! œ !ß Cww ! œ " *# Cwww #Cww Cw #C œ =/8 $>ß C ! œ Cw ! œ !ß Cww ! œ " *$ C % C œ !ß C ! œ "ß Cw ! œ !ß Cww ! œ " ß Cwww ! œ ! *% C % C œ >ß C ! œ !ß Cw ! œ !ß Cww ! œ ! ß Cwww ! œ !.
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204.
§11. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERECIALES LINEALES
El sistema más general de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con 8 ecuaciones tiene la forma Bw3 œ
8
+35 D B3 03 D
3 œ "ß #ß á ß 8
"
5œ"
con las condiciones iniciales B" ! œ B"ß! ß B# ! œ B#ß! ß á ß B8 ! œ B8ß! el cual puede ser escrito haciendo uso de vectores como: \w œ E D \ J D donde Ô B" D × Ô 0" D × Ö B# D Ù Ö0 D Ù \œÖ Ù, E D œ +35 D ß J D œ Ö # Ù ã ã Õ B8 D Ø Õ 08 D Ø
#
con las condiciones iniciales Ô B" ! × Ô B"ß! × Ö B ! Ù Ö B#ß! Ù \ ! œÖ # ÙœÖ Ù œ \! ã ã Õ B8 ! Ø Õ B8ß! Ø Tal sistema es llamado homogéneo si la función vectorial J D se hace idénticamente cero. Análogamente el sistema # se llamará no homogéneo si la función J D es distinta de cero. Aquí se puede demostrar, en analogía con los teoremas de existencia y unicidad tratados en el §6 del capitulo 2, que si se dan condiciones adecuadas a E D , a J D y a un vector inicial \ ! œ \! , entonces la solución del sistema " tiene solución única. 11.2 SISTEMAS HOMOGÉNEOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES.
Retornamos ahora nuestra atención sobre la ecuación \ w œ E\ $ siendo E una matriz constante de orden 8Þ DEFINICIÓN.Sean \" ß \# ß á ß \7 7 vectores de Z8 œ ‚8 . Se dice que estos 7 vectores son 7 soluciones linealmente independientes de \ w œ E\
si
" \3w œ E\3 ß 7
# 3œ"
3 œ "ß #ß $ß á ß 7
-3 \3 œ !ß entonces -3 œ ! para todo "ß #ß á ß 7Þ
LEMA. El sistema de ecuaciones diferenciales
\ w œ E\ œ\ ! œ \
!
%
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205.
donde E es una matriz de orden 8 constante, tiene precisamente por solución 8 vectores linealmente independientes. Cualquier otra solución es de la forma \ œ F\! donde F œ \" ß \# ß á ß \8 es la matriz formada por estos 8 vectores solución linealmente independientes.
La demostración de este lema no la podemos dar, pues la tecnología necesaria para ello nos desvía un poco del objetivo final, sin embargo demostramos que no puede haber más de 8 soluciones linealmente independientes. Supongamos que \" ß \# ß á ß \7 son 7 soluciones con 7 8Þ Entonces el vector 7
\œ
-3 \3 3œ"
es una solución de % . Escojamos ahora los escalares -3 tales que 7
-3 \ 3 ! œ ! 3œ"
Este sistema debe tener para -3 soluciones distintas de cero, puesto que el sistema representa 8 ecuaciones con 7 8 incógnitas. Pero entonces \ ! œ !. Así que por 7 ! y se tienen constantes -3 Á ! para las cuales continuidad \ œ -3 \3 œ ! así, los \3 3œ"
vectores son linealmente dependientes. Demostremos ahora que precisamente 8 vectores linealmente independientes pueden ser hallados. Consideremos primero un caso relativamente simple, en donde los vectores propios de E son distintos; en este caso la matriz E puede ser diagonalizada. Entonces existe una matriz X tal que X " EX œ H donde Ô -" ! â ! × Ö ! -# â ! Ù HœÖ Ù ã ã ä ã Õ ! ! â -8 Ø y los -3 representan todos los valores propios de E. Entonces si introducimos un nuevo conjunto de variables dependientes definido por: ] œ X " \ & Sustituyendo en % hallamos que ] w œ X " \ w œ X " E\ œ X " EX ] œ H] El presente sistema cuando escribimos en notación escalar tiene la forma simple C3w œ -3 C3 3 œ "ß #ß á ß 8 ' donde cada ecuación contiene solamente una variable dependiente. Estas son ecuaciones de primer orden y se puede ver inmediatamente que C3 œ -3 /-3 D donde -3 son constantes arbitrarias. Se puede ahora construir 8 soluciones linealmente independientes para el sistema ' , así un tal conjunto de soluciones es dado por -" D Ô/ × Ô ! × Ô ! × D # Ö ! Ù Ö/ Ù Ö ã Ù ]" œ Ö ( Ùß ]# œ Ö Ùß âß ]8 œ Ö Ù ! ã ã Õ ! Ø Õ ! Ø Õ / -8 D Ø Para verificar que estos vectores son en verdad linealmente independientes se observa simplemente que el determinante formado con ellos
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206.
