LICENCIATURA EN CIENCIAS Y TÉCNICAS ESTADÍSTICAS 2º Curso

UNIVERSIDAD DE SEVILLA ------------Departamento de Estadística e Investigación Operativa

MODELOS ESTOCÁSTICOS DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA. I Curso 2010-2011

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Procesos estocásticos. Definiciones y propiedades básicas. Función generatriz de probabilidad y sus aplicaciones Cadenas de Markov en tiempo discreto. Procesos de Poisson. Procesos de nacimiento y muerte. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Procesos de renovación. Procesos de decisión markovianos.

Bibliografía 1.

Beichelt, F. (2006). Stochastic Processes in Science, Engineering and Finance. Chapman & Hall 2. Bellman, R.E. (1957). Dynamic Programming. Princeton University Press 3. Çinlar, E. (1975). Introduction to Stochastic Processes. Prentice-Hall 4. Denardo, E.V. (1982). Dynamic Programming, models and applications. PrenticeHall 5. Feller, W. (1989). Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones. Limusa-Wiley 6. Grimmett. G.R.; Stirzaker, D.R. (1992) Probability and Random Processes. Oxford Science Publications 7. Heyman, D.P., y Sobel, M.J. (1982). Stochastic models in Operations Research. McGraw-Hill 8. Lawler, G.F. (2006) Introduction to Stochastic Processes. Chapman & Hall 9. Heyman, D.P., y Sobel, M.J. (1990). Stochastic models. North-Holland 10. Kibzun, A.I., y Yu.S. (1996). Stochastic Programming problems. Wiley 11. Parzen. (1973). Procesos estocásticos. Paraninfo 12. Tijms, H.J. (1986). Stochastic modelling and analysis. Wiley

Metodología y Evaluación. La evaluación de la asignatura en cualquier convocatoria se realizará mediante un examen final que constará de dos partes: teórica y práctica, además de un trabajo de curso obligatorio. Cada parte del examen se calificará de 0-10 puntos. Para aprobar el examen será imprescindible obtener al menos una calificación media de 5 puntos entre las partes teórica y práctica, debiendo alcanzar al menos un tres en cada una de las partes. Además del examen final para la convocatoria de junio habrá un examen eliminatorio, con las mismas características del examen final, que se celebrará con anterioridad.

´ ´ METODOS ESTOCASTICOS DE LA I.O. 1 EJERCICIOS Cap´ıtulo 1.- Funci´ on generatriz de probabilidad. Aplicaciones Ejercicio 1.1 Calcular la funci´on generatriz de probabilidad, y a partir de ella la media y la varianza de las distribuciones de probabilidad: 1. Bernoulli 2. Geom´etrica 3. Poison 4. Hipergeom´etrica Ejercicio 1.2 A un aparcamiento llegan durante una hora K tipos de veh´ıculos (motos, camiones, furgonetas,...). El n´ umero de cada tipo se rige por una ley de Poisson de par´ametro λi , i = 1, . . . , K. Determinar la distribuci´on del n´ umero total de veh´ıculos que llegan al aparcamiento en dicho periodo. Ejercicio 1.3 Un insecto deposita N huevos, donde N est´a distribuido seg´ un una ley de Poisson de media λ. Cada huevo tiene una probabilidad p de sobrevivir, independientemente de los restantes. Determinar la distribuci´on del n´ umero de supervivientes Ejercicio 1.4 Mediante el uso de la funci´on generatriz de probabilidad determinar los momentos y leyes marginales de la distribuci´on multinomial. Ejercicio 1.5 Sea X distribuida seg´ un una ley de Poisson de par´ametro Y, donde Y sigue una ley de Poisson de par´ametro µ. Probar que GX+Y (s) = exp(µ(ses−1 − 1)). Ejercicio 1.6 Sea una variable aleatoria X que se distribuye seg´ un una ley de Poisson de par´ametro (Λ),y donde Λ sigue una ley exponencial Exp(µ). Probar que X sigue una distribuci´on geom´etrica. 1

Ejercicio 1.7 Sean X1 , X2 , ... variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas con funci´on de densidad ”logar´ıtmica”: f (k) =

(1 − p)k ; klog( p1 )

con

k≥1

donde 0 < p < 1. Si N es independiente de los Xi y sigue una distribuci´on de Poisson con P par´ametro µ, probar que Y = N X sigue una distribuci´on binomial negativa. i i=1 Ejercicio 1.8 Tomamos X una variable aleatoria distribuida como X ∼ Bi(n, U ), donde U es una variable aleatoria distribuida uniformemente en (0, 1). Veamos que X est´a uniformemente distribuida en {0,1,2,. . . ,n}. Ejercicio 1.9 Se lanza una moneda n-veces, sea ”p”la probabilidad de que salga cara (probabilidad ´exito) se pide: a.Demostrar que la funci´on generatriz de probabilidad conjunta de las variables aleatorias H y T de caras y cruces, respectivamente, es: GH,T (x, y) = (px + (1 − p)y)n b.Generalizar esta conclusi´on para hallar la funci´on generatriz de probabilidad de una distribuci´on multinomial. Ejercicio 1.10 Se lanza una moneda repetidamente, la probabilidad de que salga cara en cada lanzamiento es p. Sea hn la probabilidad de obtener un numero par de caras en n lanzamientos de la moneda.Aceptando que 0 es par, encontrar una ecuaci´on verificada por hn y hn−1 y deducir de ella que la funci´on generatriz de probabilidad correspondiente es: 1 1 1 H(s) = { + } 2 1 − s 1 − (q − p)s Ejercicio 1.11 Tenemos una columna de sobres y otra de cartas, con el mismo numero de unidades en ambas. Debido al azar se nos cae ambas columnas y metemos las cartas en los sobres de forma aleatoria.

