Módulo de Lógica matemática Favián Arenas A. y Amaury Camargo .

Índice 1. Generalidades.

5

1.1. Objetivos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Introducción a la lógica matemática . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje . . . . . 10 1.6. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8.

Clases de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ q . . . . . . . . . . . . . 13 1.8.2. Proposiciones disyuntivas, p _ q . . . . . . . . . . . . . 15 1.8.3. Proposiciones disyuntivas exclusivas p Y q . . . . . . . . 16

1.8.4. Proposiciones condicionales, p ! q . . . . . . . . . . . 16 1.8.5. Proposiciones bicondicionales, p $ q . . . . . . . . . . 17 1.8.6. Proposiciones negativas:

p . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.7. Validación de leyes lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1

ÍNDICE

Lógica Matemática

1.9. Cuanti…cadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.10. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2. Introducción a los Conjuntos

33

2.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje . . . . . 35 2.4. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6. Clases de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.7. Determinación de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.8. Algebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.9. Propiedades de los Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.10. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3. Introducción al Álgebra de Boole

48

3.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje . . . . . 50 3.4. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5. Clases de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6. Álgebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.7. Principio de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.8. Funciones booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.8.1. Funciones reales y funciones booleanas . . . . . . . . . 58 Favián Arenas.

2

Camargo Benítez.

ÍNDICE

Lógica Matemática

3.8.2. Funciones booleanas y tablas de verdad . . . . . . . . . 61 3.9. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4. Introducción al método de Karnaugh

65

4.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje . . . . . 67 4.4. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5. Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos . . . . 68 4.5.1. Método Karnaugh de simpli…cación de expresiones booleanas 87 4.6. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.7. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.8. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.9. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.9.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ q . . . . . . . . . . . . . 103 4.9.2. Proposiciones disyuntivas, p _ q . . . . . . . . . . . . . 104 4.9.3. Proposiciones condicionales, p ! q . . . . . . . . . . . 105 4.9.4. Proposiciones bicondicionales, p $ q . . . . . . . . . . 106 4.9.5. Negación de Proposiciones :

p . . . . . . . . . . . . . 106

4.10. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.11. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.12. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.13. Algebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.14. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.15. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.16. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Favián Arenas.

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Camargo Benítez.

ÍNDICE

Lógica Matemática

4.17. Clases de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.18. Álgebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.18.1. Funciones reales y funciones booleanas . . . . . . . . . 120 4.19. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.20. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.21. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.22. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Favián Arenas.

4

Camargo Benítez.

Lógica Matemática

1.

Generalidades.

Nombre del curso: Programa: Area: Semestre: Créditos: Prerrequisitos:

Favián Arenas.

5

Camargo Benítez.

1.1 Objetivos generales

1.1.

Lógica Matemática

Objetivos generales Proporcionar una formación sólida en los fundamentos de la lógica de proposiciones. Desarrollar las habilidades y destrezas para la representación formal del conocimiento y para la transcripción de frases del lenguaje natural en lenguaje formal. Introducir el manejo simbólico de sistemas formales y la demostración de teoremas Describir qué es una interpretación, cómo se calcula el valor de una fórmula en una interpretación y los tipos de fórmulas en función de las diferentes interpretaciones. Fomentar al alumno para que se enfrente a la resolución de problemas de forma lógica, analítica y estructurada. Comprender los mecanismos computacionales asociados a las problemáticas de la demostración automática de teoremas y la Programación Lógica. Mostrar el contexto de la lógica en la Informática y captar su relación con ramas especí…cas como: Programación, Ingeniería del Software, Bases de Datos, Diseño de Circuitos, etc.

Favián Arenas.

6

Camargo Benítez.

1.2 Introducción a la lógica matemática

Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE I 1.2.

Introducción a la lógica matemática

La verdad y la mentira, palabras opuestas que utilizamos a diario para tomar decisiones, sean estas correctas o no. Debemos valorar cada cosa; pero es razonable que no todas las expresiones se pueden valorar, o...¿Alguien se atrevería a contradecir a quien pregunte por la hora?, por supuesto que no, y aunque a usted no le guste algún color ¿signi…ca que por ello a nadie mas le gustará?.¡Claro que no! En este caso podemos decir que es una situación subjetiva o dependiente del individuo que lo exprese. También hay expresiones que para la mayoría de las personas tiene un valor único, por ejemplo .la rosa es una ‡or, en algunas tendremos que ser bien explícitos para evitar malos entendidos, por ejemplo: “Jesús tiene cinco letras”. ¿a quien nos referimos al hombre llamado Jesús ó a la palabra Jesús?. Por lo tanto una proposición es una a…rmación de la cual se puede a…rmar que es cierta o que es falsa. Para expresarnos con claridad utilizamos conjuntos de palabras con sentido “lógico”, sin embargo, ¿qué es en realidad lógica? Cuando escuchamos expresiones como: “Su respuesta fue lógica” “Es ilógico pensar que no lo notará” “Lógicamente...” En realidad estamos expresando lo que la mayoría de las personas haría o escogería como correcto, o dicho de otra forma, el sentido común. ¿será cierto que el sentido común es el menos común de los sentidos?

Favián Arenas.

7

Camargo Benítez.

1.3 Objetivos

1.3.

Lógica Matemática

Objetivos

El alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguientes elementos básicos para la solución de un problema: Resolver proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos. Hallar el valor de verdad de una proposición a través de la conjunción, disyunción, condicional, bicondicional y negación a través de proposiciones simples. Construir la tabla de verdad de una proposición compuesta, y decidir si es una ley.

Favián Arenas.

8

Camargo Benítez.

1.4 Competencias

1.4.

Lógica Matemática

Competencias Sustenta una proposición compuesta como una tautología a partir de su tabla de verdad. Identi…ca en un teorema el antecedente y el consecuente. Desarrolla el proceso de síntesis a partir de la construcción de proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos.

Favián Arenas.

9

Camargo Benítez.

1.5 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lógica Matemática

1.5.

Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Mesa redonda. Presentación de trabajos. Sesión de Chat. Sesión Foro. Talleres Encuentro presencial

1.6.

Recursos de aprendizaje Aula de clases, Laboratorios Auditorios. Videobeam Retroproyector.

Favián Arenas.

10

Camargo Benítez.

1.7 Proposiciones

1.7.

Lógica Matemática

Proposiciones

La lógica es toda una disciplina en la que las re‡exiones y el razonamiento son fundamentales. Es estudiada también por la …losofía, pero, aquí nos referiremos por lógica a la Lógica matemática. El elemento básico sobre el que se desarrolla toda esta teoría se llama proposición. De todo lo anterior una proposición es una a…rmación con sentido completo de la cual se puede a…rmar que es cierta o que es falsa.

Ejemplo 1. 1. “La sal es un compuesto químico” 2. 10 < 14 3. “13 es un número impar” 4. “El sol sale de noche” 5. 45 + 5 = 30 6. “¿De que color es la pared?” Las a…rmaciones 1, 2, 3, 4 y 5. son proposiciones aunque no todas son verdaderas siguen siendo proposiciones. A esta propiedad de las proposiciones de ser verdadera o falsa se le llama valor de verdad. Las proposiciones se representan con letras minúsculas, usualmente p, q, r, s, t,..

Favián Arenas.

11

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

Lógica Matemática

Existen casos donde el sujeto del que se habla en la proposición no está de…nido o no se conoce, por lo que tiene una incógnita. A estos casos les llamamos frases proposicionales. (Suele llamarles proposiciones abiertas) 1. x + 12 = 20 2. “Alguien es un ingeniero famoso” 3. Mi nombre es "fulano de tal" 4. “Tengo x dinero en el banco”

1.8.

Clases de proposiciones

1. Proposiciones simples o atómicas: Son aquellas que no se pueden fragmentar en proposiciones menores. a)

“La luna es un satélite natural” “Los dígitos son nueve” “4 es un número par” “Todos los números impares son primos” “Los pingüinos son aves”

2. Proposiciones compuestas o moleculares: Las proposiciones simples se pueden conectar, y construir proposiciones llamadas compuestas. Ésta operación puede hacer que cambie su valor de verdad.

Favián Arenas.

12

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

Lógica Matemática

"Las rosas son rojas y las violetas azules"es un enunciado compuesto por los subenunciados "las rosas son rojas "las violetas 2

son azules". "El es inteligente o estudia todas las noches"es, implícitamente, un enunciado compuesto por los subenunciados "El es inteligente

2

"estudia todas las noches". La propiedad fundamental de un enunciado compuesto es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de sus subenunciados junto con la manera como están conectados para formar el enunciado compuesto. Comenzamos con un estudio de algunas de estos conectivos. Utilizaremos las letras p; q; r(en minúsculas) para denotar proposiciones. Además una proposición puede tomar el valor de 1 si es verdadera, 0 si es falsa, esto también se espera que ocurra en las proposiciones compuestas, por esto es necesario una tabla que de la oportunidad de veri…car todas las posibles combinaciones, la llamaremos T ablas de verdad 1.8.1.

Proposiciones conjuntivas, p ^ q

Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra "para 2

formar un enunciado compuesto llamado la conjunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p ^ q denota la conjunción de los enunciados p y q, que se lee "p y q".

Favián Arenas.

13

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

Lógica Matemática

el valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposiciones que la conforman sean verdaderas 1. p : El dos es un número par (V) 2. q : Siete es un número primo (V) 3. r : El ocho es un número primo (F) así que : p ^ q : El dos es un número par y siete es un número primo (V) En caso de que una de las dos sea falsa entonces toda la proposición conjuntiva lo será. r ^ q : El ocho es un número primo y siete es un número primo (F)

La tabla de verdad del enunciado compuesto p ^ q está dada por la siguiente tabla: p

q

p^q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Para ilustrarlo: en una tubería de acueducto se han colocado 2 grifos numerados p y q respectivamente si se abre p escribimos 1, si la cerramos escribimos 0. la única forma en que salga agua es p = 1 y q = 1 en cualquier otro caso no saldrá agua.

Favián Arenas.

14

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

1.8.2.

Lógica Matemática

Proposiciones disyuntivas, p _ q

Dos enunciados se combinan con la palabra .o"para formar un enunciado compuesto llamado la disyunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p _ q denota la disyunción de los enunciados p y q, que se lee "p o q". El valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposiciones que la conforman sean no sean falsas. La tabla de verdad del enunciado compuesto p _ q está dada por la siguiente tabla: p

q

p_q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

En este caso la única manera en que no salga agua es que ambos grifos estén cerrados

p

q

Favián Arenas.

15

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

1.8.3.

Lógica Matemática

Proposiciones disyuntivas exclusivas p Y q

Dos enunciados se pueden combinar con la palabra .o"para formar un enunciado compuesto llamado la disyunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p Y q denota la disyunción de los enunciados p y q, que se lee "p o q". La tabla de verdad del enunciado compuesto p Y q está dada por la siguiente tabla:

1.8.4.

p

q

pYq

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Proposiciones condicionales, p ! q

Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “entonces”, se forma una proposición que solo es falsa si las primera es verdadera y la segunda es falsa (solo en este orden). Ejemplo 2. Sea p : El canguro es marsupial ( 1 ) q : America es habitat de todos los marsupiales ( 0 )

El canguro es marsupial entonces América es habitat de todos los marsupiales. en forma simbólica Favián Arenas.

16

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

Lógica Matemática

p

q

p!q

1

0

0

En las proposiciones condicionales llamamos a la primera proposición que la compone “antecedente”y a la segunda “consecuente”. Cuando el antecedente tiene una relación directa con el consecuente podemos utilizar el símbolo de la implicación “=)” La suma de dos números naturales es un número natural esto implica que 2+3 es número natural La tabla de verdad de la proposición compuesta p ! q está dada por la siguiente tabla: p

q

p!q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Ahora el grifo p tiene un problema, se encuentra mal y cuando alguien la abre esta se cierra, cuando alguien la cierra esta se abre, por eso la única forma en que no salga agua es que se abra p (en realidad se cierra) y se cierre q 1.8.5.

Proposiciones bicondicionales, p $ q

Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “si y solo si”, se forma una proposición que solo es falsa si las dos tienen valores de verdad diferentes.

Favián Arenas.

