Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina

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PRIMER BLOQUE MATEMATICA “Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución que lo considere de utilidad para todo fin educativo.” FAENA.

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_PARA TENER EN CUENTA: Si usted desea imprimir este material en color “Negro” (escala de grises) tan solo tiene que escoger la opción “negro” en las opciones de la impresora.

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_UNIDAD_1: Conjuntos – Relaciones y funciones Conjuntos. Elementos de un conjunto. Escritura de conjuntos. Diagramas de Venn. Relación de pertenencia. Diferentes tipos de conjuntos. Subconjuntos. Conjuntos especiales. Conjuntos iguales. Propiedades de la inclusión entre conjuntos. Operaciones entre conjuntos. Propiedades de las operaciones entre conjuntos. Pares ordenados. Producto cartesiano. Relación binaria. Relación de equivalencia. Relación de orden. _UNIDAD_2: Geometría del plano y del espacio Geometría del plano. Relaciones fundamentales entre puntos, rectas y planos. Concepto de segmento, semirrecta y semiplano. El paralelismo en el plano. Ángulos. Polígonos. Cuadriláteros.

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_UNIDAD_3: Números naturales Conjunto de los números naturales. Propiedades de los números naturales. Orden de los números. Diferentes sistemas de numeración. Operaciones aritméticas con números naturales. Propiedades de las operaciones con números naturales. Ecuaciones. Potenciación. Propiedades de la potenciación. Radicación. Propiedades de la radicación.

_UNIDAD_4: Números enteros Conjunto de los números enteros. Definición y propiedades de los números enteros. Representación en la recta numérica. Valor absoluto. Operaciones con números enteros. Suma y resta con paréntesis, corchetes y llaves. Otras operaciones con números enteros. Operaciones con potencia y raíz. Ecuaciones con números enteros. Lenguaje coloquial y lenguaje matemático.

ACERCA DE ESTE MODULO ¿QUÉ CONTIENE Y CÓMO SE USA? Este módulo está compuesto por cuatro unidades en las que se despliegan los contenidos correspondientes al primer bloque de Matemática. Para cada unidad encontrará actividades acordes que le permitirán poner en 4

práctica los conceptos estudiados y poner a prueba su aprendizaje, lo cual deja abierta la posibilidad de volver atrás y revisar lo ya aprendido si lo considera necesario. Al finalizar el módulo encontrará la bibliografía de referencia que le permitirá profundizar en los contenidos trabajados, y responder a las dudas que le suscite la lectura de este material. La estructura de este módulo de estudio permite visualizar con claridad los conceptos, que se encuentran apartados entre sí, lo cual facilita la elaboración y comprensión de los mismos. Encontrará cuadros, esquemas y palabras resaltadas que colaborarán para una mejor comprensión de los contenidos. Al final de cada unidad encontrará actividades de tipo evaluativas que podrán ser tomadas para evaluaciones futuras y que usted puede usar a modo de simulacro, para poner a prueba los conocimientos adquiridos a lo largo de toda la unidad. Se recomienda cumplir con este trabajo de cierre ya que le permitirá relacionar unos contenidos con otros y darle una conclusión al trabajo realizado a lo largo de todo la unidad. Todo lo que usted aporte a lo propuesto por este material, profundizará su aprendizaje y su dominio sobre la materia. Es un trabajo que depende de cada uno y que se trata de una inversión. “Quien más lee más sabe”, una afirmación casi obvia pero poco practicada. Es de este modo cómo uno logra diferenciarse, crecer y desarrollar un proceso propio.

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DESARROLLO DE CONTENIDOS DEL BLOQUE 1. PRIMER AÑO A modo de introducción: En este módulo se desarrollan los contenidos del primer bloque de Matemática. En dichos temas, teoría de conjuntos, geometría, y conjuntos de números naturales y enteros, se abordarán los contenidos desde lo más general a lo particular. Se presentará primero la teoría del tema estudiado y luego con ejemplos se aplicara lo aprendido. Seguido de cada tema presentado, encontrara ejercicios para fijar los conceptos aprendidos. En primera instancia se verán los conjuntos, estructuras muy importantes en la teoría matemática. Se analizaran sus distintas propiedades y formas de relacionarse entre ellos. En segundo lugar se tocará el tema de la geometría. Se abordarán en primer lugar los puntos, rectas y planos. Luego será definido el concepto de ángulo y sus distintas formas de medirlo. Se presentara el sistema sexagesimal, muy útil a la hora de trabajar con ángulos. El tema siguiente serán los polígonos, que aunque parezcan abstractos, éstos entes son de importancia en todas las ramas de las ciencias (estructuras atómicas, etc). Por ultimo, se presentaran los conjuntos de los números naturales y de los enteros. Se le dará una connotación histórica a éste tema y se vera la ampliación de los conjuntos numéricos a medida que se fueron acomplejando los cálculos. Se analizaran sus distintas propiedades y se aprenderá a resolver ecuaciones. Para todos éstos temas encontrara ejemplos y ejercicios que ayudarán al alumno a entender y aplicar los conceptos aprendidos. Los contenidos abordados en este módulo constituyen un conjunto básico de saberes que cualquier individuo debe manejar para un buen desarrollo en todo lo que hace a la vida, tanto en el campo personal como laboral. Les dedicamos un buen y entusiasta recorrido de la materia. 6

