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IB DIPLOMA PROGRAMME PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI

Matemáticas Nivel Medio

Ejemplos de preguntas: prueba 1 y prueba 2

Primeros exámenes: 2008 © IBO 2007

ÍNDICE Introducción Instrucciones para el esquema de calificación Ejemplos de preguntas de Matemáticas Nivel Medio: prueba 1 Ejemplo de esquema de calificación de Matemáticas Nivel Medio: prueba 1 Ejemplos de preguntas de Matemáticas Nivel Medio: prueba 2 Ejemplo de esquema de calificación de Matemáticas Nivel Medio: prueba 2

–1–

Introducción El modelo de evaluación cambiará a partir de la convocatoria de mayo de 2008:

•

Las pruebas 1 y 2 constarán de una sección A con preguntas de respuesta corta para contestar en la hoja de la prueba de examen (similar a la prueba 1 actual), y una sección B con preguntas de respuesta larga para contestar en las hojas de respuesta (similar a la prueba 2 actual).

•

No se permitirá el uso de calculadoras en la prueba 1.

•

Para la prueba 2 se requerirán calculadoras de pantalla gráfica.

Puede encontrarse más información sobre el modelo de evaluación revisado de los componentes externos en la segunda edición de la guía de Matemáticas NM que se envió a los colegios en septiembre de 2006 y que también está disponible en el Centro pedagógico en línea (CPEL). ¿A qué se deben estos cambios? La experiencia ha demostrado que algunas pruebas se pueden realizar utilizando apenas la calculadora de pantalla gráfica, aunque algunos alumnos la usan para casi todas las preguntas de esas mismas pruebas. Hemos observado algunos enfoques muy interesantes e innovadores utilizados por alumnos y profesores; sin embargo, en algunas ocasiones lo que pretendían los responsables de elaborar las pruebas era evaluar una habilidad o enfoque en particular. El hecho de que los alumnos contaran con una calculadora de pantalla gráfica a menudo hacía difícil lograr este objetivo (si no imposible). El problema se acentuaba por la variedad de calculadoras de pantalla gráfica que usaban los alumnos en distintos países del mundo. El equipo de examinadores cree que es necesario no permitir su uso para poder evaluar mejor algunos conocimientos y habilidades. ¿Cómo afectarán estos cambios al modo de enseñar la asignatura? La mayor parte de los profesores no necesitará modificar su método de enseñanza para poder adaptarse a este cambio en el modelo de evaluación. Antes bien, les dará libertad para hacer hincapié en el enfoque analítico de ciertas áreas del curso que pudieran haber descuidado en alguna medida, no porque no las consideraran pertinentes o incluso esenciales, sino por resultar evidente que la importancia de la tecnología es cada vez mayor y elimina la necesidad de adquirir ciertas habilidades. ¿Hay cambios en el contenido del programa de estudios? No, hay que recalcar que lo único que cambia es el modelo de evaluación. No tenemos intención de cambiar el contenido del programa de estudios ni es nuestro propósito restar importancia a las calculadoras de pantalla gráfica en la enseñanza o en los exámenes. Las referencias al uso de la calculadora de pantalla gráfica que aparecen en la guía de la asignatura (por ejemplo, “obtención de la inversa de una matriz de orden 3 x 3 utilizando la calculadora de pantalla gráfica” u “obtención de la desviación típica mediante la calculadora de pantalla gráfica”) siguen siendo válidas, por lo que no aparecerán preguntas de este tipo en la prueba 1. Tampoco habrá en dicha prueba preguntas de álgebra en las que haya que calcular los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio ni preguntas de estadística que requieran el uso de tablas. Con respecto a la trigonometría, se espera que los alumnos estén familiarizados con las características de las curvas del seno, del coseno y de la tangente y que conozcan las razones de 0! ,90! ,180! , etc.

–2– ¿Qué tipo de preguntas habrá en la prueba 1? En las preguntas de la prueba 1 se pedirá principalmente a los alumnos que adopten un enfoque analítico para llegar a las soluciones, en lugar de que usen calculadoras de pantalla gráfica. La prueba no requerirá cálculos complicados que puedan llevar a cometer errores por descuido. No obstante, las preguntas implicarán realizar operaciones aritméticas cuando éstas sean esenciales para su desarrollo. ¿Qué tipo de preguntas habrá en la prueba 2? Estas preguntas serán similares a las de las pruebas actuales. Los alumnos deben disponer de una calculadora de pantalla gráfica en todo momento; no obstante, no todas las preguntas requerirán necesariamente el uso de la calculadora. Habrá preguntas en las que no será necesario utilizarla y otras en las que su uso será opcional. Algunas preguntas no se podrán responder sin utilizar una calculadora de pantalla gráfica que reúna los requisitos mínimos. ¿Cuál es el propósito de este documento? Este documento combina los exámenes de muestra originales (publicados en noviembre de 2004) y los nuevos ejemplos de preguntas (publicados en línea en octubre de 2006). Téngase en cuenta que no se trata de dos exámenes de muestra completos, sino de un conjunto de preguntas del tipo de las que podrían aparecer en cada prueba. Por tanto, no cubrirán necesariamente todos los temas del programa de estudios de forma equilibrada ni reflejarán la importancia relativa de dichos temas. A continuación se ofrecen las instrucciones para cada prueba y sección a fin de proporcionar información a los profesores sobre los exámenes. Las preguntas de la sección A se deben contestar en los espacios provistos y las preguntas de la sección B en las hojas de respuestas provistas por IBO. Si es necesario, debe utilizarse papel milimetrado. Las dos primeras preguntas de la sección A de cada prueba incluyen espacios para escribir las respuestas. Prueba 1 No se otorgará necesariamente la máxima puntuación a una respuesta correcta que no esté acompañada de un procedimiento. Las respuestas deben estar sustentadas en un procedimiento o en explicaciones. Aun cuando una respuesta sea errónea, podrán otorgarse algunos puntos si el método empleado es correcto, siempre que aparezca por escrito. Por lo tanto, se aconseja mostrar todo el procedimiento seguido. Sección A Conteste todas las preguntas en los espacios provistos. De ser necesario, se puede continuar desarrollando la respuesta en el espacio que queda debajo de las líneas. Sección B Conteste todas las preguntas en las hojas de respuestas provistas. Empiece una página nueva para cada respuesta.