17

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

Lógica Matemática

p

q

Ejemplo 3. Sea p : todo número impar es primo ( 0 ) q : 9 es menor que 6

(0)

Todo número impar es primo si y solo si 9 es menor que 6, es como decir: Todo número impar es primo única y exclusivamente si 9 es menor que 6 Como ambas proposiciones son falsas se cumple la a…rmación compuesta La tabla de verdad del enunciado compuesto p $ q está dada por la siguiente tabla: p

q

p$q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0 0 1 La proposición bicondicional p $ q es equivalente por su tabla de verdad a (p ! q) ^ (q ! p) Favián Arenas.

18

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

Lógica Matemática

p

p

q

q

Compruebe la tabla de verdad para este circuito de acueducto:

1.8.6.

p

q

1

1

1

0

0

1

0

0

(p ! q) ^ (q ! p)

p

Proposiciones negativas:

Aunque no es un conectivo lógico (como _; ^; Y ,=); ,) genera nuevas proposiciones con solo cambiarle el valor de verdad y se simboliza anteponiendo “ ”a la letra de la proposición: Ejemplos: p : todo número impar es primo p : no todo número impar es primo q : 9 es menor que 6 q : 9 no es menor que 6

La tabla de verdad de la negación de p :

p está dada por la siguiente tabla:

19

Camargo Benítez.

Favián Arenas.

1.8

Clases de proposiciones

Lógica Matemática

p Problema 1. p

p

1

0

0

1

Problema 2. Supóngase que en este circuito de acueducto llamamos abrir con el 1 y cerrar con el 0. Si sale agua 1 y si no sale 0.

Completa la

siguiente tabla de acuerdo a la grá…ca.

r

p

q

Favián Arenas.

20

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

1.8.7.

Lógica Matemática

grifo p

grifo q

grifo r

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

¿Sale?

Validación de leyes lógicas

A partir de las tablas de verdad anteriores se pueden calcular la tabla de verdad de proposiciones mas complejas. Ejemplo 4. Hallar La tabla de verdad de la proposición: (p ! q) ^ (q_ para esto se determinan inicialmente las tablas de:p; q; y por último (p ! q) ^ (q_

p

p)

p!q

p

q

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

Favián Arenas.

p

p; p ! q; q_

p)

q_

p

21

(p ! q) ^ (q_

p)

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

Lógica Matemática

El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula. No de líneas = 2n Donde n = número de variables distintas. El propósito de estas tablas de verdad consiste en probar si dos proposiciones son equivalentes o no, o tal vez si una implica a la otra. Ejemplo 5. Veamos, se desea probar que (p ! q) es equivalente a ( para eso validamos la proposición (p ! q) , (

p _ q)

p _ q) mediante su tabla de

verdad Ejemplo 6. p

p!q

p_q

(p ! q) , (

p

q

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

p _ q)

Nótese que el valor de verdad es en todo caso verdadero, cuando esto ocurre le llamamos TAUTOLOGÍA, cuando tenemos una tautología tenemos una ley lógica. Veamos otro ejemplo: (p ! q) ^ (p ! r) ) p ! (q ^ r)

Favián Arenas.

22

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

p

q

r

Lógica Matemática

(p ! q) (p ! r) (q ^ r)

1 1 1

1

1

1

1 1 0

1

0

0

1 0 1

0

1

0

1 0 0

0

0

0

0 1 1

1

1

1

0 1 0

1

1

0

0 0 1

1

1

0

0 0 0

1

1

0

(p ! q) ^ (p ! r) p ! (q ^ r) (p ! q) ^ (p ! r) ) p ! (q ^ r) 1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Un ejemplo de las leyes lógicas son : Leyes de Idempotencia

p^p,p p_p,p Favián Arenas.

23

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

Lógica Matemática

Leyes conmutativas

p^q ,q^p p_q ,q_p pYq ,qYp p$q,q$p Leyes asociativas p ^ (q ^ r) , (p ^ q) ^ r p _ (q _ r) , (p _ q) _ r p $ (q $ r) , (p $ q) $ r Leyes distributivas p ^ (q _ r) , (p ^ q) _ (p ^ r) p _ (q ^ r) , (p _ q) ^ (p _ r) Leyes de absorción p ^ (p _ q) , p p _ (p ^ q) , p Leyes de Morgan Favián Arenas.

24

Camargo Benítez.

1.8

Clases de proposiciones

(p ^ q) ,

p_

q

(p _ q) ,

p^

q

Lógica Matemática

Leyes de Involución (

p) , p

Problema 3. aplica la validación de tablas para probar las anteriores leyes.

Tambien hay ocasiones en que lo que se desea probar es que dos proposiciones no pueden ser simultáneamente verdaderas. veamos Ejemplo 7. pruebe que las proposiciones p es excluyente con se debe validar (p^ p

q

q

(p^

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

q) q)

Ejemplo 8. pruebe que las proposiciones (p^ se debe validar (p^

Favián Arenas.

p

q) es excluyente con (p ! q)

q) ^ (p ! q)

25

Camargo Benítez.

1.9 Cuanti…cadores

q

Lógica Matemática

p!q

(p^

q) (p^

q) ^ (p ! q)

p

q

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

A casos como estos donde la tabla termina solo con ceros se le llama CONTRADICCIÓN

1.9.

Cuanti…cadores

Si, en una condición dada p(x), atribuimos a la variable x los valores de su dominio, obtendremos, como vimos, una proposición. Otra forma, extremadamente importante en Matemática, de obtener proposiciones a partir de una condición p(x), es anteponerle a esta los símbolos 8x; 9x y 9!x que se llaman cuanti…cadores (cuanti…cador universal , cuanti…cador existencial y cuanti…cador existencial de unicidad respectivamente). La proposición 8x : p(x) se lee “para todo x, tal que p(x)” y signi…ca que p(x) es verdadera, atribuyendo a x cualquier valor de su dominio. La proposición 9x : p(x) se lee “existe un x, tal que p(x)”y signi…ca que p(x) es verdadera, para algún x de su dominio, ün"no signi…ca "único". por ejemplo "María Teresa tiene una amiga que la quiere mucho"es posible que tenga más de una, es por esto que la proposición 9!x : p(x) se lee “existe un único x, tal que p(x)” y signi…ca que p(x) es verdadera si y solo si x toma un único valor de su dominio.

Favián Arenas.

26

Camargo Benítez.

1.9 Cuanti…cadores

Lógica Matemática

Por ejemplo, siendo x una variable real, son verdaderas las proposiciones: 1) 8x : x2 + 1 > 0 2) 9x : x2

4=0

3) 9!x : 8x

4=0

Justi…cación: 1) Como ningún número al cuadrado es negativo 8x : x2

0

8x : x2 + 1

0+1

8x : x2 + 1

1

y como

1>0

8x : x2 + 1 > 0 2) Mostremos los valores de x en los cuales:x2

4=0;

x2 = 4 p x= 4 x=

solo con lo valores 3) Se pide 8x

2

2 y 2 la proposición es verdadera

4 = 0 así que el valor de x es: 8x

4 = 0 8x = 4 x =

4 8

x = 2 y este es el único valor de x que lo hace verdadero Favián Arenas.

27

Camargo Benítez.

1.10 Actividades

1.10.

Lógica Matemática

Actividades

Ejercicio 1.

1. ¿Cuáles de los enunciados siguientes pueden considerarse

como proposiciones a) Si llueve es porque estamos en invierno. b) Un triángulo es una …gura plana con tres lados. c) Un triángulo es un polígono de tres ángulos. d) La …losofía es triangular e) 52 = 21 f) Un cuadrado es una …gura plana de cuatro lados. g) Un cuadrado es un polígono de cuatro ángulos rectos h) Un rectángulo es un polígono de cuatro ángulos rectos. i) Medellín es ciudad de eterna primavera. j) Un rectángulo es una …gura verde. k) x2 + 3x

4=0

l) Todas las naranjas son amarillas. m) Algunas manzanas son rojas. 2. Para que la proposición abierta x + 5 < 10 tenga valor de verdad falso, x debe reemplazarse por: a) 2 b) 3

Favián Arenas.

28

Camargo Benítez.

1.10 Actividades

Lógica Matemática

c) 4 d) 5 3. En la proposición: “ Sí respetamos la vida entonces Colombia será un país feliz”. Podemos escoger: p : Respetamos la vida q :Colombia será un país feliz Se construyó la tabla de verdad para esta proposición compuesta, pero tiene un error. Localízalo, marcando con x el renglón correcto p

q

p!q

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

4. “Una …gura de 4 lados se llama cuadrilátero, si tiene 5 lados se llama pentágono, si tiene 6 lados se llama hexágono”En el enunciado anterior identi…ca todas las proposiciones cerradas. (Represéntalas con las letras p, q, r). 5. Con las proposiciones clasi…cadas en el ejercicio anterior. escribe en palabras las proposiciones compuestas siguientes: a) p ! b)

q

(p $ q)

Favián Arenas.

29

Camargo Benítez.

1.10 Actividades

Lógica Matemática

c) (p ! q ) ! (p ! r) 6. Supón que p es verdadera, q es falsa y r es falsa ¿cómo es el valor de verdad de las siguientes proposiciones a) p^ b)

q

(p ! q)

c) (p _ q ) Y (p ! r) 7. Completa las siguientes tablas de verdad

a)

b)

p

q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

p

q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Favián Arenas.

q

p

p^

q

pYq

q

p$q

p^

q

(p $ q) ! (p^

30

(p Y q) _ (

p^

q)

q)

Camargo Benítez.

1.10 Actividades

c)

Lógica Matemática

p

q

1

1 1

1

1 0

1

0 1

1

0 0

0

1 1

0

1 0

0

0 1

0

0 0

((p ! r) ^ (q ! r)) ! r

r

8. Construye 3 frases que no sean proposiciones, 3 proposiciones, luego niega las tres proposiciones. 9. Ana y José apostaron al marcador entre sus equipos favoritos de fútbol. Al iniciarse el partido José le dice a Ana: “si mi equipo gana entonces yo pago el almuerzo” La situación puede tener los resultados que se muestran en la tabla. ¿En cual de todos José habrá mentido? Escríbelo en la tabla. p

¿José cumplió?

q

Ganó el equipo de José

v José pagó el almuerzo

v

Ganó el equipo de José

v José no pagó el almuerzo f

Perdió el equipo de José f

José pagó el almuerzo

v

Perdió el equipo de José f

José no pagó el almuerzo f

10. Encuentre una expresión que solo contenga ^; _ y la negación

;para

representar: Favián Arenas.

31

Camargo Benítez.

1.10 Actividades

Lógica Matemática

a) p ! q b) p $ q c) p Y q: 11. En el siguiente circuito eléctrico cada interruptor está representado por una letra , encuentra la tabla de verdad que representa este circuito y diseña otro circuito que tenga la misma tabla de verdad.

Favián Arenas.

32

Camargo Benítez.

Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE II

2.

Introducción a los Conjuntos Las ideas esenciales de la teoría de conjuntos fue introducida por George.

Cantor, en la parte …nal del siglo XIX. Desde entonces la teoría dos conjuntos no ha dejado de desarrollarse intensamente, de tal forma que ahora puede decirse que todas las ramas de la Matemática fueron profundamente in‡uenciados y enriquecidos por esa teoría. Procuraremos en esta unidad de aprendizaje introducir algunas de las ideas básicas de teoría de conjuntos, evitando un tanto una formulación demasiado abstracta, o rigurosa. La noción de conjunto es una de las que tiene la Matemática Moderna (¿recuerda que es un punto en geometría? eso también es una noción) , en donde los conceptos y no las de…niciones son adoptados como punto de partida y sirven base para la de…nición de otros conceptos introducidos en el desarrollo de la teoría. Intuitivamente, un conjunto es entendido como una colección de objetos de cualquier natureza , los cuales se dicen elementos del conjunto.

Favián Arenas.

33

Camargo Benítez.

2.1 Objetivos

2.1.

Lógica Matemática

Objetivos

El alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicos para la solución de un problema: Generalidades sobre que es un conjunto y sus Clases. Generalidades sobre el álgebra de conjuntos y problemas. Razonamiento sobre cardinalidad de conjuntos..

2.2.

