MODELOS LINEALES

Alejandro Vera Trejo

2. MODELOS LINEALES Objetivo Se representará una situación determinada a través de la construcción de una o varias ecuaciones lineales. Se resolverán situaciones reales por medio de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Se aplicaran diferentes métodos de solución en diversas situaciones. Se resolverán sistemas de ecuaciones y se representará su gráfica. Se generará análisis y reflexión sobre una situación de negocio.

2. MODELOS LINEALES 2.1 ¿Qué es una ecuación? La ecuación es el resultado de igualar dos expresiones algebraicas que se llaman lados o miembros de la ecuación.

x 2 − 1 = (x − 1)( x + 1)

x3 − 2 x = 0

A = bh / 2

3x + 2 / 3 = x Resolver una ecuación es encontrar el valor o los valores de una incógnita que hacen que la igualdad sea verdadera.

2. MODELOS LINEALES 2.2 ¿Qué son las ecuaciones lineales? De acuerdo con sus formas y las incógnitas que presentan, las ecuaciones son lineales, cuadráticas, cúbicas, exponenciales, logarítmicas etc. Las ecuaciones lineales con una variable x tienen la siguiente forma:

ax + b = 0

donde

a≠0

Ejemplos

3x + 5 = 8 − x x+ 2/3 = 5− x/2 3750 = 4175 (1 − 3 d )

2. MODELOS LINEALES 2.2 ¿Qué son las ecuaciones lineales? Para obtener la solución se empieza por aislar a la incógnita dejándola sola en un lado de la ecuación. Se suma una x a ambos lados de la ecuación: la x que está restando se pasa sumando al lado izquierdo. También se resta un 5 de cada lado, se suman los términos semejantes y se divide entre 5

3x + 5 = 8 − x ⇒ 3x + x = 8 − 5 4x = 3

⇒ x = 3/ 4

2. MODELOS LINEALES 2.2 ¿Qué son las ecuaciones lineales? Plantear y resolver ecuación lineal:

la

siguiente

La suma de las edades de A y B es 84 años y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades. Supóngase que x = edad de A.

(1)

Como B tiene 8 años menos que x, entonces x - 8 = edad de B. (2) Y la suma de ambas edades es 84 años, entonces x + x - 8 = 84 años. (3)

2. MODELOS LINEALES 2.2 ¿Qué son las ecuaciones lineales? Resolviendo la ecuación (3) x + x = 84 + 8 2x = 92 x = 92/2 = 46 Edad de A = 46 años Edad de B = x – 8 = 46 – 8 = 38 años

2. MODELOS LINEALES 2.3 ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales? Es un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparecen una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz + … = k Donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z, ..., las incógnitas o variables, y k el término independiente (también un valor constante).

2. MODELOS LINEALES 2.3 ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales? Los sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas se denominan cuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incógnitas, que adopta la forma general siguiente:

a1 x + b1 y = k1 a2 x + b2 y = k 2

2. MODELOS LINEALES 2.3 ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

2. MODELOS LINEALES 2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones lineales? Método de igualación Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iníciales. Ejemplo:

3x + 2 y = 8 4x − 3y = 5

2. MODELOS LINEALES 2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones lineales? Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene:

(8

− 2 y 3 (5 + 3 y x = 4 x =

) )

Igualando ambas ecuaciones se tiene:

(8 − 2 y ) = (5 + 3 y ) 3

4

⇒ 4(8 − 2 y ) = 3(5 − 3 y )

Entonces, 32 - 8y = 15 - 9y ⇒ 17y=17 y = 1, sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones x = 2

2. MODELOS LINEALES 2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones lineales? Método de sustitución Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita. Sea el mismo sistema anterior. Despejando x de la primera ecuación:

2. MODELOS LINEALES 2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones lineales? x =

(8

− 2 y 3

)

Sustituyendo en la segunda ecuación: 4 (8 − 2 y ) 32 8 y − 3y = 5 ⇒ − − 3y = 5 3 3 3 32 15 8 y 9 y 17 17 y − = + ⇒ = ⇒ y =1 3 3 3 3 3 3

Como

x =

(8

− 2 y 3

)

⇒ x=2

2. MODELOS LINEALES 2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones lineales? Método de reducción Consta de los siguientes pasos: •Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. •Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita. •Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iníciales para calcular la segunda.

2. MODELOS LINEALES 2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones lineales? Sea el mismo sistema. Conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y restar ambas ecuaciones: 4 (3x + 2y) = 8 3 (4x – 3y) = 5

⇒

12x + 8y = 32 12x – 9y = 15 0x + 17y = 17

De donde resulta que y = 1 Y x = 2

BIBLIOGRAFIA Aurelio Baldor, “ALGEBRA”, por Editorial Patria, septiembre 2007. Perelman, Yakov “Matemáticas recreativas” Martínez Roca, España 2002.

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Alejandro Vera Trejo