–3– Prueba 2 No se otorgará necesariamente la máxima puntuación a una respuesta correcta que no esté acompañada de un procedimiento. Las respuestas deben estar sustentadas en un procedimiento o en explicaciones. En particular, junto a los resultados obtenidos con calculadora de pantalla gráfica, deberá reflejarse por escrito el procedimiento seguido para su obtención; por ejemplo, si se utiliza una gráfica para hallar una solución, se deberá dibujar aproximadamente la misma como parte de la respuesta. Aun cuando una respuesta sea errónea, podrán otorgarse algunos puntos si el método empleado es correcto, siempre que aparezca por escrito. Por lo tanto, se aconseja mostrar todo el procedimiento seguido. Sección A Conteste todas las preguntas en los espacios provistos. De ser necesario, se puede continuar desarrollando la respuesta en el espacio que queda debajo de las líneas. Sección B Conteste todas las preguntas en las hojas de respuestas provistas. Empiece una página nueva para cada respuesta.

–4–

INSTRUCCIONES PARA EL ESQUEMA DE CALIFICACIÓN A.

Abreviaturas

M

Puntos otorgados por la tentativa de utilizar un Método correcto; el procedimiento debe aparecer por escrito.

(M)

Puntos otorgados por el Método; puede estar implícito en un procedimiento posterior correcto.

A

Puntos otorgados por una respuesta (Answer) o una Aproximación, que en general dependen de los puntos de tipo M precedentes.

(A)

Puntos otorgados por una respuesta (Answer) o una Aproximación; puede estar implícita en un procedimiento posterior correcto.

R

Puntos otorgados por un Razonamiento claro.

N

Puntos otorgados por respuestas correctas, cuando el procedimiento no se muestra.

AG

Respuesta dada en la pregunta por la cual no se otorgan puntos.

B.

Cómo usar el esquema de calificación

Puntos de arrastre de error (FT- follow through): Otorgue puntos de este tipo solamente cuando el alumno utiliza una respuesta errónea en un apartado posterior. Cualquier excepción a esta regla será aclarada en el esquema de calificación. Los puntos por arrastre de error son la excepción y ya no la norma dentro de una pregunta o apartado de una pregunta, y sólo pueden otorgarse cuando el procedimiento aparece por escrito. No otorgue puntos de tipo N (FT). Si la pregunta se torna mucho más simple, utilice su criterio y otorgue una puntuación menor. Aplique arrastre de error si el alumno se equivoca al tomar la información de la pregunta. Puntos discrecionales (d): habrá contadas ocasiones en las que el esquema de calificación no cubra el procedimiento que se está evaluando. En esos casos, se ha de indicar por medio de una (d) que el examinador ha usado su criterio. Debe ir acompañada de una breve nota donde se explique la decisión tomada. Es importante comprender la diferencia entre puntos “implícitos”, identificados por los paréntesis, y puntos que se pueden otorgar solamente si el procedimiento aparece por escrito (sin paréntesis). Los puntos implícitos solamente pueden ser otorgados si hay evidencia escrita o implícita de un procedimiento correcto en un desarrollo posterior, que normalmente se encuentra en la línea siguiente. Cuando se otorga M1 A1 en la misma línea, generalmente significa M1 por la tentativa de utilizar la fórmula apropiada y A1 por sustituir correctamente. Puesto que los puntos de tipo A dependen normalmente de los puntos de tipo M que se han adjudicado antes, no se puede otorgar M0 A1. Puesto que los puntos de tipo N sólo se otorgan cuando no aparece el procedimiento, no se puede otorgar una combinación de puntos de tipo N con puntos de otro tipo.

–5– Se debe aceptar cualquier método correcto diferente, aun cuando no esté especificado en el esquema de calificación. Cuando se incluyen otros métodos para toda una pregunta, se indican como MÉTODO 1, MÉTODO 2, etc. Las soluciones diferentes (a apartados), se indican como VÁLIDO TANTO … COMO.. Siempre que sea posible, se apelará a la alineación como recurso para ayudar al examinador a identificar dónde comienzan y terminan las distintas opciones. A menos que la pregunta especifique lo contrario, acepte formas equivalentes. En el esquema de calificación, estas formas numéricas o algebraicas equivalentes aparecerán generalmente entre paréntesis a continuación de la respuesta pedida, que vendrá indicada por medio de la puntuación total situada en ese punto. Una vez localizada la respuesta correcta, ignore cualquier procedimiento posterior, a menos que contradiga la respuesta. También se utilizarán paréntesis para lo que podría describirse como la respuesta correctamente expresada, pero que quizás el alumno no escriba en el examen. Los examinadores han de ser conscientes de que los puntos asignados a la pregunta se han de otorgar aun si la respuesta se da en la forma que precede a los paréntesis. Por ejemplo, al derivar f(x) =2sen(5x−3) el esquema de calificación dice f′(x) = (2cos(5x−3))5 (=10cos(5x − 3))