Competencias Determina conjuntos por extensión y comprensión. Mani…esta habilidad en la representación grá…ca de conjuntos y sus operaciones. Muestra interés participando en la construcción de proposiciones compuestas y nuevos conjuntos. Reconoce a partir de una proposición el conjunto equivalente. Comprende y demuestra las leyes logicas y de conjuntos.

Favián Arenas.

34

Camargo Benítez.

2.3 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lógica Matemática

2.3.

Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Mesa redonda. Presentación de trabajos. Sesión de Chat. Sesión Foro. Talleres Encuentro presencial

2.4.

Recursos de aprendizaje Aula de clases, Laboratorios Auditorios. Videobeam Retroproyector.

Favián Arenas.

35

Camargo Benítez.

2.5 Teoría de conjuntos

2.5.

Lógica Matemática

Teoría de conjuntos

Elementos: la mínima parte de un objeto se denomina elementos, son elementos los integrantes de una familia, son elementos los días de la semana, son elementos los números de teléfonos de montería, son elementos las hojas de un árbol, claro está esta es una noción que has escuchado antes y está muy relacionado con otro objeto matemático llamado CONJUNTO. Conjunto: se suele decir que una agrupación de elementos es un conjunto, pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque no tenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el directorio telefónico, un árbol, el grupo de presidentes de Colombia, el grupo de mamíferos que ponen huevos. Símbolos: Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A; B; C;... Los elementos con letras minúsculas: a; b; c; ::: Al representarlos , para agrupar los elementos utilizamos llaves f g, también podemos usar un diagrama de Venn, a veces es más fácil , por eso debes utilizar las dos formas. Ejemplo: Representa el conjunto de los números dígitos D = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g o también Relación de pertenencia. Si se tiene un conjunto A y un elemento a y ocurre que a es un miembro de A, se dice, entonces, a pertenece a A y se escribe a 2 A (a es un elemento de A). Pero si se tiene un elemento c que no pertenece al conjunto A ,se escribe Favián Arenas.

36

Camargo Benítez.

2.6 Clases de conjuntos

Lógica Matemática

c2 = A (c no es un elemento de A).

2.6.

Clases de conjuntos

Los conjuntos se clasi…can según el número de elementos que posean, veamos: Conjunto vacío: Es aquel conjunto que no tiene elementos, como una bolsa vacía, se simboliza con El conjunto de los números pares que terminan en 3 Representémoslo así: P = flos números pares que terminan en 3 g = Conjunto unitario: es el que tiene un solo elemento. B = { la capital de Colombia} M = {Lucy} C = f0g Conjunto …nito: es aquel que tiene un número …nito de elementos . También es …nito el conjunto unitario. Favián Arenas.

37

Camargo Benítez.

2.7 Determinación de un conjunto Lógica Matemática S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} N = f3; 13; 23; 33; 34; 35g T = {Miguel, José} A = fa; b; c; d; :::; x; y; zg Conjunto in…nito: si tiene tantos elementos que es imposible contarlos se le llama conjunto in…nito. N = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; :::g ¿Conoces otro conjunto que sea in…nito? ¿Cuantos? ¿Que signi…ca los puntos suspensivos?

2.7.

Determinación de un conjunto

Para determinar o identi…car un conjunto existen dos maneras: Por extensión, que consiste en escribir todos y cada uno de los elementos que lo conforman, así conociendo todos sus elementos conocemos el conjunto. Por comprensión, esta consiste en indicar una característica especial y común que tienen los elementos de un conjunto. Ejemplo 9. por extensión: V = fa; e; i; o; ug F = f1; 11; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81; 91; 101; 111; ::::g Y = Por comprensión: Favián Arenas.

38

Camargo Benítez.

2.7 Determinación de un conjunto Lógica Matemática

V ={las vocales} F ={los números naturales que terminan en 1} Y ={los números impares que terminan en 0} Subconjunto: Si un conjunto B está contenido en un conjunto A, es porque todos los elementos de B están en A; pero es posible que existan elementos en A, que no estén en B. Entonces B es un Subconjunto de A, o también se puede decir “ B está contenido en A”. Se representa con los símbolos: B

A

Así que: (B

Favián Arenas.

A) () (x 2 B =) x 2 A)

39

Camargo Benítez.

2.8 Algebra de conjuntos

2.8.

Lógica Matemática

Algebra de conjuntos

Unión de Conjuntos Los conjuntos A = fa; b; c; d; eg y B = fa; e; i; o; ug se combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puede estar repetido fa; b; c; d; e; i; o; ug, a este conjunto lo llamaremos unión de A y B. M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces M [ J = f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g En forma grá…ca la unión es la región resaltada

Simbólicamente la unión de A y B es: AU B = fx : x 2 A _ x 2 Bg Intersección de Conjuntos En esta operación de conjuntos se trata de encontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos, veamos: M = f1; 2; 3; 4; 5g Favián Arenas.

y

J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces 40

Camargo Benítez.

2.8 Algebra de conjuntos

Lógica Matemática

La intersección la representamos por: M \ J = f1; 3; 5g pues son los que se repiten. En forma grá…ca la intersección es la región resaltada

Simbólicamente la intercepción de A y B es: A \ B = fx : x 2 A ^ x 2 Bg Diferencia de Conjuntos En los conjuntos V = fa; e; i; o; ug y A = fa; e; og La diferencia de V

A es el conjunto formado por los elementos de V

que no están en A así: V

A = fi; og

M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces La diferencia la representamos por: M

J = f2; 4g pues son los que están en M y no en J.

También se puede calcular J J

M

M = f7; 9g pues son los que están en J y no en M .

Favián Arenas.

41

Camargo Benítez.

2.8 Algebra de conjuntos

Lógica Matemática

En forma grá…ca la diferencia es la región sombreada Simbólicamente es: M

J = fx : x 2 M ^ x 2 = Jg

J

M = fx : x 2 J ^ x 2 = Mg

Complemento Para esta operación debemos de…nir primero un conjunto que nos sirva como base o referencia, lo simbolizarán con la letra U, se llamará universal o referencial. Si U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g y el conjunto A = f0; 1; 2; 3g Llamaremos complemento de A , al conjunto formado por todos los elementos de U que no están en A, o sea f4; 5; 6; 7; 8; 9g, a este conjunto lo denotaremos con A0 Notese que A0 = U

A

U = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g Si B = f1; 11; 29g entonces

B0 = f3; 5; 7; 13; 17; 19; 23g

Si C = f3; 5; 7; 17; 23g entonces

C0 = f1; 11; 13; 19; 29g

Si D = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g entonces

D0 =

Simbólicamente es: A0 = fx : x 2 U ^ x 2 = Ag Favián Arenas.

42

Camargo Benítez.

2.9 Propiedades de los Conjuntos Lógica Matemática

2.9.

Propiedades de los Conjuntos

Existen ciertas analogías entre los conectivos de las proposiciones y las operaciones con conjuntos, una de ellas consiste en que todos los operadores de conjuntos se pueden poderse reducir a combinaciones de intercepciones y uniones, así como los conectivos de proposiciones se pueden reducir a los conectivos "(^), .o"(_) y la negación ( ). 2

La intersección de conjuntos es análoga a la conjunción de proposiciones

\

^

La unión de conjuntos es análoga a la disyunción de proposiciones

[

_

El complemento de conjuntos es análogo a la negación de proposiciones

A0

La contenencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposiciones A

La diferencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposicionesA

p!q,

Por lo tanto gozan de propiedades semejantes a las proposiciones: Leyes de Idempotencia

A\A=A A[A=A Leyes conmutativas 43

B

B = A \ B0

p_q

Favián Arenas.

p

Camargo Benítez.

p!q

2.9 Propiedades de los Conjuntos Lógica Matemática

A\B =B\A A[B =B[A Leyes asociativas p ^ (q ^ r) , (p ^ q) ^ r p _ (q _ r) , (p _ q) _ r p $ (q $ r) , (p $ q) $ r Leyes distributivas A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) Leyes de absorción A \ (A [ B) = A A [ (A \ B) = A Leyes de Morgan (A [ B)0 = A0 \ B 0 (A \ B)0 = A0 [ B 0 Leyes de Involución (A0 )0 = A Favián Arenas.

44

Camargo Benítez.

2.10 Actividades

Lógica Matemática

Veamos grá…camente la ley de Morgan (A [ B)0 = A0 \ B 0

2.10. 1.

Actividades Completa en el dibujo las cantidades correspondientes a cada sección

de la …gura y con esa información responde las preguntas a, b, c y d

36 personas fueron a Europa, visitaron España, Inglaterra o Francia, sin embargo, no todas fueron a los tres lugares, para identi…car la cantidad exacta Favián Arenas.

45

Camargo Benítez.

2.10 Actividades

Lógica Matemática

de personas que fueron a cierto país, se especi…ca cada cantidad en el siguiente diagrama de Venn.

21 personas fueron a Francia

17 personas fueron a España

16 personas fueron a Inglaterra

9 personas fueron a Francia y a España

8 personas fueron a España y a Inglaterra 6 personas fueron a Francia y a Inglaterra

1.

a) El número de personas que fue a Francia y España pero no a Inglaterra es:_______ b) El número de personas que fue a España o Inglaterra es:______ c) El número de persona que fue a Inglaterra, España y Francia es:________ d) El número de personas que fue a España o Inglaterra pero no a Francia es:______

2. Después de medir su peso en una balanza, se obtienen los siguientes resultados:

Favián Arenas.

46

Camargo Benítez.

2.10 Actividades

Lógica Matemática

Andrés es más liviano que Fernando, pero más pesado que Gabriela Esteban es más liviano que Andrés, pero más pesado que Gabriela Pedro es más liviano que Jorge, pero más pesado que Miguel Jorge es más liviano que Gabriela Ordena los jóvenes según su peso, comenzando con el más pesado.

(Paradoja de Russell) En un pueblo chico hay solo un barbero, y los hombres del pueblo, por lo que se re…ere a la rasurada, se dividen en dos grupos: los que se rasuran con el barbero, y los que se rasuran solos. ¿A cual de los dos grupos pertenece el barbero? Explica.

Favián Arenas.

47

Camargo Benítez.

Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE III 3.

Introducción al Álgebra de Boole En las dos unidades anteriores se vió que las leyes para las proposiciones

y para los conjuntos son semejantes. Podemos ahora demostrar que cada uno de estos sistemas es un álgebra de Boole. Esta estructura algebraica mas general es una de las partes del Algebra abstracta, que a pesar del nombre se aplica podríamos decir que "demasiado.a la computación y a la inteligencia Arti…cial. Esta unidad es fundamental, sobre todo para la simpli…cación de circuitos (Unidad 4 ).

Favián Arenas.

48

Camargo Benítez.

3.1 Objetivos

3.1.

Lógica Matemática

Objetivos

El alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicos para la solución de un problema: Generalidades sobre que es un álgebra de Boole y como se prueba. Generalidades sobre las leyes del álgebra de Boole y demostraciones. Generalidades sobre las funciones de Boole con una o mas variables.

3.2.

Competencias Interpretará las demostraciones de las leyes del álgebra de Boole. Compruebará si el conjunto en cuestión veri…ca las leyes del álgebra de Boole. Aplicará las leyes del álgebra de Boole para simpli…car funciones booleanas. Armonizará los conocimientos de Tablas de verdad con las funciones booleanas.

Favián Arenas.

49

Camargo Benítez.

3.3 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lógica Matemática

3.3.

Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Mesa redonda. Presentación de trabajos. Sesión de Chat. Sesión Foro. Talleres Encuentro presencial

3.4.

Recursos de aprendizaje Aula de clases, Laboratorios Auditorios. Videobeam Retroproyector.

Favián Arenas.

50

Camargo Benítez.

3.5 Clases de operaciones

3.5.

