Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Económicas y Financieras Carrera de Economía Econometría de Datos de Panel

Parte I

Modelos de Panel Lineales Agrupamiento de Datos de Sección Cruzada Julio Humérez Quiroz

Cochabamba, enero de 2013

Agrupamiento de Datos de Sección Cruzada Visión tridimensional de un panel

2

Agrupamiento de Datos de Sección Cruzada Supuestos: Se dispone de una muestra aleatoria de la población. Esto es, tenemos observaciones de corte transversal {(Xj, yj): j = 1, 2, …, N} que son i.i.d. Xj es una matriz TxK que incluye como primera columna un vector Tx1 de unos e yj es un vector Tx1.

3

Agrupamiento de Datos de Sección Cruzada El modelo lineal multivariante para una muestra aleatoria de la población puede escribirse como:

yj = Xj β + uj

(1)

donde β es el vector, Kx1, de parámetros a estimarse y uj es un vector Tx1 de perturbaciones no observables.

4

Agrupamiento de Datos de Sección Cruzada Dado el modelo planteado en (1), la pregunta relevante es ¿cuáles son los supuestos que se necesitan para estimar β consistentemente?. Una posibilidad es asumir que xjt y ujt son ortogonales en sentido condicional: E(ujt | xjt) = 0, t= 1, 2, …, T

(2)

Esta relación recibe el nombre de exogeneidad contemporánea de xjt. 5

Agrupamiento de Datos de Sección Cruzada Es importante distinguir el supuesto de la ecuación (2) del más fuerte: E(ujt | xj1, xj2, …, xjT) = 0, t = 1, 2, …,T

(3)

denominado exogeneidad estricta de las variables explicativas ya que implica que ujt no está correlacionado con las variables explicativas en ninguno de los periodos temporales. La estimación consistente de β depende crucialmente de si se asume (2) ó (3). 6

Estimación MCO En general, para estimar β en (1) por MCO en forma consistente necesitamos: Supuesto 1:

E(Xj’ uj) = 0

Este supuesto implica que E(uj) = 0. En el caso de datos de panel X uj = ∑t =1 x jt 'ujt , por lo ' j

t

tanto una condición natural para que el supuesto 1 se satisfaga es E(xjt′ ujt) = 0, t = 1, 2, …, T. 7

Estimación MCO Nota: La ecuación anterior no impone exogeneidad estricta. Bajo el supuesto 1, el vector β satisface: uj E[Xj’ (yj - Xj β)] = 0 E(Xj’Xj) β = E (Xj’ yj)

(4)

Para estimar β necesitamos asumir que este es el único vector Kx1 que satisface (4). 8

Estimación MCO Supuesto 2. A ≡ E (Xj′Xj) es una matriz no aleatoria y no singular. Es decir, Rango[E (Xj′Xj)]=K Bajo los supuestos 1 y 2 podemos escribir:

β = [E(Xj′Xj)]-1 E (Xj′ yj)

(5)

El principio de analogía sugiere estimar β con el análogo muestral de (5) −1

 −1 N '  ˆ β =  N ∑ X j X j  j =1  

 −1 N '  N ∑ X j yj    j = 1  

9

Estimación MCO Note que en la ecuación anterior N

∑

j =1

X 'j

Xj =

N T

' ∑ ∑ x jt j =1 t =1

N

x jt y

∑

j =1

X 'j

N T

y j = ∑ ∑ x 'jt y jt j =1 t =1

Por lo tanto, −1

N T     −1 ' −1 ' ˆ β =  N ∑∑ x jt x jt   N ∑∑ x jt y jt  j =1 t =1 j =1 t =1     N

T

( PMCO)

Usualmente este estimador recibe el nombre de Estimador Pool (PMCO).

10

Estimación MCO Teorema 1. Bajo los supuestos 1 y 2 el estimador PMCO es consistente. −1

 −1 N T '   −1 N T '  βˆ =  N ∑∑ x jt x jt   N ∑∑ x jt y jt      j =1 t =1 j =1 t =1

( PMCO )

−1

 −1 N T '   −1 N T '    = β +  N ∑∑ x jt x jt   N ∑∑ x jt u jt      j =1 t =1 j =1 t =1 −1

T T     p ' '    → β + E ∑ x jt x jt  E ∑ x jt u jt   t =1   t =1 

A-1 (sup. 2)

0

(sup. 1)

11

Estimación MCO Para realizar inferencia estadística necesitamos una estimación de la varianza asintótica. La varianza asintótica de βˆ se estima mediante: −1

     ' ' ' ' ˆ V ≡  ∑ X j X j   ∑ X j uˆ j uˆ j X j  ∑ X j X j   j =1   j =1  j =1  N

N

N

−1

(6)

donde uˆ j = yj − X j βˆ 12

Estimación MCO • Observación 1. Bajo los supuestos 1 y 2 se puede realizar inferencia estadística sobre β porque βˆ se distribuye con una distribución normal con media β y matriz de varianzas y covarianzas dada por la ecuación (6). • Observación 2. La raíz cuadrada de los elementos de la diagonal principal de (6) corresponde a los errores estándar asintóticos de los estimadores.