-" D ! â ! × Ô/ D # Ö ! / â ! Ù Ö Ù œ / -" -# â-8 D ã ã ä ã Õ ! ! â / -8 D Ø no es cero. Es ahora evidente que los siguientes vectores linealmente independientes: X ]" ß X ]# ß á ß X ]8 son soluciones de & , en efecto; X ]3 w œ X -3 ] 3 œ X H]3 œ X X " EX ]3 œ X X " EX ]3 œ E X ]3 lo cual es válido para todo 3. Tal conjunto de vectores es conocido como un conjunto fundamental de soluciones de & . De estos se puede construir otras 8 soluciones de & À \" ß \ # ß á ß \ 8 con los valores particulares iniciales Ô $"3 × Ö$ Ù \3 ! œ Ö #3 Ùß 3 œ "ß #ß á ß 8 ã Õ $83 Ø donde $34 es el delta de Kronecker. La matriz F, cuya 3-ésima columna es igual a \3 , satisface la ecuación diferencial Fw œ EF ) con el valor inicial F ! œ MÞ La ecuación ) es similar a & en donde la matriz F es puesta en el lugar del vector columna \ . Pero cada vector columna de F es una solución de & . Es ahora muy fácil hallar una solución de & con el vector inicial \ ! œ \! . Esta solución es explícitamente prevista por o dada por \ œ F\! * Para verificar que esta es solución, observamos primero que \ ! œ F ! \! œ M\! œ \! y que \ w œ Fw \! œ EF\! œ E\ así satisface la ecuación diferencial y la condición inicial. El método seguido en el presente parágrafo es satisfactorio, siempre que E tenga valores propios distintos, pero hace falta una situación más general. Ahora demostremos más claramente que el sistema & tiene soluciones exponenciales. Experimentemos por lo tanto en hallar una solución de prueba vectorial de la forma \ œ G/-D donde - no obstante es incógnita y G es un vector constante arbitrario. Insertando esta solución de prueba en & llegamos a, -/-> G œ /-> EG . De la cual se deduce inmediatamente la ecuación E - M G œ !.
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207.
Ecuación muy conocida cuando se estudia el espectro de la matriz E en el álgebra lineal y es una ecuación homogénea la cual tiene solución distinta de cero para G si y sólo si det E M œ !. Aquí otra vez se ve que si E tiene valores propios distintos, se pueden hallar 8 valores propios -3 y los correspondientes vectores propios G3 formando así la solución general de ' dada por: 8
\œ
/ -3 > G 3
3œ"
EJEMPLO: Resolver la ecuación Cwww 'Cww ""Cw 'C œ !, donde
C ! œ "ß Cw ! œ Cww ! œ ! SOLUCIÓN À Sea B" œ Cß B# œ Cw ß B$ œ C ww así que Bw" œ B# Bw# œ B$ Bw$ œ Cwww œ 'C ""Cw 'Cww œ 'B" ""B# 'B$ la cual puede ser escrita matricialmente como " ! × Ô ! Ô"× ! ! " \ , con, \ ! œ ! \w œ Õ ' "" ' Ø Õ!Ø Para hallar la solución de la forma \ œ /-> G vemos que " ! × Ô ! ! " Gß -/-> G œ /-> ! G Á! Õ ' "" ' Ø que nos lleva a la ecuación " ! Ô × ! " G œ !ß G Á! Õ ' "" ' - Ø donde - satisface a la ecuación â â " ! â â â â " â ! â œ -$ '-# ""- ' œ - " - # - $ œ ! â â â ' "" ' - â así se tienen tres valores propios distintos dados por -" œ "ß -# œ #ß -$ œ $ se pueden determinar los vectores propios correspondientes y son Ô + × Ô , × Ô - × G" œ + ß G# œ #, ß G$ œ $Õ + Ø Õ %, Ø Õ *- Ø donde +ß ,ß - son determinadas por la condición inicial Ô"× \ ! œ ! Õ!Ø Ô"× esto conduce a las ecuaciones G" G# G$ œ ! ó Õ!Ø
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208.
Ô
+ , - × Ô"× + , $- œ ! Õ ; , *- Ø Õ ! Ø de donde se halla que + œ $ß , œ $ß -œ" Así la solución del sistema es dada por > #> $> Ô $ × Ô $ × Ô " × Ô $/ $/ / × ' \ œ /> $ /#> /$> $ œ $/> '/#> $/$> Õ $ Ø Õ "# Ø Õ * Ø Õ $/> "#/#> */$> Ø Regresando a la ecuación originalmente dada de tercer orden, tendrá por solución a la primera fila del vector anterior o sea C œ $/> $/#> /$> . " ! × Ô ! ! ! " Nota: La matriz es usualmente conocida como la matriz ORLADA Õ ' "" ' Ø asociada a la ecuación dada
Así para el caso general donde los valores propios tienen multiplicidad no ha sido considerado aquí. Para tratar este caso, demostraremos primero que un sistema general 8 ‚ 8 puede siempre reducirse a un sistema 8 " ‚ 8 " donde una solución puede hallarse. Ahora regresamos al sistema \ w œ E\ß y supongamos que se tiene la solución particular Ô B"" × ã \" œ Õ B"8 Ø la cual no es idénticamente cero, correspondiente a un valor propio que se repite y queremos hallar otra solución que sea linealmente independiente con \" ß con tal fin definimos la matriz Ô " ! â ! B"" × Ö ! " â ! B"# Ù Ö Ù Ö ! ! â ! B"$ Ù FœÖ "! Ù ã Ù Öã ã ä ã Ö Ù ! ! â " B"8" Õ ! ! â ! B"8 Ø