Lógica Matemática

Clases de operaciones

Hasta el momento hemos hablado de operaciones entre proposiciones y entre conjuntos Vale la pena clasi…car en general las operaciones El primer tipo se llama operación binaria, y no sólo enlaza dos elementos, sino que determina un tercero (el resultado de los otros dos) que pertenece al conjunto que consideramos. Por lo tanto una OPERACIÓN BINARIA es una .operación tal que: si a; b 2 X,entonces también la es a

b

Ejemplo 10. la Suma en el conjunto de los naturales es una operación binaria pues si m; n 2 N;entonces m + n 2 N: Ejemplo 11. la Resta en el conjunto de los naturales no es una operación binaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 7 y 12 tal que 7 12 = 52 = N: Ejemplo 12. la división en el conjunto de los naturales no es una operación binaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 9 y 2 tal que 9 9 2 = N: 2

2=

Ejemplo 13. La operación > en el conjuntofa; b; cg se de…ne como sigue en la siguiente tabla: > a b

c

a

a b

a

b

b

c

a c

a c a

Favián Arenas.

51

Camargo Benítez.

3.5 Clases de operaciones

Lógica Matemática

El segundo tipo de operación se llama operación unitaria, esta en realidad transforma un número en otro, por lo tanto unaOPERACIÓN UNITARIA ' sobre un conjunto B es una .operación tal que: Si a 2 B, entonces '(a) 2 B Ejemplo 14. el operador menos ( ) el conjunto de los enteros es una operación binaria pues si m 2 Z;entonces

m 2 Z:

Ejemplo 15. la Radicación en el conjunto de los números reales es una p operación binaria si y solo si es raíz impar; es decir el operador 2n+1 es una operación binaria con n 2 N p pero el operador 2n no es una operación binaria con n 2 N p nótese que 1 2 R pero 2n 1 2 = R: 1. Dígase cuáles de las siguientes son operaciones unitarias a) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los números reales. b) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los números enteros. c) encuéntrese otro conjunto sobre el cual "tomar el inverso de"sea una operación unitaria.

2. En qué circunstancias son +; ; ; ; operaciones binarias: Favián Arenas.

52

Camargo Benítez.

3.6 Álgebra de Boole

Lógica Matemática

a) En el sistema de los números reales o subconjuntos de este sistema. b) En el sistema de los números complejos.

3.6.

Álgebra de Boole

Un conjunto B, junto con las operaciones binarias

;

de…nidas sobre él

es un álgebra de Boole, si se veri…can las siguientes Propiedades: Ley conmutativa 1.

a) 1) 8a; b 2 B; a

b2B

2) 8a; b 2 B; a

b2B

Ley distributiva 1.

a) 1) 8a; b; c 2 B; a

(b

c) = (a

b)

(a

c)

2) 8a; b; c 2 B; a

(b

c) = (a

b)

(a

c)

Elementos neutros 1.

a) 1) 8a 2 B; 9e 2 B; a 2) 8a 2 B; 9i 2 B;

e = a (Neutro Aditivo o cero) a

i = a (Neutro Multiplicativo o

unidad)

Complementación 1.

a) 1) 8a 2 B; 9ac 2 B; a

Favián Arenas.

ac = i (complemento a la unidad) 53

Camargo Benítez.

3.6 Álgebra de Boole

Lógica Matemática

2) 8a 2 B; 9ac 2 B; a

ac = e (complemento al cero)

mas adelante se probará que ac es el mismo en ambos casos.

Ejemplo 16. Sea D26 = f1; 2; 13; 26g el conjunto de los divisores positivos del 26; de…namos las operaciones binarias así: a

b = M CM (a; b) a

b = mcd(a; b)

( Mínimo Común múltiplo) ( Máximo Común divisor)

observe que para que a

b = a; b tiene que ser 1(Neutro Aditivo o

cero) y para que a

b = a; b tiene que ser 26(Neutro Multiplicativo o

unidad) por otra parte: 26 (complemento de la unidad) a b = 1; depende de quien sea a así:

para que a b = 26; tiene que ser b = y para que a

si a = 1 entonces b = 26 si a = 2 entonces b = 13 si a = 13 entonces b = 2 si a = 26 entonces b = 1 Para representar estas operaciones utilizaremos tablas algo parecidas a las de la escuela. 1

2

13 26

1 2

13 26

1

1

2

13

26

1

1

1

1

1

2

2

2

26

26

2

1

2

1

2

13 13 26 13

26

13 1

1

13

13

26 26 26 26

13

26 1

2

13

26

Favián Arenas.

54

Camargo Benítez.

3.7 Principio de dualidad

3.7.

Lógica Matemática

Principio de dualidad

Si en un teorema válido intercambiamos

por

y e por i, obtenemos

otro teorema válido. La demostración de que esto es cierto se obtiene haciendo este intercambio en todos los pasos de la demostración del teorema original. Solo por comodidad cambiaremos los signos de las operaciones a a + b; a

b por

b por ab; aclaramos que estos signos representarán las dos op-

eraciones del álgebra de Boole las cuales pueden ser cualesquier operación binaria. Ademas cambiaremos los elementos neutros e por 0; i por 1; sin querer con esto confundirlos. A continuación se plantearán otras Propiedades de las Algebras de Boole, se realizarán las pruebas de estas propiedades para uno de ellas y la otra la realizará el estudiante con el principio de dualidad. Ley de idempotencia 1.

a) 1) 8a 2 B; a + a = a 2) 8a 2 B; aa = a

Prueba (i): Sea a 2 B

a = a + 0 = a + (aac ) = (a + a) (a + ac ) =

(a + a) (1) = a + a Ley de acotamiento 1.

a) 1) 8a 2 B; a + 1 = 1

Favián Arenas.

55

Camargo Benítez.

3.7 Principio de dualidad

Lógica Matemática

2) 8a 2 B; a0 = 0 Prueba (i): Sea a 2 B

a+1 = (a + 1) 1 = (a + 1) (a+ac ) = a+(1ac ) =

a + ac = 1 Ley de absorción 1.

a) 1) 8a; b 2 B; a + ab = a 2) 8a; b 2 B; a(a + b) = a

Prueba (i): Sea a; b 2 B

a + ab = a1 + ab = a(1 + b) = a(1) = a

Ley asociativa 1.

a) 1) 8a; b; c 2 B; a + (b + c) = (a + b) + c 2) 8a; b; c 2 B; a(bc) = (ab)c

Prueba (i): Sea a; b; c 2 B a + (b + c) = 1 [a + (b + c)] = ac a [a + (b + c)] = ac [aa + a (b + c)] = ac [a + a (b + c)] = ac a = ac [a + ac] = ac [a (a + b) + ac] = ac a [(a + b) + c] = 1 [(a + b) + c] = (a + b) + c Favián Arenas.

56

Camargo Benítez.

3.7 Principio de dualidad

Lógica Matemática

Unicidad del complemento 1.

a) 1) 8a 2 B; (a + x = 1) ^ (ax = 0) ) x = ac

Prueba (i): Sea a 2 B

supóngase a + x = 1 y ax = 0

ac = ac 1 = ac (a + x) = ac a + ac x = 0 + ac x = ac x = ac (x + 0) = ac x + ax = (ac + a)x = 1x = x Ley de involución 1.

a) 1) 8a 2 B; (ac )c = a Prueba (i): Sea a 2 B

a + ac = 1; esto signi…ca que a es el

complemento de ac ; es decir a = (ac )c Ley de Morgan a) 1) 8a; b 2 B; (a + b)c = ac bc 2) 8a; b 2 B; (ab)c = ac + bc

Prueba (i): Sea a; b 2 B

(a + b) + ac bc = a + (b + ac bc ) = a +

(b + ac )(b + bc ) = a + (b + ac )1 = a + b + ac = a + ac + b = 1 + b = 1 con esto por la unicidad del complemento (a + b)c = ac bc

Favián Arenas.

57

Camargo Benítez.

3.8 Funciones booleanas

3.8. 3.8.1.

Lógica Matemática

Funciones booleanas Funciones reales y funciones booleanas

Hasta ahora se ha mostrado en qué operaciones se basa el Algebra de Boole y algunas de sus propiedades. Utilizando expresiones booleanas, vamos a de…nir Funciones booleanas, que son muy parecidas a las funciones matemáticas a las que estamos acostumbrados pero con la particularidad de que las variables son booleanas y que los valores devueltos por la función también son booleanos, es decir, una función booleana sólo puede tomar los valores ’0’ó ’1’. Como hemos hecho antes, vamos a ver un ejemplo utilizando una función matemática de las que todos conocemos. Por ejemplo esta: f (x) = 2x + 1 Se trata de una función Real que tiene una variable Real (x) es decir el dominio de f es R

Favián Arenas.

58

Camargo Benítez.

3.8 Funciones booleanas

Lógica Matemática

y 10

5

0 -5

-2 .5

0

2 .5

5 x

-5

hay una in…nidad de valores en el dominio de f por esto se obtiene una in…nidad de puntos en forma de una recta. También podemos de…nir funciones reales de 2 ó más variables, como por ejemplo: f (x; y) = 2x + y 2 f (x; y; z) = z 2 sen(x + y) p f (x1 ; x2 ; x3 ; :::; xn ) = 3 x1 + x2 + x3 + ::: + xn Como estamos acostumbrados a trabajar con este tipo de funciones, nos resultan claras. Ahora vamos a de…nir funciones booleanas. Para ello hay que tener presente que trabajaremos con variables booleanas y que por tanto usaremos las operaciones + y

del

Algebra de Boole. Favián Arenas.

59

Camargo Benítez.

3.8 Funciones booleanas

Lógica Matemática

Ejemplo 17. sea la siguiente función booleana de una variable: f (x) = xc El valor devuelto por la función es el complemento del valor de la variable. Como la variable x es booleana, sólo puede tomar los valores ’0’y ’1’. Los que la función F toma son: f (0) = 0c = 1 f (1) = 1c = 0

Ejemplo 18. Ejemplo 19. Sea la siguiente función booleana se dos variables: f (x; y) = xc (x + y) obtenemos: f (0; 0) = 0c (0 + 0) = 1 0 = 0 f (0; 1) = 0c (0 + 1) = 1 1 = 1 f (1; 0) = 1c (1 + 0) = 0 1 = 0 f (1; 1) = 1c (1 + 1) = 0 0 = 0 Antes de calcular los valores que toma la función, se pueden aplicar algunas propiedades para obtener una función más simpli…cada: del ejemplo anterior f (x; y) = xc (x + y) = xc x + xc y

(ley distributiva)

= 0 + xc y

(complemento al cero)

= x0 y

Favián Arenas.

60

Camargo Benítez.

3.8 Funciones booleanas

Lógica Matemática

en el cual también obtenemos: f (0; 0) = 00 0 = 1 0 = 0 f (0; 1) = 00 1 = 1 1 = 1 f (1; 0) = 10 0 = 0 1 = 0 f (1; 1) = 10 1 = 0 0 = 0

3.8.2.

Funciones booleanas y tablas de verdad

Existe otra manera de representar una función booleana. es mediante las tablas de verdad, pero cambiando las proposiciones por expresiones booleanas: utilizaremos nuevamente el ejemplo anterior: f (x; y) = xc (x + y) su tabla es: x

y

f (x; y)

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

El número de …las de la tabla de verdad depende del número de variables que usemos. consideremos h(x; y; z) = x + yz

Favián Arenas.

61

Camargo Benítez.

3.8 Funciones booleanas

Favián Arenas.

Lógica Matemática

x

y

z

yz

x + yx

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

62

Camargo Benítez.

3.9 Actividades

3.9.

Lógica Matemática

Actividades

Ejercicio 2. Probar las siguientes equivalencias de expresiones por los métodos de: 1.

a) Tablas de verdad. b) Transformaciones algebraicas(propiedades del álgebra de Boole)

abc + ac b + ac bc = ac + bc ac bc + ac + bcc = ac cc + bc c + ab ac bc + bd + abc = d + dc bc (a + bc + ab)(ac + b)abc = 0 (a + bc + abc )(ab + bcc + ac c) = ab + ac bc c (ab + c + d)(cc + d)(cc + d + e) = abcc + d

Ejercicio 3.

1. Demostrar las siguientes propiedades de la función lógica

O-exclusiva: f (p; q) = p Y q a) Asociativa b) Conmutativa c) Existencia de elemento neutro e tal que x Ye = x d) Existencia de Inverso (A todo elemento x se le puede hacer corresponder un elemento x tal que x Y y = e Favián Arenas.

63

Camargo Benítez.

