Matemática Estándares para la formación en Ciencias de profesores de Enseñanza Media

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Patricio Felmer Alicia Labra Salomé Martínez

Proyecto Fondef D02I 1090

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˜ Matem´atica .:. Est´andares para la formaci´on en Matem´atica de Profesores de Ensenanza Media

ESTANDARES PARA LA FORMACION EN MATEMATICA DE PROFESORES ˜ DE ENSENANZA MEDIA

Introducci´on El conjunto de est´andares que se presentan en este documento apuntan a los fundamentos disciplinarios que la formaci´on de un Profesor de Ense˜nanza Media de Matem´atica deber´ıa tener. El desarrollo de estos est´andares se enmarca en una tendencia mundial que se basa en la necesidad de medir la efectividad de las pol´ıticas educacionales a todo nivel. En el caso de la formaci´on de profesores, la idea b´asica es determinar cu´ales son los contenidos disciplinarios fundamentales que todo profesor debe saber y ser capaz de aplicar. Estos t´opicos fundamentales podr´ıan ser presentadas en un listado de contenidos, como tradicionalmente se hace. As´ı se podr´ıa decir que una instituci´on cumple con los requerimientos cuando ‘pasan la materia’ que se indica en el listado de contenidos. La definici´on de est´andares, como se hace en este documento, busca cambiar la perspectiva. Ya no importa si se han impartido los contenidos indicados en los programas, si no lo que los estudiantes saben y son capaces de hacer. Este cambio de punto de vista requiere especificar con mayor detalle lo que se espera de los estudiantes durante y al t´ermino de su proceso de formaci´on. Las habilidades y conocimientos que un estudiante de Pedagog´ıa en Matem´atica debe tener se ordenan por ejes tem´aticos y se desarrollan en 4 niveles. Para cada eje y cada nivel se especifica qu´e es lo que se espera de los alumnos con una frase del tipo “el alumno es capaz de...” a lo cual generalmente le siguen uno o m´as problemas tipo que aclaran y acotan el contenido de la frase. Ciertamente la formaci´on de un profesor requiere de elementos que van m´as all´a de lo disciplinario y que se enmarcan en la metodolog´ıa del aprendizaje, la did´actica y las ciencias pedag´ogicas en general. Estos aspectos, si bien son de la mayor importancia, de ning´un modo deben opacar lo disciplinario.

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En esta l´ınea quisi´eramos llamar la atenci´on sobre un aspecto que nos parece negativo, y que hemos observado en la pr´actica de la formaci´on de profesores. Se trata de la tendencia a pensar que aquellos contenidos que el profesor no ense˜nar´a en la sala de clases de Ense˜nanza Media son una especie de relleno, que no tiene gran importancia frente a las materias escolares propiamente tales. Pensamos que este es un profundo error. Un profesor debe saber Matem´atica, debe conocer su disciplina con tal soltura que le permita sentirse seguro en lo que finalmente va a ense˜nar. En la preparaci´on de estos est´andares hemos tenido en cuenta los siguientes elementos, los que nos han permitido seleccionar material y determinar la profundidad requerida para cada t´opico seleccionado:

.:.

La formaci´on de un profesor debe darle soltura en el manejo de todas las materias que deber´a ense˜nar en la sala de clases. Debe otorgar una preparaci´on s´olida que le permita al profesor, en el futuro, enfrentar los cambios curriculares que con certeza se presentar´an.

.:.

Esta formaci´on debe dar la perspectiva que le permita al profesor ubicarse en el contexto de la Matem´atica, adquiriendo una visi´on global de la disciplina.

.:.

El Profesor de Matem´atica debe tener un manejo del pensamiento matem´atico y de los fundamentos de la Matem´atica que le permitan entender c´omo e´ sta se construye.

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El Profesor debe tener una buena noci´on de los aspectos abstractos de la Matem´atica, los que muchas veces est´an desarrollados como una necesidad de responder a preguntas fundamentales, sin tener necesariamente una aplicaci´on pr´actica inmediata.

.:.

El Profesor de Matem´atica debe tener muy claro el rol de la Matem´atica en la resoluci´on de problemas de la vida diaria. Debe conocer la enorme utilidad pr´actica de la Matem´atica y entender que este aspecto estimula continuamente su desarrollo.

.:.

En relaci´on a los dos puntos anteriores, el Profesor de Matem´atica debe conocer aspectos hist´oricos del desarrollo de la Matem´atica, especialmente para comprender qu´e problemas motivaron los desarrollos matem´aticos y el contexto en el cual se dieron.

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El Profesor de Matem´atica tiene una clara noci´on de la importancia de la idea de algoritmo, la cual se hace imprescindible con el advenimiento de los computadores.

.:.

El Profesor de Matem´atica sabe que la disciplina est´a en constante creaci´on y conoce desarrollos matem´aticos recientes, como la teor´ıa del caos y la geometr´ıa fractal.

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˜ Matem´atica .:. Est´andares para la formaci´on en Matem´atica de Profesores de Ensenanza Media

Ejes para los Est´andares de Matem´aticas Los est´andares que se presentan en este documento se han organizado en 7 ejes tem´aticos. Los ejes cubren todos los temas que se proponen como fundamentales y los niveles permiten organizar el material desde el punto de vista l´ogico y en general en un nivel creciente de complejidad. Si bien la estructura de los est´andares podr´ıa sugerir una secuencia de cursos, pensamos que hay posibilidades de interpretaci´on que pueden dar origen a mallas curriculares muy distintas, con e´ nfasis diferentes y naturalmente con metodolog´ıas diversas. Los ejes tem´aticos son:

Eje 1: Fundamentos y Algoritmos. Eje 2: Estructuras Algebraicas. Eje 3: Algebra Lineal. Eje 4: An´alisis. Eje 5: Geometr´ıa. Eje 6: Probabilidades. Eje 7: Estad´ıstica.

Los Est´andares de Matem´aticas en relaci´on con el Curr´ıculo y los ˜ Est´andares para Ensenanza Media Los est´andares para la formaci´on de profesores de Matem´atica est´an en concordancia con los programas de Ense˜nanza Media vigentes, en el sentido que un profesor formado de acuerdo a e´ stos posee todos los conocimientos disciplinarios necesarios para su adecuado desempe˜no profesional. As´ı es como, teniendo en cuenta los cambios curriculares recientes, se ha incluido materias como programaci´on lineal, estad´ıstica y probabilidades con bastante profundidad. A´un teniendo en vista lo anterior, pensamos que una implementaci´on curricular de estos est´andares para la formaci´on de profesores de Matem´atica, debe incluir un estudio y an´alisis completo de todo el programa de Ense˜nanza Media. A trav´es de este estudio, el estudiante debe conectar muy fuertemente los amplios conocimientos que posee con los contenidos de la Ense˜nanza Media y la forma de ense˜narlos.

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Para la lectura de este documento de Est´andares Para la adecuada lectura y comprensi´on de los est´andares presentados en este documento es necesario tener en cuenta algunos puntos que se precisan. Los autores est´an conscientes que muchos temas tratados en estos est´andares pueden estar ausentes de algunos programas, o estando presentes, pueden ser tratados con una menor profundidad. Tambi´en entienden que la actual planificaci´on curricular de algunos programas no permite, por cuestiones de tiempo, que sus alumnos logren los est´andares aqu´ı establecidos. Es necesario tener presente entonces, que el logro de los est´andares no est´a dirigido a los actuales estudiantes de pedagog´ıa en Matem´atica, si no a los futuros. Esta propuesta se concibe como un primer paso para que gradual y sostenidamente se mejore la formaci´on de profesores. Se entiende que la adopci´on de estos est´andares puede requerir cambios curriculares que lleven a la definici´on de nuevos cursos y a la readecuaci´on de los tiempos de dedicaci´on a los distintos aspectos de la formaci´on. En una primera lectura se puede llegar a pensar que estos est´andares no destacan adecuadamente los temas y las habilidades correspondientes y que no ponen e´ nfasis en los aspectos m´as importantes. Una segunda lectura requiere que el lector comprenda que la profundidad y extensi´on que un determinado tema tiene, est´a expresada en los enunciados y con mayor precisi´on en los indicadores de logros y ejemplos. De esta manera un tema que tiene solamente un indicador es ciertamente menos importante que un tema al cual se han asociado dos o tres indicadores. Tambi´en es posible que frente a un determinado tema, el lector se deja llevar por su propia percepci´on de e´ ste y no repare en la verdadera dimensi´on que se propone a trav´es de los indicadores y ejemplos. A modo de ejemplo consideremos la llamada ‘Teor´ıa de Grafos’, que es una hermosa teor´ıa matem´atica que combina aspectos abstractos con m´ultiples aplicaciones. Una lectura cuidadosa de estos est´andares deber´ıa llevar a notar que no se propone que el estudiante de pedagog´ıa en Matem´atica sea un conocedor de la Teor´ıa de Grafos en gran profundidad, si no que e´ ste conozca s´olamente los aspectos m´as elementales de ella: se quiere que el estudiante conozca lo que expl´ıcitamente se indica y no m´as que eso, que corresponde a los problemas emblem´aticos y a ciertos algoritmos b´asicos, entre los cuales el u´ nico que no es elemental es el algoritmo para Flujo en Redes.

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b

Eje 1

c

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f

d e

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Fundamentos y Algoritmos

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j

Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos

FUNDAMENTOS Y ALGORITMOS Descripci´on General Toda la estructura de la Matem´atica est´a basada y construida sobre los pilares de la L´ogica y la Teor´ıa de Conjuntos. Es mediante estos elementos que es posible describir afirmaciones en forma precisa y determinar la veracidad de e´ stas sin ambig¨uedad. Un Profesor de Matem´atica tiene soltura para manejar proposiciones l´ogicas y operaciones entre conjuntos. Integra estos aspectos abstractos en la demostraci´on concreta de propiedades, proposiciones y teoremas de distintos a´ mbitos de la Matem´atica. Conoce los distintas esquemas l´ogicos de demostraci´on, como por ejemplo, demostraci´on por contradicci´on y es capaz de dar contraejemplos. Pero un nivel superior en la comprensi´on de la Matem´atica requiere de un an´alisis del m´etodo matem´atico en s´ı. El profesor conoce el m´etodo axiom´atico, sus alcances y limitaciones. Conoce la construcci´on axiom´atica de los n´umeros reales, de la geometr´ıa y de la Teor´ıa de Conjuntos. Las paradojas cl´asicas de la Teor´ıa de Conjuntos le son familiares y conoce la manera de evitarlas. El profesor conoce estructuras matem´aticas discretas como son los grafos y a´ rboles. Estas estructuras simples proveen de un rico marco para el desarrollo de la capacidad de inventar demostraciones. Por otra parte e´ stas se relacionan con numerosas aplicaciones a distintos a´ mbitos, contestando as´ı de manera muy simple, pero completa, a la pregunta ¿para qu´e sirve la Matem´atica? Muchos de los modelos que aqu´ı aparecen pueden ser traspasados de manera directa al aula. Tambi´en son muy apropiados para el desarrollo de trabajos de investigaci´on. Finalmente es necesario que el profesor conozca muy bien el concepto de algoritmo y su rol en la Matem´atica moderna. En particular, debe ser capaz de inventar algoritmos para resolver problemas y analizar su complejidad en situaciones simples.

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Cuadro sinóptico Niveles del eje

Nivel 1

Nivel 2

El estudiante opera con conectivos lógicos y establece el valor de verdad de una proposición. El alumno comprende la relación entre las proposiciones lógicas y circuitos eléctricos simples. El estudiante se familiariza con los cuantificadores, sus negaciones y adquiere habilidad para demostrar teoremas simples, usando las técnicas básicas de demostración.

El estudiante es capaz de resolver ecuaciones en diferencias sencillas. Usa ecuaciones en diferencias para modelar ciertas situaciones de la vida real, como la dinámica de una población. Analiza el comportamiento de largo plazo de un sistema dinámico discreto unidimensional y conoce el sistema logístico y su relación con la Teoría del Caos.

En este nivel el alumno también conoce la definición de relación, de función y demuestra propiedades. Describe relaciones entre conjuntos finitos a través de matrices de incidencia. Identifica funciones inyectivas, epiyectivas y biyectivas.

El estudiante entiende el concepto de algoritmo y lo aplica para resolver problemas sencillos. Analiza un algoritmo en términos del número de operaciones que este requiere. El alumno conoce la estructura de grafos y se familiariza con dos problemas paradigmáticos de la Teoría de Grafos como el de los puentes de Königsberg y el coloreado de mapas. El alumno modela problemas de la realidad usando grafos y árboles. Conoce y aplica algoritmos para resolver dichos problemas.

El estudiante conoce el principio de Inducción Matemática y aprecia su rol en la demostración de propiedades que involucran números naturales. Comprende la definición de sucesiones por recurrencia.

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Eje 1: Fundamentos y Algoritmos Nivel 3

Nivel 4

El estudiante comprende el concepto de cardinalidad de un conjunto y entiende el significado de conjunto enumerable. El alumno es capaz de determinar la cardinalidad de un conjunto, usando las propiedades básicas. Entiende el rol histórico que el concepto de infinito ha jugado en el desarrollo de la Matemática.

El alumno formaliza el Método Axiomático como método para construir la Matemática. Reconoce el Método Axiomático en geometría. Conoce los elementos básicos de la Teoría de Conjuntos siguiendo la axiomática de Zermelo, en particular conoce el significado del Axioma de Elección y algunas de sus consecuencias vistosas como que `todo espacio vectorial posee una base'. El alumno conoce la paradoja de Russell.

El alumno utiliza los axiomas de cuerpo y de orden para construir los números reales. Usa el axioma del supremo para demostrar la existencia de números irracionales, como 2 y para introducir la noción de completitud de los números reales de manera rigurosa. El alumno comprende las nociones topológicas elementales de conjunto abierto, cerrado, de puntos de acumulación. En particular el alumno demuestra el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Comprende la noción de conjunto compacto y reconoce el conjunto de Cantor como uno de ellos.

El alumno comprende la construcción del conjunto de los números naturales a partir de la Teoría de Conjuntos. Y a partir de aquí la construcción de los números reales usando las Cortaduras de Dedekind, como una alternativa a la construcción axiomática basada en el Axioma del Supremo. El alumno critica el método axiomático y conoce el enfoque del método constructivista como una alternativa para la fundamentación y construcción de la Matemática.

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Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 1

Nivel 1 Enunciado. El estudiante opera con conectivos l´ogicos y establece el valor de verdad de una proposici´on. El alumno comprende la relaci´on entre las proposiciones l´ogicas y circuitos el´ectricos simples. El estudiante se familiariza con los cuantificadores, sus negaciones y adquiere habilidad para demostrar teoremas simples, usando las t´ecnicas b´asicas de demostraci´on. En este nivel el alumno tambi´en conoce la definici´on de relaci´on, de funci´on y demuestra propiedades de ellas. Describe relaciones entre conjuntos finitos a trav´es de matrices de incidencia. Identifica funciones inyectivas, epiyectivas y biyectivas. El estudiante conoce el principio de Inducci´on Matem´atica y aprecia su rol en la demostraci´on de propiedades que involucran n´umeros naturales. Comprende la definici´on de sucesiones por recurrencia. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Determina el valor de verdad de una proposici´on y es capaz de manipular algebraicamente expresiones que involucran los conectivos l´ogicos, simplificando y obteniendo tautolog´ıas. Problema 1. [36] Suponiendo que p y r son falsas y q y s son verdaderas determine el valor de verdad de s ⇒ (p∧ ∼ r) ∧ ((p ⇒ (r ∨ q)) ∧ s). Problema 2. [36] Determine si P ≡ Q cuando P ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) y Q ≡ p ⇒ r. ˜ y analiza circuitos l´ogicos simples. 2. Disena Problema 1. Un comit´e formado por cuatro miembros requiere de mayor´ıa para aprobar una moci´on, siempre que tenga el voto del presidente (poder de veto). Dise˜ne un circuito para indicar cu´ando una moci´on es aprobada.

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Problema 2. Demuestre que los circuitos de la figura son equivalentes.

3. Comprende el significado de los cuantificadores l´ogicos determinando el valor de verdad de proposiciones que los contengan. Realiza operaciones de negaci´on con ellos. Problema 1. a) Determine el valor de verdad de la siguiente expresi´on, donde las variables son n´umeros reales: ∀y ∃x tal que x2 + y 2 ≥ 9. b) Obtenga la negaci´on de la proposici´on en a). Problema 2. (*)1 La definici´on de l´ımite de una funci´on real de variable real en un punto es: f tiene l´ımite l en a si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ R, si 0 0” por una condici´on m´as d´ebil: “∀ε ∈ (0, 1)”? ¿Por qu´e? c) Para la funci´on f : R → R definida por f (x) = x2 , el siguiente argumento demuestra que el l´ımite de f en 0 es 0: Dado 0 < ε < 1 se considera δ = ε y se tiene que |x| < δ = ε ⇒ x2 < ε2 < ε. Si se toma ahora x ∈ R con |x| ≥ δ = ε ¿se tiene |f (x)| ≥ ε? ¿Existe alguna elecci´on de δ en funci´on de ε tal que si |x| ≥ δ ⇒ |f (x)| ≥ ε? d) Para una funci´on f cualquiera, si l es el l´ımite de f en a ¿Es posible elegir un δ en funci´on de ε tal que |x − a| ≥ δ ⇒ |f (x) − l| ≥ ε? 4. Demuestra teoremas simples usando un argumento por contradicci´on. Problema 1. Considere la siguiente proposici´on: Para todo par de n´umeros reales x e y se tiene que x + y ≥ 2 implica que x ≥ 1 o y ≥ 1, que se puede escribir como: ∀x, y ∈ R P . a) Escriba la proposici´on P usando conectivos l´ogicos. b) Escriba la rec´ıproca y la contrarrec´ıproca de P . 1 En los siguientes tres indicadores, los problemas que se marcan con (*) son ejemplos del indicador correspondiente, pero el contenido est´a presente en otro Eje o Nivel. Los hemos dejado en este lugar para enfatizar la necesidad que el alumno domine el aspecto l´ogico de e´ stos.

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Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 1

c) Muestre que la rec´ıproca de P es falsa. d) Muestre que la contrarrec´ıproca de P es verdadera. e) ¿Qu´e puede concluir acerca del valor de verdad de P ? Problema 2. [33] Demuestre por contradicci´on la siguiente proposici´on: Los 123 residentes de un edificio tienen edades que suman 3813 a˜nos. Entonces existen 100 de ellos, cuyas edades suman al menos 3100. Problema 3. (*) Demuestre, por contradicci´on, que la cantidad de n´umeros primos es infinita (Euclides). √ Problema 4. (*) Demuestre, por contradicci´on, que 2 no puede ser un n´umero racional. 5. Utiliza contraejemplos para probar la falsedad de una afirmaci´on. Problema 1. Demuestre que la siguiente afirmaci´on no es cierta: Si dos esferas se intersectan en m´as de un punto, la intersecci´on es una circunferencia.

Problema 2. (*) Demuestre que la siguiente afirmaci´on es falsa: Para toda sucesi´on {Xn } que converge a cero en R, la sucesi´on de sumas parciales Sn = X1 + X2 + ... + Xn es convergente. 6. Demuestra equivalencias l´ogicas. Problema 1. (*) Demuestre que una funci´on lineal f es inyectiva si y s´olo si Ker(f ) = {0}. Problema 2. (*) Fijados los puntos F1 = (−c, 0) y F2 = (c, 0) con c > 0 y constantes A > 2c, a = definen los conjuntos: E1

= {(x, y) ∈ R2 / d((x, y), F1 ) + d((x, y), F2 ) = A},

E2

=

E3

= {(x, y) ∈ R2 /

  x2 y2 (x, y) ∈ R2 / 2 + 2 = 1 , a a − c2 p p (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a}.

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A 2

se

Demuestre que E1 = E2 = E3 . En la definici´on de E1 d(P, Q) representa la distancia entre los puntos P y Q. Problema 3. (*) Dados vectores p, q ∈ R3 , compruebe la equivalencia de los siguientes enunciados: a) p y q son linealmente independientes. p·p p·q b) 6= 0. q·p q·q ! p c) La matriz , cuyas filas son p y q, tiene rango mayor o igual a dos. q Problema 4. (*) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea L ⊂ V no vac´ıo. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: a) L es subespacio vectorial de V (espacio vectorial con las leyes de composici´on internas y externas de V). b) Para todo u, v ∈ L, α, β ∈ K ⇒ α · u + β · v ∈ L. c) Para todo u, v ∈ L ⇒ u + v ∈ L y para todo u ∈ L, α ∈ K ⇒ α · u ∈ L. 7. Determina el valor de verdad de proposiciones que involucran conjuntos y demuestra propiedades. Problema 1. [36] En cada una de las siguientes afirmaciones demuestre si es verdadera u obtenga un contraejemplo si es falsa: a) (X \ Y ) ∩ (Y \ X) = ∅ para todo conjunto X e Y . b) X ∩ (Y × Z) = (X ∩ Y ) × (X ∩ Z) para todo conjunto X, Y y Z. Problema 2. [36] Demuestre que si X1 , ..., Xn y X son conjuntos entonces X∩

n [

Xi =

i=1

n [

(X ∩ Xi ).

i=1

8. Conoce ejemplos de relaciones de orden y de equivalencia. En casos concretos determina si una relaci´on es de orden o de equivalencia. Problema 1. [12] Determine si las siguientes relaciones son de equivalencia o de orden. Demuestre sus afirmaciones: a) A ∼ B si y s´olo si A ⊂ B. b) A ∼ B si y s´olo si existe una biyecci´on entre A y B.

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Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 1

9. Encuentra las clases de una relaci´on de equivalencia. Problema 1. [36] Sean R1 y R2 relaciones de equivalencia en X. a) Muestre que R1 ∩ R2 es una relaci´on de equivalencia en X. b) Describa las clases de equivalencia de R1 ∩ R2 en t´erminos de las clases de equivalencia de R1 y de R2 . Problema 2. [36] Sea f : X → Y una funci´on epiyectiva y S = {f −1 ({y}) / y ∈ Y }. Muestre que S es una partici´on de X. Defina una relaci´on de equivalencia que tenga a S como su conjunto cuociente. 10. Representa relaciones entre conjuntos finitos usando matrices. Problema 1. Considere una relaci´on en el conjunto {w, x, y, z} cuya matriz asociada es w 

w 1  x 0 y  1 z 0

x y

z

0 0 0 0

 0  0  0  1

1 0 1 0

Determine si esta relaci´on es sim´etrica, refleja y/o transitiva. Problema 2. Dada la matriz asociada a una relaci´on de equivalencia ¿C´omo puede determinar f´acilmente la clase de equivalencia de un elemento x? 11. Demuestra propiedades de conjuntos y funciones. Problema 1. Sea f : X → Y . Demuestre que f es inyectiva si y s´olo si f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) para todo A, B ⊂ X. Problema 2. Sea f : X → Y una funci´on. a) Si f no es sobreyectiva, se puede modificar el conjunto de llegada Y para definir una nueva funci´on que s´ı es sobreyectiva. Indique c´omo hacerlo. b) Si f no es inyectiva, se puede modificar el conjunto de partida para definir una nueva funci´on que s´ı es inyectiva. Indique c´omo hacerlo. 12. Estudia funciones en situaciones espec´ıficas. Problema 1. Considere la relaci´on en [−1, 1] × [−1, 1] dada por C = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 = 1}. ¿Es posible encontrar F ⊂ C de modo que a) F sea una funci´on par?

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b) F sea una funci´on inyectiva en [−1, 1] × [−1, 1]? c) F sea una funci´on sobreyectiva en [−1, 1] × [−1, 1]? ´ 13. Aplica el Principio de Inducci´on Matem´atica para demostrar propiedades que involucran numeros naturales. Problema 1. [57] Un grupo de personas hacen cola a la entrada de un cine. La primera persona en la cola es una mujer y la u´ ltima es un hombre. Demuestre que en alg´un lugar de la cola hay un hombre junto a una mujer. √ √ Problema 2. Demuestre que para todo n ∈ N, (1 + 2)n + (1 − 2)n es un n´umero natural. Problema 3. [36] Teniendo en cuenta la serie telesc´opica intuya una f´ormula para  4

1 2·3



 +8

2 3·4



n+1

+ ··· + 2



n (n + 1) · (n + 2)



y demu´estrela. Problema 4. [33] Considere un ‘tablero de ajedrez’ con 2n × 2n cuadrados en el cual se ha sacado un cuadrado. Demuestre que este tablero puede ser cubierto de manera exacta por triminoes de la forma

14. Aplica el Principio de Inducci´on Fuerte. Problema 1. Los n´umeros de Fibonacci satisfacen la relaci´on de recurrencia Fn+1 = Fn−1 + Fn ,

con

F1 = F0 = 1.

a) Demuestre que para todo n ∈ N se tiene n X

Fi = Fn+2 − 1.

i=0

b) Demuestre que para todo n ∈ N se tiene n X

n−j j

j=0

40

! = Fn .

Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 1

15. Aplica el Teorema del Binomio de Newton. Problema 1. Eval´ue la siguiente expresi´on n X

k

(−1)

k=0

n k

! .

Problema 2. Demuestre que n−1

n(1 + x)

=

n X k=1

n k

! kxk−1 .

16. Realiza una investigaci´on hist´orica sobre el origen de la Teor´ıa de Conjuntos. Problema 1. La Teor´ıa de Conjuntos provee a la Matem´atica de un lenguaje que hoy nos parece muy natural. Esta teor´ıa es reciente, si consideramos toda la historia de la Matem´atica. Averig¨ue cu´ando aparece esta teor´ıa por primera vez, qui´en fu´e su inventor y qu´e problemas estaba estudiando cu´ando la cre´o.

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Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 2

Nivel 2 Enunciado. El alumno es capaz de resolver ecuaciones en diferencias sencillas. Usa ecuaciones en diferencias para modelar ciertas situaciones de la vida real, como la din´amica de una poblaci´on. Analiza el comportamiento de largo plazo de un sistema din´amico discreto unidimensional y conoce el sistema log´ıstico y su relaci´on con la Teor´ıa del Caos. El estudiante entiende el concepto de algoritmo y lo aplica para resolver problemas sencillos. Analiza un algoritmo en t´erminos del n´umero de operaciones que este requiere. El alumno conoce la estructura de grafos y se familiariza con dos problemas paradigm´aticos de la Teor´ıa de Grafos como el de los puentes de K¨onigsberg y el coloreado de mapas. El alumno modela problemas de la realidad usando grafos y a´ rboles. Conoce y aplica algoritmos para resolver dichos problemas. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Es capaz de plantear modelos con ecuaciones en diferencias y de resolverlos en situaciones simples. Problema 1. Resuelva la ecuaci´on un = 2un−1 + un−2 ,

con

u1 = 1 y u2 = 2.

Problema 2. Una persona ahorra mensualmente $50.000 y los deposita en un banco a una tasa de inter´es del 1, 2 % compuesto mensualmente. Si An representa la cantidad al final de n meses, encuentre una relaci´on de recurrencia y condici´on inicial para determinar la sucesi´on {An }. ¿Cu´anto tiempo deber´a ahorrar para comprar un auto que vale $2.250.000? Problema 3. La poblaci´on de una especie de ciervo que vive en Estados Unidos se comporta de modo que el crecimiento desde el a˜no n − 1 al a˜no n es dos veces el crecimiento desde el a˜no n − 2 al a˜no n − 1. Escriba una relaci´on de recurrencia que describa el comportamiento de la poblaci´on de ciervos. Si en el a˜no 1990 la poblaci´on era de 200 ciervos y en 1991 la poblaci´on era de 220 ciervos, ¿c´ual ser´a la poblaci´on el a˜no 2011?

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2. Analiza el comportamiento de largo plazo de un sistema discreto unidimensional. Problema 1. Considere los siguientes tres modelos que describen el comportamiento de una poblaci´on: Modelo de Malthus: xk+1 = xk + d xk . Modelo de Velhurst: xk+1 = xk + d xk (1 − xk ). Modelo log´ıstico de May: xk+1 = c xk (1 − xk ). Discuta el significado de los diferentes t´erminos de los modelos. En particular interprete los par´ametros c y d. Problema 2. En el caso del modelo log´ıstico y para los valores de c = 1, 5; c = 2, 5 y c = 3, 5 encuentre los puntos de equilibrio del sistema y analice su estabilidad. Haga el gr´afico de iteraciones en cada caso. Problema 3. Para el modelo log´ıstico considere c > 1. Encuentre los puntos de per´ıodo dos y determine su estabilidad (analice en t´erminos de los distintos valores del par´ametro c). 3. Conoce los elementos de un sistema ca´otico en relaci´on al sistema log´ıstico. Problema 1. Explique, en el contexto del modelo log´ıstico, el significado de: a) Sensibilidad en los datos iniciales. b) Densidad de orbitas peri´odicas. ˜ algoritmos para resolver problemas. 4. Disena Problema 1. a) Dise˜ne un algoritmo para determinar si un n´umero natural dado es primo. b) Dise˜ne un algoritmo para determinar un primo mayor que un natural dado. Problema 2. Dise˜ne un algoritmo que tome como entrada una lista de n palabras y entregue como resultado: a) La lista en orden inverso. b) La lista ordenada alfab´eticamente. Problema 3. Dise˜ne un algoritmo para multiplicar dos enteros. Problema 4. Dise˜ne un algoritmo que a partir de la matriz de incidencia de un grafo determine si el grafo es conexo. ˜ y analiza algoritmos recursivos. 5. Disena Problema 1. Describa el problema de las torres de Hanoi y un algoritmo recursivo para resolverlo. Determine el n´umero de operaciones necesarias.

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Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 2

Problema 2. Construya un algoritmo recursivo para evaluar un polinomio de grado n p(t) =

n X

ci ti ,

i=0

en t = t0 . Sea bn el n´umero de multiplicaciones requerido para calcular p(t0 ). Encuentre una relaci´on de recurrencia para determinar bn y resu´elvala. Construya un segundo algoritmo que eval´ue directamente el polinomio p en t0 multiplicando t0 i veces para calcular ti0 . Determine el n´umero de multiplicaciones para calcular p(t0 ). ¿Cu´al algoritmo es m´as conveniente? Problema 3. Construya un algoritmo recursivo para encontrar un cierto valor en una lista ordenada. Los datos del problema son: una lista s1 , s2 , . . . , sn ordenada y un valor ‘clave’. La salida del algoritmo es: el sub´ındice de ‘clave’, si ‘clave’ est´a en la lista, N si ‘clave’ no est´a en la lista. Determine el n´umero de veces que su algoritmo es requerido para resolver el problema en el peor de los casos. 6. Conoce problemas paradigm´aticos de la Teor´ıa de Grafos. Problema 1. a) Describa el problema de los Puentes de K¨onigsberg. b) Indique cu´al es la soluci´on dada por Euler al problema de los Puentes de K¨onigsberg. c) Verifique si el grafo de la figura tiene un ciclo Euleriano.

Problema 2. a) Explique la relaci´on entre el Problema de los Cuatro Colores y la Teor´ıa de Grafos. b) Cada semestre la Facultad dedica dos semanas a los ex´amenes de los alumnos. Estos ex´amenes tienen una duraci´on de dos horas y su programaci´on debe ser tal que un alumno no tenga dos ex´amenes a la misma hora. Modele este problema como uno de colorear un grafo. ¿Es deseable que el n´umero de colores sea m´ınimo?

45

7. Encuentra ciclos Hamiltoniano y conoce el Problema del Vendedor Viajero. Problema 1. a) Encuentre un ciclo Hamiltoniano en el grafo de la figura

b) Demuestre que el grafo cuya matriz de incidencia es  0  1  0   0  1   0  0   1 0

1 0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0

1 1 1 1 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 1 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 0 1

 0  1  1   0  1   1  0   1 0

no tiene ciclo Hamiltoniano. c) Describa el Problema del Vendedor Viajero. 8. Conoce y aplica la f´ormula de Euler para grafos planares. Problema 1. a) Los grafos K3,3 y K5 no son planares. Use la f´ormula de Euler para demostrarlo. b) ¿Cu´al es la importancia de estos dos grafos en el estudio de grafos planares? c) D´e una interpretaci´on tomada de la ‘vida real’ para K3,3 y K5 . 9. Conoce el problema del a´ rbol de peso m´aximo en un grafo. Conoce y aplica el algoritmo de Kruskal para encontrar un a´ rbol de peso m´aximo en un grafo. Modela problemas usando a´ rboles de peso m´aximo. Problema 1. Una empresa forestal iniciar´a la explotaci´on de 8 plantaciones de pinos. Estas plantaciones est´an distribuidas geogr´aficamente de acuerdo a la tabla adjunta de distancias relativas.

46

Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 2

1

1

2

3

4

5

6

/

2,6

4,2

1,8

1,4

3,6

2

2,6

/

1,8

3,6

2,4

5,2

3

4,2

1,8

/

5,2

3,4

5,0

4

1,8

3,6

5,2

/

1,4

3,2

5

1,4

2,4

3,4

1,4

/

1,8

6

3,6

5,2

5,0

3,2

1,8

/

7

4,0

4,6

3,8

3,0

2,1

1,2

8

3,0

2,2

2,0

1,8

1,6

2,0

Para la explotaci´on de estos recursos es necesario construir caminos que permitan conectar completamente todas las plantaciones. El costo de construcci´on de estos caminos es proporcional a su longitud. Determine la manera m´as barata de construir los caminos requeridos. 10. Conoce y aplica el algoritmo de Dijstra para encontrar el camino m´as corto entre dos nodos de un grafo. Problema 1. [63] El siguiente grafo muestra el camino al e´ xito (desde la cuna (C) al Ministerio de Educaci´on (M)). En cada arista se indica el n´umero de a˜nos que toma recorrerlo y el n´umero de enemigos que se gana.

a) Determine el camino m´as r´apido al e´ xito. b) Determine el camino m´as r´apido al e´ xito evitando los nodos c, g y k. c) Determine el camino al e´ xito que minimiza el n´umero de enemigos que gana. 11. Investiga sobre la relaci´on entre el conjunto de Cantor y el sistema log´ıstico. Problema 1. Averig¨ue qu´e relaci´on tiene el conjunto de Cantor con el comportamiento ca´otico del sistema log´ıstico para valores grandes del par´ametro c.

47

Problema 2. Averig¨ue en qu´e consiste el Shift de Bernoulli. Comprenda c´omo se codifica la din´amica del sistema log´ıstico sobre el conjunto de Cantor (para c grande) para relacionarla con el Shift de Bernoulli. 12. Averigua sobre el estado actual del Problema de los Cuatro Colores. Problema 1. Investigue el estado actual del Problema de los Cuatro Colores. En particular discuta el significado de una demostraci´on por computador y la pol´emica que se crea en torno a e´ sta. 13. Realiza una investigaci´on bibliogr´afica sobre el concepto de complejidad de algoritmos. Problema 1. El concepto de complejidad de algoritmos aparece en el estudio de los l´ımites de la computaci´on. En este trabajo se pide realizar una investigaci´on para definir y describir los principales conceptos relacionados con la complejidad. En particular, determinar el significado de problemas polinomiales, NP y NP completos.

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Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 3

Nivel 3 Enunciado. Comprende el concepto de cardinalidad de un conjunto y entiende el significado de conjunto enumerable. El alumno es capaz de determinar la cardinalidad de un conjunto, usando las propiedades b´asicas. Entiende el rol hist´orico que el concepto de infinito ha jugado en el desarrollo de la Matem´atica. El alumno utiliza los axiomas de cuerpo y de orden para construir los n´umeros reales. Usa el axioma del supre√ mo para demostrar la existencia de n´umeros irracionales, como 2 y para introducir la noci´on de completitud de los n´umeros reales de manera rigurosa. El alumno comprende las nociones topol´ogicas elementales de conjunto abierto, cerrado, de puntos de acumulaci´on. En particular el alumno demuestra el Teorema de BolzanoWeierstrass. Comprende la noci´on de conjunto compacto y reconoce el conjunto de Cantor como uno de ellos. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Es capaz de demostrar que un conjunto es enumerable. Problema 1. Demuestre que el conjunto L = {(x, y) ∈ R2 / x, y ∈ Z} es enumerable. Problema 2. Se dice que un n´umero es algebraico si es soluci´on de una ecuaci´on polinomial de la forma n X

ai xi = 0,

i=0

donde n ∈ N y ai ∈ Q. Demuestre que el conjunto de todos los n´umeros algebraicos es enumerable. 2. Determina la cardinalidad de conjuntos de cardinalidad ℵo y c. Problema 1. Indique qu´e cardinalidad tienen los siguientes conjuntos: a) [0, 1] × [0, 1]. b) El conjunto de n´umeros trascendentales. c) El conjunto de los n´umeros algebraicos que adem´as son irracionales.

