Fuente: Universidad Católica de Chile

GUÍA PRÁCTICA N° 3 Plan Biólogo II

GEOMETR´IA ANAL´ITICA

1.

¿D´ onde?

En general, tanto para geometr´ıa anal´ıtica como para graficar funciones trabajaremos en el plano cartesiano ortogonal. Este plano posee 2 ejes perpendicular conocidos como: eje de las abcisas o x (horizontal) y el eje de las ordenadas o y (vertical). Para deteminar la posici´on de los puntos en el plano utilizamos un sistema de coordenadas respectivas a los ejes. y C(−1, 5) 5

II Cuadrante

I Cuadrante

4 3 A(4, 2)

2 1

−5

−4

−3

−2

1

−1 −1

2

3

4

5

−2 −3 B(−3, −4) III Cuadrante

D(5, −3)

−4 −5

IV Cuadrante

1

x

Ojo 1 Si A tiene coordenadas (x, y), entonces A est´ a en el 1. I Cuadrante, si x > 0 e y > 0. 2. II Cuadrante, si x < 0 e y > 0. 3. III Cuadrante, si x < 0 e y < 0. 4. IV Cuadrante, si x > 0 e y < 0. 5. Eje x, si x = 0. 6. Eje y, si y = 0. 7. Origen, si x = 0 e y = 0

2.

Trabajando con puntos... Dados dos puntos A = (x1 , y1 ) y B = (x2 , y2 ), entonces, seg´ un el Teorema de Pit´agoras, la distancia entre estos puntos est´a dada por la expresi´on p dAB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . Ojo 2 Si tenemos dos puntos, no importa cu´ al tomemos como A y cu´ al como B ya que (a − b)2 = (b − a)2 . Ojo 3 La distancia es siempre un n´ umero no negativo. y B

y2 +

y1 +



A 

|

x1

|

x2

B

y2 +


∆y

y1 +

A






∆x |

x1

|

x2

Dados dos puntos A = (x1 , y1 ) y B = (x2 , y2 ), entonces las coordenadas del punto medio del segmento AB est´an dadas por la expresi´on   x1 + x 2 y1 + y 2 MAB = , . 2 2



M

y

x 2

x

3.

y

Ecuaci´ on de la recta Se conoce como pendiente (m) de una recta a la tangente trigonom´etrica del a´ngulo de inclinaci´on (´angulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta), es decir, m = tan α =

L B

y2 +



y2 − y 1 ∆y = . ∆x x2 − x 1

Ojo 4 Una recta siempre posee la misma pendiente.

∆y A

y1 +

α



 ∆x

α

|

|

x1

Ojo 5 La pendiente de la recta nos dice c´ omo var´ıa verticalmente a medida que avanzamos horizontalmente.

x2

0 < α < 90o ⇐⇒ m > 0 L tiene pendiente positiva y

α = 0 ⇐⇒ m > 0

L es paralela al eje x y

L 

L α

x

0

0

x

90o < α < 180o ⇐⇒ m < 0 L tiene pendiente negativa y

α = 0 ⇐⇒ m no est´a definida L es paralela al eje y y L

L

 0

α x

3

0

x

x

Con esto, ya podemos establecer una ecuaci´ on para la recta. Es decir, para cualquier x, a trav´es esta ecuaci´on, podemos encontrar un y tal que la recta pasa por el punto (x, y). Sean (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) dos puntos por los que pasa la recta, entonces la ecuaci´on de ´esta est´a dada por y − y1 y1 − y 2 = x − x1 x2 − x 1

(1)

Notemos que el lado derecho de la ecuaci´on es la pendiente m de la recta, por lo tanto, podemos reescribir la ecuaci´on como y − y1 =m x − x1

(2)

Tambi´en podemos escribir y en funci´on de x como y − y1 = mx + (y1 − mx1 ), llamando coeficiente de posici´ on a n = (y 1 − mx1 ), entonces obtenemos y = mx + n

(3)

Es importante recalcar que si tenemos una ecuaci´on que relaciona dos variables como por ejemplo ax + by + c = 0,

(4)

con donde a, b y c son n´ umeros reales fijos, podemos escribirla tambi´en como una recta − −c y = a x+ . b b |{z} |{z} m

n

Finalmente, si en vez de y escribimos f (x), encontramos una funci´on lineal, como veremos m´as adelante.

Ojo 6 La ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se conocen como ecuaci´ on puntopunto, punto-pendiente, principal y general, respectivamente. Ojo 7 Si n es el coeficiente de posici´ on, entonces la recta interseca al eje y en (0, n). 4

4.

