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MODELACIONES RAMIFICADAS. Se aplican fundamentalmente a problemas de probabilidades Aquí va un par de ejemplos: 1.-¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar con los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9? Aquí m = 9 , n= 4 , luego aplicamos la formula ; A 94 = 9 *8 *7 * 6 = 3024 2.- ¿Cuántas patentes distintas se pueden hacer (solo las letras) con las letras de alfabeto, tomando de a dos cada vez. Aquí: Luego:
m = 29
n=2
A 229 = 29 * 28 * …………………..*28
AHORA BIEN, SI SE ESTABLECE LA CONDICION DE QUE CIERTO NÚMERO DE ELEMENTOS TIENEN QUE OCUPAR LUGARES FIJOS EN LOS GRUPOS QUE SE FORMEN, AL PLICAR LA FÓRMULA, m y n SE DISMINUYEN EN EL NÚMERO DE ELEMENTOS FIJOS. EJEMPLOS: CON 10 JUGADORES DE BASQUETBOL. ¿DE CUÁNTOS MODOS SE PUEDE DISPONER EL TEAM DE 5 JUGADORES SI LOS PIVOT DEBEN SER SIEMPRE LOS MISMOS? AQUÍ HAY DOS JUGADORES QUE OCUPAN LUGARES FIJOS: m = 10 y N = 5, PERO TENEMOS QUE DISMINUIR m y n EN 2 , PORQUE HABIENDO 2 JUGADORES FIJOS EN DOS POSICIONES, QUEDAN 8 POSICIONES PARA OCUPAR LAS 3 POSICIONES QUE QUEDAN, LUEGO LOS ARREGLOS DE 3 QUE PODEMOS FORMAR CON LOS 8 JUGADORES SON:
A 83 = 8 * 7 *6 = 336 MODOS. AGREGEMOS A ESTO UNA NUEVA INTERROGANTE ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD MÍNIMA QUE TIENE UNO DE LOS JUGADORES QUE NO SON FIJOS DE INTEGRAR EL TEAM ELEGIDO POR EL DIRECTOR TÉCNICO? RAZONEMOS DEL SIGUIENTE MODO: 1.- UN MISMO JUGADOR PUEDE INTEGRAR MÁS DE UN TEAM ELEGIDO. (EN MÁS DE UNO DE LAS 336 COORDINACIONES DIFERENTES) 2.-AL MENOS ESTARÁ INTEGRADO A UNO DE ELLOS (AL MENOS EN UNO DE LOS 336). POR TANTO, TENEMOS CASOS (MINIMO) FAVORABLE = 1 CASOS POSIBLES = 336 P=
1 * 100 = 0,29 % 336
CON LOS DÍGITOS 1,2,3,4,5,6,7,8,9 . ¿CUANTOS NÚMEROS DE 5 CIFRAS SE PUEDEN FORMAR SI EL 9 DEBE SER SIEMPRE LA CIFRA CENTRAL? → m’ = 8 → n’ = 4, luego entonces A 84 = 8 * 7 *6 *5 = 1680
m= 9 n=5
ESTE PROBLEMA TAMBIÉN SE PUEDE PLANTEAR DE ACUERDO AL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO. SI EL NÚMERO, LO REPRESENTAMOS POR EL MODELO:
RECUERDE QUE EL 9 ES FIJO Y ES LA CIFRA CENTRAL. POR LO TANTO: PARA OCUPAR LA: 1° CASILLA HAY 8 OPCIONES (DESCONTAMOS UNA, EL 9) 2° CASILLA HAY 7 4° CASILLA HAY 6 5° CASILLA HAY 5 VEAMOSLO ASÍ:
O BIÉN = 8-*7*6*5 = 1680. SUPONGA QUE AHORA SE HACEN FICHAS CON TODOOS (LOS 1680) LOS NÚMEROS DE CINCO CIFRAS ESTABLECIDOS EN EL PROBNLEMA, Y SE PONEN LAS FICHAS EN UNA BOLSA ¿CUÁL ES LA PROBANILIDAD DE “SACAR” DE LA BOLSA EL NÚMERO 15934?
1 *100 = 0,059 % 1680 ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR EL NÚMERO 35927 o EL NÚMERO 34987 P=
P
1O 2
= P1 + P 2 =
1 1 2 + = * 100 = 0,12 % 1680 1680 1680
AHORA RETOMEMOS NUESTRO
AMIGO DADO.
EN UN LANZAMIENTO CUALQUIERA LA OPCIÓN DE OBTENER CUALQUIERA DE LAS SEI PINTAS (1, 2, 3, 4, 5,6) PODEMOS REPRESENTARLA POR P N . POR EJEMPLO: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO, ¿CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 3 PODEMOS ANOTAR ESTA IDEA EN MODELACIÓN CONJUNTISTA COMO: P A = {3} 1 ; HAY UNA OPCIÓN DE LAS SEIS QUE SATISFACE LA 6 CONDICIÓN., DECIMOS MQUE HAY UN CASO FABORABLE DE LOS SEIS POSIBLES.
DE DONDE: P 3 =
AL CONJUNTO DE TODAS LAS OPCIONES POSIBLES SE LE ASIGNA EL NOMBRE DE “ESPACIO MUESTRAL”
EN EL CASO DEL LANZAMIENTO DE UN DADO EL ESPACIO MUESTRAL CORRESPONDE A: {1,2,3,4,5,6} AHORA QUIERO PRESENTARLE EL SIGUIENTE JUEGO CONSISTE EN HACER REPRESENTACIONES FRÁFICAS OBTENIDAS MEDIANTE EL EXPERIMENTO ALEATORIO CONSISTENTE EN LANZAR UN DADO CÚBICO Y OBSERVAR EL RESULTADO. EN LA PRIMERA PARTE REALIZAREMOS 20 SERIES DE 12 LANZAMIENTO CADA UNA Y REPRESENTAREMOS LOS RESULTADOS.EN LA SEGUNDA PARTE EJECUTAMOS 20 SERIES DE 100 LANZAMIENTOS CADA UNA Y LLEVAMOS LOS RESULTADOS A UNA REPRESENTACIÓN GRÁFICA. ETAPAS EN EL DEARROLLO DEL JUEGO: INTRODUCCIÓN: EN EL EXPERIMENTO ANTERIOR QUE CONSISTIO EN LANZAR UNA MISMA MONEDA 100 VECES ENTRASTE EN CONTACTO CON ELAZAR Y OBSERVASTES QUE ES UN TANTO CAPRICHOSO CUANDO EL EXPERIMENTO SE REPITE POCAS VECES. SIN EMBARGO SI SE REPITE MUCHAS VECES ADQUIERE CIERTA REGULARIDAD. EL AZAR ES CONSIDERADO COMO LO MÁS OPUESTO AL ORDEN, A CUALQUIERA REGLA, A TODA PREVISIÓN. ¿CÓMO PONER LEYES A ALGO IMPREVISIBLE? EN LA EXPERIENCIA COTIDIANA NOS PODEMOS ENCONTRAR SITUACIONES DE AZAR COMO LAS QUE SE DESCRIBEN A CONTINUACIÓN: LAS MOLÉCULAS DE UN GAS SE MUEVEN SIN NINGÚN ORDEN PREFIJADO, LO HACEN DE FORMA CAÓTICA. PERO PUEDE COMPROBARSE, DE FORMA EXPERIMENTAL, QUE LA PRESIÓN EN CUALQUIER PUNTO DEL
RECIPIENTE QUE LO CONTIENE ES LA MISMA, AUN DEPENDIENDO ÉSTA ÚNICAMENTE DE LOS CHOQUES MOLECULARES DE LAS PAREDES. LOS PROFESIONALES DEL TRÁFICO EN UNA CARRETERA PUEDEN PREVENIR CON MUY BUEN TINO EL FLUJO DE COCHES EN UNA CARRETERA Y A CADA HORA DURANTE UNA DETERMINADA “OPERACIÓN SALIDA “DE VACACIONES. Y AÚN MÁS, PREDICEN CON BASTANTE ACIERTO EL NÚMERO DE ACCIDENTES QUE SE PRODUCIRÁN. APARTE DE LOS DOS EJEMPLOS ANTERIORES, SE PUEDEN ENCONTRAR MUCHÍSIMOS SIMILARES A ESTOS, QUE NOS HABLAN DE LA REGULARIDAD EXISTENTE EN LOS EXPERIMENTOS O FENÓMENOS ALEATORIOS. EN TODAS ESTAS SITUACIONES EXISTE UNA CARACTERISTICA COMÚN, QUE ES EL NÚMERO GRANDÍSIMO DE INDIVIDUOS QUE COMPONEN EL CONJUNTO SOBRE EL QUE SE HACE LA PREDICCIÓN, O ENORME NÚMERO DE VECES QUE SE REALIZA EL EXPERIMENTO ALEATORIO. LAS LEYES DEL AZAR NO PUEDEN REFERIRSE PUES A LO QUE OCURRIRÁ EN UNA REALIZACIÓN DEL EXPERIMENTO ALEATORIO (UN VIAJERO, UNA MOLÉCULA DE GAS, UN LANZAMIENTO DE UN DADO, UN LANZAMIENTO DE UNA MONEDA ETC). SI LO HARÁN SOBRE UNA GRAN CANTIDAD DE REALIZACIONES DEL EXPERIMENTO ALEATORIO (GRAN CANTIDAD DE VIAJEROS, ELEVADÍSIMO NUMERO DE MOLÉCULAS DE UN GAS, ENORME NÚMERO DE LANZAMIENTO DE UN DADO ETC). YA HEMOS APROXIMADO UNA CONCLUSIÓN AL ESTABLECER QUE EN EL LANZAMIENTO DE UNA MONEDA AL AIRE 100 VECES, EL NÚMERO DE VECES QUE APARECE CADA UNA DE LAS PINTAS (CARA – SELLO) TIENDE A EQUILIBRARSE, ES DECIR LA FRECUENCIA RELATIVA DE OBTENER CARA EN LOS 100 LANZAMIENTOS, ES MUY SIMILAR AL VALOR DE LA PROBABILIDAD DE OBTENER CARA EN EL LANZAMIENTO DE LA MISMA MONEDA. NUESTRO ESTUDIO CONSISTIRÁ EN ESTUDIAR LA EVOLUCIÓN DE LA FRECUENCIA RELATIVA DEL SUCESO ELEMENTAL OBTENER 5, AL REALIZAR EL EXPERIMENTO ALEATORIO DE LANZAR EL DADO. COMO HAY QUE RALIZAR MUCHÍSIMAS VECES EL EXPERIMENTO ALEATORIO, PRESENTARÉ ESTA EXPERIENCIA HECHA CON UN ORDENADOR, CON EL FIN DE QUE NO TENGAMOS QUE EMPLEAR MUCHO TIEMPO. PARA ELLO SE HAN EFECTUADO 20 SERIES DE 12 LANZAMIENTOS CADA UNA Y SE HAN OBTENIDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS, ENTENDIENDO QUE LOS RESULTADOS DE CADA SERIE SE HAN ACUMULADO CON LOS DE LAS ANTERIORES. ANOTAMOS TAMBIÉN LAS FRECUENCIAS RELATIVA: fr = serie n f
1 12 2
f − absoluta n° − de − veces − que − sale − el − 5 = n n° − total − de − lanzamiento 2 3 4 5 6 7 8 24 36 48 60 72 84 96 3 4 5 9 9 12 13
9 108 15
10 120 18
fr.
0.167 0.125 0.1010. 0.104 0.150 0.125 0.143 0.135 0.139 0.150
serie n f fr.
11 132 21 0.159
12 144 22 0.153
13 156 25 0.160
14 168 26 0.155
15 180 28 0.156
16 192 30 0.156
17 204 33 0.162
18 216 35 0.162
19 228 38 0.167
20 240 40 0.167
LLEVAMOS ESTOS RESULTADOS A UNA GRÁFICA 1 = 0.167, PARA 6 COMPARAR EN CADA CASO, LA FRECUENCIA RELATIVA OBTENIDA CON 1 LA FRECUENCIA RELATIVA ESPERADA, QUE ES DE . REPITIENDO LA 6 EXPERIENCIA OTRAS DOS VECES SE HAN OBTENIDO LAS OTRAS DOS CURVAS.
SE HA DIBUJADO UNA LINEA CONTÍNUA A LA ALTURA DE
SI TE FIJAS EN LAS TRES GRÁFICAS ONSERVARÁS QUE: * A MEDIDA QUE AUMENTA EL NÚMERO DE VECES QUE REALIZAMOS EL EXPERIMENTO ALEATORIO, LAS OSCILACIONES DE LAS CURVAS VAN SIENDO MÁS SUAVES.
* LAS CURVAS SE VAN ACERCANDO A UN CIERTO VALOR. PARA VER DE FORMA MÁS EVIDENTE LAS CONCLUSIONES ANTERIORES SE REALIZÓ TAMBIEN CON EL ORDENADOR, UNA EXPERIENCIA CONSISTENTE EN 20 SERIES DE 100 LANZAMIENTOS CADA UNA DE ELLAS. LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE MUESTRAN EN LA SIGUIENTE GRÁFICA:
OBSERVAMOS QUE LAS OSCILACIONES DE LA CURVA Y LA TENDENCIA 1 HACIA EL VALOR SE APRECIAN AHORA CON MAYOR CLARIDAD. 6 ESTAS CONCLUSIONES NOS LLEVAN AHORA A ENUNCIAR LA PRIMERA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS:
“CUANDO UN NÚMERO DE REALIZACIONES DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO CRECE MUCHO, LA FRECUENCIA RELATIVA DEL SUCESO ASOCIADO SE VA ACERCANDO CADA VEZ MÁS HACIA UN CIERTO VALOR. ESTE VALOR SE LLAMA PROBABILIDAD DEL SUCESO “ SEGUNDA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS;
HEMOS VISTO EN LA PRIMERA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS QUE LA FRECUENCIA RELATIVA DE UN SUCESO SE VA APROXIMANDO MÁS Y MÁS A LA FRECUENCIA RELATIVA ESPERADA O SU PROBABILIDAD. A LA FRECUENCIA ABSOLUTA O NÚMERO DE VECES QUE APARECE CADA SUCESO NO LE OCURRE LO MISMO COMO VAMOS A VER. COMPARAMOS LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS CON LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS ESPERADAS DEL SUCESO OBTENER “3” AL LANZAR UN DADO. SE HA LANZADO UN DADO HASTA 60.000 VECES (POR SUPUESTO QUE TAMBIEN SE HAN SIMULADO ESTAS 60.000 TIRADAS CON LA AYUDA DE UN ORDENADOR) Y SE HAN OBTENIDO LOS RESULTADOS QUE SE MUESTRAN EN LA TABLA. N° DE 180 300 3000 6000 60000 LANZAM FR. 30 50 500 1000 10000 ABSOLUTA ESPERADA FR. 25 44 487 967 10196 ABSOLUTA OBTENIDA DIFERENCIA 5 6 13 33 196 EN VALOR ABSOLUTO DE LA OBSERVACIÓN DE LOS DATOS ANTERIORES DEDUCIMOS LA SEGUNDA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS:
“CUANDO MAYOR ES EL NÚMERO DE REALIZACIONES DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO, MAYOR TIENDE A SER EL VALOR ABSOLUTO DE LA DIFERENCIA ENTRE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS DE UN SUCESO Y SU FRECUENCIA ABSOLUTA ESPERADA”. CON EL FIN DE QUE JUEGUES CON ESTAS DOS IMPORTANTÍSIMAS LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS, TE PROPONGO QUE DISCUTAS LOS SIGUIENTES COMENTARIOS QUE HACEN TRES GRANDES AFICIONADOS A LOS DADOS: *UNO DE ELLOS AFIRMA:” A MI ME ENCANTA ANOTAR LAS INCIDENCIAS DEL JUEGO; OBSERVO EN MIS NOTAS QUE EN LOS CUATRO ÚLTIMOS MESES, EN MIS PARTIDAS, EL NÚMERO DE VECES QUE HA SALIDO 5 SUPERA EL NÚMERO DE VECES QUE HA SALIDO EL 3 EN 300 * A LO QUE EL SEGUNDO DICE:”ANOCHE TUVE UNA SUERTE INCREIBLE, TIRÉ EL DADO 1000 VECES Y ME SALIÓ EL 4 EN 160 OCASIONES” * “YO HE OBSERVADO, AFIRMA EL TERCERO, QUE A LA LARGA SALEN IGUAL NÚMERO DE VECES CADA CARA. POR ESTA RAZÓN CUANDO ME PONGO A JUGAR, SIEMPRE APUESTO POR LA CARA QUE MENOS HA SALIDO. JUGANDO ASÍ GANO SIEMPRE”
¿TE PARECE QUE ES CIERTO O FALSO LO QUE COMENTAN? O QUIZÁS ¿ES QUE USAN DADOS TRUCADOS O SESGADOS EN SUS PARTIDAS? SOLUCIÓN: PARA QUE CORRIJAS O COTEJES TUS RESPUESTAS TE DOY LAS SOLUCIONES: ES POSIBLE QUE EL PRIMER JUGADOR ESTÉ DICIENDO LA VERDAD, EN BASE A LO QUE NOS AFIRMA LA SEGUNDA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS. UNA DIFERENCIA ENTRE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS DE LOS SICESOS OBTENER 5 Y OBTENER 3 DE 300 ES POSIBLE, SI EL NÚMERO DE REALIZACIONES DEL EVENTO ALEATORIO (LANZAMIENTO DEL DADO) HA SIDO MUY ELEVADO. EL SEGUNDO JUGADOR TAMBIÉN DICE LA VERDAD, PUES; f ( 4) 160 = = 0,16 FR (4) = N 1000 1 VALOR QUE ESTÁ MUY CERCA DE P (6) = = 0,167 = PROBABILIDAD DE 6 OBTENER 4 Y, SEGÚN LA PRIMERA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS, LA FRECUENCIA RELATIVA DE UN SUCESO SE APROXIMA A SU PROBABILIDAD CUANDO EL NÚMERO DE REALIZACIONES DEL EXPERIMENTO ALEATORIO ES MUY GRANDE. EL TERCER JUGADOR MIENTE PUES EL AZAR CARECE DE MEMORIA Y CADA VEZ QUE RELIZAMOS UNA EXPERIMENTACION DEL LANZAMIENTO DEL DADO NO TIENE EN CUENTA LOS RESULTADOS QUE SE PRODUJERON ANTES. SOLO ADQUIERE REGULARIDAD EL AZAR CUANDO HACEMOS CONCLUSIONES SOBRE UN GRAN NÚMERO DE EXPERIENCIAS DE LANZAMIENTO. LUEGO LA ESTRATEGIA DE APOSTAR POR EL NÚMERO QUE MENOS VECES HA SALIDO CARECE D SENTIDO.