A1

Esto significa que se otorga A1 aun si la respuesta se da en la forma (2cos(5x −3)) 5, aunque normalmente se escribiría la respuesta como 10cos(5x − 3). Por tratarse de un examen internacional, se deben aceptar todas las distintas formas de notación. Cuando el esquema de calificación especifique M2, A3, etc., para una respuesta, NO subdivida estos puntos salvo que se dé otra indicación al respecto. No otorgue la puntuación total por una respuesta correcta, todo el procedimiento debe ser revisado. Los alumnos deben ser penalizados una vez EN TODO EL EXAMEN por un error de aproximación (AP). Existen dos tipos de error de aproximación: • Errores de redondeo: se aplica sólo a la respuesta final, no a los pasos intermedios. • Grado de aproximación: cuando no se especifica en la pregunta, la regla general es que salvo que se dé otra indicación en la pregunta, todas las respuestas numéricas deberán darse como valores exactos o aproximando a tres cifras significativas. .

–6–

Prueba 1 Preguntas de la Sección A 1.

[Puntuación máxima: 7] En una progresión aritmética u21 = −37 y u4 = −3 . (a)

(b)

Halle (i)

la diferencia común;

(ii)

el primer término.

Halle S10 .

.............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. ..............................................................................................................................

[4 puntos] [3 puntos]

–7–

2.

[Puntuación máxima: 6] Sea un = 3 − 2n . (a)

Escriba el valor de u1 , u2 , y u3 .

(b)

Halle

20

∑ (3 − 2n) . n =1

.............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. ..............................................................................................................................

[3 puntos] [3 puntos]

–8–

3.

[Puntuación máxima: 7] Considere f ( x ) = x − 5 . (a)

4.

Halle (i)

f (11) ;

(ii)

f (86) ;

(iii)

f (5) .

[3 puntos]

(b)

Halle los valores de x para los cuales f no está definida.

[2 puntos]

(c)

Sea g ( x) = x 2 . Halle ( g ! f ) ( x) .

[2 puntos]

[Puntuación máxima: 6] La función cuadrática f está definida por f ( x) = 3 x 2 − 12 x + 11 . (a)

Escriba f en la forma f ( x) = 3( x − h) 2 − k .

[3 puntos]

(b)

Se traslada la gráfica de f 3 unidades en el sentido positivo del eje x, y 5 unidades en el sentido positivo del eje y. Halle la función g de la gráfica trasladada, dando su respuesta en la forma g ( x) = 3( x − p) 2 + q .

[3 puntos]

–9–

5.

[Puntuación máxima: 6] El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función de la forma y = p cos qx .

6.

(a)

Escriba el valor de p .

[2 puntos]

(b)

Calcule el valor de q .

[4 puntos]

[Puntuación máxima: 7] Sabiendo que

7.

π 12 ≤ θ ≤ π y que cos θ = − , halle 13 2

(a)

senθ ;

[3 puntos]

(b)

cos 2θ ;

[3 puntos]

(c)

sen (θ + π) .

[1 punto]

[Puntuación máxima: 6] (a)

Sabiendo que 2sen 2θ + senθ − 1 = 0 , halle los dos valores de senθ .

[4 puntos]

(b)

Sabiendo que 0! ≤ θ ≤ 360! y que una de las soluciones para θ es 30! , halle los otros dos valores posibles de θ .

[2 puntos]

– 10 –

8.

[Puntuación máxima: 5] ⎛1 − 2⎞ Sea A = ⎜ ⎟. ⎝0 3 ⎠

9.

(a)

Halle A2 .

[2 puntos]

(b)

⎛ − 3 4⎞ Sea B = ⎜ ⎟ . Resuelva la ecuación matricial 3 X + A = B . ⎝ 2 1⎠

[3 puntos]

[Puntuación máxima: 6] ⎛ 2 − 1⎞ ⎛0 0⎞ 2 Sea M = ⎜ ⎟, y O =⎜ ⎟ . Sabiendo que M − 6 M + kI = O , halle k. − 3 4 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10.

[Puntuación máxima: 6] (a) (b)

11.

⎛ 7 8⎞ −1 Dada la matriz A = ⎜ ⎟ , halle A . 2 3 ⎝ ⎠

[2 puntos]

A partir de lo anterior, resuelva el sistema de ecuaciones. 7x + 8y = 1 2x + 3 y = 1

[4 puntos]

[Puntuación máxima: 6] Considere los puntos A (5, 8), B(3, 5) y C (8, 6) . (a)

(b)

Halle →

(i)

AB ;

(ii)

AC .

(i)

Halle AB i AC .

(ii)

Halle el seno del ángulo entre AB y AC .

→

[3 puntos] →

→

→

→

[3 puntos]

– 11 –

12.

[Puntuación máxima: 6] Un grupo de 800 estudiantes realizó un examen que se calificó sobre un máximo de 100 puntos. La gráfica de frecuencias acumuladas de los resultados obtenidos es la siguiente.

800 700 600

Número Number de of estudiantes candidates

500 400 300 200 100 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Puntos Mark (a) (b)

13.

Escriba el número de estudiantes que obtuvieron 40 puntos o menos en el examen.

[2 puntos]

El 50 % central de los resultados se ubica entre las notas a y b, donde a < b . Halle el valor de a y de b.

[4 puntos]

[Puntuación máxima: 6] Una variable aleatoria X tiene una distribución normal con media 100 y varianza 100. (a) (b)

Halle el valor de X igual a 1,12 veces la desviación típica por encima de la media.

[4 puntos]

Halle el valor de X igual a 1,12 veces la desviación típica por debajo de la media.

[2 puntos]

– 12 –

14.

