Walter Orlando Gonzales Caicedo

RENTAS Y ANUALIDADES En el campo de las finanzas, se presentan diversas modalidades o formas de pago de una deuda, de acuerdo a la naturaleza de la misma. Cuando usamos el término anualidad, nos da la impresión de que los pagos son anuales pero en un sentido más amplio, significa una serie de pagos iguales en periodos de tiempo también iguales, que no necesariamente tienen que ser años sino que pueden ser semestres, trimestres o de series de tiempo de cualquier otra duración. 1 DEFINICIÓN: Se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo; no siempre se refiere a periodos anuales de pago. 2 TIPOS DE ANUALIDADES. La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas. Entre las cuales tenemos:  Tiempo: 1. Ciertas 2. Contingentes  Intereses: 3. Simples 4. Generales  Pagos: 5. Vencidas 6. Anticipadas  Iniciación: 7. Inmediatas 8. Diferidas A) De acuerdo a las fechas de iniciación y de terminación de las anualidades son: 1) ANUALIDADES CIERTAS: Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último pago. 2) ANUALIDAD CONTINGENTE: La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas no se fijan de antemano. Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge, que no se sabe exactamente cuándo.

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo B) De acuerdo a los intereses, o mejor dicho, a su periodo de capitalización, las anualidades se clasifican en: 3) SIMPLES: Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable mensualmente. 4) GENERALES: Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente. C) De acuerdo con los pagos las anualidades son: 5) VENCIDAS. Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. 6) ANTICIPADAS. Los pagos se efectúan al principio de cada periodo. D) De acuerdo al momento en que se inician: 7) INMEDIATAS. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Ejemplo: se compra un articulo a crédito hoy, que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (puede ser así, anticipada o vencida). 8) DIFERIDAS. La realización de los cobros o pagos se hace tiempo después de la formalización del trato (se pospone). Ejemplo: Se adquiere hoy un articulo a crédito para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida a la mercancía.

PROBLEMAS DE ANUALIDADES VENCIDAS U ORDINARIAS FORMULAS:

VF

P

(1 i ) n 1 i

VA

P

(1 i ) n 1 i(1 i) n

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo

(1 VF

P

i n.m ) 1 m i m

i n.m ) 1 m P i i n.m (1 ) m m (1

VA

Donde: VF = Valor Futuro de una anualidad P = Pago periódico de una anualidad VA = Valor Actual o presente de una anualidad n = número de periodos de pago i = tasa de interés m = números de capitalizaciones al año 1. Un señor decide depositar US$1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna para cada cumpleaños de su hija. Calcular la suma que tendrá a disposición cuando ella tenga 18 años. SOLUCIÓN: Tenemos: P = US$1.500 i = 8% = 0,08 n = 18 años VF = ? Entonces:

(1 i ) n 1 i

VF

P

VF

1.500

VF

US $ 56.175,37

(1 0,08)18 1 0,08

2. Una persona deposita S/ 1.000 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años. Tenemos: P = S/ 1.000 i = 6% = 0,06 m = 12 n = 20 años VF = ? Entonces:

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo

i n.m ) 1 m VF P i m 0,06 12( 20) (1 ) 1 (1,005 ) 240 1 12 VF 1.000 1.000 0,06 0,005 12 VF S / 462 .040 ,895 3. Una mina en explotación tiene una producción anual de US$ 8’000.000,00 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%. (1

Tenemos: P = US$ 8’000.000,00 i = 8% = 0,08 n = 10 años VA = ? Entonces:

VA

P

(1 i ) n 1 i(1 i) n

VA 8'000 .000 ,00

(1 0,08)10 1 0,08(1 0,08)10

VA US $ 53'680.651 ,19 4. Calcular el valor presente de una serie de pagos de S/ 5.000,00 cada uno, efectuados ordinariamente y en forma semestral durante 7 años y 6 meses al 16% anual con capitalización semestral. Tenemos: P = S/ 5.000,00 i = 16% = 0,16 n = 7 años y 6 meses =7,5 años m=2 VA = ? Entonces:

i n.m ) 1 m P i i n.m (1 ) m m (1

VA

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo

0,16 7,5( 2) ) 1 2 5.000 0,16 0,16 7,5( 2) (1 ) 2 2 S / 42.797,39 (1

VA

VA

5.000

(1 0,08)15) 1 0,08(1 0,08)15)

