Series Series temporales temporales

Una Una serie serie temporal temporal es es una una variable variable cuya cuya evolución evolución se se sigue sigue aa lo lo largo largo del del tiempo. tiempo.

Para Para obtenerla obtenerla tomaremos tomaremos observaciones observaciones de de la la variable variable aa intervalos intervalos regulares regulares de de tiempo. tiempo.



Series Series temporales temporales


Las variables/series pueden ser económicas, financieras o de otros tipos ya que la técnica se utiliza en muchas discicplinas. Unos ejemplos serían: –

–

En análisis macroeconómico: estaremos interesados en estudiar y prever la evolución de:
los precios
la producción
exportaciones y otras muchas variables de coyuntura. En finanzas : es importante prever la evolución de:
Indicadores macroeconómicos
Series financieras como, por ejemplo, evolución del índice de la bolsa de Nueva York.

Series Series temporales temporales –

En Energía interesa prever:





–

El nivel de los embalses para saber la cantidad de agua esperable en el futuro. Demanda de potencia eléctrica en cada momento

En demografía es importante conocer el número de nacidos o fallecidos en un país.

Características Características de de una una serie serie temporal temporal Las Lascaracterísticas característicasbásicas básicasde deuna unaserie serietemporal temporalson: son:





Periodicidad Periodicidad 2.2.Tendencia Tendencia 3.3.Variabilidad-Volatilidad Variabilidad-Volatilidad 4.4.Ciclo Cicloestacional estacional 5.5.Combinación Combinaciónde decaracterísticas características 1.1.

Serie estacionaria

Periodicidad Periodicidad Se Sedefine definela laperiodicidad periodicidadde dela laserie seriecomo comocada cadacuanto cuanto tiempo tiempose setoman tomanlos losdatos. datos. Por Porejemplo: ejemplo: Periodicidadanual: anual:Se Setoma tomaeleldato datouna unavez vezalalaño. año. Periodicidad Periodicidadmensual: mensual: Se Setoma tomaeleldato datouna unavez vezalalmes mes Periodicidad obteniéndose12 12datos datosalalaño. año. obteniéndose Periodicidadtrimestral: trimestral:se setoma tomaeleldato datouna unavez vezalaltrimestre trimestre Periodicidad obteniéndose44datos datosalalaño. año. obteniéndose Otrasperiodicidades: periodicidades:semestrales semestrales(2 (2datos datosalalaño) año) Otras semanales(52 (52datos datosalalaño) año) semanales diarias(365 (365datos datosalalaño) año)etc. etc. diarias

Periodicidad Periodicidad La serie de Temperaturas en La Coruña tiene periodicidad mensual. La serie de Tasas de Actividad masculina en España tiene periodicidad trimestral. Procede de la Encuesta de Población Activa que cada trimestre realiza el INE. La serie del Indice Nikkei tiene periodicidad mensual

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Tendencia Tendencia







Una serie tiene tendencia cuando su valor no permanece en un rango constante. Cuando la serie tiene tendencia crece o decrece a largo plazo.

Tendencia Tendencia creciente: creciente:

Serie con tendencia 80

60

40

20 200

220

240

260

280

300

Serie Serie sin sin tendencia tendencia

Serie sin tendencia (X 0,001) 38 18 -2 -22 -42 0

100

200

300

400

Tasa Tasade deactividad actividadmasculina masculinaen enEspaña España Tasa de actividad masculina 77 74 71 68 65 62 Q3/76

Q3/81

Q3/86

Q3/91

Q3/96

Q3/01

Q3/06

Tendencia Tendenciadecreciente decrecienteque queparece parecehaberse haberseestabilizado estabilizadoen en los losúltimos últimosaños. años. La Labajada bajadase sedebe debeal aldescenso descensode dela laedad edadde dejubilación, jubilación,yyaa que quelos losjóvenes jóvenesse seincorporan incorporanmás mástarde tardeal al mercado mercadolaboral laboral por porelelincremento incrementode deestudiantes estudiantesuniversitarios. universitarios.

Tasa Tasade deactividad actividadmasculina masculinaen enEspaña España Tasa de actividad masculina 77 74 71 68 65 62 Q3/76

Q3/81

Q3/86

Q3/91

Q3/96

Q3/01

Q3/06

Latasa tasade dedesempleo desempleoelevada elevadaque queha hatenido tenidoEspaña Españadesde desde1978 1978influye. influye. La partir1996 1996eleldesempleo desempleoha hadisminuido, disminuido,yyno nohay hayya yacambios cambiossustanciales sustancialesen enlas las AApartir edadesde dejubilación jubilacióneeincorporación incorporaciónalalmercado mercadolaboral. laboral.Esto Estose serefleja reflejaen enlalazona zona edades constantede delalaserie. serie. constante Finalmentelalaincorporación incorporaciónalalmercado mercadolaboral laboralespañol españolde delos losnumerosos numerososinmigrantes inmigrantes Finalmente llegadoaapartir partirde de1999 1999se serefleja reflejaen enlalasubida subidafinal. final. llegado

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Volatilidad-Varianza Volatilidad-Varianza








Se dice que una serie es homocedástica cuando su variabilidad (volatilidad) es constante a lo largo del tiempo. Cuando la volatilidad varía a lo largo del tiempo, la serie es heterocedástica. La variabilidad se refiere al “grosor” de la serie, y una serie puede tener varianza constante aunque sea muy “gruesa”

Heterocedástica Heterocedástica

Serie heterocedástica 2,1 1,7 1,3 0,9 0,5 0,1 -0,3 0

100

200

300

400

500

Homocedástica Homocedástica

Serie homocedástica (X 0,001) 43 33 23 13 3 -7 -17 0

100

200

300

400

500

Volver

Ciclo Ciclo estacional estacional El Elciclo cicloestacional estacionalaparece apareceúnicamente únicamenteen enseries series de deperiodicidad periodicidadmenor menorque quela laanual. anual. Es Esdecir deciren enlas lasque quese setoma tomamás másde deun undato datoal alcabo cabodel delaño. año.

El Elciclo cicloestacional estacionales esdebido debidoaala ladiferencia diferenciade deactividad actividad que quese seproduce producedebido debidoaala laestacionalidad estacionalidadde dela latierra tierra yyque quetiene tienereflejo reflejoen enlas lasactividades actividadeseconómicas, económicas, físicas físicasoobiológicas. biológicas.

