INTERNADO MATEMÁTICA 2016 Guía para el Estudiante

Móduló 04: Álgebra Elemental I Objetivo: Identificar y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio del álgebra elemental.

Problema 1 La edad de mi padre equivale a tres veces mi edad aumentada en 5 años. Si se sabe que ambas edades suman 89 años, ¿Cuántos años tiene el padre y cuántos tiene el hijo?

Una posible solución:

x : Edad del hijo P : Edad del padre. Se sabe que: Entonces:

Luego:

P  3x  5 y x  P  89 x  3 x  5  89 4 x  5  89 4 x  84 x  21 P  3  21  5  P  68

Respuesta: El hijo tiene 21 años y el padre tiene 68 años.

Lenguaje algebraico El lenguaje algebraico se utiliza para representar matemáticamente situaciones dadas en lenguaje natural. Para ello, se utilizan letras para representar variables a las que se les pueden asignar distintos valores. Por ejemplo:

Perímetro: P = a  a  b  b  2a  2b  2a  b Área: A = a  b

1

Actividad 1 Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones: 1) El triple de un número aumentado en cinco.

R:

2) Un número impar.

R:

3) Un múltiplo de siete.

R:

4) La diferencia entre dos números pares consecutivos.

R:

5) El área de un triángulo.

R:

6) La suma de tres números consecutivos.

R:

Expresión algebraica Una expresión algebraica es una relación entre términos algebraicos mediante la suma y/o la resta. Se clasifican en: Monomio: Expresión algebraica que tiene un término algebraico. Binomio: Expresión algebraica que tiene dos términos algebraicos. Trinomio: Expresión algebraica que tiene tres términos algebraicos. Polinomio: Expresión algebraica que tiene más de un término algebraico. Un término algebraico es una relación entre números y letras en donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Tiene un factor numérico, llamado coeficiente, un factor literal y grado.

2

Problema 2 Determinar una expresión algebraica para representar el perímetro de la figura achurada que está formada por dos triángulos equiláteros.

Una posible solución:

20  x   20  x   20  x   x  1  x  1  x  1 320  x   3x  1 60  3x  3x  3 6 x  57

Respuesta: La expresión que representa el perímetro de la figura achurada es 6x + 57.

Reducción de términos semejantes Los términos semejantes son aquellos términos algebraicos que tienen el mismo factor literal. Reducir términos semejantes consiste en agrupar dichos términos algebraicos, sumar o restar los coeficientes numéricos, según corresponda, y conservar el factor literal. Por ejemplo:

3

Evaluar una expresión algebraica Valorizar o evaluar una expresión algebraica significa determinar el valor numérico que representa para ciertos valores de las variables que la componen. Para ello se deben reemplazar dichos valores en la expresión y luego calcular el resultado. Si en el ejemplo anterior,

y

, entonces el valor numérico es:

Actividad 2  Reducir las siguientes expresiones:

1)

R:

2)

R:

3)

R:

4)

R:

5)

R:

 Si a = - 1; b = 3 y c = - 2, calcular:

R:

4

Problema 3 La figura muestra el terreno de pasto que se encuentra rodeando la piscina.

¿Qué expresión algebraica representa el área cubierta por pasto?

Una posible solución:

4 x5 x  3  x  13x  2



20 x 2  12 x  3x 2  3x  2 x  2



20 x 2  12 x  3x 2  x  2





20 x 2  12 x  3x 2  x  2 17 x 2  11x  2



Respuesta: La expresión algebraica que representa el área cubierta por pasto es 17 x 2  11x  2



Multiplicación de expresiones algebraicas Para multiplicar expresiones algebraicas se utilizan las propiedades de las potencias y la propiedad distributiva. Por ejemplo: se puede representar gráficamente como se muestra a continuación:

2a  5b6a  7b  12a 2  14ab  30ab  35b2 Luego:

2a  5b6a  7b  12a 2  44ab  35b 2

5

Actividad 3 Realiza las siguientes multiplicaciones de expresiones algebraicas: 1)

R:

2)

R:

3)

R:

4)

R:

5)

R:

Problema 4 ¿Cuál es el área de la siguiente figura?

 Se les desafía a los estudiantes para que resuelvan este problema, recordándoles que no hay una única estrategia de resolución. Una posible solución:

6

Entonces:

Área  a 2  ab  ab  b 2 Área  a 2  2ab  b 2 O bien: Área  a  b  a  ba  b  a 2  ab  ab  b 2  a 2  2ab  b 2 2

Respuesta: El área de la figura es a 2  2ab  b 2

Productos Notables Los Productos Notables corresponden a multiplicaciones de expresiones algebraicas fácilmente reconocibles y que para determinar su desarrollo basta con aplicar una fórmula conocida. Cuadrado de Binomio a  b2  a 2  2ab  b 2

Suma por Diferencia a  ba  b  a 2  b 2

a  b2  a 2  2ab  b 2

a  ba  b  a 2  b 2

Producto de Binomios con término común x  ax  b  x 2  a  b x  a  b

Cuadrado de Binomio a  b3  a3  3a 2b  3ab 2  b3

a  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3

Actividad 4 Desarrolla los siguientes productos notables: 1)

R:

2)

R:

3)

R:

4)

R:

5)

R:

6)

R:

7)

R:

7