2

1. Demostrar que si Xn es el numero de cartas introducidas correctamente en su sobre, la relaci´on entre la probabilidad de Xn y Xn+1 es dada por: P [Xn = j] = (1 + j)P [Xn+1 = j + 1] 2. Deducir PXn (s) = PX0 n+1 (s) 3. Concluir P [Xn = r] = 1r ( 2!1 −

1 3!

+ ........ +

(−1)n−r ) (n−r)!

Ejercicio 1.12 Dadas n-cartas y sus sobres con las direcciones ¿Cu´al es la probabilidad pn de que al colocar al azar las cartas en los sobres ninguna carta se encuentre en el sobre correcto? Ejercicio 1.13 Una moneda se lanza sucesivamente, obteniendo cara con probabilidad p en cada lanzamiento. Calcula la probabilidad de pm,n de que aparezcan m-caras antes de ncruces.(Pacioli 1494). Ejercicio 1.14 En cada paquete de un cierto alimento para ni˜ nos se incluye una estampa de un campe´on. Hay c diferentes, y se distribuyen de modo que cada paquete puede tener cualquiera de ellos con la misma probabilidad. Si compramos un paquete cada d´ıa: a) Determinar el n´ umero medio de dias transcurridos para completar la colecci´on. b) Sea T el n´ umero de paquetes abiertos hasta que se complete la colecci´on. Determinar T E[s ] y P [T = k]. Suponiendo que c = 4.

3

Cap´ıtulo 2.- Procesos estoc´ asticos Ejercicio 2.1 Sea {Zn } una secuencia de variables aleatorias Princorreladas, con media 0 y varianza la unidad. Definimos la media m´ovil como: Yn = i=0 αi Zn−i , siendo α1 . . . αn constantes. Demostrar que Yn es estacionario y encontrar su funci´on de autocovarianza. Ejercicio 2.2 Sea Zn como en el ejercicio anterior. Supongamos que Yn es una secuencia estacionaria que verifica Yn = αYn−1 + Zn , −∞ < n < +∞ , para alg´ un α/|α| < 1. Calcular la funci´on de autocovarianza de Y . Ejercicio 2.3 e Sea X(t) = Y cos(θt) + Zsen(θt) donde Y y Z son variables N(0,1) y sea X(t) = Rcos(θt + ψ) donde R y ψ son v.a. independientes. Encontrar distribuciones para R y ψ e posean las funciones de distribuci´on finito dimensionales iguales. de forma que X y X Ejercicio 2.4 P −i Sea U uniforme en [0, 1]Pcon desarrollo en base dos dado por: U = ∞ i=1 Xi 2 . Demos∞ −i trar que la sucesi´on Vn = i=1 Xi+n 2 es fuertemente estacionaria y calcular su funci´on de autocovarianza. Ejercicio 2.5 Sea X una sucesi´on de v.a. con media 0 y funci´on de autocovarianza c. Probar que los coeficientes del mejor predictor lineal (en el sentido de minimizar el error cuadr´atico medio) de Xr+k como funci´on de Xr , Xr−1 , . . . , Xr−s verifican la ecuaci´on: s X

ai c(|i − j|) = c(k + j)

0 ≤ j ≤ s.

i=0

Ejercicio 2.6 Consideramos el esquema autoregresivo Yn = αYn−1 + Zn , −∞ < n < +∞, donde {Zn } es una secuencia de variables aleatorias independientes con media 0 y varianza 1, α ∈ R, |α| < 1. Determinar la mejor estimaci´on lineal de Yr+k como funci´on de Yr , Yr−1 , . . . , Yr−s y el error cuadr´atico medio de esta predicci´on.

4

Ejercicio 2.7 Consideremos el proceso estoc´astico {Zn }, n = 0, 1, 2..., que representa el recorrido de una part´ıcula que se mueve a lo largo de un eje con pasos de tama˜ no unidad, en momentos que representan incrementos de una unidad de tiempo. Suponemos que cada movimiento tiene la probabilidad p de hacerlo hacia la derecha y q de ir hacia la izquierda. 1. Demostrar que es un proceso estoc´astico espacial y temporalmente homog´eneo, y que presenta la propiedad de Markov. 2. Si la part´ıcula est´a en la posici´on 0 en el tiempo 0, determinar la probabilidad de que est´e en la posici´on k, despu´es de n pasos. 3. Calcular la media y la varianza de Zn . 4.Usando el teorema central del l´ımite, encontrar cotas al noventa y cinco por ciento de Z10000 si p = 0.6. Ejercicio 2.8 Consideremos un recorrido aleatorio que parte del origen. Calcular: 1. Funci´on generatriz de probabilidad de la sucesi´on {probabilidad de volver al origen despu´es de n pasos}. 2.Funci´on generatriz de probabilidad de la sucesi´on {probabilidad de volver por vez primera al origen despu´es de n pasos}. Ejercicio 2.9 Bas´andonos en los resultados anteriores, determinar: 1.Probabilidad de que se vuelva al origen. 2.Probabilidad de que se visite alguna vez la parte positiva del eje. Ejercicio 2.11 (El problema de la ruina). Consideremos al jugador que gana o pierde un peso con probabilidades respectivas p y q. Sea su capital inicial z y sea a-z el capital inicial del jugador contrario, de manera que el capital combinado ser´a a. El juego contin´ ua hasta que el capital del jugador se reduce a cero o se incrementa hasta a, es decir, hasta que uno de los jugadores quede arruinado. Determinar: 1. Probabilidad de la ruina del jugador. 2. Distribuci´on de probabilidades de la duraci´on del juego. Ejercicio 2.12 Una part´ıcula realiza un camino aleatorio sobre los v´ertices del cuadrado ABCD. En cada paso, la probabilidad de movimiento desde el v´ertice D es igual a ρCD , donde: ρAB = ρBA = ρCD = ρDC = α 5