49

Problema 2. Sea f : R → R. ¿Cu´al es la cardinalidad del gr´afico de f , es decir del conjunto de puntos de la forma {(x, f (x)) ∈ R2 / x ∈ R}? Problema 3. ¿Cu´al es la cardinalidad de la esfera en RN ? Demuestre su afirmaci´on. Problema 4. Indique la cardinalidad del conjunto de las partes de N y del conjunto de las partes finitas de N. Demuestre sus respuestas. Problema 5. a) Defina, a trav´es de f´ormulas expl´ıcitas, tres funciones f : N → N tales que f (1) = 1, f (2) = 2 y f (3) = 3. b) ¿Cu´antas sucesiones {xn } de n´umeros naturales tales que x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 3 existen? ´ 3. Usa los axiomas de Cuerpo y de Orden para deducir propiedades de los numeros reales. Problema 1. En la formulaci´on axiom´atica de los n´umeros reales el conjunto R, al igual que la suma y la multiplicaci´on, es un t´ermino t´ecnico no definido. a) ¿C´omo se asegura que R es no vac´ıo? b) ¿C´omo se asegura que los n´umeros naturales est´an contenidos en R? c) ¿C´omo se asegura que los n´umeros racionales est´an contenidos en R? Problema 2. Usando solamente los axiomas de cuerpo demuestre que: a) ∀a ∈ R a · 0 = 0. b) ∀a, b ∈ R a · b = (−a) · (−b). c) Si a ∈ R satisface a · a = a entonces a = 0 o a = 1. Problema 3. Usando solamente los axiomas de cuerpo y de orden demuestre que: a) Si a ∈ R, a 6= 0 entonces a2 > 0. b) 1 > 0. ´ 4. Demuestra propiedades del supremo e ´ınfimo de un conjunto de numeros reales. Problema 1. Demuestre que si A y B son subconjuntos acotados de R entonces A ∪ B es tambi´en acotado y que sup(A ∪ B) = sup{sup A, sup B}. ´ 5. Usa el Axioma del Supremo para deducir propiedades de los numeros. Problema 1. Demuestre la Propiedad Arquimediana a partir del axioma del supremo. Problema 2. Usando el Axioma del Supremo demuestre que existe un n´umero real x tal que x3 = 2. Problema 3. Demuestre que los siguientes conjuntos son densos en R:

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Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 3

a) Los n´umeros racionales. b) Los n´umeros irracionales. c) Los n´umeros algebraicos. d) Los n´umeros trascendentales. 6. Demuestra propiedades que involucran conceptos de topolog´ıa en R: conjunto abierto, conjunto cerrado, interior de un conjunto, adherencia de un conjunto, frontera de un conjunto. Problema 1. a) Demuestre que una condici´on necesaria y suficiente para que un conjunto sea cerrado es que contenga a todos sus puntos frontera. b) Use lo anterior para dar una caracterizaci´on de conjunto abierto en t´erminos de sus puntos frontera. Problema 2. Si int(A) denota el interior del conjunto A ⊂ R. Demuestre que a) int(int(A)) = int(A). b) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B) c) int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B) y mediante un ejemplo demuestre que la inclusi´on contraria no es v´alida. 7. Caracteriza nociones topol´ogicas usando sucesiones. Problema 1. Sea F un conjunto de n´umeros reales. Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes: a) F es un subconjunto cerrado de R. b) Si {xn } es cualquier sucesi´on convergente de n´umeros reales, cuyos elementos pertenecen a F , entonces l´ım xn ∈ F . Problema 2. Sea A un subconjunto de R. Demuestre que x es un punto frontera de A si y s´olo si existen sucesiones de n´umeros reales {xn } ⊂ A e {yn } ⊂ Ac tales que l´ım xn = l´ım yn = x. 8. Conoce y aplica el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Problema 1. Sea {xn } una sucesi´on acotada de n´umeros reales. Suponga que existe x ∈ R con la siguiente propiedad: Toda subsucesi´on de {xn } tiene una subsucesi´on que converge a x. Demuestre que {xn } converge a x. Problema 2. Considere una sucesi´on de intervalos reales In con la propiedad In ⊂ In−1 para todo n. Se dice que estos intervalos est´an encajonados. a) Muestre que existen intervalos cerrados encajonados In tales que ∩∞ n=1 In = ∅.

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b) Muestre que existen intervalos acotados encajonados In tales que ∩∞ n=1 In = ∅. c) Usando el Teorema de Bolzano-Weierstrass demuestre que si los intervalos encajonados In son cerrados y acotados entonces ∩∞ n=1 In 6= ∅. 9. Realiza una investigaci´on sobre las discusiones en cuanto al significado del infinito en la Matem´atica y las contribuciones de Cantor a su comprensi´on. Problema 1. Investigue sobre el significado y las discusiones sobre la naturaleza del infinito durante la u´ ltima parte del siglo XIX y las fuertes cr´ıticas que recibi´o el trabajo de Cantor. ¿Cu´ales fueron los principales elementos de esta cr´ıtica? 10. Investiga sobre la Hip´otesis del Continuo. Problema 1. Realice una investigaci´on sobre la Hip´otesis del Continuo ¿Cu´al es su importancia en el desarrollo de la Matem´atica? Describa el trabajo de G¨odel y de Cohen en relaci´on a la hip´otesis del continuo.

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Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 4

Nivel 4 Enunciado. El alumno formaliza el M´etodo Axiom´atico como m´etodo para construir la Matem´atica. Reconoce el M´etodo Axiom´atico en geometr´ıa. Conoce los elementos b´asicos de la Teor´ıa de Conjuntos siguiendo la axiom´atica de Zermelo, en particular conoce el significado del Axioma de Elecci´on y algunas de sus consecuencias vistosas como que ‘todo espacio vectorial posee una base’. El alumno conoce la paradoja de Russell. El alumno comprende la construcci´on del conjunto de los n´umeros naturales a partir de la Teor´ıa de Conjuntos. Y a partir de aqu´ı la construcci´on de los n´umeros reales usando las Cortaduras de Dedekind, como una alternativa a la construcci´on axiom´atica basada en el Axioma del Supremo. El alumno critica el m´etodo axiom´atico y conoce el enfoque del m´etodo constructivista como una alternativa para la fundamentaci´on y construcci´on de la Matem´atica. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Conoce los postulados de Euclides para la geometr´ıa. Entiende la importancia del 5◦ Postulado, tanto desde el punto de vista de la geometr´ıa como de la Matem´atica, y conoce formas equivalentes de formularlo. Problema 1. a) En su af´an por demostrar el 5◦ postulado de Euclides en t´erminos de los otros cuatro, numerosos matem´aticos encontraron formulaciones equivalentes. Indique al menos dos de ellas. b) ¿Porqu´e era importante saber si el 5◦ postulado era consecuencia de los otros postulados? ¿Qu´e consecuencia tuvo finalmente este esfuerzo para la humanidad? c) Investigue sobre los primeros matem´aticos que concibieron geometr´ıas no-euclideanas. 2. Conoce una Teor´ıa Axiom´atica para las geometr´ıas euclideana plana, hiperb´olica y esf´erica. Problema 1. [8] Realice una investigaci´on bibliogr´afica sobre la formulaci´on axiom´atica de la geometr´ıa euclideana plana en el contexto de espacios m´etricos completos. Haga lo mismo para la geometr´ıa hiperb´olica y la esf´erica. ¿Cu´ales axiomas son comunes? ¿Cu´ales axiomas distinguen las tres geometr´ıas?

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3. Comprende los elementos b´asicos de una teor´ıa axiom´atica. Entiende la necesidad de una Teor´ıa Axiom´atica de Conjuntos. Problema 1. [8] Desde el punto de vista de la teor´ıa axiom´atica moderna ¿Cu´al es la cr´ıtica que se le hace a los Postulados de Euclides? ¿Constituyen un ejemplo de sistema axiom´atico? Problema 2. [8] Explique los conceptos de: sistema axiom´atico consistente, axioma independiente y sistema axiom´atico completo. D´e ejemplos. 4. Comprende la Paradoja de Russell y la forma de evitarla. Problema 1. a) Muy conocida es la historia del barbero: “En Sevilla hay un barbero que afeita a todos los hombres del pueblo que no se afeitan a s´ı mismos”. ¿Qui´en afeita al barbero? b) Relacione esta paradoja con la paradoja de Russell: Se dice que el conjunto X es ordinario si X 6∈ X. Sea A el conjunto de todos los conjuntos ordinarios. ¿Es A ordinario? c) Explique c´omo se resuelve esta paradoja. 5. Conoce los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos. Problema 1. [67] En la teor´ıa axiom´atica de conjuntos: a) ¿Qu´e axioma garantiza que existe al menos un conjunto? b) ¿Qu´e axioma garantiza que existe un conjunto infinito? c) ¿Qu´e axioma garantiza que existen conjuntos no enumerables? 6. Comprende la construcci´on de los naturales a partir de los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos. Conoce los Axiomas de Peano. Problema 1. [67] Demuestre las siguientes propiedades de los n´umeros naturales: a) Todo n´umero natural es un conjunto ordinario. b) N no es un n´umero natural. c) N es un conjunto ordinario. d) Si n y m son n´umeros naturales entonces n 6∈ m o m 6∈ n. (El Axioma de Infinito dice “Existe un conjunto, denotado por N, que tiene a todos los n´umeros naturales como sus elementos”).

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Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 4

7. Conoce el Lema de Zorn y sabe que es equivalente al axioma de Elecci´on. Demuestra teoremas como consecuencias del Lema de Zorn. Problema 1. Sea X subespacio vectorial del espacio vectorial V . Demuestre que existe un subespacio complementario de X. Problema 2. Demuestre que en un anillo conmutativo con unidad, todo ideal est´a contenido en un ideal maximal. ´ 8. Comprende las cortaduras de Dedekind y demuestra propiedades de los numeros reales definidos de esta manera. Problema 1. [67] Sea (L, U ) un n´umero real (es decir una cortadura de Dedekind). Demuestre que: a) Si α ∈ L y β ∈ U , entonces α < β. b) Si α1 ∈ L y α2 < α1 , entonces α2 ∈ L. c) Si β1 ∈ U y β1 < β2 , entonces β2 ∈ U . d) Si α1 ∈ L, entonces existe alg´un α2 ∈ L tal que α1 < α2 . Problema 2. [67] Demuestre la propiedad Arquimediana: Para todo par de n´umeros reales positivos (L1 , U1 ), (L2 , U2 ) tales que (L1 , U1 ) < (L2 , U2 ) existe un natural N tal que N (L1 , U1 ) > (L2 , U2 ). Aqu´ı N en s´ı mismo es considerado una cortadura de Dedekind, con la inclusi´on can´onica. Problema 3. Usando cortaduras de Dedekind demuestre que existe un n´umero real x tal que x3 = 2. Problema 4. En la construcci´on de Dedekind ¿qu´e axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos se requieren para garantizar la existencia de los n´umeros reales? 9. Averigua sobre las contribuciones de David Hilbert a la Matem´atica y sus fundamentos. Problema 1. a) Averig¨ue sobre las investigaciones de Hilbert en geometr´ıa. ¿Qu´e importancia tienen en el desarrollo de los fundamentos de la Matem´atica? b) ¿C´omo se distingue el enfoque de Hilbert con el enfoque constructivista? Problema 2. Averig¨ue sobre la presentaci´on de Hilbert en Paris el a˜no 1900. ¿Existe algo parecido para el a˜no 2000?

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10. Realiza una investigaci´on bibliogr´afica sobre las contribuciones de Russell a la comprensi´on de la Teor´ıa de Conjuntos y la L´ogica. Problema 1. Investigue sobre la vida y contribuciones matem´aticas de Bertrand Russell. Problema 2. Investigue sobre la relaci´on entre el trabajo de Bertrand Russell y el de Kurt G¨odel. 11. Conoce el M´etodo Constructivista. Problema 1. Investigue sobre el m´etodo constructivista en la Matem´atica. a) ¿Cu´ales son los fundamentos de este m´etodo? b) ¿Cu´ales son las principales cr´ıticas que los constructivistas hacen al m´etodo axiom´atico? c) ¿Porqu´e, a la larga, el m´etodo axiom´atico se ha impuesto frente al m´etodo constructivista? d) Investigue sobre los aportes de Luitzen Brouwer al m´etodo constructivista.

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Matem´atica .:. Fundamentos y algoritmos .:. Bibliograf´ıa

Nota bibliogr´afica para el Eje de Fundamentos y Algoritmos En los temas de matem´atica finita el libro de Richard Johnsonbaugh [36] es bastante bueno y adecuado para los niveles inferiores. En esta l´ınea tambi´en podemos citar el libro de Kolman [38]. Para el Nivel 4 mencionamos el libro de Leonard Blumenthal [8], donde podemos encontrar una visi´on de la axiom´atica en un lenguaje accesible y de la geometr´ıa desde el punto de vista de los axiomas. En cuanto a la teor´ıa axiom´atica de conjuntos mencionamos el libro de Paul Halmos [28], donde hay una exposici´on intuitiva de la axiom´atica. Esta exposici´on no es en modo alguno simple, pero se acerca a lo que se requiere en estos est´andares. Un libro con un rigor mucho mayor pero que, con una adecuada selecci´on de temas, permite una lectura al nivel de estos est´andares, es el libro de Martin Zuckerman [67]. Este libro tiene adem´as numerosos ejercicios, muchos de ellos de dificultad baja. Sobre aspectos hist´oricos de la Matem´atica resalta el libro de Howard Eves [21], donde se presenta la Matem´atica desde sus or´ıgenes hasta la actualidad. Este libro posee incluso algunos ejercicio matem´aticos para el lector. El libro de Richard Courant y Herbert Robbins [13] representa una fuente muy interesante de ideas matem´aticas y de historia de la Matem´atica. Es altamente recomendable para un estudiante de pedagog´ıa en Matem´atica. Un libro un poco m´as avanzado es el de Grattan-Guinness [25], que tiene un desarrollo muy profundo de los fundamentos de la Matem´atica, partiendo desde el c´alculo, pasando por la teor´ıa de funciones y el problema del infinito.

Sugerencias para la implementaci´on curricular De los siete ejes presentados en este documento, es tal vez este eje el que puede tener implementaciones curriculares m´as variadas. No queremos sugerir los cursos que integrar´an estas materias, pero el tema de la l´ogica y algoritmos nos merecen un comentario especial. No nos parece conveniente tener estos temas separados del resto de los temas de matem´aticas aisl´andolos en cursos, si no m´as bien integrados en el material de otros cursos. En particular la l´ogica deber´ıa estar presente en todos los temas y niveles. Finalmente, el Nivel 4 tambi´en requiere de un comentario. El tema de la construcci´on de la matem´atica nos parece de gran importancia para comprender la matem´atica moderna, pero a la vez es un tema muy complejo y profundo que, para su cabal comprensi´on, requiere de mucho trabajo y tiempo. La implementaci´on curricular de este nivel debe ser cuidadosa con el objeto de no caer en la an´ecdota ni en un excesivo formalismo y rigor. En los indicadores hemos querido reflejar un adecuado balance entre estos dos aspectos.

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Bibliograf´ıa para el eje [8] Blumenthal, Leonard, A modern view of geometry. W. H Freeman and Company, USA, 1961. [12] Burton, David, Introduction to Modern Abstract Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1967. [14] Courant, Richard y Robbins, Herbert, What is Mathematics? Oxford University Press, 1996. [21] Eves, H., Introduc¸a˜ o a´ hist´oria da matem´atica. Editorial Unicamp, 2004. Brasil. [25] Grattan-Guinness, I., From the Calculus to Set Theory, 1630-1910. Princeton University Press, 2000. [28] Halmos, Paul, Naive set theory. D. Van Nostrand Company Inc, 1965. [33] Ivanov, O.A., Easy as π?: An introduction to higher mathematics. Springer Verlag, New York Inc., 1999. [36] Johnsonbaugh, Richard, Discrete Mathematicas. Macmillan Publishing Co. Inc. New York, 1993. [57] Scheinerman, Edward, Matem´aticas Discretas. Thomson Learning, 2001. [63] Tucker, A., Applied Combinatorics. John Wiley & Sons, Inc. 1995. [67] Zuckerman, Martin, Sets and Transfinite Numbers. Macmillan Publishing Co. Inc. New York, 1974.

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Eje 2

~ K4 = Z2

Estructuras Algebraicas

X

Z2

Matem´atica .:. Estructuras algebraicas

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Descripci´on General El Profesor de Matem´atica conoce las diferentes estructuras algebraicas, las propiedades fundamentales que les son comunes y tambi´en aquellas que las distinguen. Las estructuras concretas que un profesor conoce son: el anillo de los enteros, los polinomios con coeficientes en Q, R, C y Zp , el cuerpo de los n´umeros racionales, de los reales, de los n´umeros complejos, los cuerpos finitos, los grupos de transformaciones geom´etricas tanto del plano como del espacio y los grupos de permutaciones de un conjunto. Adem´as trabaja con las estructuras desde un punto de vista abstracto lo que le permite conocer los alcances y limitaciones del m´etodo axiom´atico, as´ı como conocer y aplicar las t´ecnicas b´asicas de demostraci´on. El Profesor de Matem´atica entiende que una de las herramientas fundamentales en el estudio de las estructuras algebraicas es el concepto del homomorfismo el cual permite establecer relaciones entre las diversas estructuras. El Profesor de Matem´atica conoce las extensiones de cuerpos y las herramientas propias de la Teor´ıa de Galois, que le son necesarias. Con este conocimiento puede dar respuesta a problemas cl´asicos como la duplicaci´on del cubo, la cuadratura del c´ırculo y la trisecci´on de un a´ ngulo. Finalmente es importante que el Profesor de Matem´atica comprenda y aplique la acci´on de grupos sobre conjuntos, en particular para demostrar los Teoremas de Sylow. Relacionando e´ stos con las extensiones finitas de cuerpos demuestra el Teorema Fundamental del Algebra.

61

Cuadro sinóptico Niveles del eje

Nivel 1

Nivel 2

El estudiante comprende la teoría de la divisibilidad en los números enteros y en el conjunto de los polinomios con coeficientes reales. Aplica el concepto de polinomio irreducible como el análogo al de número primo en los enteros.

El estudiante describe en forma algebraica las transformaciones geométricas elementales del plano y del espacio. Descompone transformaciones usando transformaciones geométricas elementales. Maneja el concepto de simetrías en las figuras planas y su relación con las transformaciones geométricas del plano.

En este nivel el alumno opera con los números enteros módulo n. Demuestra propiedades de la función j de Euler y propiedades de los números primos. Conoce propiedades de los números de n Fermat Fn=22 + 1, y de los números de Mersene Mp=2p - 1 , con p primo.

En este nivel el estudiante conoce algunos grupos finitos como son: el grupo de permutaciones de un conjunto, el grupo de las simetrías de una figura plana, el grupo afin, el grupo lineal y el grupo especial lineal.

Resuelve ecuaciones diofánticas lineales. Usa el Teorema Chino de los restos en los enteros para la resolución de congruencias.

El alumno demuestra propiedades del cuerpo de los números constructibles con regla y compás. Conoce el problema de la construcción y trisección de algunos ángulos así como la construcción de algunos polígonos regulares.

Conoce las propiedades algebraicas del cuerpo de los números complejos y su forma trigonométrica. Aplica la fórmula de De Moivre para calcular raíces de números complejos.

64

Eje 2: Estructuras algebraicas Nivel 3

Nivel 4

El estudiante demuestra propiedades de grupos. Usa el concepto de homomorfismo de grupos y los teoremas fundamentales para estos homomorfismos. Identifica y trabaja con grupos dados por relaciones. Encuentra el grupo cuociente de un grupo por un subgrupo normal. Construye grupos vía productos directos y semi-directos.

El estudiante comprende la estructura de cuerpo. Conoce criterios para estudiar la irreducibilidad de polinomios. Construye cuerpos a partir de un ideal maximal de un anillo y como cuociente de dominios de integridad. En este nivel el estudiante resuelve problemas relativos a extensiones de cuerpos, algebraicas y trascendentales. Usa estas propiedades en la resolución de problemas clásicos como la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y la trisección de un ángulo. Calcula cuerpos de descomposición de polinomios sobre los racionales y sobre cuerpos finitos. Aplica el Teorema de Galois al estudio de las estructuras de las extensiones finitas de cuerpos. Usa extensiones finitas, los Teoremas de Sylow y Teorema de Galois para probar el Teorema Fundamental del Algebra.

El alumno usa acciones de grupos sobre conjuntos para demostrar los Teoremas de Sylow. Utiliza estos teoremas para probar propiedades de grupos finitos. En este nivel el estudiante trabaja con la estructura de anillos y de ideales. Conoce el concepto de ideal primo e ideal maximal. Usa los Teoremas de Isomorfía para anillos. Aplica el Teorema de EulerFermat en la resolución de congruencias y conoce su aplicación a la Criptografía.

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Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 1

Nivel 1 Enunciado. El estudiante comprende la teor´ıa de la divisibilidad en los n´umeros enteros y en el conjunto de los polinomios con coeficientes reales. Aplica el concepto de polinomio irreducible como el an´alogo al de n´umero primo en los enteros. En este nivel el alumno opera con los n´umeros enteros m´odulo n. Demuestra propiedades de la funci´on ϕ de n Euler y propiedades de los n´umeros primos. Conoce propiedades de los n´umeros de Fermat Fn = 22 + 1 y de los n´umeros de Mersene Mp = 2p − 1, con p primo. Resuelve ecuaciones diof´anticas lineales. Usa el Teorema Chino de los restos en los enteros para la resoluci´on de congruencias. Conoce las propiedades algebraicas del cuerpo de los n´umeros complejos y su forma trigonom´etrica. Aplica la f´ormula de De Moivre para calcular ra´ıces de n´umeros complejos. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Aplica el concepto de la divisibilidad en Z. Problema 1. Para los siguientes n´umeros enteros: 23789045, 7543951 y 87659430 use criterios para determinar si ellos son divisibles por 2, 3 y 5. Problema 2. Determine un criterio relativo a los d´ıgitos de un n´umero entero para establecer su divisibilidad por 11. ´ 2. Usa la descomposici´on de los enteros en producto de numeros primos. Problema 1. Determine el m´aximo com´un divisor entre los n´umeros 224711 y 3266. √ Problema 2. Pruebe que 3 no es un n´umero racional. 3. Utiliza el algoritmo de Euclides para la divisi´on en los enteros. Problema 1. Sean a, b n´umeros naturales. Pruebe que el entero m´as peque˜no de la forma ax + by donde x e y son n´umeros naturales, es el m´aximo com´un divisor de a y b.

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Problema 2. Exprese el m´aximo com´un divisor entre los n´umeros 224711 y 3266 en la forma 224711x + 3266y. Problema 3. Demuestre que (n, n + 1) = 1, para todo n´umero natural n. Problema 4. Sean a, b, c n´umeros naturales. Si c es un divisor de ab y (c, a) = 1, pruebe que c es un divisor de b. 4. Utiliza el algoritmo de Euclides para dividir polinomios. Problema 1. Encuentre el cuociente y el resto obtenidos al dividir los polinomios p(x) = x5 + 3x4 − 1 3 3 2 2 x + 8x − 122 y h(x) = 3x − 5x + 34. Problema 2. Encuentre el valor de m para que el polinomio 2x4 + 9x3 + 2x2 − 6x + 3m tenga resto 12 al dividirlo por x + 12. Problema 3. Determine un m´aximo com´un divisor en Q[x] entre los polinomios p(x) = x2 − 2x + 1, h(x) = x2 + x − 2 y f (x) = 2x3 + 3x2 − 3x − 2. n

´ ´ 5. Demuestra propiedades de los numeros primos, de los numeros de Fermat Fn = 22 + 1 y de los ´ numeros de Mersene Mp = 2p − 1, con p primo. Problema 1. Demuestre que todo n´umero primo impar es de la forma 4k − 1 o 4k + 1. Problema 2. Sea p un n´umero primo. Demuestre que los n´umeros p, p + 2 y p + 4 no pueden ser todos primos. Problema 3. [29] Pruebe que dos n´umeros de Fermat no tienen un m´aximo com´un divisor mayor que 1. Problema 4. [29] a) Si a ≥ 2 y si an + 1 es primo, entonces a es impar y n = 2m . b) Si n > 1 y si an − 1 es primo, entonces a = 2 y n es primo. ´ 6. Demuestra propiedades de la funci´on ϕ de Euler y de los numeros perfectos. P Problema 1. [29] Demuestre que para todo n ≥ 1, se cumple que d/n ϕ(d) = n. Problema 2. [4] αk 1 a) Sean n = pα on de n en factores primos distintos. Pruebe que ϕ(n) = n(1 − 1 · · · pk , descomposici´ 1 1 p1 ) · · · (1 − pk ).

b) Pruebe que ϕ(n) >

n 6

para todo n n´umero natural con a lo m´as 8 factores primos distintos.

Problema 3. Sea a entero positivo. Pruebe que si 2a − 1 es primo entonces 2a−1 (2a − 1) es perfecto. Con esto se prueba que a todo primo de Mersene le corresponde un n´umero perfecto.

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Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 1

Problema 4. Si N = 2n p es perfecto, con p primo, entonces pruebe que la suma de los divisores de N es (2n+1 − 1)(p + 1). Es decir por cada n´umero perfecto de la forma N = 2n p hay un primo de Mersene p = 2n+1 − 1. 7. Demuestra propiedades de la funci´on µ de M¨obius y la relaciona con la funci´on ϕ de Euler. Problema 1. [29] a) Demuestre que µ es multiplicativa, es decir, µ(nm) = µ(n)µ(m) ∀ n, m ∈ N. P b) Demuestre que para todo n ≥ 2, se tiene d/n µ(d) = 0. Problema 2. Pruebe que para todo n ≥ 1, se tiene ϕ(n) =

P

d/n

µ(d) nd .

Problema 3. F´ormula de inversi´on de M¨obius. [29] Sean f y g funciones de n´umeros naturales tales que P P g(n) = d/n f (d). Pruebe que f (n) = d/n µ( nd )g(d). ´ 8. Opera con los numeros enteros m´odulo n. Problema 1. Si hoy d´ıa es Martes 7 de Abril, ¿qu´e d´ıa de la semana ser´a en 100 d´ıas m´as? Problema 2. En Z11 , pruebe que para todo [x] 6= [0] existe [y] 6= [0] tal que [x][y] = [1]. Problema 3. a) Encuentre todos los divisores de cero en Z12 . b) Resuelva la ecuaci´on x2 − 5x + 6 = 0 en Z12 . Problema 4. Pruebe que el n´umero de elementos de Zn∗ es igual a ϕ(n). 9. Demuestra y usa criterios de irreducibilidad de polinomios en Q[x] y en Zp [x], con p primo. Problema 1. Sea F = Q o Zp . Demuestre que un polinomio de grado 2 o 3 con coeficientes en F es reducible si y s´olo si tiene una ra´ız en F. Problema 2. Pruebe que x3 + 3x + 2 es irreducible en Z5 [x]. Problema 3. Sea p(x) = an xn +· · ·+a0 un polinomio con coeficientes enteros tal que an 6= 0. Demuestre que las ra´ıces racionales de p(x) son de la forma r = m q , donde m es un divisor de a0 y q es un divisor de an . Problema 4. Encuentre las ra´ıces racionales, si las hay, de x4 + x3 + 2x − 11. 10. Resuelve ecuaciones diof´anticas lineales. Problema 1. a) ¿Tiene soluci´on la ecuaci´on diof´antica 15x + 27y = 1? b) Resuelva la ecuaci´on diof´antica 2x + 3y = 17.

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Problema 2. [3] Sea (x0 , y0 ) soluci´on de la ecuaci´on diof´antica ax − by = 1. Pruebe que el a´ rea del tri´angulo de v´ertices (x0 , y0 ), (b, a) y (0, 0) es igual a 12 . 11. Usa el Teorema Chino de los restos en los enteros. Problema 1. ¿Tiene soluci´on el siguiente sistema de congruencias x ≡ 5(mod 4) y x ≡ 7(mod 8)? Justifique. Problema 2. Determine un entero x que al ser dividido por 25 deja resto 10, al ser dividido por 12 deja resto 5 y al ser dividido por 13 deja resto 6. ´ 12. Utiliza las propiedades algebraicas y la forma trigonom´etrica de los numeros complejos. Encuentra ´ ra´ıces de numeros complejos. Problema 1. Escriba la forma trigonom´etrica de los siguientes n´umeros complejos. Dibuje. √ a) z = 4(1 − 3i). (−1 − i) b) z = √ . ( 3 − i) Problema 2. Utilize la f´ormula de De Moivre para calcular la potencia indicada. Expresar el resultado como pares ordenados de n´umeros reales. √ a) 2( 3 + i)7 . 
b) cos 5π 4 + i sen

5π 4


10

.

Problema 3. Calcule las ra´ıces que se especifican, repres´entelas en el plano complejo y exprese cada una de las ra´ıces en forma cartesiana. 

 4π a) Ra´ıces cuartas de 16 cos 4π . 3 + i sen 3 √ b) Ra´ıces c´ubicas de − 125 3i). 2 (1 + Problema 4. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: x4 − 81 = 0 y x3 + 64i = 0. ´ 13. Usa la representaci´on de los puntos del plano v´ıa los numeros complejos. Relaciona el producto de ´ numeros complejos con rotaciones y homotecias. √ Problema 1. Describa geom´etricamente el efecto de multiplicar el complejo 2+5i por el complejo 21 3+ 1 2 i. Problema 2. Represente geom´etricamente el efecto de multiplicar los complejos 7 + i, 6 + 3i y 5 + 2i por el complejo 3[cos(30◦ ) + i sen(30◦ )].

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Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 1

´ ´ 14. Conoce la evoluci´on hist´orica de los numeros de Fermat y de los numeros de Mersene as´ı como la ´ ´ conexi´on de estos ultimos con los numeros perfectos. Problema 1. [4] Realice una investigaci´on sobre la primalidad de los n´umeros de Fermat y de los n´umeros de Mersene. Investigue los aportes de Euler y de Euclides. 15. Conoce la evoluci´on hist´orica de la conjetura de Goldbach y la relaciona con la conjetura de Erd¨os. Problema 1. [3] [4] Realice una investigaci´on sobre las conjeturas de Goldbach y de Erd¨os. ¿Cu´ales fueron las constribuciones de Vinogradov? ¿Qu´e relaci´on existe entre la conjetura de Goldbach y la conjetura de Erd¨os?

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Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 2

Nivel 2 Enunciado. El estudiante describe en forma algebraica las transformaciones geom´etricas elementales del plano y del espacio. Descompone transformaciones usando transformaciones geom´etricas elementales. Maneja el concepto de simetr´ıas en las figuras planas y su relaci´on con las transformaciones geom´etricas del plano. En este nivel el estudiante conoce algunos grupos finitos como son: el grupo de permutaciones de un conjunto, el grupo de las simetr´ıas de una figura plana, el grupo afin, el grupo lineal y el grupo especial lineal. El alumno demuestra propiedades del cuerpo de los n´umeros constructibles con regla y comp´as. Conoce el problema de la construcci´on y trisecci´on de algunos a´ ngulos as´ı como la construcci´on de algunos pol´ıgonos regulares. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Describe en forma algebraica las transformaciones geom´etricas del plano. Problema 1. La funci´on φ~v : R2 → R2 , definida por φ~v (~x) = ~x + ~v , representa una traslaci´on del plano. Si ~v = (2, 5), encuentre las coordenadas de los v´ertices del cuadrado en que se transforma el cuadrado de v´ertices (1, 0), (0, 1), (−1, 0) y (0, −1). Dibuje ambos cuadrados. Problema 2. La funci´on Rot30◦ : R2 → R2 , definida por Rot30◦ (x, y) = (x cos(30◦ ) − y sen(30◦ ), x sen(30◦ ) + y cos(30◦ )) representa una rotaci´on de centro el origen y a´ ngulo que mide 30◦ . Encuentre las coordenadas del tri´angulo en que se transforma el tri´angulo de v´ertices (0, 0), (1, 0) y (0, 1). Dibuje ambos tri´angulos. Problema 3. Pruebe que la composici´on de dos reflexiones cuyos ejes forman un a´ ngulo de 30◦ es una rotaci´on Rot60◦ de centro el punto de intersecci´on de esos ejes.

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2. Describe en forma algebraica las transformaciones geom´etricas del espacio. Problema 1. Pruebe que  2/3 −1/3 2/3   A =  2/3 2/3 −1/3  −1/3 2/3 2/3 

es la matriz de rotaci´on en 60◦ alrededor de la recta de ecuaci´on x = y = z y centro el origen. Problema 2. a) Calcule las coordenadas en que se trasforman los v´ertices de un cubo definido por los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), mediante la rotaci´on anterior. b) Calcule las coordenadas en que se trasforma la pir´amide de v´ertices (0, 0, 0) y base el tri´angulo definido por los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), mediante la rotaci´on anterior. 3. Interpreta congruencias de figuras planas como composici´on de transformaciones geom´etricas elementales. Problema 1. Los tri´angulos de v´ertices (0, 0), (4, 0), (4, −2) y (−3, 0), (−5, 4), (−3, 4) son congruentes. Determine una secuencia de transformaciones geom´etricas elementales del plano que transforman un tri´angulo en el otro. 4. Opera con el grupo de permutaciones de un conjunto finito. Problema 1. Considere la permutaci´on de S8 dada por σ=

1 2

2 3

3 4

4 5

5 1

6 7

7 6

8 8

! .

Escr´ıbala como producto de ciclos disjuntos y luego como producto de transposiciones. Problema 2. Encuentre todos los subgrupos del grupo A4 . Problema 3. Dadas las siguientes afirmaciones, demu´estrelas si son verdaderas o d´e un contraejemplo si son falsas: a) La inversa de una permutaci´on par es par. b) Para toda σ, π ∈ Sn , (π ◦ σ)−1 = σ −1 ◦ π −1 . c) Para toda σ, π ∈ Sn , |σ ◦ π| = |σ||π|, donde |σ| denota el orden de la permutaci´on σ. d) Una permutaci´on σ es una transposici´on si y s´olo si σ 6= 1 y σ = σ −1 . Problema 4. Sea π = (1, 2)(3, 4, 5, 6, 7)(8, 9, 10, 11)(12) ∈ S12 . Determine el menor entero positivo k tal que π k = 1.

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Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 2

5. Conoce el grupo af´ın, el grupo lineal de orden n y el grupo especial lineal de orden n. Problema 1. Considere el conjunto de funciones A(R2 ) = {φa,~v : R2 → R2 , φa,~v (~x) = a~x + ~v / a ∈ R − {0}, ~v ∈ R2 }. Pruebe que A(R2 ) es cerrado para la composici´on y que constituye un grupo con esta operaci´on (grupo af´ın del plano). Problema 2. Sea T = Q, R o Zp y K = Z, Q, R o Zp , con p primo. Considere los conjuntos: GL(n, T )

= {A ∈ Mn (T ) / det(A) 6= 0},

SL(n, K)

= {A ∈ Mn (K) / det(A) = 1},

donde GL(n, T ) se conoce como grupo lineal de orden n y SL(n, K) como grupo especial lineal de orden n. a) Pruebe que GL(n, T ) y SL(n, K) son grupos bajo la multiplicaci´on de matrices. b) Pruebe que GL(n, T ) no es abeliano para todo n ≥ 2. c) Encuentre la tabla de multiplicaci´on del grupo GL(2, Z2 ). ! a b d) Sea M el conjunto de matrices de la forma , donde a, b, c ∈ R, tales que ac 6= 0. Pruebe 0 c que M es un subgrupo de GL(2, R). e) Sea ( H=

1 0

0 1

! ,

1 0 0 −1

! ,

−1 0

0 1

! ,

−1 0 0 −1

!) .

