UNA INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DE SERIES TEMPORALES NO LINEALES

Juan Gabriel Rodríguez Hernández* Mayo 2001

*Universidad Rey Juan Carlos. Campus de Vicálvaro, 28032 Madrid. Este trabajo se ha beneficiado de los comentarios de Pilar Grau Carles. Por supuesto, cualquier error es solo responsabilidad del autor.

Resumen En el presente trabajo se introduce al lector en los modelos de series temporales no lineales. Por un lado, se estudian los modelos autorregresivos para la varianza condicionada heterocedástica, principalmente los modelos ARCH y GARCH. Por otro lado, se analiza el caso en el que la no linealidad se encuentra en las variables del modelo. Aparecen así, el modelo bilineal, el modelo umbral, el modelo exponencial autorregresivo y una clase de modelos que incluye cómo casos particulares a los anteriores, el modelo de estado de dependencia.

Palabras clave: series temporales no lineales, modelos ARCH, modelos no lineales en variables.

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ÍNDICE

I. Introducción II. Modelo univariante ARCH 2.1. Introducción 2.2. Modelos 2.2.1. Ruido blanco 2.2.2. Modelo de regresión 2.3. Estimación 2.3.1. Estimación del modelo ARCH univariante 2.3.2. Estimación del modelo ARCH de regresión 2.4. Identificación y contraste de la estructura ARCH III. GARCH: modelo arch generalizado 3.1. Modelo 3.2. Estimación 3.2. Identificación y contraste del modelo GARCH IV. Extensiones V. No linealidad en variables: introducción VI. Modelos bilineales 6.1. Modelo 6.2. La detección de la no-linealidad 6.3. Efecto de la agregación temporal y la longitud de la serie 6.4. Estimación VII. Modelos umbral 7.1. Modelo TAR 7.2. Estimación VIII. Modelo exponencial autorregresivo 8.1. Modelo 8.2. Estimación IX. Un modelo general

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1. INTRODUCCIÓN La heterocedasticidad se ha asociado, en general, a datos de sección cruzada, mientras que las series temporales se han venido estudiando dentro del contexto de procesos homocedásticos. Sin embargo, el análisis de datos macroeconómicos por parte de algunos autores, Engle (1982), Engle (1983), ha evidenciado que las varianzas de las perturbaciones son menos estables de lo pensado hasta ese momento. Así, los resultados de Engle en modelos de inflación encuentran que los errores de predicción aparecen agrupados en intervalos, ello sugiere algún tipo de heterocedasticidad bajo la cual la varianza del término de error cambiaría suavemente en el tiempo, y por tanto, podría predecirse a partir de los residuos previos. La lógica de todo ello se encuentra en que utilizar la fórmula de predicción como esperanza condicional resulta óptimo si se quiere minimizar el error cuadrático medio (ECM) de la previsión resultante. Sin embargo, no se utiliza la varianza condicional de la variable dependiente yt para tratar de mejorar estas previsiones y ésta puede ser una información relevante. Si se está ante modelos en los que la varianza condicional no es constante, sino que depende del conjunto de información disponible en cada instante, ignorar ese hecho conducirá a estimadores ineficientes, y por ello, los intervalos de confianza de la previsión serán más amplios. Existen, además, teorías que requieren la modelización y estimación numérica de variables que representan la volatilidad de yt (generalmente de su componente no predecible), que puede asociarse al concepto estadístico de varianza condicional. Así, en finanzas, las carteras de activos de inversión se escogen a partir de la media y la varianza esperadas de las tasas de rendimiento, de forma que los cambios en la composición de la cartera deben explicarse por estos factores. En este contexto, si se especifica un modelo econométrico tradicional para el rendimiento medio esperado, su varianza queda restringida a una constante y no es, por tanto, consistente con el supuesto teórico de partida. Ignorar la presencia de heterocedasticidad condicional conduce, en el mejor de los casos, a una pérdida de eficiencia en la estimación de los parámetros del modelo. Si en el modelo aparecen retardos de la variable endógena como variables explicativas, ocurre además que las estimaciones de los errores estándar de los parámetros estimados no son consistentes. En este trabajo, además de los modelos de series temporales con varianza heterocedástica, se estudiarán aquellos que son no lineales en las variables explicativas especificadas. Surgirán, de esta manera, el modelo bilineal, el modelo umbral y el modelo exponencial autorregresivo, así cómo, una clase de modelos más general que recibe el nombre de modelos de estado de dependencia. No se estudiarán, sin embargo, los modelos caóticos1 de series temporales al quedar fuera del propósito de este trabajo. 1