13

Estimación MCO • Observación 3. El cociente t =βˆ j / se( βˆ j ) , tiene distribución normal bajo la hipótesis nula βj = 0. Usualmente estos estadísticos son tratados siguiendo una distribución tstudent con NT-K grados de libertad, que es una aproximación asintóticamente válida. • Observación 4. La ecuación (6) es válida sin que sea necesario ningún supuesto sobre el segundo momento de los errores.

14

Modelos de Panel Lineales La observación 4 implica que la matriz T× ×T de varianzas y covarianzas de los errores no está restringida de ninguna manera (i.e., Ω ≡ E(uj u’j) ). Ω no restringida permite cualquier tipo de correlación serial y varianzas de los disturbios que varíen en el tiempo. Inferencia sobre múltiples hipótesis puede realizarse utilizando el estadístico de Wald.

15

Estimación MCO El estadístico (robusto) de Wald para contrastar la hipótesis nula H0: Rβ = r, donde R es Q×K con rango Q y r es Q×1 sigue la expresión usual:

(

W = R βˆ − r

) ( RVˆ R ') ( R βˆ − r ) −1

'

bajo H0 , W  →χ d

2 Q

donde Q es el número de restricciones lineales bajo Ho. El test de Wald permite contrastar cualquier hipótesis sobre β sin tener que asumir homocedasticidad ni independencia serial de los errores. 16

Estimación MCO Para aplicar los estadísticos usuales de MCO para la estimación pool, necesitamos asumir homocedasticidad e incorrelación serial. Las formas más débiles de estos supuestos son: Supuesto 3:

a) E(ujt2 xjt’ xjt) = σ2 E(xjt’ xjt), t = 1, 2, …, T y σ2 = E(ujt2) ∀t b) E(ujt ujs xjt’ xjs) = 0, t ≠ s, t,s = 1, 2, …, T 17

Estimación MCO El supuesto 3 implica que el estimador apropiado es,

 2 ' ˆ V = σˆ  ∑∑ x jt x jt   j =1 t =1  N

T

−1

En la ecuación anterior, σˆ 2 es el estimador usual de la varianza de los residuos del modelo Pool estimado por MCO. Si el supuesto 3 se satisface, entonces los estadísticos usuales, t y F son aproximadamente válidos. Volviendo a la especificación más general, si el supuesto 3 no se satisface, una alternativa a MCO es mínimos cuadrados generalizados (GLS). 18

Estimación por GLS Para establecer la consistencia de GLS necesitamos reforzar el supuesto 1. Supuesto 1’. E(Xj ⊗ uj) = 0. Esto es, cada elemento de uj no está correlacionado con cada elemento de Xj. Una condición suficiente para que se cumpla el supuesto 1’ es E(uj | Xj) =0. En lugar del supuesto 2, necesitamos Supuesto 2’. Ω es definida positiva y E(Xj’ Ω-1 Xj) no es singular. 19

Estimación por GLS Multiplicando el modelo (1) por Ω-1/2 tenemos: Ω-1/2 yj = Ω-1/2 Xj β + Ω-1/2 uj yj* = Xj* β + uj* (1’) Ahora E(uj* uj*’) = IT. Aplicando MCO a (1’) obtenemos: ~  N *' *  β =  ∑ X j X j   j =1 

−1

 N *' *  ∑ X j yj  =   j = 1  

 N ' −1  ∑ X j Ω X j    j = 1  

−1

 N ' −1  ∑ X j Ω yj    j = 1   20

Estimación por GLS El estimador de GLS es consistente, −1

N     ' − 1 ' −1 ɶ β = ∑ X j Ω X j  ∑ X j Ω yj   j =1   j =1  N

( SGLS )

−1

N     ' −1 ' −1 = β + ∑ X j Ω X j  ∑ X j Ω uj   j =1   j =1  = β + A −1 × 0 N

p

→β

21

Estimación por FGLS Para estimar el modelo por GLS necesitamos conocer Ω. En la práctica rara vez conocemos esta matriz y el método no puede ser utilizado empíricamente. Sin embargo, existe un método que es asintóticamente equivalente conocido como mínimos cuadrados generalizados estimados o FGLS. En FGLS reemplazamos Ω con una estimación consistente.

