NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA

OBJETIVOS

El propósito de este cuadernillo es que puedas recordar conocimientos básicos de matemáticas y su aplicación en el estudio de los números naturales. Al avanzar en las actividades de estudio descubrirás algunas curiosidades haciendo operaciones con números; verás la importancia de escribir las operaciones de modo que quede claro el orden en que deben resolverse; adquirirás mayor fluidez en los cálculos, mentales o por escrito; ampliarás tus conocimientos acerca de los diferentes significados de las fracciones como partes de un todo o bien relacionadas con la operación de división, las formas de escribirlas y operar con ellas.

TEMARIO 1) Concepto de número: Recta numérica y orden. Valor absoluto. Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Operaciones combinadas. Supresión de paréntesis, corchetes y llaves. TP N° 1. 2) Ecuaciones: Resolución de ecuaciones de primer grado.

Transposición de

términos. Problemas. TP N° 2. 3) Potenciación y radicación de números enteros: Propiedades. Resolución de ejercicios. TP N° 3. 4) Números racionales: Fracciones equivalentes. Reducción de fracciones. Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Problemas. TP N° 4.

A partir de aquí comienza tu tarea con las actividades de esta nivelación. Vas a usar conocimientos ya adquiridos para resolver nuevas situaciones que te permitan repasar tus ideas acerca del uso de los números y el significado de las operaciones, para resolverlas en forma ordenada y para poder recurrir a tus respuestas cuando necesites revisarlas. BIENVENIDOS…

Ing. Carina Martínez

Página 1 de 27

NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA

1 - CONCEPTO DE NÚMERO

El concepto de número ha estado con el hombre desde hace miles de años, desde los números naturales hasta el de los número complejos. Con los números expresamos cantidades y también medidas pudiendo además operar con ellos. Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral o cifra. Los números más conocidos son los Números Naturales, que se usan para contar. Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los Enteros. Cocientes de enteros generan los números Racionales. Si se incluyen todos los números que pueden expresarse con decimales pero no con fracciones de enteros, Irracionales, se habla entonces de los números Reales; si a éstos se les añaden los Números Complejos, se obtendrán todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Números Naturales: N = {1,2,3,…} Números Enteros: Z = {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} Números Racionales: Q = {x : x = a/b, donde a, b son enteros; con b distinto de 0} Números Irracionales: números reales que no son racionales.

RECTA NUMÉRICA Y ORDEN Para representar los números se construye una recta numérica escogiendo primero un punto en la recta que será un punto arbitrario al que se le llamará cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos en orden sucesivo y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos en orden sucesivo. Los números positivos se indican con el signo + o sin él. (Ejemplo 3 y +3 es la misma cantidad); los números negativos con el signo - (Ejemplo: -3). Se emplean los símbolos igual o menor que ≤, igual o mayor que ≥ para la ordenación de los números enteros. REPRESENTACIÓN GRÁFICA La recta numérica es un gráfico de una línea horizontal en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados espaciados uniformemente. Para representar estos números se seguirán los siguientes pasos: 1) Trazar una recta horizontal y cortarla en un punto, que será el punto cero (0). 2) En un segmento tomado como unidad, dar cortes en la recta horizontal.

Ing. Carina Martínez

Página 2 de 27

NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA

3) Cada corte dado en la recta representa un número entero. Los situados a la derecha del cero serán los enteros positivos y los situados a la izquierda serán los enteros negativos. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando hasta infinito en cada dirección.

Las flechas en los extremos de la recta sugieren que la línea continúa indefinidamente en las direcciones positiva y negativa. Comparación de números enteros Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. Ej: +8 > - 3 De dos números negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ej: - 2 > - 4 El cero es mayor que cualquier número negativo. Ej: 0 > - 6 Un número es mayor cuanto más a la derecha de la recta numérica esté situado.

VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número es la distancia que hay desde este número al cero. Es equivalente a escribir el número sin el signo. Se indica escribiendo el número entre dos barras. |− 3| = 3 Se lee “Valor Absoluto de menos tres es igual a tres”. |+ 5| = 5 Se lee “Valor absoluto de mas cinco es igual a cinco”. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera: Si el número es negativo, se convierte a positivo Si el número es cero o positivo, queda igual |7| = 7 |-7| = 7

|4| = 4 |-4| = 4

OPERACIONES: ADICIÓN Suma de números enteros del mismo signo. Para sumar números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos, y se deja el mismo signo. ( +3) + ( +2 ) = +5 ( -4 ) + ( -6 ) = -10

( +7 ) + ( +5 ) = +12 ( -1 ) + ( -6 ) = -7

Suma de números enteros de distinto signo. Para sumar números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos y se coloca el signo del que tiene mayor valor absoluto. ( -3 ) + ( +5 ) = +2 Ing. Carina Martínez

( +6 ) + ( -8 ) = -2 Página 3 de 27

NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA

Propiedades de la suma de números enteros El orden de los sumandos no cambia el resultado de la suma. Conmutativa ( -3) + ( -7 ) = -10 ( -7 ) + ( -3 ) = -10 Si se tienen varios sumandos, pueden asociarse como se quiera, sin que varíe el resultado. Asociativa [ ( -2) + ( +5)] + ( -8) = [ +3 ] + ( -8 ) = -5 ( -2 ) + [ ( +5 ) + ( -8 ) ] = ( -2 ) + [ -3 ] = -5 El elemento neutro de la suma de números enteros es el cero (0) ya que si se suma cero a cualquier número el resultado es el mismo Elemento número. neutro ( +8 ) + 0 = +8 ( -5 ) + 0 = -5 Dos números enteros son opuestos cuando tienen el mismo valor Elemento absoluto y distinto signo. Al sumarlos da el elemento neutro (0). opuesto ( +3 ) + ( -3 ) = 0 ( -7 ) + ( +7 ) = 0

