Después de completar el estudio de este capítulo el alumno: Describirá la relación entre fuerza, masa y aceleración, e indicará las unidades congruentes para cada una de esas variables en el sistema métrico y en los sistemas de unidades usuales de Estados Unidos. Definirá las unidades newton y slug, y explicará por qué son unidades de­ rivadas y no fundamentales. Demostrará mediante definiciones y ejemplos su comprensión de la dife­ rencia entre masa y peso. Determinará la masa a partir del peso, y el peso a partir de la masa en un lugar donde se conozca la aceleración debida a la gravedad. Dibujará un diagrama de cuerpo libre para objetos en movimiento con ace­ leración constante, estableciendo que la fuerza resultante es igual a la masa total multiplicada por la aceleración, y calculará los parámetros desconocidos.

De acuerdo con la prim era ley de Newton sobre el movimiento, un objeto sufrirá un cambio en su estado de movimiento o de reposo únicamente cuando actúe sobre él una fuerza resultante, no equilibrada. Ahora sabemos que un cambio en el movimiento, por ejemplo un cambio en la velocidad, da por resultado una aceleración. En múltiples aplicaciones industriales necesitamos ser capaces de predecir la ace­ leración que se producirá mediante una determ inada fuerza. Por ejemplo, la fuerza hacia adelante que se requiere para acelerar un automóvil en reposo, hasta una veloci­ dad de 60 km /h en 8 s es algo que interesa a la industria automotriz. En este capítulo, se estudiarán las relaciones entre fuerza, masa y aceleración.

Antes de estudiar formalmente la relación entre una fuerza resultante y la acele­ ración, prim ero vamos a considerar un experimento sencillo. Una pista lineal de aire es un aparato para estudiar el m ovimiento de objetos bajo condiciones que se apro­ ximan a una fricción de cero. Cientos de pequeños chorros de aire originan una fuerza ascendente que equilibra el peso del deslizador, como se observa en la figura 7-1. Se ata un hilo al frente del deslizador y se coloca un dinam óm etro de peso despreciable para medir la fuerza horizontal aplicada, como se m uestra en la figura. La aceleración que recibe el deslizador puede medirse determ inando el cambio de velocidad en un intervalo de tiem po definido. La prim era fuerza aplicada F\ en la figura 7 -la origina una aceleración a¡. Si se duplica la fuerza, o sea 2 F¡, se duplicará la aceleración, o sea 2ai, y si se triplica la fuerza, 3Fj, se triplicará la aceleración 3fli.

Orificios para que salga el aire

Tales observaciones dem uestran que la aceleración de un determ inado cuerpo es directamente proporcional a la fuerza aplicada, lo cual significa que la relación de fuerza a aceleración siempre es constante: Fj F2 F3 —- = — = — = constante a] La constante es una medida de la eficacia de una fuerza dada para producir aceleración. Veremos que esta relación es una propiedad del cuerpo, llamada su masa m, donde F m =— a

La gravedad varía so-^ bre la s u p e rficie de la Tierra según la latitud y la a ltitu d , y hay d ife ­ rencias locales d e p e n ­ d ie n do de la densidad de la corteza terrestre.

La masa de un kilogramo (1 kg) se definió en el capítulo 3 por comparación con un artefacto estándar. Conservando esta definición, ahora podemos definir una nueva unidad de fuerza que le im partiría a la unidad de masa una unidad de aceleración. La fu e rza de un (1 N ) es la fu e rz a resultante que le im p a rte a una m asa de 1 kg una aceleración de 1 m /s 2.

El newton se adoptó como unidad de fuerza del SI. Una fuerza resultante de 2 N pro­ ducirá una aceleración de 2 m /s2, y una fuerza de 3 N le im partirá una aceleración de 3 m /s2 a una masa de 1 kg. Ahora volvamos a analizar nuestro experimento de la pista de aire para averiguar cómo se afecta la aceleración al incrementar la masa. Esta vez se m antendrá constante la fuerza aplicada F. La masa puede cambiarse enganchando en cadena más deslizadores de igual tam año y peso.

