Suma Nº de los caras ángulos por de cada vértice vértice 3 180º Triángulo 4 240º Equilátero 5 300º (60º) 6 3 270º Cuadrado (90º) 4 3 324º Pentágono (108º) 4 Hexágono 3 (120º) Tipo De Caras (Ángulo Interior)

Nº caras

Nº Nº vértices aristas

C+ V-A

Nombre

2 2 2

Tetraedro Octoedro Icosaedro

2

Cubo

2

Dodecaedro

No se puede construir No se puede construir No se puede construir No se puede construir

PROBLEMAS TEMA 5 1- Se tiene un ortoedro de área total 370 dm2. La superficie de una cara es 50 dm2. Midiendo 5 dm la arista perpendicular a dicha cara, hallar el valor de las otras aristas.  2,5,25 dm

A1 = x ∙ y = 50 A2 = z ∙ y A3 = z ∙ x Z=5 A = 370 = 2A1 + 2𝐴2 + 2A3 ; 370 = 2 ∙ 50 + 2 · 5 ∙ y + 2 · 5 ∙ 𝑥; 370 = 100 + 10 ∙ y + 10 ∙ 𝑥; 27 = 𝑦 + 𝑥 {

𝑥 ∙ 𝑦 = 50 𝑥 + 𝑦 = 27

{

𝑥 ∙ 𝑦 = 50 𝑥 = 27 − 𝑦

𝑦 ∙ (27 − 𝑦) = 50; 𝑦 2 − 27𝑦 + 50 = 0; 𝑦=

27 ± √729 − 200 27 ± 23 = ; 𝒚𝟏 = 𝟐𝟓; 𝒚𝟐 = 𝟐 2 2

𝒚𝟏 = 𝟐𝟓 𝒅𝒎 →

25 ∙ x = 50; x = 2 dm; z = 5 dm

 370 dm2

𝒚𝟐 = 𝟐 𝒅𝒎 →

2 ∙ x= 50; x = 25 dm; z = 5 dm

 370 dm2

2- Se tiene un tubo de 4 cm de radio interior. Si se tapa por un extremo y se echa un litro de agua, ¿qué altura alcanzará?  h= 19.9 cm Radio  4 cm 𝐴 = 𝜋𝑟 2 = 50,24 𝑐𝑚2 = 0′ 5 𝑑𝑚2 𝑉 = 𝐴 ∙ ℎ; ℎ =

1 𝑑𝑚3 ; 𝒉 = 𝟐 𝒅𝒎 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎 0′ 5 𝑑𝑚2

 3- Hallar el área y el volumen de un tetraedro regular de 10 dm de arista. En un tetraedro regular sus caras son triángulos equiláteros. Para hallar la altura de cada cara usamos el Teorema de Pitágoras: 𝑎 2 𝑎2 = ℎ𝑐2 + ( ) ; 100 − 25 = ℎ𝑐2 ; ℎ𝑐 = 8,66 𝑑𝑚 2 𝐴𝑐 =

𝑏·ℎ 10 · 8,66 = = 43,3 𝑑𝑚2 2 2 AT = 4 · 43,3 = 172,2 dm2 1

En un prisma triangular caben 3 tetraedros por lo tanto el volumen es 𝑉 = 3 · 𝐴𝑐 · ℎ𝑡 Para calcular la altura del tetraedro necesitamos la apotema. La apotema es 1/3 de una mediana de la base. 1

Apotema: 3 · ℎ𝑐 = 2,88 𝑑𝑚 Altura del tetraedro: 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎2 + ℎ𝑡2 = ℎ𝑐2 ; 8,662 − 2,882 = ℎ𝑡2 ; ℎ𝑡 = 8,16 𝑑𝑚 𝑉=

1 · 𝐴 · ℎ = 𝟏𝟏𝟕, 𝟕𝟕 𝒅𝒎𝟑 3 𝑐 𝑡

4- Un octaedro regular tiene de arista 12 cm. ¿Cuánto vale su área? ¿Y su volumen?  A=500 cm2; V= 814 cm3 Para hallar el área de una de las caras del octaedro necesitamos la altura que la calcularemos con el Teorema de Pitágoras. 𝑏 2 𝑎2 = ( ) + ℎ𝑐2 ; 144 − 36 = ℎ𝑐2 ; ℎ𝑐 = 10,39 𝑐𝑚 2 𝐴𝑐 =