Temperaturas Temperaturasmedias mediasen enLa LaCoruña Coruñadesde desdeAgosto Agostode de1994. 1994. Periodicidad Periodicidadmensual mensual

Temperaturas en La Coruña 32 28 24 20 16 12 8/94

8/96

8/98

8/00

Paro ParoRegistrado Registradoen enEspaña. España.Tiene Tieneperiodicidad periodicidad mensual.. mensual.. Paro registrado en España 16500 14500 12500 10500 8500 6500 1/88

1/92

1/96

1/00

1/04

Gráficos Gráficos estacionales: estacionales: para paraestudiar estudiarla la estacionalidad estacionalidadde dela laserie serie

1.1. 2.2. 3.3. 4.4.

Gráfico Gráficode dedescomposición descomposiciónestacional estacional Gráfico Gráficode deíndices índicesestacionales estacionales Gráfico Gráficode desubseries subseriesanuales. anuales. Estos Estosgráficos gráficosen enStatgraphics Statgraphics

Gráfico Gráficode dedescomposición descomposiciónestacional estacional




Se va a realizar para las temperaturas en La Coruña.




Se construye tomando el valor medio de todos los Agostos y trazando una línea horizontal en ese valor (23ºC).




Eso se repite para todos los meses y así se obtienen las lineas horizontales que representan el ciclo estacional.




Además, sobre la línea de agostos, se dibuja cada uno de los agostos. – Así, si la serie tuviera tendencia y ciclo, el ciclo se vería en las lineas horizontales y la tendencia en los puntos dibujados en torno a estas lineas.

Gráfico Gráficode dedescomposición descomposiciónestacional estacional

Seasonal Subseries Plot Temperatura en La Coruña

temperatur

32 28 24 20 16 12 0

3

6

9

Season

Volver

12

15

Gráfico de índices estacionales (PARO REGISTRADO) Este Gráfico presenta unos índices para cada mes que suman 100. En este caso se observa claramente que la economía española genera mucho trabajo durante los meses de primavera y verano. Esto es debido a las actividades agrícola y turística.

Paro Registrado en España seasonal index

105 103 101 99 97 95 0

3

6

9

12

15

season

Volver

Gráfico Gráfico de de subseries subseries anuales anuales

Annual Subseries Plot for Temperatura en La Coruña

temperatur

32

Cycle 1 2 3 4 5 6

28 24 20 16 12 0

3

6

9

12

15

Season

Este gráfico dibuja los valores obtenidos cada año y superpone unos años sobre otros

Volver

Vamos Vamos aa hacerlos hacerlos

Volver

Combinación Combinación de decaracteristicas: caracteristicas:




Las series pueden tener simultáneamente Tendencia, Heterocedasticidad y Ciclo Estacional.




Veamos algunos ejemplos: 1. 2.

Paro registrado en España Consumo de Champagne en USA

Paro Paro registrado registrado Paro registrado en España 16500 14500 12500 10500 8500 6500 1/88

1/92

1/96

1/00

1/04

1. La serie se toma con periodicidad mensual y se aprecia claramente el ciclo estacional de orden 12. 2. Además tiene tendencia decreciente salvo en el periodo 1993/1995 en que tuvo tendencia creciente.

Consumo Consumo de de Champagne Champagne en en USA USA

Consumo de Champagne en USA 15 12 9 6 3 0 1/80

1/82

1/84

1/86

1/88

Se observa de nuevo el ciclo estacional de orden 12 y la serie es heterocedástica.

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Definición Definición de de series series estacionarias estacionarias Una serie es estacionaria si:




1.

No tiene tendencia

2.

Es homocedástica

3.

No tiene ciclo estacional

Serie sin tendencia

Serie Homocedástica

(X 0,001) 38

3,6 2,6

18 1,6 -2

0,6 -0,4

-22 -1,4 -42

-2,4 0

100

200

300

400

0

20

40

60

80

100

120

Cómo Cómovolver volverestacionaria estacionariauna unaserie serieque queno nolo lo es: es:

1. 2. 3. 4.

La serie tienen tendencia La serie es heterocedástica La serie tiene un ciclo estacional. En Statgraphics

Seguimos

La La serie serie tiene tiene tendencia tendencia Si Sila laserie serietiene tienetendencia tendenciase sele lequita quitaestudiando, estudiando,en enlugar lugarde dela laserie serie original originaluna unanueva nuevaserie serieconstruida construidarestando restandoaacada cadadato datoelelanterior anterior.. Serie con tendencia 19

Col_3

15 11

zt

7 3 -1 0

20

40

60

80

100

Serie con tendencia: Se toma un diferencia adjusted Col_3

5,6

wt= zt-zt-1

3,6 1,6 -0,4 -2,4 -4,4 0

20

40

60

80

100

Volver

La La serie serie es es heterocedástica heterocedástica Si Sila lavolatilidad volatilidad no no es es constante constante hay hayque que transformar transformar la la serie. serie. Logaritmos Logaritmos oo elevarla elevarla aa una una potencia potencia entre entre 0.01 0.01 yy 0.99 0.99 IPC en España Time Series Plot for (ipc) 120 100

(ipc)

80 60 40 20 0 0

100

200

300

400

500

Time Series Plot for (ipc)

IPC en España

120 100

(ipc)

80 60 40 20 0 0

100

200

300

400

500

Time Series Plot for adjusted (ipc)

IPC en España con

adjusted (ipc)

2,1 1,7 1,3

una diferencia

0,9 0,5 0,1 -0,3 0

100

200

300

400

500

Time Series Plot for adjusted (ipc) adjusted (ipc)

2,3

IPC en España con

1,3 0,3

dos diferencias

-0,7 -1,7 0

100

200

300

400

500

Time Series Plot for adjusted (ipc) adjusted (ipc)

2,3

IPC en España con

1,3 0,3

dos diferencias

-0,7 -1,7 0

100

200

300

400

500

LOGARITMO DE

Time Series Plot for adjusted log(ipc) adjusted log(ipc)