NET www.exploratorium.edu/ ronh ¿Cuánto pesaría usted en Marte? Para averiguarlo, visite esta página.

151

Tecnología actual Para medir las distintas fuerzas de gravedad, los científicos usan un notable dispositivo llamado gra­ diòmetro o gravitomómetro. En sus primeras ver­ siones, eran balanzas de torsión provistas de una mira en forma de tubo para ver en qué medida la pre­ sencia de una pesa des­ viaba un haz de luz por el efecto de la gravedad. Esto permitió encontrar las estructuras geológicas llamadas bóvedas de sal. Esas cavidades — llenas de sal, la cual es menos densa que la roca— general­ mente se encuentran cerca de depósitos de petróleo y esquisto. Instrumentos más recientes, utilizados por submarinos para orientarse en sus recorridos silen­ ciosos, ayudan a la nave­ gación midiendo las varia­ ciones de la gravedad por la presencia de montes y fosas bajo el mar. Después de que el gradiòmetro sub-narino estuvo disponible oara su uso comercial, los geólDgos de la industria del pe tóie o y el gas lo usaron en sus vuelos sobre áreas, previamente registradas en

Observe en la figura 7-2 que, si la fuerza no cambia, al increm entar la masa habrá una disminución proporcional en la aceleración. Aplicando una fuerza constante de 12 N en cadena a masas de 1, 2, y 3 kg, se producirán aceleraciones de 12 m /s2, 6 m/s2 y 4 m /s2, respectivamente. Estos tres casos se m uestran en la figura 7-2a, b y c. De las observaciones anteriores, es posible enunciar la segunda ley de Newton sobre el movimiento. Siempre que una fu er­ za no e q u ilib ra d a actúa sobre un cuerpo, en la dirección de la fu e rz a se produce una aceleración, que es directam ente proporcional a la fu erza e inversam ente proporcional a la m asa del cuerpo.

Si se utiliza la unidad recién definida, el newton, escribimos esta ley como la ecuación siguiente: Fuerza resultante = masa X aceleración

•^acas. para definir las ca­ racterísticas del subsuelo con mucho mayor precisión que antes. Para ver este nuevo graciómetro, visite esta página de Internet

w w w .b ellgeo.com

ma

Segunda ley de Newton

Puesto que esta relación depende de la definición de una nueva unidad, podemos sustituir únicamente unidades congruentes con tal definición. Por ejemplo, si la masa está dada en kilogramos (kg), la unidad de fuerza debe estar en newtons (N) y la unidad de aceleración debe estar en metros por segundo al cuadrado (m/s2). Fuerza (N) = masa (kg) X aceleración (m /s2)

En el SUEU se define una nueva unidad de masa a partir de las unidades elegidas de libra (Ib) para fuerza, y pies por segundo al cuadrado (ft/s2) para la aceleración. La nueva unidad de masa se denom ina slug (de sluggish, que en inglés significa lentitud, o sea, la propiedad inercial de la masa). U na m asa de un

es a q u e lla a la que una fu e rz a resultante

de 1 Ib le im p a rte una aceleración de 1 f t /s 2.

Fuerza (Ib) = masa (slugs) X aceleración (ft/s2) La unidad de fuerza del SI es m enor que la unidad del SUEU, y una masa de un slug es m ucho mayor que la masa de un kilogramo. Los siguientes factores de con­ versión resultan útiles: 1 Ib = 4.448 N

1 slug = 14.59 kg

Una bolsa de manzanas de 1 Ib puede contener cuatro o cinco manzanas y cada una de ellas pesa aproximadamente un newton. Una persona que pesa 160 Ib en la Tierra tendría una masa de 5 slugs o 73 kg. Es importante observar que, en la segunda ley de Newton, la F representa una resultante o fuerza no equilibrada. Si sobre el objeto actúa más de una fuerza, será necesario determ inar la fuerza resultante a lo largo de la dirección del movimiento. La fuerza resul­ tante siempre estará a lo largo de la dirección del movimiento, ya que es la causa de la aceleración. Todas las componentes de las fuerzas que son perpendiculares a la aceleración estarán equilibradas. Si se elige el eje x en la dirección del movimiento, podemos deter­ minar la componente x de cada fuerza y escribir Y Jpx = max Se puede escribir una ecuación similar para las componentes en y si el eje y se eligió a lo largo de la dirección del movimiento.