ρAD = ρDA = ρBC = ρCB = β con α, β > 0 tales que α + β = 1. Sea GA (s) la funci´on generatriz de probabilidad de la secuencia (PAA (n); n ≥ 0) donde PAA es la probabilidad de que la part´ıcula est´e en A despu´es de n pasos, habiendo empezado en A. Probar que: o 1 n 1 1 GA (s) = · + 2 1 − s2 1 − |β − α|2 y a partir de ´esta encontrar la funci´on generatriz de probabilidad del tiempo del primer retorno a A (al origen). Ejercicio 2.13 Consideramos un proceso ramificado. Supongamos que el n´ umero de descendientes k directos est´a sujeto a una distribuci´on geom´etrica f (k) = qp con k ≥ 0 y p+q = 1. Sea Zn el n´ umero de descendiente en la n-´esima generaci´on. Sea T = min{n : Zn = 0} el tiempo de extinci´on. Suponemos Z0 = 1. Se pide: 1. P [T = n] 2. ¿Para qu´e valores de p se tiene E[T ] < ∞? Ejercicio 2.14 En un recorrido aleatorio sim´etrico, p = q, que parte del origen, demostrar que la probabilidad de no volver al origen en los 2n primeros pasos es igual a la probabilidad de volver al origen en el paso 2n, y determinar dicha probabilidad. Ejercicio 2.15 Sea {Xn } una secuencia de variables aleatorias Bernouilli independientes que toman valores 0 y 1 con probabilidades p y 1 − p, respectivamente. Encontrar la funci´on de probabilidad del proceso de renovaci´on N (t) que nos indica el n´ umero de realizaciones , con tiempo entre llegadas dado por {Xn }.

6

Cap´ıtulo 3.- Procesos de Markov. Ejercicio 3.1 Sea (Xn ) una cadena de Markov y sea un conjunto {nr : r ≥ 0} de n´ umeros enteros ordenados en orden creciente. Demostrar que Yr = Xnr constituye una cadena de Markov. Encontrar la matriz de transici´on de (Yr ) cuando nr = 2r y (Xn ) es: 1. Un camino aleatorio simple. 2. Un proceso de ramificaci´on. Ejercicio 3.2 Sea Xn la m´axima puntuaci´on obtenida en las primeras n tiradas de un dado. Demostrar que (Xn ) es una cadena de Markov y encontrar su matriz de transici´on de probabilidades. Ejercicio 3.3 Consideramos la secuencia aleatoria de pol´ıgonos convexos generada de la siguiente manera: Tomamos dos lados del pol´ıgono inicial, trazamos un segmento que unan sus puntos medios y obtenemos dos nuevos pol´ıgonos. Cogemos aleatoriamente uno de ellos para ser el pr´oximo en la secuencia y as´ı sucesivamente. Sea Xn + 3 el n´ umero de lados del n-´esimo pol´ıgono de la secuencia as´ı construida. 1. Encontrar E[Xn ] en t´erminos de X0 . 2. Encontrar la distribuci´on estacionaria de la cadena de Markov (Xn ). Nota: El n´ umero de lados es Xn +3 para garantizar que el pol´ıgono inicial sea al menos un tri´angulo. Ejercicio 3.4 Sea {Sn : n ≥ 0} una caminata al azar con S0 = 0. 1. Demostrar que Xn = |Sn | es una cadena de Markov. Encontrar la matriz de transici´on de probabilidad de la cadena. 2. Sea Mn = max{Sk : 0 ≤ k ≤ n}, demostrar que Yn = Mn − Sn es otra cadena de Markov. Ejercicio 3.5 La copia de un libro es le´ıda por una secuencia infinita de editores detectando errores. Cada error es detectado con una probabilidad p en cada lectura. Entre las distintas lecturas el corrector detecta errores pero introduce un n´ umero aleatorio de errores nuevos (los errores pueden ser introducido incluso si no detecta ning´ un error). Teniendo en cuenta, que el n´ umero de errores son diferentes en cada lectura del corrector pero id´enticamente distribuidos: 7

Buscar una expresi´on para la funci´on generatriz de probabilidad de la distribuci´on estacionaria Xn donde Xn : n´ umero de errores despu´es de la n-´esima lectura del corrector. Buscar una expresi´on para la funci´on generatriz de probabilidad expl´ıcita cuando el corrector introduce un n´ umero de errores en cada lectura regida por una distribuci´on de Poisson. Ejercicio 3.6 Una part´ıcula recorre un camino aleatorio sobre los v´ertices de un grafo G conexo, el cual para simplificar suponemos que no tiene bucles. En cada etapa la part´ıcula se mueve de un v´ertice a otro de los adyacentes, teniendo cada punto igual probabilidad de ser elegido. Si G tiene η(< +∞) aristas, mostrar que la distribuci´on estacionaria est´a dada por Πv = dv donde dv es el grado del v´ertice. 2η Ejercicio 3.7 Mostrar que un camino aleatorio sobre un ´arbol binario infinito completo es una cadena de Markov de estados transitorios. Ejercicio 3.8 Una part´ıcula realiza una caminata al azar sobre los v´ertices de un cubo.En cada etapa permanece en el v´ertice en que se encuentra con una probabilidad 14 y se desplaza a sus vecinos con la misma probabilidad. Sean v,w dos v´ertices diametralmente opuestos y supongamos que la caminata comienza en v. Hallar: umero medio de etapas hasta la primera visita a v. 1. El n´ 2. El n´ umero medio de etapas hasta la primera visita a w. Ejercicio 3.9 Sea la siguiente figura S: A