y supongamos que B"8 no es cero en este caso la matriz es no singular. Si B38 fuera cero, podríamos suponer que para algún 5ß B"5 no es cero, de otra forma \" sería cero, lo cual no es verdad por hipótesis de ser \" un vector propio. En este caso simplemente usamos una matriz F‡ similar a F; esto es, la matriz idéntica excepto que reemplazaríamos la 5 -ésima columna por \" . Esta también será no singular, y entonces procederíamos exactamente como lo haremos con la matriz F en "! . Un nuevo conjunto de variables dependientes ] deberá ser introducido, tal que sea relacionado por \ œ F] . La inserción de estas en \ w œ E\ conduce a
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Fw ] F] w œ EF] la cual puede ser resuelta para ] , produciendo F] ] w œ F" EF Fw ] œ "" F es la matriz definida en "" . Se puede ver fácilmente que una solución particular de "" es dada por Ô!× ]" œ ã Õ"Ø puesto que F]" œ \" se tiene que ]" es una solución particular del sistema \ w œ E\ . Por el uso de esta solución ]" , se puede obtener alguna información acerca de la estructura de la matriz F de "" . Introduciendo ]" en "" se deduce que Ô!× Ô ! × Ô ,"8 × ! Ö Ù Ö!Ù Ö , Ù Ö Ù œ F Ö Ù œ Ö #8 Ù ã ã ã Õ!Ø Õ " Ø Õ ,88 Ø así se ve que ,38 œ !ß 3 œ "ß #ß á ß 8 Cuando "" es escrito como un sistema escalar, se tiene C3w œ
8"
C8w œ
,34 C3 ,
3 œ "ß #ß á ß 8 "
4œ" 8"
,84 C4 4œ"
"#
Esto demuestra que los primeros 8 " componentes de ] satisfacen un sistema 8 " ‚ 8 " , y tienen una única solución: C8 puede ser hallado de la segunda ecuación de "# . Se puede demostrar que si se conocen 5 soluciones particulares, procedentes de 5 valores propios que se repiten cada uno una vez entonces por un proceso análogo puede reducirse el sistema 8 ‚ 8 a un sistema 8 5 ‚ 8 5 . Supongamos que Ô B"3 × ÖB Ù \3 œ Ö #3 Ù 3 œ "ß #ß á ß 5 ã Õ B83 Ø son 5 de tales soluciones de & . Un conjunto de nuevas variables independientes puede ser introducido y definido por \ œ F] donde Ô " ! á B"" á B"5 × Ö ! " á B#" á B#5 Ù F=Ö Ù ã ã ä ã ä ã Õ ! ! á B8" á B85 Ø Este efectivamente reduce el sistema original a un sistema 8 5 ‚ 8 5 . EJEMPLO:Hallar la solución general de la ecuación Cwww %Cww &Cw #C œ ! Sea B" œ C B# œ Cw B$ œ Cww œ #C &Cw %Cww
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210.
Así tenemos el siguiente sistema " ! × Ô ! w ! ! " \ \ œ Õ # & %Ø Si usamos la solución de prueba \ œ /-> Gß hallamos que - debe satisfacer a la ecuación â â " ! â â â â " â ! â œ - $ %- # &- # œ ! â â â # & %-â Así que tenemos solamente dos valores propios distintos -" œ "ß -# œ # y los correspondientes vectores propios son Ô + × Ô , × G" œ + ß G# œ #, Õ + Ø Õ %, Ø donde + y , son constantes arbitrarias. Para hallar una tercera solución linealmente independiente, construimos " × +/> × Ô" ! Ô" ! " > ! " " F= ! " +/ de donde F œ " Õ ! ! +/+> Ø Õ ! ! ˆ ‰/ > Ø + Sea \ œ F] así que ' !× Ô # w " w # & ! ] œ F EF F ] œ ] Õ # /> & /> ! Ø + + en notación escalar tenemos C"w œ #C" 'C# C#w œ #C" &C# C$w œ ˆ +# ‰/> C" ˆ +& ‰/> C# Así que C" ß C# puede ser obtenida de las primeras dos ecuaciones, C$ puede ser hallado por integración, se halla entonces que C" œ #-/> C# œ -/> C$ œ ˆ +- ‰> Para hallar \$ ß se tiene el siguiente cálculo > Ô #-/ × Ô #× Ô -× > > > -/ \$ œ F œ/ >/ Õ ˆ - ‰> Ø Õ ! Ø Õ -Ø + donde - es una constante arbitraria. Se sigue que la solución puede ser puesta, en la forma Ô + #- × Ô -× Ô , × \ œ /> + - >/> /#> #, Õ Ø Õ -Ø Õ %, Ø +
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211.
Se puede fácilmente verificar que se han hallado las tres soluciones linealmente independientes. La solución de la ecuación dada será entonces C œ + #- /> ->/> ,/#> .
Para una justificación analítica del procedimiento seguido, para obtener las soluciones procedentes de valores propios con multiplicidad, presentamos los siguientes resultados debidos a Rouche-Frobenious: Si 7 es un entero positivo y - -" 7 es un factor de la ecuación característica det E -M œ !ß pero - -" 7" no es un factor, entonces se dice que -" es un valor propio de multiplicidad 7. Distinguimos dos posibilidades. + Puede que para algunas matrices E de 8 ‚ 8 sea posible encontrar 7 vectores propios O" ß O# ß á ß O7 linealmente independientes que correspondan a un valor propio -" de multiplicidad 7 Ÿ 8Þ En este caso, la solución general del sistema contiene la combinación lineal - " O" / - " > - # O # / - " > â - 7 O 7 / - " > . Esto depende del rango de la matriz E -" M . , Si al valor propio -" de multiplicidad 7 le corresponde solamente un vector propio, entonces siempre es posible encontrar 7 soluciones linealmente independientes de la forma \" œ O"" /-" > \# œ O#" >/-" > ã >7" >7# -" > -" > \7 œ O7" 7" O7# 7# â O77 /-" > x/ x/ donde los O34 son vectores columna.