El interesado en este tipo de modelos puede encontrar un extenso desarrollo teórico, así como, una aplicación al mercado de capitales español en Grau (1996).

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2. MODELO UNIVARIANTE ARCH 2.1. INTRODUCCIÓN Consideremos el modelo univariante AR(1), yt = φyt-1 + εt , donde εt es un proceso de ruido blanco con var(εt) = σ2. La esperanza y varianza incondicionales de yt son respectivamente, 0 y σ2 /(1- φ2). Mientras que los momentos condicionales de yt dado el conjunto de información de que se dispone en el instante t-1 (Ψt-1 ={yt-1, yt-2, ...}) son E(yt|Ψt-1) = φyt-1 y var(yt|Ψt-1) = σ2. Se observa, por tanto, que las varianzas condicional e incondicional son constantes en el tiempo. Esto también se cumple para modelos ARMA más generales y modelos de regresión de yt sobre un conjunto de variables explicativas deterministas xt. Cuando la varianza condicional es constante, como en los casos anteriores utilizar la esperanza condicional como previsión resulta óptimo si se quiere minimizar el error cuadrático medio. Sin embargo, cuando dicha varianza condicional no es constante (depende de la información disponible en cada instante) ésta es una información relevante que puede mejorar las previsiones. Ignorar este hecho conduciría a estimadores ineficientes por lo que se hace necesario desarrollar modelos en los que la varianza condicional del proceso cambie en el tiempo. Un posible camino son los modelos ARCH (heterocedasticidad condicional autorregresiva).

2.2. MODELOS 2.2.1. Ruido blanco El caso más sencillo sería considerar un proceso de ruido blanco εt. Los momentos condicionales de εt, dado el conjunto de información de que se dispone en el instante t-1 (Ψt-1 ={εt-1, εt-2, ....}), son: E(εt|Ψt-1) = Et-1 εt = 0 var(εt|Ψt-1) = Et-1 εt2 = ht2 donde ht es una función contenida en el conjunto de información disponible en t-1. Por tanto: E εt =EEt-1εt = 0 var(εt) = E εt2 = EEt-1εt2 = E ht2 Si ahora se supone, por ejemplo, que:

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ht2= δ0 + δ1ε2t-1 con δ0 >0, δ1 ≥ 0 obtenemos entonces el llamado modelo ARCH de orden 1. Las condiciones impuestas sobre los parámetros δ permiten asegurar que la varianza condicional ht2 es positiva. Si se supone además normalidad el modelo ARCH(1) puede escribirse como: εt|Ψt-1 ∼ N(0, ht2 ) ht2= δ0 + δ1ε2t-1 ,

(1) δ0 >0, δ1 ≥ 0

(2)

En términos más generales, ht2= δ0 + δ1ε2t-1 + .......+ δpε2t-p , δ0 >0, δi ≥ 0 i=1, ..., p

(3)

determina un modelo ARCH(p). Puesto que ht2 tiene que ser positiva los parámetros δi serán no negativos. Una estimación de δi negativa, aún pudiendo ser compatible con una varianza positiva a lo largo de todo el intervalo muestral utilizado, debe generar sospechas de mala especificación de la heterocedasticidad condicional, bien en relación al número de retardos de εt2 incluidos, o bien a que la representación de dicha heterocedasticidad requiera un modelo más general. Tomando esperanzas en (2) se tiene que el proceso ARCH(1) debe satisfacer además la condición |δ1| 0, q >0, δ0 >0, δi ≥0 i=1,..., q ; θj ≥0 j=1,..., p. Si todas las raíces del polinomio 1- θ(B) están fuera del círculo unidad, se tiene: ht2= δ0 (1 - θ(B))-1 + δ(B)(1 - θ(B))-1ε2t Por tanto, el proceso puede escribirse como un ARCH (∞). El modelo GARCH, como demuestra Bollerslev con un ejemplo, tiene como principal virtud que con un menor número de parámetros, se comporta igual o mejor que el modelo ARCH.

