PROBLEMAS DE QUIMICA FISICA II 1) En diversos espectros se han medido las longitudes de onda (λ) de las siguientes líneas: a=0.62 Å, b=2560 Å, c=5890 Å, d=10350 Å, e=3.86 µ y f=0.563 cm. Calcule la frecuencia y el número de ondas de cada una de ellas e indique la zona espectral a la que pertenecen. Solución: La frecuencia es igual a ν = c/λ. y el número de ondas es igual a ν = 1/λ.(donde λ es la longitud de onda). λ Espectral a 0.62 Å b 256 Å c 5890 Å d 10350 Å e 3.86 µ f 0.563 cm

(cm-1)

λ (cm)

ν

0.62 10-8 2560 10-8 5890 10-8 10350 10-8 3.86 10-4 0.563

1.6 108 3.906 104 1.698 104 9661.8 2590.6 1.78

ν (s-1) 4.84 1018 1.171 1015 5.09 1014Vis 2.89 1014IR 7.77 1013IR 5.32 1010MO

Zona rayos γ UV

2) Calcule ν y la energía de la primera raya de la serie de Lyman, Balmer, Paschen, y el límite de la serie de Lyman y Balmer ( en cm-1 y ergios ). Solución:

 1 1  Lyman: ν = R Z 2  - 2 → 2 n  i

n j 

ν

= 109677.6 (1 - 1/4) = 82258.2 cm-1 .

E = h ν c = 6.6256 10-27 erg s 82258.2 cm-1 2.9979 1010 cm s-1 = 1.634 10-11 erg. Balmer: ν = 109677.6 (1/4 - 1/9) = 15233 cm-1 = 3.026 10-12 erg.. Paschen: ν = 109677.6 (1/9 - 1/16) = 5331.6 cm-1 = 1.059 10-12 erg.. Límite de Lyman : ν = 109677.6 (1 - 1/∞) = R =109677.6 cm-1 . Límite de Balmer : ν = 109677.6 (1/4 - 1/∞) = R/4 = 27419.4 cm-1 . 3) Calcule la energía total (en cal.) necesaria para pasar todos los electrones de la primera órbita de Bohr a la tercera órbita de un átomo gramo de gas hidrógeno monoatómico. Solución:

 1 1  ν = R Z2  2 - 2  n  i

1.936310-11

n j 

= 109677.6 (1 - 1/9) = 97491.2 cm-1 = 1.9363 10-11 erg/molec.

erg 10-7 J 0.239 cal 6.0231023 molec = 278698 cal/mol molec 1 erg 1J 1 mol

4) Calcule la diferencia de potencial necesaria para acelerar un electrón, de tal forma que presente una longitud de onda de 0.05 Å (esta longitud de onda es la que se emplea normalmente en la difracción de electrones ). Solución: Si el electrón está en reposo, todo el trabajo electrostático se transforma en energía cinética de ese electrón. e V = 1/2 m v2 = p2/2 m Por otro lado se sabe: λ = h/p → p = h/λ Uniendo las dos ecuaciones : e V = (h/λ)2/2 m

Problemas Química-Física II

1

V=

h2 2 e m λ2

=

(6.6256 10-34 J s) 2

= 60170 V

2 1.602110-19 c 9.109110-31 kg (0.05 10-10 m) 2

No se puede emplear la expresión E= h ν = h ν c, ya que no se está considerando un fotón (con velocidad igual a c), sino un electrón a diferentes velocidad 5) Calcule la longitud de onda asociada a las siguientes partículas: a) Electrón acelerado por una diferencia de potencial de 100 v. b) Electrón acelerado con una diferencia de potencial de 10000 v. c) Protón lento acelerado por 100 v. d) Bala de fusil de 5 g. de masa y 400 m s-1 de velocidad. e) Pelota de tenis de 40 g. y 25 m s-1 de velocidad. Solución a) Si se despeja λ de la expresión empleada en el problema anterior: λ =

h ( 2 m e V)1/2

6.6256 10-34 J s

= 1.226 10-10 m = 1.226 Å ( 2 9.1091 10-31 kg 1.6021 10-19 c 100 V)1/2 b) λ = 0.1226 Å c) λ = 2.862 10-2 Å d) λ = h/p = (6.6252 10-27 erg)/( 5 g 40000 cm/s) = 3.313 10-32 cm = 3.313 10-24 Å d) λ = h/p = (6.6252 10-27 erg)/( 40 g 2500 cm/s) = 6.63 10-32 cm = 6.63 10-24 Å λ=