(X 0,001) 38

IPC en España con

18 -2 -22

dos diferencias

-42 0

100

200

300

400

500

Volver

La La serie serie tiene tiene ciclo ciclo estacional estacional

Consumo de Champagne en USA 15 12 9 6 3 0 1/80

1/82

1/84

1/86

1/88

Para Paraquitar quitarel elciclo ciclose setoma tomauna unadiferencia diferenciaestacional: estacional: Consiste Consisteen enresta restaaacada cadaobservación observaciónsu suequivalente equivalenteel elaño añoanterior anterior

wt= zt-zt-12

si los datos son mensuales

wt= zt-zt-4 si los datos son trimestrales

La La serie serie tiene tiene ciclo ciclo estacional estacional

Consumo de Champagne en USA 15 12 9 6 3 0 1/80

1/82

1/84

1/86

1/88

Champagne con una diferencia estacional 2,9 1,9

Con una diferencia

0,9 -0,1

de orden 12

-1,1 -2,1 0

20

40

60

80

100

Volver

Vamos Vamos aa hacerlos hacerlos en en Statgraphics Statgraphics

¿Es ¿Es estacionaria? estacionaria?

Time Series Plot for var4 3,6 2,6

var4

1,6 0,6 -0,4 -1,4 -2,4 0

20

40

60

80

100

120

¿Es ¿Es estacionaria? estacionaria?

Time Series Plot for var5 5,4

var5

3,4 1,4 -0,6 -2,6 0

20

40

60

80

100

120

¿Es ¿Es estacionaria? estacionaria?

Nacidos en Eapaña (X 10000) 76 66 56 46 36 1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

¿Es ¿Es estacionaria? estacionaria?

Nacidos en Eapaña (X 1000) 41 21

Con una diferencia

1 -19 -39 1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Nacidos en Eapaña (X 1000) 52 32 12

Con dos diferencias

-8 -28 -48 1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

¿Es ¿Es estacionaria? estacionaria?

Nikkei 110

bolsa

90 70 50 30 0

20

40

60

80

100

120

Nikkei con una diferencia adjusted bolsa

11 7

Con una diferencia

3 -1 -5 -9 -13 0

20

40

60

80

100

120

¿Es ¿Es estacionaria? estacionaria?

Contratacion accioones

Volumen contratación bolsa Madrid (X 1,E7) 6 5 4 3 2 1 0 1/81

1/86

1/91

1/96

1/01

1/06

¿Es ¿Es estacionaria? estacionaria? Contratacion accioones

Volumen contratación bolsa Madrid (X 1,E7) 6 5 4 3 2 1 0 1/81

1/86

1/91

1/96

1/01

1/06

(Volumen contratación bolsa Madrid) con una diferencia (X 1,E6) 21 11

Con una diferencia

1 -9 -19 1/81

1/86

1/91

1/96

1/01

1/06

Log (Volumen contratación bolsa Madrid) con una diferencia 0,9

Con una diferencia

0,6 0,3 0

y logs

-0,3 -0,6 -0,9 1/81

1/86

1/91

1/96

1/01

1/06

Series no estacionales Ruido blanco y modelos autorregresivos

Nomenclatura Nomenclatura de de series series temporales temporales


Una serie temporal se denomina genéricamente zt

zl z2 z3 ..... zt zt+1 zt+2 z1 representa el primer valor de la serie z2 el segundo zt será el valor actual de la serie. zt+1 representa el valor de la serie para el próximo periodo, es decir que es un valor futuro.

Identificar Identificar la la serie serie


En primer lugar debemos encontrar la estructura de dependencia de la serie:




Cómo se influyen las observaciones entre sí.

z1

z2

La flecha indica que Z1 influye sobre Z2.

Identificar Identificar la la serie serie


En general la serie tendrá un estructura de dependencia:

Identificar Identificar la la serie serie


z1

En general la serie tendrá un estructura de dependencia:

z2

z3

z4

z5

Identificar Identificar la la serie serie


z1

En general la serie tendrá un estructura de dependencia:

z2

z3

z4

z5

Existen dos funciones para representar la estructura de dependencia: 1. Función de Autocorrelación Simple (FAS) 2. Función de Autocorrelación Parcial (FAP)

Función Función de de autocorrelación autocorrelación simple simple (FAS) (FAS)






La FAS proporciona el coeficiente de correlación entre una observación y las siguientes Tenemos un valor para cada grado de separación (retardos) Es un sucesión de números:

ρ1, ρ2, ρ3, …., ρk que representan: cómo una observación influye sobre la siguiente (ρ ρ1) sobre la segunda posterior (ρ ρ2) sobre la k retardos posterior (ρ ρk).

ρ1 :

representa la influencia de

zi sobre zi+1

ρ1 :

representa la influencia de

ρ1 : zi

zi sobre zi+1 zi+1

ρ1 :

ρ1 : zi ρ2 :

zi sobre zi+1

representa la influencia de

zi+1

representa la influencia de

zi sobre zi+2

ρ1 :

ρ1 : zi ρ2 :

zi sobre zi+1

representa la influencia de

zi+1

representa la influencia de

ρ2 : zi

zi sobre zi+2 zi+2

ρ1 :

zi sobre zi+1

representa la influencia de

ρ1 : zi ρ2 :

zi sobre zi+2

representa la influencia de

ρ2 : zi ρk :

zi+1

zi+2

representa la influencia de

zi sobre zi+k

ρ1 :

zi sobre zi+1

representa la influencia de

ρ1 : zi ρ2 :

zi sobre zi+2

representa la influencia de

ρ2 : zi ρk :

zi+1

zi+2

representa la influencia de

ρk : zi

zi sobre zi+k

zi+k

Los valores de la FAS ρ1, ρ2, ρ3, …., ρk, están acotados entre [-1,+1].

•

Cuando un ρk vale cero quiere decir que no existe relación entre la observación zi y la separada k retardos, zi+k.

•

Cuando un ρk es próximo a +1, la relación entre zi y la separada k retardos, zi+k. es muy fuerte y positiva.

•

Cuando un ρk es próximo a -1, la relación entre zi y la separada k retardos, zi+k. es muy fuerte y negativa

Podemos resumir entonces que la FAS mide las influencias de una observación sobre las siguientes.

Ejemplo Ejemplo de de FAS FAS FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

La FAS proporciona los coeficientes de correlación de la serie consigo misma para distintos retardos. •Los palos largos son significativos. Las bandas horizontales son los límites para considerar significativo un retardo. Es decir si un palo está dentro de las bandas lo consideraremos no significativo en general.