VOLVAMOS A NUESTRO DADO.
ASIGNACIÒN DE PROBABILIDADES PARA SUCESOS ELEMENTALES EQUIPROBABLES.
RECUERDA QUE CUANDO REALIZAMOS UN EXPERIMENTO ALEATORIO, PUEDEN OCURRIR VARIOS RESULTADOS O POSIBILIDADES. A CADA UNO DE ESTOS RESULTADOS DE ESTOS RESULTADOS LOS HEMOS LLAMADO SICESO SIMPLE O ELEMENTALE. Y AL CONJUN TO DE TODOS LOS SUCESOS ELEMENTALES, ESPACIO MUESRAL ASOCIADO AL EXPERIMENTO ALEATORIO. EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO , LOS SUCESOS ELEMENTALES SON SEIS : OBTENER 1 , OBTENER 2 , OBTENER 3 , OBTENER 4 , OBTENER 5 , OBTENER 6 . EL ESPACIO MUESTRAL ES:
E = {1,2,3,4,5,6}
AL LANZAR UNA MONEDA LOS SUCESOS ELEMENTALES SON DOS: OBTENER CARA Y OBTENER SELLO. EL ESPACIO MUESTRAL ES: E = {CARA, SELLO} EL ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO AL EXPERIMENTO DE EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA, CONSTA DE 40 SUCESOS ELEMENTALES. EN ALGUNOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS, OCURRE, DADA SU SIMETRÌA, QUE PODEMOS SUPONER QUE LOS SUCESOS ELEMENTALES DE QUE CONSTA EL ESPACIO MUESTRAL TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD O DICHO DE OTRA FORMA SON EQUIPROBABLES. EN ESTOS CASOS LA PROBABILIDAD DE CADA SUCESO ELEMENTAL ES: P (suceso elemental) =
1 nùmero − de − sucesos − elementales − de − E
SEGÙN LO ANTERIOR, RESPONDE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: *EN UN DADO, ¿CUÀNTO VALE P (5)? *EN UNA MONEDA, ¿CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER CARA? .P (CARA). *AL EXTRAER AL AZAR UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA. ¿CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER EL AS DE COPAS? RESPUESTAS:
1 6
;
1 2
;
1 40
AHORA BIEN, SI EL EXPERIMENTO ALEATORIO ES TAL QUE NO PODEMPOS SUPONER QUE LOS SUCESOS ELEMENTALES SON EQUIPROBABLES (LANZAMIENTO DE UN “CHINCHE”, QUE NO TIENE IGUAL FACILIDAD DE CAER EN UNA POSICIÒN O EN OTRA, O EL LANZAMIENTO DE UN DADO CARGAO EN UNA DE SUS CARAS) ASIGNAREMOS PROBABILIDADES, BASANDONOS EN LA PRIMERA LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS. SI REALIZAMOS MUCHAS VECES EL EXPERIMENTO ALEATORIO Y ASIGANAMOS LOS VALORES DE LAS
FRECUENCIAS RELATIVAS COMO BUENAS APROXIMACIONES E LA PROBABILIDAD. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD. *LA SUMA DE LAS DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS ES 1
N
∑ FR = 1 1
*LA FRECUENCIA RELATIVA DE UN SUCESO ELEMENTAL ES MAYOR O IGUAL QUE 0 Fr (S) ≥ 0 *LA FRECUENCIA RELATIVA DE LA UNION DE DOS SUCESOS ELEMENTALES, EQUIVALE A LA SUMA DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS DE AMBOS SUCESOS, CUANDO LOS SUCESOS SON INCOMPATIBLES. Fr(A U B) = Fr ( A) + Fr ( B) . CUANDO A y B SON INCOMPATIBLES, ESTO ES A I B = Φ ESTAS TRES PROPIEDADES, Y EN VIRTUD DE LA PRIMRA LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS, SE CONVIETEN EN TRES PROPIEDADES MUY IMPORTANTES EN PROBABILIDAD Y SE LLAMAN: AXIOMAS
DE
PROBABILIDAD: 1ª: LA PROBABILIDAD DEL SUCESO SEGURO O ESPACIO MUESTRAL ES 1 P (E) = 1 2CUALESQUIERA QUE SEA EL SUCESO “S”, SU PROBABILIDAD ES UN NÙMERO NO NEGATIVO. P(S) ≥ 0 3ª SI DOS SUCESOS SON INCOMPATIBLES, A I B = LA PROBABILIDAD DEL SUCESO UNIÒN ES LA SUMA DE SUS PROBABILIDADES. P(A U B) =P(A)+P (B)
Φ
ASIGNACIÒN DE PROBABILIDADES PARA SUCESOS CUALESQUIERA CON SUCESOS ELEMENTALES EQUIPROBABLES.
RECORDEMOS LA DEFINICIÒN DE SUCESO COMPUESTO: AQUELLOS QUE CONSTAN DE DOS O MÀS SUCESOS SIMPLES O ELEMENTALES. SI ESTAMOS JUGANDO UNA PARTIDA DE CARTAS, DIREMOS QUE NOS HA DADO “SOTA”, TANTO SI NOS HA DADO LA SOTA DE OROS, LA DE COPAS, LA DE BASTOS, O LA DE ESPADAS. POR LO TANTO EL SUCESO : {SOTA} CONSTA DE 4 SUCESOS ELEMENTALES.
{SOTA} = {SOTADEOROS, SOTADECOPAS , SOTADEBASTOS , SOTADEESPADAS} SI REALIZAMOS EL EXPERIMENTO ALEATORIO DE LANZAR UN DADO, EL SUCESO PAR EN EL DADO, ES: {PAR} = {2,4,6} Y DIREMOS QUE HA OCURRIDO EL SUCESO PAR CUANDO, AL LANZAR EL DADO, OCURRA CUALQUIERA DE ESTOS TRES SUCESOS ELEMENTALES. LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO S = {X 1, X 2 , X 3 ,........X K } , COMPUESTO POR k SUCESOS ELEMENTALES, ES SEGÙN EL TERCER AXIOMA DE LA PROBABILIDAD: P(S) = p ( {X 1 , X 2 ,........X K } = P(X 1 ) + P (X 2 ) +……..+ P (X K ) LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE LOS SUCESOS ELEMENTALES QUE LO COMPONEN.
POR EJEMPLO EN EL LANZAMIENTO DE UN DAO NO CARGADO: 1 1 1 1 P (PAR) = P ( {2,4,6} = P (2) + P (4) + P (6) = + + = 6 6 6 2 EN LA EXTRACCION DE UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA P (SOTA) = 1/40 + 1/40 + 1/40 +
1/ 40 = 4/40 = 1/10
CUANDO LOS SUCESOS ELEMENTALES SON EQUIPROBABLES: P(S)
N ª − DE − SUCESOS − ELEMENTALE S − DE −" S " N ª − DE − SUCESOS − ELEMENTALE S − DEL − ESPACIO − MUESTRAL
ESTA FORMA DE CÀLCULO, LLAMADA LEY SUELE EXPRESAR ASÌ:
DE LAPLACE, SE
“CUANDO LOS SUCESOS ELEMENTALES SON EQUIPROBABLES, LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO S, P(S), SE CALCULA COMO EL CUOCIENTE ENTRE EL NÙMERO DE CASOS FAVORABLES Y EL NÙMERO DE CASOS POSIBLES” REVISEMOS OTRAS PROPIEDADES IMPORTANTES DE LAS PROBABILIDADES. SEA E {1,2,3,4,5,6} EL ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO AL EXPERIMENTO ALEATORIO DE LANZAR UN DADO Y OBSERVAR EL RESULTADO CONSIDEREMOS EL SUCESO A, SALIR PAR: A= (OBTENER PAR) = {2,4,6}
Y EL SUCESO CONTRARIO, no A, SALIR IMPAR: No A = (OBTENER IMPAR) = {1,3,5}
CALCULAMOS LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE ESTOS SUCESOS: P(A) =
N ° − CAOS − FAVORABLES 3 1 = = N ° − CASOS − POSIBLES 6 2
P ( A) =
3 = 6
1 2
LUEGO: P(A) + P ( A ) = 1 CON LO CUAL OBTENEMOS: P (NO A) = 1 - P (A) CONSIDEREMOS AHORA EL SUCESO A OBTENER PAR: A = {2,4,6} Y EL SUCESO B , OBTENER UN NÚMERO SUPERIOR A 3 B = {4,5,6} CALCULAMOS P(A U B): P(A U B) =
4 2 = 6 3
SEGUIR AQUI AHORA CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE EXPERIENCIA: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO .¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 2 ; 3 ; 5 PODEMOS EXPRESAR ESTA IDEA COMO: P A = {2,3,5}
EN TÉRMINOS CONJUNTISTAS PODEMOS HACER EL SIGUIENTE RAZONAMIENTO:
P2 =
1 6
P3 =
1 6
P5 =
1 6
LUEGO: P 2,3,5 =
1 1 1 + + 6 6 6
DE DONDE PODEMOS DEDUCIR QUE: = {3} + {3} + {5} = B ∪ C∪ D
{2,3,5} A
P A = P B + PC + PD INTITUCIONALIZACIÓN: SE ESTABLECE QUE LA PROBABILIDAD DE QUE SE VERIFIQUE UN EVENTO 1 O UN SUCESSO, EQUIVALE A LA UNIÓN DE AMBOS EVENTOS, ESTO ES EVENTO 1 U EVENTO 2 CUANTITATIVAMENTE ESTA PROBABILIDAD CORRESPONDE A LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE LOS EVENTOS 1 Y 2. EN RESUMEN: P E1OE 2 = P E1 + P 2 APLICACIONES: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO .CALCULAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER 1.- UN NÚMERO PAR. 2.- UN NÚMERO MENOR QUE 3. 3.- UN NUMERO INFERIOR A 3 (LA PALABRA INFERIOR CORRESPONDE AL SÍMBOLO ≤ , Y ESTRICTAMENTE SUPERIOR AL SÍMBOLO f ) 4.- UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE 2 Y 5 INCLUSIVE 5.-4 o 5
6.-DE OBTENER {2,3} o
{4}
7.-DE OBTENER: {2,4,5}O BIÉN {1,3,6}
CUANDO LA PROBABILIDAD SE ESTABLECE ENTÉRMINOS DEL NÚMERO DE CASOS FAVORABLES SOBRE EL NÚMERO DE CASOS POSIBLES, SE TIENE ENTONCES LA PROBABILIDAD SEGURA.
LA PROBABILIDAD DEL EVENTO SEGURO EQUIVALE ENTONCES A 1 P =1 ES
DE ÉSTA MANERA ENTONCES PODEMOS DEFINIR LA PROBABILIDAD COMPLEMENTARIA O CONTRARIA.
CONSIDEREMOS EL EXPERIMENTO ALEATORIO: LANZAR UN DADO Y EL EVENTO E {2,5} , ES DECIR OBTENER UN 2 o UN 5 EN LA TIRADA CUYA PROBABILIDAD CORRESPONDE A: P E =
2 1 = 6 3
EL EVENTO COMPLEMENTARIO O CONTRARIO A E, QUE LO DENOTAREMOS POR E C ES , POR EXTENSIÓN: E C = {1,3,4,6}
CUYA PROBABILIDAD CORRESPONDE A P EC =
DE DONDE: P + P E
EC
4 2 = 6 3
= 1
EJEMPLO: SI LA PROBABILIDAD DE QUE HOY LLUEVA, ATENDIENDO A VARIABLES ATMOFÉRICAS Y ESTADISTICAS ES DE 0,38 (38%)... ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE NO LLUEVA.
1-0.38= 0.62
, O BIÉN 62%
CCONCEPTUALIZANDO: SI
A
ES UN CONJUNTO DE ELEMENTOS
QUE REPRESENTA UN EVENTO, DONDE
P(A) =
NUMERODEELEMENTOSDEA NUMERODEELEMENTOSDEU
A
⊂
U
SE TIENE:
, FÓRMULA DE
LAPLACE
NO OLVIDAR QUE LOS POR ELLO TIENE SENTIDO HABLAR DE EVENTOS DISJUNTOS. VOLVIENDO A RETOMAR LA IDEA HEMOS ESTABLECIDO QUE LOS EVENTOS SE REPRESENTAN POR CONJUNTOS,
DOS CONJUNTOS
A
Y
B
SON DISJUNTOS ⇔
A
∩
B= Φ
ESTO SIGNIFICA QUE LOS EVENTOS A Y B NO PUEDEN REALIZARSE AL MISMO TIEMPO. SE DICE QUE ELLOS SON INCOMPATIBLES O DISJUNTOS. EJEMPLO: CONSIDERE EL EVENTO LANZAR UN PAR DE DADOS SIMULTÁNEAMENTE Y SEAN: A = { LA SUMA DE LAS CARAS SEA PAR B =
{
}
LA DIFERENCIA DE LAS CARAS SEA 1
}
EN ESTE CASO A I B = Φ EL ESPACIO MUESTRAL DEL LANZAMIENTO DE DOS DADOS SIMULTÁNEAMENTE QUEDA EXPRESADO POR EL MODELO:
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,5)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
PARA EL LANZAMIENTO DE n DADOS SIMULTÁNEAMENTE EL ESPACIO MUESTRAL ESTÁ DADO POR EL MODELO:
6
n
Así si se lanzan 3 dados simultáneamente el número de casos posibles (universo de casos está dado por 6 3 = 216
RETOMEMOS AHORA UNA SITACIÓN SENCILLA PARA INTRODUCIR OTROS CONCEPTOS:
CONSIDEREMOS EL EVENTO: LANZAR UN DADO,
Y SEAN: A = {1,2,3} B = {5,6} C = {3,4}
U = {1,2,3,4,5,6}
A Y B SON EVENTOS INCOMPATIBLES, PUESTO QUE LOS CONJUNTOS SON DISJUNTOS, ESTO ES
AI B =Φ POR EL CONTRARIO A Y C NO SON INCONPATIBLES , YA QUE LOS CONJUNTOS A Y C NO SON DISJUNTOS , PUESTO QUE A I C ≠ Φ A I C = {3} NOTA: EN EL EJEMPLO ANTERIOR
A U B = {1,2,3,5,6}
.UTILIZANDO EN EL CONJUNTO UNIVERSO U, LAS CONDICIONES QUE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD SE OBTIENE:
P(A) =
3 6
P (B) =
2 6
, ENTONCES: P(A U B) =
SE PUEDE DEMOSTRAR QUE: SIEMPRE QUE LOS EVENTOS A
Y
B
5 6
P(A U B) = P(A) + P (B) SEAN CONPATIBLES.
CASO GENERAL: SI LOS SUBCONJUNTOS
INVOLUCRADOS DE NO SON DISJUNTOS, ESTO ES LA INTERSECCIÓN NO ES VACÍA. RETOMEMOS EL CASO EN QUE:
U = {1,2,3,4,5,6} A = {1,2,3} C=
{3,4}
,
U
EN ESTE CASO LOS SUBCONJUNTOS DE INCOMPATIBLES, ESTO ES
U, A
Y
C, NO SON
A I C = {3}
ENTONCES LA PROBABILIDAD DE QUE SE DE EXPRESASA POR EL MODELO
A o C
QUEDA
P (A U C) = P (A) + P(C) - P (A I C) DEBEMOS RESTAR LA PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN P(A I C) = {3} ,PUES EL EVENTO ELEMENTAL {3} INTERVIENE A LA VEZ EN A Y
C .TIENE SU PROBABILIDAD CONTADA DOS VECES EN P(A) + P(C) : UNA VEZ EN P(A) Y OTRA EN P(C) . ES EN ESTA IDEA QUE SE EN
BASA EL MODELO MATEMÁTICO EXPUESTO ANTERIORMENTE. PARA EL PROBLEMA, SE TIENE: 3 2 1 P(A U C) = + 6 6 6 P(A U
B)
=
4 6
OTRO RESULTADO QUE ADMITIREMOS ES EL SIGUIENTE: PARA TODO EVENTO A , LA PROBABILIDAD DE A ES SIEMPRE POSITIVA Y MENOR O IGUAL A 1 , ES DECIR ,
0 ≤ P(A)
≤
1
VOCABULARIO RESPECTO A EVENTOS O SUCESOS
EN UNA EXPERIENCIA ALEATORIA, EL UNIVERSO U, REPRESENTA EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES.