´ Angulos entre rectas

L1

Dos rectas son paralelas si y s´olo si sus pendientes son iguales. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces

y

L2

α

α

L1 //L2 ⇐⇒ m1 = m2 .

y

L2

x

L1 Dos rectas son perpendiculares si y s´olo si el producto de sus pendientes es −1. Sean L 1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces L1 ⊥ L2 ⇐⇒ m1 · m2 = −1.

x

1

Sean L1 y L2 dos rectas paralelas, entonces se cumple que

4

^1 = ^3 = ^5 = ^7

2 3

L1

L1 //L2

^2 = ^4 = ^6 = ^8 5 8

5

6 7

L2

5.

Ejercicios Sin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa. 1. Sean a y b n´ umeros enteros, de modo que a > b. Entonces, el punto D cuyas coordenadas son (a − b, b − a) se ubica en a) el primer cuadrante. b) el segundo cuadrante. c) el origen del sistema. d) el tercer cuadrante e) el cuarto cuadrante. 2. ¿Cu´anto mide el radio de una circunferencia de di´ametro AB determinado por los puntos A(−1, −5) y B(−7, 3)? a) 5

√ b) 2 2 √ c) 10 √ d) 4 2 e) 10 3. En la circunferencia del ejercicio anterior, ¿cu´ales son las coordenadas del centro? a) (−8, −2) b) (−4, −1)

c) (−3, −4)   7 3 d) − , − 2 2   9 1 e) − , − 2 2 4. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1, −1) y B(−6, 7) es 6 5 6 b) − 7

a) −

6

7 8 8 d) − 5 8 e) − 7 c) −

5. ¿Cu´al de los siguientes gr´aficos muestra una recta de pendiente positiva? a)

y

b)

y

y

c)

d)

y

e)

y

  x

x

x

x

6. Si los puntos A(2, 3), B(3, −2) y C(a, 8) son colineales, entonces a = a) 5 b) 3 c) 1 d) −3

e) −7

7. Dados los puntos A(2, 5), B(−1, −4), C(3, −1) y D(k, −3), ¿cu´anto ←→ debe ser el valor de k para que el producto de las pendientes de AB y ←→ CD sea −1? a) −9

b) −3 c) 3

d) 9 e) 15

7

x

8. La ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (4, −3) y tiene pendiente 2 − es 3 a) 2x + 3y + 17 = 0 b) 2x + 3y − 17 = 0 c) 2x + 3y − 6 = 0

d) 2x − 3y − 1 = 0

e) 2x + 3y + 1 = 0

9. La ecuacion de la recta que pasa por los puntos



1 1, 2



y



−3 −2, 2



es

3 a) y = x − 1 2 3 b) y = − x + 2 2 2 7 c) y = − x + 3 6 2 1 d) y = x − 3 6 2 1 e) y = x + 3 3 10. ¿Qu´e valor debe tener k para que las rectas 2x + ky = 0 y 3x − 5y = 6 sean perpendiculares? 10 3 6 − 5 6 5 5 4 10 3

a) − b) c) d) e)

8

11. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (4, −1) y es paralela a la recta 2y − x + 8 = 0? a) x − 2y − 2 = 0

b) 2x + y − 7 = 0

c) x − 2y + 6 = 0

d) x − 2y − 6 = 0

e) x − 2y + 9 = 0

12. En la figura, AB//CD. Si α = 6β − 280o , entonces, la clasificacion del angulo β corresponde a un a´ngulo a) agudo.

β

A

b) recto.

B

c) obtuso. d) extendido.

C

D

α

e) completo. 13. En la figura, AB//CD. ¿Cu´anto mide β? a) 15o C

b) 20o

D

β

c) 25o d) 30o e)

5β − 70◦

A

22,5o

14. En la figura, L1 //L2 . Luego, el valor del suplemento de ^x es a) 60o 100o

b) 70o c)

L1 x

80o

L2

d) 100o e) 120o

9

B

15. En la figura, L1 //L2 , L3 //L4 y α + β = 50◦ . Entonces, el suplemento de β es L3 L4 L1

a) 25o

β

b) 50o γ

c) 90o

L2

d) 130o e) 155o

α

16. ¿Cu´al de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuaci´on 4x − 3y + 2 = 0? a) (5, 6) b) (4, −6) c) (1, −2)

d) (−2, −2) e) (3, 4)