•En el caso de la figura, los palos de retardos superiores no son significativos. •Esto indica que una observación no influye excesivamente sobre las que están muy alejadas de ella lo cual es muy razonable

Ruido Ruido blanco blanco

El ruido blanco es una serie temporal en la que las observaciones no tienen ninguna relación entre sí.

Las observaciones no se influyen unas a otras

La FAS del ruido blanco será.......

FAS FAS de de ruido ruido blanco: blanco:

FAS de ruido blanco Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Todas los palos son cero (están dentro de los límites de confianza)

Proceso Proceso AR(1) AR(1) En un proceso AR(1) cada observación recibe influencia directa de la observación anterior

zt = φ zt-1 + at Cada observación se construye a partir de la anterior más una perturbación aleatoria at .

Proceso Proceso AR(1) AR(1) zt = φ zt-1 + at Cada observación se construye a partir de la anterior más una perturbación aleatoria at . Por ejemplo: si φ = 0.6 y z7 = 50 sustituyendo en la ecuación: z8 = 0.6 50 + at = 30 + at El papel de at es permitir que z8 valga “algo” en torno a 30, y no exactamente 30.

Si no existiera el término at, la serie sería determinista, y conocido un valor de z ya conoceríamos todos los demás.

Un Un AR(1) AR(1) es es estacionario estacionario zt = φ zt-1 + at Si φ es menor que 1 En valor absoluto

Un proceso no estacionario se va a infinito enseguida. Es explosivo

FAS FAS de de un un AR(1) AR(1)

Fi positivo

Fi negativo

FAS FAS de de un un AR(1) AR(1)

Fi positivo

Fi negativo

Ejemplo Ejemplo de de serie serie real real AR(1) AR(1) Gráfico de la serie 5,8 3,8 1,8 -0,2 -2,2 -4,2 0

20

40

60

80

100

120

FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Ejemplo Ejemplo de de serie serie real real AR(1) AR(1) Gráfico de la serie 5,4

var5

3,4 1,4 -0,6 -2,6 0

20

40

60

80

100

120

FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Modelos Modelos AR(2) AR(2) zt = φ1 zt-1 + φ2 zt-2 + at Cada observación se construye a partir de las dos anteriores más una perturbación aleatoria at .

Modelos Modelos AR(2) AR(2) zt = φ1 zt-1 + φ2 zt-2 + at Cada observación se construye a partir de las dos anteriores más una perturbación aleatoria at .

z1

z2

z3

z4

z5

AR(1) relación de primer orden AR(2) relación de primer orden y

z1

z2

z3

z4

z5

directa de segundo orden

FAS FAS de de un un AR(2) AR(2) zt = φ1 zt-1 + φ2 zt-2 + at Utilizando el operador de retardos: Bzt=zt-1 B2 zt=zt-2 ... Bk zt=zt-k

(1- φ1B- φ2B2)zt = at

(1- φ1B- φ2B2)zt = at Se denomina polinomio característico y el aspecto del AR(2) depende de las soluciones de la ecuación

1- φ1B- φ2B2 =0 Las soluciones (2), pueden ser: •Reales positivas •Reales negativas •Imaginarias conjugadas

Un Un AR(2) AR(2) es es estacionario estacionario (1- φ1B- φ2B2)zt = at Si las raíces del polinomio característico son mayores que 1 en Módulo: Reales: Mayores que 1 en valor absoluto Imaginarias: Módulo mayor que 1.

Dos raíces reales positivas: Cada raíz real positiva aporta a las FAS una estructura decreciente de palos como la de un AR(1) con φ positivo. La FAS del AR(2) con raíces positivas será la superposición de dos estructuras decrecientes y positivas.

Dos raíces reales negativas: Cada raíz real positiva aporta a las FAS una estructura decreciente de palos alternados como la de un AR(1) con φ negativo. La FAS del AR(2) con raíces negativas será:

Dos raíces imaginarias conjugadas: Estructura sinusoidal

FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

AR(p) AR(p) zt = φ1 zt-1 + φ2 zt-2 +...+ φp zt-p + at Una observación recibe influencia directa de las p anteriores.

zt-p

……

zt-2

zt-1

zt

(1+ φ1B+ φ2B2+...+ φpBp)zt = at

Un Un AR(p) AR(p) es es estacionario estacionario si: si: (1- φ1B- φ2B2-...- φpBp)zt = at Todas las raíces reales del polinomio característico son mayores que 1 en valor absoluto. Las imaginarias mayores que 1 en módulo.

FAS FAS del del AR(p) AR(p)


Cada raíz real positiva aporta una estructura decreciente de palos positivos




Cada raíz real negativa aporta una estructura decreciente de palos de signos alternados




Cada pareja de conjugadas aporta una estructura sinusoidal.

Tremendo follón

LA LA FAS FAS tiene tiene un un problema problema


Proporciona la influencia TOTAL de una observación sobre las siguientes pero no puede distinguir entre estas situaciones

z1

z2

z3

z4

z5

z1

z2

z3

z4

z5

LA LA FAS FAS tiene tiene un un problema problema

z1

z2

z3

z4

z5

Influencia directa de orden 1 Influencia directa de orden 1 y de orden 2

z1

z2

z3

z4

z5

Solución: Solución: FAP FAP







La Función de Autocorrelación Parcial proporciona las relaciones directas entre observaciones. Para un AR(1) dará un palo Para un AR(2) dará dos palos Para un AR(p) dará p palos

FAS FAS yy FAP FAP de de un un AR(1) AR(1) fifi positivo positivo

FAS FAS yy FAP FAP de de un un AR(1) AR(1) fifi negativo negativo

Fas Fas yy Fap Fap de de AR(2) AR(2) fifi positivo positivo

Fas Fas yy Fap Fap de de AR(2) AR(2) raíces raíces imaginarias imaginarias FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

FAP 1 0,6 0,2 -0,2 -0.6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Ejercicios: Ejercicios: ¿Qué ¿Qué puede puede ser ser esto? esto?