D

C

B

E

Comenzamos en el v´ertice (A). Nos piden: 1. El tiempo de primer paso por A partiendo de A (tiempo medio de recurrencia). 8

2. N´ umeros de visitas a D antes de llegar a A sabiendo que partimos de A umeros de visitas a C antes de llegar a A sabiendo que partimos de A 3. N´ 4. Tiempo de primer paso por A sabiendo que parte de A sin que pase por E 5. N´ umeros de visitas a D antes de llegar a A sabiendo que partimos de A,sin pasar por E Ejercicio 3.10 Sea Xn la cantidad de agua que hay en un embalse el d´ıa n sobre el mediodia.Ddurante las 24 horas anteriores al d´ıa n el embalse recibe agua que cuantificaremos en la variable Yn , justamente antes de cada mediod´ıa la presa arroja 1 unidad de agua (si hay tal cantidad).La capacidad m´axima del embalse es k, y si la presa recibe excesiva cantidad este agua se desborda y se pierde. Suponemos que las Yn son independientes e id´enticamente distribuidas y que todos los numeros de valoraci´on son enteros no negativos. (1)Demostrar que {Xn : n > 0} es una cadena de Markov. (2)Hallar la matriz de transici´on de {Xn : n ≥ 1} (3)Encontrar una expresi´on de la distribuci´on estacionaria Π en t´erminos de la funci´on generatriz de probabilidad de Yn (4)Calcular Π cuando Gy (s) = p(1 − qs)−1 Ejercicio 3.12 Clasificar los estados de la Cadena de Markov  0 0 0.4  0 0.2 0  P ≡  0.5 0 0.5  0 0 1 0.3 0 0.5

dada por la siguiente matriz de paso:  0.6 0 0.5 0.3   0 0   0 0  0 0.2

Ejercicio 3.13 Clasificar los estados de la cadena de Markov dada por la matriz adjunta, as´ı como su matriz l´ımite. a b c d e f g   a 0.8 0 0 0 0 0.2 0 b 0 0 0 1 0 0   0   c 0.1 0 0.9 0 0 0 0    d 0 0 0 0.5 0 0 0.5    e 0 0.3 0 0 0.7 0 0   f 0 0 1 0 0 0 0  g 0 0.5 0 0 0 0.5 0 9

Ejercicio 3.14 Sea X una cadena de Markov con transici´on:  0.4 0.3  0 0.6   0.5 0.5   0 0 P =  0 0   0 0   0.4 0.4 0.1 0

espacio de estados E={1,2,3,4,5,6,7,8} y matriz de  0.3 0 0 0 0 0 0.4 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0   0 0 1 0 0 0   0 0.8 0.2 0 0 0   0 0 0 0.4 0.6 0   0 0 0 0 0 0.2  0.3 0 0 0.6 0 0

clasificar los estados y determinar la matriz l´ımite. Ejercicio 3.15 Clasificar los estados de la cadena de Markov dada por la siguiente matriz de transici´on, as´ı como determinar la matriz limite.

c)

1 2 3 4 5

1 0.5 0 0.3 0 0

2 3 0 0 0.6 0 0 0.7 0 1 1 0

4 0.5 0 0 0 0

5 0 0.4 0 0 0

Ejercicio 3.16 Clasificar los estados de la cadena de Markov con la su comportamiento l´ımite :  0.8 0 0.2 0  0 0 1 0 P =  1 0 0 0 0.3 0.4 0 0.3

siguiente matriz de transici´on, y    

Ejercicio 3.17 Estudiar las cadenas de Markov dadas por las matrices de transici´on:   p0 p1 p2 p3 · ·  p0 p1 p2 p3 · ·     0 p0 p1 p2 · ·   P =  0 0 p0 p2 · ·     · · · · · ·  · · · · · · 10

    Q=   

h0 h1 h2 h3 · ·

g0 0 0 0 g1 g0 0 0 g2 g1 g0 0 g3 g2 g1 g0 · · · · · · · ·

· · · · · ·

       

Determinar el comportamiento de los estados a trav´es de las funciones generatrices de las sucesiones {pi } y {gj }, respectivamente. Ejercicio 3.18 Estudiar el comportamiento de los estados de los recorridos aleatorios dados por las matrices de transici´on:   q p 0 0 0 ·  q 0 p 0 0 ·     0 q 0 p 0 ·    1. P1 =   0 0 q 0 p ·    · · · · · ·  · · · · · ·   0 1 0 0 0 ·  q 0 p 0 0 ·     0 q 0 p 0 ·   2. P2 =   0 0 q 0 p ·     · · · · · ·  · · · · · · en funci´on del valor de p. Determinar las distribuciones l´ımite. Ejercicio 3.19 El n´ umero de d´ıas que transcurren hasta que se recibe una petici´on para la suit presidencial de un hotel, es una v.a. G(p). Cada cliente que realiza la petici´on de la suit por un n´ umero de d´ıas que es una v.a. discreta X. 1. Calcular la fracci´on de tiempo que la suit est´a ocupada. 2. Calcular el beneficio para el hotel, si la estancia de X d´ıas produce un beneficio cX + k, y un coste D.