•
UN SUCESO O UN EVENTO ESTÁ REPRESENTADO POR UN SUBCONJUNTO DE
U
•
UN EVENTO O SUCESO ELEMENTAL SE REPRESENTA POR UN SUBCONJUNTO QUE TIENE UN SOLO ELEMENTO.
•
DOS SUCESOS O EVENTOS SON INCOMPATIBLES O DISJUNTOS SI Y SOLAMENTE SI LA INTERSECCIÓN ENTRE ELLOS ES VACÍA ,ESTO ES : A I B = Φ
•
UN EVENTO CONTRARIO A UN EVENTO A SE REPRESENTA POR EL CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS DE U QUE NO PERTENECEN A , ES DECIR POR LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO COMPLEMENTARIO DE A . POR ELLO TAMBIÉN, EL EVENTO CONTRARIO SE LLAMA EVENTO COMPLEMENTARIO.
CALCULO DE PROBABILIDADES: *LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO DE UN UNIVERSO FINITO U ES LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE LOS EVENTOS ELEMENTALES QUE LO CONSTITUYEN.
•
LA EQUIPROBABILIDAD CORRESPONDE AL CASO EN QUE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD.
SE TIENE ENTONCES:
• •
NÚMERODEELEMENTOSDEA NÚMERODEELEMENTOSDEU NÚMERODECASOFAVORABLES P(A) = NÚMERODECASOSPOSIBLES
P(A) =
• SI A, B SON EVENTOS INCOMPATIBLES O DISJUNTOS , ENTONCES • P(A U B) = P(A) + P (B). •
Si A Y B SON EVENTOS CUALESQUIERA , ENTONCES : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A I B) PARA TODO EVENTO A , 0 ≤ P(A) ≤ 1 CASO PARTICULAR IMPORTANTE : EQUIPROBABILIDAD LA EQUIPROBABILIDAD C ORRESPONDE AL CASO EN QUE TODOS LOS SUCESOS ELEMENTALES
TIENEN IGUAL PROBABILIDAD. (EL PREFIJO AQUÍ SIGNIFICA IGUAL) ACTIVIDAD 1.TOMEMOS UN NAIPE ESPAÑOL Y CONSIDEREMOS EL EVENTO SACAR UNA CARTA AL AZAR.
• • • • • • • • •
¿CUÁL ES EL CONJUNTO UNIVERSO ¿CUÁL ES EL SUCESO ELEMENTAL ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DEL SUCESO ELEMENTAL SI HAY 10 CARTAS CON ORO EN EL MAZO DE CARTAS ESPAÑOLAS. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE “SACAR UN ORO “ ¿CUÁL E S LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “MONO” ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “AS” O UN “CABALLO” ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN SIETE DE ESPADA O UN CUATRO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “ORO” O UN CUATRO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “MONO” O UNA “COPA”
RESPUESTAS:
• • • • •
40 CARTAS UNA CARTA DEL NAIPE 1 40 10 40 12 40
P(AS U CABALLO ) = P(AS) + P(CABALLO) 4 4 = + - 0 = 40 40 *P(SIETE ESPADA o CUATRO) = P(SIETE ESP )
•
- P(AS I CABALLO ) 8 = 40 + P( 4) - P(7 ESP I 4 )
1 4 5 1 + 0 = = 40 40 40 8 *P(ORO o 4 ) = P(ORO ) + P(4) - P (ORO I 4 ) 10 4 1 13 = + = 40 40 40 40
NOTA: HAY UN CUATRO QUE ADEMÁS ES ORO.
*HAY 12 MONOS DE 40 HAY 10 COPAS EL 10 DE COPAS ES MONO Y COPA, EL CABALLO DE COPAS ES MONO Y COPA, EL REY DE COPAS ES MONO Y COPA. HAY EN TOTAL 3 CARTAS EN LA INTERSECCIÓN. ENTONCES: P(MONO o COPA) = P(MONO ) + P(COPA ) - P (MONO I COPA ) 12 10 3 = + 40 40 40 19 = 40
ACTIVIDAD
2.- EN UN NAIPE INGLES DE 52 CARTAS, EL EVENTO ES “SACAR UNA CARTA”. SUPONIENDO EQUIPROBABILIDAD EN LAS SACADAS DE CARTAS. SE DEFINE LOS EVENTOS: E 1 : LA CARTA ES UN TREBOL E 2 : LA CARTA ES UNA FIGURA (CABALLERO, REINA, REY) E 3 : LA CARTA ES UN CINCO.
DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR UNA CARTA SE VERIFIQUE LOS EVENTOS O SUCESOS: 1.- E 1 o E 2 2.- E 1 o E 3 3.- E 2 y E 3
ACTIVIDAD 3.-
EL DADO CARGADO.
UN DADO ESTÁ CARGADO DE MODO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA EL 6 ES 1 . MIENTRAS QUE LOS OTROS 5 SUCESOS TIENEN LA 3 MISMA PROBABILIDAD. DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE CAD UNO DE LOS SIGUIENTES EVENTOS:
1.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA 3 2.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA UN NÚMERO PAR. 3.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA UN NÚMERO IMPAR.
RESPUESTAS: EL RAZONAMIENTO ES EL SIGUIENTE: SE TIENEN SEIS OPCIONES, DE LAS CUALES UNA DE ELLAS, EL, 6 ESTÀ PREFIJADA CON UNA PROBABILIDAD DE 1 , POR LO QUE LAS OTRAS 3 CINCO OPCIONES (1, 2, 3, 4,5) TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD DE SALIR. COMO LA PROBABILIDAD DE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES, EN SUMA EQUIVALE A 1, ENTONCES: 1.-
P1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 +
1 = 1 3
COMO: P 1 = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 =
; P6 =
1 1 1 − 5 3
P3 =
2 15
2.-QUE SALGA PAR SIGNIFICA QUE SALGA 2, 4 SI: A = {2} B = {4} C = {6} LUEGO P (A U B U C) = P(A) + P (B) + P(C) =
2 2 1 + + 15 15 6
o 6
1 3
=
13 30
3.- QUE SALGA IMPAR SIGNIFICA: 1, 3 , 5 APLICANDO UN RAZONAMIENTO ANÁLOGO AL ANTERIOR, SE TIENE: P
(1, 3, 5 )
=
2 2 2 + + 15 15 15
=
6 2 = 15 5
CONTINUEMOS ANALIZANDO OTRAS MODELACIONES MATEMÁTICAS. EVENTOS O SUCESOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN:
EN LA BIBLIOTECA DEL LICEO PARROQUIAL SAN ANTONIO SE DISPONE DE UN TEXTO DE ALGEBRA DE BALDOR Y UN TEXTO DE ARIMÉTICA DE BALDOR . LA PROBABILIDAD DE QUE EL PRIMERO ESTÉ DISPONIBLE ES DE UN 0.92 (92 %) Y LA PROBABILIDAD DE QUE EL SEGUNDO ESTÉ DISPONIBLE ES DE UN 0.98 (98 %). SI EL PROFESOR DE MATEMÁTICA ORGANIZA SUS ACTIVIDADES EN LA SALA DE CLASES DE TAL MODO QUE REQUIERA DE AMBOS TEXTOS. ¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS ESTEN DISPONIBLES *¿EL EVENTO DE QUE EL ALGEBRA ESTÉ DISPONIBLE, TIENE QUE VER CON QUE EL ARITMÉTICA ESTÉ DISPONIBLE ‘ *¿SI LA PROBABILIDAD DE QUE EL ALGEBRA ESTÉ DISPONIBLE ES MENOR QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL ARITMÉTICA ESTÉ DISPONIBLE INFLUIRÁ EN LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS ESTÉN DISPONIBLES AL MISMO TIEMPO ‘
COMENTARIO: EL HECHO QUE UNO DE LOS TEXTOS ESTE DISPONIBLE NO INFLUYE EN EL HECHO QUE EL OTRO ESTE DISPONIBLE, EN ESTE CASO DECIMOS QUE LOS SUCESOS SON INDEPENDIENTES ENTRE SI POR TANTO, LA PROBABILIDAD DE UNO DE ELLOS NO SE VE AFECTADA POR LA DEL OTRO.
MODELANDO LA SITUACIÓN EN TERMINOS CONJUNTISTAS: LLAMEMOS P(A): EL ÁLGEBRA ESTA DISPONIBLE P
(B): EL ARIMÉTICA ESTE DISPONIBLE
LA CONDICIÓN DE QUE AMBOS ETEN DISPONIBLES AL MISMO TIEMPO ES QUE SE TIENE QUE DAR P(A)
y
P
(B)
AL MISMO TIEMPO
EN LENGUAJE CONJUNTISTA: P(A I B)
= P(A) * P (B)
AHORA VEA UD. LA RELACIÓN QUE SE DA ENTRE LA MODLACIÓN CONJUNTISTA Y LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS ELEMENTALES RELATIVAS A LAS PROBABILIDADES :
P(A U B) = P(A) + P(B) DISJUNTOS
;A y B
LA UNIÓN SE TRASFORMA EN SUMA
P(A U B) = P(A) +P(B) - P( A I B) ;AEB NO DISJUNTOS P(A
I
B) = P(A) * P (B)
; PARA SUCESOS
INDEPENDIENTES.
APLIQUEMOS ESTAS IDEAS A UN EJEMPLO SENCILLO: SE LANZA UNA MONEDA DOS VECES CONSECUTIVAS .CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER DOS CARAS LA PREGUNTA DE RIGOR ES: ¿EL SEGUNDO LANZAMIENTO ES INDEPENDIENTE DEL PRIMERO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DEL PRIMER LANZAMIENTO
EFECTIVAMENTE,
1 2
¿Y LA DEL SEGUNDO LANZAMIENTO
CORRECTO, TAMBIÉN ES 1/2
ENTONCES P (C y C ) = P(A I B) = P(A) * P (B)
¿Y SI LANZA TRES VECES LA MISMA MONEDA AL AIRE . CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER: *TRES CARAS *TRES SELLOS *LA SERIE: CARA - SELLO - CARA *DOS PINTAS IGUALES
COMO VEMOS UN PROBLEMA COMO ESTE PUEDE TENER M {ULTIPLES VARIACIONES. ES CUESTIÓN DE UN POCO DE IMAGINACIÓN. RESUMAMOS NUEVAMENTE ESTOS CONCEPTOS: (COMO DICE EL DICHO, LO QUE ABUNDA NO DAÑA)
DOS SUCESOS A y B CUYAS PROBABILIDADES SON P(A) y P(B) SON INDEPENDIENTES SI Y SOLAMENTE SI : P( A
I
B) = P(A) * P(B)
ESTUDIEMOS AHORA UN NUEVO PROBLEMA: EN EL OCTAVO AÑO A DEL LICEO SAN ANTONIO HAY 20 ALUMNAS , ENTRE ELLAS HAY 4 ALUMNAS QUE TIENEN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO . EL RECTOR HNO. MARINO SE PRESENTA EN EL CURSO PARA ELEGIR AL AZAR A 2 ALUMNAS PARA EL ACTO DE FIESTAS PATRIAS, DONDE TENDRAN QUE SER LAS LOCUTORAS DE LA CERENONIA. 1.-* ¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE QUE NINGUNA DE LAS 2 LUMNAS ESCOGIDAS TENGA BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO 2.-*¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE ESCOGER A LA PRIMERA ALUMNA SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO 3.-*¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE ESCOGER A LA SEGUNDA ALUMNA SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO
4.-*SI SE LLAMA A1 AL SUCESO:”SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO EN LA PRIMERA ELECCIÓN “ Y A2 AL SUCESO:”SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO EN LA SEGUNDA ELECCIÓN “ ¿QUÉ DIAGRAMA HARÍAS PARA REPRESENTAR ESTA SITUACIÓ *¿QUÉ MODELO MATEMÁTICO CREE ADECUADO PARA REPRESENTAR ESTA SITUACIÓN.
*COMPAREMOS AHORA LAS RESPUESTAS CORRECTAS: 1.-*PARA ELEGIR LA PRIMERA ALUMNA HAY 16 POSIBILIDADES DE 20 16 20 PARA LA SEGUNDA ELECCIÓN LAS OPCIONES SE REDUCEN DE 15 SOBRE 19 15 P2 = 19
P1 =
POR TANTO P 1 * P 2 =
2.-P
1
=
16 15 12 * = 20 19 19
16 20
3.-SI SOLAMENTE LA EXIGENCIA ES PARA LA SEGUNDA ELECCIÓN, LA PRIMERA SE ELIGE UNA ENTRE 20 1 P1= 20 PARA LA SEGUNDA HAY DOS OPCIONES SI EN LA PRIMERA YA FUE ELEGIDA UNA ALUMNA QUE NO TIENE BAJO RENDIMIENTO P 2 SERÁ: 15 P2 = 19 AHORA SI EN LA PRIMERA ELECCIÓN FUE ELEGIDA UNA ALUMNA CON BAJO RENDIMIENTO LAS OPCIONES SE REDUCEN 16 P2 = 19 COMO VE UD. ESTE PROBLEMA TIENE DOS SOLUCIONES. EN TÉRMINOS EXTRICTOS DESDE EL PUNTO DE VISTA ESTADÍSTICO EL MEJOR MODELO ES AQUEL QUE INCLUYE AMBAS OPCIONES, EN ESTE CASO EL SEGUNDO RAZONAMIENTO DEL PROBLEMA. 4.-SEA N: ALUMNAS QUE NO TIENEN BAJO ENDIMIENTO B: ALUMNAS QUE TIENEN BAJO RENDIMIENTO U
=
{
B B B B N N N N N N N N N N N N N N N N
}
OTRA APLICACIÓN DE LA MODELACIÓN CONJUNTISTA ES EL ESTUDIO DE LA:
AHORA RETOMEMOS NUESTRO
AMIGO DADO.
EN UN LANZAMIENTO CUALQUIERA LA OPCIÓN DE OBTENER CUALQUIERA DE LAS SEI PINTAS (1, 2, 3, 4, 5,6) PODEMOS REPRESENTARLA POR P N . POR EJEMPLO: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO, ¿CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 3 PODEMOS ANOTAR ESTA IDEA EN MODELACIÓN CONJUNTISTA COMO: P A = {3} 1 ; HAY UNA OPCIÓN DE LAS SEIS QUE SATISFACE LA 6 CONDICIÓN., DECIMOS MQUE HAY UN CASO FABORABLE DE LOS SEIS POSIBLES.
DE DONDE: P 3 =
AL CONJUNTO DE TODAS LAS OPCIONES POSIBLES SE LE ASIGNA EL NOMBRE DE “ESPACIO MUESTRAL”
EN EL CASO DEL LANZAMIENTO DE UN DADO EL ESPACIO MUESTRAL CORRESPONDE A: {1,2,3,4,5,6}
AHORA CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE EXPERIANCIA: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO .CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 2; 3; 5 PODEMOS EXPRESAR ESTA IDEA COMO: P A = {2,3,5}
EN TÉRMINOS CONJUNTISTAS PODEMOS HACER EL SIGUIENTE RAZONAMIENTO: P2 =
1 6
P3 =
1 6
P5 =
1 6
LUEGO: P 2,3,5 =
1 1 1 + + 6 6 6
DE DONDE PODEMOS DEDUCIR QUE: = {3} + {3} + {5} = B ∪ C∪ D
{2,3,5} A
P A = P B + PC + PD INTITUCIONALIZACIÓN: SE ESTABLECE QUE LA PROBABILIDAD DE QUE SE VERIFIQUE UN EVENTO 1 O UN SUCESSO, EQUIVALE A LA UNIÓN DE AMBOS EVENTOS, ESTO ES EVENTO 1 U EVENTO 2 CUANTITATIVAMENTE ESTA PROBABILIDAD CORRESPONDE A LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE LOS EVENTOS 1 Y 2. EN RESUMEN: P E1OE 2 = P E1 + P 2
APLICACIONES: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO .CALCULAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER 1.- UN NÚMERO PAR. 2.- UN NÚMERO MENOR QUE 3. 3.- UN NUMERO INFERIOR A 3 (LA PALABRA INFERIOR CORRESPONDE AL SÍMBOLO ≤ , Y ESTRICTAMENTE SUPERIOR AL SÍMBOLO f ) 4.- UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE 2 Y 5 INCLUSIVE 5.-4 o 5 6.-DE OBTENER {2,3} o
{4}
7.-DE OBTENER: {2,4,5}O BIÉN {1,3,6}
CUANDO LA PROBABILIDAD SE ESTABLECE ENTÉRMINOS DEL NÚMERO DE CASOS FAVORABLES SOBRE EL NÚMERO DE CASOS POSIBLES, SE TIENE ENTONCES LA PROBABILIDAD SEGURA.
LA PROBABILIDAD DEL EVENTO SEGURO EQUIVALE ENTONCES A 1 P =1 ES
DE ÉSTA MANERA ENTONCES PODEMOS DEFINIR LA PROBABILIDAD COMPLEMENTARIA O CONTRARIA.