Time Series Plot for var1 3,5 2,5

var1

1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var1 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var1 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var2 3,6 2,6

var2

1,6 0,6 -0,4 -1,4 -2,4 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var2 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var2 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var3 5,8

var3

3,8 1,8 -0,2 -2,2 -4,2 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var3 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var3 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var4 3,6 2,6

var4

1,6 0,6 -0,4 -1,4 -2,4 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var4 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var4 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var5 5,4

var5

3,4 1,4 -0,6 -2,6 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var5 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var5 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var6 8

var6

5 2 -1 -4 -7 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var6 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var6 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var7 10 7

var7

4 1 -2 -5 -8 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var7 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var7 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var8 3,7 2,7

var8

1,7 0,7 -0,3 -1,3 -2,3 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var8 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var8 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var1 3 2

var1

1 0 -1 -2 -3 0

20

40

60

80

100

Estimated Autocorrelations for var1 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var1 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var1 3,5 2,5

var1

1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var1 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var1 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Series no estacionales Modelos de Media Móvil

Gráfico de la serie 4,9

var7

2,9 0,9 -1,1 -3,1 0

20

40

60

80

100

FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

FAS

Partial Autocorrelations

FAP 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Modelos Modelos AR AR yy MA MA











Los Losprocesos procesosautorregresivos autorregresivos modelizan modelizanbien bienseries series en enlas lasque queun unimpacto impactodel delexterior exteriorva vaabsorbiéndose absorbiéndose lentamente. lentamente. La Laabsorción absorcióndel delimpacto impactopuede puededurar durarmuchos muchos periodos. periodos. Hay Hayseries seriesen enlas lasque quela laabsorción absorciónde delos losimpactos impactosse se hace hacemuy muyrápidamente: rápidamente:tienen tienenincidencia incidenciadurante durante uno unooodos dosperiodos periodospero peroluego luegola laserie serievuelve vuelvesu su comportamiento comportamientonormal. normal.

Modelos Modelos AR AR yy MA MA






Ejemplo: volumen de tráfico aéreo. La necesidad de viajar es grande. Empresas, turismo..... Si ocurre un impacto sobre este mercado suele durar poco tiempo: – –




Guerra del golfo. 11 de septiembre.

Sufren una bajada de pasajeros pero se recuperan pronto

Modelos Modelos MA MA


Los modelos MA están diseñados para absorber los impactos rápidamente. – –

–

–

El MA(1) los absorbe en un periodo. Es decir si en el periodo 23 ocurre un impacto que hace que la serie sufra un desplazamiento, ese impacto se absorbe en el periodo 24. En el periodo 25 la serie está de nuevo a su nivel normal. El proceso MA(2) absorbe el impacto en dos periodos. Volvería su nivel normal en la observación 26.

Modelo Modelo MA(1) MA(1)


El proceso de media móvil de primer orden tiene una ecuación

zt = at - θ at-1








donde at se denomina la innovación y representa los efectos externos a la serie. Si un proceso es MA(1), sus valores estarán formados por los efectos externos muy recientes, el actual at y el inmediatamente anterior at-1. El proceso MA tiene memoria corta, y absorbe rápidamente los impactos.

Absorción Absorción de de impactos impactos en en un un MA(1) MA(1)

Serie AR(1) con ρ = 0.9 y un proceso MA(1) con θ = 0.9. En el período 50 les viene un impacto externo muy grande. El impacto puede verse en el salto que da la serie. La serie AR, tarda en volver a su nivel, mientras que la serie MA vuelve inmediatamente, en dos observaciones.

FAS FAS yy FAP FAP del del MA(1) MA(1) Son como las de un AR(1) pero cambiadas

Estructura en la FAP y un palo en la FAS: Theta positivo: palos hacia abajo del mismo signo Theta negativo: Palos alternados, positivo-negativo....

MA(1) MA(1) Gráfico de la serie 4,9

var7

2,9 0,9 -1,1 -3,1 0

20

40

60

80

100

15

20

25

15

20

25

FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

FAS

FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

lag

MA(2) MA(2)


El proceso de media móvil de orden 2 MA(2) tiene la siguiente ecuación:





zt = at - θ1 at-1 - θ2 at-2

y tarda 2 períodos en absorber los impactos. Su FAS tendrá 2 palos significativos, y su FAP tendrá un decrecimiento.

MA(2) MA(2) Serie (X 1,E7) 8 4 0 -4 -8 0

20

40

60

80

100

15

20

25

FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

lag

Partial Autocorrelations

FAP 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

MA(q) MA(q)




El proceso de media móvil de orden superior MA(q) tiene la siguiente ecuación:


zt = at - θ1 at-1 - θ2 at-2 - … - θq at-q

y tarda q períodos en absorber los impactos.


Su FAS tendrá q palos significativos, y su FAP tendrá un decrecimiento.

MA(q) MA(q) con con el el operado operado retardo retardo B B


zt = at - θ1 at-1 - θ2 at-2 - … - θq at-q

Como B at=at-1 y Bk at=at-k aplicando el operador de retardos:


zt = at-θ θ1Bat - θ2B2at - … - θqBqat zt = (θ θ1B - θ2B2 - … - θqBq)at

MA MA versus versus AR AR




AR: tardan en absorber los impactos MA: absorben los impactos rápidamente.




FAS:




– –




AR: Mucha estructura decreciente MA: Pocos palos

FAP: – –

AR: Pocos palos MA: Mucha estructura decreciente

Ejercicios: Ejercicios: ¿Qué ¿Qué puede puede ser ser esto? esto?

Time Series Plot for var1 3,5 2,5

var1

1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var1 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var1 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var2 3,6 2,6

var2

1,6 0,6 -0,4 -1,4 -2,4 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var2 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var2 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var3 5,8

var3

3,8 1,8 -0,2 -2,2 -4,2 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var3 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var3 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var3 5

var3

3 1 -1 -3 0

20

40

60

80

100

Estimated Autocorrelations for var3 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var3 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var4 3,5 2,5

var4

1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 0

20

40

60

80

100

Estimated Autocorrelations for var4 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var4 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var5 3,4 2,4

var5

1,4 0,4 -0,6 -1,6 -2,6 0

20

40

60

80

100

Estimated Autocorrelations for var5 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var5 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var6 5

var6

3 1 -1 -3 0

20

40

60

80

100

Estimated Autocorrelations for var6 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var6 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var4 3,6 2,6

var4

1,6 0,6 -0,4 -1,4 -2,4 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var4 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var4 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var7 4,9