# # × Ô " " # \ EJEMPLO: Resolver el siguiente sistema \ œ # Õ # # " Ø SOLUCIÓN:Desarrollando el determinante de la ecuación característica se tiene â â # # â â" â â # â œ !ß resulta - " # - & œ !. â # "â â # "-â â # Vemos que -" œ -# œ " y -$ œ &Þ Ahora, para -" œ " se obtienen tres ecuaciones dadas por el sistema: " - 5" #5# #5$ œ ! #5" " - 5# #5$ œ ! "$ #5" #5# " - 5$ œ ! # # × Ô # # # es uno, el sistema "$ con -" œ " se Como el rango de la matriz # Õ # # # Ø w
reduce a una sola ecuación 5" 5# 5$ œ ! y se puede escoger libremente el valor
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212.
de dos de sus incógnitas, así, elegimos inicialmente 5" œ " y 5$ œ ! en cuyo caso Ô"× 5# œ 5" 5$ œ # y por lo tanto un vector propio es O" œ " . Õ!Ø Ô!× Otra elección es 5" œ ! y 5$ œ ". Luego un segundo vector propio es O# œ " . Õ"Ø
Puesto que ninguno de los dos vectores propios es un múltiplo constante del otro, hemos encontrado dos soluciones linealmente independientes que corresponden al mismo valor propio, a saber Ô"× Ô!× > \" œ " / ß \# œ " /> Õ!Ø Õ"Ø Por último, para -$ œ &ß el sistema "$ se transforma en %5" #5# #5$ œ ! #5" %5# #5$ œ ! #5" #5# %5$ œ ! # × Ô % # # % # es dos, solamente se puede variar Como el rango de la matriz Õ # # %Ø libremente una de sus incógnitas para obtener 5# œ 5" y 5$ œ 5" , donde 5" es arbitraria. Al elegir 5" œ " entonces 5# œ " ß 5$ œ " y por consiguiente un tercer vector propio es Ô " × O$ œ " . Õ " Ø La solución del sistema será: Ô"× Ô!× Ô!× Ô " × > > > \ œ -" " / -# " / - " / -$ " /&> . Õ!Ø Õ"Ø Õ"Ø Õ " Ø
Hagamos énfasis, en el caso de que -" es un valor propio de multiplicidad dos, con un sólo vector propio asociado a este valor. Con tal fin se puede encontrar una segunda de solución de prueba, de la forma \# œ O>/-" > T /-" > "% Ô 5" × Ô :" × Ö 5# Ù Ö: Ù donde O œ Ö Ù y T œ Ö # Ù ã ã Õ 58 Ø Õ :8 Ø Para ver esto, en el sistema \ w œ E\ sustituimos "% y simplificamos EO -O >/-" > ET -" T O /-" > œ ! Como esta última igualdad debe cumplirse para todos los valores de >ß se debe tener E -" M O œ ! "&
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213.
y E -" M T œ O "' La primera ecuación "& simplemente dice que O debe ser un vector propio de E asociado a -" . Resolviendo "& obtenemos la solución \" œ O/-" > . Para encontrar la segunda solución \# ß solamente necesitamos despejar el vector T del sistema "' . Cuando una matriz tiene solamente un vector propio asociado a un valor propio -" de multiplicidad tres, podemos encontrar una segunda solución de la forma "& y una tercera de la forma # \$ œ O ># /-" > T >/-" > U/-" > "( Ô 5" × Ô :" × Ô ;" × Ö 5# Ù Ö :# Ù Ö; Ù donde O œ Ö Ù, T œ Ö Ùß y U œ Ö # Ù ã ã ã Õ 58 Ø Õ :8 Ø Õ ;8 Ø Sustituyendo "( en \ w œ E\ encontramos que los vectores columna Oß T y U deben satisfacer E -" M O œ ! ") E -" M T œ O "* E -" M U œ T #! Por supuesto, las soluciones ") y "* pueden utilizarse para formular las soluciones \" y \# Þ Ô# " '× EJEMPLO: Resolver el sistema \ w œ ! # & \ Õ! ! #Ø $ SOLUCIÓN:La ecuación característica - # œ ! muestra, que -" œ # es un valor propio de multiplicidad tres. Sucesivamente, encontramos que una solución de Ô"× E #M O œ ! es O œ ! Õ!Ø una solución de
Ô!× E #M T œ O es T œ " Õ!Ø y finalmente, una solución de Ô ! × E #M U œ T es U œ 'Î& Õ "Î& Ø De "% y "( vemos que la solución general del sistema es Ú " Þ Ô"× Ô × Ô!× \ œ -" ! /#> -# Û ! >/#> " /#> ß Õ!Ø Õ!Ø à ÜÕ ! Ø Ú " Þ Ô × ># Ô!× Ô ! × #> #> #> -$ Û ! # / " >/ 'Î& / ßÞ Õ!Ø Õ "Î& Ø à ÜÕ ! Ø
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214.
11.3 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEOS.
Consideremos ahora un sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneo de la forma \w œ E D \ J D " œ\ ! œ \ ! Con este sistema asociamos un segundo sistema de ecuaciones, conocido como el sistema adjunto, a saber ] w œ EX D ] # Este sistema se resuelve como ya lo hemos hecho en el numeral anterior ""Þ# y suponemos que podemos hallar una solución al sistema homogéneo # es decir ]" . Entonces hallamos que: ˆ]"X \ ‰w œ ˆ]"X ‰w \ ]"X \ w œ ]"X E\ J ]"X E\ entonces ˆ]"X \ ‰w œ ]"X J la cual es una ecuación de primer orden, y si se tienen buenas condiciones de integrabilidad, pocedemos a integrar: D ]"X \ ]"X ! \! œ '! ]"X > J > .> entonces D ]"X \ œ ]"X ! \! '! ]"X > J > .> o en forma escalar, si ]"X œ C"" ß C"# ß á ß C"8 entonces 8
5œ"
C"5 B5 œ ]"X ! \! '! ]"X > J > .> D
$
Esta es una representación lineal entre los B3 , se puede ahora eliminar uno de los B3 de " y por medio de ellos reducir el orden del sistema de 8 a 8 ". Análogamente, si una segunda solución de # linealmente independiente se puede hallar es decir ]# donde ]#X œ C#" ß C## ß á ß C#8 entonces se tiene 8
5œ"
C#5 B5 œ ]#X ! \! '! ]#X > J > .> D
%
Por el uso de $ y % se puede reducir el sistema de un orden 8 a un orden 8 #. Más generalmente si 3 soluciones linealmente independientes de # se pueden hallar, el orden de " puede ser reducido a 8 3. Si un sistema completo de 8 soluciones linealmente independentes es obtenido para # , entonces se tiene: 8
5œ"
C35 B5 œ ]3X ! \! '! ]3X > J > .> ß 3 œ "ß #ß á ß 8 D
&
El sistema & es ahora un sistema algebráico de 8 ecuaciones con 8 incógnitas. Todo lo que se haga para resolver " se hará para resolver & . Si la matriz
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215.
