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Tasas de Variación en Series Temporales Económicas Contacto: María Dolores Grandal Martín Departamento Fundamentos del Análisis Económico II. Economía Cuantitativa. Universidad Complutense de Madrid
Gran parte de los fenómenos económicos estudiados por los profesionales de la Economía son de naturaleza temporal, esto es, se manifiestan en el tiempo con una determinada cadencia. Las variables económicas temporales quedan reflejadas en Series Temporales, de esta forma se tiene un registro de su evolución a lo largo de los años. Una Serie temporal Económica es una sucesión de observaciones cuantitativas de una Variable económica que están ordenadas en el tiempo
Las variables económicas temporales surgen con distinta regularidad temporal, esta puede ser anual, semestral, trimestral, mensual… dando lugar a Series Temporales con diferentes periodos temporales. Las Series Temporales más usuales que observamos son: Series Temporales anuales (datos año a año) Series Temporales trimestrales (datos trimestre a trimestre) Series Temporales mensuales (datos mes a mes)
En las Series Temporales Económicas es esencial la ordenación en el tiempo de los datos, que es la expresión de la dependencia existente entre ellos, la existencia de ésta permite el estudio de sus principales características. La teoría básica de las Series Temporales señala que éstas están integradas por cuatro componentes teóricas: Componente tendencial o Tendencia: es el movimiento regular de la serie a largo plazo. Componente Estacional: variaciones cuasi-regulares ligadas a los ritmos estacionales dentro de un año. Componente Cíclico: son los movimientos a medio plazo que surgen en torno a la tendencia de la serie. Componente Irregular: aquel que se debe a circunstancias aleatorias. Es la oscilación que se observa una vez eliminadas de la serie los otros componentes
MDGM -Tasas # 2
Existen diversos métodos para analizar las series, esto es, para estudiar y describir las pautas de comportamiento de sus diversos componentes. De entre todos, el que suele ser más estudiado es la tendencia de la serie, ya que es el más estable pues es el que recoge la incidencia sobre la variable analizada de los factores económicos más permanentes. Entre los más usados están los que utilizan como instrumento de análisis las tasas de variación de las series temporales. La variación que se observa entre valores en distintos momentos del tiempo puede ser medida en términos absolutos o relativos. Se definen: Variación absoluta: es la diferencia absoluta entre los valores observados de una serie entre dos períodos. Para el caso en que éstos sean consecutivos:
∇Yt = Yt − Yt −1 Si para las series:
Zt = 100 ⎫ ⎬ ∇Z = 10 Zt −1 = 110⎭ t
Xt = 1010 ⎫ ⎬ ∇X = 10 X t −1 = 1000⎭ t
Se observa que la variación absoluta es la misma (igual a 10) en ambas series. Sin embargo es evidente que no supone lo mismo pasar de 100 a 110 que de 1000 a 1010 D Problemas de escala
Variación relativa o Tasa de variación: es la diferencia relativa entre los valores observados de una serie entre dos períodos. Para el caso en que éstos sean consecutivos:
Y −Y Y Y&t = t t −1 = t − 1 Yt −1 Y t −1
Si para las series:
Zt = 100 ⎫ & ⎬ Z = 0,1 Zt −1 = 110⎭ t
X t = 1010 ⎫ & ⎬ X = 0, 01 X t −1 = 1000⎭ t
En este caso, el mismo cambio en 10 supone una variación relativa del 10% (0,1x100) para la serie Zt y del 1% (0,01x100) para la serie Xt. Estos valores reflejan la diferencia cualitativa que supone el paso de 100 a 110 en relación al de 1000 a 1010 MDGM -Tasas # 3
Por tanto, para medir la variación de forma precisa eliminando los problemas de escala se utilizan las tasas de variación. Estos es, las tasas de variación son adimensionales -no dependen de la unidad de medida- ello permite la comparación entre series con unidades de medida diferentes. Las tasas de variación pueden calcularse sobre la serie en datos originales -datos en niveles- o sobre alguna transformación de la misma a partir de los datos originales. Este documento se centra en la descripción de las tasas de variación para los datos en niveles. Se analizan dos tipos de Series Temporales: PIB de USA. Serie trimestral desde 1989:1 a 2005:2 IPC de España. Serie mensual desde 1993:01 a 2001:12