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº03 Resolver los siguientes problemas 1) Hallar el monto de una serie de cuatro pagos de S/. 56.000 al final de cada año, colocado al 20% de interés compuesto con capitalización anual. Rpta: S/. 300.608 2) ¿Cuál será el capital acumulado al cabo de 10 años, mediante pagos al final de cada semestre de S/. 23.500 a la tasa de interés compuesto del 15% anual con capitalización semestral? Rpta: S/. 1’017.660 3) Una persona espera recibir, ordinariamente, durante los próximos 8 años la cantidad de S/. 12.000 nuevos soles anuales, por concepto de dividendos que una empresa le adeuda; pero nuestro personaje desea negociar actualmente dicha renta al 18% anual de interés compuesto. Determinar a cuánto asciende la cantidad a recibir. Rpta: S/. 48.930,79 4) Calcular el valor presente de una serie de pagos de S/. 8.000 cada uno, efectuados ordinariamente y en forma semestral durante 5 años y 6 meses al 13 % anual con capitalización semestral. 5) Se desea saber el valor de la cuota, para acumular S/. 27.000 en ocho entregas ordinarias anuales, capitalizable anualmente al 25% de interés anual. Rpta: S/.1.360,76 6) Se desea saber cuál será el valor de la cuota ordinaria semestral para acumular la cantidad de S/. 1’017.660 en un período de 10 años, a una tasa de interés compuesto del 15% anual con capitalización semestral. Rpta: S/. 23.500 7) Supongamos que usted, obtiene un préstamo de S/. 10.000 al 16% de interés compuesto anual para ser devuelto en 10 pagos al final de cada año. ¿Cuánto deberá abonar en cada pago? Rpta: S/. 2.069 8) ¿Cuántos pagos semestrales de S/. 600 deberán hacerse para cancelar una deuda de S/.4.500 al 7% anual con capitalización semestral? Rpta: 4,4255 años equivalente a 8,853 períodos semestrales.

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo

9) Una persona desea saber a cuánto ascenderá el monto de sus depósitos de cada fin de año de S/. 1.400 anuales durante 5 años, al 18% anual con capitalización bimestral. Rpta: S/. 66.605,58 10) ¿Cuánto deberá depositarse trimestralmente en una cuenta de ahorros, que paga el 16% convertible trimestralmente, durante 3 años para comprar un automóvil que cuesta US$ 8.000 al tipo de cambio de S/. 2,85. 11) Calcular el valor presente de una serie de depósitos de S/.500,00 nuevos soles mensuales, durante 3 años, a la tasa del 2% mensual. 12) Un préstamo de S/. 5.000 debe cancelarse en un plazo de un año, con cuotas ordinarias mensuales al 36% anual capitalizable mensualmente. Calcular el valor de cada cuota. 13) ¿Cuántas cuotas ordinarias de S/. 1.650 serán necesarias para cancelar un préstamo de S/. 8.500, al 24% anual con capitalización mensual. 14) Un comerciante después de 20 años después de haber depositado en un banco la cantidad de S/. 1.000 al final de cada año, desea retirar totalmente su dinero para invertirlo en un negocio si el banco paga el 22% anual capitalizable trimestralmente. ¿A cuánto ascenderá el monto a recibir?

PROBLEMAS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS O DE IMPOSICIÓN FORMULAS: (1 i ) n 1 VF P (1 i ) i

(1 VF

P

i n.m ) 1 i m (1 ) i m m

VA

(1 i ) n 1 P (1 i ) i (1 i ) n

i n.m ) 1 i m P (1 ) i i n.m m (1 ) m m (1

VA

Donde: VF = Valor Futuro de una anualidad P = Pago periódico de una anualidad VA = Valor Actual o presente de una anualidad n = número de periodos de pago i = tasa de interés