6) En una desintegración radiactiva un átomo emite una partícula elemental con una longitud de onda de 5500 Å. Sabiendo que la duración de la emisión es de 10-8 s, calcule: a) Con qué precisión viene dada la medida de su longitud de onda. b) Con qué precisión se puede localizar el protón en su trayectoria rectilínea. Solución: a) Según el principio de incertidumbre: ∆ E ∆ t ≥ La energía viene dada por la expresión:

h 2

E=hc/λ

Al derivar se obtiene:

∆E =

Para incrementos muy pequeños se puede escribir:

hc

Al sustituir esta última expresión en la primera, se obtiene: 2

Si se despeja:

∆λ =

hc dλ λ2

∆λ

λ2

hc 2

∆λ ∆t =

λ (5500 10 cm) 2

2

dE = -

h 2

-8

hλ λ = = = 8.03 10-13 cm = 8.03 10-5 Å 2 h c ∆ t 4 π c ∆ t 4 π 2.9979 1010 cm s -1 10-8 s

b) Según el principio de incertidumbre: ∆ x ∆ p x ≥

h 2

, y la cantidad de movimiento es: p = h/λ

h h dλ y ∆ p = 2 ∆ λ 2 λ λ λ2 (5500 10-8 cm) 2 ∆x = = = 299.8 cm 4π ∆ λ 4 π 8.03 10-13 cm

Mediante un razonamiento análogo al apartado anterior: dp = ∆x

h h ∆λ = 2 4π λ

7) ¿ Cuales de los siguientes operadores son lineales ? a) d/dx ; b) ∇2 ; c) Multiplicar por una constante d) Extraer la raíz cuadrada. Solución:

Problemas Química-Física II

2

Operador lineal es el que cumple: a)

Â(f+g) = Âf +Âg Â(af) = a Âf d d (af) = a f → dx dx

d d d (f+g) = f+ g dx dx dx ∂ 2 (f + g)

b) ∇2 (f+g) =

∂x

2

2

+

∂ 2 (f + g) ∂y

2

+

2

2

∂ 2 (f + g) ∂z

2

=

∂ 2f ∂x

2

2

2

+

∂ 2g ∂x

2

+

es lineal

∂ 2f ∂y

2

+

∂ 2g ∂y

d)

f +g ≠ f + g

;

af ≠ a f

∂ 2f ∂z

2

+

∂ 2g ∂z

2

= ∇2 f + ∇2 g

2

∂ (af) ∂ (af) ∂ (af) ∂ f ∂ f ∂ f + + =a 2 +a 2 +a 2 = a ∇2f 2 2 2 ∂x ∂z ∂y ∂y ∂x ∂z c) b (f+g) = b f + b g; b (af) = ba f → es lineal ∇2 (af) =

2

+

es lineal

→

no es lineal

→

8) Indique si alguna de estas funciones son funciones propias de los operadores: d/dx y ∇2 . a) xa ; b) eax ; c) log ax ; d) cos ax ; e) cos ax + i sen ax Solución: Para que sean funciones propias deben cumplir: Â f = a f d xa = a xa-1 = a/x xa no es función propia a) dx ∇2 x a = b)

∂2 xa = a (a-1) xa-2 ∂x 2

no es función propia

d e ax = a eax dx

∇2 eax =

es función propia, "a" es el valor propio.