Los gráficos que reflejan la evolución temporal de ambas series se muestran a continuación PIB en niveles 11200
10800
10400
10000
9600
9200
8800
8400
8000
7600
7200
6800 1989
1990
1991
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MDGM -Tasas # 4
IPC en niveles 138 136 134 132 130 128 126 124 122 120 118 116 114 112 110 108 106 104 102 93:01
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En ambos se observa claramente una tendencia creciente a lo largo del tiempo. Tasa T11 (Intermensual o Intertrimestral): Esta tasa representa la variación relativa entre un valor de la variable y su valor previo. Si se multiplica por 100 proporciona la variación porcentual. Si la escribimos para ambas series:
⎛ PIBt ⎞ T11 = ⎜ −1⎟ x100 ⎝ PIBt −1 ⎠ ⎛ IPCt ⎞ T11 = ⎜ −1⎟ x100 ⎝ IPCt −1 ⎠
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T11 del PIB 1.8
1.6 1.4
1.2 1.0
0.8 0.6
0.4
0.2 0.0
-0.2 -0.4
-0.6
-0.8 1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
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T11 del IPC 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 93:01
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Si se analizan con cuidado estos gráficos se observa:
1. Se pierde la primera observación en ambas series. 2. Miden comportamientos intertrimestrales (PIB) o intermensuales. (IPC) 3. Las tasas pueden ser positivas o negativas. 4. Muestran pautas de comportamiento, para las series, poco identificables: son muy volátiles. Para facilitar su comparación con otro tipo de tasas, que muestran variación anual entre dos momentos de tiempo, a menudo se utiliza esta tasa anualizada, las diferentes expresiones –dependen de su periodo temporal- para ambas series se muestran a continuación. En éstas la T11 entra en tantos por uno. 4 T11a = ⎡(1+ T11 ) −1⎤ x100 ⎢⎣ ⎥⎦ 12 T11a = ⎡(1+ T11 ) −1⎤ x100 ⎥⎦ ⎣⎢
Al elevar a tasa anual la tasa intermensual o intertrimestral, se extrapola a todo el año el comportamiento experimentado por la variable durante un solo período (mes o trimestre). En el caso en que los restantes períodos –intermensuales o intertrimestrales- no se comporten como el elegido como referencia, la tasa anualizada genera una información errónea sobre la variación interanual que realmente ha tenido la variable analizada. En general, siempre se puede hallar una tasa de variación para varios períodos, por ejemplo a tres, o seis meses, una vez que se calcula la tasa para un período determinado. De forma análoga, se puede calcular la tasa de crecimiento de un determinado período si se conoce la correspondiente tasa de crecimiento de varios períodos. Las Hojas de Cálculo parciales que se muestran a continuación ilustran los tres primeros aspectos, en la línea de comandos se refleja la operación realizada para el cálculo de las tasas porcentuales intertrimestral e intermensual MDGM -Tasas # 7
Como ejemplo de parte de lo descrito con anterioridad, de esta Hoja de Cálculo se deriva que para el 1er trimestre del año 1990, una tasa de aumento del 1,15% del PIB al trimestre supone un aumento del mismo del 4,7% al año
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El examen detallado de los signos de las tasas de variación hace imprescindible resaltar la relación entre éstas y los datos en niveles: 1. Cuando el nivel de la serie Crece, la tasa de variación es Positiva. Realizando un símil hidráulico: Se abre el grifo de una bañera, se inyecta agua con una determinada intensidad (tasa positiva) y se cierra el desagüe D el nivel del agua en la bañera aumenta. 2. Cuando el nivel de la serie Decrece, la tasa de variación es Negativa. En el símil hidráulico: Se cierra el grifo de la bañera y se abre el desagüe de la misma por dónde sale el agua con una determinada intensidad (tasa negativa) D el nivel del agua en la bañera disminuye. 3. Cuando el nivel de la serie es Constante, la tasa de variación es Nula. En el símil hidráulico: Se cierran tanto el grifo como el desagüe (tasa nula) D el nivel del agua en la bañera no varía.