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo m = números de capitalizaciones al año 1 ¿Qué monto se acumulara al término del cuarto mes, si el día de hoy y durante 3 meses consecutivos se depositan US$ 100 en una cuenta de ahorros percibiendo una TNM del 2%? SOLUCIÓN: Tenemos: VF = ? P = US$100 TNA = i = 2% = 0,02 n = 4 meses Entonces:

VF

P

VF

(1 i ) n 1 (1 i ) i

100

(1 0,02 ) 4 1 (1 0,02) 0,02

VF US $ 420,40 2 Si deposito US$ 150 mensualmente empezando el día de hoy, a una tasa del 40% anual capitalizable trimestralmente ¿Cuanto tendrá dentro de 3 años? SOLUCIÓN: Tenemos: VF = ? P = US$150 i = 40% = 0,40 n = 3 años m=4 Entonces: i n.m (1 ) 1 i m VF P (1 ) i m m

0,4 3( 4) ) 1 0,4 (1 0,1)12 1 4 150 (1 ) 150 (1 0,1) 0,4 4 0,1 4 US $ 3.528 ,41 (1

VF

VF

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo 3 Un departamento es alquilado por 4 meses con pagos adelantados de US$ 500. ¿Cuál es el valor actual del contrato de arriendo aplicando una TEM del 3%? SOLUCIÓN: Tenemos: VA = ? P = US$ 500 TEM = i = 3% = 0,03 n = 4 meses Entonces:

VA

(1 i ) n 1 P (1 i ) i (1 i ) n

VA

(1 0,03) 4 1 500 (1 0,03) 0,03(1 0,03) 4

VA US$ 1.914,31

4 Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de US$ 3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente. SOLUCIÓN: Tenemos: VA = ? P = US$ 3.000 i = 12% = 0,12 m = 12 n = 15 años Entonces: i n.m (1 ) 1 i m VA P (1 ) i i n.m m (1 ) m m

0,12 12(15) ) 1 0,12 12 3.000 (1 ) 0,12 0,12 12(15) 12 (1 ) 12 12 US$ 252.464,64 (1

VA

VA

3.000

(1 0,01)180 1 (1 0,01) 0,01(1 0,01)180

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº04 Resolver los siguientes problemas 1. Una compañía deposita a principio de cada año S/. 20.000 en una cuenta de ahorros que paga el 12% de interés compuesto anual. ¿A cuánto ascenderá los depósitos al cabo de 5 años? Rpta: S/. 142.303,78

2. ¿Cuál será el monto de una serie de uniforme de pagos de S/. 2.000 al inicio de cada semestre durante 3 años al 16% anual con capitalización semestral?

Rpta: S/. 15.845,60

3. Una empresa pesquera, alquila un edificio para el funcionamiento de sus oficinas administrativas por S/. 4.000 nuevos soles mensuales y propone al propietario pagar el alquiler en forma anual y por adelantado, si la tasa de interés compuesto es del 12% anual con capitalización mensual. ¿Cuánto pagará la empresa anualmente?

Rpta: S/. 45.470,51

4. Hallar el valor de la cuota anticipada que nos permita acumular S/. 27.000 en 8 entregas anuales, impuestas al 25% de interés compuesto anual.

Rpta: S/. 1.088,61

5. Se desea saber cuál será el valor de la cuota anticipada semestral, para acumular la cantidad de S/. 1’017.660 en un período de 10 años a una tasa de interés compuesto del 15% anual con capitalización semestral. Rpta: S/. 21.860,46

6. Supongamos que usted, obtiene un préstamo de S/. 10.000 al 16 % de interés compuesto anual para ser devuelto en 10 pagos al principio de cada año. ¿Cuánto deberá abonar en cada pago?

www.goncaiwo.wordpress.com

Rpta: S/. 1.783,63

Walter Orlando Gonzales Caicedo 7. Una empresa obtiene un préstamo de S/. 850.000 y desea saber el valor de la cuota anticipada trimestral que le permita liquidar dicho préstamo en 5 años, si la tasa de interés es del 22% anual con capitalización trimestral.