[Puntuación máxima: 7] Un jugador tira un dado no equilibrado de cuatro caras. La probabilidad de obtener cada una de las puntuaciones se muestra a continuación. Puntuación Probabilidad

15.

1 1 5

2 2 5

3 1 10

4 x

(a)

Halle el valor de x.

[2 puntos]

(b)

Halle E ( X ) .

[3 puntos]

(c)

El dado se tira dos veces. Halle la probabilidad de obtener dos veces 3.

[2 puntos]

[Puntuación máxima: 6] Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y = e 2 x en el punto donde x = 1 . Exprese la respuesta en función de e2 .

16.

17.

[Puntuación máxima: 7] (a)

Halle

(b)

Halle

∫

2

∫

1

1

0

(3x 2 − 2) dx .

[4 puntos]

2e 2 x dx .

[3 puntos]

[Puntuación máxima: 6] La velocidad v ms −1 de un cuerpo en movimiento en el instante t segundos viene dada por v = 50 − 10t . (a)

Halle la aceleración del cuerpo en ms −2 .

[2 puntos]

(b)

El desplazamiento inicial del cuerpo, s, es de 40 metros. Halle una expresión para s en función de t.

[4 puntos]

– 13 –

Preguntas de la Sección B 18.

[Puntuación máxima: 13] Resuelva las siguientes ecuaciones.

19.

(a)

log x 49 = 2

[3 puntos]

(b)

log 2 8 = x

[2 puntos]

(c)

log 25 x = −

1 2

[3 puntos]

(d)

log 2 x + log 2 ( x − 7) = 3

[5 puntos]

[Puntuación máxima: 15] Sabiendo que f ( x) = 2 x 2 − 12 x + 5 . (a)

Exprese f ( x) en la forma f ( x) = 2 ( x − h) 2 − k .

[3 puntos]

(b)

Escriba las coordenadas del vértice de la gráfica de f .

[2 puntos]

(c)

Escriba la ecuación del eje de simetría de la gráfica de f .

(d)

Halle la intersección de la gráfica de f con el eje y .

(e)

Las intersecciones de f con el eje x se pueden escribir como donde p , q , r ∈ " . Halle el valor de p, de q, y de r.

[1 punto] [2 puntos] p± q , r

[7 puntos]

– 14 –

20.

[Puntuación máxima: 14] Sea f ( x) = (a)

1 , x ≠ 0. x

Dibuje aproximadamente la gráfica de f .

[2 puntos]

La gráfica de f se transforma en la gráfica de g por medio de una traslación ⎛ 2⎞ de ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 3⎠ (b)

Halle una expresión de g ( x) .

(c)

(i)

Halle las intersecciones de g con los ejes.

(ii)

Escriba las ecuaciones de las asíntotas de g.

(iii) Dibuje aproximadamente la gráfica de g.

21.

[2 puntos]

[10 puntos]

[Puntuación máxima: 10] Un muelle está suspendido del techo. Se tira de él hacia abajo, después se suelta y entonces oscila hacia arriba y hacia abajo. Su longitud, l centímetros, está modelada por la función l = 33 + 5cos ( (720t )! ) , donde t es el tiempo en segundos después de soltarlo. (a)

Halle la longitud del muelle después de 1 segundo.

[2 puntos]

(b)

Halle la longitud mínima del muelle.

[3 puntos]

(c)

Halle el tiempo en el cual la longitud es por primera vez 33 cm.

[3 puntos]

(d)

¿Cuál es el período del movimiento?

[2 puntos]

– 15 –

22.

[Puntuación máxima: 16]

⎛ 1 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Dos rectas L1 y L2 están dadas por r1 = ⎜ 4 ⎟ + s ⎜ 6 ⎟ y por r2 = ⎜ 20 ⎟ + t ⎜ 10 ⎟ . ⎜ 2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ 10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 52 . 140

(a)

Sea θ el ángulo agudo entre L1 y L2 . Compruebe que cos θ =

(b)

(i)

Sea P el punto de L1 cuando s = 1 . Halle el vector de posición de P.

(ii)

Compruebe que P también está en L2 .

(c)

⎛ 6 ⎞ Una tercera recta L3 tiene por vector de dirección ⎜⎜ x ⎟⎟ . Sabiendo que ⎜ −30 ⎟ ⎝ ⎠ L1 y L3 son paralelas, halle el valor de x.

[5 puntos]

[8 puntos]

[3 puntos]

23. [Puntuación máxima: 9]

La altura de los árboles de un bosque sigue una distribución normal con altura media 17 metros. Se selecciona un árbol al azar. La probabilidad de que la altura del árbol seleccionado sea mayor que 24 metros es 0,06. (a) (b) (c)

Halle la probabilidad de que el árbol seleccionado tenga una altura menor que 24 metros.

[2 puntos]

La probabilidad de que el árbol tenga una altura menor que D metros es 0,06. Halle el valor de D.

[3 puntos]

Un leñador selecciona al azar 200 árboles. Halle el número esperado de árboles cuyas alturas varían entre 17 metros y 24 metros.

[4 puntos]

– 16 –

24. [Puntuación máxima: 10]

La probabilidad de obtener cara con una moneda no equilibrada es (a)

(b)

1 . 3

Sammy lanza la moneda tres veces. Halle la probabilidad de obtener (i)

tres caras;

(ii)

dos caras y una cruz.

[5 puntos]

Amir juega a un juego que consiste en lanzar la moneda 12 veces. (i)

Halle el número esperado de caras.

(ii)

Amir gana $ 10 cada vez que sale cara, y pierde $ 6 cada vez que sale cruz. Halle el valor esperado de sus ganancias.

[5 puntos]

25. [Puntuación máxima: 14]

Sea g ( x) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5 . (a) (b)

Halle los dos valores de x en los cuales la tangente a la gráfica de g es horizontal.