Pruebe que H es subgrupo de GL(2, R). 6. Conoce el grupo de simetr´ıas de una figura plana. Problema 1. Sea T un tri´angulo equil´atero. Determine todas las simetr´ıas de T y repres´entelas como permutaciones de sus v´ertices. Compare el resultado con S3 . Problema 2. Pruebe que el grupo S4 es el grupo de simetr´ıas de un tetraedro regular. Problema 3. Encuentre el grupo D8 , de las simetr´ıas de un cuadrado. Problema 4. ¿Cu´al es el grupo de simetr´ıas de un cubo? Problema 5. Sea P un pent´agono regular. Determine todas las simetr´ıas de P y repres´entelas como permutaciones de los v´ertices.

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´ 7. Demuestra propiedades del cuerpo de los numeros constructibles con regla y comp´as. Problema 1. Sea C = {α ∈ R / α es constructible con regla y comp´as}. Demuestre que: a) C es un subgrupo de R. b) C ∗ = C − {0} es un subgrupo de R∗ . √ c) Si α ∈ C, α > 0 entonces α ∈ C. 8. Construye algunos a´ ngulos con regla y comp´as. Problema 1. a) Construya un a´ ngulo que mida 30◦ y otro que mida 45◦ . b) Construya el coseno de un a´ ngulo que mide 22, 5◦ . 9. Justifica la trisecci´on de algunos a´ ngulos y la construcci´on de algunos pol´ıgonos regulares con regla y comp´as. Problema 1. a) Construya un pol´ıgono regular de 10 lados. b) Trisecte un a´ ngulo que mide 72◦ . c) ¿Es constructible un a´ ngulo que mida 3◦ ? 10. Comprende la importancia de las simetr´ıas en el estudio de la matem´atica moderna. Problema 1. [54] Realice una investigaci´on sobre la importancia de las simetr´ıas en la teor´ıa de grupos y las contribuciones de Artin.

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Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 3

Nivel 3 Enunciado. El estudiante demuestra propiedades de grupos. Usa el concepto de homomorfismo de grupos y los teoremas fundamentales para estos homomorfismos. Identifica y trabaja con grupos dados por relaciones. Encuentra el grupo cuociente de un grupo por un subgrupo normal. Construye grupos v´ıa productos directos y semi-directos. El alumno usa acciones de grupos sobre conjuntos para demostrar los Teoremas de Sylow. Utiliza estos teoremas para probar propiedades de grupos finitos. En este nivel el estudiante trabaja con la estructura de anillos y de ideales. Conoce el concepto de ideal primo e ideal maximal. Usa los Teoremas de Isomorf´ıa para anillos. Aplica el Teorema de Euler-Fermat en la resoluci´on de congruencias y conoce su aplicaci´on a la Criptograf´ıa. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Demuestra propiedades b´asicas de grupos. Problema 1. Sean S, T subgrupos de un grupo G, con S subgrupo normal. Pruebe que ST es un subgrupo de G ¿Es ST un subgrupo normal de G? Problema 2. Sea H un subgrupo de ´ındice 2 de un grupo finito G. Pruebe que para todo g ∈ G, gH = Hg. 2. Demuestra propiedades de los grupos c´ıclicos. Problema 1. Demuestre que un grupo c´ıclico de orden n tiene uno y s´olo un subgrupo de orden m para cualquier m divisor de n. Problema 2. Considere las siguientes matrices A=

0 1 −1 0

! y B=

elementos del grupo SL(2, Z) :

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0 1 −1 −1

! ,

a) Calcule el orden de A y de B. b) Pruebe que el subgrupo generado por AB es un subgrupo c´ıclico infinito. c) ¿Es finito el orden del producto de dos elementos de orden finito? Problema 3. Sea G un grupo c´ıclico y H un subgrupo de G de ´ındice m. Pruebe que el grupo cuociente G/H es c´ıclico de orden m. 3. Calcula el orden de un elementos de un grupo. Problema 1. Considere el grupo G1 = U (Z) de las unidades de Z. Encuentre el orden de cada elemento de G1 × Z8 . Problema 2. Calcule el orden de cada uno de los elementos del grupo A4 × Z8 . Problema 3. [24] Escriba la tabla de multiplicaci´on para el grupo multiplicativo formado por los elementos de Z12 que son relativamente primos con 12. ¿Es e´ ste un grupo c´ıclico? 4. Conoce el grupo de Klein. Problema 1. Considere el conjunto K4 , de las permutaciones de orden 2 de A4 , es decir, K4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Pruebe que: a)

K4 es un subgrupo de A4 .

b)

K4 ' Z2 × Z2 .

c)

Z2 × Z2 no es isomorfo a Z4 .

d) Todo grupo de orden 4 es isomorfo a K4 o a Z4 . 5. Demuestra propiedades de los grupos de permutaciones. Problema 1. Considere el grupo alternante An , con n ≥ 3. a) Pruebe que est´a generado por ciclos de longitud 3. b) Pruebe que An = < (123), (124), . . . , (12n) > . Problema 2. Sea G un subgrupo de Sn , n ≥ 5, que contiene todos los ciclos de longitud 3. Demuestre que si H es un subgrupo normal de G tal que G/H es abeliano, entonces H contiene todos los ciclos de longitud 3. Problema 3. Sea σ ∈ Sn y c = (i1 , . . . , ik ) un ciclo de longitud k en Sn . Pruebe que σ ◦ c ◦ σ −1 = (σ(i1 ), . . . , σ(ik )), es decir, σ ◦ c ◦ σ −1 es un ciclo de longitud k de Sn .

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Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 3

Problema 4. Pruebe que GL(2, Z2 ) es isomorfo a S3 . 6. Prueba propiedades del grupo diedral D2n y del grupo de cuaterniones Q2n . Problema 1. Pruebe que los grupos D2n

=

< a, b : an = 1, b2 = 1, ba = an−1 b >,

Q2n

=

< a, b : an = 1, b2 = a2 , ba = an−1 b >

son de orden 2n y no son abelianos para n > 2. Problema 2. Pruebe que D6 = < a, b : a3 = 1, b2 = 1, ba = a2 b > es isomorfo a S3 . Problema 3. Escriba la tabla de multiplicaci´on de D8 y de Q8 y encuentre el orden de cada uno de sus elementos. Problema 4. Pruebe que el grupo Q8 no es isomorfo al grupo D8 . 7. Encuentra grupos cuocientes y usa los Teoremas de Isomorf´ıa para grupos. Problema 1. Considere los grupos aditivos infinitos Q y Z. Encuentre el grupo cuociente Q / Z. Problema 2. Considere el grupo multiplicativo C∗ y sea U = {z ∈ C∗ / |z| = 1} el c´ırculo unitario. Pruebe que U ' R / nZ ∀ n ∈ N. Problema 3. Demuestre que C∗ / R∗ ' U / G, donde G = {1, −1}.   1 a b   Problema 4. Sea T el conjunto de matrices de la forma  0 1 c  , donde a, b, c ∈ R. 0 0 1 Demuestre que Z(T ) ' R y que T / Z(T ) ' R × R, donde R es grupo bajo la suma. 8. Caracteriza grupos construidos por productos directos y semi-directos. Problema 1. Sean G1 , G2 , G3 grupos. ¿Es cierto que el producto directo de los tres grupos es abeliano si y s´olo si cada Gi , i = 1, 2, 3, es abeliano? Problema 2. Caracterice el grupo diedral D2n como un producto semi-directo. Problema 3. Pruebe que todo grupo de orden 25 o es c´ıclico o es isomorfo a un producto directo de dos grupos c´ıclicos de orden 5. Problema 4. Obtenga la descomposici´on en producto semi-directo del grupo de simetr´ıas del cubo.

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9. Usa acciones de grupos sobre conjuntos finitos. Problema 1. Demuestre que la acci´on natural de un grupo sobre las clases laterales de cualquiera de sus subgrupos es una acci´on transitiva. Problema 2. ¿Act´ua transitivamente el grupo de las transformaciones lineales de un espacio vectorial de dimensi´on finita, sobre el conjunto de vectores? Problema 3. Demuestre que el grupo de las traslaciones de un espacio vectorial de dimensi´on finita act´ua transitivamente sobre el conjunto de vectores. Problema 4. Sea G un subgrupo de permutaciones de un conjunto S. Demuestre que G act´ua sobre el conjunto formado por los subconjuntos de S de cardinalidad 2. 10. Utiliza los Teoremas de Sylow para probar propiedades de grupos finitos. Problema 1. [54] a) Demuestre que ning´un grupo de orden 39 es simple. b) Demuestre que ning´un grupo de orden 45 es simple. Problema 2. Encuentre todos los 3-Sylow de S4 y pruebe que ellos son conjugados. Problema 3. Demuestre que un grupo diedral de orden 2k n, con n n´umero impar, contiene n subgrupos de Sylow de orden 2k . 11. Conoce ejemplos de anillos, subanillos e ideales. Problema 1. Pruebe que el conjunto de los enteros provisto de las operaciones a ∗ b = a + b − 1 y a ◦ b = a + b − ab es un anillo. Con esta estructura de anillo ¿es 5Z un ideal de Z? Problema 2. Sea X un conjunto y (A, ⊕, ) un anillo. Considere el conjunto AX = {f : X → A / f funci´on}. Defina (f + g)(x) = f (x) ⊕ g(x); (f g)(x) = f (x) g(x). a) Pruebe que AX con estas dos operaciones es un anillo. b) Pruebe que si A es conmutativo entonces AX es conmutativo. Problema 3. Considere el anillo C(R) de las funciones reales continuas. Demuestre que H = {f ∈ C(R) / f (0) = 0} es un ideal de C(R). Problema 4. [24] Considere el anillo R = Z × Z. a) Encuentre un subanillo de R que no sea ideal de Z × Z. b) Encuentre un ideal maximal de R.

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Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 3

c) Encuentre un ideal primo de R que no sea maximal. Problema 5. [24] Pruebe que {a + xq(x) / a ∈ 2Z, q(x) ∈ Z[x]} es un ideal en Z[x]. 12. Encuentra ideales primos y maximales. Problema 1. Encuentre todos los ideales primos y maximales del anillo R = Z12 . Problema 2. Sea R anillo conmutativo e I ideal de R. Defina (R : I) = {a ∈ R / an ∈ I para alg´un n ∈ N } y pruebe que es un ideal de R. ¿Es un ideal primo? 13. Conoce dominios de integridad y encuentra unidades. Problema 1. [24] Sea n ∈ N, tal que

√

√ Z[ n] √ Z[ −n]

n∈ / N. Se define: √ = {a + b n / a, b ∈ Z} ⊆ R, √ = {a + ib n / a, b ∈ Z} ⊆ C.

√ √ a) Pruebe que Z[ n] y Z[ −n] son subanillos de R y de C respectivamente. b) ¿Son dominios de integridad? √ √ √ c) Se definen dos funciones N1 : Z[ n] → Z y N2 : Z[ −n] → N por N1 (a + b n) = a2 − nb2 y √ N2 (a + ib n) = a2 + nb2 , respectivamente. Pruebe que Ni es multiplicativa para i = 1, 2. √ √ d) Encuentre las unidades de Z[ n] y de Z[ −n] respectivamente. 14. Calcula anillos cuocientes y utiliza los Teoremas de Isomorf´ıa para anillos. Problema 1. [24] Encuentre todos los ideales I de Z12 . En cada caso encuentre Z12 / I. Problema 2. D´e la tabla de suma y de multiplicaci´on del anillo cuociente 2Z / 8Z. ¿Son 2Z / 8Z y Z4 anillos isomorfos? 15. Comprende y usa el Teorema de Euler-Fermat. Problema 1. Resuelva la congruencia 5x ≡ 3(mod 24). Problema 2. [24] Use el peque˜no Teorema de Fermat y que 383838 = 2 · 3 · 7 · 13 · 19 · 37 para probar que n37 − n es divisible por 383838 para todo n ∈ N. Problema 3. Sean a, n ∈ N, tales que (a, n) = 1 y (a − 1, n) = 1. Pruebe que 1 + a + · · · + aϕ(n)−1 ≡ 0 (mod n).

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´ 16. Aplica el Teorema de Euler-Fermat en la Criptograf´ıa de clave publica. Problema 1. [57] Alicia desea enviar un mensaje cifrado M a Roberto. Suponga que la funci´on de cifrado de Roberto es E(M ) = M 53 (mod 589). Alicia cifra el mensaje M , calcula E(M ) = 289 y manda el valor 289 a Roberto. ¿Cu´al fue el mensaje M que envi´o Alicia? 17. Conoce las constribuciones de L. Sylow a la teor´ıa de grupos. Problema 1. Haga una investigaci´on de las constribuciones de L. Sylow a la teor´ıa de grupos. 18. Conoce las constribuciones de E. Noether a la teor´ıa de anillos. Problema 1. Haga una investigaci´on de las constribuciones de E. Noether a la teor´ıa de anillos, en especial a los anillos que llevan su nombre.

82

Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 4

Nivel 4 Enunciado. El estudiante comprende la estructura de cuerpo. Conoce criterios para estudiar la irreducibilidad de polinomios. Construye cuerpos a partir de un ideal maximal de un anillo y como cuociente de dominios de integridad. En este nivel el estudiante resuelve problemas relativos a extensiones de cuerpos, algebraicas y trascendentales. Usa estas propiedades en la resoluci´on de problemas cl´asicos como la duplicaci´on del cubo, la cuadratura del c´ırculo y la trisecci´on de un a´ ngulo. Calcula cuerpos de descomposici´on de polinomios sobre los racionales y sobre cuerpos finitos. Aplica el Teorema de Galois al estudio de las estructuras de las extensiones finitas de cuerpos. Usa extensiones finitas, los Teoremas de Sylow y Teorema de Galois para probar el Teorema Fundamental del Algebra. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Usa el Criterio de irreducibilidad de Eisenstein. Problema 1. Pruebe que el polinomio h(x) = x5 + 4x4 − 6x2 + 12x + 2 es irreducible en Q[x]. 2. Aplica la sustituci´on de x por x + a para probar la irreducibilidad de polinomios. Problema 1. Pruebe que el polinomio ciclot´omico φp (x) =

xp − 1 = xp−1 + · · · + x + 1, es irreducible x−1

en Q[x] para cualquier primo p. 3. Construye cuerpos a partir de un ideal maximal del anillo. Problema 1. Demuestre que Z11 [x] / < x2 + x + 4 > es un cuerpo. Problema 2. Considere el cuerpo F = R[x] / < x2 + 3 > . Pruebe que todo elemento de F es de la forma (ax + b)+ < x2 + 3 >, con a, b ∈ R, a = 6 0. Problema 3. Considere el anillo cuociente A = R[x] / < x2 + x + 1 > . a) Demuestre que A es un cuerpo.

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b) Demuestre que A es isomorfo al cuerpo de los n´umeros complejos. 4. Construye cuerpos a partir de un dominio de integridad. Problema 1. Considere el anillo de enteros de Gauss Z[i] = {a + bi / a, b ∈ Z}. a) Pruebe que Z[i] es un dominio de integridad. b) Pruebe que Q[i] = {a + bi / a, b ∈ Q} es el cuerpo de cuocientes de Z[i]. 5. Resuelve problemas relativos a extensiones algebraicas. √ √ √ √ Problema 1. Pruebe en detalle que Q( 3 + 7) = Q( 3, 7). 1

1

Problema 2. Calcule el grado de la extensi´on Q(2 3 , 3 2 ) sobre Q. 1

1

1

Problema 3. [24] Considere las extensiones Q(2 6 ) y Q(2 2 , 2 3 ) de los n´umeros racionales. 1

1

a) Encuentre una base de Q(2 2 , 2 3 ) sobre Q. 1

1

1

b) Pruebe que Q(2 2 , 2 3 ) = Q(2 6 ). 6. Usa el Teorema de Caracterizaci´on de un n-´agono regular constructible con regla y comp´as. Problema 1. a) Justifique que un 30-´agono regular es constructible con regla y comp´as. b) Justifique que un 99-´agono regular es constructible con regla y comp´as. Problema 2. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, demostrando o dando un contraejemplo. a) El 15-´agono regular es constructible con regla y comp´as. b) Para un primo p, el p-´agono regular es constructible si s´olo si p es un n´umero de Fermat. 7. Aplica extensiones algebraicas en la soluci´on de problemas cl´asicos de la geometr´ıa Euclideana. Problema 1. Problema de la duplicaci´on del cubo. Demuestre que no es posible construir con regla y comp´as el lado de un cubo de volumen 2 cm3 . Problema 2. Problema de la trisecci´on de un a´ ngulo. Pruebe que no es posible trisectar un a´ ngulo que mida 40◦ . Problema 3. Encuentre el n´umero natural n m´as peque˜no de manera que el a´ ngulo que mida n grados sea constructible.

84

Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 4

8. Usa el hecho que π es trascendente sobre Q para resolver el problema de la cuadratura del c´ırculo o la construcci´on con regla y comp´as de π. Problema 1. Problema de la cuadratura del c´ırculo. Pruebe que no es posible construir con regla y comp´as un c´ırculo de a´ rea 4. ˜ 9. Calcula el cuerpo de descomposici´on Kp(x) de polinomios de grados pequenos. Problema 1. Calcule Qp(x) para los polinomios: x3 − 11, x5 − 1, x6 − 1 y x4 − 2x2 − 8. 10. Construye grupos de Galois para extensiones de Q y cuerpos finitos. Problema 1. Considere el cuerpo Qp(x) para el polinomio p(x) = x5 − 1. Encuentre el grupo de Galois G(Qp(x) , Q) y pruebe que es un grupo c´ıclico de orden 4. Problema 2. Sean Fpm ⊆ Fpn cuerpos finitos. m

a) Demuestre que φm : Fpn → Fpn definida por φ(x) = xp es un generador de G(Fpn , Fpm ). b) Demuestre que G(Fpn , Fpm ) es un grupo c´ıclico. 11. Aplica el Teorema de la correspondencia de Galois. Problema 1. [24] Considere el cuerpo de descomposici´on Qp(x) para el polinomio p(x) = x4 − 2. a) Encuentre todos los subgrupos H de G(Qp(x) , Q). b) Encuentre todos los cuerpos fijos para cada subgrupo H de la parte a) y haga los diagramas mostrando la correspondencia de Galois. Problema 2. Considere el cuerpo Qp(x) para el polinomio p(x) = x3 −11. Encuentre todos los subcuerpos de Kp(x) y los subgrupos de G(Qp(x) , Q) y haga los diagramas mostrando la correspondencia de Galois. Problema 3. Considere el cuerpo finito Fp12 . Encuentre todos sus subcuerpos y los subgrupos de G(Fp12 , Fp ) y haga los diagramas mostrando la correspondencia de Galois. 12. Usa extensiones finitas, Teoremas de Sylow y el Teorema de Galois para demostrar el Teorema Fundamental del Algebra. Problema 1. Pruebe que el cuerpo de los n´umeros complejos no admite extensiones de grado 2. Problema 2. Use los Teoremas de Sylow y el Teorema de Galois para probar que la u´ nica extensi´on finita de C es C. Problema 3. Pruebe el teorema fundamental del a´ lgebra: Todo polinomio f (x) ∈ C[x] de grado ≥ 1 tiene una ra´ız en C.

85

´ 13. Investiga la existencia de algunos numeros trascendentes. Problema 1. [37] Realice una investigaci´on sobre la trascendencia del n´umero π y del n´umero e. Averigue los aportes realizados por Lindemann y por Hermite respectivamente. 14. Comprende el problema de la f´ormula para la obtenci´on de ra´ıces de polinomios de grado n, expresadas por medio de radicales. Investiga la obtenci´on de ra´ıces de polinomios de grados 3 y 4, expresadas por medio de radicales y el significado del problema de la insolubilidad de la qu´ıntica. Problema 1. [65] Investigue la obtenci´on de ra´ıces de polinomios de grados 3 y 4, expresadas por medio de radicales. Problema 2. [65] Investigue el significado del problema de la insolubilidad de la qu´ıntica. 15. Conoce las constribuciones de E. Galois en la Teor´ıa de Cuerpos. Problema 1. Realice una investigaci´on sobre la vida de E. Galois. ¿Qu´e acontecimientos hist´oricos afectaron a Galois en su corta vida? Los escritos de Galois no se publicaron inmediatamente. ¿Qui´en y cu´ando fueron difundidos? ¿Se puede decir que Galois es el fundador de la teor´ıa de grupos? Investigue sobre la influencia de Galois en otros matem´aticos y en el desarrollo de la Matem´atica en general.

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Matem´atica .:. Estructuras algebraicas .:. Bibliograf´ıa

Nota bibliogr´afica para el eje de Estructuras Algebraicas En la preparaci´on de los est´andares del eje de Estructuras Algebraicas se consult´o varios textos, los que se detallan en la bibliograf´ıa dada m´as abajo. El texto de G. H. Hardy y Wright [29] es un cl´asico en la Teor´ıa de N´umeros, que no puede estar ausente de estos est´andares y que se complementa muy bien con los textos de T. M. Apostol [4] y de G. E. Andrews [3]. El texto de B. L. Van der Waerden [65] es un cl´asico en la Teor´ıa de Anillos y de Cuerpos que junto con los textos de J. B. Fraleigh [24] y de I. N. Hernstein [30] dan un acabado tratamiento de estos temas. El libro de F. Klein [37] es una joya en lo que respecta a la soluci´on de los tres problemas cl´asicos de la duplicaci´on del cubo, de la cuadratura del c´ırculo y de la trisecci´on de un a´ ngulo. Este libro otorga un tratamiento elemental al tema desde un punto de vista de la matem´atica moderna y tambi´en a la demostraci´on de la trascendencia de e y de π. El texto de I. N. Hernstein [30] trae una muy buena demostraci´on de los Teoremas de Sylow usando acciones de grupos sobre conjuntos finitos. Por otra parte, el libro de J. S. Rose [54] considera con bastante detalle la estructura de los grupos. Finalmente el texto de E. R. Scheinerman [57] es una buena referencia para la aplicaci´on del Teorema de EulerFermat a la Criptograf´ıa.

Sugerencias para la implementaci´on curricular Este eje provee la oportunidad de profundizar en el aspecto abstracto de la Matem´atica. Desde ese punto de vista en una implementaci´on curricular es conveniente que el desarrollo del eje en el tiempo permita la maduraci´on de los conceptos por parte de los alumnos. Este eje tiene fuertes conexiones con el eje de geometr´ıa, las que pueden reforzarse por medio de cursos o seminarios que exploten este hecho. Finalmente, los temas de este eje tambi´en permiten abrir la discusi´on sobre la naturaleza propia de la Matem´atica, que debe su desarrollo por un lado a la vertiente de las aplicaciones y por otro lado a su vertiente interna, rica en preguntas y desaf´ıos intelectuales.

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Bibliograf´ıa para el eje [3] Andrews, G. E., Number Theory. Dover Pub. Company, N. Y. 1971. [4] Apostol, T. M., Introduction to Analytic Number Theory. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, N. Y. 1976. [24] Fraleigh, J. B., A first course in Abstract Algebra. Addison Wesley Pub., 1971. [30] Hernstein, I. N., Topics in Algebra, Blasdell Pub. Company, 1964. [29] Hardy, G. H. y Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 1954. [37] Klein, F., Famous problems of elementary Geometry. Dover Pub. N.Y 1956. [54] Rose, J. S., A course on Group Theory, Dover Pub. Company, N. Y. 1994. [57] Scheinerman, E. R., Matem´aticas Discretas, International Thomson Editores, S. A. 2001. [65] Van der Waerden, B. L., Modern algebra, Vol. I, Frederick Ungar Pub. Co. N.Y. 1966.

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Eje 3 Algebra Lineal

( ( 1 a b 0 1 c 0 0 1

Matem´atica .:. Algebra lineal

ALGEBRA LINEAL Descripci´on General El Algebra Lineal y la teor´ıa de los Espacios Vectoriales constituyen una hermosa abstracci´on que a su vez tiene innumerables e interesantes aplicaciones a los m´as diversos a´ mbitos. Si bien los espacios vectoriales son estructuras algebraicas particulares, hemos querido distinguirla de las dem´as para enfatizar su importancia. El Profesor de Matem´atica conoce el a´ lgebra de matrices, la noci´on de determinante y de matriz invertible. Plantea sistemas de ecuaciones, los representa matricialmente y los resuelve. Usa el m´etodo de Gauss para determinar el conjunto soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales cualquiera. Concibe el m´etodo de Gauss como un algoritmo finito que, simult´aneamente provee de un m´etodo efectivo para obtener soluciones y de un m´etodo de an´alisis general. El Profesor de Matem´atica conoce a fondo la estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´umeros reales y de los n´umeros complejos. Especialmente familiares son los espacios de matrices, de polinomios y de funciones en general. Comprende la importancia del problema de valores y vectores propios, tanto desde el punto de vista te´orico como pr´actico. Relaciona el polinomio caracter´ıstico de una matriz con sus valores propios y determina si una matriz es diagonalizable. El Profesor de Matem´atica modela problemas de evoluci´on discretos y analiza el comportamiento asint´otico de estos modelos. Es consciente que la modelaci´on forma parte sustancial de la Matem´atica y es un fuerte acicate para su desarrollo. A trav´es de la noci´on de producto interno sobre un espacio vectorial, se familiariza con conceptos geom´etricos b´asicos en espacios abstractos. En particular, conoce el problema de la proyecci´on ortogonal y lo interpreta como un problema de minimizaci´on. Aplica proyecciones en diversos espacios con producto interno. El Profesor de Matem´atica es capaz de modelar y encuentra en la programaci´on lineal una herramienta muy rica para el desarrollo de esta capacidad. Resuelve problemas de optimizaci´on lineal mediante el m´etodo gr´afico. Conoce los fundamentos del m´etodo simplex y los aplica para la resoluci´on de problemas concretos.

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Cuadro sinóptico Niveles del eje

Nivel 1

Nivel 2

El estudiante realiza las operaciones básicas con matrices. A través del método de Gauss es capaz de resolver sistemas lineales. Comprende la importancia del método como un algoritmo que permite determinar el conjunto solución de un sistema lineal cualquiera. Conoce el concepto de matriz invertible y usa el método de Gauss para invertir matrices.

El estudiante sistematiza las estructuras de espacio de vectores de RN y de matrices, en la noción de Espacio Vectorial. Trabajando sobre el cuerpo de los números reales, el alumno comprende que la abstracción hecha también permite estudiar espacios de funciones lineales y de funciones en general, bajo la misma estructura. En este nivel se formaliza la noción de base y de dimensión de un espacio vectorial. El alumno comprende la noción de dimensión infinita y conoce ejemplos.

El estudiante calcula determinantes y usa la regla de Cramer para resolver sistemas.

El alumno comprende que un espacio vectorial se puede definir sobre cualquier cuerpo, en particular conoce los espacios complejos y relaciona espacios complejos con espacios reales.

El alumno conoce varios ejemplos en los cuales las matrices sirven para describir situaciones de la vida real. Es capaz de modelar situaciones simples usando sistemas lineales.

El alumno entiende que las funciones lineales son las transformaciones naturales en el contexto de los espacios vectoriales y aprende a manipularlas y a representarlas.

94

Eje 3: Algebra Lineal Nivel 3

Nivel 4

El estudiante conoce la noción de producto interno en un espacio vectorial general. El alumno comprende las proyecciones ortogonales en cualquier dimensión y estudia ciertos aspectos geométricos de los espacios con producto interno. Resuelve problemas provenientes de algunas aplicaciones usando la noción de proyección. Finalmente el alumno extiende la noción de producto interno a espacios de dimensión infinita.

El estudiante desarrolla la programación lineal como herramienta para modelar diversos problemas de la vida real. Para problemas de dos variables, el estudiante interpreta y resuelve geométricamente los problemas de programación lineal. En el caso de muchas variables, el alumno conoce el método simplex como el método usual de resolución de problemas de programación lineal. Resuelve problemas de tamaño pequeño. El alumno continúa desarrollando su capacidad para modelar.

El alumno aborda el problema de valores propios de matrices y en general de operadores lineales en dimensión finita. Usando valores propios obtiene nuevas formas de caracterizar la invertibilidad de matrices.

En este nivel se aborda el problema de Flujo en Grafos. El alumno conoce y aplica un algoritmo para resolverlo. El estudiante formula alternativamente el problema de Flujo en Grafos como un problema de programación lineal.

El alumno comprende los teoremas básicos de representación canónica, como la diagonalización de matrices simétricas. Conoce la descomposición de matrices en su forma normal de Jordan. En este nivel el alumno encuentra nuevas aplicaciones del álgebra lineal, relativas a problemas de valores propios. El alumno conoce problemas de dinámica de poblaciones y de economía.

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Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 1

Nivel 1 Enunciado. El alumno realiza las operaciones b´asicas con matrices. A trav´es del m´etodo de Gauss es capaz de resolver sistemas lineales. Comprende la importancia del m´etodo como un algoritmo que permite determinar el conjunto soluci´on de un sistema lineal cualquiera. Conoce el concepto de matriz invertible y usa el m´etodo de Gauss para invertir matrices. El estudiante calcula determinantes y usa la regla de Cramer para resolver sistemas. El alumno conoce varios ejemplos en los cuales las matrices sirven para describir situaciones de la vida real. Es capaz de modelar situaciones simples usando sistemas lineales. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Opera algebraicamente con matrices. Problema 1. Muestre que no existen matrices reales de 2 × 2 A y B tales que AB − BA =

1 0

! 0 . 1

Problema 2. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si A y B son matrices de n × n entonces (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 . b) Si A, B, C son matrices invertibles entonces (ABC)−1 = A−1 B −1 C −1 . c) Si A, B, C son matrices entonces (ABC)t = C t B t At .

97

Problema 3. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El producto de matrices sim´etricas es una matriz sim´etrica. b) El producto de matrices antisim´etricas es una matriz antisim´etrica. c) El producto de matrices tridiagonales es tridiagonal. d) El producto de matrices triangulares superiores es triangular superior. e) El producto de matrices doblemente estoc´asticas es una matriz doblemente estoc´astica. Problema 4. Suponga que la matriz A es nilpotente, es decir, existe n ≥ 1 tal que An = 0. Muestre que la matriz I − A es invertible y que su inversa es I + A + A2 + . . . + An−1 . 2. Usa matrices para modelar. Problema 1. Considere un grupo de personas que interact´ua de acuerdo a una cierta relaci´on. Si anotamos por P1 , . . . , Pn estas personas, construimos una matriz A de modo que Aij es igual a 1 si Pi est´a relacionado con Pj y cero si no. Como convenci´on Pi no se relaciona consigo mismo. a) ¿Cu´al es el significado de A2 ? b) ¿Es posible que haya elementos no nulos en la diagonal de A2 ? ¿C´omo se interpreta? c) En un vecindario hay 4 personas P1 , P2 , P3 y P4 . Si P1 escucha un rumor, e´ sta se lo cuenta a P2 y P4 . P2 le cuenta todos los rumores a P3 . P3 le pasa los rumores a P1 y a P4 no le gusta contar rumores. i) Si P1 sabe un rumor, ¿despu´es de cuantos pasos lo sabr´an todos? ii) Si P3 sabe un rumor, ¿despu´es de cuantos pasos lo sabr´an todos? d) Encuentre otra interpretaci´on social a: “Pi est´a relacionado con Pj ”. 3. Clasifica y resuelve sistemas de ecuaciones lineales usando el algoritmo de Gauss. Usa el algoritmo de Gauss para determinar invertibilidad de matrices y para calcular inversas. Problema 1. Determine los valores para los par´ametros α y β para los cuales el sistema de ecuaciones x + 2y + 3z

=

1,

2x + 3y + 4z

= β,

3x + 4y + αz

= 1,

tiene como conjunto soluci´on:

98

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 1

a) Un singleton. b) El conjunto vac´ıo. c) Un conjunto infinito. ¿Puede que el conjunto soluci´on del sistema tenga dos elementos? Problema 2. Encuentre el conjunto soluci´on del sistema x + 2y + 3z + w

=

6,

x+z+w

=

3.

Problema 3. Al utilizar el algoritmo de Gauss para invertir una matriz se ha llegado a la siguiente matriz intermedia   1 31 −71 10    0 6 13 41   .  0 0 0 −5    0 0 7 85 Determine si la matriz original es invertible. 4. Interpreta el m´etodo de Gauss como un m´etodo de factorizaci´on matricial. Problema 1. Indique qu´e matrices elementales hay que usar para transformar la matriz  2  0 A= 2  0

4 3 7 0

0 3 9 6

 2  1  7  5

en una matriz triangular superior. Obtenga una descomposici´on LU de A. ´ 5. Determina el numero de operaciones que requiere el algoritmo de Gauss. Problema 1. Determine el n´umero de operaciones (multiplicaciones y divisiones) que requiere el algoritmo de Gauss para: a) Resolver un sistema lineal Ax = b. b) Descomponer una matriz en la forma LU , cuando es posible. c) Descomponer una matriz tridiagonal en forma LU , cuando es posible.

99

6. Calcula determinantes. Interpreta geom´etricamente el determinante. Problema 1. Calcule el volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores (1, 2, 3), (−2, 5, 2) y (7, 6, 5). Problema 2. Calcule el determinante de la matriz   2 0 1 3    3 2 −4 −2  .   2 3 −1 0    9 6 −4 6 Problema 3. Sean A y B matrices cuadradas. Demuestre que: a) det(AB) = det(A) det(B). ! A 0 b) det = det(A) det(B). 0 B Problema 4. Si u, v son vectores columna demuestre que det(I + uv t ) = 1 + ut v. 7. Aplica la regla de Cramer para resolver sistemas y para demostrar propiedades. Problema 1. Resuelva el siguiente sistema usando la regla de Cramer: x + 4y − z

=

1,

x+y+z

=

1,

2x + 3z

=

0.

Problema 2. a) Suponga que A es una matriz con coeficientes enteros. D´e una condici´on sobre el determinante de A para que la matriz A−1 tambi´en tenga coeficientes enteros. b) Suponga que A y A−1 tienen coeficientes enteros. ¿Se puede decir que el determinante de A es 1 o −1? 8. Modela problemas usando sistemas lineales. Problema 1. Modelo econ´omico de Leontief para los precios en una econom´ıa cerrada. [38] Se considera una econom´ıa muy simple en la cual hay solamente tres agentes: agricultor, carpintero y sastre. Se supone que cada uno de ellos produce una unidad de su producto y que esta es usada en su totalidad por los otros agentes, es decir, se trata de una econom´ıa cerrada. El consumo de cada agente queda determinado en la siguiente tabla de datos

100

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 1

Agricultor

Carpintero

Sastre

Agricultor

7/16

1/2

3/16

Carpintero

5/16

1/6

5/16

Sastre

1/4

1/3

1/2

Donde las columnas representan los bienes producidos y las filas los bienes consumidos por cada agente. Denotamos por p1 , p2 y p3 el ingreso de cada uno de los agentes de la econom´ıa. a) Plantee el sistema que relaciona la matriz A, que aparece en la tabla, con el vector de precios o ingresos, para obtener Ap = p. b) Resuelva el sistema. ¿C´omo interpreta el hecho que existan infinitas soluciones? c) Plantee el problema en una econom´ıa con n agentes. ¿Qu´e condici´on debe satisfacer la matriz A? ¿Qu´e condiciones debe satisfacer la soluci´on p? Explique. Problema 2. Modelo econ´omico de Leontief para la producci´on en una econom´ıa abierta. [38] Se considera que la econom´ıa est´a constituida por n rubros Ri , cada uno de los cuales produce un art´ıculo Ai . Se quiere determinar la cantidad xi del art´ıculo Ai que debe producirse con el fin de satisfacer la demanda interna, de los otros rubros, m´as una demanda externa para exportaci´on. Se dispone de los n´umeros cij que representan la cantidad del art´ıculo Aj que se requiere para producir una unidad del art´ıculo Ai . Si C es la matriz de los coeficientes cij , x es el vector con componentes xi y d es el vector de demanda externa, entonces el modelo queda determinado por x = Cx + d. a) Explique c´omo se obtiene este modelo. Construya un ejemplo. b) ¿Qu´e condici´on debe satisfacer x para que tenga sentido econ´omico? c) Investigue las condiciones sobre la matriz C, de modo que se cumpla la condici´on dada en b). 9. Investiga sobre otras aplicaciones de las matrices. Problema 1. a) Averig¨ue sobre aplicaciones de las matrices al estudio de circuitos el´ectricos. En particular explique el significado de la Ley de Kirchhoff. b) Averig¨ue sobre el uso de matrices en problemas de tr´afico vehicular. c) Encuentre analog´ıas y diferencias entre las dos aplicaciones anteriores.