OBJETIVOS PARTICULARES DE CADA UNIDAD OBJETIVOS DE LA UNIDAD 1 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr: Que el alumno conozca lo que es un conjunto. Que sepa representar diagramas de Venn. Que diferencie y sepa trabajar con los distintos conjuntos. OBJETIVOS DE LA UNIDAD 2 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr: Que el alumno interprete los conceptos de puntos y rectas en dos dimensiones. Que reconozca las rectas paralelas, secantes y perpendiculares. Que sepa clasificar los ángulos. Que sepa operar en el sistema sexagesimal. Que reconozca polígonos y su clasificación. Que entienda el concepto de vector, muy importante en las áreas tecnológicas y de ingeniería. OBJETIVOS DE LA UNIDAD 3 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr: Que el alumno reconozca los números naturales. Que logre operar correctamente en los diferentes ejercicios que puedan surgir. Que pueda llegar a obtener la incógnita en una ecuación. OBJETIVOS DE LA UNIDAD 4 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr: 7

Que el alumno reconozca los números enteros. Que logre operar correctamente en los diferentes ejercicios que puedan surgir. Que pueda llegar a obtener la incógnita en una ecuación. Que logre traducir una expresión matemática escrita en palabras a una ecuación matemática.

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_UNIDAD_1: CONJUNTOS – RELACIONES Y FUNCIONES CONJUNTOS “Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común”. Esta definición fue creada por Georg Cantor hace 100 años.

Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se puede dar una idea intuitiva de el. Se denota con letras mayúsculas e imprenta.

Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año, etc., siendo cada alumno del colegio, cada número impar, cada mes del año, respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos.

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ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Elemento es cada uno de los objetos por los cuales esta conformado un conjunto.

Los elementos se representan con letras minúsculas.

Ejemplo: los ejemplos tomados anteriormente en el concepto de conjunto.

Luis, Antonio, Paula, son los elementos del primer conjunto, porque ellos son alumnos de colegio. 1,3,5 son elementos del segundo conjunto porque son números impares.

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ESCRITURA DE CONJUNTOS Un conjunto puede escribirse de dos formas:

1. Por extensión: consiste en anotar todos los elementos que pertenecen al conjunto entre llaves. 2. Por comprensión: consiste en anotar entre llaves una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

Ejemplo:

Por extensión: A = {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}

Por comprensión: A = {meses del año}, o bien, de esta otra forma: A = {x / x es un mes del año}, que se lee: A es el conjunto de elementos x tales que x es un mes del año.

Ejemplo:

Por extensión: B = {Pulgar, Índice, Mayor, Anular, Meñique} Por comprensión: B = {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: B = {x / x es dedo de la mano}, que se lee: B es el conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano.

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DIAGRAMAS DE VENN El diagrama de Venn es la representación gráfica de un conjunto en la cual se sitúan dentro de una línea cerrada los signos representativos de los elementos del conjunto.

En la figura se muestra el diagrama de Venn del conjunto A: A=

a, b, c, d, e .

Diagrama de Venn

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RELACION DE PERTENENCIA Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, si un elemento pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.

Ejemplo:

A = {x / x es dedo de la mano} b = índice

entonces:

b

A

Cuando un elemento no esta en el conjunto, entonces dicho elemento no pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente manera.

Ejemplo:

A = {x / x es mes del año} b = índice

entonces:

b

A

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DIFERENTES TIPOS DE CONJUNTOS Conjunto Finito: Se denomina así al conjunto al cual podemos nombrar su último elemento. Es decir, es un conjunto que posee una cantidad finita (que puede contarse) de elementos.

Ejemplo:

M = {x / x es mes del año}

Por que sabemos que el último mes es Diciembre.

Conjunto Infinito: Se denomina así al conjunto al cual no podemos nombrar su último elemento. Es decir, un conjunto que posee una cantidad infinita de elementos.