𝑏 · ℎ𝑐 12 · 10,39 = = 62,34 𝑐𝑚2 2 2

𝐴𝑡 = 8 · 62,34 = 𝟒𝟗𝟖, 𝟕𝟐 𝒄𝒎𝟐

Un octaedro está formado por 2 pirámides cuadrangulares regulares unidas por la base. En un cubo caben 3 pirámides cuadrangulares regulares por lo tanto el volumen es: 𝑉𝑝 =

1 ·𝐴 ·ℎ 3 𝑐 𝑝

Para calcular la altura de una pirámide necesitamos la apotema. La apotema es la mitad de una de las diagonales de la base. La diagonal la calculamos con el Teorema de Pitágoras: 𝑑2 = 𝑙 2 + 𝑙 2 ; 𝑑 2 = 288; 𝑑 = 16,97 𝑐𝑚 La apotema es la mitad de la diagonal… 16,97 = 8,48 𝑐𝑚 2 La altura la calculamos con el Teorema de Pitágoras. 𝑎2 + ℎ𝑝2 = 𝑙 2 ; ℎ𝑝 = 8,49 𝑐𝑚 𝑉𝑝 =

1 · 𝐴 · ℎ ; 𝑉 = 407,52 𝑐𝑚3 3 𝑐 𝑝 𝑃

𝑽 = 𝟐𝑽𝒑 ; 𝑽 = 𝟖𝟏𝟓, 𝟎𝟒 𝒄𝒎𝟑 V=

√2 3 ∙ 𝑙 = 812,16 𝑐𝑚3 3

5- Las diagonales de un rombo miden 8 cm y 6 cm. Calcular el área y el volumen engendrado por el mismo al girar alrededor de la diagonal mayor.  A=30PIcm2 ; V=24PIcm3

D = 8 cm d = 6 cm

Para calcular el volumen… 𝐴𝑏 = 𝜋𝑟 2 = 3,14 · 32 = 28,26 𝑐𝑚2 1 𝑉 = 2 · · 𝐴𝑏 · ℎ = 75,36 𝑐𝑚3 3 Para calcular el área… 𝑔2 = 𝑟 2 + ℎ2 ; 𝑔 = 5 𝑐𝑚 𝐴𝑙 = 𝜋𝑟𝑔 = 47,12 𝑐𝑚2 𝐴𝑡 = 62,8 · 2 = 94,24 𝑐𝑚2

6- Un triángulo equilátero de 4 cm de lado gira alrededor de un lado. Hallar el volumen engendrado.  V=16PI cm3 Se forman dos conos unidos por la base. El radio de la base es la altura del triángulo equilátero y la altura de cada cono es la mitad de un lado del triángulo equilátero, es decir, 2 cm. 𝑙 2 𝑟 + ( ) = 𝑙 2 ; 𝑟 2 = 16 − 4 ; 𝑟 = 3,46 𝑐𝑚2 2 2

𝐴𝑏 = 𝜋𝑟 2 = 3,14 · 3,462 = 37,59 𝑐𝑚2 𝑉 = 2·

𝐴𝑏 · ℎ = 50,12 𝑐𝑚3 3

7- La longitud del arco de un sector circular mide 31,416 cm y su radio 20 cm. Hallar la superficie total del cono de revolución cuyo desarrollo fuera el sector. ¿Cuál es su volumen?  V= 125/3 V15 PI cm3  505,6 𝐴𝑠𝑐 = 31,416 𝑐𝑚 = 𝐴𝑏 𝑟 = 20 𝑐𝑚 = 𝑔

𝑃 = 31,416 = 2𝜋𝑟; 𝑟 = 5 𝑐𝑚 → 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 ℎ2 + 𝑟 2 = 𝑔2 ; ℎ2 = 𝑔2 − 𝑟 2 ; ℎ2 = 400 − 25 = 375; ℎ = 19,36 𝑐𝑚 𝐴𝑏 = 𝜋𝑟 2 = 78,54 𝑐𝑚2 1

𝐴𝑐 = 3 · 𝐴𝑏 · ℎ; 𝐴𝑏 =

78,54·19,36 3

= 506,84 𝑐𝑚3

8- Hallar el volumen engendrado por un trapecio isósceles que gira sobre la base mayor de 12 m, sabiendo que la otra base mide 7 m y el lado no paralelo 9 m.  647,83 PI m3  2035,22

ℎ𝑐𝑜𝑛𝑜 =

𝐵 − 𝑏 12 − 7 = = 2,5 𝑐𝑚 2 2

2 2 𝑟 2 + ℎ𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝑔2 ; 𝑟 2 = 𝑔2 − ℎ𝑐𝑜𝑛𝑜 ; 𝑟 2 = 92 − 2,52 = 74,75; 𝑟 = 8,64 𝑐𝑚