101

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 2

Nivel 2 Enunciado. El alumno sistematiza las estructuras de espacio de vectores de RN y de matrices, en la noci´on de Espacio Vectorial. Trabajando sobre el cuerpo de los n´umeros reales, el alumno comprende que la abstracci´on hecha tambi´en permite estudiar espacios de funciones lineales y de funciones en general, bajo la misma estructura. En este nivel se formaliza la noci´on de base y de dimensi´on de un espacio vectorial. El alumno comprende la noci´on de dimensi´on infinita y conoce ejemplos. El alumno comprende que un espacio vectorial se puede definir sobre cualquier cuerpo, en particular conoce los espacios complejos y relaciona espacios complejos con espacios reales. El alumno entiende que las funciones lineales son las transformaciones naturales en el contexto de los espacios vectoriales y aprende a manipularlas y a representarlas. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Conoce la definici´on de espacio vectorial sobre un cuerpo. Demuestra propiedades que se deducen de la definici´on. Problema 1. Demuestre las siguientes leyes de cancelaci´on en un espacio vectorial V : a) Si x ∈ V , x 6= 0 entonces c1 , c2 ∈ K, c1 x = c2 x implica c1 = c2 . b) Si c 6= 0 entonces x, y ∈ V , cx = cy implica x = y. 2. Conoce el concepto de isomorfismo de espacios vectoriales. Problema 1. Considere el subespacio de las matrices M2,2 (R) ( V =

a b −b a

!

) / a, b ∈ R .

Demuestre que V es isomorfo a CR , el espacio vectorial C sobre el cuerpo de los reales.

103

3. Demuestra independencia lineal de vectores y encuentra espacios generados por un conjunto de vectores. Comprende el concepto de suma directa de espacios vectoriales. Problema 1. Suponga que {x1 , x2 , x3 } es un conjunto linealmente independiente en RN . ¿Qu´e puede decir de los conjuntos {x1 + x2 , x2 + x3 , x3 + x1 } y {x1 , x1 + x2 , x1 + x2 + x3 }? Problema 2. ¿Cu´al de los siguientes conjuntos son linealmente independientes en el espacio de las funciones reales continuas C(R)? a) {cos x, cos2 x, cos3 x, ..., cosn x}, n ∈ N. b) {ex , e2x , x, x2 }. Problema 3. a) Encuentre el subespacio de R4 generado por las columnas de la matriz      

1 −2 3 2 3 3 −1 2

0 3 −4 8 1 4 7 2 3 0 4 −3

   .  

b) Encuentre el subespacio de P [t] generado por los polinomios t − 2, 2t − 1, 4t − 2, t2 − t + 1 y t2 + 2t + 1. Problema 4. Demuestre que C(R) se puede descomponer en suma directa de los subespacios P = {f : R → R / f es par} e I = {f : R → R / f es impar}. 4. Conoce y aplica el concepto de base y dimensi´on de un espacio vectorial. Problema 1. Determine la dimensi´on de los siguientes subespacios vectoriales de Mn (R): a) El subespacio de las matrices diagonales. b) El subespacio de las matrices triangulares superiores. c) El subespacio de las matrices sim´etricas y el subespacio de las matrices antisim´etricas. d) El subespacio de las matrices tridiagonales. Problema 2. Demuestre que los vectores (3 − i, 2 + 2i, 4), (2, 2 + 4i, 3) y (1 − i, −2i, 1) forman una base de C3C , el espacio vectorial C3 sobre el cuerpo C. Encuentre las coordenadas de los vectores can´onicos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en esta base. Problema 3. Encuentre una base de R4 que contenga a los vectores      

1 1 3 4





     y     

104

−1 1 0 2

   .  

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 2

Problema 4. Considere el espacio vectorial F (R) de las funciones de R en R. En F (R) considere las funciones fa definidas como  1 t ≥ a, fa (t) = 0 t < a. Demuestre que el conjunto A = {fa / a ∈ R} es linealmente independiente y en consecuencia F (R) tiene dimensi´on infinita ¿Es A una base de F (R)? Problema 5. El conjunto {sen(nθ) / n ∈ N} es linealmente independiente. ¿Es una base de P (2π), el espacio de las funciones peri´odicas de R en R, de per´ıodo 2π? ´ 5. Encuentra el Nucleo y la Imagen de una aplicaci´on lineal. Conoce la Ley de Silvester y la aplica. Problema 1. Sea f una transformaci´on lineal entre los espacios vectoriales X e Y . Demuestre que si {f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xk )} es un conjunto linealmente independiente entonces el conjunto {x1 , x2 , . . . , xk } es linealmente independiente. Problema 2. Determine el rango y la nulidad de la matriz      

 1 2 1 3 −1  2 1 −1 2 2  . 1 0 0 −1 0   4 1 −1 0 1

Problema 3. Considere la funci´on lineal L : R4 → R3 definida por L(x, y, z, w) = (x + y, y + z, z + w). Encuentre el N´ucleo de L e indique la dimensi´on de la Imagen de L ¿Es L sobreyectiva? Problema 4. Encuentre la imagen de la aplicaci´on lineal L : R3 → P4 [x] definida por L(a, b, c) = a + bx + cx2 + x(a + bx) + x2 (2b − 3cx2 ). ¿Cu´al es la nulidad de L? Problema 5. Sea X de dimensi´on finita y f ∈ L(X, X) tal que Ker(f ) = Ker(f 2 ). Demuestre que X = Ker(f ) ⊕ Im(f ). 6. Usa conceptos de Espacios Vectoriales y de Transformaciones Lineales para reinterpretar los sistemas de ecuaciones lineales. Problema 1. Considere la matriz A ∈ Mn×m (R) y la funci´on lineal L : Rm → Rn definida por L(x) = Ax. Interprete las posibles salidas del m´etodo de Gauss para resolver la ecuaci´on Ax = b, en t´erminos del n´ucleo e imagen de la aplicaci´on L.

105

Problema 2. Encuentre un sistema de ecuaciones con 5 inc´ognitas que tenga como espacio soluci´on el generado por los vectores  u1 = 1

0

1

0

t 1

 y u2 = 1 −1 1 −1

t 1 .

¿Cu´al es el n´umero m´ınimo de ecuaciones que debe tener el sistema? 7. Encuentra la matriz representante de una transformaci´on lineal. Calcula la matriz de cambio de base entre dos bases de un espacio vectorial. Problema 1. Considere la transformaci´on lineal L : M2 (R) → M2 (R) definida por L(A) = At . Considere las bases ! ! ! ! 1 0 0 1 0 0 0 0 A={ , , , } 0 0 0 0 1 0 0 1 y 1 B={ 0

! 1 0 , 0 0

! 1 0 , 0 1

! 0 0 , 1 0

! 1 }. 1

Determine la matriz representante de L: a) Usando A como base para el espacio de partida y de llegada. b) Usando A como base para el espacio de partida y B de llegada. Problema 2. Considere las aplicaciones lineales L : R3 → R4 y M : R4 → R2 cuyas matrices representantes con respecto a bases B3 , B4 y B2 de R3 , R4 y R2 respectivamente, son:      

2 1 −1 0

 3 −2  5 3   4 2   3 1

y

1 3 −2 0 1 −1 3 2

! .

Encuentre la matriz representante de M ◦ L con respecto a las bases B3 y B2 . Determine las coordenadas de M ◦ L(x) cuando las coordenadas de x en la base B3 son 

1

3 −1

t

.

Problema 3. Sea A la matriz representante de una transformaci´on lineal de T : Rn → Rn , con respecto a la base can´onica. Si {v1 , . . . , vn } es otra base de Rn , ¿cu´al es la matriz representante T con respecto a esta base en la partida y en la llegada? Problema 4. Suponga que L : X → X es una funci´on lineal en el espacio X de dimensi´on finita. Sea U 6= {0} un subespacio de X tal que L(U ) ⊂ U . Demuestre que existe una base de X tal que la matriz

106

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 2

representante de L en esa base tiene la forma A 0

B C

! .

¿Bajo qu´e condici´on la matriz representante es diagonal por bloques, es decir, B = 0? 8. Conoce aspectos hist´oricos de la teor´ıa de espacios vectoriales. Problema 1. Realice una investigaci´on hist´orica sobre el uso de las nociones de vectores en R2 y R3 . Averig¨ue a qui´en se atribuye la primera definici´on abstracta de espacio vectorial.

107

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 3

Nivel 3 Enunciado. El alumno conoce la noci´on de producto interno en un espacio vectorial general. El alumno comprende las proyecciones ortogonales en cualquier dimensi´on y estudia ciertos aspectos geom´etricos de los espacios con producto interno. Resuelve problemas provenientes de algunas aplicaciones usando la noci´on de proyecci´on. Finalmente el alumno extiende la noci´on de producto interno a espacios de dimensi´on infinita. El alumno aborda el problema de valores propios de matrices y en general de operadores lineales en dimensi´on finita. Usando valores propios obtiene nuevas formas de caracterizar la invertibilidad de matrices. El alumno comprende los teoremas b´asicos de representaci´on can´onica, como la diagonalizaci´on de matrices sim´etricas. Conoce la descomposici´on de matrices en su forma normal de Jordan. En este nivel el alumno encuentra nuevas aplicaciones del a´ lgebra lineal, relativas a problemas de valores propios. El alumno conoce problemas de din´amica de poblaciones y de econom´ıa. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Conoce los elementos b´asicos de espacios vectoriales con producto interno. Calcula a´ ngulos y opera con la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Problema 1. Calcule el a´ ngulo entre e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) y el vector (1, 1, 1, . . . , 1) en RN . Interprete geom´etricamente y analice qu´e sucede si N → ∞. Problema 2. Demuestre que si A ∈ Mn,m (R) y x ∈ Rm entonces kAxk ≤ kAkkxk, considerando la norma euclideana en Rn y Rm y la norma kAk = ( Mn,m (R). Problema 3. En el espacio C[−1, 1] consideremos el producto interno Z

1

hu, vi =

u(t)v(t)dt. −1

109

Pn

i=1

Pm

i=1

a2ij )1/2 , para A ∈

a) Calcule el a´ ngulo entre u(x) = x3 y v(x) = x. b) Demuestre que las funciones pares son ortogonales a las funciones impares. Problema 4. a) Suponga que la matriz P satisface P t = P −1 , es decir que P es una matriz ortogonal. Demuestre que la transformaci´on T : x ∈ Rn → P x es una isometr´ıa cuando en Rn se considera la norma euclideana. b) Suponga que en Rn se considera la norma inducida por el producto interno hu, vi = ut Av, donde A es una matriz sim´etrica definida positiva. ¿Qu´e condici´on debe satisfacer P para que la transformaci´on T sea una isometr´ıa? 2. Construye bases ortonormales de un subespacio vectorial. Problema 1. En el espacio de las funciones continuas C[0, 1] consideramos el producto interno Z hu, vi =

1

u(x)v(x)dx. 0

Encuentre una base ortonormal del subespacio generado por {1, x, x2 , x3 }. 3. Encuentra la proyecci´on de un vector sobre un subespacio de dimensi´on finita. Interpreta la proyecci´on como el punto que minimiza la distancia al subespacio. Problema 1. a) Encuentre una f´ormula para calcular la proyecci´on de un vector p sobre el subespacio generado por el vector u 6= 0. b) Si A = {u1 , . . . , uk } es un conjunto ortonormal, determine una f´ormula para calcular la proyecci´on de un vector p sobre el espacio generado por A. Problema 2. Encuentre la proyecci´on del vector (2, 1, 2, 1) sobre el espacio generado por los vectores (1, 1, 1, 1) y (1, −1, 1, 0). Problema 3. Encuentre a1 , a2 y a3 de modo que la integral Z

2π

(a1 sen t + a2 sen 2t + a3 sen 3t + t2 )2 dt

0

sea m´ınima. 4. Interpreta geom´etricamente el m´etodo de m´ınimos cuadrados y lo aplica al ajuste de datos. Es capaz de plantear m´etodos de ajuste con m´as par´ametros. Problema 1. Supongamos que A ∈ Mn×m (R) y que el rango de A es m, con n > m. a) D´e una condici´on para que el sistema Ax = b tenga una soluci´on.

110

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 3

b) Si esta condici´on no se cumple, se puede obtener una “aproximaci´on” minimizando la distancia entre b y el espacio generado por las columnas de A. Usando este criterio obtenga una soluci´on aproximada del sistema: x+y+z

=

0,

x+z

=

2,

y+z

=

1,

y−z

=

1.

c) Sabiendo que en las condiciones dadas arriba la matriz At A es invertible y mediante un razonamiento geom´etrico, encuentre la f´ormula general x ¯ = (At A)−1 Ab para obtener la proyecci´on de b sobre el espacio generado por las columnas de A. Problema 2. Supongamos que en un cierto fen´omeno est´an involucradas dos variables y que estas se han observado n veces, (yi , xi ) para i = 1, 2, . . . , n. Determine constantes α, β de modo que los errores ei = yi − α − βxi , sean m´ınimos, en el sentido que minimicen

Pn

2 i=1 ei .

i = 1, . . . , n,

Observando que el sistema

α + βxi = yi ,

i = 1, . . . , n,

tiene soluci´on en casos muy especiales, plantee el problema geom´etrico, como en el Problema 1 y deduzca f´ormulas para α y β. Problema 3. Un productor mundial de acero tiene la siguiente tabla de producci´on anual, medida en miles de toneladas: ˜ ano

1997

1998

1999

2000

2001

producci´on

4500

4680

4430

4780

4800

Usando m´ınimos cuadrados prediga la producci´on para el a˜no 2002 y 2003. Problema 4. Debido, por ejemplo, a la calidad de las mediciones que llevaron a obtener las observaciones (xi , yi ), se quiere dar distinto peso a cada observaci´on, de modo de cambiar el criterio de minimizaci´on por: n X wi e2i , i=1

111

donde los pesos wi son n´umeros positivos. Como en el Problema 2 deduzca la f´ormula para obtener α y β. 5. Comprende el problema de valores propios. Encuentra los valores propios de una matriz. Problema 1. Encuentre los valores propios de la matriz 

−1  A =  −3 −3

 4 −2  4 0 . 1 3

Problema 2. Demuestre que los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal. 6. Conoce y aplica el teorema de diagonalizaci´on de matrices sim´etricas. Problema 1. Encuentre una base ortonormal de R3 formada de vectores propios de la matriz  4 2  2 4 2 2

 2  2 . 4

Problema 2. Demuestre que los vectores propios de una matriz sim´etrica asociados a valores propios diferentes son ortogonales. Problema 3. Demuestre que una matriz sim´etrica es definida positiva si y s´olo si todos sus valores propios son positivos. 7. Aplica diagonalizaci´on de matrices para estudiar c´onicas. ! 2 a Problema 1. Identificando los valores y vectores propios de la matriz A = realice la rotaci´on y a 2 la traslaci´on de ejes que transforme la ecuaci´on 2x2 + 2y 2 + 2axy + 3x − y = 0 en una ecuaci´on del tipo λ1 x ¯2 + λ2 y¯2 = b. Caracterice las c´onicas que se obtienen para distintos valores del par´ametro a. Problema 2. Considere las siguientes formas cuadr´aticas: a) x21 + x22 + x23 + 2x2 x3 . b) 6x1 x2 + 8x2 x3 . Para cada una de e´ stas encuentre una forma cuadr´atica equivalente de la forma λ1 x21 + λ2 x22 + λ3 x23 .

112

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 3

8. Aplica el criterio de la multiplicidad geom´etrica y algebraica para determinar si una matriz es diagonalizable. Problema 3. Determine cual de las siguientes matrices es diagonalizable: 2 1

0 2

! ,

1 0 6 −1

!

  −1 −1 0 1    ,  −1 3 0  ,  −3 −3 −4 13 −1 

 4 −2  4 0 . 1 3

9. Conoce la forma normal de Jordan. Problema 1. En su forma m´as simple el Teorema de Jordan establece que toda matriz A se puede escribir como A = B + N , donde B es diagonalizable, N es nilpotente y BN = N B. a) Use este resultado para definir eA . b) Calcule eA para la matriz A =

1/2 1/2 −1/2 −1/2

! .

10. Demuestra propiedades de la traza de una matriz. Problema 1. Demuestre las siguientes propiedades de la traza: a) tr(AB) = tr(BA) ∀A, B ∈ Mn (R), Pn b) tr(A) = i=1 λi , donde los λi son los valores propios de A, contados con multiplicidad. Problema 2. Si A, B ∈ Mn×m entonces tr(At B) = tr(AB t ). 11. Describe de varias maneras la condici´on: A es invertible. Problema 1. Indique cu´al de las siguientes condiciones son equivalentes a ‘A es invertible’: a) El sistema Ax = 0 tiene a x = 0 como soluci´on. b) det(A) 6= 0. c) El rango fila y el rango columna de A coinciden. d) La ecuaci´on Ax = b tiene una u´ nica soluci´on, cualquiera sea b. e) A−1 existe. f ) La funci´on f : Rn → Rn definida por f (x) = Ax es sobreyectiva. g) Los valores propios de A son reales.

113

Problema 2. Determine los posibles valores de los par´ametros α y β de modo que la matriz  1 α 1    β 1 0  −1 1 1 

sea invertible. 12. Aplica valores y vectores propios para resolver modelos que requieren el c´alculo de potencias de una matriz. Modela problemas de poblaci´on. Problema 1. [51] En poblaciones que tienen esquemas reproductivos estacionales, un modelo discreto se adapta muy bien para describir la evoluci´on a lo largo del tiempo. Ciertamente el modelo m´as simple es N (t + 1) = RN (t), donde N (t) es el n´umero de individuos en el per´ıodo t y R es la tasa de reproducci´on. En muchas especies la reproducci´on es altamente dependiente de la edad de los individuos. El siguiente modelo, debido a Patrick Leslie, corresponde a una especie que vive tres estaciones. En cada estaci´on llevamos el registro del n´umero de hembras seg´un la edad, formando el vector 

 N0 (t)   N1 (t)  . N (t) =   N2 (t) N3 (t) El modelo que plantea Leslie es el siguiente      N0 (t + 1) 0 2 1,5 0 N0 (t)      N1 (t + 1) 0,4 0   0 0  =  N1 (t) . N (t + 1)  0 0,3 0 0 N (t)  2    2  N3 (t + 1) 0 0 0,1 0 N3 (t) a) ¿C´omo se interpreta el hecho que la u´ ltima columna de la matriz es nula? b) ¿Qu´e proporci´on de los individuos de 2 estaciones de edad sobreviven y pasan a 3 estaciones de edad? c) ¿Cu´antos individuos nacen en cada estaci´on de madres de 2 estaciones de edad? d) Si inicialmente la poblaci´on estaba distribuida de acuerdo a N0 = 0, N1 = 1, N2 = 2 y N3 = 3, describa la distribuci´on de la poblaci´on despu´es de tres estaciones. e) ¿Cu´al es el comportamiento de la poblaci´on en el largo plazo?

114

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 3

f ) Si una especie tiene matriz de Leslie  5 7 1,5   A = 0,2 0 0 0 0,4 0 

y el vector de poblaci´on inicial es (1000, 0, 0). ¿Despu´es de cu´anto tiempo se triplicar´a la poblaci´on? ¿Podr´ıa decir que la poblaci´on crece para siempre? 13. Conoce criterios de estabilidad para sistemas de evoluci´on de la forma uk = Auk−1 . Problema 1. En un sistema de evoluci´on xk = Axk−1 . ¿C´omo se interpretan los valores propios complejos con m´odulo uno? Este es el caso, por ejemplo, de las matrices

A=

0 −1 1 0

! y

 0  B = 1 0

0 0 1

 1  0 . 0

Problema 2. Modelo de Von Neumann para una econom´ıa en expansi´on. [62] Se supone que en la econom´ıa hay n ‘bienes’, b1 , b2 , . . . , bn . La producci´on de cada bien b1i en el a˜no 1 requiere de los insumos producidos en el a˜no 0, de acuerdo a la relaci´on b1i =

n X

aij b0j .

j=1

a) Plantee un sistema de evoluci´on discreto para describir el desarrollo de la econom´ıa. b) Considere el caso de tres bienes: acero, comida y trabajo. De acuerdo a la siguiente relaci´on 

    A1 0,4 0 0,1 A0      C1  =  0 0,1 0,8 C0  . T1 0,5 0,7 0,1 T0 ¿Qu´e puede decir del comportamiento de la econom´ıa en el largo plazo? ¿Se contrae o se expande? 14. Investiga acerca de aplicaciones de matrices sim´etricas. Problema 1. Averig¨ue qu´e es el tensor de esfuerzos en Mec´anica y el significado de los ejes principales. Relacione estos conceptos con sus conocimientos de matrices sim´etricas y diagonalizaci´on. Explique el significado de los vectores propios del tensor de esfuerzos.

115

15. Investiga con mayor profundidad la forma normal de Jordan. Problema 1. Encuentre y comprenda la demostraci´on del teorema de descomposici´on en forma normal de Jordan. Indique qu´e utilidad tiene este teorema.

116

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 4

Nivel 4 Enunciado. En este cuarto nivel el alumno desarrolla la programaci´on lineal como herramienta para modelar diversos problemas de la vida real. Para problemas de dos variables, el estudiante interpreta y resuelve geom´etricamente los problemas de programaci´on lineal. En el caso de muchas variables, el alumno conoce el m´etodo simplex como el m´etodo usual de resoluci´on de problemas de programaci´on lineal. Resuelve problemas de tama˜no peque˜no. El alumno contin´ua desarrollando su capacidad para modelar. En este nivel se aborda el problema de Flujo en Grafos. El alumno conoce y aplica un algoritmo para resolverlo. El estudiante formula alternativamente el problema de Flujo en Grafos como un problema de programaci´on lineal. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante:

1. Plantea los problemas emblem´aticos de la programaci´on lineal. Problema 1. Problema de Transporte. a) Una empresa productora de zapatos tiene dos plantas de producci´on y tiene tres locales de venta. Los locales de venta requieren de 1000, 1500 y 2000 pares de zapatos para la venta respectivamente, y las plantas producen 1800 y 2700 pares de zapatos cada una. Adem´as se conocen los costos de env´ıo de cada par de zapatos (en pesos) desde una planta a un local de venta, de acuerdo a la siguiente tabla: local 1

local 2

local 3

planta 1

20

45

34

planta 2

18

15

30

Plantee un problema de programaci´on lineal para determinar el n´umero de pares de zapato que debe enviarse desde cada una de las plantas a cada uno de locales de venta. b) Plantee este problema en el contexo de m plantas y n locales de venta. Describa los datos y defina las variables. Plantee las restricciones y la funci´on objetivo. Si definimos ai como la producci´on de

117

la planta i y como bj el requerimiento del local j, suponga en una primera etapa que m X

ai =

i=1

n X

bj .

j=1

Luego plantee el problema sin suponer esta restricci´on. Problema 2. Problema de An´alisis de Actividad. a) Una empresa dispone de una cantidad fija de recursos (materiales, mano de obra, equipos) para la producci´on de un cierto n´umero de productos. Se tiene una tabla con la cantidad del recurso i que se requiere para producir una unidad del producto j y adem´as se dispone de las utilidades que se obtienen de producir una unidad de cada uno de los productos. Plantee el problema de programaci´on lineal que permita determinar qu´e cantidad de producto se debe producir para maximizar las utilidades. Los datos y variables son: m: n´umero de insumos, n: n´umero de productos, aij : n´umero de unidades del insumo i para producir una unidad del producto j, bi : la cantidad de insumos i disponibles, cj : utilidad de producir una unidad del producto j, xj : nivel de actividad del producto j. b) Encuentre en su entorno un problema real que se pueda formular usando este modelo. Si es posible visite una empresa local y obtenga datos reales para la formulaci´on del modelo. Problema 3. Problema de las Dietas. a) Suponga que se conoce el contenido nutritivo de varios productos, por ejemplo, la cantidad de f´osforo y de hierro que contienen algunos alimentos, digamos: pan, leche y carne. Tambi´en sabemos cuales son los requerimientos de cada uno de los nutrientes (f´osforo y hierro) para mantener una dieta sana. El problema consiste en determinar la cantidad de cada uno de los alimentos (pan, carne y leche) minimizando el costo total, pero satisfaciendo los requerimientos de f´osforo y hierro. Plantee el problema de programaci´on correspondiente. b) Generalice a un n´umero n de alimentos y un n´umero m de minerales o nutrientes. Incorpore cualquier otro elemento que usted considere importante para obtener un problema m´as realista. 2. Plantea problemas de programaci´on lineal. Problema 1. a) Una planta generadora de electricidad quema carb´on, petroleo y gas. Cada tonelada de carb´on genera 600 [Kwh], emite 20 unidades de bi´oxido de azufre y 15 unidades de part´ıculas

118

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 4

suspendidas y tiene un costo de 200 d´olares. Cada tonelada de petroleo genera 550 [Kwh], emite 18 unidades de bi´oxido de azufre y 12 unidades de part´ıculas suspendidas y tiene un costo de 220 d´olares. Cada tonelada de gas genera 500 [Kwh], emite 15 unidades de bi´oxido de azufre, 10 unidades de part´ıculas suspendidas y tiene un costo de 250 d´olares. La Comisi´on ambiental restringe las emisiones de contaminantes de modo que diariamente no se puede emitir m´as de 60 unidades de bi´oxido de azufre y 75 unidades de part´ıculas suspendidas. Si la planta no quiere gastar diariamente m´as que 2000 d´olares en combustible, ¿cu´anto combustible de cada tipo debe comprar diariamente para maximizar la cantidad de energ´ıa generada? b) Incorpore elementos adicionales al modelo de modo de hacerlo m´as realista. 3. Resuelve gr´aficamente problemas de programaci´on lineal en dos variables. Problema 1. Resuelva gr´aficamente el siguiente problema de programaci´on lineal: Maximizar M = x1 + 2x2 , sujeto a las restricciones x1

≤ 25,

x1 + x2

≤ 30,

−x1 + x2

≤ 10,

x1 , x2

≥ 0.

Problema 2. Suponga que el conjunto factible de un problema de programaci´on lineal est´a determinado por las desigualdades 2x + y ≤ 50 y x + 2y ≤ 70. Haga un dibujo del conjunto factible y determine cu´ales son las funciones objetivo lineales que alcanzan su m´aximo en dicho conjunto. 4. Conoce y usa las propiedades b´asicas de los conjuntos factibles en programaci´on lineal. Problema 1. Demuestre que el conjunto factible {x ∈ Rn / Ax ≤ b}, con A ∈ Mm×n (R), b ∈ Rm , es un conjunto convexo. Problema 2. Demuestre que el conjunto de soluciones (m´ınimos o m´aximos) de un problema de programaci´on lineal es convexo Problema 3. [35] Para el sistema 6x1 − x2 + 14x3 − 20x4 + 7x5

= −16,

2x1 + x2 − 5x3 + 10x4 − 3x5

=

11,

x1 + x2 − 7x3 + 12x4 − 4x5

=

13,

119

encuentre la soluci´on b´asica en la cual x1 y x4 son nulas. Luego cambie la base para obtener una soluci´on b´asica en la cual x1 y x5 son nulas. Problema 4. Dado el siguiente tableau correspondiente a una soluci´on b´asica de un sistema de 6 inc´ognitas y 3 ecuaciones:

Base

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a4

2

0

0

1

0

2

a2

5

1

3

0

0

0

a5

-1

0

4

0

1

6

a) ¿Puede intercambiar a5 con a1 ? Si es as´ı, h´agalo. b) ¿Puede intercambiar a4 con a3 ? Si es as´ı, h´agalo.

5. Usa el m´etodo simplex para resolver el problema can´onico de programaci´on lineal: Max ct x sujeto a Ax ≤ b, x ≥ 0, ´ el criterio de optimalidad. Interpreta con c ≥ 0, b ≥ 0. Despliega el tableau inicial e itera segun geom´etricamente una iteraci´on del m´etodo simplex. Problema 1. Para el conjunto de desigualdades en forma can´onica x1 − 2x2 2x1 + 3x2

≥

−4,

≤ 13,

x1 − x2

≤ 4,

x1 ≥ 0, x2

≥ 0,

agregue variables de holgura y obtenga el tableau inicial, correspondiente a la soluci´on b´asica (0, 0, 4, 13, 4).

a) Interprete geom´etricamente la soluci´on b´asica indicada. b) Intercambie v1 con v3 y obtenga el tableau correspondiente a la nueva soluci´on b´asica. Interprete geom´etricamente esta nueva soluci´on. Problema 2. [35] Considere el problema de programaci´on lineal siguiente:

120

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 4

Maximizar z = 2x1 + x2 − 3x3 + 5x4 sujeto a las restricciones 3x1 − x2 + x3 + 2x4

≤ 8,

x1 + x2 + 4x3 − x4

≤ 6,

2x1 + 3x2 − x3 + x4

≤ 10,

x1 + x3 + x4

≤ 7,

xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4. Despu´es de una iteraci´on se ha obtenido el siguiente tableau

a)

Base

b

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v4

4

3/2

-1/2

1/2

1

1/2

0

0

0

v6

10

5/2

1/2

9/2

0

1/2

1

0

0

v7

6

1/2

7/2

-3/2

0

-1/2

0

1

0

v8

3

-1/2

1/2

1/2

0

-1/2

0

0

1

20

11/2

-7/2

11/2

0

5/2

0

0

0

¿Cu´al es el valor de la funci´on objetivo en la soluci´on b´asica factible corriente? ¿Qu´e debe hacer para encontrar una nueva soluci´on b´asica factible, en la cual el valor de la funci´on objetivo sea mayor?

b) Suponga que en la u´ ltima fila todos los costos (reducidos) son positivos o ceros. ¿C´omo interpreta esto? Problema 3. Suponga que est´a resolviendo un problema de programaci´on lineal, de minimizaci´on, usando el algoritmo simplex. Si el problema est´a en forma can´onica ¿qu´e condiciones se deben cumplir en el tableau para que usted pueda concluir que el problema no tiene m´ınimo, pues es no acotado? ˜ menor usando el m´etodo simplex. 6. Resuelve problemas de tamano Problema 1. Resuelva el siguiente problema de programaci´on lineal: Maximizar z = x1 + 4x2 + 2x3 + x4 , sujeto a las restricciones 2x1 + x2 − x3 − x4

≤ 6,

x1 − x2 + x3 + x4

≤ 8,

x1 + x2 + 2x3 − 2x4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4

121

≤ 12, ≥ 0.

7. Conoce el problema de Flujo M´aximo y un algoritmo para resolverlo. Modela situaciones utilizando el problema de Flujo M´aximo. Problema 1. Considere la siguiente situaci´on que ocurre cuando hay varios centros de producci´on (oferta) y varios centros de consumo (demanda) y existe una red de caminos o calles con capacidades determinadas. La pregunta es si es posible satisfacer la demanda o si existen ‘cuellos de botella’ que lo impiden. El siguiente grafo tiene a los nodos b, c y d como oferta con un total de 60 unidades y a los nodos j, k como demanda con un total de 55 unidades.

a) Determine si es posible satisfacer la demanda. b) Cambie el sentido de la arista (h, g) y repita la parte a). Problema 2. [63] Entre dos puntos es necesario enviar mensajeros. Por razones de seguridad es necesario que los mensajeros nunca repitan el mismo camino entre dos puntos. Para el grafo de la figura

¿cu´antos mensajes se pueden enviar?

122

Matem´atica .:. Algebra lineal .:. Nivel 4

8. Plantea el Problema de Flujo M´aximo como un problema de programaci´on lineal. Problema 1. Plantee un problema de programaci´on lineal para determinar el flujo m´aximo en la red que se indica en la figura.

Problema 2. Plantee el problema de Flujo m´aximo en toda su generalidad, usando la matriz de incidencia para describir el grafo en cuesti´on. 9. Comprende el contexto hist´orico en el cual se desarrolla la programaci´on lineal. Conoce los aportes de George Dantzig. Problema 1. Investigue sobre las contribuciones del matem´atico George Dantzig al desarrollo de la Programaci´on Lineal y el m´etodo Simplex. Investigue sobre el contexto hist´orico en que se dieron estos desarrollos y las principales aplicaciones que se ten´ıan en mente. 10. Investiga sobre la complejidad del m´etodo simplex y algunos de sus alternativos. Problema 1. Investigue sobre la complejidad del algoritmo simplex ¿Es el algoritmo simplex un m´etodo que te´oricamente ser´ıa muy lento? ¿Qu´e sucede en la pr´actica? Averig¨ue si existen algoritmos alternativos m´as r´apidos.

123

Nota bibliogr´afica para el eje de Algebra Lineal El texto de Gilbert Strang [62] es un cl´asico del Algebra Lineal donde se pueden encontrar los contenidos necesarios para alcanzar estos est´andares, con especial e´ nfasis en los aspectos m´as te´oricos. Como complemento sugerimos el libro de Bernard Kolman [38], que presenta las materias con numerosos ejemplos y que contiene una cantidad importante de aplicaciones y aspectos num´ericos del a´ lgebra lineal. Para el tema de Programaci´on Lineal hemos considerado el libro de William Smythe y Lynwood Johnson [35] en el cual se puede encontrar el material requerido, con numerosas aplicaciones y ejemplos. Este libro contiene bastante material adicional, como la discusi´on sobre la convergencia del m´etodo simplex. En este libro se puede encontrar tambi´en el problema de flujo en redes.

Sugerencias para la implementaci´on curricular El Algebra Lineal tiene la gran virtud de combinar la Matem´atica abstracta de manera muy directa con las aplicaciones. El Algebra Lineal provee de numerosos problemas donde se pone en juego la capacidad del alumno para realizar una demostraci´on y para pensar en t´erminos l´ogicos correctos. Este eje permite avanzar mucho en el pensamiento matem´atico del alumno. Por otro lado en este eje se debe desarrollar fuertemente la capacidad para modelar, otro de los aspectos importantes del pensamiento matem´atico. Una implementaci´on curricular debe aprovechar este eje para desarrollar la capacidad de interactuar con las tecnolog´ıas disponibles para resolver problemas con muchas variables. En particular el estudio de la programaci´on lineal deber´ıa realizarse con paquetes computacionales que permitan al alumno ver c´omo se resuelven en realidad estos problemas.

Bibliograf´ıa para el eje [38] Kolman, Bernard, Algebra Lineal Prentice Hall, M´exico, 1999. [51] Naeuhauser, Claudia, Calculus for Biology and Medicine. Prentice Hall, 2000. [35] Johnson, Lynwood y Smythe, William, Introduction to linear programming, with applications. Prentice Hall, Inc. New Jersey, 1966. [62] Strang, Gilbert, Linear Algebra and its Applications. Academic Press, 1980. [63] Tucker, A. Applied Combinatorics. John Wiley & Sons, Inc. 1995.