Antes de analizar algunos ejemplos de la segunda ley de Newton, es necesario com­ prender con claridad la diferencia entre el peso de un cuerpo y su masa. Tal vez éstos son los conceptos más confusos para el alum no principiante. La libra (Ib), que es la unidad de fuerza, con frecuencia se utiliza como unidad de masa, la libra-masa (lbm). El kilogramo, que es una unidad de masa, con frecuencia se usa en la industria como unidad de fuerza, el kilogramo-fuerza (kgf). Estas unidades, aparentemente inconsis­ tentes, son el resultado del uso de diversos sistemas de unidades. En esta obra debe haber menos motivo de confusión, puesto que sólo se utilizan unidades del SI y del SUEU o sistema usual en Estados Unidos (gravitacional británico). Por lo tanto, en este libro la libra (Ib) siempre se refiere al peso, que es una fuerza, y la unidad kilo­ gramo (kg) siempre se refiere a la masa de un cuerpo. El peso de cualquier cuerpo es la fuerza con la cual el cuerpo es atraído verticalmente hacia abajo por la gravedad. Cuando un cuerpo cae libremente hacia la Tierra, la única fuerza que actúa sobre él es su peso W. Esta fuerza neta produce una aceleración g, que es la misma para todos los cuerpos que caen. Entonces, a partir de la segunda ley de Newton escribimos la relación entre el peso de un cuerpo y su masa:

NET order.ph.utexas.edu/chaos/ Para ver una explicación de las leyes de Newton, visite esta página que contiene un curso de física en línea en cinco partes (no necesita teclear www).

153

Por consiguiente, resumimos lo anterior como: SI: W (N) = m (kg) X g (9.8 m /s2) SUEU: W (Ib) = m (slug) X g (32 ft/s2) Los valores para g y, por lo tanto, los pesos, en las relaciones anteriores se aplican úni­ camente en lugares de la Tierra cercanos al nivel del mar, donde g tiene estos valores. Hay que recordar dos cosas para comprender cabalmente la diferencia entre masa y peso: La es una constante universal igual a la relación del peso de un cuerpo con la aceleración g ravitacio n al d e b id a a su peso.

El es la fu e rz a de atracción g ravitacio n al y v a ría d ependiendo de la aceleración de la g ra v e d a d .

Por consiguiente, la masa de un cuerpo es tan sólo una medida de su inercia y no depende en lo absoluto de la gravedad. En el espacio exterior, un martillo tiene un peso desprecia­ ble; aunque sirve para clavar en la misma forma usual, puesto que su masa no cambia. En unidades del SUEU, por lo com ún un cuerpo se describe indicando su peso W en libras. Si se desea, la masa se calcula a partir de este peso y su unidad es slugs. En el sistema de unidades SI un cuerpo generalmente se describe en térm inos de su masa en kilogramos. Si se desea el peso se calcula a partir de la masa conocida y su unidad es el newton. En los siguientes ejemplos, todos los parám etros se han medido en lugares donde g = 32 ft/s2 o 9.8 m /s2.

Determine la masa de una persona cuyo peso es de 150 Ib.

Encuentre el peso de un bloque de 18 kg.

Determine la masa de un cuerpo cuyo peso es de 100 N.

m

W g

100 N 9.8 m /s2

10.2 kg

La diferencia fundamental entre los problemas que se tratan en este capítulo y los de los anteriores es que una fuerza neta no equilibrada actúa para producir una acele­ ración. Por lo tanto, después de construir los diagramas de cuerpo libre que describan la situación, el prim er paso consiste en determ inar la fuerza no equilibrada y hacerla igual al producto de la masa por la aceleración. La cantidad desconocida se determina, entonces, a partir de la relación establecida como ecuación (7-1): Fuerza resultante = masa X aceleración

La economía actual se rige por factores del comercio mundial y por la expansión económica de

F (resultante) = ma

nuestro país y de otras

Los siguientes ejemplos servirán para dem ostrar la relación entre fuerza, masa y aceleración.

naciones. Usted debe prepararse para el éxito, haciendo de la educación una prioridad para toda la vida.