∂ 2 e ax

= a2 eax ∂x 2 d log ax d (log e ln ax) = = log e 1/x c) dx dx ∇2 log ax =

d)

∂ 2 (log e ln ax) ∂x

2

es función propia, "a2" es el valor propio. no es función propia.

= - log e 1/x2

no es función propia.

d cos ax = - a sen ax dx

∇2 cos ax =

∂ 2 (cos ax) 2

no es función propia. = - a2 cos ax

es función propia, "- a2" es el valor propio.

∂x e) cos ax + i sen ax = eiax ,

coincide con el apartado b

9) Se define la imprecisión de una magnitud A como < A 2 > − < A > 2 . Calcule la imprecisión cometida en la determinación de la posición de una partícula confinada en una caja monodimensional de anchura L, cuya función de onda es Ψ(x)=(2/L)1/2 sen(nπx/L). Calcúlese también δp y compruebe si se cumple el principio de incertidumbre de Heisemberg. Solución: ∞

El valor medio del cuadrado de la posición viene dado por: < x 2 > =

∫ Ψ * xˆ

2

Ψ dx

−∞ L

2

∫

< x > = ( 2 / L)

L

1/ 2

2

sen(nπx/L) x (2 / L)

1/ 2

sen(nπx/L) dx = 2/L

0

x3 =2/L   6

∫x

2

sen 2 (nπx/L) dx =

0

 L x2 L3 -  - 3 3  4nπ 8n π

Problemas Química-Física II

L

2 3    3  sen(2nπx/L) - L x cos(2nπx / L)  = 2  L - L 2 2 2 2  4n π  0 L  6 4n π 

3

 L2 L2 = - 2 2  3 2n π 

∞

El valor promedio de la posición viene dado por: < x > =

∫ Ψ * xˆ Ψ dx

−∞

L

L

x  2 L2 L xL L2 = = 2/L x sen (nπx/L) dx = 2/L  sen(2nπx/L) - 2 2 cos(2nπx/L) = 2 8n π  4 4nπ  0 L 4 0 2 2 = L /4

∫

2

2

∆x =

La imprecisión será:

L2 L2 L2 1  1 - 2 2 =L - 2 2  3 2n π 4  12 2n π  L

El valor promedio del impulso será: =

∫ ( 2 / L)

1/ 2

sen(nπx/L)

0

2n πh

=

i L2

L

1/ 2

h d (2 / L)1 / 2 sen(nπx/L) dx = i dx L

nπx nπx 2n πh  L n πx sen 2 =0 sen cos dx =  2 L L L  0 i L 2 n π 0

∫

El valor promedio del cuadrado del impulso será: L

<

p 2x 2

d2

∫

> = - (2 / L)1 / 2 sen(nπx/L) h 2 2

2 n π h L L2

0 2 L

∫

sen 2

0

(2 / L)1 / 2 sen(nπx/L) dx =

nπx 2 n 2 π2 h 2 L n 2 π2 h 2 = dx = (la integral ya se resolvió en teoría) L L 2 L2 L2 n 2 π2 h 2

La imprecisión será: ∆p =

dx 2

L2

-0 =

n πh L 1/2

1/2

1/ 2  n 2 π2 - 6  h h 1  n π h  n 2 π 2 - 6  1   El principio de incertidumbre es : ∆x ∆p = L  - 2 2  = n π h = >  12 n 2 π2    2 2 L 3  12 2n π      El valor del paréntesis de la ecuación anterior es igual a 1.13 para n=1, y aumenta a medida que aumenta n.