3.9 Actividades

Lógica Matemática

e) Distributiva del Producto respecto a la O-exclusiva f) que mediante la O-exclusiva y la función y : f (p; q) = p^q se pueden realizar las otras dos operaciones fundamentales del álgebra de Boole: negación y suma(disyunción)

Nota: Calcular el valor de 1 Yx y de

1 Y ((1 Y x)(1 Y y))

Una función de tres variables f(a,b,c) debe tomar el valor cero cuando la variable b esté a uno y la variable a no está en estado uno. En los demás casos posibles debe estar en estado uno. a) Realizar la tabla de verdad de la función. Discurso sobre los estudios de Informática en clase de Lógica: Señoras y señores, buenas tardes: Es hora de que recapacitemos sobre los estudios de informática en vísperas del asentamiento de la titulación en nuestra Universidad. Se sabe que si los ordenadores hablasen los informáticos no existirían. Por otra parte, en la última reunión del Consejo de Universidades, éste a…rmó que: "...la Universidad titulará informáticos mientras los ordenadores no hablen ..."; a…rmación que nos parece muy correcta, si bien lo cierto es que los ordenadores no hablan pero los informáticos existen. A la vista de todo ello nos preguntamos: ¿Es, por tanto, coherente que la Universidad expida títulos de informática en la actualidad?. Demuestre las leyes del algebra de Boole que no se probaron aplicando el principio de dualidad. Favián Arenas.

64

Camargo Benítez.

Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV 4.

Introducción al método de Karnaugh

El método de Karnaugh convierte una expresión booleana a otra más simpli…cada. En nuestro caso, convierte una suma de productos en otra minimal . Tiene como características: Un mínimo número de términos en la expresión. Un mínimo número de variables en cada término de dicha expresión. Inicialmente se tiene una expresión booleana constituida por una suma de productos de variables, que pueden tomar únicamente los valores de cero [0] o uno [1]. El resultado de esta expresión es un valor booleano para cada uno de los valores que tomen dichas variables.

Favián Arenas.

65

Camargo Benítez.

4.1 Objetivos

4.1.

Lógica Matemática

Objetivos

El alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicos para la solución de un problema: Entradas y salidas de las compuertas lógicas. tablas de verdad a partir de mediciones en compuertas lógicas. Simpli…cación Tabular mediante Mapas de Karnaugh

4.2.

Competencias Deduce la relación existente entre las entradas y salidas de las compuertas lógicas. Construye tablas de verdad a partir de mediciones en compuestos lógicos. Representa funciones lógicas mediante simbología electrónica normalizada y de uso tradicional. Reconoce por su símbolo, forma o nomenclatura las diferentes funciones lógicas.

Favián Arenas.

66

Camargo Benítez.

4.3 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lógica Matemática

4.3.

Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Mesa redonda. Presentación de trabajos. Sesión de Chat. Sesión Foro. Talleres Encuentro presencial

4.4.

Recursos de aprendizaje Aula de clases Laboratorios Auditorios. Videobeam Retroproyector.

Favián Arenas.

67

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

4.5.

Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos

Las señales de tensión alta ( mas de 1 voltio) o bajas (menos de 1 voltio) han dado lugar a su vez a representaciones electrónicas que se utilizan en el diseño de los circuitos integrados. Estos circuitos se conocen como çircuitos lógicos"pues basan su función en condiciones presenciales o no de los pulsos altos o bajos. En los circuitos digitales todos los voltajes, a excepción de las fuentes de alimentación, se agrupan en dos posibles categorías: voltaje altos y voltajes bajos. Entre estos dos rangos de voltajes existen existe una denominada zona prohibida o de incertidumbre que los separa. Una tensión alta signi…ca un 1 binario y una tensión baja signi…ca un 0 binario. Todos los sistemas digitales se construyen utilizando básicamente tres puertas lógicas básicas. Estas son las puertas AND, la puerta OR y la puerta NOT; o la combinación de estas. El recurso a las tablas para la simpli…cación de ecuaciones booleanas es, como ya se ha dicho, fruto de su mayor simplicidad. Aunque existen otros métodos (como las tablas de Quine- McCluskey), nos limitaremos a explicar someramente el método conocido como “mapas de Karnaugh”. Éstos se pueden utilizar para simpli…car funciones de dos a seis variables, aunque habitualmente sólo se los emplee para funciones de dos a cinco variables. El método grá…co de Karnaugh, desarrollado en The Map Method for Synthesis of Combinatorial Logic Circuits (AIEE, vol. 72, 1953), se basa en otro de E. W. Veitch publicado en A Chart Method for Simplifying Truth Functions (ACM, 1952). Esta técnica se convirtió rápidamente en la herramienta más potente entre los diseñadores de computadores y expertos en Favián Arenas.

68

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

lógica digital durante la década de los 50.

LA COMPUERTA

AND

B

A

El esquema de la …gura, da una idea de funcionamiento de la compuerta AND. Examinando de cerca el circuito, notamos que la lámpara encenderá solo si ambos interruptores se cierran o se activan simultáneamente. Si uno de los interruptores esta abierto, el circuito se interrumpe y la lámpara no se enciende. Todas las posibles combinaciones para los interruptores A y B se muestran en la tabla de verdad.

Favián Arenas.

A

B

Lampara

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

69

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

La tabla de esta …gura es la misma que la de la conjunción, es decir dos interruptores en serie se representan con la compuerta AND Para representar una compuerta AND se utilizará el símbolo siguiente

Esta compuerta AND es un dispositivo que posee dos entradas A y B y una salida A B. El álgebra booleana es una forma de lógica simbólica que muestra como operan las compuertas lógicas. Una expresión booleana es un método de mostrar que ocurre en un circuito lógico. A B = Y es la expresión booleana de la compuerta AND se lee .A AND B igual a la salida Y" El punto ( ) signi…ca la función lógica AND en álgebra booleana, y no la operación de multiplicar como en el álgebra corriente. En caso de que el circuito lógico tenga tres variables. la expresión A B C se lee " A AND B AND C" y se representa con la …gura:

Favián Arenas.

70

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

La tabla de verdad de esta última coincide con el conjuntivo múltiple p^q^r es decir: p

LA COMPUERTA

q

r

p^q^r

1 1 1

1

1 1 0

0

1 0 1

0

1 0 0

0

0 1 1

0

0 1 0

0

0 0 1

0

0 0 0

0

OR El grá…co de este circuito ilustra el fun-

cionamiento de la compuerta OR, en el cual los interruptores han sido conectados en paralelo. El encendido de la lámpara se producirá si se cierra

Favián Arenas.

71

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

cualquiera de los dos interruptores o ambos. Todas las posibles combinaciones de los interruptores se muestran en la tabla siguiente.

A

B

Lampara

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

La tabla de esta …gura es la misma que la de la disyunción, es decir dos interruptores en serie se representan con la compuerta OR Para representar una compuerta OR se utilizará el símbolo siguiente: Esta compuerta OR es un dispositivo que posee dos entradas A y B y una salida A + B. Favián Arenas.

72

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

A + B = Y es la expresión booleana de la compuerta OR se lee .A OR B igual a la salida Y" El signo mas (+) signi…ca la función lógica OR en álgebra booleana, y no la operación de sumar como en el álgebra corriente. En caso de que el circuito lógico tenga tres variables. la expresión A + B + C se lee A OR B OR C y se representa con la …gura:

COMPUERTA INVERSORA En este circuito cuando se cierra el inter-

Favián Arenas.

73

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

ruptor A, la bombilla se apaga,(¿Por qué?), al abrir el interruptor la bombilla se enciende. La tabla es: A

lámpara

1

0

0

1

Es la misma tabla de la negación

p; a este esquema se le llama La

compuerta inversora, esta posee una entrada y una salida como se muestra en la …gura. Su función es producir una salida inversa o contraria a su entrada es decir convertir unos a ceros y ceros a unos.

El círculo inversor puede estar en la parte de entrada o de salida del símbolo triangular. Favián Arenas.

74

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

este tiene el mismo sentido de el complemento a la unidad del álgebra de Boole. con solo estas tres compuertas se pueden conformar otras como las siguientes:

LA PUERTA NAND Una compuerta NAND es un dispositivo lógico que opera en forma exactamente contraria a, una compuerta, AND, entregando una salida baja cuando todas sus entradas son altas y una salida alta mientras exista por lo menos un bajo a cualquiera de ellas: En forma proposicional

(p ^ q).

En forma de expresión booleana (AB)0 . Observar que el símbolo NAND es símbolo AND con un pequeño círculo a la salida. Favián Arenas.

75

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

LA PUERTA NOR Se ha conectado un inversor a la salida de una puerta OR, obsérvese que se ha añadido un pequeño circulo inversor al símbolo OR para formar el símbolo NOR. Debido a que los interruptores A y B están en paralelo entre si y con la lámpara (Y) esta ultima solo enciende cuando ambos interruptores están abiertos y permanece apagada mientras cualquiera de ellos , o ambos estén cerrados. Símbolo lógico de una compuerta NOR es: Podemos decir que este dispositivo lógico opera en forma exactamente opuesta a una compuerta OR , entregando una salida alta cuando todas sus entradas son bajas y una salida baja cuando existe por lo menos un alto en Favián Arenas.

76

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

cualquiera de ellas. En forma proposicional

(p _ q).

En forma de expresión booleana (A + B)c .

LA COMPUERTA OR EXCLUSIVA O XOR La OR exclusiva, se denomina la puerta comparadora OR, La tabla de verdad para la función XOR se muestra en la tabla A

B

A XOR B

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

la cual es equivalente a la disyunción exclusiva Favián Arenas.

77

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

p

q

pYq

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Note que XOR es combinación de los anteriores: apliquemos el calculo proposicional: pYq =

(p , q)

=

[(p ! q) ^ (q ! p)]

=

(p ! q)_

= (p^

(q ! p)

q) _ (q^

= (p _ q) ^ (p_

= (p _ q)^ = (p^

ley distributiva

p) ^ (

p_

q _ q) ^ (

p_

p_

q)

q)

q)

q) _ (q^

p) _ (q^

ley distributiva q)

p) _ 0

complemento a cero suma del modulo

= (p^ q) _ (q^ p) Listo! Con c probamos que p Y q equivale a tres compuertas una de (p _ q); otra de

(p ^ q) y otra que las relacione con la conjunción ^; así pues: A

XOR B equivale a: (A OR B) AND (A NAND B) es decir: (A + B)(AB)0 con la parte …nal del cálculo proposicional anterior A XOR B = A0 B+AB 0 VERIFICACIÓN: Favián Arenas.

p) = 1

Ley de Morgan c

q) _ (q^

siempre (p_

simplificando

(p ^ q)

p) _ (p^

= 0 _ (p^

negación del condicional

p)

= (p _ q) ^ 1 ^ 1 ^ ( = (p _ q) ^ (

aplicando la ley de Morgan

78

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

A=1 y B=1

A=1 y B=0

A=0 y B=1

A=0 y B=0

Favián Arenas.

79

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

Favián Arenas.

80

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

Ejemplo 20. construya un circuito con compuertas lógicas que exprese la siguiente función booleana de dos variables: Ejemplo 21. f (x; y) = x0 + xy + xy 0 se comienza con cada sumando x0

X

X’

Y

Y

xy

X

XY

Y

xy 0 Favián Arenas.

81

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

X

XY’

Y

X X’+XY+XY’ Y

Favián Arenas.

82

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

La suma de todos ellas es una compuerta OR de tres entradas: El lector puede probar que la tabla de verdad de esta función booleana es una tautología:

Observación: debido a que xyz = (xy)z = x(yz)

y que

x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z) una compuerta OR de tres entradas puede reemplazarse por dos compuertas OR de dos entradas así:

es equivalente a: De manera semejante ocurre para la compuerta AND. Ejemplo 22. Encuentre un circuito de compuertas lógicas para: F (x; y; z) = xyz + x0z0

Ejemplo 24. Encontrar una representación booleana del siguiente circuito de compuertas lógicas. Favián Arenas.

83

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

(X+Y)+Z

Ejemplo 23.

x

y xyz+x’y’

z

Favián Arenas.

84

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

x y z

xyz (xyz)NOR(yzc+ycz) =[(xyz)+(yzc+ycz)]c

x y z

yc yc XOR zc= (yc)c(zc)+(yc)(zc)c =yzc+ycz

zc

Favián Arenas.