var7

2,9 0,9 -1,1 -3,1 0

20

40

60

80

100

Estimated Autocorrelations for var7 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var7 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var9 5,5 3,5

var9

1,5 -0,5 -2,5 -4,5 0

20

40

60

80

100

Estimated Autocorrelations for var9 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var9 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var13 (X 1,E6) 28

var13

18 8 -2 -12 -22 -32 0

20

40

60

80

100

Estimated Autocorrelations for var13 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var13 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var5 5,4

var5

3,4 1,4 -0,6 -2,6 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var5 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var5 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var6 8

var6

5 2 -1 -4 -7 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var6 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var6 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var7 10 7

var7

4 1 -2 -5 -8 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var7 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var7 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var8 3,7 2,7

var8

1,7 0,7 -0,3 -1,3 -2,3 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var8 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var8 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var1 3 2

var1

1 0 -1 -2 -3 0

20

40

60

80

100

Estimated Autocorrelations for var1 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var1 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Time Series Plot for var1 3,5 2,5

var1

1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 0

20

40

60

80

100

120

Estimated Autocorrelations for var1 Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for var1 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Modelos Modelos ARMA ARMA





Muchas veces encontramos series que tienen parte AR y parte MA. La parte MA modeliza la absorción de impactos. La parte AR el efecto residual. –

AR(1)+MA(1)=ARMA(1,1)

–

AR(p)+MA(q)=ARMA(p,q)

Modelos Modelos ARMA(p,q) ARMA(p,q)








La FAS de un ARMA(p,q): Los primeros q palos dependen de la parte MA. Estos palos le van a permitir a la serie absorber rápidamente los impactos externos. A partir del retardo q se producirá un decrecimiento de los palos que vendrá dado por la estructura AR. La FAP de un ARMA(p,q): Los primeros p palos de la FAP dependen de la parte AR. A partir del retardo p se producirá un decrecimiento de los palos que vendrá dado por la estructura MA.

Resumiendo la FAS y FAP de los procesos ARMA(p,q) tienen estructura en ambas funciones.

Modelos Modelos ARMA(p,q) ARMA(p,q) Un Unbuen buencriterio criteriopara paraseleccionar seleccionarmodelos modeloses esdecidir decidirdónde dóndehay hay más másestructura. estructura. Si Sihay haymás másen enlalaFAS FASyyen enlalaFAP FAPhay hayuno unooodos dospalos palos tendremos tendremosun unmodelo modeloAR. AR. Si Sihay haymás másen enlalaFAP FAPyyen enlalaFAS FAShay hayuno unooodos dospalos palosestaremos estaremos ante anteun unMA MA Si Sien enambas ambasfunciones funcioneshay haymucha muchaestructura, estructura,estaremos estaremosante ante modelos modelosARMA. ARMA.

Modelos Modelos ARMA ARMA Gráfico de la serie (X 1,E7) 5,2 3,2 1,2 -0,8 -2,8 -4,8 0

20

40

60

80

100

FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2

Estructura

-0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

FAS

Partial Autocorrelations

FAP 1 0,6

Estructura

0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Modelos Modelos ARMA(p,q) ARMA(p,q) en en forma forma de de polinomio polinomio AR(p): (1+ φ1B+ φ2B2+...+ φpBp)zt = at

MA(q): zt = (1-θ θ1B - θ2B2 - … - θqBq)at (1+ φ1B+ φ2B2+...+ φpBp)zt =(1-θ θ1B - θ2B2 - … - θqBq)at ARMA(p,q) (1+ φ1B)zt =(1-θ θ1B)at ARMA(1,1)

Modelos Modelos ARMA(p,q) ARMA(p,q) en en forma forma de de polinomio polinomio (1+ φ1B+ φ2B2+...+ φpBp)zt =(1-θ θ1B - θ2B2 - … - θqBq)at ARMA(p,q) (1+ φ1B+ φ2B2)zt =(1-θ θ1B)at ARMA(2,1) (1+ φ1B)zt =(1-θ θ1B - θ2B2 )at ARMA(1,2) (1+ φ1B+ φ2B2)zt =(1-θ θ1B - θ2B2 )at ARMA(2,2)

Series no estacionarias Modelos ARIMA(p,d,q)

Cotizaciones de IBM

IBM

610

ibm

570 530 490 450 0

20

40

60

80

100

120

FAS ibm Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

lag

Partial Autocorrelations

FAP ibm 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

IBM con una diferencia

adjusted ibm

25 15 5 -5 -15 0

20

40

60

80

100

120

Tomando una diferencia FAS adjusted ibm

Estacionario y sigue un MA(1): La serie IBM con una diferencia Autocorrelations

1

0,6

sigue un MA(1) o ARMA(0,1).

0,2

-0,2

IBM sigue un ARIMA(0,1,1) -0,6 -1

0

5

10

15

20

25

lag

ARIMA(p,d,q): Partial Autocorrelations

FAP adjusted ibm

p: orden del autorregresivo 1

0,6 0,2

q: orden del MA -0,2 -0,6

d: Número de diferencias que hemos tenido que tomar para -1

0

5

10

15

lag

que la serie sea estacionaria

20

25

Estimación Estimación











Una vez identificada la serie, es decir, cuando se conoce el modelo ARIMA (p,d,q) que puede seguir, es preciso estimar los parámetros. La estimación de modelos ARIMA es compleja y utiliza algoritmos de optimización no lineales para calcular los valores de los parámetros utilizando el método de máxima verosimilitud. El resultado de la estimación es una tabla análoga a la de regresión. Esta tabla proporciona los valores estimados de los parámetros, sus errores estándar y estadísticos t.

Vamos Vamos aa ajustar ajustar un un modelo modelo aa la la serie serie de de IBM IBM









IBM no es estacionaria debido a su tendencia. Tomamos por tanto una diferencia regular a la serie IBM. Una serie a la que se le ha tomado una diferencia regular se representa mediante una ∇. La serie IBM con una diferencia será, por tanto, ∇ IBM.