CONSIDEREMOS EL EXPERIMENTO ALEATORIO: LANZAR UN DADO Y EL EVENTO E {2,5} , ES DECIR OBTENER UN 2 o UN 5 EN LA TIRADA CUYA PROBABILIDAD CORRESPONDE A: P E =
2 1 = 6 3
EL EVENTO COMPLEMENTARIO O CONTRARIO A E, QUE LO DENOTAREMOS POR E C ES , POR EXTENSIÓN: E C = {1,3,4,6}
CUYA PROBABILIDAD CORRESPONDE A P EC =
DE DONDE: P + P E
EC
4 2 = 6 3
= 1
EJEMPLO: SI LA PROBABILIDAD DE QUE HOY LLUEVA, ATENDIENDO A VARIABLES ATMOFÉRICAS Y ESTADISTICAS ES DE 0,38 (38%)... ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE NO LLUEVA .
1-0.38= 0.62
, O BIÉN 62%
CONCEPTUALIZANDO: SI
A
ES UN CONJUNTO DE ELEMENTOS QUE
REPRESENTA UN EVENTO, DONDE
P(A) =
NUMERODEELEMENTOSDEA NUMERODEELEMENTOSDEU
A
⊂
U
SE TIENE:
, FÓRMULA DE
LAPLACE
VOLVEREMOS A ESTUDIARLA Y DISCUTIRLA MÁS ADELANTE
NO OLVIDAR QUE LOS POR ELLO TIENE SENTIDO HABLAR DE EVENTOS DISJUNTOS. VOLVIENDO A RETOMAR LA IDEA HEMOS ESTABLECIDO QUE LOS EVENTOS SE REPRESENTAN POR CONJUNTOS,
DOS CONJUNTOS
A
Y
B
SON DISJUNTOS ⇔
A
∩
B= Φ
ESTO SIGNIFICA QUE LOS EVENTOS A Y B NO PUEDEN REALIZARSE AL MISMO TIEMPO. SE DICE QUE ELLOS SON INCOMPATIBLES O DISJUNTOS. EJEMPLO: CONSIDERE EL EVENTO LANZAR UN PAR DE DADOS SIMULTÁNEAMENTE Y SEAN:
A = { LA SUMA DE LAS CARAS SEA PAR B =
{
}
LA DIFERENCIA DE LAS CARAS SEA 1
}
EN ESTE CASO A I B = Φ EL ESPACIO MUESTRAL DEL LANZAMIENTO DE DOS DADOS SIMULTÁNEAMENTE QUEDA EXPRESADO POR EL MODELO:
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,5)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
PARA EL LANZAMIENTO DE n DADOS SIMULTÁNEAMENTE EL ESPACIO MUESTRAL ESTÁ DADO POR EL MODELO:
6
n
Así si se lanzan 3 dados simultáneamente el número de casos posibles (universo de casos está dado por 6 3 = 216
RETOMEMOS AHORA UNA SITACIÓN SENCILLA PARA INTRODUCIR OTROS CONCEPTOS:
CONSIDEREMOS EL EVENTO: LANZAR UN DADO,
U = {1,2,3,4,5,6}
Y SEAN: A = {1,2,3} B = {5,6} C = {3,4}
A Y B SON EVENTOS INCOMPATIBLES, PUESTO QUE LOS CONJUNTOS SON DISJUNTOS, ESTO ES
AI B =Φ POR EL CONTRARIO A Y C NO SON INCONPATIBLES , YA QUE LOS CONJUNTOS A Y C NO SON DISJUNTOS , PUESTO QUE A I C ≠ Φ A I C = {3} NOTA: EN EL EJEMPLO ANTERIOR
A U B = {1,2,3,5,6}
.UTILIZANDO EN EL CONJUNTO UNIVERSO U, LAS CONDICIONES QUE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD SE OBTIENE:
P(A) =
3 6
P (B) =
2 6
, ENTONCES: P(A U B) =
SE PUEDE DEMOSTRAR QUE: SIEMPRE QUE LOS EVENTOS A
Y
B
5 6
P(A U B) = P(A) + P (B)
,
SEAN CONPATIBLES.
CASO GENERAL: SI LOS SUBCONJUNTOS INVOLUCRADOS DE NO SON DISJUNTOS, ESTO ES LA INTERSECCIÓN NO ES VACÍA.
U
RETOMEMOS EL CASO EN QUE:
U = {1,2,3,4,5,6} A = {1,2,3} C=
{3,4}
EN ESTE CASO LOS SUBCONJUNTOS DE INCOMPATIBLES, ESTO ES
U, A
Y
C, NO SON
A I C = {3}
ENTONCES LA PROBABILIDAD DE QUE SE DE EXPRESASA POR EL MODELO
A o C
QUEDA
P (A U C) = P (A) + P(C) - P (A I C) DEBEMOS RESTAR LA PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN P(A I C) = {3} ,PUES EL EVENTO ELEMENTAL {3} INTERVIENE A LA VEZ EN A Y
C .TIENE SU PROBABILIDAD CONTADA DOS VECES EN P(A) + P(C) : UNA VEZ EN P(A) Y OTRA EN P(C) . ES EN ESTA IDEA QUE SE EN
BASA EL MODELO MATEMÁTICO EXPUESTO ANTERIORMENTE. PARA EL PROBLEMA, SE TIENE: 3 2 1 P(A U C) = + 6 6 6 P(A U
B)
=
4 6
OTRO RESULTADO QUE ADMITIREMOS ES EL SIGUIENTE: PARA TODO EVENTO A , LA PROBABILIDAD DE A ES SIEMPRE POSITIVA Y MENOR O IGUAL A 1 , ES DECIR ,
0 ≤ P(A)
≤
1
VOCABULARIO RESPECTO A EVENTOS O SUCESOS
EN UNA EXPERIENCIA ALEATORIA, EL UNIVERSO U, REPRESENTA EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES.
•
UN SUCESO O UN EVENTO ESTÁ REPRESENTADO POR UN SUBCONJUNTO DE
U
•
UN EVENTO O SUCESO ELEMENTAL SE REPRESENTA POR UN SUBCONJUNTO QUE TIENE UN SOLO ELEMENTO.
•
DOS SUCESOS O EVENTOS SON INCOMPATIBLES O DISJUNTOS SI Y SOLAMENTE SI LA INTERSECCIÓN ENTRE ELLOS ES VACÍA ,ESTO ES : A I B = Φ
•
UN EVENTO CONTRARIO A UN EVENTO A SE REPRESENTA POR EL CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS DE U QUE NO PERTENECEN A , ES DECIR POR LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO COMPLEMENTARIO DE A . POR ELLO TAMBIÉN, EL EVENTO CONTRARIO SE LLAMA EVENTO COMPLEMENTARIO.
CALCULO DE PROBABILIDADES: *LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO DE UN UNIVERSO FINITO U ES LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE LOS EVENTOS ELEMENTALES QUE LO CONSTITUYEN.
•
LA EQUIPROBABILIDAD CORRESPONDE AL CASO EN QUE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD.
SE TIENE ENTONCES:
• •
NÚMERODEELEMENTOSDEA NÚMERODEELEMENTOSDEU NÚMERODECASOFAVORABLES P(A) = NÚMERODECASOSPOSIBLES P(A) =
• SI A, B SON EVENTOS INCOMPATIBLES O DISJUNTOS , ENTONCES • P(A U B) = P(A) + P (B). •
Si A Y B SON EVENTOS CUALESQUIERA , ENTONCES : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A I B) PARA TODO EVENTO A , 0 ≤ P(A) ≤ 1 CASO PARTICULAR IMPORTANTE : EQUIPROBABILIDAD LA EQUIPROBABILIDAD C ORRESPONDE AL CASO EN QUE TODOS LOS SUCESOS ELEMENTALES
TIENEN IGUAL PROBABILIDAD. (EL PREFIJO AQUÍ SIGNIFICA IGUAL) ACTIVIDAD 1.TOMEMOS UN NAIPE ESPAÑOL Y CONSIDEREMOS EL EVENTO SACAR UNA CARTA AL AZAR.
• • • • • • • • •
¿CUÁL ES EL CONJUNTO UNIVERSO ¿CUÁL ES EL SUCESO ELEMENTAL ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DEL SUCESO ELEMENTAL SI HAY 10 CARTAS CON ORO EN EL MAZO DE CARTAS ESPAÑOLAS. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE “SACAR UN ORO “ ¿CUÁL E S LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “MONO” ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “AS” O UN “CABALLO” ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN SIETE DE ESPADA O UN CUATRO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “ORO” O UN CUATRO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “MONO” O UNA “COPA”
RESPUESTAS:
40 CARTAS UNA CARTA DEL NAIPE 1 • 40 10 • 40 12 • 40 • P(AS U CABALLO ) = P(AS) + P(CABALLO) 4 4 = + - 0 = 40 40 *P(SIETE ESPADA o CUATRO) = P(SIETE ESP )
• •
- P(AS I CABALLO ) 8 = 40 + P( 4) - P(7 ESP I 4 )
1 4 5 1 + 0 = = 40 40 40 8 *P(ORO o 4 ) = P(ORO ) + P(4) - P (ORO I 4 ) 10 4 1 13 = + = 40 40 40 40
NOTA: HAY UN CUATRO QUE ADEMÁS ES ORO.
*HAY 12 MONOS DE 40 HAY 10 COPAS EL 10 DE COPAS ES MONO Y COPA, EL CABALLO DE COPAS ES MONO Y COPA, EL REY DE COPAS ES MONO Y COPA. HAY EN TOTAL 3 CARTAS EN LA INTERSECCIÓN. ENTONCES: P(MONO o COPA) = P(MONO ) + P(COPA ) - P (MONO I COPA ) 12 10 3 = + 40 40 40 19 = 40
ACTIVIDAD 2.- EN UN NAIPE INGLES DE 52 CARTAS, EL EVENTO ES “SACAR UNA CARTA”. SUPONIENDO EQUIPROBABILIDAD EN LAS SACADAS DE CARTAS. SE DEFINE LOS EVENTOS:
E 1 : LA CARTA ES UN TREBOL E 2 : LA CARTA ES UNA FIGURA (CABALLERO, REINA, REY) E 3 : LA CARTA ES UN CINCO.
DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR UNA CARTA SE VERIFIQUE LOS EVENTOS O SUCESOS: 1.- E 1 o E 2 2.- E 1 o E 3 3.- E 2 y E 3
ACTIVIDAD 3.-
EL DADO CARGADO.
UN DADO ESTÁ CARGADO DE MODO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA EL 6 ES 1 . MIENTRAS QUE LOS OTROS 5 SUCESOS TIENEN LA 3 MISMA PROBABILIDAD. DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE CAD UNO DE LOS SIGUIENTES EVENTOS:
1.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA 3 2.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA UN NÚMERO PAR. 3.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA UN NÚMERO IMPAR.
RESPUESTAS: EL RAZONAMIENTO ES EL SIGUIENTE: SE TIENEN SEIS OPCIONES, DE LAS CUALES UNA DE ELLAS, EL, 6 ESTÀ PREFIJADA CON UNA PROBABILIDAD DE 1 , POR LO QUE LAS OTRAS 3 CINCO OPCIONES (1, 2, 3, 4,5) TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD DE SALIR. COMO LA PROBABILIDAD DE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES, EN SUMA EQUIVALE A 1, ENTONCES: 1.-
P1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 +
1 = 1 3
COMO: P 1 = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 =
; P6 =
1 1 1 − 5 3
1 3
P3 =
2 15
2.-QUE SALGA PAR SIGNIFICA QUE SALGA 2, 4 SI: A = {2} B = {4} C = {6}
o 6
LUEGO P (A U B U C) = P(A) + P (B) + P(C) =
2 2 1 + + 15 15 6
=
13 30
3.- QUE SALGA IMPAR SIGNIFICA: 1, 3 , 5 APLICANDO UN RAZONAMIENTO ANÁLOGO AL ANTERIOR, SE TIENE: P
(1, 3, 5 )
=
2 2 2 + + 15 15 15
=
6 2 = 15 5
CONTINUEMOS ANALIZANDO OTRAS MODELACIONES MATEMÁTICAS. EVENTOS O SUCESOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN:
EN LA BIBLIOTECA DEL LICEO PARROQUIAL SAN ANTONIO SE DISPONE DE UN TEXTO DE ALGEBRA DE BALDOR Y UN TEXTO DE ARIMÉTICA DE BALDOR . LA PROBABILIDAD DE QUE EL PRIMERO ESTÉ DISPONIBLE ES DE UN 0.92 (92 %) Y LA PROBABILIDAD DE QUE EL SEGUNDO ESTÉ DISPONIBLE ES DE UN 0.98 (98 %). SI EL PROFESOR DE MATEMÁTICA ORGANIZA SUS ACTIVIDADES EN LA SALA DE CLASES DE TAL MODO QUE REQUIERA DE AMBOS TEXTOS.
¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS ESTEN DISPONIBLES *¿EL EVENTO DE QUE EL ALGEBRA ESTÉ DISPONIBLE , TIENE QUE VER CON QUE EL ARITMÉTICA ESTÉ DISPONIBLE ‘ *¿SI LA PROBABILIDAD DE QUE EL ALGEBRA ESTÉ DISPONIBLE ES MENOR QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL ARITMÉTICA ESTÉ DISPONIBLE INFLUIRÁ EN LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS ESTÉN DISPONIBLES AL MISMO TIEMPO ‘
COMENTARIO: EL HECHO QUE UNO DE LOS TEXTOS ESTE DISPONIBLE NO INFLUYE EN EL HECHO QUE EL OTRO ESTE DISPONIBLE, EN ESTE CASO DECIMOS QUE LOS SUCESOS SON INDEPENDIENTES ENTRE SI POR TANTO, LA PROBABILIDAD DE UNO DE ELLOS NO SE VE AFECTADA POR LA DEL OTRO.
MODELANDO LA SITUACIÓN EN TERMINOS CONJUNTISTAS: LLAMEMOS P(A): EL ÁLGEBRA ESTA DISPONIBLE P
(B): EL ARIMÉTICA ESTE DISPONIBLE
LA CONDICIÓN DE QUE AMBOS ETEN DISPONIBLES AL MISMO TIEMPO ES QUE SE TIENE QUE DAR P(A)
y
P
(B)
AL MISMO TIEMPO
EN LENGUAJE CONJUNTISTA: P(A I B)
= P(A) * P (B)
AHORA VEA UD. LA RELACIÓN QUE SE DA ENTRE LA MODLACIÓN CONJUNTISTA Y LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS ELEMENTALES RELATIVAS A LAS PROBABILIDADES :
P(A U B) = P(A) + P(B) DISJUNTOS
;A y B
LA UNIÓN SE TRASFORMA EN SUMA
P(A U B) = P(A) +P(B) - P( A I B) ;AEB NO DISJUNTOS P(A I B) = P(A) * P (B) INDEPENDIENTES.
; PARA SUCESOS
APLIQUEMOS ESTAS IDEAS A UN EJEMPLO SENCILLO: SE LANZA UNA MONEDA DOS VECES CONSECUTIVAS .CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER DOS CARAS LA PREGUNTA DE RIGOR ES: ¿EL SEGUNDO LANZAMIENTO ES INDEPENDIENTE DEL PRIMERO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DEL PRIMER LANZAMIENTO
EFECTIVAMENTE,
1 2
¿Y LA DEL SEGUNDO LANZAMIENTO
CORRECTO , TAMBIÉN ES 1/2
ENTONCES P (C y C ) = P(A I B) = P(A) * P (B)
¿Y SI LANZA TRES VECES LA MISMA MONEDA AL AIRE . CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER : *TRES CARAS *TRES SELLOS *LA SERIE: CARA - SELLO - CARA *DOS PINTAS IGUALES
COMO VEMOS UN PROBLEMA COMO ESTE PUEDE TENER M {ULTIPLES VARIACIONES. ES CUESTIÓN DE UN POCO DE IMAGINACIÓN. RESUMAMOS NUEVAMENTE ESTOS CONCEPTOS: (COMO DICE EL DICHO, LO QUE ABUNDA NO DAÑA)
DOS SUCESOS A y B CUYAS PROBABILIDADES SON P(A) y P(B) SON INDEPENDIENTES SI Y SOLAMENTE SI : P( A
I
B) = P(A) * P(B)
ESTUDIEMOS AHORA UN NUEVO PROBLEMA: EN EL OCTAVO AÑO A DEL LICEO SAN ANTONIO HAY 20 ALUMNAS , ENTRE ELLAS HAY 4 ALUMNAS QUE TIENEN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO . EL RECTOR HNO. MARINO SE PRESENTA EN EL CURSO PARA ELEGIR AL AZAR A 2 ALUMNAS PARA EL ACTO DE FIESTAS PATRIAS, DONDE TENDRAN QUE SER LAS LOCUTORAS DE LA CERENONIA. 1.-* ¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE QUE NINGUNA DE LAS 2 LUMNAS ESCOGIDAS TENGA BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO 2.-*¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE ESCOGER A LA PRIMERA ALUMNA SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO
3.-*¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE ESCOGER A LA SEGUNDA ALUMNA SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO
4.-*SI SE LLAMA A1 AL SUCESO :”SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO EN LA PRIMERA ELECCIÓN “ Y A2 AL SUCESO :”SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO EN LA SEGUNDA ELECCIÓN “ ¿QUÉ DIAGRAMA HARÍAS PARA REPRESENTAR ESTA SITUACIÓ *¿QUÉ MODELO MATEMÁTICO CREE ADECUADO PARA REPRESENTAR ESTA SITUACIÓN.