10) La función de onda para una partícula en una caja de potencial unidimensional de anchura "a" es para el nivel 2 es: ψ = N sen (2πx/a) a) Normalice la función. b) Calcule el valor medio de la coordenada x, que se obtiene tras sucesivas medidas. c) Calcule la distancia al origen a la que la probabilidad de encontrar a la partícula es máxima. d) Calcule la probabilidad de encontrar a la partícula entre 0.2a y 0.3a. e) Calcule la probabilidad de encontrar a la partícula en 2a. Solución: a) En teoría ya se hizo y se obtuvo: N = (2/a)1/2 b) =

∫

a

1/2

2 ψxˆ ψdx =   a 0

=

∫

2 a

a

1/2

sen

2πx 2 x  a a

sen

2πx 2 2πx dx = x sen 2 dx = a a a

∫ 0

a

 x 2 a x sen(4πx/a) a 2 cos(4πx/a)  2 a2 a = =   8π 32 π2  4  0 a 4 2

2 2πx dP 2 2 π 2πx 2πx sen 2 = 2 sen cos =0 a a dx a a a a → x = 0 (mínimo)  2πx/a = 0 2πx/a = π/2 → x = a/4 (máximo) 2πx 2πx  sen = 0 ⇒  2πx/a = π → x = a/2 (mínimo) ; cos =0 ⇒ a a  2πx/a = 3π/2 → x = 3a/4 (máximo) 2πx/a = 2π → x = a (mínimo) 

c) P = ψ 2 =

0.3a

d) P =

∫

ψ 2dx =

0.2 a

0.3a

∫

0.2a

2 2πx 2 sen 2 dx = a a a

Problemas Química-Física II

0.3a

4πx  sen(1.2π) sen(0.8π) x a = 0.3 - 0.2 + = 0.1 → 10%  2 - 8π sen a  4 π 4π   0.2a

4

e) Si x=2a , ψ = 0 lo que implica que P = 0 11) Justifique la paridad (simetría) o imparidad (antisimetría) de las siguientes funciones: a) f(x) = cos x b) f(x) = (sen x)-1 c) f(x) = (13+x)(13-x) e) f(x) = g(x) g(-x) f) f(x) =x (4x-3x2) g) f(x) = (4x-3x3)x2

d) f(x) = exp(-ax2)

Solución: Si f(x) = f(-x) → función par f(x) =- f(-x) ) → función impar a) f(x) = cos x ; f(-x) = cos(-x) = cos x función par b) f(x) = 1/sen x ; f(-x) = 1/sen (-x) = - 1/sen x función impar c) f(x) = 132 - x2 ; f(-x) = 132 - (-x)2 = 132 - x2 función par 2

2

2

d) f(x) = e-ax ; f(-x) = e-a(-x) = e-ax e) f(x) = g(x) g(-x) ; f(-x) = g(-x) g(x) f) f(x) = 4x2 - 3x3 ; f(-x) = 4x2 + 3x3 g) f(x) = 4x3 - 3x5 ; f(-x) = - 4x3 + 3x5

función par función par no tiene paridad función impar

Nota: una propiedad importante de estas funciones es: ∞

∞

∫ f(x) dx = 2 ∫ f(x) dx

Si f(x) es una función par se cumple:

-∞

0

∞

Si f(x) es una función impar se cumple:

∫ f(x) dx = 0

-∞

12) Las funciones de onda de los niveles más bajos del oscilador armónico son: 2

Ψ1 = c1 e-αx / 2 Ψ2 = c 2 x e-αx Normalícelas y compruebe que son ortogonales.

2

/2

Solución: ∞

∫

Para el nivel fundamental:

∞

−∞ ∞

∞

2

2

−∞

c 22

2

x e

- αx 2

= c 22

dx

−∞

1 2α

∞

Para demostrar que han de ser ortogonales:

∫

1/2

 2α α  π  = 1 → c2 =    α π   ∞

Ψ1Ψ2dx =

−∞

[

1/4

π α = 1 → c1 =   α π

2

c12 e - αx dx = c12

−∞

∫ Ψ Ψ dx = ∫

Para el segundo:

∫

Ψ1Ψ1dx =

∫c c 1

2

2

x e -αx dx = 0 por ser una función impar.

−∞

] [

]

ˆ ˆ ˆ M ˆ 13) Halle los conmutadores: M y z y MzM x .