124

6

4

Eje 4 Análisis

1

1

2

3

4

5

x

Matem´atica .:. An´alisis

ANALISIS Descripci´on General Este eje aborda una rama de la Matem´atica cuya relevancia en la formaci´on de un profesor es ampliamente reconocida. El trabajo que se presenta, constituye una propuesta que, al tiempo de fijar las cotas a su profundidad y alcance, enfatiza en las relaciones y aplicaciones del an´alisis a otras a´ reas del conocimiento. Es fundamental que el Profesor de Matem´atica adquiera una base s´olida de conocimiento del c´alculo diferencial e integral y que comprenda su rol en el desarrollo de la matem´atica moderna y de la ciencia en general. En este eje se incluye el estudio de las ecuaciones diferenciales, lo cual acerca al profesor a problemas de modelaci´on y contribuye as´ı a una visi´on de la Matem´atica como una disciplina que aporta a la comprensi´on del mundo natural y social. El primer nivel est´a abocado al estudio del c´alculo diferencial en una variable. El Profesor de Matem´atica maneja con soltura los conceptos presentes en el estudio de funciones de una variable real. Comprende rigurosamente y de manera intuitiva los conceptos de l´ımite y de derivada. En este nivel, el profesor analiza funciones, en particular, conoce criterios para determinar y caracterizar puntos extremos de una funci´on. Se estudian tambi´en en este nivel las sucesiones de n´umeros reales. El estudio del c´alculo integral en una variable est´a contemplado en el segundo nivel, donde tambi´en se estudian las series. El Profesor de Matem´atica comprende la relaci´on entre integraci´on y derivaci´on a trav´es del Teorema Fundamental del C´alculo. Mediante este teorema relaciona conceptos f´ısicos como trabajo y energ´ıa. As´ı mismo, es capaz de hacer c´alculos de a´ reas, vol´umenes y superficies de revoluci´on. A trav´es del estudio de series, el Profesor de Matem´atica encuentra expresiones para n´umeros importantes, como e y π. Para el tercer nivel, se ha contemplado el estudio del c´alculo en varias variables, tanto diferencial como integral. Se ha puesto e´ nfasis en la resoluci´on de problemas de minimizaci´on con y sin restricciones. Este tema muestra la utilidad de los conceptos estudiados para la resoluci´on de problemas reales. El estudio de las ecuaciones diferenciales est´a considerado en el cuarto nivel. Este tema provee al Profesor de Matem´atica de herramientas para plantear modelos y analizar m´ultiples problemas de una gran variedad de a´ mbitos, mostrando as´ı las relaciones entre la Matem´atica y otras ciencias.

127

A lo largo de todo el eje se ha procurado mantener la presencia de los m´etodos num´ericos, el c´alculo efectivo, las aproximaciones y el control del error. De igual modo se introducen sistem´aticamente indicadores relativos a aspectos hist´oricos, evoluci´on de los conceptos matem´aticos estudiados y de teor´ıas actuales que permitan verificar la cultura amplia y el conocimiento del contexto en el que se desarrolla su disciplina que necesariamente debe poseer el Profesor de Matem´atica.

128

Cuadro sinóptico Niveles del eje

Nivel 1

Nivel 2

El estudiante conoce el orden de los números reales y resuelve inecuaciones.

El estudiante comprende el concepto de integral de Riemann y su relación con la noción intuitiva de área. En particular, conoce la definición de integral usando límites de sumas de Riemann. A través del Teorema Fundamental del Cálculo, el estudiante relaciona los conceptos de primitiva y de integral. Usando reglas elementales, determina integrales definidas e indefinidas. El alumno calcula áreas entre dos curvas, largos de curvas, áreas descritas en coordenadas polares, áreas y volúmenes de sólidos de revolución.

El estudiante reconoce procesos que se modelan a través de sucesiones; opera con ellas y calcula sus límites; aplica el criterio de Cauchy y el Teorema de Punto Fijo. El estudiante utiliza el método de Newton para aproximar soluciones de ecuaciones no lineales, analizando su convergencia. El estudiante opera algebraicamente con funciones de variable real y las utiliza para modelar. Comprende, relaciona y aplica los conceptos de función inyectiva, epiyectiva, creciente, decreciente, función inversa. El estudiante es capaz de calcular límites de funciones y analizar continuidad. Conoce y aplica la propiedad de las funciones continuas de alcanzar su máximo y su mínimo sobre un intervalo cerrado. Usa el Teorema del Valor Intermedio.

El estudiante aprecia que el desarrollo de la mecánica clásica impulsa la aparición del cálculo integral. En particular, mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, relaciona conceptos como momentum y fuerza; trabajo y energía. Conoce la noción de densidad, calcula centros de masa y momentos de inercia.

El estudiante comprende los conceptos de derivada y de función diferenciable. Es capaz de calcular derivadas de funciones y de funciones inversas, utilizando reglas de derivación, incluida la Regla de la Cadena. El estudiante es capaz de bosquejar el gráfico de una función indicando todos los aspectos relevantes, utilizando derivadas para estudiar crecimiento y convexidad, para determinar y caracterizar puntos extremos. Calcula límites usando la Regla de L'Hôpital, compara crecimiento de funciones y estudia el comportamiento asintótico.Conoce y aplica el Teorema del Valor Medio. Modela usando información sobre las derivadas.

El estudiante analiza la convergencia de series numéricas y series de potencias usando diversos criterios de convergencia. El alumno reconoce y determina la serie de Taylor de funciones elementales y la utiliza para aproximar funciones. Mediante el uso de series obtiene relaciones, expresiones y aproximaciones de números importantes.

El estudiante conoce el origen histórico del Cálculo Diferencial.

130

Eje 4: Análisis Nivel 3

Nivel 4

El estudiante extiende su conocimiento del cálculo diferencial al estudio de funciones de varias variables. Adquiere una visualización geométrica de los diferentes conceptos, por lo que se enfatiza principalmente su capacidad de análisis de funciones de dos variables.

El estudiante modela situaciones de diversos ámbitos usando ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Comprende que los modelos de ecuaciones diferenciales son aproximaciones de la realidad y los compara con modelos discretos. El estudiante conoce y aplica los teoremas de existencia y unicidad de soluciones a ecuaciones diferenciales y los relaciona con el concepto de predictibilidad.

El alumno comprende el significado del gradiente de una función como la dirección de máximo crecimiento. Es capaz de plantear y resolver problemas simples de optimización con y sin restricciones.

El estudiante es capaz de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales simples. Utiliza el método de Euler para la resolución numérica de dichas ecuaciones. Analiza cualitativamente sistemas lineales y no lineales usando diagramas de fase. Aplica las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de mecánica de vibraciones y hace analogías con el modelo de circuitos eléctricos.

El estudiante adquiere conocimientos básicos de campos de fuerza y aplica el cálculo diferencial e integral al estudio de campos conservativos. Plantea el método de Newton y lo aplica para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. El alumno calcula integrales dobles simples. Si bien no se espera que conozca la fórmula general de cambio de variables, el estudiante es capaz de calcular integrales en coordenadas polares.

Modela problemas de difusión y utiliza series de Fourier para resolverlos en situaciones simples. El estudiante es capaz de investigar acerca de la evolución histórica de conceptos importantes y acerca de teorías actuales relacionadas con estos tópicos.

131

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 1

Nivel 1 Enunciado. El estudiante conoce el orden de los n´umeros reales y resuelve inecuaciones. El estudiante reconoce procesos que se modelan a trav´es de sucesiones; opera con ellas y calcula sus l´ımites; aplica el criterio de Cauchy y el Teorema de Punto Fijo. El estudiante utiliza el m´etodo de Newton para aproximar soluciones de ecuaciones no lineales, analizando su convergencia. El estudiante opera algebraicamente con funciones de variable real y las utiliza para modelar. Comprende, relaciona y aplica los conceptos de funci´on inyectiva, epiyectiva, creciente, decreciente, funci´on inversa. El estudiante es capaz de calcular l´ımites de funciones y analizar continuidad. Conoce y aplica la propiedad de las funciones continuas de alcanzar su m´aximo y su m´ınimo sobre un intervalo cerrado. Usa el teorema del valor intermedio. El estudiante comprende los conceptos de derivada y de funci´on diferenciable. Es capaz de calcular derivadas de funciones y de funciones inversas, utilizando reglas de derivaci´on, incluida la Regla de la Cadena. El estudiante es capaz de bosquejar el gr´afico de una funci´on indicando todos los aspectos relevantes, utilizando derivadas para estudiar crecimiento y convexidad, para determinar y caracterizar puntos extremos. Calcula l´ımites usando la Regla de L’Hˆopital, compara crecimiento de funciones y estudia el comportamiento asint´otico. Conoce y aplica el Teorema del Valor Medio. Modela usando informaci´on sobre las derivadas. El estudiante conoce el origen hist´orico del C´alculo Diferencial. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Resuelve inecuaciones. Problema 1. Encuentre el conjunto de todos los n´umeros reales que satisfacen las siguientes condiciones: a) |x + 2| + |2x − 1| ≤ 2. b) |x + 3| < 4 y |x − 1| < 6. c)

x2 + x − 6 ≤ 0. (x − 1)

133

2. Opera algebraicamente con funciones. Problema 1. a) Si f (x) = x2 − 2x + 1, calcule y grafique f (x − 1) y f (x + 1). b) Si f (x) = sen(x), calcule y grafique f (2x), f ( x2 ), f (|x|) y |f (x + 3)|. Problema 2. [46] Si f (x) =

1+x demuestre que 1−x x−y f (x) − f (y) = . 1 + f (x)f (y) 1 + xy

Problema 3. [46] Verifique que f ◦ f ◦ f (x) = x para la funci´on f (x) = 2 −

1 . x−1

3. Reconoce y modela situaciones que correspondan a funciones. Problema 1. [46] La velocidad de una reacci´on enzim´atica se describe frecuentemente por la relaci´on v=

ax , k+x

donde v es la velocidad de la reacci´on, x es la concentraci´on de la sustancia, k y a son las constantes del modelo. Si la concentraci´on x var´ıa peri´odicamente por efectos de los cambios de la temperatura diaria de acuerdo a la relaci´on   πt x = 2 sen , 12 donde t es el tiempo medido en horas a partir de las 0 horas. Si k = 3 y a = 2: a) Determine la velocidad de la reacci´on al mediod´ıa. b) Encuentre la f´ormula general para v en funci´on del tiempo t. Problema 2. [32] Un importador de caf´e brasile˜no estima que los consumidores locales comprar´an aproximadamente 43, 74 Q(p) = p2 kil´ogramos de caf´e por semana cuando el precio es p pesos por kil´ogramo. Se estima que dentro de t semanas el precio ser´a p(t) = 0, 004t2 + 0, 02t + 1, 2 pesos por kil´ogramo. a) Expresar la demanda de consumo semanal de caf´e como funci´on del tiempo. b) Dentro de 10 semanas, ¿cu´antos kil´ogramos de caf´e comprar´an los consumidores al importador? c) ¿Cu´ando llegar´a a 30.375 kil´ogramos la demanda de caf´e?

134

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 1

4. Relaciona y aplica los conceptos de funci´on inyectiva, epiyectiva, biyectiva, creciente, decreciente y de funci´on inversa. Reconoce caracter´ısticas de funciones a partir de su gr´afico. Problema 1. [46] Verifique que la funci´on f : [0, 2] → [0, 2] definida por f (x) = encuentre su inversa. Grafique f y f −1 .

√

4 − x2 es invertible y

Problema 2. [46] Considere la funci´on f : R → R de la figura:

a)

Determine un conjunto I de modo que la restricci´on de f a I sea inyectiva.

b) Determine un conjunto J de modo que al modificar f, cambiando su conjunto de llegada por J, se obtenga una funci´on epiyectiva. c) Grafique la funci´on que resulta al cambiar el dominio de f por I y el recorrido de f por J. Dibuje su inversa.

5. Grafica algunas funciones especiales: exponencial, logaritmo, parte entera, trigonom´etricas y trigonom´etricas inversas.  x 1 Problema 1. Grafique las funciones f (x) = 2 y g(x) = . ¿En qu´e puntos del plano se intersectan 2 los gr´aficos de f y de g? x

Problema 2. [46] Se sabe que el gr´afico de la figura corresponde a una funci´on logar´ıtmica de la forma N (t) = logb (at). Determine a y b.

135

Problema 3. [46] Grafique la funci´on f (x) = log 12 (x), definida para reales positivos. Problema 4. [46] Grafique la funci´on trigonom´etrica f (x) = sen(x) definida sobre el intervalo [− π2 , π2 ] y la funci´on trigonom´etrica inversa g(x) = arcsen(x) definida en el intervalo [−1, 1]. Problema 5. [20] Grafique la funci´on f (x) = x − [x], definida para todos los n´umeros reales. 6. Reconoce situaciones que se modelan como sucesiones. Problema 1. Se unen los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado 10 [cm], obteniendo otro cuadrado. Se repite indefinidamente el proceso. Determinar la sucesi´on formada por las longitudes de los lados y la sucesi´on formada por las a´ reas de los cuadrados. Problema 2. En el a˜no 1202 Leonardo de Pisa, de sobrenombre Fibonacci, gener´o una famosa secuencia de n´umeros, que ha sorprendido, a lo largo de los siglos, por sus m´ultiples relaciones con fen´omenos naturales y aplicaciones matem´aticas. Fibonacci se propuso predecir el n´umero de parejas de conejos que habr´ıa en cada mes, si de cada pareja de conejos nace una nueva pareja mensualmente, a partir de su edad f´ertil, la que se alcanza a los dos meses. La secuencia obtenida por Fibonacci para la cantidad de parejas de conejos que habr´a en el mes n es fn = fn−1 + fn−2 con f0 = f1 = 1. a) Calcule fn , para n = 2, 3, . . . , 9 y explique en detalle el modelo y sus supuestos. b) Tan misterioso como los n´umeros de Fibonacci es otro antiguo y famoso n´umero, llamado raz´on √ aurea o proporci´on divina: r = 5+1 on de la ecuaci´on x = 1 + x1 . Calcule los 2 , que es soluci´ fn+1 cuocientes rn = fn , para n = 0, 2, . . . , 8, y encuentre una explicaci´on al hecho de que en la medida que n crece, rn se aproxima cada vez m´as al n´umero r.

136

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 1

7. Comprende y aplica el concepto de convergencia y el de l´ımite de una sucesi´on. Calcula l´ımites de sucesiones. √ Problema 1. Considerando que x = 2 se define como el n´umero positivo que satisface x2 = 2 y que 1 < x < 2, se propone el siguiente procedimiento para aproximar x: a) Sea x0 = 23 , es decir, el centro del intervalo [1, 2]. Como x2 = 2 < (x0 )2 = 1 < x < 32 .

9 4

se concluye que

b) Con esta informaci´on se elige una nueva aproximaci´on x1 como el centro del nuevo intervalo [1, 23 ], 25 < x2 = 2, se concluye que 45 < x < 32 . es decir, x1 = 45 . Como (x1 )2 = 16 c) Con esta informaci´on se elige una nueva aproximaci´on x2 como el centro del nuevo intervalo [ 54 , 32 ] y se continua razonando como en los pasos anteriores. √ Obtenga la sucesi´on de aproximaciones de x = 2 que resulta al repetir indefinidamente este proceso, describiendo un paso gen´erico, es decir, suponga que tiene un intervalo [ak , bk ] que contiene a x e indique como calcula la nueva aproximaci´on xk y el nuevo intervalo [ak+1 , bk+1 ]. Encuentre una cota del error cometido por la aproximaci´on k-´esima, es decir, ck tal que |x − xk | ≤ ck y √ obtenga una aproximaci´on de 2 con un error menor que 0, 02. Problema 2. [20] Considere la sucesi´on {an }, de t´ermino general an =

(−1)n cos(n) . n2

a) Encuentre un n´umero n tal que |an | ≤ 10−5 . b) Pruebe que la sucesi´on converge a cero. Problema 3. Calcule los siguientes l´ımites: √ √ √ a) l´ım n[ n + 1 − n]. n→∞

b)

  n  9 1+ . n→∞ 11 l´ım

Problema 4. Averig¨ue si las siguientes sucesiones son crecientes o decrecientes y si son acotadas. a) b) c)

3 − 4n2 . n2 + 1 n+3 . n+2 6n − 1 . n+3

Problema 5. Decida si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. En cada caso demuestre su aseveraci´on. a) Toda sucesi´on convergente es acotada.

137

b) Si (a2n )n∈N es convergente entonces (an )n∈N es convergente. 8. Utiliza el criterio de Cauchy para establecer convergencia de sucesiones. Problema 1. Demuestre que si una sucesi´on {an } satisface alguno de los siguientes criterios, entonces converge. a) Existe q ∈ (0, 1) tal que para todo n

|an+1 − an | < q n .

b) Existe q ∈ (0, 1) tal que para todo n c) Para todo n

|an+2 − an+1 | < q|an+1 − an |. 1 |an+1 − an | < . n(n + 1)

9. Opera con el l´ımite ex = l´ım (1 + n→∞

x n ) . n

Problema 1. Un banco ofrece un inter´es compuesto del r por ciento anual para dep´ositos a plazo. Esto significa que si el a˜no se descompone en m per´ıodos iguales entonces al cabo de n a˜nos un dep´osito inicial de Q pesos se habr´a transformado en  Qn,m =

1+

R m

nm Q,

r donde R = 100 . Si el inter´es se compone de manera continua, es decir, si el n´umero m de per´ıodos en los que se descompone el a˜no tiende a infinito, ¿cu´al ser´a el monto que se obtiene al cabo de n a˜nos?

Problema 2. [46] Determine los siguientes l´ımites, si existen: n  1 a) l´ım 1 − 2 . n→∞ n  n 2 1 b) l´ım 1 − . n→∞ n 10. Calcula l´ımites de funciones. Problema 1. Determine los siguientes l´ımites, si existen: sen 2x . x cos x − 1 b) l´ım . x→0 x log(x + h) − log(x) c) l´ım . h→0 h e3x − ex d) l´ım . x→0 x + xex a)

l´ım

x→0

138

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 1

11. Analiza la continuidad de una funci´on. Problema 1. Estudie la continuidad de las siguientes funciones f : R → R definidas por: a)

 tan x    x f (x) =    1

si x 6= 0, si x = 0.

b) f (x) = x − [x]. Problema 2. Sea f : R → R tal que la funci´on |f | : R → R, definida por |f |(x) = |f (x)| es continua. ¿Es f continua? Problema 3. Dado cualquier n´umero real a ¿existe una funci´on f definida para todo n´umero real que sea continua en a pero discontinua en cualquier otro punto? 12. Usa el teorema del valor intermedio. Problema 1. [46] Demuestre que la funci´on f (x) = x3 + x + 1 tiene al menos una ra´ız real en el intervalo [−1, 1]. Problema 2. [46] Sea f : [0, π2 ] → R la funci´on definida por f (x) =

cos(x) . Justifique que la imagen de x2 + 1

f es el intervalo [0, 1]. 13. Reconoce y aplica el resultado: Las funciones continuas en un intervalo cerrado alcanzan su m´aximo y su m´ınimo. Problema 1. [46] Decida si la siguiente afirmaci´on es verdadera o falsa. Justifique su respuesta: Si f : [0, 1] → R es una funci´on continua, entonces el gr´afico de f no tiene as´ıntotas verticales. Problema 2. [32] Los biol´ogos establecieron que la velocidad de la sangre en una arteria es una funci´on de la distancia de la sangre al eje central de la arteria. De acuerdo con la ley de Poiseuille la velocidad (en cent´ımetros por segundo) de la sangre que se encuentra a r cent´ımetros del eje central de una arteria est´a dada por S(r) = C(R2 − r2 ), donde C es una constante positiva y R es el radio de la arteria. ¿D´onde se producen la m´axima y la m´ınima velocidad de la sangre? 14. Comprende y utiliza el concepto de derivada como l´ımite, como variaci´on instant´anea y su interpretaci´on geom´etrica. Problema 1. Si en la figura A se muestra el gr´afico de una funci´on f entonces ¿cu´al de las 5 figuras df siguientes representa mejor el gr´afico de ? dx 139

Problema 2. [20] La temperatura en grados Celcius C est´a dada en t´erminos de la temperatura en grados Fahrenheit F por C = 59 (F − 32). Determine la raz´on de cambio de C con respecto F y la raz´on de cambio de F con respecto C. Problema 3. [20] En el instante t (en meses), la poblaci´on de chimpanc´es es de P (t) = 100[1 + 0,3t + 0,004t2 ]. a) ¿Cu´anto tiempo tarda la poblaci´on en duplicar su tama˜no inicial P (0)? b) ¿Cu´al es la raz´on de crecimiento instant´anea de la poblaci´on cuando P = 200? Problema 4. Calcule usando la definici´on, las derivadas de f (x) = x3 + 2, g(x) = sen 2x, h(x) = cos(x + π), u(x) = tan( x2 ) y v(x) = log(x + 1). 15. Relaciona los conceptos de continuidad y de diferenciabilidad. Problema 1. [46] Pruebe que la funci´on f definida en el intervalo [0, π] mediante la f´ormula

f (x) =

  

sen x

si x ∈ [0, π2 )

 

2 − sen x

si x ∈ [ π2 , π]

df es diferenciable en todo su intervalo de definici´on. ¿Qu´e puede decir de la continuidad de f ? ¿Es una dx df funci´on continua ? ¿Es diferenciable? dx

140

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 1

16. Calcula derivadas de funciones simples usando reglas de derivaci´on. Usa la Regla de la Cadena. Problema 1. Para cada una de las funciones que siguen encuentre el m´aximo dominio sobre el cual es diferenciable y calcule su derivada: a) f (x) = (ex − e−x )e2x . √ x2 + 2 b) f (x) = . cosec(x) c) f (x) = sen2 [cos(x3 + x1 )]. 17. Calcula derivadas de funciones invertibles. Problema 1. Denotando por g a la funci´on inversa de la funci´on f , calcule: a) g 0 (−1) si f (x) = x3 − 5. b) g 0 (1) si f (x) = e

2−x x

.

18. Calcula derivadas de funciones trigonom´etricas inversas. Problema 1. Encuentre el m´aximo dominio de cada una de las funciones f y g, de modo que sean diferenciables y calcule su derivada: a) f (x) = arcsen(x) + arctan(x). √ b) g(x) = cos(arctan(x2 )) + arccos( x3 + 5). Problema 2. [39] Un globo se eleva desde el suelo a 100 [m] de un observador, a raz´on de 50 [m/min]. ¿Con qu´e rapidez est´a creciendo el a´ ngulo de elevaci´on de la l´ınea de visi´on del observador? ¿Cu´anto vale esta rapidez cuando el globo se encuentra a una altura de 100 [m] por sobre esa l´ınea? 19. Calcula m´aximos y m´ınimos en intervalos cerrados. Problema 1. [41] Un problema fundamental en cristalograf´ıa es la determinaci´on de la fracci´on de empaque de una celos´ıa de cristal, que es la fracci´on de espacio ocupado por los a´ tomos de la celos´ıa, suponiendo que los a´ tomos son esferas s´olidas. Cuando la celos´ıa contiene exactamente dos clases diferentes de a´ tomos, puede demostrarse que la fracci´on de empaque est´a dada por la f´ormula: f (x) =

K(1 + c2 x3 ) , (1 + x)3

donde x = Rr es la raz´on de los radios R y r de cada tipo de a´ tomos de la celos´ıa (y por lo tanto, 0 < x ≤ 1), c y K son constantes positivas y el dominio de f es el intervalo [0, 1]. a) Pruebe que la funci´on f tiene exactamente un valor t tal que f 0 (t) = 0. Encuentre el m´aximo y el m´ınimo de f en [0, 1].

141

b) Para la sal gema ordinaria se sabe que c = 1, K = m´aximos y m´ınimos de f.

2π 3

y

√

2 − 1 ≤ x ≤ 1. Encuentre los valores

20. Determina intervalos de crecimiento y valores extremos de una funci´on. Problema 1. [20] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los valores extremos de la funci´on f (x) = 8x5 − 5x4 − 20x3 . 21. Utiliza la segunda derivada para determinar convexidad y concavidad de una funci´on y caracteriza sus puntos cr´ıticos. Problema 1. [46] Determine los intervalos de concavidad y de convexidad de las siguientes funciones, identificando m´ınimos y m´aximos. a) f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 1. b) f (x) = xe−x . 22. Modela utilizando informaci´on acerca de derivadas. Problema 1. Obtenga la velocidad v(t) como funci´on del tiempo y la funci´on itinerario s(t) de un m´ovil que se desplaza con aceleraci´on constante A y que en el tiempo t = 0 pasa por la posici´on s0 con velocidad v0 . Si desde una ventana, que se encuentra a 25 [m] de altura, un ni˜no suelta una pelota, ¿cu´anto tardar´a e´ sta en golpear el suelo y a qu´e velocidad lo har´a? Problema 2. [39] El az´ucar se disuelve en agua a una raz´on proporcional a la cantidad sin disolver. Si 25 [kg] de az´ucar se reducen a 7 [kg] en 3 horas, entonces ¿cu´ando se disolver´a el 20 % del az´ucar? 23. Reconoce y aplica el Teorema del Valor Medio. Problema 1. Pruebe que una funci´on f : [a, b] → R continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b) es Lipschitz de constante L si y solamente si |f 0 (x)| ≤ L para todo x ∈ (a, b). Problema 2. Sea f (x) una funci´on dos veces continuamente derivable y sea p(x) = f (x0 )b + (x − x0 )f 0 (x0 ). Demuestre que |f (x) − p(x)| ≤ C|x − x0 |2 y encuentre la constante C. Problema 3. Sea f una funci´on dos veces continuamente derivable y sea p(x) un polinomio de grado 2 que interpola a f en los puntos x1 , x2 y x3 , es decir, p(xi ) = f (xi ), i = 1, 2, 3. Si e(x) = f (x) − p(x), demuestre que existe un punto t ∈ [x1 , x3 ], tal que e00 (t) = 0.

142

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 1

24. Grafica detalladamente funciones. Problema 1. [20] Grafique detalladamente las siguientes funciones indicando: los intervalos de crecimiento y de decrecimiento; los intervalos de concavidad y de convexidad; los puntos de inflexi´on y los puntos m´aximos y m´ınimos. a) f (x) = arccos(x), 4 3

1 3

b) f (x) = 4x + x ,

x ∈ [0, π]. x ∈ R.

2

c) f (x) =

x , x−1

x ∈ R,

x 6= 1.

25. Utiliza el Teorema de Punto Fijo para estudiar convergencia de sucesiones definidas por recurrencia. Interpreta gr´aficamente. Problema 1. Para resolver la ecuaci´on cos( x2 ) = x en [0, π2 ] se sugiere generar una secuencia de aproximaciones sucesivas, seg´un el siguiente procedimiento: x0 =

x  π n , xn+1 = cos . 2 2

Sea α la soluci´on buscada. Si |α − x0 | ≤ ε , encuentre un n´umero n para el cual se pueda asegurar que |α − xn | ≤ 10−5 ε. Grafique las 4 primeras iteraciones. Problema 2. Grafique la funci´on f (x) = x3 − x2 − x, indicando las soluciones del problema x = f (x). Establezca condiciones de convergencia de la secuencia xn+1 = xn 3 − xn 2 − xn . Calcule y grafique las primeras tres iteraciones comenzando en: a) x0 = 31 .

b) x0 = 43 .

c) x0 = 53 .

d) x0 = 37 .

26. Analiza la convergencia del m´etodo de Newton para aproximar ra´ıces de funciones no lineales. Problema 1. Comenzando con x0 = 1, muestre en un gr´afico las primeras 4 iteraciones del m´etodo de √ Newton para aproximar 2 . Problema 2. Si α es una ra´ız de la funci´on no lineal f , 2 veces continuamente derivable en una vecindad de α, donde no se anula la derivada de f y que contiene a xn , entonces demuestre que existe una constante c, tal que |α − xn+1 | ≤ c|α − xn |2 . Explicite la relaci´on de la constante c con las derivadas de f . Problema 3. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

143

a) El m´etodo de Newton converge s´olo si la primera aproximaci´on es buena. b) Cuando el m´etodo de Newton converge lo hace de modo que en cada iteraci´on se duplica la cantidad de cifras significativas de la aproximaci´on. c) Cuando la ecuaci´on tiene dos soluciones, el m´etodo de Newton elige aquella que est´a m´as cerca de la primera aproximaci´on. 27. Aplica el m´etodo de Newton. Problema 1. [46] Utilice el m´etodo de Newton para aproximar una ra´ız de: a) x5 + 3x + 2 = 0, b) ex − tan(x) = 0. Problema 2. [46] Estudios ecol´ogicos sobre comunicaciones entre aves, buscan determinar el rango de los niveles de decibeles para el trino de ellas. El nivel del sonido (en decibeles [dB]) a la distancia r (en metros) desde una fuente emisora es: L(r) = L0 − 20 log10 (r) − βr, donde, L0 es el nivel de decibeles a 1 [m] desde la fuente, β es un coeficiente de atenuaci´on cuyo valor es determinado por las condiciones f´ısicas del aire (temperatura, humedad, etc.). Dado L0 = 80 [dB] y β = 1, 15 × 10−3 [dB/m]. Determine la distancia r para la cual el nivel de L es de 20 [dB]. 28. Calcula l´ımites usando la Regla de L’Hˆopital. Problema 1. [46] Calcule los siguientes l´ımites: 1 − cos x . x tan x x e −1 b) l´ım . x→0 sen x a)

l´ım

x→0

29. Compara el crecimiento de las funciones polinomiales, exponenciales y logar´ıtmicas. Problema 1. [46] Calcule los siguientes l´ımites: (log x)3 . x→∞ x2 b) l´ım x2 e−x . a)

l´ım

x→∞

c)

l´ım

x→∞

log x √ . e x

144

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 1

Problema 2. Grafique detalladamente la funci´on f (x) =

(log x)3 , incluyendo as´ıntotas. x2

30. Conoce los or´ıgenes del C´alculo Diferencial, identificando el per´ıodo hist´orico y las contribuciones de Newton y de Leibniz. Problema 1. Describa los respectivos aportes de Newton y de Leibniz al desarrollo del C´alculo Diferencial. Comp´arelos. Explique sus diferencias y relaci´onelas con sus motivaciones, el contexto de sus trabajos y el estado del arte en ese momento hist´orico.

145

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 2

Nivel 2 Enunciado. El estudiante comprende el concepto de integral de Riemann y su relaci´on con la noci´on intuitiva de a´ rea. En particular, conoce la definici´on de integral usando l´ımites de sumas de Riemann. A trav´es del Teorema Fundamental del C´alculo, el estudiante relaciona los conceptos de primitiva y de integral. Usando reglas elementales, determina integrales definidas e indefinidas. El alumno calcula a´ reas entre dos curvas, largos de curvas, a´ reas descritas en coordenadas polares, a´ reas y vol´umenes de s´olidos de revoluci´on. El estudiante aprecia que el desarrollo de la mec´anica cl´asica impulsa la aparici´on del c´alculo integral. En particular, mediante el Teorema Fundamental del C´alculo, relaciona conceptos como momentum y fuerza; trabajo y energ´ıa. Conoce la noci´on de densidad, calcula centros de masa y momentos de inercia. El estudiante analiza la convergencia de series num´ericas y series de potencias usando diversos criterios de convergencia. El alumno reconoce y determina la serie de Taylor de funciones elementales y la utiliza para aproximar funciones. Mediante el uso de series obtiene relaciones, expresiones y aproximaciones de n´umeros importantes. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Determina sumatorias usando propiedades elementales y algunas sumatorias conocidas. Problema 1. [40] Calcule

n X 1 (1 − i)2 . 3 n i=1

Problema 2. [61] Determine

n X

22n 31−n .

i=1

Problema 3. [40] Calcule l´ımn→∞ sn , donde sn =

 2 n X 1 i 2+ . n n i=1

2. Representa e interpreta gr´aficamente una suma de Riemann y la calcula en algunos casos simples. Pn Problema 1. [53] Calcule la suma de Riemann i=1 f (wi )∆xi para f (x) = x1 , considerada en el intervalo [1, 3] con partici´on P = {[1, 15/8], [15/8, 9/4], [9/4, 3]} y w1 = 3/2, w2 = 2 y w3 = 5/2. Grafique la funci´on f y represente la suma de Riemann como a´ rea de rect´angulos.

147

Pn Problema 2. Encuentre la suma de Riemann i=1 f (wi )∆xi para f (x) = x2 + x en el intervalo [0, 1], donde la partici´on Pn consiste en n intervalos equiespaciados y f (wi ) es el m´aximo de f en el intervalo [xi−1 , xi ]. Problema 3. [61] La velocidad de una corredora aument´o de manera paulatina durante los tres primeros segundos de una carrera. En la tabla se da su velocidad a intervalos de medio segundo. Encuentre una estimaci´on inferior y una superior de la distancia que recorri´o durante estos tres segundos. t [s]

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

v [m/s]

0

1,9

3,7

4,7

5,7

6,1

6,3

Problema 4. El siguiente gr´afico representa la velocidad de un autom´ovil que acelera pasando del reposo a una velocidad de 120 [km/h] en 30 [s]. Estime la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo.

3. Calcula la integral definida usando sumas de Riemann en algunos casos simples. Interpreta la integral definida en t´erminos de a´ rea. Problema 1. Calcule el a´ rea de la regi´on limitada por la par´abola de ecuaci´on y = x2 − x y la recta y = x.   n X π iπ Problema 2. [61] Determine una regi´on cuya a´ rea sea igual a l´ım tan . n→∞ 4n 3n i=1 Problema 3. Eval´ue, sin calcular, la integral

R0 −3

(1 +

√

9 − x2 )dx, interpret´andola en t´erminos de a´ rea.

4. Utiliza las propiedades de linealidad, superposici´on y orden de la integral definida para calcular y estimar integrales. Problema 1. Calcule: Z 3 a) (|3x − 5| + x2 ) dx. 0

148

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 2

Z

2

b)

p ( 4 − x2 + 6x) dx.

−2

Problema 2. [61] Demuestre que: Z a)

2

√

1

Z 1

√

x + 1 dx.

1 π/2

x sen x dx ≤

b)

2

Z 5 − x dx ≥

π2 . 8

5. Determina la integral indefinida de una funci´on usando algunas derivadas conocidas. Problema 1. [46] Calcule las integrales indefinidas: Z a) [4x−3 + 27 sen(6x)] dx. Z 2 b) 2xex dx. Z c) (3ex + sec2 x) dx. 6. Utiliza el Teorema Fundamental del C´alculo para evaluar integrales. Problema 1. [61] Sea g(x) = figura.

Rx −3

f (t)dt, donde f es una funci´on impar, cuyo gr´afico se muestra en la

a) Eval´ue g(−3) y g(3). b) Estime g(−2), g(−1) y g(0). c) Determine d´onde g es creciente. d) ¿D´onde g alcanza su m´aximo?

149

e) Determine d´onde g es convexa. f ) Bosqueje el gr´afico de g. d Problema 2. [46] Determine dx

Z

ex

u2 du.

log x

Z Problema 3. [61] Encuentre el intervalo donde la funci´on h(x) = 0

Problema 4. [61] Determine

R2 0

x

dt es convexa. 1 + t + t2

f (x)dx, para f dada por:

f (x) =

n X 1 Problema 5. [61] Calcule l´ım n→∞ n i=1

r

 4   x

si 0 ≤ x ≤ 1,

 

si 1 < x ≤ 2.

x5

i . n

7. A trav´es del Teorema Fundamental del C´alculo, relaciona conceptos f´ısicos como densidad y masa, velocidad y distancia. √ Problema 1. [61] La densidad lineal de una varilla de 4 [m] est´a dada por ρ(x) = 9 + 2 x en [kg/m], donde x se mide desde un extremo de la varilla. Encuentre la masa total de la varilla. Problema 2. [61] La velocidad de una part´ıcula que se mueve en l´ınea recta est´a dada por v(t) = t2 − 2t − 8 para 1 ≤ t ≤ 6. Determine la distancia recorrida y el desplazamiento de la part´ıcula en el intervalo [1, 6]. 8. Usa el m´etodo de sustituci´on para calcular integrales. Problema 1. [46] Calcule las siguientes integrales indefinidas: Z sen(x) a) dx. cos2 (x) Z ex dx. b) 2x e +1 Problema 2. [61] Una f´abrica de calculadoras ha montado una l´ınea de producci´on para fabricar una calculadora nueva. La tasa de producci´on de estas calculadoras, despu´es de t semanas, est´a dada por:   dx 100 = 5000 1 − calculadoras/semana. dt (t + 10)2 Determine el n´umero de calculadoras producidas desde el principio de la tercera semana hasta el final de la cuarta.