Rpta: S/. 67.419,36

8. Una persona deposita en una cuenta de ahorros US$ 150 al principio de cada mes. Si la cuenta le paga un 3% mensual de interés. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer pago? 9. Cuanto tendrá que depositar mensualmente durante un año empezando hoy para juntar S/. 7.300 si se considera una taza interés de 3% capitalizable mensualmente. 10. Se obtuvo un monto de US$ 730.80 en pagos mensuales de US$ 50,00 durante un año ¿Qué tasa de interés se aplico?

PROBLEMAS DE ANUALIDADES DIFERIDAS Y RENTAS PERPETUAS Formulas para anualidades diferidas son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia. 1 Calcule el valor presente de una renta ordinaria de S/. 1.200 mensual a recibirse después de transcurridos tres meses y durante el plazo de un año, a una TEM del 4% SOLUCIÓN: P P P 0

1

2 3 1 2

k Plazo diferido Tenemos:

3

P … P P P 4 …

P

9 10 11 12

n Plazo de la anualidad Fecha focal

VA = ? P = S/. 1.200

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo TEM = i = 4% = 0,04 n = 1 año = 12 meses k = 3 mese Entonces:

(1 i ) n 1 P (1 i ) -k n i (1 i )

VA

(1 0,04)12 1 VA 1.200 (1 0,04) -3 12 0,04(1 0,04) VA

S / . 10.011,96

2 Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de US$ 2.400.000. suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, calcular el valor futuro de la renta que espera obtenerse. SOLUCIÓN: P 0

1

2 3 4 5 6

k Plazo diferido Tenemos:

P P P P P

1 2

3 4

5

VF = ? P = US$ 2.400.000 i = 8% = 0,08 n = 15 años k = 6 años Entonces:

P

(1 i ) n 1 i

www.goncaiwo.wordpress.com

P

7 … 15

n Plazo de la anualidad Fecha focal

VF

6

P

Walter Orlando Gonzales Caicedo

(1 0,08)15 1 0,08

VF

2.400.000

VF

65 .165 .073,43

3 ¿Qué capital debe colocarse hoy en un banco a una tasa de TEM del 4%, para disponer, después de transcurrido un año, una renta mensual de US$ 500 al comienzo de cada mes, durante los cinco años siguientes?

SOLUCIÓN: P P 0

1

P P P P P

2 3 …. 11 12 1 2

k Plazo diferido

3 4

5

6

7 … 60

n Plazo de la anualidad

Tenemos:

Fecha focal

VA = ? P = US$ 500 TEM = 4% = 0,04 n = 5 años = 60 meses k = 1 año = 12 meses

k

P… P

(1 i ) n 1 i (1 i) n

VA

P(1 i )1

VA

500 (1 0,04 )1 13 12

(1 0,04 ) 60 1 0,04 (1 0,04 ) 60

(1,04 ) 60 1 0,04 (1,04 ) 60

VA

500 (1,04 )

VA

US$ 7.347 ,89

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº05 Resolver los siguientes problemas

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo 1 Calcular el valor futuro de una anualidad ordinaria de S/. 5.000 cada semestre, si el primer pago debe efectuarse dentro de 2 años y se continua por espacio de 4 años más, a la tasa de interés compuesto del 12% anual con capitalización semestral. Rpta: S/. 57.456,58 2 Calcular el valor futuro de una anualidad anticipada de S/. 5.000 cada semestre, si el primer pago debe efectuarse dentro de 2 años y se continúa por espacio de 4 años más, a la tasa de interés compuesto del 12% anual con capitalización semestral. Rpta: S/. 60.903,97 3 Con los datos del ejercicio anterior (1) determinar el valor actual de la anualidad diferida. Rpta: S/. 30.267,41 4 Un ahorrista deposita S/. 60.000 en un banco que paga el 14% de interés anual para que, dentro de 5 años empiece a recibir una renta semestral durante 10 años más. Hallar la renta semestral a recibir. Rpta: S/. 10.180,17 5 Un ahorrista deposita S/. 60.000 en un banco que paga el 14% de interés anual con capitalización semestral, para que dentro de 5 años empiece a recibir una renta a principio de cada semestre durante 10 años más. Hallar la renta semestral a recibir. Rpta: S/. 9.514,18

www.goncaiwo.wordpress.com