Ejemplo:

M = {x / x es número natural}

Por que no sabemos cual es el último número

Conjunto Universal o Referencial: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia y se simboliza con la letra U y se representa por medio de un rectángulo.

Ejemplo:

U ={x / x es un animal} U ={x / x es un mamífero} U ={x / x es un reptil}

Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se lo considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: { } 14

Ejemplos: _ El conjunto F es aquel que contiene los meses del año que terminan con a. _ El conjunto F es aquel que contiene los números impares múltiplos de 2.

Conjunto unitario: Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de treinta días, solamente febrero pertenece a dicho conjunto. B=

febrero

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SUBCONJUNTOS. CONJUNTOS ESPECIALES Subconjuntos: Sean dos conjuntos A y B. Se dice que A es subconjunto de B o que A está incluido en B, y se anota A

B, cuando todo elemento de A es también un elemento de B.

Ejemplo: A = 1,2,3,4 y B = 1,2,3,4,5,6 Como todo elemento de A es también un elemento de B, se concluye que A

B.

OBSERVACIONES: _ el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. _ todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Conjuntos disjuntos: Se llaman conjuntos disjuntos a aquellos que no tienen ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.

Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes: C = {x / x es un número natural} y D = {x / x es un día de la semana} Son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.

Conjunto de partes: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).

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Ejemplo: Dado el conjunto: A = {a , b , c , d.}

Formemos todos sus subconjuntos: M = {a} , N = {b} , P = {c} , Q = {d} , R = {a , c} , T = {a , d} , U = {b , c} , V = {b , d} , X = {c , d} , Y = {a , b , c} , Z = {a , b , d} , L = {b , c ,d} El conjunto de las partes de A, es decir (A), será: p(A) = { , M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A} Se observa que el conjunto vacío y el mismo conjunto A forman parte del conjunto de partes (valga la redundancia).

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CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son iguales a todos los elementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.

En términos matemáticos: Sean dos conjuntos A y B. Se dice que A es igual a B, y se anota A = B, cuando A

ByB

A ; o sea, A está incluido en B y a la vez B está incluido en

A. En símbolos: ( A = B )

(A

B)^(B

A)

Aclaraciones: _

significa equivalencia, si y solo si. Sirve para unir en ambos sentidos dos

proposiciones. _ ^ significa y.

Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x / x es un número natural} {x / x es un número entero positivo} son iguales, ya que todo número entero positivo es un número natural.

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PROPIEDADES DE LA INCLUSION ENTRE.CONJUNTOS Como dijimos antes:

El conjunto A esta incluido en B si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, y se escribe:

A B A esta incluido en B

1. Propiedad reflexiva: Todo conjunto está incluido en si mismo. Esto se expresa de la siguiente forma:

A

A

Ese símbolo significa que está incluido y es que es (o puede ser) igual. Es equivalente al símbolo menor o igual .

2. Propiedad antisimétrica: Dados dos conjuntos A y B, si A está contenido en B, y B esta incluido en A, entonces A es igual a B. Es decir:

siA ByB A→A B 3. Propiedad transitiva: Si un conjunto A está incluido en otro conjunto B y a su vez B esta incluido en C, A esta incluido en C. Sean los conjuntos:

A = {a, b, c};

B = {a, b, c, d, n};

C = {a, b, c, d, n, m} 19

En los cuales se observa con claridad que si los elementos del conjunto A son elementos del conjunto B, y los del conjunto B son también elementos del conjunto C, los elementos de A serán elementos de C. En símbolos:

si A

ByB

C→A

C

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OPERACIONES.ENTRE CONJUNTOS Unión de conjuntos: Sean dos conjuntos A y B, y sea U el conjunto universal, es decir, A

UyB

U. Se denomina unión de un conjunto A con un conjunto

B, a un nuevo conjunto A

B, se lee A unión B, que tiene como elementos a

aquellos que están en A o están en B, o bien que pertenecen a ambos conjuntos.

En símbolos: A

B = {x E

/x

Se introdujo un nuevo símbolo :

A

x

B}

y significa o.

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f}

La unión de dichos conjuntos será: AUB = {d, f, g, h, b, c} Como se observa, los elementos repetidos se escriben una sola vez.

Unión de un conjunto consigo mismo: sea el conjunto A que es subconjunto de U, la unión del conjunto A consigo mismo es el conjunto A. Es decir: A

A=A 21

Unión de un conjunto y un subconjunto del mismo: Sean A y B dos conjuntos y B Es decir: A

A, la unión de ellos da como resultado el conjunto A. B=A

Unión de un conjunto con el conjunto vacío: sea A un conjunto cualquiera y sea

el conjunto vacío; la unión de ellos da como resultado el conjunto A.