OPERACIONES: SUSTRACCIÓN Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. ( +8 ) – ( +5 ) = ( +8 ) + ( -5 ) = +3 ( -1 ) – ( -8 ) = ( -1 ) + ( +8 ) = +7 ( -6 ) – ( +5 ) = ( -6 ) + ( -5 ) = -11 ( +4 ) – ( -5 ) = ( +4 ) + ( +5 ) = +9 Se propone una estrategia que da muy buen resultado: Puede asociarse el signo (+) a la idea de tener dinero y el (-) a deber dinero.

OPERACIONES: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN REGLA DE LOS SIGNOS El signo del resultado de una multiplicación (o división) de dos enteros depende de qué signos tengan estos:

El producto de signos iguales es positivo. El producto de signos contrarios es negativo. El cociente de signos iguales es positivo. El cociente de signos contrarios es negativo. 4 x 4 = 16 -4 x -4 = 16 4 x -4 = -16 -4 x 4 = -16 7 : -7 = -1 -12 : -3 = 4 Ing. Carina Martínez

Página 4 de 27

NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA

OPERACIONES COMBINADAS Suma y Resta 9−7+5+2−6+8−4= Comenzando por la izquierda, se reúnen los positivos y los negativos 9+5+8+2−7−6−4= Se suman positivos y negativos para obtener el resultado 24 − 17 = 7 Sumas, restas y productos 3·2−5+4·3−8+5·2= Se separan términos y resuelven primero los productos = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = Se efectúan las sumas y restas = + 12 + 10 + 6 − 5 − 8 = 15 28 − 13 = 15 Sumas, restas, productos y divisiones 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = Se separan términos y realizan los productos y cocientes en el orden en el que se encuentran = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = Efectuando las sumas y restas = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10 = 5 + 15 + 4 + 8 − 10 − 8 − 4 = 10 = 32 − 22 = 10

SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS, CORCHETES Y LLAVES Como reglas generales se utilizarán las siguientes: 1) Cuando no hay paréntesis, corchetes ni llaves, se separan términos y se resuelven primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios números positivos y negativos se agrupan y después se suman. 2) Cuando hay paréntesis, se hacen primero los cálculos del paréntesis y después para quitar el paréntesis se aplica la regla de los signos: signo que haya delante del paréntesis por signo que haya dentro. Luego como en el punto 1. 3) Cuando hay paréntesis, corchetes y llaves se resuelven primero los paréntesis, se quitan aplicando la regla de los signos. Después los corchetes y por último las llaves. Luego se realizan los productos y divisiones y finalmente las sumas. 4) Los signos + al principio del polinomio no se colocan. 5) Cuando se suprime un paréntesis que lleva delante el signo menos (-), se cambian todos los signos del interior del paréntesis. 6) Sumar por separado los enteros positivos, y por otro los enteros negativos, y hallar el resultado entre ambos. Supresión de paréntesis: (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)= Se efectúan en primer lugar las operaciones contenidas en ellos Ing. Carina Martínez

Página 5 de 27

NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )= Se quita el paréntesis cambiando los signos según corresponda = 15 − 4 + 3 − 12 + 10 + 5 + 4 − 5 + 10 − 8 = 15 + 3 + 10 + 5 + 4 + 10 − 4 − 12 − 5 − 8 = 47 − 29 = 18 Supresión de paréntesis y corchetes: [15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4)] − 3 + (8 − 2 · 3 ) = Primero se opera con las operaciones de los paréntesis = [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) Se realizan las sumas y restas de los paréntesis = [15 − 3] · [5 + 2] − 3 + 2 = [12] · [7] − 3 + 2 Se opera con los corchetes = 12 · 7 − 3 + 2 Se multiplica = 84 − 3 + 2 = 84 + 2− 3 = 86 − 3 = 83

Supresión de paréntesis, corchetes y llaves: 14 − {7 + 4 · 3 - [(-2.2) · (- 12)]} Primero se trabaja con las operaciones de los paréntesis, luego con los corchetes y por último se resuelven las llaves 14 − {7 + 4 · 3 - [(-4) · (-12)]} = 14 − {7 + 4 · 3 - 48} = 14 − {7 + 12 - 48} = 14 − 7 - 19 + 48 = 14 + 48 – 7 - 19 = 62 – 19 = =43 La supresión de paréntesis, corchetes y llaves se realiza considerando que: Si va precedido del signo +, se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga. Si va precedido del signo −, se cambiará de signo a todos los términos que contenga.

Ing. Carina Martínez

Página 6 de 27

NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA

TRABAJO PRÁCTICO N° 1

1) 2)

Representar en la recta numérica los siguientes números enteros: 0, +4, -3, +5. Representar en la recta numérica los siguientes números enteros: -2, -4, +3, +1, -4. 3) Añadir a cada número su correspondiente opuesto. +38 +12 -1 +10 -224 +3.657 4)

Escribe en orden de menor a mayor, todos los números enteros comprendidos entre: a) -3 y +5 b) - 7 y 0 c) -2 y +6 5) Ordena de mayor a menor los siguientes números, y después represéntalos en la recta numérica: +3, -2, +5, -1, +2, 0. 6) Escribe los números enteros comprendidos entre: a) - 3