11

Cap´ıtulo 4.- Procesos de Poisson Ejercicio 4.1 Dos l´ıneas de tren A y B comparten estaci´on. Los trenes de tipo A y B llegan a la estaci´on seg´ un proceso de Poisson independientes con tasas λA = 3, λB = 6 trenes por hora. Suponemos que los viajeros suben y bajan de los trenes instant´aneamente. 1. En un instante al azar un pasajero llega a la estaci´on a tomar el tren tipo A: a) ¿Cu´al es la funci´on de densidad del tiempo que debe esperar para tomar su tren? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que lleguen al menos 3 trenes mientras que est´a esperando? 2. ¿Cu´al es la probabilidad de que por la estaci´on pasen exactamente 9 trenes en una hora? 3. Si un observador cuenta el n´ umero de trenes que pasan por la estaci´on cada hora, comenzando a las 8:00 de la ma˜ nana, ¿cu´al es el n´ umero esperado de horas transcurridas hasta que cuenta 9 trenes? 4. Supongamos que cada tren A, B, transporta un n´ umero de viajeros que es una v.a. uniforme discreta en [0,A], [0,B] respectivamente. Determinar el n´ umero medio de viajeros que pasan por la estaci´on en [0,t], la varianza y la probabilidad de que no pase ning´ un viajero. Ejercicio 4.2 Sea Tn el tiempo de la n-´esima ocurrencia de un proceso de Poisson de tasa λ y definamos el tiempo de vida restante como la v.a. E(t) = TN (t)+1 − t, es decir el tiempo que uno debe esperar desde el instante t hasta la siguiente llegada. Probar que Z t −λ(t+x) P (E(t) > x) = e + P (E(t − u) > x)λe−λu du 0

. Resu´elvase la ecuaci´on integral para encontrar la distribuci´on de E(t). Expl´ıquese el resultado. Ejercicio 4.3 Sea N un proceso de nacimiento puro con intensidades λ1 , λ2 , . . . ,λi 6= λj siempre que i 6= j y N (0) = 0. Probar que pn (t) = P (N (t) = n) es igual a: pn (t) =

n n 1 X −λi t Y λj λi e λn i=1 λj − λi j=0,j6=i

12

Ejercicio 4.4 Un ama de casa vende subscripciones por correo de una revista. Sus clientes se suscriben seg´ un un proceso de Poisson de tasa 6 cada d´ıa. Se pueden subscribir durante 1,2, ´o 3 a˜ nos, lo que hacen de forma independiente con probabilidades respectivas de 1/2, 1/3, y 1/6. Por cada subscripci´on anual vendida se recibe una unidad monetaria. Si llamamos X(t) a la cantidad total obtenida por subscripciones en un per´ıodo de t d´ıas, calcular la ganancia media, su varianza y la probabilidad de que no se venda ninguna subscripci´on. Ejercicio 4.5 Sea una m´aquina que funciona de forma intermitente y que puede estar en tres estados: parada, funcionamiento o estropeada (P, F, E). 1. Si est´a funcionando en el instante t, hay una probabilidad γ∆t + o(∆t) de que se decida pararla en el intervalo (t, t + ∆t) y una probabilidad λ∆t + o(∆t) de que falle en dicho intervalo. 2. Si la m´aquina est´a parada en t, hay una probabilidad de ν∆t + o(∆t) que se decida ponerla en funcionamiento en (t, t + ∆t). 3. Si la m´aquina falla, se tarda k unidades de tiempo en repararla y la m´aquina aparece parada. Suponemos que la m´aquina est´a parada en el instante t = 0. Definimos la duraci´on aparente de vida como el intervalo de tiempo entre que se pone en paro despu´es de una reparaci´on y el instante en el que la m´aquina vuelve a fallar. Calcular la funci´on de distribuci´on de la v.a. T, duraci´on aparente de vida, su media y su varianza. Ejercicio 4.6 Consideremos una poblaci´on de bacterias de tama˜ no N(t) en el instante t y N(0)=1. Supongamos que el crecimiento est´a descrito por un proceso de nacimiento puro en el que cada miembro de la poblaci´on se puede dividir en dos en el intervalo (t, t + ∆t) con probabilidad λ∆t + o(∆t) o no cambiar en este intervalo con probabilidad 1 − λ∆t + o(∆t) cuando ∆t → 0. 1. Escribir el conjunto de ecuaciones diferenciales en diferencias que verifican pk (t) = P (N (t) = k). ze−λt 2. Probar que la funci´on generatriz de N(t), G(z,t) verifica: G(z, t) = 1−z+ze −λt . 3. Calcular E[N(t)]. 4. Calcular la forma de Pk (t). Ejercicio 4.7 Supongamos que una m´aquina se puede hallar en tres estados: trabajando (E0 ), estropeada (E1 ) o quemada (E2 ). Suponemos que las transiciones entre los estados E1 y 13