¿Qué aceleración le im partirá una fuerza de 20 N a un cuerpo de 10 kg?

Sólo actúa una fuerza, por lo tanto, F = ma

m

a _ _20_N_ _ 2 m / s 2

10 kg

¿Qué fuerza resultante le impartirá a un cuerpo de 32 Ib una aceleración de 5 ft/s2?

Para calcular la fuerza resultante, prim ero debemos determ inar la masa del cuerpo a partir del peso que aparece como dato.

155

W 32 Ib m - — = = 1 slug g 32 ft/s2 Entonces, F - ma = (1 slug) (5 ft/s2) = 5 Ib

¿Cuál es la masa de un cuerpo si una fuerza de 60 N le imparte una aceleración de 4 m /s2? Son A partir de la ley de Newton despejamos m, y queda F = ----60 N— -= ,15 c tkg m = — a 4 m /s2

P |

|

buphy.bu.edu Visite esta página de Internet para ver una demostración de un juego mecánico que cae en picada e ilustra el concepto de un marco de referencia acele­ rado.

En los ejemplos anteriores, las fuerzas no equilibradas se determ inaron fácilmente. No obstante, a medida que se incrementa el núm ero de fuerzas que actúan sobre un cuerpo, el problema de determ inar la fuerza resultante se vuelve menos sencillo. En estos casos, tal vez resulte útil analizar ciertas consideraciones. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza resultante siempre produce una aceleración en la dirección de la fuerza resultante. Esto significa que la fuerza neta y la aceleración que provoca tienen el mismo signo algebraico, y cada una de ellas tiene la misma línea de acción. Por consiguiente, si la dirección del m ovimiento (acele­ ración) se considera positiva, se tendrán que introducir menos factores negativos en la ecuación F = ma. Por ejemplo, en la figura 7-3b es preferible elegir la dirección del movimiento (izquierda) como positiva, ya que la ecuación P — SFjt = ma

es preferible a la ecuación ®k~P =

-ma

que resultaría si eligiéramos la dirección a la derecha como positiva. O tra consideración que resulta del análisis anterior es que las fuerzas que actúan en dirección norm al a la línea del m ovimiento estarán en equilibrio si la fuerza resul­ tante es constante. Entonces, en problemas que incluyen fricción, las fuerzas normales pueden determinarse a partir de la prim era condición de equilibrio.

+a

+3

p — ---------

(a) Fuerza neta P - &k (derecha)

----- —

(b) Fuerza neta P - 9 k (izquierda)

La dirección de la aceleración debe elegirse como positiva.

156

m

En resumen, las siguientes ecuaciones se aplican a problemas de aceleración: = tnax

Y , Fy = may = 0

donde 1FXy ax se tom an como positivas y a lo largo de la línea de movimiento, y 1Fy y ay se tom an como normales a la línea de movimiento.

Una fuerza horizontal de 20 N arrastra un bloque de 4 kg a través de un piso. Si i¿k = 0.2, determ ine la aceleración del bloque. jr

W = mg

Se ha sobrepuesto un diagrama de cuerpo libre en el bosquejo de la figura 7-4. Elegiremos la dirección derecha como positiva. Para evitar la confusión entre masa y peso, con frecuencia es preferible calcular cada uno de estos parámetros de ante­ mano. La masa (4 kg) es un dato, y el peso se determina a partir de W = mg. m = 4 kg