[8 puntos]

Para cada uno de estos valores, determine si es un máximo o un mínimo.

[6 puntos]

– 17 –

26. [Puntuación máxima: 10]

La siguiente figura es una parte de la gráfica de y = sen2 x . La región sombreada está entre x = 0 y x = m .

(a)

Escriba el período de esta función.

[2 puntos]

(b)

A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, escriba el valor de m.

[2 puntos]

(c)

Halle el área de la región sombreada.

[6 puntos]

– 18 –

Esquema de calificación: prueba 1 Sección A 1.

(a)

(i)

(ii) (b)

2.

3.

Tentativa de establecer ecuaciones −37 = u1 + 20d y −3 = u1 + 3d −34 = 17d d = −2 −3 = u1 − 6 ⇒ u1 = 3

u10 = 3 + 9 × −2 = −15 10 S10 = ( 3 + (−15) ) 2 = −60

N2

A1

N1

M1

u1 = 1, u2 = −1, u3 = −3

(b)

Evidencia del uso de la fórmula adecuada 20 valores correctos S20 = (2 × 1 + 19 × −2) 2 S20 = −360

(i)

A1

(A1)

(a)

(a)

(M1) A1

6

A1

N2 [7 puntos]

A1A1A1

N3

M1

( = 10(2 − 38) )

A1 A1

N1 [6 puntos]

A1

N1

(ii)

9

A1

N1

(iii)

0

A1

N1

A2

N2

(b)

x −1) es negativo g ′ ( x < 3) es negativo, g ′ ( x > 3) es positivo

A1A1 A1A1

mínimo cuando x = 3 , máximo cuando x = −1

A1A1

N2

MÉTODO 2

26.

Evidencia del uso de la derivada segunda g ′′ ( x) = 6 x − 6 g ′′ (3) = 12 (o positiva), g ′′ (−1) = −12 (o negativa)

(M1) A1 A1A1

mínimo cuando x = 3 , máximo cuando x = −1

A1A1

N2 [14 puntos]

M1A1

N2

A2

N2

2π =π 2

(a)

período =

(b)

m=

(c)

Uso de A = ∫ 2 sen 2 x dx

π 2 π

(M1)

0

π

⎡ 1 ⎤2 Integración correcta, A = ⎢ − cos 2 x ⎥ ⎣ 2 ⎦0 1 1 Sustitución, A = − cos π − ( − cos 0) 2 2 1 1 ⎛ 1 1⎞ Valores correctos, A = − (−1) − (− (1)) ⎜ = + ⎟ 2 2 ⎝ 2 2⎠ A =1

A1 (M1) A1A1 A1

N2 [10 puntos]

– 32 –

Prueba 2 Preguntas de la Sección A 1.

[Puntuación máxima: 6] Un teatro tiene 20 filas de butacas. En la fila 1 hay 15 butacas, en la fila 2 hay 17 butacas, y cada fila sucesiva tiene dos butacas más que la anterior. (a)

Calcule el número de butacas que hay en la fila 20.

[4 puntos]

(b)

Calcule el número total de butacas.

[2 puntos]

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– 33 –

2.

[Puntuación máxima: 6] Se invierte una suma de $ 5000 a una tasa de interés (tipo de interés) compuesto del 6,3 % anual. Escriba una expresión para el valor de la inversión después de n años completos.

[1 punto]

(b)

¿Cuál será el valor de la inversión al cabo de cinco años?

[1 punto]

(c)

El valor de la inversión superará los $ 10 000 después de n años completos.

(a)

(i)

Escriba una inecuación que represente esta información.

(ii)

Calcule el valor mínimo de n.

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[4 puntos]

– 34 –

3.

[Puntuación máxima: 6] La función f está definida por f ( x) = (a)

3 9 − x2

, para − 3 < x < 3 .

Dibuje aproximadamente la gráfica de f, en la cuadrícula provista a continuación.

[2 puntos]

4.

(b)

Escriba la ecuación de cada asíntota vertical.

[2 puntos]

(c)

Escriba el recorrido de la función f .

[2 puntos]

[Puntuación máxima: 6] Las funciones f y g quedan definidas por f : x # 3 x , g : x # x + 2 .

5.

(a)

Halle una expresión para ( f ! g )( x) .

[2 puntos]

(b)

Halle f −1 (18) + g −1 (18) .

[4 puntos]

[Puntuación máxima: 7] Un triángulo tiene sus vértices en A(–1, 3) , B(3, 6) y C(–4, 4). →

→

(a)

Compruebe que AB i AC = −9 .

[3 puntos]

(b)

ˆ . Halle BAC

[4 puntos]

– 35 –

6.

[Puntuación máxima: 6] (a)

⎛ 1 −3 1 ⎞ ⎜ ⎟ Escriba la inversa de la matriz A = ⎜ 2 2 −1⎟ . ⎜ 1 −5 3 ⎟ ⎝ ⎠

(b)

A partir de lo anterior, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones x − 3y + z

= 1

2x + 2 y − z = 2 x − 5 y + 3z = 3

7.

[2 puntos]

[4 puntos]

[Puntuación máxima: 6] Una fábrica produce calculadoras. Luego de un período prolongado, se encuentra que el 2 % de las calculadoras producidas son defectuosas. Se prueba una muestra aleatoria de 100 calculadoras.

8.

[1 punto]

(a)

Escriba el número esperado de calculadoras defectuosas en la muestra.

(b)

Halle la probabilidad de que tres calculadoras sean defectuosas.

[2 puntos]

(c)

Halle la probabilidad de que más de una calculadora sea defectuosa.