E2 no son posibles. Denotemos por X(t) el estado en el que se encuentra la m´aquina en el instante t y supongamos que los tiempos entre fallos y sobrecargas (que conducen a quemar la m´aquina) son v.a. exponenciales, independientes e id´enticamente distribuidas de tasas ai , i = 1, 2, y los tiempos de reparaci´on de cada uno de estos tipos de fallos son respectivamente v.a. exponenciales, independientes e id´enticamente distribuidas de tasas bi , i = 1, 2. Probar que {X(t) : t ≥ 0} es una cadena de Markov de p´arametro continuo. Encontrar la matriz de generadores de la cadena. Ejercicio 4.8 En un paso de cebra los peatones fluyen seg´ un procesos de Poisson con tasa λL desde la izquierda y con tasa λR desde la derecha de dicho cruce. Suponemos que ambos procesos son independientes y que los peatones cruzan instant´aneamente cuando se enciende la luz verde. Vamos a analizar tres posibles reglas de funcionamiento del sem´aforo: 1. Regla A Luz verde cada T minutos. 2. Regla B Luz verde cuando el n´ umero de peatones esperando sea N0 . 3. Regla C Luz verde cuando el primer peat´on que llega al sem´aforo haya esperado T0 minutos. Determinar para cada regla de decisi´on: 1. El n´ umero esperado de peatones que cruzan de izquierda a derecha en cualquier luz verde. 2. La probabilidad de que no cruce ning´ un peat´on de izquierda a derecha en un instante de luz verde. 3. La funci´on de distribuci´on del tiempo de luz verde. 4. El tiempo esperado para cruzar de un peat´on que llega aleatoriamente. 5. El tiempo esperado desde la llegada de un observador no peat´on hasta la pr´oxima luz verde.

14

Cap´ıtulo 5.- Procesos de nacimiento y muerte. Ejercicio 5.1 Consideremos un sistema con dos componentes en paralelo de modo que el tiempo de fallo de las componentes son v.a. i.i.d. con distribuci´on exponencial de media 1/λ. El tiempo de reparaci´on de cada componente sigue una distribuci´on exponencial de media 1/µ. Se supone que el tiempo de fallo de las dos componentes y su tiempo de reparaci´on son mutuamente independientes. Inicialmente ambas componentes est´an operando hasta que una componente falla, en cuyo caso la reparaci´on comienza instant´aneamente y as´ı sucesivamente. El sistema falla cuando ambas componentes no son operativas. 1. Calcular la probabilidad de que el sistema halla fallado antes del tiempo T . Hallar el tiempo medio de fallo. 2. Estudiar este mismo modelo para el caso de un sistema en alerta, es decir, si una unidad es operativa la otra espera su fallo para entrar en funcionamiento. 3. Suponer que hay una probabilidad p de que cuando el sistema halla fallado pueda recuperarse. Ejercicio 5.2 (Propiedad P.A.S.T.A.). Sea X = {X(t) : t ≥ 0} una cadena de Markov de par´ametro continuo con distribuci´on estacionaria π. Sea N un proceso de Poisson de tasa λ, independiente de X y definimos Yn = X(Tn ), como el valor tomado por X inmediatamente despu´es del instante Tn de la n-´esima llegada de N. Probar que Y = {Yn : n ≥ 0} es una cadena de Markov de par´ametro discreto con la misma distribuci´on estacionaria que X. Ejercicio 5.3 Sea X = {X(t), t ≥ 0} una cadena de Markov irreducible con matriz generatriz G, y sea Y = {Yn , n ≥ 0} la cadena encajada dada por Y0 = X(0) e Yn es el valor de X justo despu´es del salto n-´esimo. 1. Si X tiene distribuci´on estacionaria Γ1 , demostrar que Y tiene distribuci´on estacionaria Γ∗ dada por: Γk · gkk Γ∗k = P i Γi · gii supuesto que

P i

Γi · gii < ∞.

¿Cu´ando ocurre Γ∗ = Γ? 15

2. Probar que un estado es persistente en X si lo es en Y . Ejercicio 5.4 Los items llegan a un centro de manufacturas para su procesamiento seg´ un un proceso de Poisson con intensidad λ .El tiempo de servicio necesario para procesar un item es una v.a. exponencial de media µ1 . Cuando no hay items el centro deja de operar, comenzando de nuevo cuando se han acumulado Q nuevos items despu´es de un paro.Todos los items del sistema son entonces procesados y el ciclo de trabajo se termina cuando no hay m´as items en el sistema,repiti´endose este esquema sucesivamente. Calcular la probabilidad de que haya n items exactamente en el sistema. Ejercicio 5.5 Un centro de reparaci´on dispone de 10 plazas para atender las m´aquinas estropeadas en dos centros de producci´on, en los que existen 10 m´aquinas en cada uno. Las m´aquinas del primer centro se aver´ıan con tasa 3 por d´ıa y son reparadas con tasa 4 por d´ıa; mientras que las del segundo centro se aver´ıan con tasa 1 por d´ıa y se arreglan con tasa 1 por d´ıa. Dado que el primer centro se considera de gran importancia, se toma como regla de decisi´on acepta siempre que sea posible m´aquinas del primer centro, pues el sistema no permite espera, mientras que las del segundo centro son aceptadas si existen plazas libres y no hay en reparaci´on L m´aquinas de este centro. Determinar L para que se minimice el n´ umero medio de m´aquinas no admitidas a reparaci´on por unidad de tiempo. Ejercicio 5.6 Una empresa de seguros debe mantener una cierta liquidez para hacer frente a los reintegros solicitados por sus asociados y poder cobrar los pagos realizados por sus clientes. El resto del capital de la empresa se encuentra invertido en valores mobiliarios. Las entradas y salidas de caja est´an descritas por sendos procesos de Poisson compuestos. Los reintegros ocurren siguiendo un proceso de tasa λ1 y la cantidad reembolsada es una v.a. discreta con probabilidad {φ1 (j) : j = 1, 2, ...}. Los pagos los realizan los clientes seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ2 y las cantidades siguen la ley de probabilidad {φ2 (j) : j = 1, 1, ...}. Se desea estudiar el coste por unidad de tiempo de la siguiente regla de actuaci´on : ”La cantidad de dinero en caja se descuenta autom´aticamente a b,si se supera este l´ımite, comprando activos financieros. Si la cantidad en caja es inferior al nivel a, a < b, se eleva hasta esta cantidad vendiendo activos. ” Siendo el coste de comprar activos en los mercados financieros c2 u.m. por unidad comprada y c1 u.m. por unidad vendida. El coste por unidad de tiempo por mantener M u.m. en caja es c0 M .