17. ¿Qu´e valor debe tener k para que la recta (k − 1)x + (2k + 1)y − 1 = 0 pase por el punto (2, 1)? a) 2 1 b) 2 c) 0 1 2 e) −2

d) −

10

18. ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la recta 2y + 3x − 12 = 0? I) II) III)

La recta intersecta al eje x en el punto (4, 0). La recta intersecta al eje y en el punto (0, 6). La pendiente de la recta es negativa.

a) S´olo III b) S´olo I y II c) S´olo I y III d) S´olo II y III e) I, II y III 19. Si la pendiente de una recta es −3 y su coeficiente de posici´on es 2, su ecuaci´on general es a) 3x + y + 2 = 0 b) 3x − y − 2 = 0

c) 3x + y − 2 = 0

d) 3x − y + 2 = 0

e) 2x − y − 3 = 0

20. En la figura, L1 , L2 , L3 y L4 son rectas tales que L3 //L4 y L3 es bisectriz del a´ngulo obtuso formado por L 1 y L2 . La medida de ^x es L1

L2

a) 20o L3

b) 30o c) 50o 2x

d) 60o

x + 30o

e) 70o

11

L4

21. Seg´ un el gr´afico de la figura, la ecuaci´on de la recta L es y a) 2x + 3y = 0 2 b) 3x + 2y − 6 = 0 

c) 3x + 2y − 4 = 0 d) 2x − 3y + 6 = 0 

3 x

e) 2x + 3y − 6 = 0

L −−→ 22. En el tri´angulo ABC, AB//OX. Si m1 , m2 y m3 son las pendientes de AB, BC y CA, respectivamente, entonces un orden creciente est´a representado por C y a) m1 < m2 < m3 b) m3 < m1 < m2 c) m2 < m1 < m3  d) m2 < m3 < m1

x A

e) m3 < m2 < m1

B

23. ¿Cu´ales son, respectivamente, los valores de la pendiente y del coeficiente de posici´on de la recta 3x + 2y + 6 = 0? a) −3 y −6. 3 b) − y 3. 2 3 c) y −3. 2 3 d) − y −3. 2 3 e) y 3. 2

12

1 24. La ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (5, 1) y de pendiente − 3 es a) x + 3y − 16 = 0 b) x + 3y − 8 = 0

c) x + 3y + 2 = 0

d) x − 3y + 8 = 0

e) x + 3y − 2 = 0

25. La ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos A(−2, 4) y B(−7, −12) es a) 16x − 9y + 4 = 0

b) 16x + 5y + 12 = 0 c) 5x − 16y + 74 = 0

d) 16x − 5y − 74 = 0

e) 16x − 5y + 52 = 0

26. ¿Cu´al de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuaci´on y − b = 0? a) La recta paralela al eje y que pasa por el punto (b, 0). b) La recta paralela al eje y que pasa por el punto (0, b). c) La recta paralela al eje x que pasa por el punto (b, 0). d) La recta paralela al eje x que pasa por el punto (0, b). e) La recta que pasa por los puntos (0, 0) y (b, b). 27. El punto P de ordenada 10 est´a en la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7, −2). Entonces, la abscisa de P es a) 11. 29 b) . 3 c) 7 d) −1

e) −3

13

28. En una panader´ıa la relaci´on entre el costo de fabricaci´on del pan y su precio de venta es lineal. El costo de un kilogramo de pan blanco es de $320 y se vende en $600; un kilogramo de pan dulce tiene un costo de $680 y se vende en $1.050. Si el costo de un kilogramo de pan negro es de $340, ¿cu´al es su precio de venta? a) b) c) d) e)

$637, 5 $625 $620 $616 $525

29. Se puede determinar la pendiente de una recta L si: (1) (2) a) b) c) d) e)

La recta L pasa por el punto (−2, 0). El a´ngulo formado por la recta L y el eje x es 45 o . (1) por s´ı sola. (2) por s´ı sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por si sola, (1) o´ (2). Se requiere informaci´on adicional.

30. Se puede determinar la ecuaci´on de una recta si: (1) (2) a) b) c) d) e)

Se conoce la pendiente y el punto donde la recta corta al eje y. Se conoce la distancia entre dos puntos de ella. (1) por s´ı sola. (2) por s´ı sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por si sola, (1) o´ (2). Se requiere informaci´on adicional.

1E 6C 11 D 16 D 21 E 26 D

2A 7C 12 A 17 B 22 C 27 A

3B 8E 13 E 18 E 23 D 28 B 14

4E 9D 14 D 19 C 24 B 29 B

5C 10 C 15 E 20 C 25 E 30 A