[3 puntos]

[Puntuación máxima: 6] Las velocidades de los vehículos que pasan por determinado punto de un camino recto siguen una distribución normal con media µ y desviación típica σ. El 15 % de los vehículos viaja a velocidades mayores de 90 km h −1 y el 12 % a velocidades menores de 40 km h −1 . Halle µ y σ.

9.

[Puntuación máxima: 6] La función f se define por f ( x) = 2sen (5 x − 3) . (a)

Halle f ′′( x) .

(b)

Escriba

∫ f ( x ) dx .

[4 puntos] [2 puntos]

– 36 –

Preguntas de la Sección B 10.

[Puntuación máxima: 18] Un granjero posee un campo triangular ABC. Un lado del triángulo, [AC], mide 104 m, el segundo lado, [AB], mide 65 m y el ángulo comprendido entre estos dos lados es de 60! . (a)

(b)

Utilice el teorema del coseno para calcular la longitud del tercer lado del campo.

[3 puntos]

3 , halle el área del campo en la forma p 3 2 siendo p un número entero.

[3 puntos]

Sabiendo que sen 60! =

Sea D un punto de [BC] tal que [AD] es la bisectriz del ángulo de 60! . El granjero construye un cerco recto [AD] de longitud x metros, dividiendo así el campo en dos partes A1 y A2 , como se muestra en la siguiente figura.

(c)

65 x . 4

(i)

Compruebe que el área de A1 está dada por

(ii)

Halle una expresión similar para el área de A2 .

(iii) A partir de lo anterior, halle el valor de x en la forma q 3 , siendo q un número entero. (d)

(i)

ˆ = sen ADB ˆ . Explique por qué sen ADC

(ii)

Use el resultado del apartado (i) y el teorema del seno para BD 5 comprobar que = . DC 8

[7 puntos]

[5 puntos]

– 37 –

11.

[Puntuación máxima: 15] En esta pregunta, la distancia se mide en kilómetros y el tiempo en horas. Un globo se desplaza, manteniendo su altura constante, a una velocidad de ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ −1 18 km h , en la dirección del vector ⎜ 4 ⎟ . ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ Cuando t = 0 , el globo se encuentra en el punto B de coordenadas (0, 0, 5) . (a)

Compruebe que el vector de posición b del globo en tiempo t viene dado por ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 10,8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b = ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + t ⎜14, 4 ⎟ . ⎜ z ⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[6 puntos]

Cuando t = 0 , un helicóptero se dirige hacia el globo para entregar un mensaje. El vector de posición h del helicóptero en tiempo t viene dado por ⎛ x ⎞ ⎛ 49 ⎞ ⎛ −48 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ h = ⎜ y ⎟ = ⎜ 32 ⎟ + t ⎜ −24 ⎟ . ⎜z⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (b)

(c)

(i)

Escriba las coordenadas de la posición inicial del helicóptero.

(ii)

Halle la velocidad del helicóptero.

[4 puntos]

El helicóptero alcanza al globo en el punto R. (i)

Halle el tiempo que tarda el helicóptero en alcanzar al globo.

(ii)

Halle las coordenadas de R.

[5 puntos]

– 38 –

12.

[Puntuación máxima: 19] La bolsa A contiene 2 bolas rojas y 3 bolas verdes. Se extraen dos bolas al azar, sin reposición. Sea X el número de bolas rojas extraídas. La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de X.

(a)

X

0

1

2

P ( X = x)

3 10

6 10

1 10

Calcule E ( X ) , la media del número de bolas rojas extraídas.

[3 puntos]

Otra bolsa B, contiene 4 bolas rojas y 2 bolas verdes. Se extraen dos bolas al azar de la bolsa B. (b)

(i)

Dibuje un diagrama de árbol que represente esta información, incluyendo las probabilidades de cada suceso.

(ii)

A partir de lo anterior halle la distribución de probabilidad de Y, siendo Y el número de bolas rojas extraídas.

[8 puntos]

Se tira un dado equilibrado de seis caras. Si se obtiene un 1 o un 6, se extraen dos bolas de la bolsa A, en caso contrario, se extraen dos bolas de la bolsa B.

13.

(c)

Calcule la probabilidad de que se extraigan dos bolas rojas.

[5 puntos]

(d)

Sabiendo que se han extraído dos bolas rojas, halle la probabilidad condicionada de que haya salido un 1 o un 6 al tirar el dado.

[3 puntos]

[Puntuación máxima: 13] La función f se define por f : x # −0,5 x 2 + 2 x + 2,5 . Sea N la normal a la curva en el punto donde la gráfica corta el eje y. (a)

Compruebe que la ecuación de N puede escribirse como y = −0, 5 x + 2,5 .

[4 puntos]

(b)

Halle las coordenadas del otro punto de intersección entre la normal y la curva.

[5 puntos]

Sea R la región encerrada entre la curva y N. Halle el área de R.

[4 puntos]

(c)

– 39 –

Esquema de calificación: prueba 2 Sección A 1.

(a)

Por darse cuenta de que se trata de una progresión aritmética u1 = 15 d = 2 n = 20 por sustituir en u20 = 15 + (20 − 1) × 2 = 53 (esto es, 53 asientos en la fila número 20)

(b)

2.