Ô C"" C"# á C"8 × C## á C#8 Ù ÖC F D œ Ö #" Ù ã ã ä ã Õ C8" C8# á C88 Ø está definida, el sistema & puede ser escrito como D F D \ œ F ! \! '! F > J > .>
' Esta matriz F tiene un inverso, del hecho de que por hipótesis sus filas son transpuestos de soluciones de " y llega a ser: D \ œ F" D F ! \! F" D '! F > J > .> ( X Evidentemente se sigue de # que F satisface la ecuación diferencial ˆFX ‰w œ EX FX o tomando transpuesto se tiene ) Fw œ FE Es fácil derivar directamente de ' y ( una única matriz no singular F satisfaciendo ) entonces F\ w œ F\ w Fw \ œ F E\ J œ FE \ FJ de donde hallamos por integración D F\ œ F ! \! '! F > J > .> la cual es la misma ecuación ' . En el caso de un sistema en el cual la matriz E es constante, una solución de ) puede ser escrita por inspección como F=F! /ED donde F! es una matriz arbitraria no singular. Evidentemente F" œ /ED F" ! según esto ( llega a ser ED " ' D \ œ /ED F" F /E> J > .> * ! F! \! / F! ! ! D ED E D> œ / \ ! '! / J > .> Se puede por lo tanto, chequear por diferenciación que * es solución de " , siempre y cuando E sea una matriz constante. EJEMPLO " Resolver el siguiente sistema no homogéneo
" ! × Ô ! Ô ! × Ô!× ! ! " \ ! ß \ ! œ ! \ œ Õ ' "" ' Ø Õ /> Ø Õ!Ø SOLUCIÓN: El sistema adjunto correspondiente a este sistema es X " ! × ! ' × Ô ! Ô ! w ! ! " " ! "" ] ] œ ] œ Õ ' "" ' Ø Õ ! " ' Ø Hallamos por los métodos investigados en la sección anterior que w
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216.
Ô'× Ô$× Ô#× #D $D $ ]" œ / & ß ]# œ % / ß ]$ œ / Õ"Ø Õ"Ø Õ"Ø D &/D /D × Ô '/ Ô' & "× #D #D #D %/ / así que F D œ $/ y F! œ $ % " Õ #/$D $/$D /$D Ø Õ# $ "Ø " D " $D /#D Ô #/ × #/ " D $ $D Ù " #D Ö Ahora F D œ #/ #/ #/ " * $D Ø D #D Õ / %/ # #/ w De donde se sigue que Fw œ FE y ˆFX ‰ œ EX FX , así que F\ w œ F\ w Fw \ œ F E\ J FE\ œ FJ y > &/> /> ×Ô ! × D Ô '/ D ! .> F D \ œ '! F > J > .> œ $/#> %/#> /#> ! Õ #/$> $/$> /$> ØÕ /> Ø Ô " × Ô DD × D > ' / " œ ! / .> œ Õ /#> Ø Õ " /#D " Ø # # Se sigue que " D " $D /#D D Ô #/ ×Ô #/ × D " $ $D Ù D #D Ö / " \ œ #/ #/ #/ * $D ØÕ " /#D " Ø Õ " /D %/#D # # #/ " $ D " $D D #D %/ Ô # D/ % / / × " & D D #D œ Ö D/ / #/ $ /$D Ù D
'
Õ
Ø %/ Lo cual es, como se puede verificar por cálculo directo, que es la solución requerida para el sistema dado.
EJEMPLO # Resolver el siguiente sistema %D # #D# ! /D ! w #D" \ œ– \ ß \ ! œ ” • ” # — %D " ! !• " #D" SOLUCIÓN. El sistema adjunto es dado por ! " ]w œ ” %D # #D# %D # " •] #D" #D" Se puede verificar que una solución particular está dada por " ]" œ /D ” • " Entonces D ˆ]"X \ ‰w œ ]"X \ w ˆ]"X ‰w \ œ ]"X E\ J ]"X E\ œ ]"X J œ ]"X ” / • œ " ! X así que ]" \ œ Dß el cual escribiéndolo en forma escalar, será: # " D # D/
% ( D %/
#D
% * $D %/
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217.