16

Ejercicio 5.7 La llegada de los trabajos a la cola de proceso de un ordenador de procesamiento compartido se realiza seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ. El microprocesador los atiende en el orden de sus llegadas uno tras otro, empleando en cada uno de ellos un tiempo que es una variable aleatoria exponencial de par´ametro µ independiente, e independiente de los tiempos entre llegadas. Sea X(t) el n´ umero de trabajos en el sistema (en la cola de proceso o siendo procesado) en el instante t, X(0) = 0. Probar que X es una cadena de Markov y escribir su matriz de generadores. Demostrar que existe distribuci´on estacionaria si y s´olo si λ < µ, encontrarla expl´ıcitamente en este caso. Ejercicio 5.8 Consideremos una ciudad con dos servicios de emergencia que colaboran para atender a las alarmas. La ciudad est´a dividida en dos zonas. Las emergencias que se producen en la zona i se tratan de atender inicialmente por la unidad i. Las alarmas que llegan cuando una sola unidad est´a libre se atiende por dicha unidad independientemente de la procedencia. Las alarmas que llegan cuando las dos unidades est´an ocupadas se pierden y no son atendidas. Los siniestros se producen seg´ un una ley Poisson de par´ametros λ1 , λ2 respectivamente en cada zona. Los tiempos de servicio de una emergencia del ´area i atendida por la unidad j son variables aleatorias independientes exponenciales de media 1 . µij 1. Determinar la matriz de generadores de la cadena. 2. Calcular la fracci´on de emergencias que se pierden.

17

Cap´ıtulo 6.- Procesos de renovaci´ on. Ejercicio 6.1 El n´ umero de veces N que un animal visita un ´area en un cierto periodo es una v.a. geom´etrica de par´ametro θ, siendo p la probabilidad de ser capturado para su estudio en cada visita. Suponemos que el animal es dejado en libertad cada vez que es capturado. umero total de veces que es 1. Demostrar que la distribuci´on de probabilidad del n´ estudiado es una ley geom´emtrica. 2. ¿C´ ual es la probabilidad de que un individuo no sea capturado? 3. Si se le inyectan c unidades de producto cada vez que es estudiado, ¿c´ ual es la cantidad media de producto que recibe? Ejercicio 6.2 El n´ umero de semillas de cualquier planta de una cierta especie, se distribuye seg´ un una ley Poisson de media λ. Cada semilla produce o no produce una flor con probabilidad p independientemente de las restantes. El n´ umero de plantas que hay en la zona sigue una v.a. con distribuci´on de probabilidad pn = k · q0n /n, n = 1, 2, . . . , ∞, p0 = 0. Encontrar la funci´on generatriz de probabilidad del n´ umero de flores, as´ı como el n´ umero esperado de flores en dicha ´area. Ejercicio 6.3 Probar que M (t) = E[N (t)] = siguen una distribuci´on G(λ, 2).

1 λt 2

− 14 (1 − e−2λt ) si los tiempos entre ocurrencias

Ejercicio 6.4 Un ordenador genera aleatoriamente caracteres alfab´eticos desde su teclado hacia la pantalla. Suponemos que el teclado se compone de los 27 signos alfab´eticos (letras) m´as la barra espaciadora. Se pretende estudiar la aparici´on de la secuencia examen de colas. 1. Definir un proceso de renovaci´on que describa el proceso. 2. Aplicar el teorema elemental de renovaci´on para obtener el n´ umero medio de caracteres generados hasta la primera obtenci´on de dicha secuencia. Ejercicio 6.5 Sea N un proceso de Poisson de tasa λ. Probar que la vida total D(t) en el instante t tiene como funci´on de distribuci´on P (D(t) ≤ x) = 1 − (1 + λ m´ın{t, x})e−λx , x ≥ 0. −λt Deducir que E(D(t)) = (2−eλ ) .