W — (4 kg)(9.8 m /s2) = 39.2 N

La fuerza resultante está sobre la dirección del movimiento. Las fuerzas verticales están equilibradas. Aplicando la segunda ley de Newton, Fuerza resultante — masa X aceleración 20 N — oFfc = ma Recordando que SF* =

podem os escribir 20 N — yu.fcJV' = ma

Puesto que las fuerzas verticales están equilibradas, en la figura 7-4 vemos que JV = W = 39.2 N Entonces, sustituyendo X = 39.2 N, fik = 0.2, y m = 4 kg, tenemos 20 N - (0.2)(39.2 N) = (4 kg) a 12.2 N ... 2 a = ---- ----- = 3.04 m/sz 4 kg Es conveniente que el lector demuestre que newtons por kilogramo es equivalente a metros por segundo al cuadrado.

La resolución de todos los problemas físicos requiere una habilidad para organizar los datos proporcionados y para aplicar las fórmulas de una m anera consistente. Con frecuencia un procedimiento es útil para el alum no principiante, lo cual es particu­ larmente cierto para los problemas que se presentan en este capítulo. A continuación se indica una secuencia lógica de operaciones para resolver problemas que incluyen la segunda ley de Newton.

1. Lea el problema; luego trace y marque un bosquejo. 2. Construya un diagrama de cuerpo libre, de m odo que uno de los ejes coincida con la dirección del movimiento. 3. Indique la dirección positiva de la aceleración. 4. Distinga entre la masa y el peso de cada objeto. W = mg

W m - — g

5. A partir del diagrama de cuerpo libre, deter­ mine la fuerza resultante a lo largo de la dirección elegida del movimiento (S i7)6. Determine la masa total (m t = m¡ + m 2 + m3 . . . ) . 7. Establezca que la fuerza resultante (1F) es igual a la masa total mt multiplicada por la aceleración a:

2 > - m ta Sustituya las cantidades conocidas y calcule las desconocidas.

Un ascensor de 2000 Ib se levanta con una aceleración de 4 ft/s2. ¿Cuál es la tensión en el cable que lo soporta? Después de calcular una respuesta, pregúntese siempre si la respuesta obtenida tiene sentido. Si el resultado de su cálculo de la distancia del Sol a la Tierra es 930 millas, puede estar seguro de que la respuesta no es correcta.

Lea el problema; luego trace un bosquejo a partir del cual se pueda dibujar un diagrama de cuerpo libre (véase la figura 7-5). Observe que la dirección positiva de la aceleración (hacia arriba) se indica en el diagrama de cuerpo libre.

+ 4 ft/s2

a = 4 ft/s2

y/// 20 00 Ib

2000 Ib

Aceleración hacia arriba en un campo gravitacional.

Ahora determ inamos la masa y el peso del ascensor de 2000 Ib. El peso es, por supuesto, de 2000 Ib. La masa debe calcularse a partir de m = W/g. W = 2000 Ib

m = 2° ° ^ = 62.5 slugs 32 ft/s2

Puesto que el ascensor es el único objeto que se mueve, los 62.5 slugs representan la masa total m t. La fuerza resultante a partir del diagrama de cuerpo libre es Y p = T - 2000 Ib De la segunda ley de Newton escribimos Fuerza resultante = masa total X aceleración T - 2000 Ib = (62.5 slugs)(4 ft/s2) T - 2000 Ib = 250 Ib Por último, averiguamos la variable desconocida T sum ando 2000 Ib a ambos lados de la ecuación. T = 250 Ib + 2000 Ib T = 2250 Ib

Una bola de 100 kg se hace descender por medio de un cable, con una acele­ ración hacia abajo de 5 m /s2. ¿Cuál es la tensión en el cable?