B" B# œ D/D Eliminando B" del sistema dado obtenemos que B# es: # #D# Bw# œ - %D#D" B# D/D Esta ecuación es lineal de primer orden la cual se resuelve fácilmente usando los resultado dados en el primer capítulo y hallamos que # /D ' D ># > B# œ #D" #># > .> !/ D # D # B" œ D/D / '! /> > #> > .> #D"
11.4 EJERCICIOS
En los ejercicios " al ', escriba el sistema en forma matricial Ú Ú Ý .B Ý .B .B .> œ $B %C *D œ $B &C œ %B (C .C .> .> "Þ .C #Þ Û .C $Þ Û .> œ 'B C Ý .> œ &B Ý .D .> œ %B )> Ü Ü .> œ "!B %C $D Ú Ú .B .B Ý .> œ B C Ý .> œ B C D > " .C # %ÞÛ .> œ B #D &ÞÛ .C .> œ #B C D $> Ý .D Ý .C Ü .> œ B D Ü .> œ B C D ># > # .B > .> œ $B %C / =/8 #> 'Þ .C > .> œ &B *C %/ cos #> En los ejercicios del ( al "!, escriba el sistema dado sin usar matrices % # " ‰ > (Þ\ w œ ” \ ˆ " / • " $ & *× Ô( Ô!× Ô)× w &> " " \ # / ! /#> )Þ\ œ % Õ! # Õ"Ø Õ$Ø $ Ø " # ×Ô B × Ô " × ÔB× Ô " Ô $ × . > $ % " C # / " > *Þ .B C œ ÕDØ Õ # ØÕ Õ " Ø & ' D Ø Õ#Ø $ ( B % >% . B "!Þ .> ŠC‹ œ Œ Š C ‹ Š ) ‹=/8 > Š #>" ‹/%> " " En los ejercicios del "" al "', verificar que el vector \ es una solución del sistema dado. .B " .> œ $B %C ""Þ .C à \ œ Š # ‹/&> œ %B (C .> œ #B &C &cos > à \ œ Š $cos >=/8 > ‹/> œ #B %C " " " % "$Þ \ w œ Œ \à \ œ ˆ # ‰/$>Î# " " # ! " % "%Þ \ w œ Œ \à \ œ Š $ ‹/> ˆ % ‰>/> " ! "#Þ
.B .> .C .>
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MIS NOTAS DE CLASE
218.
# " × Ô " Ô " × ' " ! \à \ œ ' "&Þ \ œ Õ " # "Ø Õ "$ Ø =/8 > ! " × Ô " Ô" × w " " ! \à "'Þ \ œ \ œ # =/8 > "# cos > Õ # ! "Ø Õ =/8 > cos > Ø En los problemas de "( al #!ß los vectores dados son solución del sistema \ w œ E\Þ Determine si los vectores forman un conjunto fundamental de soluciones en ∞>∞ " " "(Þ \" œ ˆ " ‰/#> ß \# œ ˆ " ‰/&> w
")Þ \" œ ˆ " ‰/> ß \# œ ˆ ' ‰/> ˆ ) ‰>/> Ô " × Ô"× Ô " × Ô $ × Ô#× "*Þ \" œ # > # ß \# œ # ß \$ œ ' > % Õ % Ø Õ#Ø Õ % Ø Õ "# Ø Õ%Ø Ô " × Ô " × Ô # × %> ' $ /$> #!Þ \" œ ß \# œ # / ß \ $ œ Õ "$ Ø Õ "Ø Õ #Ø "
#
)
En los problemas #" al #%ß verifique que el vector \: sistema dado: .B # & .> œ B %C #> ( #"Þ .C à \: œ ˆ " ‰> ˆ " ‰ .> œ $B #C %> ") # " & " ##Þ \ w œ Œ \ ˆ # ‰à \: œ ˆ $ ‰ $ % # " " " " #$Þ \ w œ Œ \ ˆ ( ‰/> à \: œ ˆ " ‰/> ˆ " ‰>/> $ % # $× Ô " Ô "× Ô =/7 $> × w % =/8 $> à \: œ ! #%Þ \ œ % # ! \ Õ ' " !Ø Õ $ Ø Õ cos $> Ø Ô! w #&ÞDemuestre que la solución general de \ œ " Õ" Ô ' × Ô $× Ô#× > #> \ œ -" " / -# " / -$ " /$> Õ &Ø Õ " Ø Õ "Ø
#'Þ Demuestre que la solución general de " " " % " \w œ Œ \ ˆ " ‰># ˆ ' ‰> ˆ & ‰ " " en ∞ > ∞ es \ œ -" Š "È# ‹/ "
È#>
-# Š "È# ‹/ "
È#>
es una solución particular del
' ! "
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" # " ˆ ! ‰># ˆ % ‰> ˆ ! ‰
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219.
En los problemas #( a $!, los vectores columna indicados forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema dado en ∞ > ∞Þ Forme una matriz fundamental F > y calcule F" . % " " " #(Þ \ w œ Œ \" ; \" œ ˆ # ‰/#> ß \# œ ˆ $ ‰/(> ' & # $ " " #)Þ \ w œ Œ \à \" œ ˆ " ‰/> ß \# œ ˆ " ‰/&> $ # % " " " ! #*Þ \ w œ Œ \à \" œ ˆ $ ‰/> ß \# œ ˆ $ ‰>/> ˆ " ‰/> * # $ # #cos > #=/8 > $!Þ \ w œ Œ \à \" œ ˆ $cos >=/8 > ‰ß \# œ ˆ cos >$=/8 > ‰ & $ $"Þ Encuentre la matriz fundamental G > que satisface G ! œ " para el sistema dado en el problema 27. $#Þ Encuentre la matriz fundamental G > que satisface G ! œ " para el sistema dado en el problema #). $$Þ Encuentre la matriz fundamental G > que satisface G ! œ " para el sistema dado en el problema #*. $%Þ Encuentre la matriz fundamental G > que satisface Gˆ 1# ‰ œ " para el sistema dado en el problema $!Þ $&ÞSi \ œ F > G es la solución general de \ w œ E\ , demuestre que la solución del problema de valores iniciales \ w œ E\ß \ >! œ \! es \ œ F > F" >! \! Þ. $'Þ Demuestre que la solución del problema de valores inicial dado en el problema $&Þ también esta dado por \ œ G > \ >! . $(Þ Demuestre que G > œ F > F" >! Þ cSugerencia: Compare los problemas $& y $'d. En los problemas $) a %" escriba el sistema dado en foma matricial œ #< > =/8 > Bw œ $B > C ># $)Þ œ w $*Þ œ )w > œ < > ) > " C œ B > #C > /> Ú Ú # Ý .B Ý .B .> œ B C D .> œ > B C D > > %!Þ Û .C %"Þ Û .C .> œ #B C $D .> œ / D &D Ý .D Ý .D Ü .> œ B &D Ü .> œ >B C $D /> En los problemas %# a %& escriba la ecuación escalar dada como un sistema de primer orden en forma normal. Exprese el sistema dado en forma matricial \ w œ EB J %#Þ Cww > $Cw > "!C > œ =/8 > %$Þ Cww > C > œ ># % $ %%Þ ..>C% C œ ># %&Þ ..>C$ .C .> C œ cos > En los problemas %' a %* escriba el sistema dado como un conjunto de ecuaciones escalares # " & ! > # %'Þ \ w œ Œ \ /> ˆ " ‰ %(Þ \ w œ Œ \ /#> ˆ $ ‰ " $ # % " ! " " ! Ô × Ô × Ô × %)Þ \ w œ " # & \ /> ! > " Õ ! Õ!Ø Õ!Ø & "Ø
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220.