*COMPAREMOS AHORA LAS RESPUESTAS CORRECTAS : 1.-*PARA ELEGIR LA PRIMERA ALUMNA HAY 16 POSIBILIDADES DE 20 16 20 PARA LA SEGUNDA ELECCIÓN LAS OPCIONES SE REDUCEN DE 15 SOBRE 19 15 P2 = 19
P1 =
POR TANTO P 1 * P 2 =
2.-P
1
=
16 15 12 * = 20 19 19
16 20
3.-SI SOLAMENTE LA EXIGENCIA ES PARA LA SEGUNDA ELECCIÓN, LA PRIMERA SE ELIGE UNA ENTRE 20 1 P1= 20 PARA LA SEGUNDA HAY DOS OPCIONES SI EN LA PRIMERA YA FUE ELEGIDA UNA ALUMNA QUE NO TIENE BAJO RENDIMIENTO P 2 SERÁ: 15 P2 = 19
AHORA SI EN LA PRIMERA ELECCIÓN FUE ELEGIDA UNA ALUMNA CON BAJO RENDIMIENTO LAS OPCIONES SE REDUCEN 16 P2 = 19 COMO VE UD. ESTE PROBLEMA TIENE DOS SOLUCIONES. EN TÉRMINOS EXTRICTOS DESDE EL PUNTO DE VISTA ESTADÍSTICO EL MEJOR MODELO ES AQUEL QUE INCLUYE AMBAS OPCIONES, EN ESTE CASO EL SEGUNDO RAZONAMIENTO DEL PROBLEMA. 4.-SEA N: ALUMNAS QUE NO TIENEN BAJO ENDIMIENTO B: ALUMNAS QUE TIENEN BAJO RENDIMIENTO U
=
{
B B B B N N N N N N N N N N N N N N N N
}
OTRA APLICACIÓN DE LA MODELACIÓN CONJUNTISTA ES EL ESTUDIO DE LA: PROBABILIDAD CONDICIONADA O RELATIVA UNA PROBABILIDAD SE DICE CONDICIONADA O RELATIVA AL CONJUNTO A (A ⊆ U ), CUANDO A SE CONSIDERA COMO UNIVERSO LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO B , RELATIVA A , O BAJO CONDICIÓN DE A, SE DEFINE POR: P(A I B) P (B/A) = -------------P(A)
TAMBIÉN SE PUEDE DEFINIR DEL MISMO MODO LA PROBABILIDAD DE A RELATIVA A B, O CONDICIONADA POR B P(A I B) P(A/B) = ------------P (B) EJEMPLO (EL CONCEPTO) SEA
U
, EL UNIVERSO FORMADO POR CINCO FICHAS,
DOS VERDES UNA VERDE MARCADA CON UN SIGNO MAS + UNA VERDE MARCADA CON UN ASTERÍSCO * TRES DE ELLAS ROJAS: DOS ROJAS MARCADAS CON UN +
UNA ROJA MARCADA CON * EN CONSECUENCIA PODEMOS REPRESENTAR EL PROBLEMA SEGÚN EL MODELO GRÁFICO:
FICHAS VERDES
FICHAS ROJAS
SEAN LOS SUCESOS: A: SER FICHA VERDE B: SER FICHA CON ASTERÍSCO P (VERDE CON ASTERÍSCO)
1 5
P(A/B) = ---------------------------------- =
=
P (TENER ASTERÍSCO)
1 3
3 5
EL TEMA DE LAS MODELACIONES CONJUNTISTAS DA PARA MUCHO, PODEMOS SACAR PROVECHO DE ELLA PARA RESFORZAR CONCEPTOS COMO: DIVISIVILIDAD, MÚLTIPLOS ETC.
AHORA RETOMEMOS NUESTRO
AMIGO DADO.
EN UN LANZAMIENTO CUALQUIERA LA OPCIÓN DE OBTENER CUALQUIERA DE LAS SEI PINTAS (1, 2, 3, 4, 5,6) PODEMOS REPRESENTARLA POR P N . POR EJEMPLO: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO, ¿CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 3 PODEMOS ANOTAR ESTA IDEA EN MODELACIÓN CONJUNTISTA COMO : P A = {3}
1 ; HAY UNA OPCIÓN DE LAS SEIS QUE SATISFACE LA 6 CONDICIÓN., DECIMOS MQUE HAY UN CASO FABORABLE DE LOS SEIS POSIBLES.
DE DONDE: P 3 =
AL CONJUNTO DE TODAS LAS OPCIONES POSIBLES SE LE ASIGNA EL NOMBRE DE “ESPACIO MUESTRAL”
EN EL CASO DEL LANZAMIENTO DE UN DADO EL ESPACIO MUESTRAL CORRESPONDE A: {1,2,3,4,5,6}
AHORA CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE EXPERIANCIA: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO .CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 2; 3; 5 PODEMOS EXPRESAR ESTA IDEA COMO: P A = {2,3,5}
EN TÉRMINOS CONJUNTISTAS PODEMOS HACER EL SIGUIENTE RAZONAMIENTO: P2 =
1 6
P3 =
1 6
P5 =
1 6
LUEGO: P 2,3,5 =
1 1 1 + + 6 6 6
DE DONDE PODEMOS DEDUCIR QUE: = {3} + {3} + {5} = B ∪ C∪ D
{2,3,5} A
P A = P B + PC + PD INTITUCIONALIZACIÓN: SE ESTABLECE QUE LA PROBABILIDAD DE QUE SE VERIFIQUE UN EVENTO 1 O UN SUCESSO, EQUIVALE A LA UNIÓN DE AMBOS EVENTOS, ESTO ES EVENTO 1 U EVENTO 2 CUANTITATIVAMENTE ESTA PROBABILIDAD CORRESPONDE A LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE LOS EVENTOS 1 Y 2. EN RESUMEN: P E1OE 2 = P E1 + P 2 APLICACIONES: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO .CALCULAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER 1.- UN NÚMERO PAR. 2.- UN NÚMERO MENOR QUE 3. 3.- UN NUMERO INFERIOR A 3 (LA PALABRA INFERIOR CORRESPONDE AL SÍMBOLO ≤ , Y ESTRICTAMENTE SUPERIOR AL SÍMBOLO f ) 4.- UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE 2 Y 5 INCLUSIVE 5.-4 o 5 6.-DE OBTENER {2,3} o
{4}
7.-DE OBTENER: {2,4,5}O BIÉN {1,3,6}
CUANDO LA PROBABILIDAD SE ESTABLECE ENTÉRMINOS DEL NÚMERO DE CASOS FAVORABLES SOBRE EL NÚMERO DE CASOS POSIBLES, SE TIENE ENTONCES LA PROBABILIDAD SEGURA.
LA PROBABILIDAD DEL EVENTO SEGURO EQUIVALE ENTONCES A 1 P =1 ES
DE ÉSTA MANERA ENTONCES PODEMOS DEFINIR LA PROBABILIDAD COMPLEMENTARIA O CONTRARIA.
CONSIDEREMOS EL EXPERIMENTO ALEATORIO: LANZAR UN DADO
Y EL EVENTO E {2,5} , ES DECIR OBTENER UN 2 o UN 5 EN LA TIRADA CUYA PROBABILIDAD CORRESPONDE A: P E =
2 1 = 6 3
EL EVENTO COMPLEMENTARIO O CONTRARIO A E, QUE LO DENOTAREMOS POR E C ES , POR EXTENSIÓN: E C = {1,3,4,6}
CUYA PROBABILIDAD CORRESPONDE A P EC =
DE DONDE: P + P E
EC
4 2 = 6 3
= 1
EJEMPLO: SI LA PROBABILIDAD DE QUE HOY LLUEVA, ATENDIENDO A VARIABLES ATMOFÉRICAS Y ESTADISTICAS ES DE 0,38 (38%)... ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE NO LLUEVA.
1-0.38= 0.62
, O BIÉN 62%
CCONCEPTUALIZANDO: SI
A
ES UN CONJUNTO DE ELEMENTOS
QUE REPRESENTA UN EVENTO, DONDE
P(A) =
NUMERODEELEMENTOSDEA NUMERODEELEMENTOSDEU
A
⊂
U
SE TIENE:
, FÓRMULA DE
LAPLACE
NO OLVIDAR QUE LOS POR ELLO TIENE SENTIDO HABLAR DE EVENTOS DISJUNTOS. VOLVIENDO A RETOMAR LA IDEA HEMOS ESTABLECIDO QUE LOS EVENTOS SE REPRESENTAN POR CONJUNTOS,
DOS CONJUNTOS
A
Y
B
SON DISJUNTOS ⇔
A
∩
B= Φ
ESTO SIGNIFICA QUE LOS EVENTOS A Y B NO PUEDEN REALIZARSE AL MISMO TIEMPO. SE DICE QUE ELLOS SON INCOMPATIBLES O DISJUNTOS. EJEMPLO: CONSIDERE EL EVENTO LANZAR UN PAR DE DADOS SIMULTÁNEAMENTE Y SEAN: A = { LA SUMA DE LAS CARAS SEA PAR B =
{
}
LA DIFERENCIA DE LAS CARAS SEA 1
}
EN ESTE CASO A I B = Φ EL ESPACIO MUESTRAL DEL LANZAMIENTO DE DOS DADOS SIMULTÁNEAMENTE QUEDA EXPRESADO POR EL MODELO:
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,5)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
PARA EL LANZAMIENTO DE n DADOS SIMULTÁNEAMENTE EL ESPACIO MUESTRAL ESTÁ DADO POR EL MODELO:
6
n
Así si se lanzan 3 dados simultáneamente el número de casos posibles (universo de casos está dado por 6 3 = 216
RETOMEMOS AHORA UNA SITACIÓN SENCILLA PARA INTRODUCIR OTROS CONCEPTOS:
CONSIDEREMOS EL EVENTO: LANZAR UN DADO,
U = {1,2,3,4,5,6}
Y SEAN: A = {1,2,3} B = {5,6} C = {3,4}
A Y B SON EVENTOS INCOMPATIBLES, PUESTO QUE LOS CONJUNTOS SON DISJUNTOS, ESTO ES
AI B =Φ POR EL CONTRARIO A Y C NO SON INCONPATIBLES , YA QUE LOS CONJUNTOS A Y C NO SON DISJUNTOS , PUESTO QUE A I C ≠ Φ A I C = {3} NOTA: EN EL EJEMPLO ANTERIOR
A U B = {1,2,3,5,6}
.UTILIZANDO EN EL CONJUNTO UNIVERSO U, LAS CONDICIONES QUE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD SE OBTIENE:
P(A) =
3 6
P (B) =
2 6
, ENTONCES: P(A U B) =
SE PUEDE DEMOSTRAR QUE: SIEMPRE QUE LOS EVENTOS A
Y
B
5 6
P(A U B) = P(A) + P (B)
,
SEAN CONPATIBLES.
CASO GENERAL: SI LOS SUBCONJUNTOS
INVOLUCRADOS DE NO SON DISJUNTOS, ESTO ES LA INTERSECCIÓN NO ES VACÍA.
U
RETOMEMOS EL CASO EN QUE:
U = {1,2,3,4,5,6} A = {1,2,3} C=
{3,4}
EN ESTE CASO LOS SUBCONJUNTOS DE INCOMPATIBLES, ESTO ES
U, A
Y
C, NO SON
A I C = {3}
ENTONCES LA PROBABILIDAD DE QUE SE DE EXPRESASA POR EL MODELO
A o C
QUEDA
P (A U C) = P (A) + P(C) - P (A I C) DEBEMOS RESTAR LA PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN P(A I C) = {3} ,PUES EL EVENTO ELEMENTAL {3} INTERVIENE A LA VEZ EN A Y
C .TIENE SU PROBABILIDAD CONTADA DOS VECES EN P(A) + P(C) : UNA VEZ EN P(A) Y OTRA EN P(C) . ES EN ESTA IDEA QUE SE EN
BASA EL MODELO MATEMÁTICO EXPUESTO ANTERIORMENTE. PARA EL PROBLEMA, SE TIENE:
P(A U C) =
3 2 1 + 6 6 6
P(A U
4 6
B)
=
OTRO RESULTADO QUE ADMITIREMOS ES EL SIGUIENTE: PARA TODO EVENTO A , LA PROBABILIDAD DE A ES SIEMPRE POSITIVA Y MENOR O IGUAL A 1 , ES DECIR ,
0 ≤ P(A)
≤
1
VOCABULARIO RESPECTO A EVENTOS O SUCESOS
EN UNA EXPERIENCIA ALEATORIA, EL UNIVERSO U, REPRESENTA EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES.
•
UN SUCESO O UN EVENTO ESTÁ REPRESENTADO POR UN SUBCONJUNTO DE
U
•
UN EVENTO O SUCESO ELEMENTAL SE REPRESENTA POR UN SUBCONJUNTO QUE TIENE UN SOLO ELEMENTO.
•
DOS SUCESOS O EVENTOS SON INCOMPATIBLES O DISJUNTOS SI Y SOLAMENTE SI LA INTERSECCIÓN ENTRE ELLOS ES VACÍA ,ESTO ES : A I B = Φ
•
UN EVENTO CONTRARIO A UN EVENTO A SE REPRESENTA POR EL CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS DE U QUE NO PERTENECEN A , ES DECIR POR LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO COMPLEMENTARIO DE A . POR ELLO TAMBIÉN,
EL EVENTO CONTRARIO SE LLAMA EVENTO COMPLEMENTARIO. CALCULO DE PROBABILIDADES: *LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO DE UN UNIVERSO FINITO U ES LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE LOS EVENTOS ELEMENTALES QUE LO CONSTITUYEN.
•
LA EQUIPROBABILIDAD CORRESPONDE AL CASO EN QUE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD.
SE TIENE ENTONCES:
• •
NÚMERODEELEMENTOSDEA NÚMERODEELEMENTOSDEU NÚMERODECASOFAVORABLES P(A) = NÚMERODECASOSPOSIBLES
P(A) =
• SI A, B SON EVENTOS INCOMPATIBLES O DISJUNTOS , ENTONCES • P(A U B) = P(A) + P (B). •
Si A Y B SON EVENTOS CUALESQUIERA , ENTONCES : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A I B) PARA TODO EVENTO A , 0 ≤ P(A) ≤ 1 CASO PARTICULAR IMPORTANTE : EQUIPROBABILIDAD LA EQUIPROBABILIDAD C ORRESPONDE AL CASO EN QUE TODOS LOS SUCESOS ELEMENTALES
TIENEN IGUAL PROBABILIDAD. (EL PREFIJO AQUÍ SIGNIFICA IGUAL) ACTIVIDAD 1.TOMEMOS UN NAIPE ESPAÑOL Y CONSIDEREMOS EL EVENTO SACAR UNA CARTA AL AZAR.
•
¿CUÁL ES EL CONJUNTO UNIVERSO
• • • • • • • •
¿CUÁL ES EL SUCESO ELEMENTAL ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DEL SUCESO ELEMENTAL SI HAY 10 CARTAS CON ORO EN EL MAZO DE CARTAS ESPAÑOLAS. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE “SACAR UN ORO “ ¿CUÁL E S LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “MONO” ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “AS” O UN “CABALLO” ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN SIETE DE ESPADA O UN CUATRO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “ORO” O UN CUATRO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “MONO” O UNA “COPA”
RESPUESTAS:
40 CARTAS UNA CARTA DEL NAIPE 1 • 40 10 • 40 12 • 40 • P(AS U CABALLO ) = P(AS) + P(CABALLO) 4 4 + - 0 = = 40 40 *P(SIETE ESPADA o CUATRO) = P(SIETE ESP )
• •
- P(AS I CABALLO ) 8 = 40 + P( 4) - P(7 ESP I 4 )
1 4 5 1 + 0 = = 40 40 40 8 *P(ORO o 4 ) = P(ORO ) + P(4) - P (ORO I 4 ) 10 4 1 13 = + = 40 40 40 40 NOTA: HAY UN CUATRO QUE ADEMÁS ES ORO.
*HAY 12 MONOS DE 40 HAY 10 COPAS EL 10 DE COPAS ES MONO Y COPA, EL CABALLO DE COPAS ES MONO Y COPA, EL REY DE COPAS ES MONO Y COPA. HAY EN TOTAL 3 CARTAS EN LA INTERSECCIÓN. ENTONCES:
P(MONO o COPA) = P(MONO ) + P(COPA ) - P (MONO I COPA ) 12 10 3 = + 40 40 40 19 = 40
ACTIVIDAD 2.- EN UN NAIPE INGLES DE 52 CARTAS, EL EVENTO ES “SACAR UNA CARTA”. SUPONIENDO EQUIPROBABILIDAD EN LAS SACADAS DE CARTAS. SE DEFINE LOS EVENTOS: E 1 : LA CARTA ES UN TREBOL E 2 : LA CARTA ES UNA FIGURA (CABALLERO, REINA, REY) E 3 : LA CARTA ES UN CINCO.
DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR UNA CARTA SE VERIFIQUE LOS EVENTOS O SUCESOS: 1.- E 1 o E 2 2.- E 1 o E 3 3.- E 2 y E 3
ACTIVIDAD 3.-
EL DADO CARGADO.