150

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 2

Problema 3. [61] Use la sustituci´on u = π − x para calcular Z 0

π

x sen(x) dx. 1 + cos2 (x)

´ integrales usando integraci´on por partes. 9. Evalua Problema 1. [46] Calcule las siguientes integrales: Z e a) log(x) dx. 1

Z

1

arctan(x) dx.

b) 0

Z c)

π

sen(x)e2x dx.

0

Problema 2. [61] Demuestre que para n > 0, entero, se tiene que Z

π/2

sen2n+1 (x) dx =

0

2 · 4 · 6 · . . . · 2n . 3 · 5 · 7 · . . . · (2n + 1)

10. Calcula trabajo mec´anico. Problema 1. [61] Se requiere de un trabajo de 2 [J] para estirar un resorte desde su longitud natural de 30 [cm] hasta 42 [cm]. ¿Cu´anto trabajo se requiere para estirarlo de 35 [cm] a 40 [cm]? Problema 2. [61] Para sacar agua de un pozo de 3 [m] de profundidad, se emplea un balde que pesa 2 [kg] y una cuerda, cuyo peso ser´a despreciado. El balde comienza con 20 [kg] de agua y se eleva a una velocidad de 0, 6 [m/s], pero el agua se sale por un agujero a una tasa de 0, 1 [kg/s]. Determine el trabajo necesario para llevar el balde hasta la boca del pozo. 11. Mediante el Teorema Fundamental del C´alculo relaciona conceptos como momentum y fuerza; trabajo y energ´ıa. Problema 3. [58] A una part´ıcula de masa m se le aplica una fuerza F = kt, proporcional al tiempo transcurrido desde que se inici´o el movimiento. Encuentre la ecuaci´on de movimiento suponiendo que en t = 0 la part´ıcula est´a en x = 0 con velocidad inicial v0 . Problema 4. [53] Si un misil es disparado verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 4 [km/s], ¿qu´e altura alcanzar´a?

151

12. Calcula a´ reas entre dos curvas. Problema 1. [46] Calcule el a´ rea bajo la curva y =

1 , sobre el eje x y entre las rectas x = 1 y x = 3. x2

Problema 2. [46] Determine el a´ rea de la regi´on encerrada por las curvas de ecuaci´on y = x(x + 1)(x − 3)

e

y = 5x.

Problema 3. [61] Encuentre el a´ rea limitada entre la par´abola y = x2 , la recta tangente a esta par´abola en (1, 1) y el eje x. 13. Calcula el volumen de s´olidos de revoluci´on. Problema 1. [61] El barrido de tomograf´ıa axial computarizada (TAC) produce vistas de secciones transversales igualmente espaciadas de un o´ rgano humano. Suponga que la TAC de un h´ıgado humano muestra secciones transversales con 1,5 [cm] de separaci´on. El h´ıgado tiene 15 [cm] de longitud y las a´ reas de las secciones transversales en [cm2 ] son: 0, 18, 58, 79, 94, 106, 117, 128, 63, 39 y 0. Estime el volumen del h´ıgado. Problema 2. Determine el volumen de: a) Una esfera de radio R. b) Un cono recto de altura h y cuya base tiene radio r. c) Un toro de radios r y R. Problema 3. Encuentre el s´olido generado al rotar la regi´on R limitada por los gr´aficos de y = x e y = x2 − 2, en torno a la recta de ecuaci´on x = 2. Bosqueje el s´olido y determine su volumen. 14. Determina el a´ rea de una superficie de revoluci´on. Problema 1. [40] Se dise˜na una l´ampara haciendo girar en torno al eje X, la gr´afica de y=

3 1 1 1 x2 − x2 , 0 ≤ x ≤ . 3 3

Calcule el a´ rea de la l´ampara. Problema 2. Determine el a´ rea de la superficie de una esfera. Problema 3. Determine el a´ rea de la superficie de un toro de radios r y R. 15. Calcula a´ reas de regiones descritas usando coordenadas polares. Problema 1. [61] Trace la curva representada por cada ecuaci´on y calcule el a´ rea que encierra: a) r = 1 + cos θ (cardioide).

152

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 2

b)

r2 = 4 cos 2θ (lemniscata).

Problema 2. [20] Encuentre el a´ rea de la regi´on que se encuentra encerrada por la curva r = 2 + cos θ y al exterior del c´ırculo r = 2. 16. Determina el valor promedio de una funci´on y conoce el teorema del valor medio para integrales. Calcula centros de masa de l´aminas y varillas. Problema 1. La temperatura en ◦ C de una varilla met´alica de 5 metros de longitud est´a dada por T (x) = 4x a una distancia de x metros de uno de los extremos. Determine la temperatura promedio de la varilla. √ Problema 2. Calcule el valor promedio f¯ de f (x) = x sen(x2 ) en [0, π]. Determine c tal que f (c) = f¯. Problema 3. Calcule el centro de masa de una varilla de largo ` con densidad de masa ρ(x) = ex donde x es la distancia a uno de sus extremos. Problema 4. [61] Calcule el centro de masa de la regi´on de densidad uniforme limitada por las curvas y = sen x, y = cos x, x = 0 y x = π/4. 17. Calcula la longitud de arco de curvas planas. Problema 1. [61] Un halc´on vuela con una velocidad de 15 [m/s] a una altura de 180 [m] y accidentalmente suelta a su presa. La trayectoria parab´olica de la presa en ca´ıda libre hasta tocar tierra est´a dada por y = 180 − x2 /45, donde y es la altura sobre el suelo y x es la distancia horizontal, en metros. Encuentre una expresi´on para la distancia que recorre la presa entre el instante en que la sueltan y en el que toca la tierra. Problema 2. [40] Determine la longitud de arco de la curva f (x) =

x3 1 + sobre el intervalo [ 12 , 2]. 6 2x

18. Utiliza la Regla del Trapecio para aproximar integrales num´ericamente y conoce cotas para el error. R1 Problema 1. [61] Use la Regla del Trapecio para aproximar la integral 0 sen(x2 ) dx usando 6 intervalos equiespaciados, indicando una cota para el error. Problema 2. Use la regla del trapecio con n = 10 para estimar el largo de la curva y = x3 , 0 ≤ x ≤ 1. 19. Aplica criterios de comparaci´on para estudiar la convergencia de integrales impropias. Problema 1. Funci´on Gama de Euler. Para t > 0 se define la funci´on Z ∞ Γ(t) = xt−1 e−x dx. 0

Pruebe que: a) Γ(1) = 1.

153

b) Γ(n + 1) = nΓ(n) para todo n n´umero natural. Use inducci´on sobre n para concluir que Γ(n + 1) = n!. Problema 2. Determine si las siguientes integrales impropias convergen o divergen: Z ∞ 1 √ dx. a) 2 x +1 0 Z π3 1 b) dx. 2 π tan (x)[tan(x) − 1] 4 Problema 3. [61] Un s´olido V se obtiene al rotar la regi´on R = {(x, y) / 1 ≤ x, 0 ≤ y ≤ 1/x} en torno al eje X. Demuestre que el volumen de V es finito. Pruebe que el a´ rea de la superficie de este s´olido es infinita. 20. Mediante criterios de comparaci´on y utilizando algunas series b´asicas determina la convergencia de una serie. P∞ P∞ Problema 1. Suponga que n=1 |an | es convergente. Demuestre que n=1 a2n es tambi´en convergente. P∞ P∞ Encuentre un ejemplo donde n=1 a2n converge pero n=1 |an | diverge. Problema 2. Determine si la serie dada es convergente o divergente: a) b)

∞ X log(i) i=2 ∞ X

i3

.

1 . n[log(n)]3 n=2

Problema 3. [61] ¿Cu´al es el valor de c si

∞ X

(1 + c)n = 2?

n=2

Problema 4. La funci´on Zeta de Riemann se define como ζ(x) =

∞ X 1 x n n=1

y se usa para estudiar la distribuci´on de n´umeros primos. Determine el dominio de ζ. 21. Utiliza series para modelar. Problema 1. El conjunto de Cantor se forma como sigue. Se comienza con el intervalo [0, 1] y se elimina el intervalo (1/3, 2/3). Con ello quedan dos intervalos [0, 1/3] y [2/3, 1]. A continuaci´on se quita el tercio medio abierto de ambos. Quedan cuatro intervalos y de nuevo se suprime el tercio medio abierto de ellos. El proceso continua indefinidamente quitando en cada paso el tercio medio abierto de cada intervalo que queda del paso anterior. El conjunto de Cantor consta de todos los puntos en [0, 1] que quedan despu´es de quitar todos esos intervalos.

154

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 2

a)

Demuestre que la longitud total de los intervalos que se quitaron es 1.

b) La alfombra de Sierpinski es un an´alogo bidimensional del conjunto de Cantor. Se forma quitando la novena parte central de un cuadrado de lado 1. Despu´es se suprimen las partes centrales de los ocho cuadrados restantes, y as´ı sucesivamente como muestra la figura. Demuestre que la suma de las a´ reas de los cuadrados que se quitaron es 1.

Problema 2. La dosificaci´on x de un medicamento se da en los tiempos t = 0, 1, 2, . . . La droga se descompone exponencialmente a raz´on de R > 0 en el torrente sangu´ıneo. Demuestre que el nivel final de la droga (despu´es de un n´umero “infinito”de dosis) es x . 1 − e−R Encuentre la dosificaci´on necesaria para alcanzar un nivel 2 mg de medicamento, si R = 0, 1. 22. Aplica los criterios del cuociente y la ra´ız para determinar si una serie es absolutamente convergente. Problema 1. [61] Los t´erminos de una serie se definen recursivamente por las ecuaciones: a1 = 2, an+1 = Determine si

P

5n + 1 an . 4n + 3

an converge o diverge.

Problema 2. [61] Determine para cual de las siguientes series el criterio de la ra´ız no es concluyente: a)

∞ X 1 . n3 n=1

∞ X n b) . n 2 n=1 √ ∞ X n c) . 1 + n2 n=1

155

23. Usa integrales indefinidas para estimar series. Problema 1. [61] Sea sn =

n X 1 i=1

i

la serie arm´onica. Pruebe que sn ≤ 1 + log n.

Usando esta cota verifique que s106 < 15 y s109 < 22. Problema 2. Estime

∞ X

3

n− 2 con un error menor o igual a 0, 01.

n=1

24. Determina el radio de convergencia de una serie de potencias. Integra y deriva series de potencias y determina expresiones para e´ stas en algunos casos simples. Problema 1. Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias. Analice la convergencia en los extremos del intervalo, cuando corresponda a)

∞ X (−1)n (x + 1)n . 2n n=0

b)

∞ X x2n+1 . (2n + 1)! n=1

c)

∞ X n=0

(2n)!

 x n 2

.

Problema 2. Dada f (x) =

∞ X (−1)n+1 (x − 1)n : n + 1 n=0

a) Encuentre el intervalo de convergencia de f (x). b) Encuentre una f´ormula para la serie f (x). 25. Utiliza la serie de Taylor para obtener aproximaciones de funciones. Problema 1. Considere el n´umero real

√

1, 1.

a) Use polinomio de Taylor de grado 4 para aproximarlo. b) Estime el error cometido. c) Estime el n´umero de t´erminos del polinomio de Taylor para garantizar una exactitud de 10−10 . Z 1 1 − cos(x) Problema 2. Aproxime dx con una precisi´on de cinco cifras decimales. x2 0 Problema 3. Calcule la expansi´on en serie de potencias de h(x) = cos2 (x) usando la expansi´on en serie de cos(x) y el hecho de que 2 cos2 (x) = 1 + cos(2x).

156

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 2

2

Problema 4. Pruebe que e−x = 1 − x2 +

x4 2!

−

x6 3!

+ · · · usando la expansi´on en serie de Taylor de ex .

´ 26. Obtiene relaciones y expresiones de numeros importantes. Problema 1. [20] a) Pruebe que la expansi´on en serie de la funci´on arctan(x) est´a dada por: arctan(x) =

∞ X

(−1)n

n=1

x2n+1 , para − 1 ≤ x ≤ 1. 2n + 1

b) Encuentre una expresi´on en serie para π4 . c) Demuestre que  arctan(x) − arctan(y) = arctan

x−y 1 + xy

 ,

cuando el lado derecho est´a entre −π/2 y π/2.

1 d) Pruebe que π4 = 4 arctan 15 − arctan 239 . e) En 1706, John Machin us´o la expresi´on anterior para calcular las primeras cien cifras decimales de π.

1 , con un error menor Usando la expansi´on en serie de arctan(x) calcule arctan 51 y arctan 239 −8 que 5 × 10 para probar que π se aproxima por 3, 14159. Problema 2. [61] a) Muestre que, para n = 1, 2, 3, . . . sen(θ) = 2n sen



θ 2n

 cos

      θ θ θ cos . . . cos . 2 4 2n

b) Deduzca que sen(θ) = cos θ

      θ θ θ cos cos ... 2 4 8

El significado de este producto infinito es que tomamos el producto de los n primeros factores y luego tomamos el l´ımite de esos productos parciales cuando n → ∞. c) Muestre que √ p √ 2 2 2+ 2 = π 2 2

q 2+

p

2+

2

√

2

...

Este producto infinito se debe al matem´atico franc´es Franc¸ois Vi`ete (1540 − 1603). 27. Investiga acerca de la formulaci´on del Teorema Fundamental del C´alculo. Problema 1. Realice una investigaci´on acerca de los aportes de I. Barrow, G. Leibniz e I. Newton a la formulaci´on del Teorema Fundamental del C´alculo. ¿En qu´e t´erminos Leibniz formula este teorema? ¿Cu´al fue el enfoque usado por Newton?

157

28. Conoce la evoluci´on hist´orica de los desarrollos en serie y de estrategias de aproximaci´on. Problema 1. Describa los principales hitos en la historia de las aproximaciones del n´umero π. Explique las constribuciones de Zacharias Dase, George Miel y Srinivasa Ramanujan.

158

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 3

Nivel 3 Enunciado. El alumno extiende su conocimiento del c´alculo diferencial al estudio de funciones de varias variables. Adquiere una visualizaci´on geom´etrica de los diferentes conceptos, por lo que se enfatiza principalmente su capacidad de an´alisis de funciones de dos variables. El alumno comprende el significado del gradiente de una funci´on como la direcci´on de m´aximo crecimiento. Es capaz de plantear y resolver problemas simples de optimizaci´on con y sin restricciones. El estudiante adquiere conocimientos b´asicos de campos de fuerza y aplica el c´alculo diferencial e integral al estudio de campos conservativos. Plantea el m´etodo de Newton y lo aplica para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. El alumno calcula integrales dobles simples. Si bien no se espera que conozca la f´ormula general de cambio de variables, el estudiante es capaz de calcular integrales en coordenadas polares. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Bosqueja el gr´afico de una funci´on de dos variables. Dibuja y analiza curvas y superficies de nivel. Problema 1. Describa situaciones de la vida real donde aparezcan funciones de varias variables, por ejemplo en meteorolog´ıa o tomograf´ıa. Problema 2. Grafique los conjuntos de nivel −2, −1, 0, 1 y 2 de la funci´on f (x, y) = x3 − 3xy 2 . Esta funci´on se conoce como la silla del mono. En el mundo real, identifique alguna cantidad que se distribuya sobre una cierta superficie y que pueda ser modelada aproximadamente por f . 2. Estudia la continuidad de funciones de varias variables. Problema 1. Considere la siguiente funci´on:

f (x, y) =

  

y 2 − 2xy + a + 1

si x < 1,

 

by 2 x2 − 2by + b + x

si x ≥ 1.

159

a) Para a = 2 y b = 2, bosqueje el gr´afico de la funci´on f cerca de la recta x = 1. b) Determine valores de los par´ametros a y b de modo que f sea continua. c) ¿Para qu´e valores de los par´ametros la funci´on f es continua en exactamente un punto de la recta x = 1? 3. Determina la diferenciabilidad de una funci´on. Relaciona continuidad con diferenciabilidad. Problema 1. [40] Indique en qu´e puntos del plano la siguiente funci´on es diferenciable:

f (x, y) =

    

3x2 y + y2

si (x, y) 6= (0, 0),

0

si (x, y) = (0, 0).

x4

    Justifique su respuesta. Problema 2. D´e un ejemplo de:

a) Una funci´on continua en (0, 0) ∈ R2 , pero no diferenciable en (0, 0). b) Una funci´on f diferenciable en R2 , pero con derivadas parciales

∂f ∂f y discontinuas en (0, 0). ∂x ∂y

4. Calcula derivadas parciales usando reglas de derivaci´on. Problema 1. Encuentre todas la derivadas parciales de la funci´on f (x, y, z) =

sen(x2 + y 2 + z 3 ) . 1 + (x − y)2

Problema 2. [40] Dos objetos viajan siguiendo trayectorias dadas por las ecuaciones: x1 = 4 cos(t) e y1 = 2 sen(t) para el primer objeto,. x2 = f (t) e y2 = g(t) para el segundo objeto. a) ¿A qu´e tasa var´ıa la distancia s entre ellos en el instante t? b) Si f (t) = 3 cos(t) y g(t) = 4 sen(t), ¿crece o decrece la distancia entre los objetos en t = π? Haga un dibujo. Problema 3. Considere el cambio de variables x = s cos(α) − t sen(α)

160

e

y = s sen(α) + t cos(α)

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 3

donde α es una constante. Si f (x, y) es una funci´on diferenciable y h(s, t) = f (x(s, t), y(s, t)), calcule 

∂h ∂s

2

 +

∂h ∂t

2 .

5. Encuentra planos tangentes y rectas normales a superficies. Problema 1. Determine el plano tangente al gr´afico de la funci´on f (x, y) = 3x2 + 2y 3 en el punto (1, 1). Grafique. p Problema 2. Sea S la superficie S = {(x, y, z) ∈ R3 : z 2 + ( x2 + y 2 − 2)2 = 1}. a) Encuentre los planos tangentes a S en (0, 2 +

√1 , √1 ) 2 2

y (0, 1, 0).

b) Bosqueje la intersecci´on de S con el plano x = 0. En este bosquejo indique los puntos (0, 2 + √1 , √1 ), (0, 1, 0) y dibuje los vectores normales a S en estos puntos. 2 2 6. Interpreta el gradiente como la direcci´on de m´aximo crecimiento de una funci´on. Problema 1. La funci´on 2

u(x, y, z) = 3e−(3x

+2y 2 +z 2 )

representa la concentraci´on del gas G en el espacio. Un insecto volador tiene aversi´on al letal gas G y est´a detenido en el punto (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 2). ¿En qu´e direcci´on debe moverse el insecto con el objeto de disminuir al m´aximo las chances de ser aniquilado por el gas? Problema 2. Suponga que la funci´on h : R2 → R representa la altura sobre el nivel del mar en una regi´on cordillerana. Si (x(t), y(t)) es una soluci´on del sistema de ecuaciones: x˙ = −

∂h (x(t), y(t)), ∂x

= −

∂h (x(t), y(t)). ∂y

y˙

¿Qu´e representa la curva (x(t), y(t), h(x(t), y(t)))? 7. Utiliza el Teorema de Taylor para obtener aproximaciones. Problema 1. Se desea calcular con precisi´on el volumen de un recipiente cil´ındrico de aproximadamente 25 [cm] de alto y con un radio de aproximadamente 1 [cm]. ¿Con qu´e medici´on hay que ser m´as cuidadoso con el radio o con la altura? ¿Por qu´e? Problema 2. La Ley de Ohm establece una relaci´on entre la corriente I (en amperes), el voltaje V (en voltios) y la resistencia R (en ohms). Si el voltaje cae de 24 a 23 voltios y la resistencia cae de 100 a 80 ohms, de acuerdo a la Ley de Ohm, ¿crecer´a o disminuir´a la corriente? ¿En qu´e porcentaje?

161

Problema 3. Encuentre la aproximaci´on de segundo orden de la funci´on f (x, y, z) = xey + ze2y , en torno al punto (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0). Encuentre una regi´on en torno al origen que garantice el error de esta aproximaci´on sea menor o igual a 10−3 . 8. Reconoce campos vectoriales en el mundo real. Problema 1. Indique cu´al de las siguientes situaciones del mundo real pueden modelarse por un campo vectorial: a) La velocidad de los vientos en el hemisferio sur. b) La temperatura al interior de una barra de hielo. c) El precio del euro en el mercado cambiario. d) La fuerza de atracci´on que ejerce el Sol. Problema 2. La velocidad de las aguas de un r´ıo es un campo vectorial. ¿Cu´ales cree usted son las variables de la cual depende? ¿Cu´al podr´ıa ser el dominio de definici´on del campo? 9. Calcula el trabajo mec´anico realizado por una fuerza a lo largo de una trayectoria. Problema 1. Encuentre el trabajo realizado por el campo F = (xy, y, −yz) desde el punto (0, 0, 0) al punto (1, 1, 1), a lo largo de la trayectoria determinada por la intersecci´on de las superficies y − x2 = 0 y z − x = 0. 10. Reconoce campos conservativos y determina sus potenciales. Problema 1. ¿Cu´al es el trabajo mec´anico realizado por la Tierra a lo largo de una o´ rbita? Problema 2. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F (x, y) =

(x2

1 (x, y), + y 2 )5/2

a lo largo de la curva r(t) = (et cos(t), et sen(t)) desde (1, 0) a (e2π , 0), sin calcular una integral de l´ınea. 11. Calcula la matriz Jacobiana de un campo. Problema 1. Considere el campo vectorial F : R3 → R3 definido por F (x, y, z) = (x2 sen(xy), y 2 sen(yz), z 2 ). Calcule la matriz Jacobiana de F en los puntos (1, 0, 1) y (π, 1, π).

162

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 3

Problema 2. Si la funci´on V (t, x, y) = et (y 2 , −x2 ) representa la velocidad del viento sobre una regi´on del plano (x, y) donde el eje X y el eje Y indican el Norte y el Este, respectivamente. a) ¿En qu´e direcci´on sopla el viento en (1, 1)? b) Calcule

∂V ∂V ∂V (t, x, y). Interprete (1, 1, 0) y compare con (2, 1, 0). ∂x ∂x ∂x

12. Aplica el M´etodo de Newton para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas. Problema 1. Plantee la iteraci´on de Newton para resolver el sistema 1 cos(x + y) 2

=

3,

1 log(1 + x2 + y 2 ) 3

=

5.

x−

y−

13. Calcula derivadas parciales de funciones definidas impl´ıcitamente. Problema 1. El siguiente sistema de ecuaciones representa el estado de equilibrio de un sistema compuesto por dos poblaciones con u y v miles de individuos, respectivamente: u + v 2 − αu3 v 3 2

3 3

v + 2u − βu v

=

0,

=

0.

Los n´umeros α y β son par´ametros del modelo. Se tiene un estado de equilibrio en u = 1 y v = 1 para valores de los par´ametros α = 2 y β = 3. Determine la tasa de cambio de la poblaci´on de equilibrio de u ante un cambio en el par´ametro β. 14. Aplica criterios de primer y segundo orden para estudiar problemas de optimizaci´on sin restricciones. Problema 1. Encuentre y clasifique los puntos cr´ıticos de la funci´on 2

f (x, y) = (ax2 + by 2 )e−x

−y 2

con a > b > 0.

Problema 2. La secci´on transversal de una canaleta es un trapecio is´osceles. Si la canaleta se construye a partir de una placa met´alica de 18 [cm] de ancho, doblando en un a´ ngulo θ una franja de x [cm] a cada lado. Determine x y θ de modo que se maximice el volumen de la canaleta. Justifique su respuesta. 15. Usa positividad del Hessiano para caracterizar funciones convexas. Problema 1. Considere una funci´on f : R → R+ de clase C 2 .

163

a) Demuestre que log(f (x)) es convexa si y s´olo si (f 0 (x))2 ≤ f 00 (x)f (x),

x ∈ R.

b) Extienda esta propiedad al caso de una funci´on f : R2 → R+ . 16. Aplica el criterio de multiplicadores de Lagrange para estudiar problemas de optimizaci´on con restricciones. Problema 1. Una carpa tiene forma de cilindro con un cono superpuesto. Si se requiere que el radio del cilindro sea de 2 [m] y si se dispone de 30 [m2 ] de lona, ¿de qu´e altura debe ser el cilindro y el cono para maximizar el volumen? Problema 2. Sean a, b reales positivos tales que ab(a + b) = 1. Calcule el volumen m´aximo de los s´olidos que tienen como base el tri´angulo con v´ertices (0, 0), (a, 0) y (0, b), cuyas secciones al cortar por planos paralelos al plano Y Z, son tri´angulos is´osceles de base en el plano XY y altura 4. Problema 3. Teor´ıa del consumidor en econom´ıa. A un consumidor le gusta comer galletas. El consumidor tiene una cantidad fija G de galletas y puede com´erselas durante los pr´oximos D dias. La felicidad que le reporta al consumidor las galletas que come en el d´ıa i es U (gi ), donde gi es la cantidad de galletas que come en ese d´ıa y U es una funci´on dos veces diferenciable y estrictamente c´oncava que satisface U 0 (0) = 0 y U 0 no acotada. El consumidor quiere maximizar su felicidad durante los D d´ıas, y para ello resuelve el siguiente problema Maximizar

D X

U (gi )

i=1

sujeto a

D X

gi = G.

i=1

¿Cu´antas galletas come cada d´ıa? Nota: El consumidor puede comer cualquier fracci´on de galletas, es decir, gi ∈ R. Recuerde que una funci´on estrictamente creciente es inyectiva. 17. Calcula integrales sobre dominios y usa el Teorema de Fubini. Problema 1. Calcule la integral Z 0

6

Z

2

2

ey dydx.

x/3

Problema 2. Una placa met´alica circular se encuentra en la regi´on x2 + y 2 ≤ 2y y tiene una densidad de masa ρ = x2 + y 2 [gr/cm2 ]. Calcule la masa de la placa.

164

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 3

18. Calcula integrales dobles usando coordenadas polares. Problema 1. Calcule el a´ rea de una hoja de la rosa ρ = a sen(2θ). Problema 2. Calcule la integral Z

2

e−x

−y 2

dxdy

R2

usando coordenadas polares. Obtenga de aqu´ı la integral Z

2

e−r dr.

R

19. Es capaz de investigar acerca de las aplicaciones del C´alculo en Varias Variables. Problema 1. Investigue sobre la utilizaci´on de la optimizaci´on en la Teor´ıa Econ´omica. Reconozca otros problemas de Econom´ıa que se plantean como el problema 3 del Indicador 16, que se refiere a una formulaci´on de la teor´ıa del consumidor como problema de optimizaci´on.

165

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 4

Nivel 4 Enunciado. El estudiante modela situaciones de diversos a´ mbitos usando ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Comprende que los modelos de ecuaciones diferenciales son aproximaciones de la realidad y los compara con modelos discretos. El estudiante conoce y aplica los teoremas de existencia y unicidad de soluciones a ecuaciones diferenciales y los relaciona con el concepto de predictibilidad. El estudiante es capaz de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales simples. Utiliza el m´etodo de Euler para la resoluci´on num´erica de dichas ecuaciones. Analiza cualitativamente sistemas lineales y no lineales usando diagramas de fase. Aplica las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de mec´anica de vibraciones y hace analog´ıas con el modelo de circuitos el´ectricos. Modela problemas de difusi´on y utiliza series de Fourier para resolverlos en situaciones simples. El estudiante es capaz de investigar acerca de la evoluci´on hist´orica de conceptos importantes y acerca de teor´ıas actuales relacionadas con estos t´opicos. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Modela usando ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema 1. El modelo log´ıstico describe la evoluci´on de una poblaci´on y tiene la siguiente forma dp = ap − bp2 , dt

con

p(t0 ) = p0 .

a) Explique el significado de a y a/b. b) Compare con el modelo Malthusiano (b = 0). Problema 2. [10] La evoluci´on de una poblaci´on que es afectada por una epidemia se puede modelar de la siguiente manera: En condiciones normales, la poblaci´on se comporta seg´un la ecuaci´on log´ıstica con par´ametros a y b. La epidemia ataca cuando la poblaci´on alcanza el valor Q, que se supone satisface Q < a/b, momento en el

167

cual los par´ametros cambian a A y B, que satisfacen Q > A/B. En ese momento la poblaci´on comienza a decrecer hasta que nuevamente alcanza el nivel de poblaci´on q, que se supone satisface q > A/B. En este momento la poblaci´on nuevamente se rige por el modelo original. Se produce as´ı un comportamiento peri´odico entre los valores q y Q. a) Demuestre que el tiempo T1 que dura la primera parte del ciclo, de q a Q, est´a dado por   1 Q(a − bq) T1 = log . a q(a − bQ) b) Encuentre el tiempo T2 que dura la segunda parte del ciclo, de Q a q. Problema 3. [10] Un modelo muy conocido para describir la diseminaci´on de innovaciones tecnol´ogicas en el a´ mbito de las empresas es el siguiente: dp = cp(N − p), dt

con

p(0) = 1,

donde p es el n´umero de empresas que han adoptado la innovaci´on y N es el n´umero total de empresas. Este modelo puede usarse para describir muchos otros fen´omenos sociales, como por ejemplo la diseminaci´on de un rumor. a) Describa porqu´e este es un modelo razonable para describir diseminaci´on tecnol´ogica. b) Calcule el tiempo que transcurre desde que el 20 % de la poblaci´on adopt´o la innovaci´on hasta que el 80 % la adopt´o. Este n´umero se conoce como tasa de imitaci´on. Problema 4. Un estanque contiene S0 kilos de sal disuelta en 1000 litros de agua. Comenzando en t = 0, entra al estanque una soluci´on que contiene 0, 1 kilo de sal por litro de agua a una tasa de 4 litros por minuto y sale por una v´alvula de escape a la misma tasa. Encuentre la concentraci´on de sal en cada instante. Haga expl´ıcita las hip´otesis que hace para que su modelo sea v´alido. Muestre ejemplos en los cuales esas hip´otesis se cumplen y otro ejemplo donde no se cumplen. 2. Describe e interpreta geom´etricamente una ecuaci´on diferencial de primer orden. Problema 1. Dibuje en el plano el campo de direcciones de la ecuaci´on diferencial y 0 = y − x. Identifique las soluciones y = x + 1 e y = x + 1 − ex . Problema 2. Considere la ecuaci´on aut´onoma y 0 = y 4 − 2y 3 − 3y 2 . Dibuje el campo de direcciones e identifique los puntos de equilibrio. Discuta e interprete geom´etricamente la estabilidad de cada uno de ellos.

168

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 4

3. Comprende el Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones para ecuaciones de primer orden. Problema 1. Indique una condici´on suficiente (y no trivial) sobre f para garantizar que la ecuaci´on x0 = f (x, t),

con

x(0) = x0 ,

con

x(t0 ) = x0 .

tenga una soluci´on x(t) para todo t ∈ R. Problema 2. Considere la ecuaci´on x0 = 1 + x2 ,

Encuentre el intervalo m´aximo donde una soluci´on existe. Problema 3. Encuentre una soluci´on del problema de valor inicial x0 = t

p 1 − x2 ,

con

x(0) = 1,

distinta de x(t) ≡ 1. ¿Contradice esto el teorema de existencia y unicidad? 4. Comprende el Teorema de Punto Fijo de Banach y lo aplica para demostrar el Teorema de Existencia de Soluciones a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Problema 1. Justifique la utilizaci´on del teorema de punto fijo de Banach para encontrar una soluci´on al sistema 1 cos(x + y) 2

=

3,

1 log(1 + x2 + y 2 ) 3

=

5.

x− y− ¿Es u´ nica la soluci´on?

Problema 2. Suponga que la funci´on f : (−1, 1) × R → R es continua. Demuestre que los siguientes problemas son equivalentes: a) Encontrar una funci´on continua x : (−1, 1) → R tal que Z x(t) = x0 +

t

f (s, x(s))ds,

∀t ∈ [−1, 1].

0

b) Encontrar una funci´on diferenciable x : (−1, 1) → R tal que x0 (t) = f (t, x(t)),

∀t ∈ [−1, 1],

169

con

x(0) = x0 .

Problema 3. Si la constante de Lipschitz de la funci´on f en el Problema 2 es M ¿en qu´e intervalo se puede aplicar el teorema de punto fijo de Banach para encontrar una soluci´on de x0 (t) = f (t, x(t))? Problema 4. Construya las primeras 3 iteraciones del m´etodo de Picard para resolver la ecuaci´on y 0 = et +y 2 , con y(0) = 0. Si se contin´ua iterando se genera una sucesi´on. ¿Qu´e puede decir de la convergencia de dicha sucesi´on? 5. Compara modelos de ecuaciones diferenciales con modelos discretos asociados. Problema 1. El crecimiento de la poblaci´on de una cierta especie puede describirse de la siguiente manera: La variaci´on del n´umero de individuos por unidad de tiempo es igual a 2 veces la poblaci´on actual menos el cuadrado de esta misma. Se han propuesto los siguientes modelos para describir esta poblaci´on, suponiendo que inicialmente hay 10 individuos: dp = 2p − p2 , dt

con

pn+1 − pn = 2pn − p2n ,

p(0) = 10, con

p0 = 10,

y 1 qn+1 = qn + (2qn − qn2 ), 4

con

q0 = 10.

a) Determine p(5), p5 y q20 . Compare. b) Describa situaciones en las cuales es m´as conveniente uno de los modelos frente a los otros dos. c) Trat´andose de una poblaci´on que se reproduce en per´ıodos muy cortos de tiempo, como es el caso de las bacterias, uno dispone de un modelo continuo y otro discreto. Naturalmente ambos son aproximaciones de la realidad. Sin informaci´on adicional, ¿cu´al cree que es m´as conveniente y por qu´e? 6. Estima el error al usar el m´etodo de Euler para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema 1. Determine una cota superior para el error cometido al usar el m´etodo de Euler con un paso h para obtener una soluci´on aproximada de dy = x − y4 , dx en el intervalo [0, 1].