" !× Ô ! Ô " × Ô$× ! ! " \> " " %*Þ \ œ Õ " " #Ø Õ # Ø Õ!Ø &&ÞEn los problemas &! al && determine si las funciones vectoriales dadas son linealmente dependientes PH o linealmente independientes PM en el intervalo ∞ß ∞ w
> % &!Þ ˆ $ ‰ß ˆ " ‰
=/8 > =/8 #> >/ / &"Þ ˆ cos > ‰ß ˆ cos #> ‰ &#Þ Š /> ‹ß Š /> ‹ # Ô"× Ô " × Ô!× Ô"× Ô > × Ô> × " $ &$Þ /> ˆ & ‰ß /> ˆ "& ‰ &%Þ /#> ! ß /#> " ß /$> " &&Þ ! ß ! ß ! Õ&Ø Õ "Ø Õ!Ø Õ " Ø Õ > Ø Õ ># Ø En los problemas &' a &*, las funciones dadas son soluciones del sistema \ w > œ E\ . Determine si forman un conjunto fundamental de soluciones. Si así es, encuentre una matriz fundamental del sistema y proporcione la solución general. $ " " # &'Þ \" œ /> ˆ # ‰ß \# œ /%> ˆ " ‰ &(Þ \" œ /#> ˆ # ‰ß \# œ /#> ˆ % ‰ $> > Ô / >> × Ô/ × Ô / × &)Þ \" œ #/ ß \# œ ! ß \$ œ /$> Õ /# Ø Õ /> Ø Õ #/$> Ø > Ô/ × Ô =/8 > × Ô cos > × > cos > =/8 > &*Þ \" œ / ß \# œ ß \$ œ Õ /> Ø Õ =/8 > Ø Õ cos > Ø >
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'!Þ Verifique que las funciones vectoriales \" œ Š /> ‹ß \# œ Š $/> ‹ son soluciones del />
sistema homogéneo \ w œ Œ
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\: œ $# Š >/> ‹ "% Š $/> ‹ ˆ #> ‰ ˆ " ‰ >/>
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$> $> $> Ô/ × Ô / × Ô / × $> '"Þ Verifique que las funciones vectoriales \" œ ! ß \# œ ß \$ œ /$> / Õ /$> Ø Õ ! Ø Õ / $> Ø # #× Ô " " # \ en ∞ß ∞ y son soluciones del sistema homogéneo \ w œ E\ œ # Õ # # "Ø Ô &> " × #> que \: œ es una solución particular de \ w œ E\ J > , donde Õ %> # Ø Ô * × ! J > œ . Encuentre la solución general de \ w œ E\ J > Þ Õ ") Ø '#Þ Pruebe que el operador definido por Pc\ d œ \ w E\ , donde E es una función matricial de orden 8 ‚ 8 y \ es una función vectorial de 8 ‚ ", es un operador lineal.
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221.
'$Þ Sea F > una matriz fundamental del sistema \ w œ E\Þ Demuestre que F > œ \ > \ " >! \! es una solución el problema de valor inicial \ w œ E\ß \ >! œ \! Þ En los problemas '% y '& verifique que F > es una matriz funcional del sistema dado y calcule F" > . Utilice el resultado del problema '$ para encontrar la solución del problema de valor inicial mostrado: > $/#> #/$> × Ô! ' !× Ô "× Ô '/ ! àF> œ '%Þ \ w > œ " ! " \ ß \ ! œ /> /#> /$> Õ" " !Ø Õ " Ø Õ &/> /#> /$> Ø # $ $ /> /&> '&Þ \ w > œ ” \ß \ ! œ à F > œ ” "• ” • $ #• /> /&> ># >k>k ''ÞDemuestre que º œ ! en ∞ß ∞ , pero los dos vectores columna #> #k>k º >k>k
Š #> ‹ß Š #k>k ‹ son linealmente independientes en ∞ß ∞ . En los problemas '( a (% encuentre los valores propios y vectores propios de la matriz dada: % # ' $ " " " & '(Þ” '). ” '*.” (!. ” # "• # " • # % • " $• " !× Ô" ! !× Ô! " "× Ô" ! !× Ô $ $ " (". ! ! # (#. " ! " ($. # $ " (%. ! Õ! # !Ø Õ" " !Ø Õ! # %Ø Õ % ) #Ø En los problemas (& a )! encuentre la solución general del sistema \ w > œ E\ > para la matriz E indicada. Ô" # #× " $ " $% (&. ” ('. ” ((. # ! $ • "# " • & $ Õ# $ !Ø ! × Ô" # $× Ô " " Ô ( ! '× " # " ! & ! . (). ! " ! (*. )!. Õ# " #Ø Õ ! Ø Õ $ " ' ! #Ø En los problemas )" a )' encuentre una matriz fundamental del sistema \ w > œ E\ > para la matriz E dada " !× Ô! & % " " ! " )"Þ ” )#. ” )$Þ ! " !• ) "• Õ ) "% ( Ø # "× Ô" Ô" " "× Ô$ " "× ! " )%. " )&. ! $ # )'. " $ " Õ% % Õ! ! &Ø Õ$ $ "Ø & Ø En los problemas )( a *! resuelva el problema de valor inicial dadoÞ ' $ "! " $ $ )(. \ w > œ ” \ > ß \ ! œ” )). \ w œ ” \ > ß\ ! œ ” • • • • # " ' $ " " " # # # Ô × Ô × " # \ > ß )*. \ w > œ # \ ! œ $ Õ # Õ # Ø # " Ø >#
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222.