Como se mencionó, construimos un bosquejo y un diagrama de cuerpo libre (figura 7-6). Observe que la dirección hacia abajo se elige como la positiva, ya que ésta es la dirección del movimiento. Esta vez, la masa se ofrece como dato y el peso debe calcularse a partir d eW = mg. m = 100 kg

W — (100 kg)(9.8 m /s2) = 980 N

159

La fuerza resultante es la fuerza neta hacia abajo, o V f = VV— T

(recuerde que hacia abajo es positiva)

Ahora, a partir de la segunda ley de Newton, escribimos Fuerza neta hacia abajo = masa total X aceleración hacia abajo W - T = ma Sustituyendo las cantidades conocidas obtenemos 980 N — T = (100 kg)(5 m /s2) 980 N - T = 500 N de donde obtenemos T sum ando T y restando 500 N a ambos lados de la ecuación: 980 N - 500 N = T T = 480 N

Una m áquina de Atwood consiste en una polea simple con masas suspendidas a am bos lados. Se trata de una versión simplificada de gran núm ero de siste­ mas industriales en los cuales se utilizan contrapesos para equilibrar. Suponga que la masa del lado derecho es de 10 kg y que la masa del lado izquierdo es de 2 kg. (a) ¿Cuál es la aceleración del sistema? (b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

\

i

T

H - a W, = m, g (a)

(b)

----------- m0

W2= m 2g (c)

Dos masas cuelgan de una polea fija. Se dibujan los diagramas de cuerpo libre; la dirección positiva de la aceleración se elige hacia arriba a la izquierda y hacia abajo a la derecha.

Primero se traza el bosquejo y el diagrama de cuerpo libre para cada masa (figura 7-7). Se determ inan el peso y la masa de cada objeto.

mi = 2 kg m 2 = 10 kg

Wi = w ig = (2 kg)(9.8 m /s2) W2 = m2g = (10 kg)(9.8 m /s2)

o bien, o bien,

Wi = 19.6 N W2 = 98 N

El problema consiste ahora en determ inar la fuerza neta no equilibrada en el sistema completo. Observe que la polea simplemente cambia la dirección de las fuerzas. Por lo tanto, la fuerza no equilibrada es tan sólo la diferencia en los pesos. Esto es justam ente lo que podem os esperar de acuerdo con la experien­ cia. Note que la tensión T es la misma a cada lado, puesto que hay sólo una cuerda. O sea que la tensión se cancela y no participa en la fuerza resultante, lo cual puede escribirse en la siguiente forma: £ f=

W2 ~ T + T - W x

=W2~W

i

La masa total del sistema es simplemente la suma de todas las masas en movimiento. m t = mi + m2 = 2 kg + 10 kg m t = 12 kg (masa total) A partir de la segunda ley de Newton del movimiento, tenemos Fuerza resultante = masa total X aceleración W 2 — W\ - (mi + m2)a Sustituyendo por W2, W h m\, y m2, queda 98 N - 19.6 N = (2 kg + 10 kg)a De donde se despeja a como sigue: 78.4 N = (12 kg)a 78.4 N = 6.53 m /s2 12 kg

Para determinar la tensión que hay en la cuerda, debemos considerar cualquiera de las masas en forma individual, ya que si se considera el sistema como un todo, no se incluye la tensión de la cuerda. Suponga que consideramos la fuerza que actúa sobre mi: Fuerza resultante — masa X aceleración T — W\ = m\a Pero a = 6.53 m /s2 y la masa y el peso se conocen, por lo que T — 19.6 N = (2 kg)(6.53 m /s2) T - 19.6 N = 13.06 N T = 32.7 N Se podría obtener el mismo valor para la tensión si aplicamos la ley de Newton a la segunda masa. Conviene que el lector demuestre este hecho como un ejercicio adicional.

Técnicas para resolver problemas 161

Un bloque de 64 Ib se encuentra en reposo sobre una mesa sin fricción. Tiene atada una cuerda que pasa sobre una polea sin fricción y que está atada en su otro extremo a un peso W, como se observa en la figura 7-8. (a) ¿Cuál debe ser el valor de W para im partir al sistema una aceleración de 16 ft/s2? (b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda? 64 Ib J\í

+3 I

T 641b

(b) W (a)

(c)

Dibuje diagramas de cuerpo libre para cada cuerpo del sistema, como se m ues­ tra en la figura 7-8b y c. Puesto que las fuerzas verticales en el bloque de 64 Ib están equilibradas, la fuerza neta en el sistema total es simplemente el peso W. Así, aplicando la ley de Newton nos queda Fuerza resultante sobre el sistema = masa total X aceleración w