170

con

y(0) = 0,

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 4

7. Propone modificaciones simples del m´etodo de Euler. Problema 1. En el m´etodo de Euler podemos considerar el t´ermino hf (xk , yk ) como una aproximaci´on del a´ rea bajo la curva x → f (x, y(x)) sobre el eje x entre xk y xk+1 . Si esta misma a´ rea se aproxima por h [f (xk , yk ) + f (xk , y˜k )], 2 con y˜k = yk +hf (xk , yk ), determine el error cometido en un paso, es decir, y(xk+1 )−yk+1 , considerando que y(xk ) = yk y que f es Lipschitz continua en el segundo argumento. 8. Aplica el Teorema de Existencia y Unicidad y sus consecuencias directas para analizar el espacio de soluciones. Comprende el rol del Wronskiano en el estudio de la independencia lineal de soluciones. Problema 1. Considere la ecuaci´on diferencial y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0,

t ∈ R,

donde p y q son funciones continuas. Indique si las siguientes afirmaciones relativas a esta ecuaci´on son verdaderas o falsas y justifique su respuesta: a) Las soluciones de la ecuaci´on existen para todo t ∈ R s´olo si las funciones p y q son acotadas. b) La ecuaci´on siempre tiene infinitas soluciones definidas cerca de t = 0. c) Si un par de soluciones y1 y y2 de la ecuaci´on son tales que y1 (t0 ) = y2 (t0 ) y y10 (t0 ) = y20 (t0 ) entonces y1 (t) = y2 (t) y y10 (t) = y20 (t) para todo t ≥ t0 . d) Existen funciones p y q continuas tal que la funci´on y(t) = t2 es soluci´on. e) El espacio vectorial de soluciones de (1) tiene dimensi´on 2. Problema 2. Considere las funciones y1 (t) = t2 e y2 (t) = t|t|. Demuestre que y1 e y2 son linealmente independientes. Calcule el Wronskiano de y1 e y2 y comente. Problema 3. Demuestre que si las funciones y1 e y2 tienen un m´ınimo o un m´aximo local en un mismo punto entonces y1 e y2 son linealmente dependientes o una de ellas no es soluci´on de la ecuaci´on del Problema 1. 9. Resuelve ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes, en el caso homog´eneo y en el caso no homog´eneo, con lado derecho simple. Problema 1. a) Resuelva la siguiente ecuaci´on 3y 00 + 4y 0 + y = e−t sen(t),

171

con y(0) = 1, y 0 (0) = 0.

b) Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on 2y 00 − 3y 0 + y = (t2 + 1)et . 10. Modela el problema de vibraciones mec´anicas e interpreta sus soluciones. Problema 1. Indique qu´e leyes de la F´ısica se usan para determinar la ecuaci´on del movimiento de una part´ıcula adosada a un resorte. Indique las fuerzas que act´uan cuando hay amortiguamiento. Problema 2. [10] Un objeto de 4 [kg] de masa se sostiene de un resorte de constante el´astica igual a 64 [N/m] y se le somete a una fuerza externa igual a F (t) = C cos3 (ωt), donde C es una constante positiva. Encuentre todos los valores de ω para los cuales hay resonancia. Problema 3. [10] Un objeto de 1 [kg] de masa se sostiene de un resorte de constante el´astica igual a 64 [N/m]. Con la masa en reposo, en la posici´on de equilibrio del resorte en t = 0, se aplica una fuerza externa F (t) = t/2 [N] hasta t1 = 7π/16 [s], momento en que deja de actuar. Suponiendo que no hay amortiguamiento, encuentre la frecuencia y amplitud de las oscilaciones resultantes. Problema 4. [10] Un peque˜no objeto de 1 [kg] de masa se sostiene de un resorte de constante k = 1 [N/m]. Este sistema masa-resorte es sumergido en un l´ıquido viscoso con constante de amortiguamiento c. Se aplica una fuerza externa F (t) = 3 − cos(t) [N] al sistema. Determine el m´ınimo valor positivo c de modo que la magnitud de la soluci´on estacionaria no exceda 5 [cm]. 11. Comprende las analog´ıas entre el problema de vibraciones mec´anicas y el de circuitos el´ectricos. Problema 1. Describa en detalle un problema de circuitos el´ectricos que sea an´alogo al Problema 2 del Indicador 10. Describa los supuestos f´ısicos que permiten escribir las ecuaciones. Problema 2. Considere un circuito en serie con constantes L, R y C y un voltaje aplicado E0 sen(ωt). ¿Para qu´e frecuencia ω se obtiene una corriente estacionaria m´axima? 12. Resuelve sistemas de ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes. Aplica la f´ormula de variaci´on de par´ametros. Problema 1. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales de primer orden: (D + 1)x + 2y

=

1,

2x + (D − 2)y

= t.

Problema 2. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales: (2D − 2)x + (D − 7)y (3D − 2)x + (2D − 8)y

172

= t − 1, = e−t .

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 4

13. Construye e identifica diagramas de fase para sistemas lineales. Problema 1. Determine las o´ rbitas del sistema de ecuaciones diferenciales dx dt dy dt

= −x − y, = x − y.

Problema 2. Cada uno de los siguientes diagramas de fase corresponde a un sistema lineal de dos ecuaciones de primer orden. Indique en cada caso qu´e caracter´ısticas tienen los valores propios de la matriz del sistema.

14. Construye e interpreta diagramas de fase para sistemas no lineales conservativos. Problema 1. El movimiento de un p´endulo se puede describir por una ecuaci´on de segundo orden θ¨ + sen(θ) = 0. La figura representa el diagrama de fase correspondiente a esta ecuaci´on.

a)

Describa a qu´e movimiento se asocian las trayectorias cerradas en torno a cero.

173

b) Describa a qu´e movimiento se asocian las trayectorias oscilantes no acotadas que avanzan hacia la derecha. c) Los puntos (0, 0) y (π, 0) son puntos de equilibrio del p´endulo. Indique cu´al de ellos es estable y diga c´omo se puede obtener esa informaci´on del diagrama de fase. d) Describa las trayectorias asociada a energ´ıa cero. ¿Es posible observar estas trayectorias en un p´endulo concreto? ¿Porqu´e? Problema 2. El diagrama de fase de la figura corresponde a una ecuaci´on de la forma x ¨ + f (x) = 0. Identifique cualitativamente la funci´on f , es decir indique sus ceros, puntos cr´ıticos y haga un bosquejo de su forma.

15. Conoce las ecuaciones de Lorenz y su importancia. Problema 1. a) ¿Qu´e fen´omeno f´ısico quer´ıa describir Lorenz usando estas ecuaciones? b) ¿Cu´antas variables tiene el sistema y de qu´e orden es? ¿Es lineal? c) Si bien el sistema satiface las hip´otesis del Teorema de Existencia y Unicidad, ¿qu´e caracter´ıstica de las soluciones hace que su comportamiento sea impredecible? d) ¿Porqu´e este sistema es importante en el desarrollo de la Ciencia? 16. Encuentra la serie de Fourier de una funci´on y determina su convergencia. Problema 1. Obtenga la expansi´on en serie de Fourier de las siguientes funciones, definidas en el intervalo indicado, con per´ıodo dado. Determine tambi´en los puntos de discontinuidad de las funciones y el l´ımite de la serie en dichos puntos. a) f (x) = x si 0 < x ≤ 4 y f (x) = 4 si 4 ≤ x < 8, de per´ıodo 8. b) f (x) = −x si −π < x < 0 y f (x) = x si 0 < x < π, de per´ıodo 2π.

174

Matem´atica .:. An´alisis .:. Nivel 4

17. Resuelve problemas de dos puntos usando series de Fourier. Problema 1. [60] a) Resuelva la ecuaci´on diferencial 1 u00 + u = cos2 (x), 2

x ∈ (0, π),

con las condiciones de borde u(0) = u(π) = 0. b) Esta ecuaci´on modela el pandeo de una viga. Identifique los elementos f´ısicos de la ecuaci´on, como fuerza distribuida y fuerza de compresi´on. 18. Modela usando la ecuaci´on de difusi´on. Problema 1. [60] Considere una barra met´alica de 100 [cm] de longitud con los extremos en x = 0 y x = 100, mantenidos a 0◦ C. Inicialmente la mitad de la barra est´a a 60◦ C, mientras que la otra mitad est´a a 40◦ C. Si la constante de difusi´on es de 0, 16 unidades cgs y que la superficie de la barra est´a aislada, plantee la ecuaci´on diferencial que gobierna la temperatura de la barra. Explique c´omo usa las hip´otesis. Problema 2. Interprete la ecuaci´on que aparece en el Problema 1a del Indicador 17 en el contexto de un estado estacionario de la ecuaci´on del calor. ¿C´omo interpreta el t´ermino 21 u en el lado izquierdo? Problema 3. [60] Se sabe que un producto qu´ımico se difunde por una barra porosa de longitud L. Los extremos de la barra se encuentran aislados, es decir, no hay flujo del producto a trav´es de los extremos. Inicialmente la barra tiene una concentraci´on del qu´ımico seg´un la funci´on u0 y la constante de difusi´on es κ. Plantee una ecuaci´on diferencial para describir la evoluci´on de la concentraci´on a lo largo del tiempo. 19. Resuelve la ecuaci´on del calor en situaciones simples usando series de Fourier. Problema 1. [60] a) Resuelva la ecuaci´on planteada en el Problema 1 del Indicador 18. b) Considere que la distribuci´on de temperatura en la barra cambia a u0 : [0, 100] → R, dada por u0 (x) = 0 si x ∈ [0, 40] o x ∈ [60, 100] y u0 (x) = 100 si x ∈ (40, 60). c) En los dos casos anteriores, ¿cu´al es la temperatura de la barra despu´es de un tiempo muy largo? Problema 2. En la ecuaci´on del Problema 2 del Indicador 18, indique la concentraci´on que tendr´a el qu´ımico en la barra despu´es de un tiempo muy largo. 20. Es capaz de investigar acerca de la evoluci´on hist´orica de conceptos importantes y acerca de teor´ıas actuales. Problema 1. Investigue sobre la noci´on de sistema ca´otico.

175

a) Describa el significado de la propiedad de dependencia sensible en los datos iniciales. b) Explique la definici´on de caos de Devaney. c) Describa el Shift de Bernoulli y su relaci´on con la teor´ıa del caos. Problema 2. Investigue sobre los aportes de Joseph Fourier al estudio de los problemas de difusi´on. a) Indique los principales aportes de Teor´ıa Anal´ıtica del Calor, publicado por Fourier en 1822. b) Explique el significado que en su e´ poca pudo tener la afirmaci´on de Fourier “toda funci´on definida en (−π, π) puede representarse como una serie trigonom´etrica”, en lo referente al concepto de funci´on y al concepto de convergencia. Contraste con las correspondientes nociones modernas.

176

Matem´atica .:. An´alisis .:. Bibliograf´ıa

Nota bibliogr´afica para el eje de An´alisis Existen muy buenos textos que se pueden usar para la implementaci´on curricular de estos est´andares. Sin embargo no existe un libro que cubra todos lo contenidos, sin exceder en demas´ıa los alcances de estos est´andares. Un muy buen texto de referencia para los Niveles 1 y 2 es el libro de Hahn [27], que contiene adem´as de los contenidos necesarios para estos niveles las referencias hist´oricas para comprender la evoluci´on del C´alculo diferencial e integral. Este texto tambi´en tiene desarrolladas en profundidad aplicaciones del C´alculo a econom´ıa y a f´ısica. El libro de Stewart [61] tambi´en ha sido usado como referencia para los Niveles 1 y 2, donde podr´ıa ser usado como un texto gu´ıa. Para el estudio de ecuaciones diferenciales y modelos de aplicaci´on del Nivel 4, el libro de Braun [10] es muy adecuado, pero debe seleccionarse s´olo el material requerido. Otro libro que se debe mencionar es el de Brand [9], el cual contiene ecuaciones en diferencias, y tambi´en muy buenas aplicaciones a la f´ısica.

Sugerencias para la implementaci´on curricular Usar programas de visualizaci´on de funciones para describir conjuntos de nivel de funciones de dos y tres variables. Utilizar programas num´ericos para resolver ecuaciones no lineales, as´ı como ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.

Bibliograf´ıa para el eje [9] Brand, Louis, Differential and Difference Equations, John Wiley and Sons, 1966. [10] Braun, Martin, Differential Equation and their Applications. Springer, 1992. [20] Edwards, C. H. y Penney, D. E., C´alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica. Prentice Hall 4a edici´on. 1994. [27] Hahn, Alexander J., Basic calculus. From Archimedes to Newton to its role in science, Springer-Verlag, New York, 1998. [32] Hoffman, L. D. y Bradley, G. L., C´alculo para Administraci´on, Econom´ıa y Ciencias Sociales, McGraw Hill, Sexta Edici´on, 1998. [39] Lang, Serge, C´alculo. Addison Wesley Iberoamericana 1990.

177

[40] Larson, R., Hosteller, H. y Edwards, B. H., C´alculo con Geometr´ıa anal´ıca, Vol. 1 y Vol. 2. McGraw Hill, Edici´on, 1995. [41] Lewis, J. C. y Gillis, P. P., ”Packing Factors in Diatomic Crystals”, A. Journal of Physics, vol. 61, No 5, 1993. [46] Est´andares para un curso de C´alculo. Proyecto MECESUP: UCH 0002: Innovaci´on Program´atica y metodol´ogica para la ense˜nanza de las Matem´aticas, de la F´ısica y la Estad´ıstica. 2004. [53] Purcell, Edwin J., Calculus with differential geometry, Second Edition, Appleton-Century-Crofts, Educational Division Meredith Corporation, 1972. [58] Silverman, Richard A., Essential calculus with applications, Dover Publications Inc., 1977. [60] Spiegel, Murray R., Ecuaciones diferenciales aplicadas Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., Mexico, 1983. [61] Stewart, J., C´alculo, trascendentes tempranas, Cuarta edici´on, Thomson Learning, 2002.

178

Ib

A

Ic

B

C

Eje 5 Geometría

Ia

Matem´atica .:. Geometr´ıa

GEOMETRIA Descripci´on General Este eje est´a dedicado al estudio tanto de temas cl´asicos de geometr´ıa como de temas m´as avanzados donde se relacionan conceptos geom´etricos con nociones provenientes del an´alisis y del a´ lgebra. En esta propuesta se ha optado por ofrecer una variedad de enfoques con el fin de entregar al futuro profesor una visi´on moderna y completa de la geometr´ıa como una disciplina viva, en constante evoluci´on, cuyo desarrollo ha impulsado y ha sido impulsado por otras a´ reas de la Matem´atica. Se enfatizan aqu´ı esas conexiones, como por ejemplo, el estudio de la constructibilidad con regla y comp´as y las extensiones algebraicas de cuerpos en Algebra. Este eje es tambi´en el lugar escogido para promover la comprensi´on del significado que tiene un sistema de axiomas. Los temas de geometr´ıa esf´erica e hiperb´olica ilustran como es posible proponer modelos axiom´aticos distintos al de la geometr´ıa euclideana. La geometr´ıa euclideana ha servido hist´oricamente para ense˜nar a hacer demostraciones. Si bien en este trabajo se ha procurado evitar esa reducci´on y proponer demostraciones en todos los ejes y niveles, se debe se˜nalar que en el caso de la geometr´ıa e´ stas involucran una imagen visual. Los diversos temas y m´etodos de la geometr´ıa que aqu´ı se presentan, buscan desarrollar la capacidad de que esa imagen visual sea comprendida en t´erminos anal´ıticos y que se aprecie el beneficio de contar con herramientas rigurosas para trabajar la visi´on intuitiva con la profundidad que los conceptos geom´etricos conllevan. Las referencias hist´oricas que se proponen en todos los ejes y niveles, en coherencia con las necesidades del curr´ıculum escolar reformado, tienen en este eje un lugar privilegiado. La riqueza que, en este aspecto, la geometr´ıa ofrece, no se agota con los indicadores y ejemplos propuestos. El primer nivel, est´a dedicado a otorgar una visi´on completa y en mayor profundidad a la geometr´ıa plana presente en el programa de ense˜nanza media. El Profesor de Matem´atica conoce los teoremas b´asicos de la geometr´ıa euclideana plana y sus diversas aplicaciones. Conoce tambi´en las razones y funciones trigonom´etricas, sus propiedades y aplicaciones a la resoluci´on de problemas geom´etricos. Es fundamental que el profesor tenga un dominio s´olido de la geometr´ıa anal´ıtica en el plano. El profesor es capaz de usar herramientas algebraicas para

181

identificar elementos geom´etricos y rec´ıprocamente establecer relaciones algebraicas a partir de caracter´ısticas geom´etricas. El Profesor de Matem´atica tambi´en tiene una visi´on intuitiva y anal´ıtica del espacio. En el Nivel 2, se contempla el estudio de la geometr´ıa vectorial de R3 . En particular, el profesor conoce la noci´on de plano y recta en el espacio y conoce cuerpos geom´etricos importantes, como la esfera, los poliedros y cilindros entre otros. En este nivel, el profesor se familiariza con nociones de geometr´ıa diferencial, m´as precisamente, con el estudio de curvas en R3 . El profesor aprecia la geometr´ıa como un a´ rea de la Matem´atica fuertemente ligada con otras a´ reas. En el Nivel 3, se contempla el estudio de las funciones de variable compleja desde un enfoque geom´etrico y tambi´en se desarrolla la teor´ıa de superficies parametrizadas. En este nivel, el Profesor de Matem´atica aprecia la ligaz´on entre conceptos geom´etricos y conceptos propios del an´alisis, como por ejemplo la relaci´on entre los conceptos de conformidad y diferenciabilidad. El Nivel 4 est´a dedicado al estudio de la geometr´ıa desde un punto de vista axiom´atico, conect´andose as´ı con el estudio de la teor´ıa axiom´atica de conjuntos. El profesor comprende los alcances de los postulados de Euclides, en particular, la importancia del quinto postulado. En este nivel, se estudiar´an tambi´en otras geometr´ıas, como la esf´erica y la de Lobachevsky. El profesor comprende el rol de la geometr´ıa diferencial en el estudio de estos modelos. Finalmente, en este nivel el Profesor de Matem´atica adquiere conceptos b´asicos de la geometr´ıa fractal.

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Cuadro sinóptico Niveles del eje

Nivel 1

Nivel 2

El estudiante comprende y es capaz de aplicar los teoremas fundamentales de la geometría euclideana.

El estudiante maneja los elementos de la geometría vectorial del espacio. Interpreta geométricamente la suma y la ponderación de vectores, y también los productos escalar y vectorial. El alumno describe planos y rectas en R2. Reconoce y clasifica superficies cuádraticas en R3.

El estudiante sabe las propiedades de las razones y de las funciones trigonométricas, aplicándolas a la resolución de problemas geométricos provenientes de diversos ámbitos.

El estudiante se familiariza con la noción de poliedro y reconoce algunos cuerpos importantes. Utiliza la fórmula de Euler-Poincaré para clasificar los poliedros regulares.

El alumno interpreta y demuestra propiedades geométricas usando geometría analítica. Identifica curvas en el plano usando coordenadas cartesianas; traslada y rota ejes. Conoce la ecuación de la recta y de la circunferencia. Calcula la distancia entre dos puntos y entre un punto y una recta. Conoce y clasifica las cónicas en R2.

El alumno utiliza coordenadas cilíndricas y esféricas para describir subconjuntos de R3. El estudiante comprende y maneja los conceptos fundamentales de la geometría de curvas suaves en el plano y en el espacio. Calcula longitud de curvas y reparametriza curvas usando la longitud de arco. Interpreta parámetros como la curvatura y la torsión y conoce las ecuaciones del triedro de Frenet.

El estudiante conoce el sistema de coordenadas polares, las utiliza para describir conjuntos en el plano y es capaz de traducir información dada en representación polar a cartesiana y recíprocamente. El estudiante conoce antecedentes históricos de resultados importantes relacionados con los tópicos aquí abordados y aprecia las distintas contribuciones a su desarrollo.

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Eje 5: Geometría Nivel 3

Nivel 4

El estudiante comprende el concepto de superficie

El estudiante se familiariza con los principales elementos de las geometrías no euclideanas. Se familiariza con la geometría esférica y con el modelo de Poincaré para la geometría hiperbólica.

parametrizada en R3 y de carta local. Calcula el plano tangente a una superficie en un punto. Reconoce superficies definidas como superficies de nivel, como gráfico de una función suave y como superficie de revolución.

Conoce la función inversión del plano, fundamental en la geometría de Lobachevsky. Utiliza movimientos rígidos para demostrar propiedades en el plano de Lobachevsky. Relaciona el semiplano de Poincaré con el plano de Lobachevsky a través de una aplicación conforme. Conoce propiedades de las perspectividades en la geometría proyectiva y aplica el principio de dualidad a proposiciones en el plano proyectivo. Investiga los inicios de la geometría proyectiva. Adquiere elementos de la geometría fractal. Construye fractales en el plano y en el espacio y reconoce procesos iterativos con la propiedad de autosimilaridad. Calcula la dimensión y el área de algunos fractales. Investiga acerca de los conjuntos de Julia y de Mandelbrot.

El estudiante comprende la definición de curvaturas principales de una superficie. Calcula la curvatura media y la curvatura de Gauss de una superficie. Investiga acerca del significado de las curvas geodésicas, el Teorema de Gauss-Bonnet y algunas de sus consecuencias. El alumno aborda el estudio de las funciones de variable compleja, enfatizando sus aspectos más geométricos. Analiza las propiedades geométricas de las transformaciones de Möbius. Comprende el concepto de derivada de función de variable compleja y aplica las condiciones de Cauchy-Riemann para determinar diferenciabilidad. Relaciona el concepto de función analítica y aplicación conforme. Estudia geométricamente algunas funciones elementales y determina transformaciones conformes entre dominios simplemente conexos en algunos casos simples.

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Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 1

Nivel 1 Enunciado. El estudiante comprende y es capaz de aplicar los teoremas fundamentales de la geometr´ıa euclideana. El estudiante sabe las propiedades de las razones y de las funciones trigonom´etricas, aplic´andolas a la resoluci´on de problemas geom´etricos provenientes de diversos a´ mbitos. El alumno interpreta y demuestra propiedades geom´etricas usando geometr´ıa anal´ıtica. Identifica curvas en el plano usando coordenadas cartesianas; traslada y rota ejes. Conoce la ecuaci´on de la recta y de la circunferencia. Calcula la distancia entre dos puntos y entre un punto y una recta. Conoce y clasifica las c´onicas en R2 . El estudiante conoce el sistema de coordenadas polares, las utiliza para describir conjuntos en el plano y es capaz de traducir informaci´on dada en representaci´on polar a cartesiana y rec´ıprocamente. El estudiante conoce antecedentes hist´oricos de resultados importantes relacionados con los t´opicos aqu´ı abordados y aprecia las distintas contribuciones a su desarrollo. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Aplica el Teorema de Euclides. Problema 1. [22] Pruebe que las ra´ıces de la ecuaci´on x2 − p x + q 2 = 0, con p y q n´umeros positivos tales que p2 > q, est´an dados por los segmentos r y s de la figura, construidos a partir de un cuadrado de lado q y una semi-circunferencia de di´ametro p sobre una recta com´un.

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2. Aplica el Teorema de Pit´agoras y su rec´ıproco. Problema 1. [15] Si la reflexi´on de un punto P = (x, y) con respecto al eje X es Q = (x, −y), encuentre la reflexi´on de P con respecto a la recta de ecuaci´on y = x. Problema 2. Demuestre que ABC es un tri´angulo rect´angulo en C si y s´olo si la suma de las a´ reas de los tri´angulos equil´ateros construidos sobre los lados AC y CB es igual al a´ rea del tri´angulo equil´atero construido sobre el lado AB. ¿Es verdad que ABC es tri´angulo rect´angulo en C si y s´olo si la suma de las a´ reas de los oct´ogonos regulares constru´ıdos sobre los lados AC y CB es igual al a´ rea del oct´ogono regular constru´ıdo sobre el lado AB? Problema 3. Sean a, b y c los lados de un tri´angulo, r el radio del c´ırculo inscrito y s el semiper´ımetro, es a+b+c decir, s = . Pruebe que el a´ rea A del tri´angulo satisface 2 A = r s. Problema 4. Considere un c´ırculo de centro O y dos rectas tangentes en P y Q que se intersectan en A. Pruebe que AP = AQ y que AO bisecta el a´ ngulo P AQ. Problema 5. Demuestre que las 6 bisectrices de los a´ ngulos externos e internos de un tri´angulo se intersectan de 3 en 3 en 4 puntos, los cuales constituyen los centros de 4 circunferencias tales que cada una de ellas es tangente a 3 lados del tri´angulo (o sus extensiones), como muestra la figura. Notar que una de ellas corresponde al c´ırculo inscrito.

188

Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 1

3. Aplica la Recta de Euler y el C´ırculo de los 9 Puntos. Problema 1. [15] Demuestre que si la recta de Euler pasa por un v´ertice entonces el tri´angulo es rect´angulo o es is´osceles (o ambos). Problema 2. [15] ¿Cu´antos puntos distintos quedan de los 9 puntos del c´ırculo de ese nombre si: a) el tri´angulo es is´osceles? b) el tri´angulo es equil´atero? 4. Es capaz de construir pol´ıgonos regulares con regla y comp´as. Problema 1. Usando regla y comp´as construya pol´ıgonos regulares de 5 y 6 lados. 5. Utiliza propiedades de la inversi´on con respecto a un c´ırculo y aplica el c´ırculo de Apolonio. Problema 1. [15] Utilizando solo el comp´as (sin regla): a) Encuentre un punto B tal que el segmento OB sea el doble del segmento OA dado, b) Encuentre el inverso de un punto P que est´a a distancia radio r.

r 3

del centro O de un c´ırculo de inversi´on de

√ Problema 2. Considere un tri´angulo con v´ertices A = (0, 0), B = (9, 0) y C = (8, 20). Determine el AC conjunto de todas las posibles posiciones del v´ertice C tales que la raz´on BC se mantenga constante. Problema 3. Sean ABC un tri´angulo dado, S1 el c´ırculo correspondiente al lugar geom´etrico de los puntos A P que satisfacen PP B = λ y S2 el c´ırculo correspondiente al lugar geom´etrico de los puntos P que PA satisfacen P C = µ. Demuestre que si λ y µ son ambos menores que 1 entonces los dos c´ırculos se MB intersectan. Si L y M denotan los puntos de intersecci´on, pruebe que LB LC = M C . 6. Aplica el Teorema de Ceva. Problema 1. Pruebe que en cualquier tri´angulo ABC: a) las bisectrices son concurrentes y b) las alturas son concurrentes. 7. Aplica el Teorema de Menelao. Problema 1. Una transversal corta los lados BC, CA y AB de un tri´angulo ABC en L, M y N , respectivamente. D es el cuarto v´ertice del paralel´ogramo del cual AB y AC son lados adyacentes. Considere los puntos V y W sobre DB y DC de modo tal que M V y N W sean paralelas a AB y AC, respectivamente. Pruebe que L, V y W son colineales.

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8. Es capaz de relacionar las medidas de a´ ngulos y lados usando razones trigonom´etricas. Problema 1. Con el fin de medir la altura h de un edificio distante, se midieron los a´ ngulos de elevaci´on α y β desde dos puntos A y B, respectivamente, a L metros de distancia entre s´ı. Encuentre una expresi´on de la altura h en t´erminos de L y de ambos a´ ngulos, para el caso en que los puntos A y B est´an del mismo lado del edificio y para el caso en que est´an uno de cada lado. 9. Aplica propiedades de las funciones trigonom´etricas. Problema 1. Pruebe que para todo x, y ∈ R, cos(2x − 3y) + cos(3y) 1 = . sen(2x − 3y) + sen(3y) tan(x) Problema 2. Encuentre el conjunto soluci´on de la ecuaci´on cos(2x) = cos(x) + sen(x). 10. Resuelve problemas geom´etricos aplicando los Teoremas del Seno y del Coseno. Problema 1. Una persona al borde de un canal de 3 [m] de ancho observa dos objetos en la otra orilla que se encuentran a 15◦ a su izquierda y a 45◦ a su derecha respectivamente. ¿A qu´e distancia se encuentran los objetos entre s´ı y del observador? Problema 2. El a´ ngulo de elevaci´on de la cima de una colina desde un punto A es α. Al avanzar c metros hacia la cima, ascendiendo por una pendiente inclinada en un a´ ngulo β respecto del plano horizontal, se observa la cima con un a´ ngulo de elevaci´on γ. Encuentre la altura de la colina en funci´on de los datos entregados. 11. Traslada y rota ejes de coordenadas. Problema 1. Demuestre que la suma A + C de los coeficientes de x2 e y 2 en la ecuaci´on general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = 0, es invariante bajo rotaci´on de los ejes de coordenadas, es decir A + C = A0 + C 0 , donde A0 , C 0 corresponden a los coeficientes de la ecuaci´on en los ejes rotados, para cualquier a´ ngulo de rotaci´on. Problema 2. Los ejes X e Y giran en un a´ ngulo de 45◦ . Encuentre la ecuaci´on de la curva 2xy = 1 en el nuevo sistema X 0 , Y 0 . 12. Construye rectas. Identifica algebraicamente paralelismo y perpendicularidad. Calcula el a´ ngulo entre dos rectas. Problema 1. Encuentre la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (−1, −4) y que es perpendicular a la recta x − 2y + 2 = 0.

190

Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 1

Problema 2. Pruebe que al intersectar las siguientes rectas se forma un paralel´ogramo: 2x − 3y = 5;

6y − 4x = 3;

4x + 5y = 1;

3 − 8x − 10y = 0.

Problema 3. Encuentre los a´ ngulos de un tri´angulo con v´ertices (−1, 0), (2, −1) y (4, 1). 13. Calcula la distancia entre dos puntos del plano y entre un punto y una recta. Problema 1. Demuestre que el largo del segmento de l´ınea que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es igual a la mitad de la suma de los largos de los lados paralelos. Problema 2. Demuestre que el a´ rea A de un tri´angulo cuyos v´ertices son (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y (x3 , y3 ) est´a dada por 1 A = [x1 (y2 − y3 ) − y1 (x2 − x3 ) + (x2 y3 − x3 y2 )]. 2 Problema 3. Pruebe que los segmentos de l´ınea que unen los puntos medios de lados adyacentes de un cuadril´atero forman un paralel´ogramo. Problema 4. Encuentre la ecuaci´on de la recta que bisecta los a´ ngulos agudos formados al intersectar las rectas 3x − y − 8 = 0 y x − 3y = 0. 14. Demuestra propiedades geom´etricas de la circunferencia a partir de su expresi´on algebraica. Problema 1. Encuentre las ecuaciones de las circunferencias que satisfacen las condiciones: a) Contiene a los puntos (5, 1), (4, 2) y (−2, −6). b) Contiene a los puntos (1, 4) y (−2, 3) y su centro est´a en la recta x − 2y = 6. Problema 2. Sea S el conjunto de puntos cuya distancia a (2, −1) es el doble de la distancia a (6, 6). Demuestre que S es una circunferencia y encuentre su centro y radio. Problema 3. Demuestre anal´ıticamente que la recta perpendicular al punto medio de cualquier cuerda de un c´ırculo, pasa por el centro de e´ sta. Problema 4. Sean C1 y C2 dos circunferencias no conc´entricas cuya intersecci´on consiste en dos puntos A y B. La recta que pasa por A y B es denominada el eje radical. Pruebe que un punto P est´a en el eje radical si y s´olo si los segmentos tangentes desde P a ambas circunferencias miden lo mismo. 15. Relaciona caracter´ısticas geom´etricas de la par´abola con expresiones algebraicas. Problema 1. Encuentre las ecuaciones de las par´abolas que satisfacen las condiciones: a) Foco en (0, 4) y cuya directriz es la recta x = −8. b) Foco en (0, 0) y cuya directriz es la recta x + y = 4.

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Problema 2. La recta que pasa por el foco de una par´abola y es perpendicular a la directriz, se denomina eje de la par´abola. El punto en el cual la par´abola corta al eje es el v´ertice. Pruebe que el largo del segmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la par´abola, es el doble de la distancia del foco a la directriz. Problema 3. Se puede demostrar que la tangente a una par´abola P : y 2 = 4ax en (x1 , y1 ) ∈ P est´a dada por 2ax − y1 y + 2ax1 = 0. Use esta f´ormula para probar que la recta normal a la par´abola en (x1 , y1 ), bisecta el a´ ngulo formado por la recta entre el foco y (x1 , y1 ) y la recta que pasa por (x1 , y1 ) paralela al eje de P . Esta propiedad implica que un espejo parab´olico reflejar´a un rayo de luz paralelo al eje, si la fuente de luz puntual es colocada en el foco. ¿C´omo funcionan las antenas parab´olicas? 16. Relaciona caracter´ısticas geom´etricas de la elipse con expresiones algebraicas. Identifica sus focos, ejes, directrices y excentricidad. Problema 1. Demuestre que el conjunto de puntos del plano que satisfacen x2 + 4y 2 + 4x − 12y = 51, es una elipse. Encuentre sus focos y la distancia entre ellos. √ Problema 2. Pruebe que las rectas y = mx ± m2 a2 + b2 con m 6= 0 tienen s´olo un punto en com´un con la elipse E : x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 y, por lo tanto, son tangentes a e´ sta. Use este resultado para probar que si dos rectas tangentes a la elipse E son perpendiculares, entonces se intersectan en un punto de la circunferencia x2 + y 2 = a2 + b2 . Problema 3. Considere la curva de ecuaci´on √ √ x2 − xy + y 2 − 2 2x + 2 2y = 0. Elimine el t´ermino en xy mediante una rotaci´on apropiada de los ejes de coordenadas. Considere luego una traslaci´on que le permita identificar la curva y todos sus elementos geom´etricos caracter´ısticos. 17. Relaciona caracter´ısticas geom´etricas de la hip´erbola con expresiones algebraicas. Identifica sus focos, directrices, excentricidad y as´ıntotas. Problema 1. Encuentre los focos y as´ıntotas de las hip´erbolas: a) x2 − 9y 2 + 6x + 18y = 18. b) 4xy + 6x = 1.

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Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 1

Problema 2. Demuestre que para la hip´erbola x2 y2 − =1 a2 b2 el largo de la perpendicular entre el foco y la as´ıntota es b. Problema 3. Demuestre que en una hip´erbola, el producto de los largos de las perpendiculares desde un punto P de la hip´erbola a las dos as´ıntotas es constante, es decir independiente de P . Problema 4. Use el discriminante para identificar la curva de ecuaci´on x2 + 4xy − 2y 2 = 18. Luego elimine el t´ermino en xy mediante una rotaci´on apropiada de los ejes de coordenadas e identifique todos los elementos geom´etricos caracter´ısticos de esta curva. 18. Identifica regiones del plano dadas por coordenadas polares y utiliza esta representaci´on para describir conjuntos del plano. Problema 1. Describa en coordenadas cartesianas el conjunto n o π π S = (r, θ) / − < θ < , 2 < r < 4 , 4 4 descrito en coordenadas polares. Problema 2. Describa en coordenadas polares el tri´angulo en el plano de v´ertices (0, 0), (1, 1) y (1, 0). Problema 3. Dibuje la regi´on descrita en coordenadas polares por n o π R = (r, θ) / 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ 5 sen(2θ) . 2 Describa mediante coordenadas polares el conjunto que replica sim´etricamente el dibujo anterior en los cuatro cuadrantes del plano. 19. Conoce la evoluci´on hist´orica de resultados importantes. Aprecia las distintas contribuciones. Problema 1. Describa los resultados de Gauss acerca de la construcci´on de un pol´ıgono regular de diecisiete lados y su soluci´on al problema general de la constructibilidad de pol´ıgonos regulares. Problema 2. Describa el m´etodo utilizado por Erat´ostenes para medir el radio de la Tierra. Problema 3. Describa en detalle el procedimiento que permite construir la espiral a´ urea. Problema 4. Enuncie el teorema planteado por Descartes (1643) acerca de 4 c´ırculos mutuamente tangentes en 6 puntos, redescubierto en 1842 por Philip Beecroft y por Sir Frederick Soddy en 1936. Problema 5. Investigue acerca de la geometr´ıa de templo japonesa (Sangaku). Averig¨ue si existen problemas cl´asicos de geometr´ıa occidental presentes en los problemas de la geometr´ıa de templo.

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Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 2

Nivel 2 Enunciado. El estudiante maneja los elementos de la geometr´ıa vectorial del espacio. Interpreta geom´etricamente la suma y la ponderaci´on de vectores, y tambi´en los productos escalar y vectorial. El alumno describe planos y rectas en R3 . Reconoce y clasifica superficies cu´adraticas en R3 . El estudiante se familiariza con la noci´on de poliedro y reconoce algunos cuerpos importantes. Utiliza la f´ormula de Euler-Poincar´e para clasificar los poliedros regulares. El alumno utiliza coordenadas cil´ındricas y esf´ericas para describir subconjuntos de R3 . El estudiante comprende y maneja los conceptos fundamentales de la geometr´ıa de curvas suaves en el plano y en el espacio. Calcula longitud decurvas y reparametriza curvas usando la longitud de arco. Interpreta par´ametros como la curvatura y la torsi´on y conoce las ecuaciones del triedro de Frenet. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Representa vectores en R3 reconociendo su norma y direcci´on. Suma y pondera vectores en R3 . −−→ −−→ −→ Problema 1. [61] Si A, B y C son los v´ertices de un tri´angulo, encuentre AB + BC + CA. Problema 2. [61] Encuentre e ilustre geom´etricamente |a|, a + b, a − b, 2a y 3a + 4b para: a) a = (6, 2, 3) y b = (−1, 5, −2). ˆ b) a = ˆı − 2ˆ  + kˆ y b = ˆ + 2k. 2. Calcula el producto escalar entre dos vectores. Determina el a´ ngulo y la distancia entre dos vectores. Problema 1. [61] Un objeto se mueve a lo largo de una recta desde el punto (2, 3, 0) al punto (4, 9, 15) ˆ Determine el trabajo realizado por la fuerza si por la acci´on de una fuerza constante F = 10ˆı + 18ˆ  − 9k. la distancia se mide en metros y la fuerza en newtons. Problema 2. [61] Encuentre el a´ ngulo entre una diagonal de un cubo y una diagonal de una de sus caras.