3.2. ESTIMACIÓN

De manera general vamos a estudiar la estimación de máxima verosimilitud del modelo GARCH (p, q) de regresión. Este modelo se obtiene si εt en (9) es la perturbación de la regresión yt = xt´ß + εt . Si se denota por:

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φ´ = (δ0 , δ1 , ......, δq, θ1, ...., θp) Γ = ( β´, φ ) se tiene que el logaritmo de la función de verosimilitud del modelo viene dado en (4) y que sus derivadas primeras y segundas con respecto a φ son: ∂L 1 ∂h 2 ε 2 = ∑ 2 t ( t2 − 1) ∂φ ht t 2ht ∂φ

ε t2 ∂2L 1 ∂h 2 ∂ht2 ε t2 ∂ 1 ∂ht2 = ∑ (− 4 ) t + ( − 1 ) ∂φ∂φ´ ∂φ´ 2ht2 ∂φ ht2 2ht ∂φ ∂φ´ ht2 t donde p ∂ht2 ∂h 2 = z t + ∑ θ i t −i ∂φ ∂φ i =1

(10) La esperanza condicional del segundo término de la segunda derivada es cero, por lo que la submatriz de la matriz de información correspondiente al vector φ puede estimarse consistentemente a partir del primer término de la misma expresión, sustituyendo εt2/ht2 por su valor esperado de 1. Por otra parte, las expresiones para el gradiente y la matriz de información correspondiente al vector β son las mismas que las desarrolladas para el modelo ARCH de regresión, que figuran en las ecuaciones (7) y (8), respectivamente. En ambas expresiones hay que tener en cuenta que si la estructura de ht2 es GARCH (p,q): q p ∂ht2 ∂h 2 = − 2∑ δ i x t − i ε t − i + ∑ θ i t − i ∂β ∂β i =1 i =1

(11) Al igual que en el modelo ARCH de regresión, el bloque fuera de la diagonal en la matriz de información resulta ser cero, por lo que φ puede estimarse separadamente de ß sin perder eficiencia asintótica. La presencia de términos recursivos en (10) y (11) hace que no se pueda representar el algoritmo de scoring como una regresión. Por ello, es aconsejable utilizar el algoritmo de Berndt, Hall, Hall y Hausman (1974), que para un vector genérico θ puede escribirse: ∂L ∂L −1 ∂L ( ) ∂θ ∂θ ′ ∂θ donde λi es una variable de longitud de paso que posibilita una rápida convergencia. En este algoritmo, la dirección de salto puede obtenerse a partir de una regresión de un vector

θˆi +1 = θˆi + λi

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de unos sobre la matriz muestral ∂L /∂Γ. Además, dado que ht2 depende de sus valores pasados, en cada iteración las derivadas deben evaluarse recursivamente a partir de p condiciones iniciales.

3.3. IDENTIFICACIÓN Y CONTRASTE DEL MODELO GARCH La identificación del modelo GARCH tiene los mismos problemas asociados al modelo ARCH. El contraste de un modelo GARCH vendrá determinado por un estadístico definido a través de los multiplicadores de Lagrange. Descomponemos la varianza condicional del siguiente modo: ht2 = z1t´φ1 + z2t´φ2

donde

z1t´ = (1, ε2t-1 + .......+ ε2t-q ) z2t´ = (ht-12,......, ht-p2 ) φ1´ = (δ0 , δ1 , .....,δq) φ2´ = (θ1, θ2, ....,θp ) y se quiere contrastar la hipótesis nula: φ2 = 0 (un proceso ARCH frente a un GARCH), el estadístico de los multiplicadores de Lagrange correspondiente es de nuevo: ξLM = (1/2)W0´Z0(Z0´Z0)-1 Z0´ W0 siendo