Recordando Recordando IBM IBM IBM con una diferencia

adjusted ibm

25 15 5 -5 -15 0

20

40

60

80

100

120

IBM es un ARIMA(0,1,1)

FAS adjusted ibm Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

20

25

lag

Partial Autocorrelations

FAP adjusted ibm 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

ARIMA Model Summary Parameter Estimate Stnd. Error t -------------------------------------------------------------MA(1) -0,270708 0,0908496 -2,97974 Mean 1,12023 0,583698 1,91919 Constant 1,12023 --------------------------------------------------------------

∇ IBMt = at + 0.27 at-1 Std. Error

(0.09)

T

(-2.97)

El ajuste indica que θ es significativamente distinta de 0, ya que la t es mayor que 2 en valor absoluto. Si hubiésemos estimado un MA(2), la ecuación obtenida habría sido ∇ IBMt = at + 0.23 at-1 – 0.07 at-2 Std. Error

(0.09)

(0.09)

T

(-2.46)

(0.75)

que indica que θ2 no es significativa.

El proceso de estimación consiste en encontrar los valores numéricos para los parámetros que mejor se ajusten a nuestros datos. En nuestro caso vemos que ∇ IBM sigue un modelo MA(1). Al probar el MA(2) el valor de θ2 no sale significativo. Esto equivale a pensar que θ2 vale realmente cero: θ2=0.

Diagnosis Diagnosis

Serie con estructura

Modelo Correcto

Serie sin estructura

Diagnosis Diagnosis




Si una serie está bien identificada, y se le ajusta el modelo correcto, los residuos de la serie deben carecer completamente de estructura.

Diagnosis Diagnosis Si la serie está bien ajustada sus residuos deben ser ruido blanco. 1. FAS y FAP de los residuos. Serie está bien ajustada, FAS y la FAP de los residuos debe ser nula. En la práctica debemos comprobar que los palos de las funciones no son significativos. 2. Test de Box-Pierce Proporciona información sobre si los primeros palos de la función de autocorrelación simple de los residuos son cero o no 3. Test de rachas y estructuras extrañas en los residuos.

Diagnosis Diagnosis IBM IBM Residual Autocorrelations for adjusted ibm ARIMA(0,1,1) with constant

Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

30

lag

Partial Autocorrelations

Residual Partial Autocorrelations for adjusted ibm ARIMA(0,1,1) with constant 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

lag

20

25

Diagnosis Diagnosis IBM IBM











El test de Box-Pierce para los 24 primeros palos de la FAS da un valor de 18.63 con un p-valor de 0.72. Este resultado debe interpretarse como que no hay evidencia para rechazar que los residuos sean ruido blanco. El test de Box-Pierce indica problemas cuando el p-valor se hace menor de 0.05. Cuanto mayor sea, hay más evidencia a favor de que los residuos son ruido blanco. Finalmente los test de rachas no indican nada anormal en los residuos. Podemos por tanto asumir que el modelo ARIMA (0, 1, 1) es adecuado para modelizar los datos de IBM.

Ejercicios: Ejercicios: ¿Qué ¿Qué puede puede ser ser esto? esto?

Time Series Plot for Nacidos Espania Nacidos Espania

(X 10000) 76 66 56 46 36 1950

1960

1970

1980

1990

2000

Con una diferencia adjusted Nacidos Espania

Time Series Plot for adjusted Nacidos Espania (X 1000) 41 21 1 -19 -39 1950

1960

1970

1980

1990

2000

Nacidos Nacidos con con dos dos diferencias diferencias

adjusted Nacidos Espania

Time Series Plot for adjusted Nacidos Espania (X 1000) 52 32 12 -8 -28 -48 1950

1960

1970

1980

1990

2000

Con una diferencia

adjusted Nacidos Espania

Time Series Plot for adjusted Nacidos Espania (X 1000) 41 21 1 -19 -39 1950

1960

1970

1980

1990

2000

Estimated Autocorrelations for adjusted Nacidos Espania Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

3

6

9

12

15

18

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for adjusted Nacidos Espania 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

3

6

9

lag

ARIMA(2,1,0)

o

ARIMA(1,1,1)

12

15

18

Time Series Plot for adjusted Nacidos Espania adjusted Nacidos Espania

(X 1000) 52

Con dos diferencias

32 12 -8 -28 -48 1950

1960

1970

1980

1990

2000

Estimated Autocorrelations for adjusted Nacidos Espania Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

3

6

9

12

15

18

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for adjusted Nacidos Espania 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

3

6

9

lag

ARIMA(0,2,1)

12

15

18

ARIMA Model Summary Parameter Estimate Stnd. Error t P-value ---------------------------------------------------------------------------AR(1) 0,906209 0,109254 8,29452 0,000000 MA(1) 0,595233 0,19563 3,04264 0,003867 Mean 78,5302 7148,55 0,0109855 0,991283 Constant 7,36545 ----------------------------------------------------------------------------

ARIMA(1,1,1)

Residual Autocorrelations for adjusted (Nacidos en Espania) ARIMA(1,1,1) with constant

Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

3

6

9

12

15

18

lag

Box-Pierce Test --------------Test based on first 16 autocorrelations Large sample test statistic = 6,92167 P-value = 0,937689

Partial Autocorrelations

Residual Partial Autocorrelations for adjusted (Nacidos en Espania) ARIMA(1,1,1) with constant 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

3

6

9

12

15

18

lag

Period Forecast Limit Limit -------------------------------------------------------------------------2001,0 402846,0 374801,0 430891,0 2002,0 409279,0 363038,0 455520,0 2003,0 415116,0 350822,0 479409,0

ARIMA Model Summary Parameter Estimate Stnd. Error t P-value ---------------------------------------------------------------------------AR(1) 0,296774 0,132151 2,24572 0,029569 AR(2) 0,38305 0,13441 2,84986 0,006524 Mean -1729,3 5792,39 -0,298546 0,766631 Constant -553,681 ----------------------------------------------------------------------------

ARIMA(2,1,0)

Residual Autocorrelations for adjusted (Nacidos en Espania) ARIMA(2,1,0) with constant

Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

3

6

9

12

15

18

lag

Box-Pierce Test --------------Test based on first 16 autocorrelations Large sample test statistic = 6,32892 P-value = 0,957508

Partial Autocorrelations

Residual Partial Autocorrelations for adjusted (Nacidos en Espania) ARIMA(2,1,0) with constant 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

3

6

9

12

15

18

lag

Period Forecast Limit Limit -----------------------------------------------------------------------------2001,0 405561,0 377557,0 433565,0 2002,0 413903,0 368045,0 459761,0 2003,0 419581,0 352097,0 487065,0