85

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

solución: en cada parte del circuito hay un mensaje: en conclusión F (x; y; z) = [xyz + (yz c + y c z)]c

Es posible que la expresión F (x; y; z) = [xyz + (yz c + y c z)]c se pueda simpli…car mas para lo cual se aplicarán todas las propiedades del álgebra de Boole veamos:

[xyz + (yz c + y c z)]c = (xyz)c (yz c + y c z)c

ley de Morgan

= (xc + y c + z c )((yz c )c (y c z)c )

ley de Morgan

= (xc + y c + z c )((y c + (z c )c )((y c )c + z c )

ley de involución

= (xc + y c + z c )(y c + z)(y + z c )

ley distributiva

= (xc + y c + z c )(yz + yy c + zz c + y c z c )

Complemento al cero

= (xc + y c + z c )(yz + 0 + 0 + y c z c )

ley de Morgan

= (xc + y c + z c )(yz + y c z c )

ley de Morgan

= yzxc + yzy c + yzz c + xc y c z c + y c z c z c + z c y c y c ley distributiva = yzxc + 0 + 0 + xc y c z c + y c z c z c + z c y c y c

Complemento al cero

= yzxc + xc y c z c + z c y c

ley de idempotencia

= yzxc + z c y c

ley de absorción

Existen métodos más prácticos y rápidos para simpli…car expresiones booleanas:

Favián Arenas.

86

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

4.5.1.

Método Karnaugh de simpli…cación de expresiones booleanas

Entrando en materia, los mapas están constituidos por una cuadrícula en forma de encasillado cuyo número de casillas depende del número de variables que tenga la función a simpli…car. Caso de dos variables Se utiliza una tabla en donde una variable y su complemento va en la primera …la, la otra variable y su complemento va en la primera columna

x

xc

y yc Ejemplo 25. : Simpli…ca la función de dos variables f (x; y) = xc y +xy c +xy Lo primero que se debe hacer es representarlo en un mapa de dos variables. Se representa como una tabla. Para llenar la tabla, se coloca un uno (1) donde la intersección forme un producto de la función, así: para el primer término de la función: xc y, se marca con el uno (1) en la tabla.

para el segundo término de la función: xy c , se marca con el uno (1) en la tabla.

por ultimo el tercer término de la función: xy, se marca con el uno (1) en la tabla. y lo demás con ceros Favián Arenas.

87

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

Favián Arenas.

88

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

formando grupos con los unos se observa que: se ocupa todo el renglón de la x y toda la columna de la y; no mas.

la función f (x; y) = xc y + xy c + xy; se simpli…ca f (x; y) = x + y Reglas de simpli…cación (1)Las agrupaciones son exclusivamente de unos. Esto implica que ningún grupo puede contener ningún cero.

Correcta

Incorrecta

(2) Las agrupaciones únicamente pueden hacerse en horizontal y vertical. Las diagonales están prohibidas.

Favián Arenas.

89

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

Correcta

Incorrecta

(3) Los grupos deben contener 1; 2; 4; 8; 9; :::; 2n número de unos.

Correcta

Incorrecta

(4) Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible.

Correcta Favián Arenas.

Incorrecta 90

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

(6) Pueden existir traslapamiento de grupos.

Correcta

Incorrecta

(7) La formación de grupos también se puede producir con las celdas extremas de la tabla. De tal forma que la parte inferior se podría agrupar con la superior y la izquierda con la derecha.

Correcta (8) Tiene que resultar el menor número de grupos posibles (ser minimal ) siempre y cuando no contradiga ninguna de las reglas anteriores.

Caso de tres variables Favián Arenas.

91

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

Se utiliza una tabla en donde una variable y su complemento va en la primera columna, las otras dos variables y sus complementos se acomodan como productos de ellas en la primera …la

yz

ycz

yz c

yczc

x xc F (x; y; z) = xc y c z c + xc y c z + xc yz c + xy c z c + xyz c Los pasos a seguir para conseguir reducir esta expresión son: 1. Convertir la expresión a una suma de productos si es necesario. en este caso no lo es. 2. se construye un mapa de karnaugh

3. Cubrir todos los unos del mapa mediante rectángulos de 2n elementos, donde n = 1; 2:::número de variables. Ninguno de esos rectángulos debe contener ningún cero Para minimizar el número de términos resultantes se hará el mínimo número posible de rectángulos que cubran todos los unos. Favián Arenas.

92

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

Para minimizar el número de variables se hará cada rectángulo tan grande como sea posible. Para encontrar la suma de productos minimal preguntese lo siguiente: ¿Cada rectángulo pertenece a un término producto? ¿que variables hay en común en tal rectángulo? a estos se llamarán implicantes primos. En el cubrimiento mas grande predomina z c En el cubrimiento mas pequeño no predomina , pero contiene a xc y c z: entonces los implicantes primos son: z c y xc y c z:,sin embargo como z c contiene a xc y c z c ;no es necesario incluir en los implicantes primos a xc y c z:; pues será su…ciente con xc y c ; : en conclusión f (x; y; z) se simpli…ca en: f (x; y; z) = z c + xc y c Caso de cuatro variables Se utiliza una tabla en donde dos variables se acomodan como productos de ellas y sus complementos en la primera columna, las otras dos variables y sus complementos se acomodan como productos de ellas en la primera …la

Favián Arenas.

93

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

zw

zcw

zwc

z c wc

xy xc y xy c xc y c

Ejemplo 26. sea f (x; y; z; w) = xyzw + xyzwc + xyz c w + xc yzwc + xc yz c w+xc yz c wc +xy c zwc +xc y c zw+xc y c zwc +xc y c z c w primero se marcan con unos las reguiones de la función

ahora se agrupan los unos con tal que tengan 2n unos

entonces los implicantes primos son: a) xyz b) zwc Favián Arenas.

94

Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

c) yz c w d) xc y c z e) xc yz c f) xc y c zw Por lo tanto f (x; y; z; w) se simpli…ca en: f (x; y; z; w) = xyz + zwc + yz c w + xc y c z + xc yz c + xc y c zw

Favián Arenas.

95

Camargo Benítez.

4.6 Actividades

4.6.

Lógica Matemática

Actividades

Ejercicio 4.

. Simpli…car las siguientes expresiones booleanas utilizando

mapas de Karnaugh ab0(a + b0)c0 + b a + b + (a0 + b + c)0 bc + da + c + (dc(ab + dc)) Ejercicio 5. Mostrar con un ejemplo que el mínimo en dos niveles no es único Sugerencia: utilizar mapas de Karnaugh. Ejercicio 6. Un misionero está perdido en alguna esquina de Punta Carretas. Enfrente de él tiene dos calles que nacen de la esquina de la cual se encuentra. En este lugar también hay dos pescadores uno de los cuales siempre dice la verdad y el otro siempre miente. El misionero quiere saber como llegar al tren fantasma que se encuentra en el Parque Rodó. ¿Qué pregunta debe realizar para llegar correctamente a destino? . Ejercicio 7. Probar que los dos circuitos siguientes realizan la misma función lógica: Ejercicio 8.

. Obtenga una forma minimal en suma de productos las

siguientes expresiones: (a)

f (a; b; c) = (ab + ac)(ab)

(b)

f (x; y; v; w) = xy(v + w)[(x + y)v]

(c)

f (x; y; z) = x + yz

(d)

f (a; b; c) = (a + b + c)(d + a) + bc + ac

Favián Arenas.

96

Camargo Benítez.

4.6 Actividades

Lógica Matemática

Ejercicio 9. Obtenga la tabla de verdad de las siguientes expresiones: 1. (a) f (x; y; z; w) = wyz + xy + wy (b) f (x; y; z; w) = (w + x + y)(x + z)(w + x) (c)

Las funciones del problema anterior.

Ejercicio 10. Construya un circuito de compuertas lógicas que esté representado por la función: 1. (a) (b) (c)

f (x; y; z) = x + y c + z c

f (x; y) = [(x + y)c (x + y)]

f (x; y; z; w) = (xy + yzwc )c + xc zwc

Ejercicio 11. Simpli…que los circuitos anteriores aplicando el método de Karnaugh Ejercicio 12. A partir de las tablas de verdad de las siguientes funciones, obtenga las expresiones algebraicas de dichas funciones y los circuitos lógicos que las realizan:

1.

Favián Arenas.

97

Camargo Benítez.

4.6 Actividades

1.

Lógica Matemática

x

y

f (x; y)

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

x

y

f (x; y)

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

x

y

f (x; y)

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Ejercicio 13. Construya un circuito de compuertas lógicas para cada una de las tablas anteriores.

Favián Arenas.

98

Camargo Benítez.

4.6 Actividades

Lógica Matemática

Ejercicio 14. Dibuja el diagrama de un circuito para una función OR de dos entradas utilizando solamente 1. (a) compuertas NAND (b) compuertas NOR. Ejercicio 15. Convertir el siguiente circuito en uno que solo utilice compuertas NAND

1.

Ejercicio 16. Convertir el circuito anterior a uno que solo contenga compuertas NAND de dos entradas

Ejercicio 17. Encuentre los implicantes primos de este mapa de Karnaugh

Favián Arenas.

99

Camargo Benítez.

4.7 Objetivos

Lógica Matemática

Guía de trabajo 1

4.7.

Objetivos

El alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguientes elementos básicos para la solución de un problema: Resolver proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos. Hallar el valor de verdad de una proposición a través de la conjunción, disyunción, condicional, bicondicional y negación a través de proposiciones simples. Construir la tabla de verdad de una proposición compuesta, y decidir si es una ley.

Favián Arenas.

100

Camargo Benítez.

4.8 Recursos de aprendizaje

4.8.

Lógica Matemática

Recursos de aprendizaje Aula de clases, Auditorios. Videobeam Retroproyector. Foro Chat Correo electrónico

Proposiciones La lógica es toda una disciplina en la que las re‡exiones y el razonamiento son fundamentales. Es estudiada también por la …losofía, pero, aquí nos referiremos por lógica a la Lógica matemática. El elemento básico sobre el que se desarrolla toda esta teoría se llama proposición. De todo lo anterior una proposición es una a…rmación con sentido completo de la cual se puede a…rmar que es cierta o que es falsa. Ejemplo: 1. “La sal es un compuesto químico” 2. 10 < 14 3. “13 es un número impar” 4. “El sol sale de noche” Favián Arenas.

101

Camargo Benítez.

4.9 Actividades

Lógica Matemática

5. 45 + 5 = 30 6. “¿De que color es la pared?” Las a…rmaciones 1, 2, 3, 4 y 5. son proposiciones aunque no todas son verdaderas siguen siendo proposiciones. A esta propiedad de las proposiciones de ser verdadera o falsa se le llama valor de verdad. Las proposiciones se representan con letras minúsculas, usualmente p, q, r, s, t,.. Existen casos donde el sujeto del que se habla en la proposición no está de…nido o no se conoce, por lo que tiene una incógnita. A estos casos les llamamos frases proposicionales. (Suele llamarles proposiciones abiertas) 1. x + 12 = 20 2. “Alguien es un ingeniero famoso”

4.9.

Actividades

¿Cuáles de los enunciados siguientes pueden considerarse como proposiciones Ejercicio 18.

1.

a) Un triángulo es un polígono de tres ángulos.

b) La …losofía es triangular c) 52 = 21 d) Un cuadrado es una …gura plana de cuatro lados. e) Un cuadrado es un polígono de cuatro ángulos rectos Favián Arenas.

102

Camargo Benítez.

4.9 Actividades

Lógica Matemática

f) Un rectángulo es un polígono de cuatro ángulos rectos. g) Medellín es ciudad de eterna primavera. h) Un rectángulo es una …gura verde. i) x2 + 3x

4=0

j) Todas las naranjas son amarillas. k) Algunas manzanas son rojas. 2. Para que la proposición abierta x + 5 < 10 tenga valor de verdad falso, x debe reemplazarse por: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 4.9.1.