Es importante, también, entender el movimiento relativo de la tasa de variación, y cómo éste se refleja en el nivel de la serie. a) creciente Tasa de variación
Positiva b) decreciente
Tasa de variación
a) creciente Negativa b) decreciente
Al ser positiva el nivel aumenta
Al ser negativa el nivel disminuye
a) Por ser creciente el nivel aumenta cada vez en mayor proporción b) Por ser decreciente el nivel aumenta cada vez en menor proporción a) Por ser creciente el nivel disminuye cada vez en mayor proporción b) Por ser decreciente el nivel disminuye cada vez en menor proporción
La representación gráfica y numérica de las relaciones entre las tasas y los niveles de las series se realiza, a continuación, para la serie trimestral del PIB, particularizando para la T11 . Los resultados son extensibles, también, a otras tasas de variación. El lector puede llevar a cabo este mismo ejercicio para la serie mensual del IPC. MDGM -Tasas # 9
1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4
11200
0.2
10800
0.0 10400 -0.2 10000
-0.4 91:1
9600 9200
-0.6 -0.8
90:4
8800 8400 8000 7600 7200 6800 1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
El gráfico que aparece arriba recoge la serie del PIB en niveles (en verde), que se mide en el eje de la izquierda. La serie de la tasa T11 (en rojo) está medida en el eje de la derecha. El PIB está creciendo durante casi todos los trimestres de la muestra, y, consecuentemente, la tasa T11 es mayoritariamente positiva –va por encima de cero- aunque tiene caídas y subidas. También se observa que en algunos trimestres, al principio y hacia el final de la muestra, arrojan tasas negativas. Las tasas de variación negativas que se observan en los datos que corresponden al 90:4 –cuarto trimestre del año 1990- y 91:1, son el reflejo de la caída que el PIB en niveles tiene en dichos trimestres, como se puede observar visualmente en el gráfico. En los trimestres anteriores y posteriores a estas fechas, las tasas son positivas a veces crecientes y a veces decrecientes, indicando que el nivel del PIB está aumentando aunque no siempre en una proporción creciente. El análisis pormenorizado se realiza para los trimestres que van desde 1989:1 a 1992:4, para los que se lleva a cabo una aplicación de los aspectos reseñados más arriba. Para ello, se reproduce el gráfico en esas fechas y también la hoja de cálculo correspondiente. MDGM -Tasas # 10
PIB niveles (verde) y T11 del PIB (rojo) 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 7550
0.2
7500 0.0
7450
-0.2
7400 7350
-0.4
7300 -0.6 7250 -0.8
7200 7150 7100 7050 7000 6950 6900 1989:1
1989:2
1989:3
1989:4
1990:1
1990:2
1990:3
1990:4
1991:1
1991:2
1991:3
1991:4
1992:1
1992:2
1992:3
1992:4
1993:1
1993:2
En el gráfico y tabla hay que resaltar los aspectos siguientes: El nivel del PIB es prácticamente el mismo en el 2º y 3er trimestres de 1990, lo que provoca una T11 , en éste último que es casi nula (0,007). En el gráfico se observa dicho valor muy cercano a la línea cero de la serie en rojo. Caída del nivel del PIB a partir del 4º trimestre de 1990, pasa de 7130,8 en el 3er, a 7076,9 y a 7040,8 en el 1º trimestre de 1991. Esto se refleja en la T11 , con valores: -0,756 y -0,510. Observar que en 1991:1 el nivel sigue cayendo pero en menor proporción que en 1990:4 y su reflejo en el gráfico. Aumentos positivos, cada vez menores, del nivel del PIB, a partir del 2º trimestre de 1991, que genera tasas positivas aunque decrecientes que pasan de 0,649 a 0,469. Observamos gráficamente que el nivel crece (serie verde), y las tasas caen (flecha color rojo). Aumentos positivos y crecientes del PIB a partir del 2º trimestre de 1992 hasta el 4º del mismo año. Tasas, también, crecientes de 0,964 a 981. En el gráfico se observa su crecimiento en la flecha de color negro MDGM -Tasas # 11
Tasa Interanual: T121 (datos mensuales) o T41 (datos trimestrales) Esta tasa representa la variación relativa entre el valor de la variable en un mes (un trimestre) y su valor en el mismo mes (mismo trimestre) del año anterior. Si se multiplica por 100 proporciona la variación porcentual. Escribiéndola para ambas series:
⎛ PIBt ⎞ T41 = ⎜ − 1⎟ x100 ⎝ PIBt −4 ⎠ ⎛ IPC t ⎞ T121 = ⎜ − 1⎟ x100 ⎝ IPCt −12 ⎠ Como se observa esta tasa: Para la serie PIBt compara el valor de dicha variable en un trimestre -por ej. 2º trimestre de 1992- con el valor observado en el mismo trimestre del año anterior, esto es, el 2º trimestre de 1991. Para la serie IPCt compara el valor de dicha variable en un mes –por ej. mayo de 1998- con el valor observado en el mismo mes del año anterior, esto es, en mayo de 1997 5.2 4.8 4.4 4.0 3.6 3.2 90:1 2.8 2.4 2.0 1.6 1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.2 1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
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2000
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T121 del IPC 5.4 5.2
94:1
5.0 4.8 4.6 4.4 4.2 4.0 3.8 3.6 3.4 3.2 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 93:01
93:07
94:01
94:07
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Los gráficos anteriores reflejan la evolución de las tasas interanuales de las dos series objeto de estudio. Las principales características de la Tasa Interanual son: 1. Pierde las observaciones del 1er año: 4 trimestres en el PIB y 12 meses en el IPC. 2. Proporciona directamente las variaciones anuales de las variables. 3. Como compara siempre dos meses o dos trimestres de iguales características, por ej.: eneros entre sí, febreros entre sí…, la serie resultante es más suave que la de crecimientos básicos. 4. Al comparar idénticos meses o trimestres de años consecutivos que tienen el mismo comportamiento estacional, la serie resultante atenúa el problema de la estacionalidad, y por tanto puede representar una cierta idea de tendencia. 5. Sin embargo, no elimina la estacionalidad del todo ni utiliza toda la información producida a lo largo del año, ya que compara, por ej. el dato de noviembre con el de noviembre del año anterior, y por tanto, ignora los datos de los meses intermedios, esto es, no tiene del todo en cuenta acaecido en dichos meses (o trimestres). 6. Por todo lo anterior, en la tasa interanual sólo se capta el efecto neto de las fluctuaciones de la variable a lo largo del año, por lo que aún siendo menos volátil que la intermensual (o intertrimestral), sigue dificultando el análisis de los movimientos más permanentes en el tiempo.
MDGM -Tasas # 13
Centrado de las Tasas Interanuales Las tasas interanuales representan un promedio ponderado de los doce valores intermensuales (o cuatro valores intertrimestres), esto es, de las T11 , que se registran a lo largo del año. Por tanto, una Tasa Interanual debería centrarse –asignar su valor al punto medio del año- de esta forma se interpreta de forma adecuada el ritmo de crecimiento que la variable ha experimentado a lo largo de todo el año. Si la Tasa Interanual no se centra, esto es, se asigna al último periodo del año –mes de diciembre ó 4º trimestre- se genera la idea errónea de que es, este mes o trimestre el que crece a esa tasa, cuando el valor numérico de la tasa de diciembre o del 4º trimestre no es, sino una media ponderada de todo el año. El centrado se lleva a cabo asignando el valor de la Tasa Interanual correspondiente al último mes (o trimestre) al punto medio del año, que es el mes de junio para series mensuales y el segundo trimestre para las que son trimestrales. El desarrollo de la T41 del PIB trimestral como suma ponderada de las 4 tasas intertrimestrales, que aparecen en negro, es:
T14 =
PIBt − PIBt −4 PIBt − PIBt −1 PIBt −1 PIBt −1 − PIBt −2 PIBt −2 ≡ ⋅ + ⋅ + PIBt −4 PIBt −1 PIBt −4 PIBt −2 PIBt −4 +
PIBt −2 − PIBt −3 PIBt −3 PIBt −3 − PIBt −4 PIBt −4 ⋅ + ⋅ PIBt −3 PIBt −4 PIBt −4 PIBt −4
El desarrollo de la T121 del IPC mensual como suma ponderada de las 12 tasas intermensuales, que aparecen en negro, es:
T121 =
IPCt − IPCt −12 IPCt − IPCt −1 IPCt −1 IPCt −1 − IPCt −2 IPCt −2 ≡ ⋅ + ⋅ + IPCt −12 IPCt −1 IPCt −12 IPCt −2 IPCt −12 +L+ +
IPCt −5 − IPCt −6 IPCt −6 ⋅ + L+ IPCt −6 IPCt −12
IPCt −10 − IPCt −11 IPCt −11 IPCt −11 − IPCt −12 IPCt −12 ⋅ + ⋅ IPCt −11 IPCt −12 IPCt −12 IPCt −12 MDGM -Tasas # 14