UN DADO ESTÁ CARGADO DE MODO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA EL 6 ES 1 . MIENTRAS QUE LOS OTROS 5 SUCESOS TIENEN LA 3 MISMA PROBABILIDAD. DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE CAD UNO DE LOS SIGUIENTES EVENTOS:
1.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA 3 2.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA UN NÚMERO PAR. 3.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA UN NÚMERO IMPAR.
RESPUESTAS: EL RAZONAMIENTO ES EL SIGUIENTE:
SE TIENEN SEIS OPCIONES, DE LAS CUALES UNA DE ELLAS, EL, 6 ESTÀ PREFIJADA CON UNA PROBABILIDAD DE 1 , POR LO QUE LAS OTRAS 3 CINCO OPCIONES (1, 2, 3, 4,5) TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD DE SALIR. COMO LA PROBABILIDAD DE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES, EN SUMA EQUIVALE A 1, ENTONCES: 1.-
P1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 +
1 = 1 3
COMO: P 1 = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 =
; P6 =
1 3
1 1 1 − 5 3
P3 =
2 15
2.-QUE SALGA PAR SIGNIFICA QUE SALGA 2, 4 SI: A = {2} B = {4} C = {6}
o 6
LUEGO P (A U B U C) = P(A) + P (B) + P(C) =
2 2 1 + + 15 15 6
=
13 30
3.- QUE SALGA IMPAR SIGNIFICA: 1, 3 , 5 APLICANDO UN RAZONAMIENTO ANÁLOGO AL ANTERIOR, SE TIENE: P
(1, 3, 5 )
=
2 2 2 + + 15 15 15
=
6 2 = 15 5
CONTINUEMOS ANALIZANDO OTRAS MODELACIONES MATEMÁTICAS.
EVENTOS O SUCESOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN:
EN LA BIBLIOTECA DEL LICEO PARROQUIAL SAN ANTONIO SE DISPONE DE UN TEXTO DE ALGEBRA DE BALDOR Y UN TEXTO DE ARIMÉTICA DE BALDOR . LA PROBABILIDAD DE QUE EL PRIMERO ESTÉ DISPONIBLE ES DE UN 0.92 (92 %) Y LA PROBABILIDAD DE QUE EL SEGUNDO ESTÉ DISPONIBLE ES DE UN 0.98 (98 %). SI EL PROFESOR DE MATEMÁTICA ORGANIZA SUS ACTIVIDADES EN LA SALA DE CLASES DE TAL MODO QUE REQUIERA DE AMBOS TEXTOS. ¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS ESTEN DISPONIBLES *¿EL EVENTO DE QUE EL ALGEBRA ESTÉ DISPONIBLE , TIENE QUE VER CON QUE EL ARITMÉTICA ESTÉ DISPONIBLE ‘ *¿SI LA PROBABILIDAD DE QUE EL ALGEBRA ESTÉ DISPONIBLE ES MENOR QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL ARITMÉTICA ESTÉ DISPONIBLE INFLUIRÁ EN LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS ESTÉN DISPONIBLES AL MISMO TIEMPO ‘
COMENTARIO: EL HECHO QUE UNO DE LOS TEXTOS ESTE DISPONIBLE NO INFLUYE EN EL HECHO QUE EL OTRO ESTE DISPONIBLE, EN ESTE CASO DECIMOS QUE LOS SUCESOS SON INDEPENDIENTES ENTRE SI POR TANTO, LA PROBABILIDAD DE UNO DE ELLOS NO SE VE AFECTADA POR LA DEL OTRO.
MODELANDO LA SITUACIÓN EN TERMINOS CONJUNTISTAS: LLAMEMOS P(A): EL ÁLGEBRA ESTA DISPONIBLE P
(B): EL ARIMÉTICA ESTE DISPONIBLE
LA CONDICIÓN DE QUE AMBOS ETEN DISPONIBLES AL MISMO TIEMPO ES QUE SE TIENE QUE DAR
P(A)
y
P
(B)
AL MISMO TIEMPO
EN LENGUAJE CONJUNTISTA: P(A I B)
= P(A) * P (B)
AHORA VEA UD. LA RELACIÓN QUE SE DA ENTRE LA MODLACIÓN CONJUNTISTA Y LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS ELEMENTALES RELATIVAS A LAS PROBABILIDADES :
P(A U B) = P(A) + P(B) DISJUNTOS
;A y B
LA UNIÓN SE TRASFORMA EN SUMA
P(A U B) = P(A) +P(B) - P( A I B) ;AEB NO DISJUNTOS P(A I B) = P(A) * P (B) INDEPENDIENTES.
; PARA SUCESOS
APLIQUEMOS ESTAS IDEAS A UN EJEMPLO SENCILLO: SE LANZA UNA MONEDA DOS VECES CONSECUTIVAS .CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER DOS CARAS LA PREGUNTA DE RIGOR ES: ¿EL SEGUNDO LANZAMIENTO ES INDEPENDIENTE DEL PRIMERO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DEL PRIMER LANZAMIENTO
EFECTIVAMENTE,
1 2
¿Y LA DEL SEGUNDO LANZAMIENTO
CORRECTO , TAMBIÉN ES 1/2
ENTONCES P (C y C ) = P(A I B) = P(A) * P (B)
¿Y SI LANZA TRES VECES LA MISMA MONEDA AL AIRE . CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER: *TRES CARAS *TRES SELLOS *LA SERIE: CARA - SELLO - CARA *DOS PINTAS IGUALES
COMO VEMOS UN PROBLEMA COMO ESTE PUEDE TENER M {ULTIPLES VARIACIONES. ES CUESTIÓN DE UN POCO DE IMAGINACIÓN. RESUMAMOS NUEVAMENTE ESTOS CONCEPTOS: (COMO DICE EL DICHO, LO QUE ABUNDA NO DAÑA)
DOS SUCESOS A y B CUYAS PROBABILIDADES SON P(A) y P(B) SON INDEPENDIENTES SI Y SOLAMENTE SI : P( A
I
B) = P(A) * P(B)
ESTUDIEMOS AHORA UN NUEVO PROBLEMA: EN EL OCTAVO AÑO A DEL LICEO SAN ANTONIO HAY 20 ALUMNAS , ENTRE ELLAS HAY 4 ALUMNAS QUE TIENEN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO . EL RECTOR HNO. MARINO SE PRESENTA EN EL CURSO PARA ELEGIR AL AZAR A 2 ALUMNAS PARA EL ACTO DE FIESTAS PATRIAS, DONDE TENDRAN QUE SER LAS LOCUTORAS DE LA CERENONIA. 1.-* ¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE QUE NINGUNA DE LAS 2 LUMNAS ESCOGIDAS TENGA BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO 2.-*¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE ESCOGER A LA PRIMERA ALUMNA SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO 3.-*¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE ESCOGER A LA SEGUNDA ALUMNA SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO
4.-*SI SE LLAMA A1 AL SUCESO:”SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO EN LA PRIMERA ELECCIÓN “ Y A2 AL SUCESO:”SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO EN LA SEGUNDA ELECCIÓN “ ¿QUÉ DIAGRAMA HARÍAS PARA REPRESENTAR ESTA SITUACIÓ *¿QUÉ MODELO MATEMÁTICO CREE ADECUADO PARA REPRESENTAR ESTA SITUACIÓN.
*COMPAREMOS AHORA LAS RESPUESTAS CORRECTAS : 1.-*PARA ELEGIR LA PRIMERA ALUMNA HAY 16 POSIBILIDADES DE 20
16 20 PARA LA SEGUNDA ELECCIÓN LAS OPCIONES SE REDUCEN DE 15 SOBRE 19 15 P2 = 19 P1 =
POR TANTO P 1 * P 2 =
2.-P
1
=
16 20
16 15 12 * = 20 19 19
3.-SI SOLAMENTE LA EXIGENCIA ES PARA LA SEGUNDA ELECCIÓN, LA PRIMERA SE ELIGE UNA ENTRE 20 1 P1= 20 PARA LA SEGUNDA HAY DOS OPCIONES SI EN LA PRIMERA YA FUE ELEGIDA UNA ALUMNA QUE NO TIENE BAJO RENDIMIENTO P 2 SERÁ: 15 P2 = 19 AHORA SI EN LA PRIMERA ELECCIÓN FUE ELEGIDA UNA ALUMNA CON BAJO RENDIMIENTO LAS OPCIONES SE REDUCEN 16 P2 = 19 COMO VE UD. ESTE PROBLEMA TIENE DOS SOLUCIONES. EN TÉRMINOS EXTRICTOS DESDE EL PUNTO DE VISTA ESTADÍSTICO EL MEJOR MODELO ES AQUEL QUE INCLUYE AMBAS OPCIONES, EN ESTE CASO EL SEGUNDO RAZONAMIENTO DEL PROBLEMA. 4.-SEA N: ALUMNAS QUE NO TIENEN BAJO ENDIMIENTO B: ALUMNAS QUE TIENEN BAJO RENDIMIENTO U
=
{
B B B B N N N N N N N N N N N N N N N N
}
OTRA APLICACIÓN DE LA MODELACIÓN CONJUNTISTA ES EL ESTUDIO DE LA: PROBABILIDAD CONDICIONADA O RELATIVA UNA PROBABILIDAD SE DICE CONDICIONADA O RELATIVA AL CONJUNTO A (A ⊆ U ), CUANDO A SE CONSIDERA COMO UNIVERSO LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO B , RELATIVA A , O BAJO CONDICIÓN DE A, SE DEFINE POR: P(A I B) P (B/A) = -------------P(A) EN CONSECUNCIA: P(A/A) = 1
TAMBIÉN SE PUEDE DEFINIR DEL MISMO MODO LA PROBABILIDAD DE A RELATIVA A B, O CONDICIONADA POR B P(A I B) P(A/B) = ------------P (B) EJEMPLO (EL CONCEPTO) SEA
U
, EL UNIVERSO FORMADO POR CINCO FICHAS,
DOS VERDES UNA VERDE MARCADA CON UN SIGNO MAS + UNA VERDE MARCADA CON UN ASTERÍSCO * TRES DE ELLAS ROJAS: DOS ROJAS MARCADAS CON UN + UNA ROJA MARCADA CON * EN CONSECUENCIA PODEMOS REPRESENTAR EL PROBLEMA SEGÚN EL MODELO GRÁFICO:
FICHAS VERDES
FICHAS ROJAS
SEAN LOS SUCESOS: A: SER FICHA VERDE B: SER FICHA CON ASTERÍSCO
P (VERDE CON ASTERÍSCO)
1 5
P(A/B) = ---------------------------------- =
=
P (TENER ASTERÍSCO)
1 3
3 5
EL TEMA DE LAS MODELACIONES CONJUNTISTAS DA PARA MUCHO, PODEMOS SACAR PROVECHO DE ELLA PARA RESFORZAR CONCEPTOS COMO: DIVISIVILIDAD, MÚLTIPLOS ETC.
AHORA RETOMEMOS NUESTRO
AMIGO DADO.
EN UN LANZAMIENTO CUALQUIERA LA OPCIÓN DE OBTENER CUALQUIERA DE LAS SEI PINTAS (1, 2, 3, 4, 5,6) PODEMOS REPRESENTARLA POR P N . POR EJEMPLO: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO, ¿CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 3 PODEMOS ANOTAR ESTA IDEA EN MODELACIÓN CONJUNTISTA COMO : P A = {3} 1 ; HAY UNA OPCIÓN DE LAS SEIS QUE SATISFACE LA DE DONDE: P = 6 CONDICIÓN., DECIMOS MQUE HAY UN CASO FABORABLE DE LOS SEIS POSIBLES. 3
AL CONJUNTO DE TODAS LAS OPCIONES POSIBLES SE LE ASIGNA EL NOMBRE DE “ESPACIO MUESTRAL”
EN EL CASO DEL LANZAMIENTO DE UN DADO EL ESPACIO MUESTRAL CORRESPONDE A: {1,2,3,4,5,6} AHORA CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE EXPERIANCIA: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO .CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER 2; 3; 5 PODEMOS EXPRESAR ESTA IDEA COMO: P A = {2,3,5}
EN TÉRMINOS CONJUNTISTAS PODEMOS HACER EL SIGUIENTE RAZONAMIENTO: 1 P2 = 6
1 P3 = 6
1 P5 = 6 LUEGO: 1 1 1 P 2,3,5 = 6 + 6 + 6
DE DONDE PODEMOS DEDUCIR QUE:
{2,3,5} A
= {3} + {3} + {5} = B ∪ C∪ D
P A = P B + PC + PD INTITUCIONALIZACIÓN: SE ESTABLECE QUE LA PROBABILIDAD DE QUE
SE VERIFIQUE UN EVENTO 1 O UN SUCESSO, EQUIVALE A LA UNIÓN DE AMBOS EVENTOS, ESTO ES EVENTO 1 U EVENTO 2 CUANTITATIVAMENTE ESTA PROBABILIDAD CORRESPONDE A LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE LOS EVENTOS 1 Y 2. EN RESUMEN: P E1OE 2 = P E1 + P 2 APLICACIONES: EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO .CALCULAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER 1.- UN NÚMERO PAR. 2.- UN NÚMERO MENOR QUE 3. 3.- UN NUMERO INFERIOR A 3 (LA PALABRA INFERIOR CORRESPONDE AL SÍMBOLO ≤ , Y ESTRICTAMENTE SUPERIOR AL SÍMBOLO f ) 4.- UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE 2 Y 5 INCLUSIVE 5.-4 o 5 6.-DE OBTENER {2,3} o
{4}
7.-DE OBTENER: {2,4,5}O BIÉN {1,3,6}
CUANDO LA PROBABILIDAD SE ESTABLECE ENTÉRMINOS DEL NÚMERO DE CASOS FAVORABLES SOBRE EL NÚMERO DE CASOS POSIBLES, SE TIENE ENTONCES LA PROBABILIDAD SEGURA. LA PROBABILIDAD DEL EVENTO SEGURO EQUIVALE ENTONCES A 1 P ES = 1 DE ÉSTA MANERA ENTONCES PODEMOS DEFINIR LA PROBABILIDAD COMPLEMENTARIA O CONTRARIA.
CONSIDEREMOS EL EXPERIMENTO ALEATORIO: LANZAR UN DADO Y EL EVENTO E {2,5} , ES DECIR OBTENER UN 2 o UN 5 EN LA TIRADA
CUYA PROBABILIDAD CORRESPONDE A: P E
2 1 = 6 = 3
EL EVENTO COMPLEMENTARIO O CONTRARIO A E, QUE LO
DENOTAREMOS POR E C ES , POR EXTENSIÓN: E C = {1,3,4,6}
CUYA PROBABILIDAD CORRESPONDE A P EC
4 2 = 6 = 3
DE DONDE: P E + P EC = 1 EJEMPLO: SI LA PROBABILIDAD DE QUE HOY LLUEVA, ATENDIENDO A VARIABLES ATMOFÉRICAS Y ESTADISTICAS ES DE 0,38 (38%)... ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE NO LLUEVA .