Proposiciones conjuntivas, p ^ q

Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra "para for2

mar un enunciado compuesto llamado la conjunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p ^ q denota la conjunción de los enunciados p y q, que se lee "p y q". El valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposiciones que la conforman sean verdaderas,es decir, que solo es verdadera si las dos proposiciones son verdaderas nota: recordemos que V es simbolizado por (1) y F por (0) La tabla de verdad del enunciado compuesto p ^ q está dada por: Favián Arenas.

103

Camargo Benítez.

4.9 Actividades

Lógica Matemática

p

q

p^q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1. p : El dos es un número par (1) 2. q : Siete es un número primo (1) 3. r : El ocho es un número primo (0) así que : p ^ q : El dos es un número par y siete es un número primo (1) En caso de que una de las dos sea falsa entonces toda la proposición conjuntiva lo será. r ^ q : El ocho es un número primo y siete es un número primo (0) 4.9.2.

Proposiciones disyuntivas, p _ q

Dos enunciados se combinan con la palabra .o"para formar un enunciado compuesto llamado la disyunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p _ q denota la disyunción de los enunciados p y q, que se lee "p o q". El valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposiciones que la conforman sean no sean falsas,es decir, que solo es falsa si las dos proposiciones son falsas. La tabla de verdad del enunciado compuesto p _ q está dada por: Favián Arenas.

104

Camargo Benítez.

4.9 Actividades

4.9.3.

Lógica Matemática

p

q

p_q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Proposiciones condicionales, p ! q

Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “entonces”, se forma una proposición que solo es falsa si las primera es verdadera y la segunda es falsa (solo en este orden). La tabla de verdad de la proposición compuesta p ! q está dada por: p

q

p!q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Ejemplo 27. Sea p : El canguro es marsupial ( 1 ) q : America es habitat de todos los marsupiales ( 0 )

El canguro es marsupial entonces América es habitat de todos los marsupiales.(0)

Favián Arenas.

105

Camargo Benítez.

4.9 Actividades

4.9.4.

Lógica Matemática

Proposiciones bicondicionales, p $ q

Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “si y solo si” , se forma una proposición que solo es falsa si las dos tienen valores de verdad diferentes. La tabla de verdad del enunciado compuesto p $ q está dada por:

4.9.5.

p

q

p$q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Negación de Proposiciones :

p

Aunque no es un conectivo lógico (como _; ^; Y ,=); ,) genera nuevas proposiciones con solo cambiarle el valor de verdad y se simboliza anteponiendo “ ”a la letra de la proposición: Ejemplos: p : todo número impar es primo p : no todo número impar es primo q : 9 es menor que 6 q : 9 no es menor que 6 La tabla de verdad de la negación de p : p

Favián Arenas.

p está dada por: p

1

0

0

1

106

Camargo Benítez.

4.10 Actividades

4.10.

Lógica Matemática

Actividades

4. “Una …gura de 4 lados se llama cuadrilátero, si tiene 5 lados se llama pentágono, si tiene 6 lados se llama hexágono”En el enunciado anterior identi…ca todas las proposiciones cerradas. (Represéntalas con las letras p, q, r). 5. Con las proposiciones clasi…cadas en el ejercicio anterior. escribe en palabras las proposiciones compuestas siguientes: a) p ! b)

q

(p $ q)

c) (p ! q ) ! (p ! r) 6. Supón que p es verdadera, q es falsa y r es falsa ¿cómo es el valor de verdad de las siguientes proposiciones a) p^ b)

q

(p ! q)

7. Completa las siguientes tablas de verdad

a)

p

q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Favián Arenas.

q

p

p^

107

q

pYq

(p Y q) _ (

p^

q)

Camargo Benítez.

4.10 Actividades

b)

c)

Lógica Matemática

p

q

q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

p

q

1

1 1

1

1 0

1

0 1

1

0 0

0

1 1

0

1 0

0

0 1

0

0 0

p$q

p^

q

(p $ q) ! (p^

q)

((p ! r) ^ (q ! r)) ! r

r

8. Construye 3 frases que no sean proposiciones, 3 proposiciones, luego niega las tres proposiciones.

Favián Arenas.

108

Camargo Benítez.

4.11 Objetivos

Lógica Matemática

Guía de trabajo 2

4.11.

Objetivos

El alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguientes elementos básicos para la solución de un problema: Generalidades sobre que es un conjunto y sus Clases. Generalidades sobre el álgebra de conjuntos y problemas. Razonamiento sobre cardinalidad de conjuntos..

4.12.

Recursos de aprendizaje

Aula de clases, Auditorios. Videobeam Retroproyector. Foro Chat Correo electrónico

Favián Arenas.

109

Camargo Benítez.

4.13 Algebra de conjuntos

4.13.

Lógica Matemática

Algebra de conjuntos

Unión de Conjuntos Los conjuntos A = fa; b; c; d; eg y B = fa; e; i; o; ug se combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puede estar repetido fa; b; c; d; e; i; o; ug, a este conjunto lo llamaremos unión de A y B. M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces M [ J = f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g Simbólicamente la unión de A y B es: AU B = fx : x 2 A _ x 2 Bg Intersección de Conjuntos En esta operación de conjuntos se trata de encontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos, veamos: M = f1; 2; 3; 4; 5g

y

J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces

La intersección la representamos por: M \ J = f1; 3; 5g pues son los que se repiten. Simbólicamente la intercepción de A y B es: A \ B = fx : x 2 A ^ x 2 Bg Diferencia de Conjuntos En los conjuntos V = fa; e; i; o; ug y A = fa; e; og La diferencia de V

A es el conjunto formado por los elementos de V

que no están en A así: V

A = fi; og

M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces Favián Arenas.

110

Camargo Benítez.

4.13 Algebra de conjuntos

Lógica Matemática

La diferencia la representamos por: M

J = f2; 4g pues son los que están en M y no en J.

También se puede calcular J J

M

M = f7; 9g pues son los que están en J y no en M .

Simbólicamente es: M

J = fx : x 2 M ^ x 2 = Jg

J

M = fx : x 2 J ^ x 2 = Mg

Complemento Para esta operación debemos de…nir primero un conjunto que nos sirva como base o referencia, lo simbolizarán con la letra U, se llamará universal o referencial. Si U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g y el conjunto A = f0; 1; 2; 3g Llamaremos complemento de A , al conjunto formado por todos los elementos de U que no están en A, o sea f4; 5; 6; 7; 8; 9g, a este conjunto lo denotaremos con A0 Notese que A0 = U

A

U = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g Si B = f1; 11; 29g entonces

B0 = f3; 5; 7; 13; 17; 19; 23g

Si C = f3; 5; 7; 17; 23g entonces

C0 = f1; 11; 13; 19; 29g

Si D = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g entonces

D0 =

Simbólicamente es: A0 = fx : x 2 U ^ x 2 = Ag

Favián Arenas.

111

Camargo Benítez.

4.14 Actividades

4.14.

Lógica Matemática

Actividades

1. Sea A el conjunto de los números naturales divisibles entre 6 menores que 50, B el conjunto de los números naturales divisibles entre 2 menores que 50 y C el conjunto de los números naturales divisibles entre 5 menores que 50.Encuentre. a AU B b AU C c BU C d A\B e A\C f B\C g A

B

h A

C

i B

C

2. Representar gra…camente las anteriores operaaciones 3. Si A y B son dos conjuntos no vacios.Encuentra las condiciones que deben cumplir para que se veri…quen las siguientes operaciones: a (AU B)

A

b AU B = B Favián Arenas.

112

Camargo Benítez.

4.14 Actividades

Lógica Matemática

c A\B =B d A

(A \ B)

e A

(A

B)

4. Completa en el dibujo las cantidades correspondientes a cada sección de la …gura y con esa información responde las preguntas a, b, c y d

36 personas fueron a Europa, visitaron España, Inglaterra o Francia, sin embargo, no todas fueron a los tres lugares, para identi…car la cantidad exacta de personas que fueron a cierto país, se especi…ca cada cantidad en el siguiente diagrama de Venn.

21 personas fueron a Francia Favián Arenas.

113

Camargo Benítez.

4.14 Actividades

Lógica Matemática

17 personas fueron a España

16 personas fueron a Inglaterra

9 personas fueron a Francia y a España

8 personas fueron a España y a Inglaterra 6 personas fueron a Francia y a Inglaterra

1.

a) El número de personas que fue a Francia y España pero no a Inglaterra es:_______ b) El número de personas que fue a España o Inglaterra es:______ c) El número de persona que fue a Inglaterra, España y Francia es:________ d) El número de personas que fue a España o Inglaterra pero no a Francia es:______

Favián Arenas.

114

Camargo Benítez.

4.15 Objetivos

Lógica Matemática

Guía de trabajo 3

4.15.

Objetivos

El alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguientes elementos básicos para la solución de un problema: Generalidades sobre que es un álgebra de Boole y como se prueba. Generalidades sobre las leyes del álgebra de Boole y demostraciones. Generalidades sobre las funciones de Boole con una o mas variables.

4.16.

Recursos de aprendizaje

Aula de clases, Auditorios. Videobeam Retroproyector. Foro Chat Correo electrónico Favián Arenas.

115

Camargo Benítez.

4.17 Clases de operaciones

4.17.

Lógica Matemática

Clases de operaciones

Hasta el momento hemos hablado de operaciones entre proposiciones y entre conjuntos Vale la pena clasi…car en general las operaciones El primer tipo se llama operación binaria, y no sólo enlaza dos elementos, sino que determina un tercero (el resultado de los otros dos) que pertenece al conjunto que consideramos. Por lo tanto una OPERACIÓN BINARIA es una .operación tal que: si a; b 2 X,entonces también la es a

b

Ejemplo 28. la Suma en el conjunto de los naturales es una operación binaria Ejemplo 29. pues si m; n 2 N;entonces m + n 2 N: Ejemplo 30. la Resta en el conjunto de los naturales no es una operación binaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 7 y 12 tal que 7 12 = 52 = N: El segundo tipo de operación se llama operación unitaria, esta en realidad transforma un número en otro, por lo tanto unaOPERACIÓN UNITARIA ' sobre un conjunto B es una .operación tal que: Si a 2 B, entonces '(a) 2 B Ejemplo 31. el operador menos ( ) el conjunto de los enteros es una operación binaria pues si m 2 Z;entonces Favián Arenas.

m 2 Z: 116

Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole

Lógica Matemática

Ejemplo 32. la Radicación en el conjunto de los números reales es una p operación binaria si y solo si es raíz impar; es decir el operador 2n+1 es una operación binaria con n 2 N p pero el operador 2n no es una operación binaria con n 2 N p = R nótese que 1 2 R pero 2n 1 2

4.18.

Álgebra de Boole

Un conjunto B, junto con las operaciones binarias

;

de…nidas sobre él

es un álgebra de Boole, si se veri…can las siguientes Propiedades: Ley conmutativa 1.

a) 1) 8a; b 2 B; a

b2B

2) 8a; b 2 B; a

b2B

Ley distributiva 1.

a) 1) 8a; b; c 2 B; a

(b

c) = (a

b)

(a

c)

2) 8a; b; c 2 B; a

(b

c) = (a

b)

(a

c)

Elementos neutros 1.

a) 1) 8a 2 B; 9e 2 B; a 2) 8a 2 B; 9i 2 B;

e = a (Neutro Aditivo o cero) a

i = a (Neutro Multiplicativo o

unidad)

Complementación Favián Arenas.

117

Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole

1.

Lógica Matemática

a) 1) 8a 2 B; 9ac 2 B; a 2) 8a 2 B; 9ac 2 B; a

ac = i (complemento a la unidad) ac = e (complemento al cero)

mas adelante se probará que ac es el mismo en ambos casos.

Ejemplo 33. Sea D26 = f1; 2; 13; 26g el conjunto de los divisores positivos del 26; de…namos las operaciones binarias así: Ejemplo 34. a a

b = M CM (a; b)

b = mcd(a; b)

( Mínimo Común múltiplo)

( Máximo Común divisor)

observe que para que a

b = a; b tiene que ser 1(Neutro Aditivo o

cero) y para que a

b = a; b tiene que ser 26(Neutro Multiplicativo o

unidad) por otra parte: 26 (complemento de la unidad) a b = 1; depende de quien sea a así:

para que a b = 26; tiene que ser b = y para que a

si a = 1 entonces b = 26 si a = 2 entonces b = 13 si a = 13 entonces b = 2 si a = 26 entonces b = 1 Para representar estas operaciones utilizaremos tablas algo parecidas a las de la escuela.