Los gráficos correspondientes a la serie PIB centrada y no centrada son:
T41 centrada (verde) y sin centrar (roja) 5.2 4.8 4.4 4.0 3.6
90:2
3.2
90:4
2.8 2.4 2.0 1.6 1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.2 1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
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Si la serie no se centra, la caída que la tasa del PIB tiene realmente en 90:3, aparece adelantada en el eje temporal pues se observa en el primer trimestre del año siguiente (en el 91:1), como se puede ver en la serie roja. Por tanto, hemos de desplazar la serieT41 “hacia atrás”, para que ésta refleje de forma más fidedigna la evolución de la variación del PIB. La forma más sencilla de centrar la serie es retrasando el valor del cuarto trimestre (el 90:4), dos trimestres, esto es, hasta el 90:2. Con otras palabras, la tasa del 1er trimestre del año 91, al ser una media ponderada de lo ocurrido a lo largo de los cuatro trimestres de todo “su” año, en realidad no pertenece a ese trimestre, sino que pertenece al punto medio de su recorrido anual que, en este caso, es el 3er trimestre de 1990. En el gráfico parcial que aparece a continuación se puede observar con mayor detalle este procedimiento de centrado. En la Hoja de Cálculo, a continuación del gráfico parcial, también se observan los valores numéricos asociados a este proceso de centrado. MDGM -Tasas # 15
T41 centrada (verde) y sin centrar (roja). Detalle 4.4 4.0 3.6 3.2 2.8 2.4 2.0 1.6 1.2 90:2
0.8
90:4
0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.2 1989:1 1989:2 1989:3
1989:4
1990:1 1990:2
1990:3 1990:4 1991:1
1991:2 1991:3 1991:4
1992:1 1992:2
1992:3
1992:4
1993:1 1993:2
En estos datos, es fácil darse cuenta que, al ser la tasa de 90:4 una media ponderada de cuatro valores correspondientes a cuatro fechas consecutivas, debería estar colocada a la mitad de estas fechas, esto es, en 90:2. El mismo razonamiento rige para la T41 de 91:1. MDGM -Tasas # 16
Los gráficos de la serie mensual IPC, centrada y sin centrar son:
T121 centrada (marrón) y sin centrar (azul) 5.4 5.2 5.0 4.8 4.6 4.4 4.2 94:6
4.0
94:12
3.8 3.6 3.4 3.2 3.0 2.8 2.6
01:06
2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 93:01
93:07
94:01
94:07
95:01
95:07
96:01
96:07
97:01
97:07
98:01
98:07
99:01
99:07
00:01
00:07
01:01
01:07
Para evitar que los valores de la tasa del IPC aparezcan adelantados sobre el eje temporal, como se puede observar en la serie azul, se ha de centrar dicha tasa, retrasando el valor de diciembre al punto medio del año (mes de junio). De esta forma asignamos una cantidad que es una media ponderada de los 12 meses que componen el año a la mitad del mismo. El proceso de centrado es necesario para llevar a cabo una interpretación adecuada del ritmo de variación interanual del IPC, pero tiene un inconveniente. Como se observa al final de la serie centrada (marrón), se pierden los seis últimos valores (dos en el caso de la serie T41 del PIB), que son generalmente, los más interesantes puesto que son los más cercanos al momento presente, esto es, al instante en el que se está analizando la evolución de estas variaciones interanuales. La forma de resolver este problema es realizando previsiones sobre los meses en cuestión, de forma que, en la medida en que se tengan previsiones fiables el procedimiento de centrado será más interesante. En el gráfico parcial y Hoja de Cálculo, a continuación, se pueden observar estas cuestiones con mayor detalle. MDGM -Tasas # 17
T121 centrada (marrón) y sin centrar (azul). Detalle 5.3
5.2
5.1 93:07
94:01
5.0
4.9
4.8
4.7
4.6
4.5
4.4
94:12
94:06
4.3
4.2 1993:01
1993:04
1993:07
1993:10
1994:01
1994:04
1994:07
1994:10
1995:01
1995:04
El valor de la T121 en diciembre de 1994, que redondeando a dos dígitos es 4,34, como se yhaasíseñalado más arriba, es una media ponderada de los 12 valores de la tasa de variación intermensual. del año 1994. Por tanto, está dando una información “retrasada” de lo que ha acontecido a lo largo del año. Por eso se ha de colocar en el punto medio de dicho año, que es el mes de junio.
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