1-0.38= 0.62
, O BIÉN 62%
CCONCEPTUALIZANDO: SI A ES UN CONJUNTO DE ELEMENTOS QUE REPRESENTA UN EVENTO, DONDE A ⊂ U SE TIENE:
NUMERODEELEMENTOSDEA P(A) = NUMERODEELEMENTOSDEU
, FÓRMULA DE LAPLACE
NO OLVIDAR QUE LOS POR ELLO TIENE SENTIDO HABLAR DE EVENTOS DISJUNTOS. VOLVIENDO A RETOMAR LA IDEA HEMOS ESTABLECIDO QUE LOS EVENTOS SE REPRESENTAN POR CONJUNTOS,
DOS CONJUNTOS A Y B SON DISJUNTOS ⇔
A ∩ B= Φ
ESTO SIGNIFICA QUE LOS EVENTOS A Y B NO PUEDEN REALIZARSE AL MISMO TIEMPO. SE DICE QUE ELLOS SON INCOMPATIBLES O DISJUNTOS. EJEMPLO: CONSIDERE EL EVENTO LANZAR UN PAR DE DADOS SIMULTÁNEAMENTE Y SEAN: A = { LA SUMA DE LAS CARAS SEA PAR B =
{
}
LA DIFERENCIA DE LAS CARAS SEA 1
}
EN ESTE CASO A I B = Φ EL ESPACIO MUESTRAL DEL LANZAMIENTO DE DOS DADOS SIMULTÁNEAMENTE QUEDA EXPRESADO POR EL MODELO:
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,5)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
PARA EL LANZAMIENTO DE n DADOS SIMULTÁNEAMENTE EL ESPACIO MUESTRAL ESTÁ DADO POR EL MODELO:
6
n
Así si se lanzan 3 dados simultáneamente el número de casos posibles (universo de 3 casos está dado por 6 = 216
RETOMEMOS AHORA UNA SITACIÓN SENCILLA PARA INTRODUCIR OTROS CONCEPTOS:
CONSIDEREMOS EL EVENTO: LANZAR UN DADO, U = {1,2,3,4,5,6} Y SEAN: A = {1,2,3} B = {5,6} C = {3,4}
A Y B SON EVENTOS INCOMPATIBLES, PUESTO QUE LOS CONJUNTOS SON DISJUNTOS, ESTO ES A I B = Φ
POR EL CONTRARIO A Y C NO SON INCONPATIBLES , YA QUE LOS CONJUNTOS A Y C NO SON DISJUNTOS , PUESTO QUE A I C ≠ Φ A I C = {3} NOTA: EN EL EJEMPLO ANTERIOR A U B = {1,2,3,5,6}
.UTILIZANDO EN EL CONJUNTO UNIVERSO U, LAS CONDICIONES QUE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD SE OBTIENE: 3 P(A) = 6
2 P (B) = 6
5 U , ENTONCES: P(A B) = 6
SE PUEDE DEMOSTRAR QUE: P(A U B) = P(A) + P (B) , SIEMPRE QUE LOS EVENTOS A Y B SEAN CONPATIBLES. CASO GENERAL: SI LOS SUBCONJUNTOS INVOLUCRADOS DE U NO SON DISJUNTOS, ESTO ES LA INTERSECCIÓN NO ES VACÍA. RETOMEMOS EL CASO EN QUE: U = {1,2,3,4,5,6} A = {1,2,3}
C=
{3,4}
EN ESTE CASO LOS SUBCONJUNTOS DE U, A Y C, NO SON INCOMPATIBLES, ESTO ES A I C = {3} ENTONCES LA PROBABILIDAD DE QUE SE DE A o C QUEDA EXPRESASA POR EL MODELO P (A U C) = P (A) + P(C) - P (A I C) DEBEMOS RESTAR LA PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN P(A I C) = {3} ,PUES EL EVENTO ELEMENTAL {3} INTERVIENE A LA VEZ EN A Y EN C .TIENE SU PROBABILIDAD CONTADA DOS VECES EN P(A) + P(C) : UNA VEZ EN P(A) Y OTRA EN P(C) . ES EN ESTA IDEA QUE SE BASA EL MODELO MATEMÁTICO EXPUESTO ANTERIORMENTE. PARA EL PROBLEMA, SE TIENE: 3 2 1 U P(A C) = 6 + 6 - 6
4 U P(A B) = 6 OTRO RESULTADO QUE ADMITIREMOS ES EL SIGUIENTE: PARA TODO EVENTO A , LA PROBABILIDAD DE A ES SIEMPRE POSITIVA Y MENOR O IGUAL A 1 , ES DECIR , 0 ≤ P(A) ≤ 1
VOCABULARIO RESPECTO A EVENTOS O SUCESOS
EN UNA EXPERIENCIA ALEATORIA, EL UNIVERSO U, REPRESENTA EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES.
•
UN SUCESO O UN EVENTO ESTÁ REPRESENTADO POR UN SUBCONJUNTO DE U
•
UN EVENTO O SUCESO ELEMENTAL SE REPRESENTA POR UN SUBCONJUNTO QUE TIENE UN SOLO ELEMENTO.
•
DOS SUCESOS O EVENTOS SON INCOMPATIBLES O DISJUNTOS SI Y SOLAMENTE SI LA INTERSECCIÓN ENTRE ELLOS ES VACÍA ,ESTO ES : A I B = Φ
•
UN EVENTO CONTRARIO A UN EVENTO A SE REPRESENTA POR EL CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS DE U QUE NO PERTENECEN A , ES DECIR POR LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO COMPLEMENTARIO DE A . POR ELLO TAMBIÉN, EL EVENTO CONTRARIO SE LLAMA EVENTO COMPLEMENTARIO.
CALCULO DE PROBABILIDADES: *LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO DE UN UNIVERSO FINITO U ES LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE LOS EVENTOS ELEMENTALES QUE LO CONSTITUYEN.
•
LA EQUIPROBABILIDAD CORRESPONDE AL CASO EN QUE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD.
SE TIENE ENTONCES:
• • • • •
NÚMERODEELEMENTOSDEA P(A) = NÚMERODEELEMENTOSDEU NÚMERODECASOFAVORABLES P(A) = NÚMERODECASOSPOSIBLES SI A, B SON EVENTOS INCOMPATIBLES O DISJUNTOS , ENTONCES P(A U B) = P(A) + P (B).
Si A Y B SON EVENTOS CUALESQUIERA , ENTONCES : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A I B) PARA TODO EVENTO A , 0 ≤ P(A) ≤ 1 CASO PARTICULAR IMPORTANTE : EQUIPROBABILIDAD LA EQUIPROBABILIDAD C ORRESPONDE AL CASO EN QUE TODOS LOS SUCESOS ELEMENTALES TIENEN IGUAL PROBABILIDAD. (EL PREFIJO AQUÍ SIGNIFICA IGUAL)
ACTIVIDAD 1.TOMEMOS UN NAIPE ESPAÑOL Y CONSIDEREMOS EL EVENTO SACAR UNA CARTA AL AZAR.
• • • • • • • • •
¿CUÁL ES EL CONJUNTO UNIVERSO ¿CUÁL ES EL SUCESO ELEMENTAL ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DEL SUCESO ELEMENTAL SI HAY 10 CARTAS CON ORO EN EL MAZO DE CARTAS ESPAÑOLAS. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE “SACAR UN ORO “ ¿CUÁL E S LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “MONO” ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “AS” O UN “CABALLO” ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN SIETE DE ESPADA O UN CUATRO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “ORO” O UN CUATRO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR UN “MONO” O UNA “COPA”
RESPUESTAS:
40 CARTAS UNA CARTA DEL NAIPE 1 • 40 10 • 40 12 • 40 • P(AS U CABALLO ) = P(AS) + P(CABALLO) - P(AS I CABALLO ) 4 4 8 = 40 + 40 - 0 = 40 = *P(SIETE ESPADA o CUATRO) = P(SIETE ESP ) + P( 4) - P(7 ESP I 4 )
• •
1 40
+ *P(ORO o 4 ) = P(ORO ) + 10 4 = 40 + 40
4 5 1 40 0 = 40 = 8 P(4) - P (ORO I 4 ) 1 13 - 40 = 40
NOTA: HAY UN CUATRO QUE ADEMÁS ES ORO.
*HAY 12 MONOS DE 40 HAY 10 COPAS EL 10 DE COPAS ES MONO Y COPA, EL CABALLO DE COPAS ES MONO Y COPA, EL REY DE COPAS ES MONO Y COPA. HAY EN TOTAL 3 CARTAS EN LA INTERSECCIÓN. ENTONCES: P(MONO o COPA) = P(MONO ) + P(COPA ) - P (MONO I COPA ) 12 10 3 40 40 - 40 = + 19 40 =
ACTIVIDAD 2.- EN UN NAIPE INGLES DE 52 CARTAS, EL EVENTO ES “SACAR UNA CARTA”. SUPONIENDO EQUIPROBABILIDAD EN LAS SACADAS DE CARTAS. SE DEFINE LOS EVENTOS: E 1 : LA CARTA ES UN TREBOL
E 2 : LA CARTA ES UNA FIGURA (CABALLERO, REINA, REY) E 3 : LA CARTA ES UN CINCO.
DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR UNA CARTA SE VERIFIQUE LOS EVENTOS O SUCESOS: 1.- E 1 o E 2
2.- E 1 o E 3 3.- E 2 y E 3
ACTIVIDAD 3.- EL DADO CARGADO.
UN DADO ESTÁ CARGADO DE MODO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE 1 SALGA EL 6 ES 3 . MIENTRAS QUE LOS OTROS 5 SUCESOS TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD. DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE CAD UNO DE LOS SIGUIENTES EVENTOS:
1.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA 3 2.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA UN NÚMERO PAR. 3.- QUE AL TIRAR EL DADO SALGA UN NÚMERO IMPAR.
RESPUESTAS:
EL RAZONAMIENTO ES EL SIGUIENTE: SE TIENEN SEIS OPCIONES, DE LAS CUALES UNA DE ELLAS, EL, 6 ESTÀ 1 PREFIJADA CON UNA PROBABILIDAD DE 3 , POR LO QUE LAS OTRAS CINCO OPCIONES (1, 2, 3, 4,5) TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD DE SALIR. COMO LA PROBABILIDAD DE TODOS LOS EVENTOS ELEMENTALES, EN SUMA EQUIVALE A 1, ENTONCES:
1.-
P1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5
1
1 + 3 = 1
COMO: P = P 2 = P 3 = P 4 = P 5
1 ; P6 = 3
1 1 − 1 = 5 3
P3 =
2 15
2.-QUE SALGA PAR SIGNIFICA QUE SALGA 2, 4 o 6 SI: A = {2} B = {4} C = {6} LUEGO P (A U B U C) = P(A) + P (B) + P(C)
=
2 2 1 15 + 15 + 6
=
13 30
3.- QUE SALGA IMPAR SIGNIFICA: 1, 3 , 5 APLICANDO UN RAZONAMIENTO ANÁLOGO AL ANTERIOR, SE TIENE:
P
(1, 3, 5 )
2 2 2 = 15 + 15 + 15 6 2 = 15 = 5
CONTINUEMOS ANALIZANDO OTRAS MODELACIONES MATEMÁTICAS. EVENTOS O SUCESOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN:
EN LA BIBLIOTECA DEL LICEO PARROQUIAL SAN ANTONIO SE DISPONE DE UN TEXTO DE ALGEBRA DE BALDOR Y UN TEXTO DE ARIMÉTICA DE BALDOR . LA PROBABILIDAD DE QUE EL PRIMERO ESTÉ DISPONIBLE ES DE UN 0.92 (92 %) Y LA PROBABILIDAD DE QUE EL SEGUNDO ESTÉ DISPONIBLE ES DE UN 0.98 (98 %). SI EL PROFESOR DE MATEMÁTICA ORGANIZA SUS ACTIVIDADES EN LA SALA DE CLASES DE TAL MODO QUE REQUIERA DE AMBOS TEXTOS. ¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS ESTEN DISPONIBLES
*¿EL EVENTO DE QUE EL ALGEBRA ESTÉ DISPONIBLE, TIENE QUE VER CON QUE EL ARITMÉTICA ESTÉ DISPONIBLE ‘ *¿SI LA PROBABILIDAD DE QUE EL ALGEBRA ESTÉ DISPONIBLE ES MENOR QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL ARITMÉTICA ESTÉ DISPONIBLE INFLUIRÁ EN LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS ESTÉN DISPONIBLES AL MISMO TIEMPO ‘
COMENTARIO: EL HECHO QUE UNO DE LOS TEXTOS ESTE DISPONIBLE NO INFLUYE EN EL HECHO QUE EL OTRO ESTE DISPONIBLE, EN ESTE CASO DECIMOS QUE LOS SUCESOS SON INDEPENDIENTES ENTRE SI POR TANTO, LA PROBABILIDAD DE UNO DE ELLOS NO SE VE AFECTADA POR LA DEL OTRO. MODELANDO LA SITUACIÓN EN TERMINOS CONJUNTISTAS:
LLAMEMOS P(A): EL ÁLGEBRA ESTA DISPONIBLE P (B): EL ARIMÉTICA ESTE DISPONIBLE LA CONDICIÓN DE QUE AMBOS ETEN DISPONIBLES AL MISMO TIEMPO ES QUE SE TIENE QUE DAR P(A)
y
P (B) AL MISMO TIEMPO
EN LENGUAJE CONJUNTISTA: P(A I B) = P(A) * P (B)
AHORA VEA UD. LA RELACIÓN QUE SE DA ENTRE LA MODLACIÓN CONJUNTISTA Y LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS ELEMENTALES RELATIVAS A LAS PROBABILIDADES : P(A U
B) = P(A) + P(B)
; A y B DISJUNTOS
LA UNIÓN SE TRASFORMA EN SUMA
P(A U B) = P(A) +P(B) - P( A I B) ;AEB NO DISJUNTOS
P(A
I B) = P(A) * P (B)
;
PARA SUCESOS INDEPENDIENTES.
APLIQUEMOS ESTAS IDEAS A UN EJEMPLO SENCILLO:
SE LANZA UNA MONEDA DOS VECES CONSECUTIVAS .CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER DOS CARAS LA PREGUNTA DE RIGOR ES: ¿EL SEGUNDO LANZAMIENTO ES INDEPENDIENTE DEL PRIMERO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DEL PRIMER LANZAMIENTO
1 EFECTIVAMENTE, 2
¿Y LA DEL SEGUNDO LANZAMIENTO
CORRECTO , TAMBIÉN ES 1/2
ENTONCES P (C y C ) = P(A I B) = P(A) * P (B)
¿Y SI LANZA TRES VECES LA MISMA MONEDA AL AIRE. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER : *TRES CARAS *TRES SELLOS *LA SERIE: CARA - SELLO - CARA *DOS PINTAS IGUALES
COMO VEMOS UN PROBLEMA COMO ESTE PUEDE TENER M {ULTIPLES VARIACIONES. ES CUESTIÓN DE UN POCO DE IMAGINACIÓN. RESUMAMOS NUEVAMENTE ESTOS CONCEPTOS: (COMO DICE EL DICHO, LO QUE ABUNDA NO DAÑA) DOS SUCESOS A y B CUYAS PROBABILIDADES SON P(A) y P(B) SON INDEPENDIENTES SI Y SOLAMENTE SI : P( A I
B) = P(A) * P(B)
ESTUDIEMOS AHORA UN NUEVO PROBLEMA: EN EL OCTAVO AÑO A DEL LICEO SAN ANTONIO HAY 20 ALUMNAS , ENTRE ELLAS HAY 4 ALUMNAS QUE TIENEN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO . EL RECTOR HNO. MARINO SE PRESENTA EN EL CURSO PARA ELEGIR AL AZAR A 2 ALUMNAS PARA EL ACTO DE FIESTAS PATRIAS, DONDE TENDRAN QUE SER LAS LOCUTORAS DE LA CERENONIA. 1.-* ¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE QUE NINGUNA DE LAS 2 LUMNAS ESCOGIDAS TENGA BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO 2.-*¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE ESCOGER A LA PRIMERA ALUMNA SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO 3.-*¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE ESCOGER A LA SEGUNDA ALUMNA SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO
4.-*SI SE LLAMA A1 AL SUCESO:”SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO EN LA PRIMERA ELECCIÓN “ Y A2 AL SUCESO:”SIN BAJO RENDIMIENTO EN LA ASIGNATURA DE CASTELLANO EN LA SEGUNDA ELECCIÓN “ ¿QUÉ DIAGRAMA HARÍAS PARA REPRESENTAR ESTA SITUACIÓ *¿QUÉ MODELO MATEMÁTICO CREE ADECUADO PARA REPRESENTAR ESTA SITUACIÓN.