Solución:  ∂  ∂   ∂   ∂ ˆ M ˆ M - x  - i h  x - y  = i 2 h 2 y z = - i h  z ∂z   ∂x   ∂x   ∂y

 ∂ ∂2 ∂2 ∂2 ∂2  + zx - zy 2 - x 2 + xy z  ∂x∂y ∂z∂y ∂z∂x  ∂x  ∂y

2    ∂ ∂   ∂  ∂2 ∂2 ∂ ∂2   ∂ 2 2 2 ∂ ˆ M ˆ  M x y i h z x = i h xz x yz + y + yx      z y = - i h     ∂y ∂x   ∂z  ∂y∂z ∂z ∂x∂z  ∂x 2  ∂x    ∂y∂x

[Mˆ , Mˆ ]= i h i h  z ∂∂y - y ∂∂z  = i h Mˆ y

z





x

  ∂  ∂ ∂   ∂  2 2 ˆ M ˆ M z x = - i h   x ∂y - y ∂x  - i h  y ∂z - z ∂y  = i h      

Problemas Química-Física II

5

 ∂ ∂2 ∂2 ∂2 ∂2  + xy - xz 2 - y 2 + zy x  ∂y∂z ∂x∂z ∂x∂y  ∂y  ∂z

  ∂  ∂ ∂   ∂  2 2 ˆ M ˆ M x z = - i h   y ∂z - z ∂y  - i h  x ∂y - y ∂x  = i h      

[Mˆ , Mˆ ]= i h i h  x ∂∂z - z ∂∂x  = i h Mˆ z

x

2  ∂2 ∂2 ∂ ∂2  2 ∂ yx y zx + z + zy   ∂z∂x ∂x ∂y∂x  ∂y 2  ∂z∂y

y

ˆ2 y M ˆ conmutan. 14) Compruebe que los operadores M x Solución:

[Mˆ , Mˆ ]= i h Mˆ ; [Mˆ , Mˆ ]= i h Mˆ ; [Mˆ , Mˆ ]= i h Mˆ ; [Aˆ, Aˆ ]= 0 [Aˆ + Bˆ, Cˆ]= [Aˆ, Cˆ]+ [Bˆ, Cˆ] ; [AˆBˆ, Cˆ]= [Aˆ, Cˆ]Bˆ + Aˆ[Bˆ, Cˆ] [Mˆ , Mˆ ]= [(Mˆ + Mˆ + Mˆ ), Mˆ ]= [Mˆ , Mˆ ] + [Mˆ , Mˆ ]+ [Mˆ , Mˆ ]= [Mˆ , Mˆ ]+ [Mˆ , Mˆ ] [Mˆ , Mˆ ]= [Mˆ , Mˆ ]Mˆ + Mˆ [Mˆ , Mˆ ]= - i h Mˆ Mˆ + Mˆ (- i h Mˆ ) = - i h (Mˆ Mˆ + Mˆ Mˆ ) [Mˆ , Mˆ ]= [Mˆ , Mˆ ]Mˆ + Mˆ [Mˆ , Mˆ ]= i h Mˆ Mˆ + Mˆ i h Mˆ = i h (Mˆ Mˆ + Mˆ Mˆ ) ˆ ,M ˆ ] = [M ˆ ,M ˆ ] + [M ˆ ,M ˆ ]= 0 Al sumar las dos ecuaciones anteriores: [M Sabemos que: 2

x

2 x

x

y

2 y

z

2 z

y

2 x

x

2 y

x

y

x

y

y

y

x

2 z

x

z

x

z

z

z

x

2 y

x

z

y

2

z

x

2 z

x

y

y

x

y

2 z

z

z

2 z

x

x

z

z

2 y

2 y

x

y

z

x

z

z

y

z

n

x

y

z

y

x

15) Uno de los estados del rotor rígido viene dado por la función de onda : Ψ = (3/4π )1/2 senθ senφ . Calcule la posición de máxima probabilidad en el plano XY y la probabilidad de encontrar al rotor en el octante definido por los valores positivos de las coordenadas X, Y, Z. Solución:

3 sen 2 φ 4π La probabilidad será máxima cuando sen2 φ = 1 → sen φ = ±1 → φ = π/2 y φ = 3π/2 . El máximo de probabilidad se encuentra sobre el eje Y. En el octante de valores positivos de x, y, z, se cumple: 0 ≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ φ ≤ π/2

En el plano XY, θ =90 , con lo que: Ψy2 =

P=

π/2 π / 2

3 4π

∫∫ 0

sen 2 θ sen 2φ senθ dθ dφ =

0

3 4π

π/2

π/2

∫

π/2

∫

sen 3θ dθ sen 2φ dφ =

0

0

π/2

3  1 1 3 2π 1  1  - cosθ (sen 2θ + 2)  φ - sen 2φ = =  4π  3 4 4π 3 4 8 0  2 0 Este valor es el esperado ya que la probabilidad es idéntica en todos los octantes. =

16) Cierto estado del rotor rígido viene definido por la función: estado del que se trata. Normalice la función.

ψ = N (3cos2 θ -1). Calcule su energía y el

Solución: En coordenadas esféricas los operadores Mz y M2 tienen las expresiones:  2 ∂2 ˆ =-i h ∂ ˆ 2 = - h 2  ∂ + ctg ∂ + 1 M M z 2 2  ∂θ ∂θ sen θ ∂φ2 ∂φ  ˆ 2 Y m = h 2 l (l + 1) Y m Sabemos que: M l

   

l

∂ ∂2 N(3 cos 2θ − 1) = - 6 N senθ cosθ N(3 cos 2θ − 1) = - 6 N (cos2θ - sen 2θ) ∂θ ∂θ2 Al sustituir estas derivadas en la ecuación anterior: - h 2 N - 6 cos 2θ + 6 sen 2θ - 6 cos 2θ = h 2 N (3 cos 2θ - 1) l (l + 1)

[

[

]

[

2

]

]

]

6 2 cos θ - (1 - cos θ ) = l (l + 1) (3 cos 2θ - 1) ; 6 (3 cos 2θ - 1) = l (l + 1) (3 cos 2θ - 1) Ya que l ha de ser un número entero y positivo, l = 2

Problemas Química-Física II

2

[

6

ˆ Ym = m h Ym M z l l

Para calcular m hay que aplicar el operador Mz :

ˆ Ym = 0 M z l

Ya que la función sólo depende de θ , y el operador sólo depende de φ , se tiene que: Lo que implica que: m = 0 h2 3 h2 Y20 = N (3 cos 2θ - 1) E= l (l + 1) = 2I I

∫ (Y

m 2 l )

Para normalizar la función hay que aplicar: 2π π

∫ ∫N 0

dτ = 1

2π 2

2

2

(3 cos θ − 1) senθ dθ dφ = N

2

0

π

∫ dφ ∫ (9 cos θ - 6 cos θ + 1) (- d cosθ ) 4

0

2

=

0

π

1/2

 9 cos 5 θ 6 cos 3 θ  8 = 2 π N 2 + - cosθ = 2 π N 2 = 1 5 3 5   0

 5  N=   16 π 

17) Las funciones de onda que describen los orbitales 2s y 2px de un átomo hidrogenoide son: Ψ2s = N 2s (2 - ρ) e-ρ/2 y Ψ2p x = N 2p x ρ e -ρ/2 senθ cosφ , donde ρ=Zr/a. Normalice las funciones y compruebe ˆ. que son ortogonales entre sí, como corresponde por ser ambas funciones propias del operador H Solución:

∫

N 22s (2 - ρ) 2 e-ρ r 2 senθ dθ dφ dr = 1 2π

2  4Zr3 - Zr/a Z2 r 4 - Zr/a   Z r  - Zr/a 2 N 22s senθ dθ dφ  2 r dr = N 22s 2 2 π 4 r 2 e - Zr/a e + 2 e  e  dr = 1 a  a a    0 0 0 0 π