ε ε ′ W0 = (( 12 − 1),......, ( T2 − 1)) h1 hT 2

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∂h 2 ∂h 2 ′ Z 0 = (h12 1 ,...., hT2 T ) ∂φ ∂φ donde Z0 es una matriz T × s (siendo s el número de variables en ht2) evaluada bajo H0. El estadístico ξLM se distribuye χr2 donde r es el número de parámetros en φ2 . Este estadístico coincide asintóticamente con el producto TR2, donde R2 es el coeficiente de la regresión MCO en la primera iteración del procedimiento de Berndt et al. (1974) a partir de la estimación obtenida bajo H0 .

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4. EXTENSIONES A ESTOS MODELOS

El modelo ARCH-M (Engle, Lilien y Robins, 1987) incorpora el supuesto adicional de que la varianza condicional del término de error influye en cada periodo sobre el nivel de la variable que se pretende explicar. Tal supuesto es muy apropiado cuando se considera que la rentabilidad depende del riesgo, medido por la varianza condicionada. Consideramos, por tanto, el modelo ARCH-M: yt = g(xt-1, ht2; β) + εt

εt|Ωt-1 ~ N(0, ht2) donde g(·) suele ser una función lineal o logarítmica. Cuando los parámetros son cambiantes tenemos el modelo TVP-ARCH-M (Chou, Engle y Kane, 1992). En la práctica, no es infrecuente que los parámetros estimados se encuentren en zonas próximas a la no estacionariedad, dando lugar a los modelos ARCH integrados (IARCH) o a los modelos GARCH integrados (IGARCH). Las innovaciones de este tipo de procesos tienen influencia permanente, de modo similar a lo que ocurre con los modelos ARIMA. El desarrollo de contrastes de raíces unitarias para la varianza de Lumsdaine (1991) sugiere que transformaciones simples de los procedimientos clásicos de contraste (Dickey-Fuller) pueden ser de utilidad, si bien las evidencias de Monte Carlo (Hong, 1988) sugieren que los tamaños muestrales deben ser grandes. Una limitación de los modelos ARCH y GARCH es que la varianza depende sólo de la magnitud de εt pero no de su signo. Trabajos anteriores sugieren que la volatilidad tiende a subir si los rendimientos son menores de lo esperado y a bajar si los rendimientos son mayores de lo esperado, probablemente debido a la presencia de efectos de apalancamiento (frecuente en los mercados de acciones) que ocasionan que el riesgo previsto varíe de forma diferente según el signo de la innovación. Para tratar de superar estos inconvenientes, Nelson (1990) propone el modelo GARCH Exponencial (EGARCH). Esta formulación tiene la ventaja de garantizar siempre que la varianza es positiva, no impone restricciones en los parámetros y permite efectos asimétricos y no lineales de las innovaciones sobre la varianza de la serie (lineales sobre el logaritmo). Por otra parte, Tsay (1987) propone una clase de modelos heterocedásticos más generales, que incluirían a los ya citados ARCH y a unos modelos llamados RCA (modelo autorregresivo de coeficientes aleatorios), mientras que los primeros hacen uso de las perturbaciones pasadas, los modelos RCA utilizan las observaciones pasadas. Esta clase de modelos más generales se denomina proceso ARMA con heterocedasticidad condicional (CHARMA), de forma que cada modelo de este tipo vendría dado por un proceso ARMA y una función de transferencia con coeficientes aleatorios, la cual describiría la variación de la varianza condicional.