*COMPAREMOS AHORA LAS RESPUESTAS CORRECTAS :
1.-*PARA ELEGIR LA PRIMERA ALUMNA HAY 16 POSIBILIDADES DE 20
16 P 1 = 20 PARA LA SEGUNDA ELECCIÓN LAS OPCIONES SE REDUCEN DE 15 SOBRE 19 15 P 2 = 19 16 15 12 POR TANTO P 1 * P 2 = 20 * 19 = 19
2.-P
1
16 = 20
3.-SI SOLAMENTE LA EXIGENCIA ES PARA LA SEGUNDA ELECCIÓN, LA PRIMERA SE ELIGE UNA ENTRE 20 1 P 1 = 20 PARA LA SEGUNDA HAY DOS OPCIONES SI EN LA PRIMERA YA FUE ELEGIDA UNA ALUMNA QUE NO TIENE BAJO RENDIMIENTO P 2 SERÁ: 15 P 2 = 19 AHORA SI EN LA PRIMERA ELECCIÓN FUE ELEGIDA UNA ALUMNA CON BAJO RENDIMIENTO LAS OPCIONES SE REDUCEN 16 P 2 = 19 COMO VE UD. ESTE PROBLEMA TIENE DOS SOLUCIONES. EN TÉRMINOS EXTRICTOS DESDE EL PUNTO DE VISTA ESTADÍSTICO EL MEJOR MODELO ES AQUEL QUE INCLUYE AMBAS OPCIONES, EN ESTE CASO EL SEGUNDO RAZONAMIENTO DEL PROBLEMA. 4.-SEA N: ALUMNAS QUE NO TIENEN BAJO ENDIMIENTO B: ALUMNAS QUE TIENEN BAJO RENDIMIENTO U
=
{
B B B B N N N N N N N N N N N N N N N N
}
OTRA APLICACIÓN DE LA MODELACIÓN CONJUNTISTA ES EL ESTUDIO DE LA: PROBABILIDAD CONDICIONADA O RELATIVA UNA PROBABILIDAD SE DICE CONDICIONADA O RELATIVA AL CONJUNTO A (A ⊆ U ), CUANDO A SE CONSIDERA COMO UNIVERSO LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO B , RELATIVA A , O BAJO CONDICIÓN DE A, SE DEFINE POR: P(A I B) P (B/A) = -------------P(A) EN CONSECUNCIA: P(A/A) = 1 TAMBIÉN SE PUEDE DEFINIR DEL MISMO MODO LA PROBABILIDAD DE A RELATIVA A B, O CONDICIONADA POR B P(A I B) P(A/B) = ------------P (B) EJEMPLO (EL CONCEPTO)
U
SEA , EL UNIVERSO FORMADO POR CINCO FICHAS, DOS VERDES UNA VERDE MARCADA CON UN SIGNO MAS + UNA VERDE MARCADA CON UN ASTERÍSCO * TRES DE ELLAS ROJAS: DOS ROJAS MARCADAS CON UN + UNA ROJA MARCADA CON * EN CONSECUENCIA PODEMOS REPRESENTAR EL PROBLEMA SEGÚN EL MODELO GRÁFICO:
FICHAS VERDES
FICHAS ROJAS
SEAN LOS SUCESOS: A: SER FICHA VERDE B: SER FICHA CON ASTERÍSCO
P (VERDE CON ASTERÍSCO) P(A/B) = ---------------------------------- = P (TENER ASTERÍSCO)
1 5
= 3 5
1 3
EL TEMA DE LAS MODELACIONES CONJUNTISTAS DA PARA MUCHO, PODEMOS SACAR PROVECHO DE ELLA PARA RESFORZAR CONCEPTOS COMO: DIVISIVILIDAD, MÚLTIPLOS ETC. PROBLEMA: SE POENEN EN UNA BOLSA FICHAS QUE TIENEN GRABADOS LOS MÚLTIPLOS DE 12, 15 Y 20 SIN REPETIR. CONSIDEREMOS EL EVENTO: SACAR UNA FICHA AL AZAR. CALCULE LA PROBABILIDAD DE QUE EN UN EXTRACCIÓN AL AZAR SE OBTENGA: 1.- DIVISOR DE 12, 15 y 20 2.- SÓLO DIVISOR DE 12 3.- DIVISOR DE 15 4.- DIVISOR DE 12 Y DE 15
RESPUESTAS: APLICANDO MODELACIÓN CONJUNTISTA: SEA A, DIVISORES DE 12, A = {1,2,3,4,6,12} SEA B, DIVISORES DE 15 = {1,3,5,15} SEA C, DIVISORES DE 20 = {1,2,4,5,10,20} SI DISPONEMOS ESTOS DATOS EN UN MODELO GRÁFICO CONJUNTISTA:
,
P=
1 10
2.- CASOS FAVORABLES 2 = {6,12} ,
P=
2 10
1.- CASOS FAVORABLES 1 = {1}
3.- CASOS FAVORABLES 4 = {1,3,5,15} , P
4.-CASOS FAVORABLES 2 = {1,3} ,
UN PROBLEMA ENTRETENIDO
4 10
P=
2 10
MASSÚ Y GONZÁLEZ. MASSÚ Y GONZÁLEZ PARTICIPAN EN UN CAMPEONATO DE TENIS QUE TIENE LAS SIGUIENTES REGLAS: 1.- PREMIO A REPARTIR $ 16.000.000 2.- EL GANADOR SERÁ EL PRIMERO QUE COMPLETE 5 PARTIDOS GANADOS. 3.-SI EL CAMPEONATO SE SUSPENDE POR CUALQUIER EVENTUALIDAD EL PREMIO SERÁ REPARTIDO ATENDIENDO A CRITERIOS PROBABILÍSTICOS. PROBLEMA: CUANDO YA SE HAN JUGADO 5 PARTIDOS, GONZÁLEZ AVENTAJA A MASSÚ POR 3 PARTIDOS GANADOS CONTRA 2 DE MASSÚ 1.- ¿QUÉ PROBABILIDAD EXISTE DE QUE GONZÁLEZ HAYA GANADO EL CAMPEONATO 2.- ¿QUE PROBABILIDAD EXISTE QUE MASSÚ HAYA GANADO 3.- ¿DE ACUERDO A CRITERIOS PROBABILÍSTICOS QUE PARTE DEL PREMIO RECIBE CADA UNO
SOLUCIÓN: PARA ELLO DISPONGAMOS EL SIGUIENTE MODELO GRAFICO, PENSANDO EN QUE EL CAMPEONATO SE HUBIESE CONTINUADO JUGANDO EN CONDICIONES NORMALES. LAS OPCIONES MARCADAS CON ROJO SON LAS QUE CORRESPONDEN EN LA EVENTUALIDAD QUE GONZÁLEZ GANARA EL CAMPEONATO, ES DECIR: 1 1 1 1 1 1 11 + + + + + = 4 8 16 8 16 16 16
LAS OPCIONES QUE TENDRÍA MASSÚ SON LAS MARCADAS CON VERDE: 1 1 1 1 5 + + + = 16 16 16 8 16
COMO VEMOS LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES EVIDENTEMENTE ES 1 ENTONCES EL PREMIO DE REPARTIDO DE ACUERDO A CRITERIOS PROBABILÍSTICOS CORRESPONDE A: 11 DE 16.000.000 = $ 11.000.000 16
GONZÁLEZ:
MASSÚ
:
5 DE 16.000.000 = $ 5.000.000 16
QUE ES DISTINTO Y POCO JUSTO REPARTIR EL PREMIO PROPORCIONALMENTE A LOS PARTIDOS GANADOS, ESTO ES EN LA RAZÓN DE 3: 2
PARTE DE GONZÁLEZ: PARTE DE MASSÚ = 3: 2 PARTE DE GONZÁLEZ + PARTE DE MASSÚ ________________________________________ = = PARTE DE MASSÚ 16.000.000 :
3+2 _____ 2
PARTE DE MASSÚ = 5: 2
PARTE DE MASSÚ = 16.000.000 *
2 5
PARTE DE MASSÚ = $ 6.400.000, EN CONSECUENCIA GONZÁLEZ
= $ 9.600.000
AHORA YA ESTAMOS EN CONDICIONES DE APLICAR ESTOS MODELOS MATEMÁTICOS RESPECTO DEL TEMA DE LAS PROBABILIDADES.
SITUACIONES DE INCERTIDUMBRE SI PONEMOS FICHAS DE DISTINTOS COLORES EN UNA, CAJA Y SACAMOS UNA AL AZAR. ¿SABEMOS DE ANTEMANO QUE COLOR DE FICHA VA A SALIR? SI TIRAMOS EL DADO UNA VEZ. ¿SABEMOS DE ANTEMANO QUE NÚMERO VA A SALIR? SI INTRODUCIMOS EN UNA BOLSA 2 BOLAS ROJAS Y 3 VERDES Y SACAMOS UNA DE ELLAS. ¿PODREMOS DECIR CON ANTICIPACIÓN EL COLOR DE LA BOLA? ESTOS CASOS, Y MUCHOS MÁS, EN LOS QUE NO PODEMOS PREDECIR EL RESULTADO. SE DENOMINAN
¡EXPERIMENTOS ALEATORIOS!
SI CADA UNO DE LOS EXPERIMENTOS INDICADOS MÁS ARRIBA LOS VOLVEMOS A REPETIR, ES SEGURO QUE OBTENDREMOS LOS MISMOS U OTROS RESULTADOS. ESTAMOS ENTONCES ANTE SITUACIONES DE INCERTIDUMBRE. EN LA VIDA COTIDIANA NOS ENCONTRAMOS CON MUCHAS SITUACIONES DE INCERTIDUMBRE. EN UN PARTIDO DE UN EQUIPO DE PRIMERA DIVISIÓN Y OTRO EQUIPO DE TERCERA DIVISIÓN, PROBABLEMENTE GANARÁ EL EQUIPO DE PRIMERA, PERO NO LO PODEMOS AFIRMAR, NO ESTAMOS ABSOLUTAMENTE SEGUROS DE QUE ASÍ OCURRA. CUANDO JUGAMOS AL “ KINO “, DONDE HAY QUE ACERTAR A 15 NÚMEROS DE ENTRE 30 ELEGIDOS AL AZAR, ES POSIBLE QUE ACERTEMOS PERO NO ESTAMOS SEGUROS
SON EXPERIMENTOS ALEATORIOS: EL LANZAMIENTO DE UNA O MÁS MONEDAS “EQUILIBRADAS “ EL LANZAMIENTO DE UN DADO “NO CARGADO “ LA EXTRACCIÓN DA BOLAS O FICHAS DE UNA BOLSA O URNA.
SON JUEGOS DE AZAR: LA LOTERÍA, LAS CARTAS, LA RULETA, EL KINO, EL IMAN, Y OTROS MÁS LOS GENES QUE HEREDAMOS QUE CONFORMAN NUESTRA EXTRUCTURA FISICA, EMOCIONAL Y CEREBRAL TAMBIEN ESTAN SOMETIDAS A UN COMPONENTE ALEATORIO. EN NUESTRO PROPIO NACIMIENTO ESTÁ PRESENTE ESTE COMPONENTE, YA QUE CUANDO SE ENGENDRA UN HIJO, NO SE SABE SI VA A SER NIÑO O NIÑA. EN UN JUEGO DE AZAR EN DONDE SE ESTABLECEN APUESTAS, ESTAS ESTARÁN EN FUNCIÓN DE LA POSIBILIDAD DE ACERTAR. ASÍ EN LA RULETA, EL PREMIO POR ACERTAR EL COLOR DEL NÚMERO DONDE SE SITÚE LA BOLA (ROJO O NEGRO) SERÁ MENOR QUE SI SE ACIERTA EL NÚMERO EN QUE SE SITÚA (DEL 0 AL 36) EL PREMIO POR ACERTAR AL KINO ES BASTANTE ALTO , PERO NO ES MUCHO , COMPARADO CON LA CANTIDAD DE BOLETOS QUE SE PONEN A LA VENTA , Y CON LA POSIBILIDADES REALES DE ACERTAR A UNA COMBINACIÓN ENTRE …….MILES ACTIVIDAD:
1.-INDICA AL MENOS TRES SITUACIONES DE INCERTIDUMBRE QUE NO SE HAYAN DICHO ANTES. 2.-SEÑALA CUÁLES DE LAS SIGUIENTES SITUACIONES SON ALEATORIAS. 2.1.- MEZCLAR CAFÉ Y AZÚCAR 2.2.- JUGAR A LAS CARTAS 2.3.- LA SUMA OBTENIDA AL LANZAR UN PAR DE DADOS. 2.4.-LAS PINTAS OBTENIDAS AL LANZAR UNA MISMA MONEDA TRES VECES SEGUIDAS. FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA SUPONGA QUE LANZAMOS UN DADO 100 VECES SEGUIDAS Y OBTENEMOS LOS SIGUIENTES RESULTADOS CARA CARA CARA CARA CARA CARA
1: 15 2: 17 3: 18 4: 16 5: 16 6: 18
VECES VECES VECES VECES VECES VECES
¡ESTOS DATOS SIMPLES SE DENOMINAN FRECUENCIAS ABSOLUTAS!
LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS SE PUEDEN ORDENAR EN LA SIGUIENTE TABLA, DE DONDE DEDUCIREMOS LAS RESPECTIVAS FRECUENCIAS RELATIVAS CARA
FRECCUENCIA ABSOLUTA (Fi)
FRECUENCIA RELATIVA(Fr)
1
15
15 100
2
17
3
18
4
16
5
16
6
18
17 100 18 100 16 100 16 100 18 100 100 = 1 100
TOTAL
N = 100
FRECUENCIA RELATIVA PORCENTUAL(Fr%) 15 * 100% = 15% 100 17% 18 % 16 % 16 % 18% 100 %
A PARTIR DE ESTOS DATOS SE PUEDEN DEDUCIR ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LAS DISTINTAS FRECUENCIAS : RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS 1.- ¿ENTRE QUE VALORES VARÍA LA FRECUENCIA ABSOLUTA? 2.- ¿A CUÁNTO EQUIVALE LA SUMA TOTAL DE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS? 3.- ¿QUÉ MODELO MATEMÁTICO EXPRESA LA FRECUENCIA RELATIVA 4.-¿CUÁL ES LA SUMA DE TODAS LAS FRECUENCIAS RELATIVAS? , ¿CUÁL ES EL VALOR MÍNIMO DE ESTAS FRECUENCIAS? , ¿Y EL VALOR MÁXIMO? 5.-¿CUÁL ES EL MODELO MATEMÁTICO PARA EXPRESAR EL VALOR DE LA FRECUENCIA PORCENTUAL? 6.-¿CUÁNTO ES LA SUMA DE TODAS LAS FRECUENCIAS RELATIVAS PORCENTUALES? ¿PUEDE SER UN NÚMERO MAYOR QUE ESTE VALOR? RESPUESTAS : 1.- 15 y 18 2.-100 N ° DE − DATOS − OBSERVADOS 3.N ° − TOTAL − DE − DATOS 15 18 4.-1 ; ; 100 100 5.-Fr * 100% 6.-100% , No ACLAREMOS : LA SUMA DE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS CORRESPONDE AL TOTAL DE LOS DATOS OBSERVADOS LA FRECUENCIA RELATIVA DE UN SUCESO PUEDE SER CUALQUIER NÚMERO ENTRE 0 y 1. LA SUMA DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS DE UNA DISTRIBUCIÓN ES 1 LA SUMA DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS PORCENTUALES CORRESPONDE AL 100% COMPUTADOR: USANDO EL PROGRAMA EXCEL DE MICROSOFT PUEDE ESCRIBIR EN UNA CELDA LA SIGUIENTE FÓRMULA: = ALEATORIO, ENTRE (1; 6) Y LUEGO COPIAR ESTA FÓRMULA 50 VECES.CADA VEZ QUE ABRAS LA PÁGINA LOS NÚMEROS CAMBIAN.
ACTIVIDAD: LANZA DOS MONEDAS AL AIRE 20 VECES. ORGANIZA TUS DATOS EN UNA TABLA Y CALCULA 1.- LA FRECUENCIA RELATIVA DE OBTENER CARA Y SELLO 2.-LA FRECUENCIA RELATIVA PORCENTUAL DE OBTENER SELLO Y SELLO 3.-LA SUMA DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS DE OBTENER TODAS LAS POSIBLES OPCIONES. ACTIVIDAD: SIMULA EL LANZAMIENTO DE UN DADO... 1.- ESCRIBA UNA FUNCIÓN QUE LE PERMITA GENERAR NÚMEROS DEL 1 AL 6 Y REPITA ESTO 50 VECES 2.- COSTRUYA UNA TABLA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS 3.- ¿QUÉ PASA SI SON 1000 LANZAMIENTOS? ¿A QUÉ VALOR SE APROXIMA CADA OBSERVACIÓN? PROBABILIDAD. DATOS QUE HAY QUE TENER EN CUENTA! HAN SIDO MUCHOS LOS MATEMÁTICOS QUE CONTRIBUYERON EN EL ESTUDIO DE LAS PROBABILIDADES. ALGUNOSDE ELLOS SON: GALTON, PEARSON, LAPLACE Y CHEBYSHEV. LAPLACE: FUE DESPRECIADO POR SU OPORTUNISMO POLITICO AUNQUE ADMIRADO POR SUS CONOCIMIENTO. PARA EL LAMATEMÁTICA ERA UNA HERRAMIENTA QUE USABA CON GRAN DESTREZA. DIJO QUE EL AZAR NO SE DERIVA DE LA REALIDAD SINO DE LA IGNORANCIA ACERCA DE ESA REALIDAD Y, LA PROBABILIDAD SU EXTENSIÓN MATEMÁTICA. EL AZAR Y LA GENÉTICA. CADA UNO DE NOSOTROS POSEE EN SU MATERIAL GENÉTICO LA INFORMACIÓN CORRESPONDIENTE A LAS CARATERÍSTICAS QUE SE HEREDAN DE LOS PADRES. UNA DE ESTAS CORRESPONDEN AL COLOR DE LOS OJOS: OSCUROS O CLAROS MENDEL, UN MONJE AUSTRIACO, PLANTEÓ QUE EN LA HERENCIA GENÉTICA, CADA CARACTERÍSTICA ESTÁ DETRMINADA PPOR DOS FACTORES (GENES), UNO DADO POR LA MADRE Y EL OTRO NATURALMENTE POR EL PADRE, Y ADEMÁS, QUE EXISTEN UNAS CARACTERÍSTICAS DOMINANTES. SE CUMPLE QUE EL FACTOR OJOS OSCUROS DOMINA SOBRE EL FACTOR OJOS CLAROS, ES DECIR, UNA PERSONA QUE TIENE OJOS OSCUROS ES PORQUE EN SU INFORMACIÓN GENÉTICA APARECEN LOS DOS FACTORES CON EL GEN OJOS OSCUROS O BIÉN UN GEN OJOS OSCUROS Y OTRO GEN OJOS CLAROS.
PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA DE QUE OJOS OSCUROS Y OTRA DE OJOS CLAROS TENGAN HIJOS DE OJOS OSCUROS, OBSERVA LOS SIGUIENTES ESQUEMAS Y COMPLETA.
EN LA POSIBILIDAD 1, TODA LA PRIMERA GENERACIÓN TIENE OJOS OSCUROS PERO POSEE EL FACTOR OJOS CLAROS; EN LA SEGUNDA POSIBILIDAD, LA MITAD DE LA PRIMERA GENERACIÓN TENDRÁ OJOS OSCUROS Y LA OTRA OJOS CLAROS. SI CADA UNO DE LOS PADRES TIENE OJOS OSCUROS (OO), LA PROBABILIDAD DE QUE SU HIJO TENGA OJ0S OSCUROS ES 1, MIENTRAS QUE SI POSE LA CONBINACIÓN (OC) EN SU INFORMACIÓN GNÉTICA, LA PROBABILIDAD ES 0,5
ACTIVIDAD: 1.- ¿QUÉ PROBABILIDD EXISTE DE QUE DOS PERSONAS DE OJOS OSCUROS TENGAN HIJOS DE OJOS CLAROS?