22

Estimación por FGLS En general se utiliza el siguiente procedimiento: ˆ

(1) Obtenga el estimador MCO de β, βˆ

ˆˆ ˆ (2) Obtenga los residuos uˆ j = yj − X j β N ~ (3) Estime Ω mediante Ω = N −1 ∑ uˆˆ j uˆˆ 'j j =1

23

Estimación por FGLS Entonces el estimador FGLS de β está dado por:

  ' ~ −1 β =  ∑ X j Ω X j   j =1  ~ˆ

N

−1

 N ' ~ −1  ∑ X j Ω yj    j = 1  

  ' ~ −1 = β +  ∑ X j Ω X j   j =1  N

−1

( FGLS )

 N ' ~ −1  ∑ X j Ω uj     j =1 

24

Estimación por FGLS Observación 5: Empíricamente, la equivalencia asintótica de los estimadores de SGLS y FGLS implica β usando que para realizar inferencia asintótica sobre ~ FGLS, no hay que preocuparse de que Ω es un estimador de Ω. Resumen: Bajo los supuestos (1’) y (2’),

~ˆ

d N (β − β )  → Normal(0,A −1 B A −1 )

25

Estimación por FGLS Bajo FGLS un estimador consistente de A es: N ~ −1 ' ~ −1 A ≡ N ∑ X jΩ X j j =1

Un estimador consistente de B es: N

ɶ −1uɶ uɶ' Ω ɶ −1 X , Bɶ ≡ N −1 ∑ X 'j Ω j j j j =1

ˆ con uɶ j = yj − X j βɶ 26

Estimación por FGLS Usando los resultados anteriores una estimación de la varianza asintótica del estimador FGLS es: ∧

~ˆ ~ −1 ~ ~ −1 ˆ V = AVar ( β ) = A B A / N =   ' ~ −1 =  ∑ X j Ω X j   j =1  N

−1

   ' ~ −1 ~ ~ ' ~ −1 ' ~ −1  ∑ X jΩ u j u j Ω X j   ∑ X jΩ X j     = 1 = 1 j j    (8) N

N

27

−1

Estimación por FGLS La especificación anterior es la más general que se pueda tener en términos de los supuestos acerca de la estimación de la varianza asintótica. Supuesto 3’. E(Xj’Ω-1ujuj’Ω-1Xj) = E(Xj’Ω-1Xj), con Ω ≡ E(ujuj’). Bajo los supuestos 1’, 2’ y 3’, la varianza asintótica del estimador FGLS es:

~ˆ

AVar ( β ) = A / N = [ E ( X Ω X j )] / N −1

' j

−1

−1

28

Estimación por FGLS Uno obtiene un estimador consistente de la varianza asintótica usando un estimador consistente de A. N   −1 ' ˆ −1 ˆ AVar ( β ) = A / N =  ∑ X j Ω X j   j =1  ∧

~ˆ

−1

(9)

Las desviaciones estándar asintóticas de los coeficientes estimados se obtienen en forma usual utilizando la raíz cuadrada de la diagonal principal de (8) o de (9).

29

Estimación por FGLS Contrastes de múltiples hipótesis pueden realizarse utilizando el estadístico de Wald definido anteriormente en la ecuación (WALD). La única decisión importante es la elección de la estimación de la varianza asintótica correcta. El estadístico de Wald estándar usa (9) mientras que el robusto utiliza (8).

30

Estimación por FGLS Contraste de Correlación Serial en PMCO Supongamos correlación serial de primer orden:

ujt = α1 ujt-1 + ejt, con E(ejt|Xjt, ujt-1, …) = 0. LM Test para H0: α1 = 0 1) Estime por MCO: yjt = xjt β + ujt y obtenga ûjt 2) Estime por MCO: ûjt = xjt β + α1 ûjt-1 + ejt (ec. aux.) 3) LM = NT·Raux2 ~ χ12 4) Regla de decisión: si el valor-p(LM) < nivel de error del 31 test, entonces rechace H0.

Estimación por FGLS Contraste de Heterocedasticidad en PMCO: Este test es válido si se asume (1’’): E(ujt|xjt)=0, t=1, 2, ...,T. Entonces, H0: E(ujt2|xjt)=σ2, t=1,2, …, T (homocedasticidad) Bajo H0, ujt2 no está correlacionado con ninguna función de xjt. Denotemos por hjt a un vector de dimensión 1xQ de funciones no constantes de xjt.

32

Estimación por FGLS 1) Estime por MCO: yjt = xjt β + ujt y obtenga ûjt y ûjt2. 2) Estime por PMCO: ûjt2 sobre una constante y hjt y

obtenga el Raux2. 3) LM = NT ·Raux2 ~ χQ2 4) Regla de decisión: si el valor-p(LM) < nivel de error del

test, entonces rechace H0.

33

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Económicas y Financieras Carrera de Economía Econometría de Datos de Panel

Parte I

Modelos de Panel Lineales Agrupamiento de Datos de Sección Cruzada Julio Humérez Quiroz

Cochabamba, enero de 2013