Es decir: A

=A

Unión de más de dos conjuntos: sean los conjuntos A, B y C; la unión de ellos, A

B

C es otro conjunto que tiene como elementos a aquellos que

pertenecen a todos los conjuntos. Es decir: A

B

C=

x/xEA

xEB

xEC

Intersección de conjuntos: sean dos conjuntos A y B, y A

DyB

D.

Se denomina intersección de un conjunto A con un conjunto B a un nuevo conjunto A

B, se lee, A intersectado con B, que tiene como elementos a

aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. En símbolos: A

B = {x

D/x

A

x

B}

Ejemplo: Dados los conjuntos A = { c, d, e, a, b } y B = { a, b, m, n, p }, su intersección será: A

B = {a , b}

La representación gráfica de dicha intersección esta representada en la figura, en la cual la intersección es la parte en la que se encuentran únicamente los elementos a y b.

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Intersección de un subconjunto consigo mismo: sea el conjunto A que es subconjunto de D, la intersección del conjunto A consigo mismo es el conjunto A. Es decir: : A

A=A

Intersección de un conjunto y un subconjunto: sean A y B dos conjuntos y B

A; la intersección de ellos da como resultado el subconjunto B.

Es decir: A

B=B

Intersección de un conjunto con el conjunto vacío: sea A un subconjunto cualquiera y

el conjunto vacío; la intersección de ellos da como resultado

Es decir: A

.

=

Intersección de conjuntos disjuntos: sean A y B dos conjuntos distintos cualesquiera, la intersección de ellos da como resultado el conjunto vacío

.

Esto se debe a que no tienen elementos en común.

Intersección de más de dos conjuntos: sean los conjuntos A, B y C, la intersección de ellos A

B

C, es otro subconjunto que tiene como elementos

a aquellos que son comunes a todos los conjuntos. Es decir: A

B

C= x/x

A

x

B

x

C

Se lee, A intersectado con B intersectado con C.

Diferencia de conjuntos: sean dos conjuntos A y B. Se denomina diferencia de A y B, A – B (se lee A menos B), a un nuevo conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B. En símbolos A – B = { x

U/x

A

x

B}

Ejemplo: Si A = {a, b, c, d, e} y B = {a, b, m, n, p}, A - B = {c, d, e.}. La representación gráfica se encuentra en la figura anterior.

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Complemento de un conjunto con respecto a otro: Si A es un subconjunto de D, se llama complemento de A y se representa por CA o A’, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a D y no pertenecen a A. En símbolos: A‟ = { x / x

Dyx

A}

Expresado más claramente: A‟ = D - A

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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. UNION. Asociatividad: la unión de conjuntos permite asociarlos; o sea, agruparlos de distinta forma, obteniéndose el mismo conjunto como resultado. Es decir: A

(B

C)=(A

B)

C.

Conmutatividad: la unión de conjuntos permite la conmutatividad; o sea, el orden de los conjuntos da como resultado el mismo conjunto. Es decir: : A

B=B

O también: A

B

A

C=C

B

A

INTERSECCIÓN. Asociatividad: la intersección de conjuntos permite asociarlos; o sea, agruparlos de distinta forma, siendo el conjunto resultado el mismo. Es decir: A

(B

C)=(A

B)

C

Conmutatividad: la intersección de conjuntos permite la conmutatividad; o sea, el orden de los conjuntos da como resultado el mismo conjunto. Es decir: : A O también : A

B=B

A

B

C=A

C

B

Ley distributiva: Tiene también dos formas de expresión: De la unión respecto de la intersección: ( A

B)UC=(AUC)

De la intersección respecto de la unión: ( A U B )

C=(A

C)

(BUC) (B

C)

DIFERENCIA. Asociatividad: no cumple ésta condición. Es decir: A – ( B – C )

(A–B)–C 25

Conmutatividad: no cumple ésta condición. Es decir: A – B

B–A

Ley distributiva: _ La diferencia es distributiva con respecto a la unión. Es decir: (A

B)–C=(A–C)

(B–C)

_ La diferencia es distributiva con respecto a la intersección Es decir: ( A

B)–C=(A–C)

( B – C)

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EJERCICIOS:

1) Escribir por extensión los siguientes conjuntos:

A

x/x

Z y |x| ≤ 5

B= x/x

Z y -5< x < 3

se lee x menor que 3 y mayor que -5

C= x/x

Ny2