Parameter Estimate Stnd. Error t P-value ---------------------------------------------------------------------------MA(1) 0,664443 0,116135 5,7213 0,000001 Mean -77,0265 730,09 -0,105503 0,916436 Constant -77,0265 ----------------------------------------------------------------------------

ARIMA(0,2,1)

Residual Autocorrelations for adjusted (Nacidos en Espania) ARIMA(0,2,1) with constant

Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

3

6

9

12

15

18

lag

Partial Autocorrelations

Residual Partial Autocorrelations for adjusted (Nacidos en Espania) ARIMA(0,2,1) with constant 1 0,6 0,2

Box-Pierce Test --------------Test based on first 16 autocorrelations Large sample test statistic = 6,23158 P-value = 0,97559

-0,2 -0,6 -1 0

3

6

9

12

15

18

lag

Lower 95,0% Upper 95,0% Period Forecast Limit Limit -----------------------------------------------------------------------------2001,0 402938,0 374455,0 431420,0 2002,0 410042,0 362520,0 457564,0 2003,0 417070,0 349809,0 484330,0

Series estacionales

PASOS PASOS para para ajustar ajustar una una serie serie No No estacional estacional 1. Gráfico de la serie: ¿Es estacionaria? 2. FAS Y FAP de la serie: ¿Es estacionaria? 3. Identificación del modelo ARIMA(p,d,q) 4. Ajuste de la serie 5. Diagnosis de la serie: Residuos Ruido Blanco

Predicciones

PASOS PASOS para para ajustar ajustar una una serie serie estacional estacional 1. Gráfico de la serie: ¿Es estacionaria?

CICLO

2. FAS Y FAP de la serie: ¿Es estacionaria? 3. Identificación del modelo ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s 4. Ajuste de la serie 5. Diagnosis de la serie: Residuos Ruido Blanco

Predicciones

IPI IPI Inglaterra Inglaterra Time Series Plot for ipi 132

ipi

122 112 102 92 82 0

30

60

90

120

No es estacionaria: Tiene ciclo y tendencia

150

Time Series Plot for ipi 132

ipi

122 112 102 92 82 0

30

60

90

120

150

Estimated Autocorrelations for ipi Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

10

20

30

40

50

lag

Partial Autocorrelations

Estimated Partial Autocorrelations for ipi 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

10

20

30

lag

40

50

Quitamos la tendencia: Diferencia de orden 1 ∇IPI

Time Series Plot for adjusted ipi

adjusted ipi

25 15 5 -5 -15 0

30

60

90

120

150

Serie sin tendencia pero FAS

con ciclo. Hay que tomar Autocorrelations

0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

10

20

30

40

50

30

40

50

lag

FAP Partial Autocorrelations

una diferencia estacional

1

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

10

20

lag

Quitamos la tendencia: Diferencia de orden 1 estacional ∇12IPI

IPI con diferencia estacional

adjusted ipi

10 7 4 1 -2 -5 -8 0

30

60

90

120

150

30

40

50

30

40

50

Serie con tendencia pero sin ciclo. Hay que tomar

FAS

0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

10

20

lag

FAP Partial Autocorrelations

una diferencia regular

Autocorrelations

1

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

10

20

lag

Con una diferencia regular y una estacional: ∇∇12IPI

IPI con diferencia estacional y otra regular

adjusted ipi

8 4 0 -4 -8 0

30

60

Serie estacionaria

90

120

150

30

40

50

FAS Autocorrelations

1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

10

20

lag

Partial Autocorrelations

FAP 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

10

20

30

lag

40

50

Características Características de de las las series series estacionales estacionales


Las series estacionales tienen una estructura de dependencia estacional que se caracteriza porque un periodo de un año actúa sobre el periodo equivalente del año siguiente directamente

Características Características de de las las series series estacionales estacionales


Las series estacionales tienen una estructura de dependencia estacional que se caracteriza porque un periodo de un año actúa sobre el periodo equivalente del año siguiente directamente

Marzo1995 Marzo1996

Marzo1997

Marzo1998

Características Características de de las las series series estacionales estacionales


Las series estacionales tienen una estructura de dependencia estacional que se caracteriza porque un periodo de un año actúa sobre el periodo equivalente del año siguiente directamente

Marzo1995 Marzo1996

Marzo1997

Marzo1998

los meses de marzo se influyen directamente sin necesidad de pasar por todos los meses intermedios del año

En definitiva, en las series estacionales existe una cadena de influencia adicional de cada periodo actuando sobre su equivalente del año siguiente:

z1 → z13 → … → zt-12 → zt →zt+12 → …




1.

2.

Se distinguen entonces estructuras de influencia:

dos

tipos

de

Estructura Regular: se refiere a la relación entre una observación y las siguientes consecutivas. Corresponde a los modelos ya estudiados. Ajustaremos la parte regular mediante un modelo ARIMA (p,d,q). z1 → z2 → … → zt-1 → zt →zt+1 → … Estructura Estacional: se refiere a la relación entre periodos equivalentes actuando directamente. Ajustaremos modelos ARIMA estacionales. z1 → z13 → … → zt-12 → zt →zt+12 → …

Si tuviéramos datos trimestrales (Estacionalidade orden 4) la cadena de dependencia sería:

z1 → z5 → … → zt-4 → zt →zt+4 → …

Modelos Modelos AR, AR, MA MA yy ARMA ARMA estacionales estacionales Modelos Autorregresivos:

Modelos de media móvil:

AR(1)S

MA(1)s

AR(2)S

MA(Q)s

AR(P)S

Modelos ARMA:

ARMA(P,Q)s Seguimos

AR(1) AR(1)ss El modelo autorregresivo de primer orden estacional AR(1)S sigue una ecuación:

zt = Φ zt-S + at es decir que la observación actual, zt, depende de la equivalente del año anterior zt-S y un ruido blanco. Si los datos fueran mensuales la ecuación sería:

zt = Φ zt-12 + at enero de un año se vería directamente afectado por enero del año anterior.

En forma polinómica, el modelo AR(1)S tiene la expresión: (1- ΦBS) zt = at y tal como ocurre en el modelo AR(1) regular, este modelo será estacionario si las raíces del polinomio 1- ΦB12=0 están dentro del círculo unidad. Esto equivale a que Φ