𝐴𝑏 = 𝜋𝑟 2 = 74,75𝜋 𝑐𝑚2 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 =

1 ·𝐴 ·ℎ = 62,29𝜋 𝑐𝑚3 3 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑜 ℎ𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑏 = 7 𝑐𝑚

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝑏 · ℎ𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 523,25𝜋 𝑐𝑚3 𝑉𝑡 = 2 · 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 + 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 124,58𝜋 + 523,25𝜋 = 𝟔𝟒𝟕, 𝟕𝝅 𝒄𝒎𝟑

9- Una pirámide regular hexagonal tiene de arista básica 3 cm y de arista lateral 5 cm. Hallar su área lateral, su área total y su volumen.  Al= 42,92 cm2; At = 66,33 cm2; V= 31,2 cm3

ℎ𝑐2

𝐿𝑏 2 + ( ) = 𝐿2𝑙 ; ℎ𝑐2 = 25 − 2,25 = 22,75; ℎ𝑐 = 4,76 𝑐𝑚 2 Al = 6 ·

Lb · ℎ𝑐 3 · 4,76 =6· = 𝟒𝟐, 𝟖𝟒 𝐜𝐦𝟐 2 2

Un hexágono regular está formado por 6 triángulos equiláteros por lo que el radio del hexágono es 3 cm, lo mismo que mide el lado. 𝐿𝑏 2 𝐿𝑏 2 2 2 2 𝐴𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 + ( ) = 𝑟ℎ ; 𝐴𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑟ℎ − ( ) = 9 − 2,25 = 7,25; 2 2 2

𝐴𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 = 2,69 𝑐𝑚 𝐴𝑏 =

𝑃 · 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 3 · 6 · 2,69 = = 24,21 𝑐𝑚2 2 2

𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 = 42,84 + 24,21 = 𝟔𝟕, 𝟎𝟓 𝒄𝒎𝟐 ℎ2 + 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎2 = ℎ𝑐2 ; ℎ2 = ℎ𝑐2 − 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎2 ; ℎ2 = 19,96; ℎ = 4,46 𝑐𝑚 𝑉=

1 · 𝐴 · ℎ = 𝟑𝟓, 𝟗𝟗 𝒄𝒎𝟑 3 𝑏

 10- Una cámara cilíndrica termina en una semiesfera y tiene por volumen 260,62 m3. Hallar la superficie total del conjunto siendo 4,5 m el radio del cilindro. 𝑉𝑡 = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 260,62 𝑚3

𝑉𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

4 · 𝜋𝑟 3 3 = = 190,85 𝑚3 2

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 190,85 = 260,62 ; 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 69,77𝑚3 = 𝐴𝑏 · ℎ; 69,77 = 𝜋𝑟 2 · ℎ; 69,77 = 𝜋 · 4,52 · ℎ; ℎ=

69,77 = 0,10 𝑚 636,17

𝐴𝑏 = 𝜋𝑟 2 = 63,61 𝑚2 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝜋𝑟 · ℎ = 2,82 𝑚2 𝐴𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =

𝐴𝑡 = 𝐴𝑏 + 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝐴𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 ; 𝑨𝒕 = 𝟏𝟗𝟑, 𝟔𝟔 𝒎𝟐

4𝜋𝑟 2 = 127,23 𝑚2 2

 11- Un trapecio rectángulo tiene por bases 20 y 28 m y por altura 6 m. Gira alrededor de la base mayor. ¿Qué figura se engendra? Determinar su área y su volumen.

𝐴𝑏 = 𝜋𝑟 2 = 113,09 𝑚2 𝑃𝑏 = 2𝜋𝑟 = 37,69 𝑚 𝐴𝑙,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑃𝑏 · ℎ = 753,8 𝑚2 Para calcular g empleamos el Teorema de Pitágoras… 𝑟 2 + ℎ𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝑔2 ; 36 + 64 = 𝑔2 ; 100 = 𝑔2 ; 𝑔 = 10 𝐴𝑙,𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝜋 · 𝑟 · 𝑔 = 188,49 𝑚2 𝑨𝒕 = 𝟏𝟎𝟓𝟓, 𝟑𝟖 𝒎𝟐 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝑏 · ℎ𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2261,8 𝑚3 ℎ𝑐𝑜𝑛𝑜 = 28 − 20 = 8 𝑚 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 =

1 · 𝐴𝑏 · ℎ𝑐𝑜𝑛𝑜 = 301,57 𝑚3 3

𝑉𝑡 = 𝐴𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝐴𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝟐𝟓𝟔𝟑, 𝟑𝟕 𝒎𝟑