/« jb +Jz y

w = 641b±W

M lb + W £

g

s

W = (64 Ib + W) 16 ft/s2 32 ft/s2 64 Ib + W W2 ' 2 W = 64 Ib + W 2 W - W = 64 Ib W = 64 Ib

Para encontrar la tensión en la cuerda, debemos elegir entre la figura 7-8b o c, puesto que ambos diagramas incluyen la tensión desconocida T. La mejor elec­ ción es el prim er diagrama, a causa de que la fuerza neta sobre el cuerpo de 64 Ib es la tensión T. Así,

Fuerza resultante = masa X aceleración . 64 lt 32 ft/ = 32 Ib

T- ^

(16Ws2>

Se ofrece un ejemplo más en esta sección para que el estudiante se familiarice con los procesos de razonam iento aplicados a sistemas más complejos. Puesto que ya se establecieron los fundam entos en ejemplos anteriores', se incluyen sólo los pasos más im portantes de la resolución.

Considere las masas m\ = 20 kg y m2 = 18 kg en el sistema representado en la figura 7-9. Si el coeficiente de fricción cinética es 0.1 y el ángulo de inclinación 6 es 30°, encuentre (a) la aceleración del sistema y (b) la tensión en la cuerda que une las dos masas.

+a T

i W2 =m2 9 (b)

(c)

Utilizando los símbolos como se indica en la figura 7-9, aplicamos la ley de Newton al sistema: Fuerza resultante sobre el sistema = masa total X aceleración W 2 — W ix — SF)t = (mi + m2)a Los símbolos del lado izquierdo se determ inan como sigue: W 2 = m 2g = (18 kg)(9.8 m /s2) = 176 N Wix = m ig sen 6 = (20 kg)(9.8 m /s2)(sen 30°) = 98 N W ly = m igcos 6 = (20 kg)(9.8 m /s2)(cos 30°) = 170 N /xk N = /i k Wiy = (0.1)(170 N) = 17 N

Sustituyendo lo anterior en la ecuación del m ovimiento queda 176 N - 98 N - 17 N = (20 kg + 18 kg)a de donde obtenemos a = 1.61 m /s2

Para determ inar la tensión en la cuerda, aplicamos la ley de Newton a la masa de 18 kg, como se observa en la figura 7-9c: Fuerza resultante = masa X aceleración m 2g ~ T = m2a T = m2g — m2a = m 2 { g - a) = (18 kg)(9.8 m /s2 - 1.61 m /s2) = 147 N

164

fe s u m e n

: capítulo hemos considerado el hecho de que resultante siempre producirá una acele¿sección de la fuerza. La m agnitud de la es directamente proporcional a la fuerza e ite proporcional a la masa, de acuerdo con ■di ley de Newton sobre el movimiento. Los £5 conceptos son esenciales para las aplicaje esta ley fundamental: formula matemática que expresa la segunda ley de Newton sobre el movimiento ruede escribirse así: Fuerza = masa X aceleración F F a —— ma m =— m (1 kg)(l m /s2) en unidades del SI: 1 N (1 slug)(l ft/s2) ex unidades del SUEU: 1 Ib El peso es la fuerza debida a una aceleración particular g. Por consiguiente, el peso W se relaciona con la masa m por medio de la segunda ley de Newton: W = mg

F

m= — g

Por ejemplo, una masa de 1 kg tiene un peso de 9.8 N. Un peso de 1 Ib tiene una masa de V32 slug. En un problema específico, debe considerar si le inform an el peso o la masa. Luego, es necesario determ inar qué se requiere en una ecuación. Las conversiones de masa a peso y de peso a masa son comunes. Aplicación de la segunda ley de Newton: Construir un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo que experimente una aceleración. Indicar en este diagrama la dirección de la aceleración positiva. Determ inar una expresión para la fuerza neta resultante sobre un cuerpo o un sistema de cuerpos. Establecer que la fuerza resultante es igual a la masa total del sistema multiplicada por la aceleración del sistema. Resolver la ecuación resultante para la cantidad desconocida.