Ô! " "× Ô "× % *!. \ > œ " ! " \ > ß \ ! œ Õ" " !Ø Õ ! Ø En los problemas *" a ""$, siguientes halla la matriz orlada y la solución en cada caso: *"Þ $Cww C œ !. *#. #Cww &Cw œ ! *$. Cww "'C œ ! *%. Cww )C œ ! *&. Cww *C œ ! *'. %Cww C œ ! *(Þ Cww $Cw #C œ ! *). Cww Cw 'C œ ! # # . C .C . C .C **. .B "!!. .B # ) .B "'C œ ! # "! .B #&C œ ! "!". Cwww %Cww &Cw œ ! "!#. %Cwww %Cww Cw œ ! "!$. Cwww C œ ! "!%. Cwww &Cww $Cw *C œ ! "!&. Cwww $Cww %Cw "#C œ ! "!'. Cwww Cww #C œ ! "!(. Cwww Cww %C œ ! "!). Cwww $Cww $Cw C œ ! "!*. Cwww 'Cww "#Cw )C œ ! .% C .$ C .# C .% C .#C ""!. .B% .B$ .B# œ ! """. .B % # .B# C œ ! w
. C . C . C . C ""#. "' .B ""$Þ .B % #% .B# *C œ ! # ( .B# ")C œ !. ""%. Las raíces de la ecuación auxiliar son 7" œ %ß 7# œ 7$ œ &. ¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente? ""&. Las raíces de la ecuación auxiliar son 7" œ - "# ß 7# œ $ 3ß 7$ œ $ 3. ¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente? En los problemas ""' a "#), resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a las condiciones iniciales: ""'. Cww "'C œ !ß C ! œ #ß Cw ! œ # ""(.Cww C œ !ß C ! œ Cw ! œ " ""). Cww 'Cw &C œ !ß C ! œ !ß Cw ! œ $ ww w ""*. C )C "(C œ !ß C ! œ !ß Cw ! œ " "#!. #Cww #Cw C œ !ß C ! œ "ß Cw ! œ ! "#". %Cww %Cw $C œ !ß C ! œ "ß Cw ! œ & "##. Cww Cw #C œ !ß C ! œ Cw ! œ ! ww w "#$. C $C #C œ !ß C " œ !ß Cw " œ " "#%. Cww C œ !ß C 1Î$ œ !ß Cw 1Î$ œ # "#&. Cwww Cww &Cw 'C œ !, C ! œ ! œ Cw ! œ !ß Cww ! œ " "#'. Cwww )C œ !, C ! œ !ß Cw ! œ "ß Cww ! œ ! "#(. Cwww "#Cww $'Cw œ !ß C ! œ !, Cw ! œ "ß Cww ! œ ( .% C "#). .B% œ !ß C ! œ #, C w ! œ $, Cww ! œ %ß Cwww ! œ & En los problemas que siguen halle la solución general del sistema dado .B .B > .> œ #B $C ( .> œ %B &C $/ "#*. .C "$!Þ .C > .> œ B #C & .> œ *B 'C "!/ %
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Darío Sánchez H
MIS NOTAS DE CLASE
223.
BIBLIOGRAFIA Boyce, W. y Di Prima,R., Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera , Limusa Wiley, 4a. edición. Bear, H.S., Differential Equations, Dover Publ.Inc., N.Y., 1999. Braun, M., Differential Equations and their Applications, Springer International, 1978. Coddington,E., Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Compañia Editorial Continental S.A. Elsgoltz, L., Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional, Editorial Mir, Moscu, 1969. Esser,M., Differential Equations, Saunders Company, 1968. Kaplan,W., Matemáticas avanzadas para estudiantes de Ingeniería. Addison-Wesley Ib. 1985. Kiseliov,A., Krasnov,M., Makarenko, G., Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Edit.Mir. Moscu, 1968. Kreider,Kuller, Ostberg., Ecuaciones Diferenciales . Fondo Educativo Int., 1973. Kreyszig, E., Matemáticas avanzadas para Ingeniería. Ed. Limusa, 1967. Nagle Kent, R., Saff Edward B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, AddisonWesley Iberoamericana, 1992. Ramírez-Takeuchi-Ruiz, Ecuaciones Diferenciales, Universidad Nacional de Colombia, 1962. Sánchez. J.D.ß Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . Primer Coloquio de Matemáticas. Cartagena . 1970. Sánchez, J.D., Teoría general de las Ecuaciones Diferenciales Lineales . Segundo Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística ß 1985. Sánchez, J.D., Notas de Matemáticas IV. 2000, 2001, 2002 y 2003, Universidad Nacional de Colombia. Simmons, F., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y notas Históricas, McGrawHill, 1979. Zill D.G., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Wadsworth Int./Ib., 1982.
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Darío Sánchez H
MIS NOTAS DE CLASE
224.
Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajo en el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales ordinarias a nivel elemental y que yo utilicé, en el curso de Matematicas IV de la Facultad de Ingenieria de la Universidad Nacional de Colombia en los años 2000, 2001, 2002 y 2003. Exitos y bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentario favor hacerlo llegar a:
[email protected],
[email protected] danojuanos @yahoo.com Copyright© Darío Sánchez Hernández