∫

∞

∞

∫ ∫

∫

 4 2! 4 (Z/a) 3! 4! (Z/a)2  8 a3 2 N 22s 4 π  + = N 4 π =1  2s 3 (Z/a)4 ( Z / a )5  Z3  (Z/a)

→

N 2s =

1

3/ 2

1

3/ 2

 Z   4 2π  a 

∫

Para normalizar el orbital 2px : N 22p ρ2 e-ρ sen 2θ cos 2φ r 2 senθ dθ dφ dr = 1 2π

π

∫

∞

∫

N 22p sen 3θ dθ cos 2φ dφ 0

0

Z2

∫a

2

r 4 e- Zr/a dr = N 22p

0

∫Ψ

Si las funciones son ortogonales se ha de cumplir: ∞

N 2p N 2s

∫ (2 - ρ) ρ r

2

e

-ρ

π

∫

2

4 4! (Z/a)2 π =1 3 ( Z / a )5 2s

N 2p =

 Z   4 2π  a 

Ψ2p dτ = 0

2π

∫

dr sen θ dθ cosφ dφ = 0

0

0

0

Ecuación que se cumple ya que la tercera integral es igual a cero y las dos primeras tienen valores finitos. 18) Calcule para el estado fundamental del átomo de hidrógeno la probabilidad de encontrar al electrón: a) A una distancia menor que el radio más probable. b) A una distancia menor que el radio medio. Solución: 3/2

3/2

1 1 - r/a   e π a a) Primero hay que calcular el valor del radio más probable

1 R1s = 2   a

3

 - 2r/a 2 2 - 2r/a  - r e 2 r e  =0 a  

Sabemos que para el estado fundamental: Ψ1s = 1 D(r) = R12s r 2 = 4   r 2 e - 2r/a a

rmax -

dD(r) 4 = 3 dr a

2 rmax = 0 → rmax = a a

Problemas Química-Física II

7

e- r/a

a

P=

a

4

∫ a3 e

- 2r/a

0

 a r 2 a 2 r a 3  4  4   a3 a3 a3  a3  r dr = 3 e - 2r/a  -  = e - 2  - - -  +  = 0.323 → P = 32.3%  2 2 4  a   2 2 4  4  a   0 2

b) Hay que calcular el radio promedio mediante la expresión: =

∫

∞

∫

Ψ1s rˆΨ1s dτ = R1s rˆ R1s r 2 dr 0

= 3a/2

P=

∫ 0

4 a

3

∞

∫r

3

e- 2r/a dr =

0

4 - 2r/a 2 4 e r dr = 3 3 a a

4  3!  3  = a a 3  (2/a)4  2 3a/2

 - 2r/a  a r 2 a 2 r a 3  -  e  2 2 4    0

=

4 a3

 -3  9/4 a 3 3/2 a 3 a 3  a 3  -  +  = 0.577 → P = 57.7% e  2 2 4  4   

19) Calcule el valor que debe tomar r en unidades de a0, para que exista el 99%, 70% y 50% de probabilidad de encontrar al electrón en un orbital 1s en el átomo de hidrógeno. Solución: La función de onda del orbital 1s es: 1 1 P = Ψ Ψ dτ = 4 π π a3

∫

*

r

∫

2

r e

- 2r/a

0

1 1   π a

Ψ1s =

4  dr = 3 e -2r/a a 

3/2

e- r/a

 a r2 a2 r a3  2 2 4 

r

   = 4 e -2r/a 3   0 a 

 a r2 a2 r a3  2 2 4 

Al sustituir r = x a, x será el radio en unidades a. La expresión anterior se transforma en:  a 3 x 2 a 3 x a 3  a 3  -2x 4  2 + P = 3 e - 2xa/a   4  = e (- 2x - 2x - 1) + 1 2 2 4 a      Esta ecuación puede resolverse de muchas maneras. Si se realiza por tanteo: x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 4.5 P 0.080 0.323 0.577 0.762 0.875 0.938 0.986 0.994 Para P=0.5 → 1