g = 9.8 m /s2 o 32 ft/s2

Conceptos Clave L segunda ley de N ew ton _ masa

3. peso 4. slug

Preguntas de repaso 7 - 1. Indique con claridad la diferencia entre la masa

de un objeto y su peso, y mencione cuáles son las unidades apropiadas para cada uno en los sistemas de unidades del SI y del SUEU. 7 - 2. ¿A qué nos referimos exactamente cuando deci­ mos que un atleta es una persona de 160 Ib? ¿Cuál sería la masa de esa persona en la Luna? 7 - 3 . Una pieza de latón redonda que se encuentra en el laboratorio está marcada como 500 g. ¿Esta cifra indica su peso o su masa? ¿Cómo puede averiguarlo? 7 A . Se mantiene un estado de equilibrio en una mesa suspendida, colgando masas de las poleas mon­

5. new ton

tadas en diversos puntos de su borde circular. En el cálculo de las masas necesarias para establecer el equilibrio, a veces empleamos gramos en lugar de newtons. ¿Existe alguna justificación para hacerlo así? 7-5. Al dibujar diagramas de cuerpo libre, ¿por qué es conveniente, en general, elegir el eje x o el eje y en la dirección del movimiento, aunque eso implique girar los ejes? Use como ilustra­ ción el ejemplo del movimiento a lo largo de un plano inclinado. 7-6. En el ejemplo de una m áquina Atwood (ejemplo conceptual 7-10), no tom am os en cuenta la masa del cordón que conecta las dos masas. Comente cómo se modifica

165

este problema si la masa del cordón es suficientemente grande para afectar el movimiento. 7-7. En la industria es frecuente oír hablar de un kilogramo-fuerza (kgf) el cual se define como una fuerza equivalente al peso de 1 kg de masa junto a la superficie de la Tierra. En Estados Unidos se habla también a m enudo

de la libra-masa (lbm) unidad que corres­ ponde a la masa de un objeto cuyo peso es de 1 Ib junto a la superficie de la Tierra. Calcule el valor de esas cantidades en las unidades del SI apropiadas y comente los problemas que se presentan a causa de su utilización.

Problemas

7-1. Una masa de 4 kg está bajo la acción de una fuerza resultante de (a) 4 N, (b) 8 N y (c) 12 N. ¿Cuáles son las aceleraciones resultantes? Resp. (o) 1 tn/s2, (b) 2 m/s2, (c) 3 m/s2 7-2. Una fuerza constante de 20 N actúa sobre una masa de (a) 2 kg, (b) 4 kg y (c) 6 kg. ¿Cuáles son las aceleraciones resultantes? 7-3. Una fuerza constante de 60 Ib actúa sobre cada uno de tres objetos, produciendo acelera­ ciones de 4,8 y 12 ft/s2. ¿Cuáles son las masas? 7-4. ¿Qué fuerza resultante tiene que actuar sobre un martillo de 4 kg para im partirle una acele­ ración de 6 m /s2? 7-5. Se ha calculado que una fuerza resultante de 60 N producirá una aceleración de 10 m /s2. ¿Qué fuerza se requiere para producir en ella una aceleración de sólo 2 m /s2? 7-6. Un automóvil de 1000 kg avanza hacia el norte a 100 km /h y frena hasta detenerse por completo en 50 m. ¿Cuáles son la m agnitud y el sentido de la fúerza requerida?

7-7. ¿Cuál es el peso de un buzón de correos de 4.8 kg? ¿Cuál es la masa de un depósito de 40 N? '-8 . ;Cuál es la masa de un niño de 60 Ib? ¿Cuál es el peso de un hom bre de 7 slugs? 7-9. Lna mujer pesa 180 Ib en la Tierra. Cuando camina en la Luna, su peso es de sólo 30 Ib. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad

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en la Luna y cuál es la masa de la m ujer en ese satélite? ¿Y en la Tierra? íi/Y v i ....

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