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En numerosas ocasiones el análisis exige adoptar una perspectiva multivariante. Los modelos vectoriales o multivariantes tratan de explicar la variación simultánea de las varianzas heterocedásticas de diferentes variables. Aparecen así, el modelo Multivariante ARCH (Kraft y Engle, 1983), el modelo GARCH Multivariante (Bollerslev, Engle y Wooldridge, 1988) y los ARCH Factoriales (Engle, 1987), estos últimos imponen restricciones que permiten reducir el número de parámetros a estimar. Además, se han propuesto otras modificaciones del modelo GARCH básico, entre las que cabría citar el ARCH semiparamétrico (SPARCH) de Engle y González (1991), el ARCH no lineal (NARCH) desarrollado por Bera y Higgins (1990) que considera para la varianza condicionada una función similar a la conocida función CES, el ARCH estructural (STARCH) de Harvey, Ruíz y Sentana (1992) que se obtiene cuando los errores del modelo estructural básico (Harvey, 1989) tienen una conducta heterocedástica.

5. NO LINEALIDAD EN VARIABLES Para un proceso lineal, la condición ρk = 0, k ≠ 0, es necesaria y suficiente para que el proceso sea ruido blanco. Si el proceso no es lineal, dicha condición es solamente necesaria. Lo cual quiere decir que, en caso de que se dé, podemos estar ante un proceso que no es ruido blanco. En las aplicaciones prácticas, rara vez se contrasta la hipótesis de linealidad, y, por tanto, la ausencia de correlación se interpreta como independencia, lo cual puede llevarnos a obtener predicciones subóptimas. Ejemplo: Supongamos que se ha obtenido un modelo para predecir xt, que, expresado como media móvil infinita, viene dado por: ∞

xt = at + Σ Ψi at-i i=1

Donde aceptamos que at es ruido blanco, porque su función de autocorrelación (FAC) así lo indica. La predicción de x un período por delante vendrá dada por: ^

∞

xt (1) = Σ Ψi at-i+1 i=1

ya que at-j , j ≥ 0, es conocido en el momento t, y, al considerar at ruido blanco,

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Et at+1 = 0 .

(12)

Supongamos que at no es propiamente ruido blanco, sino que es el resultado de un proceso del tipo: at = βat-2εt-1 + εt donde εt ~Niid(0, σ2) y |β| < 1. Veamos como es la FAC de at: E(atat-1) = β2 E(atat-3εt-2)(εt-1) + β E(at-3εt-2)(εt) + β E(at-2)(ε2t-1) + E(εt-1)(εt) Esto es, E(atat-1) = 0. Procediendo de este modo se llega finalmente a que ρK(at) = 0,

k ≠ 0,

es decir, at presentará una FAC típica de ruido blanco. Sin embargo, Et at+1 = βat-1εt , Con lo cual (12) es incorrecto. La predicción es también incorrecta, pues at+1 puede predecirse, por lo cual tiene que modificarse de la siguiente manera:

^ ^ ∞ xt(1) = at (1) + Σ Ψi at-i+1 i=1

Puesto que la FAC de la serie no revelaría dicha no-linealidad, es preciso disponer de algún método de análisis más general que permita detectar el error cometido al utilizar un modelo lineal. El mundo real es, en general, no lineal, la linealidad juega un papel de aproximación de primer orden. Para algunas series, esta aproximación será suficiente, mientras que, para otras, la no linealidad jugará un papel más importante. Una vez detectada, será preciso disponer de una clase de modelos que puedan recoger la no linealidad de la serie.

6. MODELOS BILINEALES

6.1. MODELO La introducción de procesos bilineales en el análisis de series temporales en tiempo discreto se debe a Granger y Andersen (1978).

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Un modelo bilineal puede representarse en general de la siguiente manera: p

q

m k

i=1

i=1

i=1 j=1

xt = Σ φix t-i + Σ θ iε t-i + Σ Σ ß ijx t-i ε t-j + ε t (13)

donde ε t∼ Niid(0, σ2). La estructura bilineal, obviamente, corresponde al doble sumatorio, de modo que, para ß ij = 0 para todo i, j, se obtiene un modelo ARMA (p, q) convencional. Estos autores han analizado las propiedades de algunas formas bilineales sencillas caracterizadas como: xt = δ xt-i ε t-j + ε t. Si i>j el modelo recibe el nombre de superdiagonal, si i=j diagonal, y si i