20 ( 2(15) + (20 − 1) 2 ) 2 = 680 (esto es, 680 asientos en total)

Por sustituir en S20 =

( o en

(M1) (A1) M1 A1

20 (15 + 53) ) 2

N2

M1 A1

N2 [6 puntos]

(a)

5000(1,063) n

A1

N1

(b)

El valor = $ 5000(1,063)5 (= $ 6786,3511…) = $ 6790 redondeado a 3 cifras significativas (acepte $ 6786, o $ 6786,35 )

A1

N1

A1

N1

(M1) (A1) A1

N3

(c)

(i)

5000(1,063)n > 10 000 o (1, 063) n > 2

(ii)

Por tratar de resolver la inecuación n log (1,063) > log 2 n > 11,345... 12 años

Nota: Es probable que los alumnos utilicen las funciones TABLE o LIST de su calculadora gráfica para hallar n. A continuación se sugiere una buena forma de comunicar esto. Sea y = 1,063x Para x = 11 − > y = 1,9582 , para x = 12 − > y = 2,0816 x = 12 es decir, 12 años

(M1) (A1) A1

N3 [6 puntos]

– 40 – 3

(a)

A1A1

N2

A1A1

N1N1

Nota: Otorgue A1 para la forma genérica y A1 si se dibuja la intersección con el eje y en el valor 1.

4.

(b)

x = 3 , x = −3

(c)

y ≥1

A2

N2 [6 puntos]

(a)

( f ! g ) : x # 3( x + 2) (= 3 x + 6)

A2

N2

(b)

MÉTODO 1 Evidencia de haber hallado funciones inversas x g −1 ( x) = x − 2 p.ej. f −1 ( x) = 3 f −1 (18) =

18 3

(= 6)

g −1 (18) = 18 − 2 (= 16) −1

−1

f (18) + g (18) = 6 + 16 = 22

M1

(A1) (A1) A1

N3

MÉTODO 2 Evidencia de haber resuelto las ecuaciones p.ej. 3x = 18 , x + 2 = 18 x = 6 , x = 16 f −1 (18) + g −1 (18) = 6 + 16 = 22

M1 (A1)(A1) A1

N3 [6 puntos]

– 41 – 5.

(a)

→ → ⎛ 4⎞ ⎛ −3 ⎞ Por obtener los dos vectores correctos AB = ⎜ ⎟ AC = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝1⎠ Por sustituir apropiadamente en la expresión del producto escalar

→

A1A1

→

AB ⋅ AC = 4(−3) + 3(1) = −9

(b)

6.

(a)

(b)

→

→

AB = 5 AC = 10 Evidencia de haber usado la fórmula del producto escalar ˆ = −9 = −0,569 (3 cifras significativas) p.ej. cos BAC 5 10 ˆ BAC = 2, 47 (radianes), 125!

A

−1

A1 AG

N0

(A1)(A1) M1

⎛ 0,1 0, 4 0,1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −0,7 0, 2 0,3 ⎟ ⎜ −1,2 0, 2 0,8 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ x ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Por darse cuenta de que las ecuaciones pueden escribirse como A ⎜ y ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ 1,2 ⎞ ⎞ ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ −1 ⎜ ⎟ por tratar de calcular ⎜ y ⎟ = A ⎜ 2 ⎟ ⎜ = ⎜ 0,6 ⎟ ⎟ ⎜z ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎜ 1,6 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝ x = 1, 2 ; y = 0,6 ; z = 1,6 (acepte tanto vectores fila como vectores columna)

A1

N3 [7 puntos]

A2

N2

(M1)

M1

A2

N3 [6 puntos]

– 42 – 7.

(a)

(b)

(c)

X ∼ B(100 ; 0,02) E (X ) = 100 × 0,02 = 2

A1

⎛ 100 ⎞ 3 97 P ( X = 3) = ⎜ ⎟ (0,02) (0,98) ⎝ 3 ⎠ = 0,182

N1

(M1) A1

N2

MÉTODO 1 P ( X > 1) = 1 − P ( X ≤ 1) = 1 − ( P ( X = 0) + P ( X = 1) ) = 1 − ( (0,98)100 + 100(0,02) (0,98)99 )

M1 (M1)

= 0,597

A1

N2

(M1) (A1) A1

N2

MÉTODO 2 P ( X > 1) = 1 − P( X ≤ 1) = 1 − 0, 40327 = 0,597

Nota: Otorgue la puntuación que se muestra a continuación si se obtiene P ( X ≥ 1) , si se incluye el desarrollo del proceso. P (X ≥ 1) = 1 − P ( X ≤ 2) = 1 − 0,67668 = 0,323

8.

A0 M1(FT) A1(FT)

X ∼ N ( µ ,σ 2 ) P ( X > 90) = 0,15 y P (X < 40) = 0,12 Por hallar los valores estandarizados 1,036 ; − 1,175 90 − µ 40 − µ ; − 1,175 = Por plantear las ecuaciones 1,036 =

(M1) A1A1

µ = 66,6 ; σ = 22,6

A1A1

σ

σ

N0 [6 puntos]

(M1) N2N2

[6 puntos]

9.

(a)

Por utilizar la regla de la cadena f ′( x) = ( 2cos (5 x − 3) ) 5 ( = 10cos(5 x − 3) )

(M1) A1

f ′′( x) = − (10sen (5 x − 3) ) 5 = −50sen (5 x − 3)

A1A1

N2

A1A1

N2

Nota: Otorgue A1 por sen (5 x − 3) , y A1 por –50. (b)

2

∫ f ( x)dx = − 5 cos(5 x − 3) + c 2

Nota: Otorgue A1 por cos (5 x − 3) , y A1 por − . 5

[6 puntos]

– 43 –

Sección B 10.