Favián Arenas.

118

Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole

Lógica Matemática

1

2

13 26

1

2 13 26

1

1

2

13

26

1

1

1

1

1

2

2

2

26

26

2

1

2

1

2

13 13 26 13

26

13 1

1

13

13

26 26 26 26 13 26 1 2 13 26 A continuación se plantearán otras Propiedades de las Algebras de Boole, se realizarán las pruebas de estas propiedades para uno de ellas y la otra la realizará el estudiante con el principio de dualidad. Ley de idempotencia 1.

8a 2 B; a + a = a

a) 1) 8a 2 B; aa = a

Ley de acotamiento 1.

a) 1) 8a 2 B; a + 1 = 1 2) 8a 2 B; a0 = 0

Ley de absorción 1.

a) 1) 8a; b 2 B; a + ab = a 2) 8a; b 2 B; a(a + b) = a

Ley asociativa 1.

a) 1) 8a; b; c 2 B; a + (b + c) = (a + b) + c 2) 8a; b; c 2 B; a(bc) = (ab)c

Unicidad del complemento Favián Arenas.

119

Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole

1.

Lógica Matemática

a) 1) 8a 2 B; (a + x = 1) ^ (ax = 0) ) x = ac

Ley de involución 1.

a) 1) 8a 2 B; (ac )c = a

Ley de Morgan 1.

a) 1) 8a; b 2 B; (a + b)c = ac bc 2) 8a; b 2 B; (ab)c = ac + bc

4.18.1.

Funciones reales y funciones booleanas

Hasta ahora se ha mostrado en qué operaciones se basa el Algebra de Boole y algunas de sus propiedades. Utilizando expresiones booleanas, vamos a de…nir Funciones booleanas, que son muy parecidas a las funciones matemáticas a las que estamos acostumbrados pero con la particularidad de que las variables son booleanas y que los valores devueltos por la función también son booleanos, es decir, una función booleana sólo puede tomar los valores ’0’ó ’1’. Como hemos hecho antes, vamos a ver un ejemplo utilizando una función matemática de las que todos conocemos. Por ejemplo esta: f (x) = 2x + 1 Se trata de una función Real que tiene una variable Real (x) es decir el dominio de f es R Favián Arenas.

120

Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole

Lógica Matemática

y 10

5

0 -5

-2 .5

0

2 .5

5 x

-5

hay una in…nidad de valores en el dominio de f por esto se obtiene una in…nidad de puntos en forma de una recta. También podemos de…nir funciones reales de 2 ó más variables, como por ejemplo: f (x; y) = 2x + y 2 f (x; y; z) = z 2 sen(x + y) p f (x1 ; x2 ; x3 ; :::; xn ) = 3 x1 + x2 + x3 + ::: + xn Como estamos acostumbrados a trabajar con este tipo de funciones, nos resultan claras. Ahora vamos a de…nir funciones booleanas. Para ello hay que tener presente que trabajaremos con variables booleanas y que por tanto usaremos las operaciones + y

del

Algebra de Boole. Favián Arenas.

121

Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole

Lógica Matemática

Ejemplo 35. sea la siguiente función booleana de una variable: f (x) = xc El valor devuelto por la función es el complemento del valor de la variable. Como la variable x es booleana, sólo puede tomar los valores ’0’y ’1’. Los que la función F toma son: f (0) = 0c = 1 f (1) = 1c = 0

Ejemplo 36. Ejemplo 37. Sea la siguiente función booleana se dos variables: f (x; y) = xc (x + y) obtenemos: f (0; 0) = 0c (0 + 0) = 1 0 = 0 f (0; 1) = 0c (0 + 1) = 1 1 = 1 f (1; 0) = 1c (1 + 0) = 0 1 = 0 f (1; 1) = 1c (1 + 1) = 0 0 = 0 Antes de calcular los valores que toma la función, se pueden aplicar algunas propiedades para obtener una función más simpli…cada: del ejemplo anterior f (x; y) = xc (x + y) = xc x + xc y

(ley distributiva)

= 0 + xc y

(complemento al cero)

= x0 y

Favián Arenas.

122

Camargo Benítez.

4.19 Actividades

Lógica Matemática

en el cual también obtenemos: f (0; 0) = 00 0 = 1 0 = 0 f (0; 1) = 00 1 = 1 1 = 1 f (1; 0) = 10 0 = 0 1 = 0 f (1; 1) = 10 1 = 0 0 = 0

4.19.

Actividades

1. Dígase cuáles de las siguientes son operaciones unitarias a) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los números reales. b) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los números enteros. c) encuéntrese otro conjunto sobre el cual "tomar el inverso de"sea una operación unitaria.

2. En qué circunstancias son +; ; ; ; operaciones binarias: a) En el sistema de los números reales o subconjuntos de este sistema. b) En el sistema de los números complejos. 2. Probar las siguientes equivalencias de expresiones por los métodos de: a. Tablas de verdad. Ejercicio 19.

1.

Favián Arenas.

123

Camargo Benítez.

4.19 Actividades

2.

Lógica Matemática

a) Transformaciones algebraicas(propiedades del álgebra de Boole)

abc + ac b + ac bc = ac + bc ac bc + ac + bcc = ac cc + bc c + ab ac bc + bd + abc = d + dc bc (a + bc + ab)(ac + b)abc = 0 (a + bc + abc )(ab + bcc + ac c) = ab + ac bc c (ab + c + d)(cc + d)(cc + d + e) = abcc + d 1.

Favián Arenas.

124

Camargo Benítez.

4.20 Objetivos

Lógica Matemática

Guía de trabajo 4

4.20.

Objetivos

El alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguientes elementos básicos para la solución de un problema: Entradas y salidas de las compuertas lógicas. tablas de verdad a partir de mediciones en compuertas lógicas. Simpli…cación Tabular mediante Mapas de Karnaugh

4.21.

Recursos de aprendizaje

Aula de clases, Auditorios. Videobeam Retroproyector. Foro Chat Correo electrónico

Favián Arenas.

125

Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje

Lógica Matemática

B

A

LA COMPUERTA

AND

El esquema de la …gura, da una idea de funcionamiento de la compuerta AND. Examinando de cerca el circuito, notamos que la lámpara encenderá solo si ambos interruptores se cierran o se activan simultáneamente. Si uno de los interruptores esta abierto, el circuito se interrumpe y la lámpara no se enciende. Todas las posibles combinaciones para los interruptores A y B se muestran en la tabla de verdad. A

B

Lampara

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

La tabla de esta …gura es la misma que la de la conjunción, es decir dos interruptores en serie se representan con la compuerta AND Para representar una compuerta AND se utilizará el símbolo siguiente

Favián Arenas.

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Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje

Lógica Matemática

Esta compuerta AND es un dispositivo que posee dos entradas A y B y una salida A B. El álgebra booleana es una forma de lógica simbólica que muestra como operan las compuertas lógicas. Una expresión booleana es un método de mostrar que ocurre en un circuito lógico. A B = Y es la expresión booleana de la compuerta AND se lee .A AND B igual a la salida Y" El punto ( ) signi…ca la función lógica AND en álgebra booleana, y no la operación de multiplicar como en el álgebra corriente.

LA COMPUERTA

OR El grá…co de este circuito ilustra el fun-

cionamiento de la compuerta OR, en el cual los interruptores han sido conectados en paralelo. El encendido de la lámpara se producirá si se cierra cualquiera de los dos interruptores o ambos. Todas las posibles combinaciones de los interruptores se muestran en la tabla siguiente.

Favián Arenas.

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Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje

Lógica Matemática

A

B

Lampara

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

La tabla de esta …gura es la misma que la de la disyunción, es decir dos interruptores en serie se representan con la compuerta OR Para representar una compuerta OR se utilizará el símbolo siguiente: Esta compuerta OR es un dispositivo que posee dos entradas A y B y una salida A + B. A + B = Y es la expresión booleana de la compuerta OR se lee .A OR B igual a la salida Y"

Favián Arenas.

128

Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje

Lógica Matemática

El signo mas (+) signi…ca la función lógica OR en álgebra booleana, y no la operación de sumar como en el álgebra corriente.

COMPUERTA INVERSORA En este circuito cuando se cierra el interruptor A, la bombilla se apaga,(¿Por qué?), al abrir el interruptor la bombilla se enciende. La tabla es:

Favián Arenas.

A

lámpara

1

0

0

1 129

Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje

Lógica Matemática

Es la misma tabla de la negación

p; a este esquema se le llama La

compuerta inversora, esta posee una entrada y una salida como se muestra en la …gura. Su función es producir una salida inversa o contraria a su entrada es decir convertir unos a ceros y ceros a unos.

LA PUERTA NAND Una compuerta NAND es un dispositivo lógico que opera en forma exactamente contraria a, una compuerta, AND, entregando una salida baja cuando todas sus entradas son altas y una salida alta mientras exista por lo menos un bajo a cualquiera de ellas: En forma proposicional

(p ^ q).

En forma de expresión booleana (AB)0 . Favián Arenas.

130

Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje

Lógica Matemática

Observar que el símbolo NAND es símbolo AND con un pequeño círculo a la salida.

LA PUERTA NOR Se ha conectado un inversor a la salida de una puerta OR, obsérvese que se ha añadido un pequeño circulo inversor al símbolo OR para formar el símbolo NOR. Debido a que los interruptores A y B están en paralelo entre si y con la lámpara (Y) esta ultima solo enciende cuando ambos interruptores están abiertos y permanece apagada mientras cualquiera de ellos , o ambos estén cerrados. Símbolo lógico de una compuerta NOR es:

Favián Arenas.

131

Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje

Lógica Matemática

Podemos decir que este dispositivo lógico opera en forma exactamente opuesta a una compuerta OR , entregando una salida alta cuando todas sus entradas son bajas y una salida baja cuando existe por lo menos un alto en cualquiera de ellas. En forma proposicional

(p _ q).

En forma de expresión booleana (A + B)c .

Ejemplo 38. construya un circuito con compuertas lógicas que exprese la siguiente función booleana de dos variables: Ejemplo 39. f (x; y) = x0 + xy + xy 0 se comienza con cada sumando x0 xy xy 0 La suma de todos ellas es una compuerta OR de tres entradas: El lector puede probar que la tabla de verdad de esta función booleana es una tautología:

Favián Arenas.

132

Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje

Lógica Matemática

debido a que xyz = (xy)z = x(yz)

y que x +y +z = (x +y)+z =

x + (y + z) una compuerta OR de tres entradas puede reemplazarse por dos compuertas OR de dos entradas así:

es equivalente a:

(X+Y)+Z

De manera semejante ocurre para la compuerta AND. Favián Arenas.

133

Camargo Benítez.

4.22 Actividades

Lógica Matemática

Ejemplo 40. Encontrar una representación booleana del siguiente circuito de compuertas lógicas. solución: en cada parte del circuito hay un mensaje: en conclusión F (x; y; z) = [xyz + (yz c + y c z)]c

Es posible que la expresión F (x; y; z) = [xyz + (yz c + y c z)]c se pueda simpli…car más.

4.22.

Actividades

1. Probar que los dos circuitos siguientes realizan la misma función lógica:

Ejercicio 20.

Favián Arenas.

1.

134

Camargo Benítez.

4.22 Actividades

Lógica Matemática

2. Simpli…car las siguientes expresiones booleanas utilizando mapas de Karnaugh ab0(a + b0)c0 + b a + b + (a0 + b + c)0 bc + da + c + (dc(ab + dc)) 3. Construya un circuito de compuertas lógicas que esté representado por la función: Ejercicio 21. 2. (a) (b) (c)

1.

f (x; y; z) = x + y c + z c

f (x; y) = [(x + y)c (x + y)]

f (x; y; z; w) = (xy + yzwc )c + xc zwc

4. Simpli…que los circuitos anteriores aplicando el método de Karnaugh 5. Convertir el siguiente circuito en uno que solo utilice compuertas NAND

6. Encuentre los implicantes primos de este mapa de Karnaugh

Favián Arenas.

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4.22 Actividades

Favián Arenas.

Lógica Matemática

136

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