18

Ejercicio 6.6 Sea N un proceso de renovaci´on y W el intervalo de tiempo que transcurre hasta que la duraci´on de un tiempo entre llegadas es mayor que s;es decir,W = inf {t : C(t) > s} siendo C(t) el tiempo transcurrido (en el instante t) desde la u ´ltima llegada. Probar que: ½ 0 si x < s Rs FW (x) = 1 − F (s) + 0 FW (x − u)dF (u) si x ≥ s donde F es la funci´on de distribuci´on de un tiempo entre llegadas. Probar que si N es un proceso de Poisson con tasa λ entonces: E(eθW ) = y E(W ) =

λ−θ λ − θe(λ−θ)s

para θ < λ

eλs −1 . λ

Ejercicio 6.7 Una f´abrica est´a alternativamente produciendo y desocupada. Sean P1 , P2 , . . . los sucesivos tiempos de producci´on y sean D1 , D2 , . . . los sucesivos tiempos de desocupaci´on. Suponemos que {(Pn , Dn ) : n ≥ 1} es una sucesi´on de variables aleatorias bidimensionales independientes. Determinar la fracci´on de tiempo que la f´abrica est´a produciendo. Ejercicio 6.8 Consideremos una situaci´on de reemplazamiento de equipos en el que se usa la siguiente regla: Un equipo se reemplaza por otro cuando falla o su edad es de T unidades de tiempo, lo que ocurra primero. Los tiempos de vida de cada equipo son X1 , X2 , . . . , v.a. i.i.d. con funci´on de distribuci´on F y funci´on de densidad f . El sistema incurre en un coste de c1 > 0 u.m. por cada reemplazamiento sin fallo y en uno de c2 > c1 por cada reemplazamiento con fallo. Determinar el coste medio por unidad de tiempo a largo plazo. Ejercicio 6.9 Los pedidos llegan a una f´abrica seg´ un un proceso de renovaci´on con tiempo medio entre pedidos 1/µ. La producci´on se inicia cuando se han recibido N pedidos. Los costes de funcionamiento de la f´abrica consisten en un coste fijo K cada vez que se inicia la producci´on, m´as un coste de mantenimiento de pedidos con tasa hj, h > 0, cuando j pedidos est´an esperando a ser atendidos. Determinar el valor de N (entero) para que el coste por unidad de tiempo sea m´ınimo. Ejercicio 6.10 Supongamos un sistema de inventario de revisi´on peri´odica cuyas demandas X1 , X2 , . . . en semanas sucesivas son v.a.i.i.d. cuya funci´on de densidad f (x) tiene los momentos de 19

primer y segundo orden finitos. Cualquier demanda que exceda el nivel de inventario se almacena hasta que se produce reaprovisionamiento. La regla de control de pedidos consiste en observar el nivel de inventario al principio de cada semana y pedir S − x unidades siendo x el nivel de inventario x ≤ s, 0 ≤ s < S. Si s < x no se realizan pedidos. El reaprovisionamiento es instant´aneo. Determinar la frecuencia media de pedido y cantidad media de cada pedido. Ejercicio 6.11 Una f´abrica produce una cantidad aleatoria de desechos por semana, que sigue una ley exponencial de media 1/µ. Los desechos s´olo pueden ser retirados al final de cada semana. El almacenaje de los desechos produce un coste h por cada unidad de desecho y por semana, adem´as de un coste fijo k por cada retirada de residuos, y un coste p por unidad de basura no retirada durante el u ´ltimo periodo. Determinar el tama˜ no z del cami´on que retira los desechos de modo que minimice el coste medio por periodo. Ejercicio 6.12 Un gu´ıa tur´ıstico parte cada T minutos de la entrada principal de los Reales Alc´azares. Los turistas llegan a la entrada seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ. Cada turista espera al gu´ıa con probabilidad e−µλ si tiene que esperar un tiempo t hasta que comience el nuevo recorrido. Cada turista parado paga al gu´ıa una cantidad τ , y el gu´ıa debe de pagar por cada grupo unos gastos de entrada de grupo de C. Demostrar que para el gu´ıa la duraci´on ´optima T ∗ de cada visita en grupo debe verificar: τλ τλ e−µ T ∗ (τ λT ∗ + )= −c µ µ siempre que

τλ µ

> c.

Ejercicio 6.13 Sea N un proceso de renovaci´on con tiempos entre ocurrencias dados por la v.a X. Supongamos que X tiene momento de primer orden finito y no nulo y momento de segundo orden finito. Usar el teorema llave para probar que: ½ ¾ t E(X12 ) l´ım m(t) − −1 = t→∞ E(X1 ) 2E 2 (X1 ) Ejercicio 6.14 Un contador radiactivo se bloquea durante un tiempo cada vez que registra una part´ıcula radiactiva. 20

1. Supongamos que las part´ıculas llegan seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ y que los tiempos de bloqueo son fijos de longitud T. Probar que: ˜ es un proceso de renovaci´on cuya distribuci´on de El proceso de detecci´on N tiempos entre ocurrencias es F˜ (x) = 1 − e−λ(x−T ) si x ≥ T. ˜ (t) ≥ k) Obtener una expresi´on para P (N un un proceso de renovaci´on N 2. Si suponemos que las part´ıculas llegan al contador seg´ y la duraci´on de cada bloqueo es seg´ un una v.a. positiva con funci´on de distribuci´on FB . Probar que Z x ˜ P (X1 ≤ x) = {1 − F (x − y)}FB (y)dm(y) 0

Ejercicio 6.15 La polic´ıa de una autopista ha constatado que todos los veh´ıculos que circulan por la misma lo hacen a mayor velocidad de la permitida. Un coche gen´erico debe de pagar multas cada M kil´ometros, o cada vez que sufra una aver´ıa (por exceso de velocidad) en un trayecto de menos de M kil´ometros. Por cada aver´ıa se paga una cantidad igual al n´ umero de kil´ometros recorridos desde el u ´ltimo pago y por cada multa convencional una cantidad constante C. Suponiendo que la densidad del 2 n´ umero de kil´ometros recorridos hasta la pr´oxima aver´ıa viene dada por f (x) = π(1+x 2) x ∈ [0, ∞). ¿Cu´al es el valor de M que hace m´ınimo los pagos por unidad de tiempo de un conductor gen´erico?

21