(a)

por aplicar la regla del coseno a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos Aˆ por sustituir correctamente BC = 65 + 104 − 2(65)(104)cos 60 = 4225 + 10 816 − 6760 = 8281 ⇒ BC = 91 m 2

(b)

(c)

2

2

1 bc sen Aˆ 2 1 por sustituir correctamente y obtener un área = (65) (104)sen 60! 2 = 1690 3 (acepte p = 1690 )

por hallar el área por medio de la relación

(i)

(ii)

(iii)

⎛1⎞ A1 = ⎜ ⎟ (65)( x)sen 30! ⎝ 2⎠ 65 x = 4

por plantear A1 + A2 = A o por sustituir

A1 A1 (M1) A1 A1

AG

N2

N0

M1 A1 65 x + 26 x = 1690 3 4

169 x = 1690 3 4

4 ×1690 3 169 ⇒ x = 40 3 (acepte q = 40 ) x=

A1 A1 A1

Por darse cuenta de que los ángulos suplementarios tienen el mismo seno ˆ = 180! − ADB ˆ ⇒ sen ADC ˆ = sen ADB ˆ p.ej. ADC R1

(ii)

por hacer uso de la regla del seno para los triángulos ∆ADB y ∆ACD (M1) BD 65 BD sen 30! = ⇒ = por sustituir correctamente A1 ˆ ˆ sen 30! sen ADB 65 sen ADB DC 104 DC sen 30! = ⇒ = ˆ ˆ sen 30! sen ADC 104 sen ADC ˆ = sen ADC ˆ dado que sen ADB BD DC BD 65 = ⇒ = 65 104 DC 104 BD 5 ⇒ = DC 8

N1

(M1)

(i)

y

N2

A1

⎛1⎞ A2 = ⎜ ⎟ (104) ( x)sen 30! ⎝2⎠ = 26 x

por simplificar

(d)

(M1) !

N2

M1

A1 AG

N0 [18 puntos]

– 44 – 11.

(a)

Por tratar de obtener el vector unitario (eb ) en la dirección de b ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ Valores correctos = 4 2 2 2 ⎜ ⎟ 3 +4 +0 ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛ 0,6 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0,8 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ Por obtener la dirección del vector para b, vb = 18 × eb 1

⎛ 10,8 ⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜ 14, 4 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ Por utilizar la representación vectorial b = b0 + tvb ⎛ 0 ⎞ ⎛ 10,8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + t ⎜14, 4 ⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(b)

(i)

t = 0 ⇒ (49, 32, 0)

(ii)

Por obtener el módulo del vector velocidad Por sustituir correctamente vh = (− 48) 2 + (−24)2 + 62 −1

= 54 (km h )

(c)

(i)

(ii)

⎛ 10,8t ⎞ ⎛ 49 − 48t ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ En R, ⎜14,4t ⎟ = ⎜ 32 − 24t ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 6t ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 t = (= 0,833) (horas) 6

Por sustituir t = (9, 12, 5)

5 en la expresión de b o de h 6

(M1) A1

A1 (M1) A1 (M1) AG

N0

A1

N1

(M1) A1 A1

N2

A1

A1

N1

(M1) A2

N3 [15 puntos]

– 45 – 12.

(a)

2

Por hacer uso de la relación E ( X ) = ∑ x P( X = x)

(M1)

0

Por sustituir correctamente E ( X ) = 0 × = 0,8

(b)

(i)

3 6 1 + 1× + 2 × 10 10 10

A1 A1

N2

A1A1A1

N3

R R G

R G G Nota: Otorgue A1 por cada par de probabilidades complementario, 4 2 3 2 4 1 es decir, y , y , y . 6 6 5 5 5 5 (ii)

2 1 2 P (Y = 0) = × = 5 5 30

A1

⎛ 4 2 2 4⎞ P (Y = 1) = P( RG ) + P(GR ) ⎜ = × + × ⎟ ⎝ 6 5 6 5⎠ 16 = 30 4 3 12 P (Y = 2) = × = 6 5 30 Por formar una distribución

M1 A1 (A1) M1

y

0

1

2

P (Y = y )

2 30

16 30

12 30

N4

continúa en la página siguiente...

– 46 – Continuación de la pregunta 12 (c)

2 ⎛ 1⎞ ⎜= ⎟ 6 ⎝ 3⎠ 4 ⎛ 2⎞ P (Bolsa B) = ⎜= ⎟ 6 ⎝ 3⎠ Por sumar P ( A ∩ RR ) y P ( B ∩ RR) P (Bolsa A) =

(A1) (A1) (M1)

1 1 2 12 Por sustituir correctamente P ( RR ) = × + × 3 10 3 30 = 0,3

(d)

Por darse cuenta de que P (1 o 6 RR ) = P ( A RR ) =

A1 A1 P (A ∩ RR ) P (RR )

1 27 ÷ 30 90 = 0,111 =

N3

(M1) A1 A1

N2 [19 puntos]

– 47 – 13.

(a)

La curva corta el eje y cuando x = 0

(A1)

La pendiente de la tangente en su intersección con el eje y es = 2 1 ⇒ con lo que la pendiente de N es = − (= −0,5) 2

Por deducir que la intersección con el eje y ocurre para el valor 2,5 Por lo tanto, la ecuación de N es y = −0,5 x + 2,5 (b)

N corta la curva cuando −0,5 x 2 + 2 x + 2,5 = −0,5 x + 2,5 Por resolver la ecuación

A1 A1 A1 (AG)

N0

A1 (M1)

p.ej. dibujo aproximado, factorización ⇒ x=0 o x=5

A1

Otro de los puntos buscados es aquel para el cual x = 5 x = 5 ⇒ y = 0 (así, el otro punto es el (5, 0) )

(R1) A1

N2

Por usar un método adecuado, con sustracción/expresión correcta, límites correctos

M1A1

(c)

p.ej.

∫

5 0

5

5

0

0

(

)

f ( x)dx − ∫ g ( x) dx, ∫ −0,5 x +2,5 x dx

Área = 10, 4

2

A2

N2 [13 puntos]