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Problema 3. [61] La regla del paralel´ogramo expresa que si a, b ∈ R3 entonces |a + b|2 + |a − b|2 = 2|a|2 + 2|b|2 . Demuestre esta regla e interpr´etela geom´etricamente. 3. Calcula el producto vectorial entre dos vectores y lo interpreta geom´etricamente. Utiliza el producto vectorial y escalar para calcular el volumen de un paralelep´ıpedo. Problema 1. Sean V = (2, 1, −1), W = (−3, 2, 1) y Z = (−3, −2, 4). Calcule V × W y dibuje V , W y V × W . Dibuje un paralelep´ıpedo con volumen |Z · (V × W )|. Problema 2. [61] Suponga que a 6= 0 con a ∈ R3 . a) Si a · b = a · c, ¿es cierto que b = c? b) Si a × b = a × c, ¿es cierto que b = c? c) Si a · b = a · c y a × b = a × c, ¿es cierto que b = c? 4. Describe planos en R3 . Calcula el a´ ngulo entre dos planos y determina la proyecci´on ortogonal y la distancia de un punto a un plano. Problema 1. Determine el lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de (1, 1, 0) y (0, 1, 1). Problema 2. Encuentre las ecuaciones de los planos que bisectan los a´ ngulos entre los planos x−2y−2z = 7 y 2x − 3y − 6z = −5. Problema 3. [61] Sean Q, R y S puntos pertenecientes a un plano Π y sea P ∈ / Π. Demuestre que la distancia d del punto P al plano Π est´a dada por: d=

|a · (b × c)| , |a × c|

−−→ −→ −−→ donde a = QR, b = QS y c = QP . 5. Describe rectas en R3 . Problema 1. [61] Determine si cada enunciado es falso o verdadero: a) Dos rectas paralelas a una tercera recta son paralelas. b) Dos rectas perpendiculares a una tercera recta son paralelas. c) Dos planos paralelos a un tercer plano son paralelos. d) Dos planos perpendiculares a un tercer plano son paralelos.

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Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 2

e) Dos rectas paralelas a un plano son paralelas. f ) Dos rectas perpendiculares a un plano son paralelas. g) Dos planos paralelos a una recta son paralelos. h) Dos planos perpendiculares a una recta son paralelos. i) Dos planos se cortan o son paralelos. Problema 2. Encuentre la ecuaci´on de la recta que pasa por (0, −1, 5) y es perpendicular al plano 3x − y + 9z = 6. 6. Conoce la ecuaci´on de la esfera en R3 . Problema 1. [61] Sean a, b ∈ R3 con a 6= 0 o b 6= 0. Demuestre que el conjunto soluci´on de la ecuaci´on (x − a) · (x − b) = 0 es una esfera y encuentre su radio y su centro. Problema 2. El punto P = (2, 3, 6) pertenece a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 49. Encuentre la ecuaci´on del plano tangente a la esfera que pasa por P . Demuestre que cualquier recta que pasa por P corta la esfera en un punto Q 6= P , a menos que e´ sta est´e contenida en el plano tangente. 7. Clasifica las superficies cuadr´aticas en su forma can´onica y cuando hay traslaci´on de ejes. Problema 1. [61] Encuentre una ecuaci´on para la superficie formada por los puntos P ∈ R3 , para los que la distancia de P al eje X es el doble de la distancia de P al plano Y Z. Identifique esta superficie. Problema 2. Clasifique y bosqueje las siguientes superficies cuadr´aticas: a) x2 + 4y 2 + 2z 2 − 2x + 32y + 8z = 27. b) 4x2 + y 2 − z 2 + 12x − 2y + 4z = 12. Problema 3. [61] Demuestre que si (a, b, c) pertenece al paraboloide hiperb´olico P : z = x2 − y 2 , entonces las rectas de ecuaciones param´etricas x = a + t, y = b + t, z = c + 2(b − a)t y x = a + t, y = b − t, z = c − 2(b + a)t est´an contenidas en P . 8. Demuestra y describe propiedades de poliedros. Problema 1. Considere un prisma recto de base triangular ABC y altura h. Sobre las caras laterales, que son rect´angulos, se construyen semi-cilindros. Pruebe que la suma de dos de esos vol´umenes es igual al volumen del tercer semi-cilindro si y s´olo si la base triangular del prisma es un tri´angulo rect´angulo. Problema 2. [15] Seis rombos congruentes de a´ ngulos 60◦ y 120◦ se unen para formar un “romboedro”. Desde los v´ertices opuestos agudos de este s´olido se pueden cortar dos tetraedros regulares de tal manera que lo que queda es un octaedro regular. En otras palabras, dos tetraedros y un octaedro pueden juntarse para formar un romboedro. Deduzca que un tetraedro y un octaedro regulares tienen a´ ngulos diedrales suplementarios y que con un n´umero infinito de tetraedros y octaedros regulares se puede cubrir el espacio.

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9. Aplica la f´ormula de Euler-Poincar´e para poliedros simplemente conexos. Mediante esta f´ormula encuentra los cinco poliedros regulares. Problema 1. [15] Considere un poliedro simplemente conexo con C caras, A aristas y V v´ertices. Para i = 1, . . . , C, pi denota el n´umero de lados de la cara i, es decir, la i-´esima cara es pi -agonal y del v´ertice j, con j = 1, . . . , V , salen qj caras. Demuestre que C X

pi = 2A =

i=1

V X

qj .

j=1

Deduzca que un poliedro simplemente conexo tiene una cara triangular o desde un v´ertice salen tres caras. 10. Utiliza coordenadas cil´ındricas y esf´ericas para describir conjuntos simples de R3 . Problema 1. Escriba las siguientes ecuaciones en coordenadas esf´ericas y cil´ındricas: a) x2 − y 2 − 2z 2 = 4. b) x2 + y 2 = 2y. Problema 2. [61] Bosqueje el s´olido descrito por las siguientes desigualdades: a) r2 ≤ z ≤ 2 − r2 , donde (r, θ, z) representan coordenadas cil´ındricas, es decir x = r cos θ, y = r sen θ, z = z. b) −π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/6, 0 ≤ ρ ≤ sec φ, donde (ρ, θ, φ) representan las coordenadas esf´ericas de un punto, es decir x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ. 11. Comprende el concepto de curva parametrizada. Calcula el vector tangente a una curva. Problema 1. Determine una parametrizaci´on para la intersecci´on del cilindro x2 + y 2 = 1 con el plano x + y + z = 1. Problema 2. Demuestre que la curva planar C parametrizada por:  (x(t), y(t)) =

a(1 − t2 ) 2bt , 1 + t2 1 + t2

 , t ∈ R,

est´a contenida en la elipse E : x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. ¿Son los conjuntos E y C iguales? Problema 3. [42] Sean a, b ∈ R con 2b2 = 3a. Demuestre que el vector tangente a la curva (at, bt2 , t3 ), t ∈ R, forma un a´ ngulo constante con el vector (1, 0, 1).

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Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 2

Problema 4. [13] El epicicloide E es una curva planar generada por un punto P en la circunferencia C de radio c, cuando e´ sta rueda sin resbalar en el exterior de una circunferencia fija C0 de radio a, como muestra la figura:

Suponiendo que el punto P est´a en (a, 0) cuando t = 0, E se puede parametrizar como

 a+c t , c   a+c (a + c) sen t − c sen t . c 

x(t) = y(t)

=

(a + c) cos t − c cos

Para a = 3 y c = 1 encuentre los puntos no regulares de E y bosqueje esta curva. 12. Calcula la recta tangente y el plano normal a una curva en un punto. Problema 1. [18] Sea C la curva parametrizada por  α(t) =

  t sen t, cos t + log tan , t ∈ (0, π). 2

Esta curva se denomina tractriz. a) Pruebe que el a´ ngulo entre el eje Y y el vector α0 (t) es t. b) Encuentre los puntos no regulares de C. c) Pruebe que para todo P 6= (1, 0) en C, el segmento de la recta tangente a C en P , entre el punto P y el eje Y tiene largo 1. Problema 2. [17] Sea C una curva parametrizada regular.

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a) Demuestre que si la intersecci´on de todos los planos normales a C es no vac´ıa, entonces C est´a contenida en una esfera de R3 . b) Pruebe que la curva parametrizada por γ(θ) = (− cos 2θ, −2 cos θ, sen 2θ) θ ∈ [0, 2π], est´a contenida en una esfera. Encuentre su centro y radio. 13. Calcula el largo de una curva. Encuentra la parametrizaci´on en longitud de arco en caso simples. Problema 1. La catenaria es una curva definida por y = cosh(x) con x ∈ [a, b]. El nombre proviene del hecho que una cadena suspendida de sus extremos adopta la forma de esta curva. Encuentre el largo de la catenaria. Problema 2. La curva C parametrizada por α(s) = (a cos(s/c), a sen(s/c), bs/c), s ≥ 0, con a, c > 0, se denomina h´elice circular. Bosqueje esta curva. Demuestre que el par´ametro s corresponde a la longitud de arco. Problema 3. [42] Encuentre la parametrizaci´on en longitud de arco de la curva γ(t) = (et cos t, et sen t, et ), t ≥ 0. 14. Calcula el vector normal y binormal de una curva. Conoce las ecuaciones del triedro de Frenet (T, N, B). Problema 1. [17] Demuestre que la parametrizaci´on de la curva:  γ(t) =

(1 + t)3/2 (1 − t)3/2 t , ,√ 3 3 2

 , t ∈ [0, 1/2],

corresponde a la parametrizaci´on en longitud de arco. Calcule el triedro de Frenet para esta curva y verifique que N 0 = −κT + τ B. Problema 2. Encuentre las ecuaciones del triedro de Frenet para la h´elice circular α(t) = (a cos(s/c), a sen(s/c), bs/c). Problema 3. [17] Sea C una curva parametrizada por γ(t) = (t, 1 + 1/t, −t + 1/t), 1 ≤ t ≤ 2. Demuestre que la curva C est´a contenida en un plano P y encu´entrelo.

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Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 2

Problema 4. [17] Muestre que la curva parametrizada por γ(t) = (a cos t, a sen t, b cosh(at/b)) con a, b > 0, est´a contenida en el cilindro x2 + y 2 = a2 . Pruebe que el plano osculante en cualquier punto de la curva, forma un a´ ngulo constante con el plano tangente al cilindro en ese punto. 15. Calcula e interpreta la curvatura y la torsi´on de una curva. Determina el radio y centro de curvatura. Problema 1. Considere la parametrizaci´on x(θ) = a cos θ, y(θ) = b sen θ con θ ∈ [0, 2π] de la elipse E : x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 con 0 < b < a. Verifique que en los puntos (−a, 0) y (a, 0) la funci´on |κ(θ)| alcanza su m´aximo y en (0, −b) y (0, b) su m´ınimo. Problema 2. [18] Sea C una curva regular parametrizada por α : I → R2 , tal que su curvatura κ(t) es no 1 nula para todo t ∈ I. La curva parametrizada por β(t) = α(t) + κ(t) n(t) se denomina la “curva evoluta” de C. Pruebe que el vector tangente de β(t) en t es el vector normal a α(t). Estudie la curva evoluta de la catenaria. Problema 3. Encuentre la torsi´on para la curva dada por (t − sen t, 1 − cos t, t) t ∈ R. 16. Investiga acerca de la F´ormula de Euler-Poincar´e. Problema 1. Realice una investigaci´on acerca de la representaci´on de poliedros usando diagramas de Schlegel. Encuentre la representaci´on de los cinco poliedros regulares usando diagramas de Schlegel. ¿C´omo se relaciona la F´ormula de Euler-Poincar´e para poliedros con la F´ormula de Euler para grafos?

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Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 3

Nivel 3 Enunciado. El alumno comprende el concepto de superficie parametrizada en R3 y de carta local. Calcula el plano tangente a una superficie en un punto. Reconoce superficies definidas como superficies de nivel, como grafo de una funci´on suave y como superficie de revoluci´on. El estudiante comprende la definici´on de curvaturas principales de una superficie. Calcula la curvatura media y la curvatura de Gauss de una superficie. Investiga acerca del significado de las curvas geod´esicas, el Teorema de Gauss-Bonnet y algunas de sus consecuencias. El alumno aborda el estudio de las funciones de variable compleja, enfatizando sus aspectos m´as geom´etricos. Analiza las propiedades geom´etricas de las transformaciones de M¨obius. Comprende el concepto de derivada de funci´on de variable compleja y aplica las condiciones de CauchyRiemann para determinar diferenciabilidad. Relaciona el concepto de funci´on anal´ıtica y aplicaci´on conforme. Estudia geom´etricamente algunas funciones elementales y determina transformaciones conformes entre dominios simplemente conexos en algunos casos simples. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Comprende el concepto de superficie parametrizada regular. Problema 1. [42] Pruebe que γ(u, v) =

1 1 ˆ u, v ∈ R, (u + v)ˆı + (u − v)ˆ  + uv k, 2 2

es una parametrizaci´on regular del paraboloide hiperb´olico P : x3 = x21 −x22 . Describa las curvas γ(·, v0 ), γ(u0 , ·), donde u0 , v0 ∈ R est´an fijos. Problema 2. [18] Considere una curva regular α : R → R3 , con curvatura κ(t) 6= 0 para todo t. Definimos S, la superficie tangente a α, como la superficie parametrizada por γ(t, v) = α(t) + vα0 (t) con t ∈ R, v ∈ R \ {0}. Demuestre que S es una superficie regular.

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Problema 3. [5] Considere una h´elice circular parametrizada por (cos t, sen t, t), t ∈ R. El helicoide H es un conjunto formado por todas los segmentos perpendiculares al eje Z que unen cada punto del eje Z con un punto de la h´elice circular, como se muestra en la figura

Demuestre que H es una superficie parametrizada regular. 2. Comprende el concepto de carta local de una superficie. Conoce cuando f (x, y, z) = c define una superficie regular. Problema 1. Demuestre que el elipsoide E:

y2 z2 x2 + + =1 a2 b2 c2

es una superficie regular. Encuentre cartas locales para E usando coordenadas esf´ericas y coordenadas cartesianas. ¿Cu´antas cartas necesita para cubrir E en cada caso? Problema 2. [17] Usando las relaciones cos2 θ + sen2 θ = 1 y cosh2 x − sinh2 x = 1 encuentre cartas locales para el hiperboloide x2 y2 z2 H : 2 + 2 − 2 = 1. a b c Problema 3. Considere la funci´on f (x, y, z) = z 2 . ¿Cu´ando f (x, y, z) = c define una superficie regular? 3. Calcula el plano tangente y la recta normal a una superficie. Problema 1. Encuentre el plano tangente a la superficie de revoluci´on S dada por: x(u, θ)

= f (u) cos θ,

y(u, θ)

= f (u) sen θ,

z(u, θ)

= g(u),

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Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 3

con u ∈ R, θ ∈ [0, 2π] y las funciones f y g 0 positivas. Demuestre que todas las rectas normales a S cortan el eje Z. Problema 2. Pruebe si las esferas x2 + y 2 + z 2 = ax y x2 + y 2 + z 2 = by con a 6= b y a, b 6= 0 se intersectan, en la intersecci´on son ortogonales. 4. Determina las curvaturas principales, la curvatura de Gauss y la curvatura media de una superficie. Problema 1. [17] Calcule la curvatura de Gauss de la superficie z = x2 − y 2 . Encuentre las curvaturas principales y las direcciones de las curvaturas principales en P = (0, 0, 0). Problema 2. [18] La superficie en la figura, se denomina pseudoesfera.

Esta superficie de revoluci´on resulta al rotar la tractriz  α(t) =

  t , t ∈ (0, π/2), sen t, 0, cos t + log tan 2

con respecto al eje Z. a) Encuentre una parametrizaci´on para la pseudoesfera. b) Demuestre que la curvatura de Gauss en cualquier punto de la pseudoesfera es −1. Problema 3. Considere el toro T de radios r y R, con r < R, parametrizado por ((R + r cos θ) cos φ, (b + r cos θ) sen φ, r sen θ),

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θ, φ ∈ (0, 2π).

Calcule la curvatura de Gauss K. Determine los subconjuntos de T donde K > 0, K < 0 y K = 0. Problema 4. El catenoide es la superficie parametrizada por γ(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v), con 0 < u < π, −∞ < v < ∞. Esta superficie de revoluci´on resulta al rotar la catenaria y = cosh z con respecto al eje Z. Pruebe que la curvatura media del catenoide es 0. 5. Opera con funciones complejas elementales. Problema 1. Encuentre la parte real e imaginaria de las funciones z¯/(1 + z) y z 2 e2z . Problema 2. [59] Pruebe que: a) cos(¯ z ) = cos(z). b) senh2 (z/2) = 12 (cosh(z) − 1).

√ c) Si | sen(z)| = 1 entonces |Im(z)| ≤ log( 2 + 1).

6. Se familiariza con la funci´on arg y log. Problema 1. [59] Encuentre todos los valores de:  √  a) log 12 − 23 i . b) (1 + i)i . 7. Comprende la noci´on de derivada de una funci´on de variable compleja. Usando las condiciones de Cauchy- Riemann determina si una funci´on es anal´ıtica. Calcula derivadas aplicando reglas de derivaci´on. Problema 1. [59] Usando las condiciones de Cauchy-Riemann, pruebe que la funci´on f (z) = z¯z 2 no es anal´ıtica en ning´un dominio de C. Problema 2. Si f es anal´ıtica en C, demuestre que d f 0 (z) log(f (z)) = , dz f (z) cuando f (z) 6= 0. Problema 3. Calcule

i 2 d h cos(iz − 2)z . dz

8. Relaciona la noci´on de aplicaci´on conforme y de funci´on anal´ıtica. Problema 1. ¿En qu´e puntos la transformaci´on w = sen(z) es conforme?

206

Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 3

Problema 2. [59] A las rectas y = 2x y x + y = 6 en el plano z se les aplica la transformaci´on w = z 2 . Muestre gr´aficamente las im´agenes de estas rectas en el plano w y encuentre su a´ ngulo de intersecci´on. Problema 3. Considere la transformaci´on w = 2z − 3i¯ z y el tri´angulo T en el plano z con v´ertices i, 1 − i y 1 + i. Pruebe que la imagen del tri´angulo T es un tri´angulo T 0 en el plano w. ¿Son T y T 0 similares? 9. Opera con las transformaciones de M¨obius. Problema 1. Considere las transformaciones de M¨obius: T1 z =

z+2 z+3

y T2 z =

z . z+1

Encuentre T1 ◦ T2 , T2 ◦ T1 y T1−1 ◦ T2 . Problema 2. [1] Considere T z = (z − i)/(z + i). Encuentre la imagen de los siguientes conjuntos al aplicar T : a) El rayo it con t ≥ 0. b) La circunferencia |z − 1| = 1. c) La semi circunferencia |z| = 1 con Im(z) ≥ 0. 10. Usa la raz´on cruzada para encontrar transformaciones de M¨obius. Reconoce las propiedades geom´etricas de las transformaciones de M¨obius. Problema 1. [59] Encuentre una transformaci´on de M¨obius que transforme los v´ertices 1 + i, −i y 2 − i de un tri´angulo ∆ en el plano z en los puntos 0, 1 e i del plano w, respectivamente. Bosqueje la regi´on del plano w en la cual es transformado el interior del tri´angulo ∆. Problema 2. Considere la transformaci´on de M¨obius Tz =

αz + γ¯ , γz + α ¯

y el disco D = {z ∈ C / |z| ≤ 1}. Pruebe que: a) Si |α|2 − |γ|2 = 1, entonces T (D) = D. b) Si |α|2 − |γ|2 = −1, entonces T (D) = {z ∈ C /|z| ≥ 1}. Problema 3. [1] Encuentre: a) El punto sim´etrico de z = 0 con respecto al c´ırculo |z| = 2. b) El punto sim´etrico z = i con respecto al c´ırculo |z + 1| = 1. c) La transformaci´on de M¨obius que transforma el c´ırculo |z| = 2 en |z + 1| = 1, el punto -2 en 0 y el 0 en i.

207

11. Encuentra aplicaciones conformes entre dos dominios en algunos casos simples. Problema 1. [59] Encuentre un mapa conforme biyectivo entre el interior de la regi´on definida por los arcos circulares descritos en la figura y el semiplano Im(w) ≥ 0.

Problema 2. [7] Dos circunferencias C1 y C2 son tangentes en un punto α y se construye una secuencia de circunferencias tangentes a C1 , C2 y entre ellas como se indica en la figura

Aplique la transformaci´on conforme w = 1/(z − α) a la figura para demostrar que los puntos de tangencia a1 , a2 , a3 , . . . est´an en una circunferencia. 12. Investiga el significado de una superficie orientable y su relaci´on con la cinta de M¨obius. → Problema 1. [42] La cinta de M¨obius se puede parametrizar como − x (θ, s) = f (θ) + sg(θ), donde: f (θ) g(θ)

=

cos θ ˆı + sen θ ˆ, θ θ θˆ = sen cos θ ˆı + sen sen θ ˆ + cos k, 2 2 2 208

Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 3

con θ ∈ [0, 2π] y s ∈ (−1/2, 1/2). a) Haga un bosquejo de la cinta de M¨obius usando esta parametrizaci´on. b) ¿Qu´e pasa si el c´ırculo cos θ ˆı + sen θ ˆ se extrae de la cinta? c) ¿Es la superficie resultante orientable? d) ¿C´omo definir´ıa usted el a´ rea de la cinta de M¨obius? 13. Investiga sobre las curvas geod´esicas en una superficie. Investiga acerca del Teorema de GaussBonnet en su forma local y global y algunas de sus consecuencias. Problema 1. Realice una investigaci´on acerca del significado de las curvas geod´esicas en una superficie. ¿Qu´e representan estas curvas? ¿Qu´e condiciones de minimalidad tienen las geod´esicas? Problema 2. Sea T un tri´angulo geod´esico en una superficie orientable S. Usando el Teorema Local de Gauss-Bonnet pruebe que la suma de los a´ ngulos interiores del tri´angulo T es: a) Mayor que π si K > 0 en S. b) Menor que π si K < 0 en S. c) Igual a π si K = 0 en S. Problema 3. Realice una investigaci´on acerca de la clasificaci´on de las superficies compactas conexas a trav´es de la caracter´ıstica de Euler-Poincar´e. Problema 4. Realice una investigaci´on acerca del Teorema de Poincar´e, que relaciona la caracter´ıstica de Euler-Poincar´e de una superficie S y el n´umero de ceros de un campo vectorial tangente a S. ¿Es posible peinar una esfera sin encontrarse con un remolino? 14. Investiga los aportes de B. Riemann al estudio de las funciones de variable compleja. Problema 1. Investigue el aporte de B. Riemann al estudio de las funciones de variable compleja, en particular el Teorema de Riemann. ¿Qu´e enfoque privilegiaba Riemann para estudiar las funciones de variable compleja? Matem´aticos importantes como A. Cauchy tambi´en se abocaron al estudio de las funciones de variable compleja. ¿Qu´e otros enfoques fueron usados para estudiar estas funciones? Problema 2. Investigue acerca del rol de las funciones de variable compleja en aspectos fundamentales de Teor´ıa de N´umeros, particularmente en el estudio de la distribuci´on de n´umeros primos. Investigue acerca de la Hip´otesis de Riemann y su relaci´on con los n´umeros primos.

209

Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 4

Nivel 4 Enunciado. El estudiante se familiariza con los principales elementos de las geometr´ıas no euclideanas. Se familiariza con la geometr´ıa esf´erica y con el modelo de Poincar´e para la geometr´ıa hiperb´olica. Conoce la funci´on inversi´on del plano, fundamental en la geometr´ıa de Lobachevsky. Utiliza movimientos r´ıgidos para demostrar propiedades en el plano de Lobachevsky. Relaciona el semi plano de Poincar´e con el plano de Lobachevsky a trav´es de una aplicaci´on conforme. Conoce propiedades de las perspectividades en la geometr´ıa proyectiva y aplica el principio de dualidad a proposiciones en el plano proyectivo. Investiga los inicios de la geometr´ıa proyectiva. Adquiere elementos de la geometr´ıa fractal. Construye fractales en el plano y en el espacio y reconoce procesos iterativos con la propiedad de autosimilaridad. Calcula la dimensi´on y el a´ rea de algunos fractales. Investiga acerca de los conjuntos de Julia y de Mandelbrot. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante:

1. Calcula longitud, a´ ngulos y construye tri´angulos en la geometr´ıa esf´erica. Problema 1. Dados los puntos A de latitud 33◦ 300 S y longitud 70◦ 400 O y B de latitud 56◦ 300 N y longitud 38◦ 500 E sobre la esfera terrestre, determine la distancia entre ellos. Problema 2. En los casos que sea posible la construcci´on, describa completamente un tri´angulo de: a) lados a = 160◦ , b = 110◦ y c = 85◦ . b) a´ ngulos A = 60◦ , B = 20◦ y C = 90◦ . c) a´ ngulos A = 30◦ , B = 37◦ y C = 130◦ . Problema 3. [44] Considere una esfera de radio R. Pruebe que el a´ rea T de un tri´angulo esf´erico ABC de a´ ngulos interiores α, β y γ es T = R2 (α + β + γ − π). Problema 4. [44] Sea ABC un tri´angulo rect´angulo en una esfera de radio R, con a´ ngulo recto en C y a lados a, b y c como en la figura. Use producto interno para probar que cos( Rc ) = cos( R ) cos( Rb ).

211

2. Trabaja con el modelo de Poincar´e para la geometr´ıa hiperb´olica. Problema 1. [8] a) Dados los puntos A = distancia entre ellos.

1 2

+ 12 i y B =

1 3

+ 31 i. Encuentre la recta L que pasa por esos dos puntos y la

b) Construya las rectas que pasan por el punto P = −1 + i y que son paralelas a la recta L de la parte a). c) Construya una recta que es perpendicular a la recta L de la parte a) y que pasa por el punto P = −1 + i. Problema 2. Construya una recta que es perpendicular a dos rectas que no se intersectan y que no son paralelas. 3. Conoce la funci´on inversi´on del plano en la geometr´ıa de Lobachevsky. Problema 1. Determine la imagen de un tri´angulo ABC de la geometr´ıa euclideana bajo la inversi´on de raz´on 2 y a) polo el centro de gravedad del tri´angulo. b) polo el punto medio de uno de los lados. Problema 2. [22] Dado un punto P fuera de una recta L, construya dos rectas paralelas a la recta L, por el punto P. 4. Trabaja con movimientos y demuestra propiedades en el plano de Lobachevsky. Problema 1. [22] Pruebe que la suma de los a´ ngulos de un tri´angulo es menor que dos a´ ngulos rectos. Problema 2. [43] Sean E y F dos conjuntos de puntos en el plano de Lobachevsky. Se dice que E y F son congruentes si y s´olo si existe un movimiento L del plano que transforma F en E o en E. Demuestre que la congruencia es una relacion de equivalencia.

212

Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 4

Problema 3. [43] Demuestre que dos tri´angulos que tienen los mismos a´ ngulos son congruentes. 5. Calcula distancias entre puntos en el plano de Lobachevsky. Problema 1. [43] Sean A =

1 2

+ 12 i y B =

1 3

+ 13 i dos puntos en el interior del c´ırculo unitario.

a) Calcule la distancia entre los dos puntos A y B, seg´un el plano de Lobachevsky. b) Determine la recta que pasa por esos dos puntos. Problema 2. [43] Demuestre que la distancia en el plano de Lobachevsky satisface la desigualdad triangular. 6. Relaciona el semiplano de Poincar´e con el plano de Lobachevsky. z−i transforma el semi-plano de Poincar´e en el Problema 1. [43] Demuestre que la funci´on z → iz − 1 interior del c´ırculo unitario. 7. Conoce propiedades de las perspectividades en la geometr´ıa proyectiva. Problema 1. [22] a) Demuestre que una recta y su imagen bajo una perspectividad se cortan en el eje de la perspectividad. b) Demuestre que bajo una perspectividad, todos los a´ ngulos cuyos lados tienen los mismos puntos de fuga se proyectan en a´ ngulos iguales. Problema 2. [22] Usando el teorema de Desargues, determine una perspectividad que lleva a un tri´angulo ABC y un punto dado G de su plano, pero no en los lados del tri´angulo, a un tri´angulo A0 B 0 C 0 y su centro de gravedad G0 . 8. Conoce el principio de dualidad en el plano proyectivo. Problema 1. D´e la proposici´on dual de los siguientes enunciados: a) Dos puntos distintos cualesquiera determinan una y s´olo una recta en la que est´an ambos. b) El Teorema del Hex´agono de Pascal. c) ABC es un tri´angulo, L un punto fijo de AB o un punto variable de CL. Si AO corta a CB en P y BO corta a CA en Q, entonces P Q corta a AB en un punto fijo M. 9. Adquiere elementos de la geometr´ıa fractal. Construye fractales en el plano y en el espacio. Problema 1. [11] Construccci´on de un an´alogo al Tri´angulo de Sierpinski. Explique en etapas c´omo se construye este fractal.

213

Problema 2. Construcci´on del copo de nieve de Koch. Sea ABC un tri´angulo equil´atero de lado 1. Sobre el tercio interior de cada lado construya hacia el exterior tri´angulos equil´ateros. Sobre cada uno de esos 12 lados construya sobre los tercios exteriores de ellos, nuevos tri´angulos equil´ateros. Repita el proceso sobre los nuevos lados. 10. Calcula la dimensi´on de algunos fractales. Problema 1. Calcule la dimensi´on del fractal descrito en el Problema 1 del Indicador 9. Problema 2. Calcule la dimensi´on de la esponja de Menger, que se muestra en la figura.

Problema 3. Calcule la dimensi´on del copo de nieve de Koch. 11. Calcula el a´ rea de algunos fractales. Problema 1. Calcule el a´ rea del Tri´angulo de Sierpinski y del copo de nieve de Koch. 12. Investiga y conoce los conjuntos de Julia y de Mandelbrot. Problema 1. [11] Realice una investigaci´on sobre los conjuntos de Julia y de Mandelbrot. Problema 2. [11] En el conjunto de Mandelbrot, muestre que el todo no es id´entico a cualquier subparte. Encuentre algunas subpartes que nunca parecen similares a ninguna subparte a´un menor. Problema 3. [11] Algunos conjuntos de Julia se hacen de una sola pieza y otros est´an formados de muchas piezas. Para un conjunto de Julia no conexo, encuentre dos copias reducidas del conjunto completo de Julia que representan el conjunto completo.

214

Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Nivel 4

13. Investiga y conoce los inicios de la geometr´ıa proyectiva. Problema 1. [22] Realice una investigaci´on sobre los inicios de la geometr´ıa proyectiva. Explique las constribuciones de G. Desargues en su inicio y de J. Poncellet en su desarrollo. Problema 2. Investigue cu´ales propiedades de la geometr´ıa se mantienen bajo proyectividades. 14. Investiga y conoce el papel de las geometr´ıas no Euclideanas en el desarrollo de la Matem´atica. Problema 1. [8] D. Hilbert expres´o la siguiente afirmaci´on: “el logro m´as sugerente y notable en el u´ ltimo siglo es la invenci´on de las geometr´ıas no Euclideanas”. ¿Qu´e justifica esta afirmaci´on?

215

Nota bibliogr´afica para el eje de Geometr´ıa Para el eje de Geometr´ıa el texto de H. S. M. Coxeter [15] es muy bueno y adecuado. Este texto tiene un buen enfoque para el estudio de temas de geometr´ıa euclideana cl´asica, y tambi´en para la mayor´ıa de los temas presentes en el desarrollo del eje. Otro texto de referencia apropiado es el libro de Courant y Robbins [14] el cual tambi´en contiene referencias hist´oricas y la evoluci´on de problemas importantes de geometr´ıa cl´asica. Un texto de referencia para obtener ejercicios y tambi´en material para el Nivel 2 es el libro de J. Stewart [61]. Para los Niveles 2 y 3 una referencia interesante es el texto de S. Dineen [17], el cual tiene un nivel adecuado para los temas de geometr´ıa diferencial. Tambi´en debemos mencionar como referencia el libro de M. do Carmo [18] el cual probablemente sea muy avanzado como texto gu´ıa, pero tiene ejercicios interesantes y los temas de geometr´ıa diferencial est´an discutidos rigurosamente. Para el tema de funciones de variable compleja hay muchos textos de referencia, entre los cuales el libro de A. I. Markushevich [43] aparece como una referencia interesante. En este texto, adem´as de tratar en mucha profundidad las funciones de variable compleja, se presenta una detallada e interesante exposici´on de las propiedades del plano de Lobachevsky. Destacamos su an´alisis sobre la medici´on de longitudes en la geometr´ıa de Lobachevsky. Los cap´ıtulos 7 y 8 del texto de L. M. Blumenthal [8] analizan el papel fundamental que juega en concepto de distancia en la Geometr´ıa. Adem´as en el cap´ıtulo 8 de este libro se presenta el modelo de Poincar´e para la geometr´ıa hiperb´olica. El cap´ıtulo 8 del libro de H. Eves est´a dedicado a hacer una presentaci´on de algunos errores de razonamiento l´ogico en los Elementos de Euclides, justificando la aparici´on de las geometr´ıas no Euclideanas. Es un buen compendio para el estudio de las diferentes geometr´ıas. El texto de E. B. Burger y M. Starbid [11] es un muy buen aporte para el estudio de la geometr´ıa fractal. Finalmente el texto de J. McCleary [44] presenta en forma elegante la geometr´ıa esf´erica.

Bibliograf´ıa para el eje [1] Ahlfors, Lars V., Complex Analysis, Third Edition, Mc Graw-Hill Inc., 1979. [5] Ara´ujo, Paulo Ventura, Geometria Diferencial, Colec¸a˜ o Matem´atica Universit´aria, Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada, CNPq, 1998. [7] Bak, Joseph y Newman, Donald J., Complex Analysis, Second Edition, Springer-Verlag, New-York, 1997. [8] Blumenthal, L. M., A modern view of Geometry, W. H. Freeman and Company, San Francisco and Londres. 1961.

216

Matem´atica .:. Geometr´ıa .:. Bibliograf´ıa

[11] E. B. Burger, E. B. y Starbid, M., The Heart of Mathematics, an invitation to effective thinking, Key College Publishing, in cooperation with Springer-Verlag, N. Y. 2000. [13] Courant, Richard y John, Fritz, Introduction to Calculus and Analysis. Volume I, Springer Verlag, 1989. [14] Courant, Richard y Robbins, Herbert, What is Mathematics? Oxford University Press, 1996. [15] Coxeter, H.S.M., Introduction to geometry, Second Edition, Wiley Classics Library Edition, 1989. [18] do Carmo, Manfredo P., Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976. [22] Eves, H., Estudios de las Geometr´ıas, Uni´on Tipogr´afica Editorial Hispano Americana, M´exico. 1969. [42] Lipschultz, Martin M., Theory and problems of differential geometry, Schaum’s Outline Series, McGrawHill, 1969. [44] McCleary, J., Geometry from a differenciable viewpoint, Cambrige University Press, 1994. [43] Markushevich, A. I., Theory of Functions of a Complex Variable, Chelsea Pub. Co., Second Edition, 1985. [59] Spiegel, Murray R., Theory and problems of complex variables with an introduction to conformal mapping and its applications, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, 1994.

217

Eje 6 Probabilidades

Matem´atica .:. Probabilidades

PROBABILIDADES Descripci´on General El azar y la incertidumbre pueden ser puestos en un contexto matem´atico, el cual permite el estudio de las probabilidades desde un punto de vista riguroso y sistem´atico. Aunque en este eje no se contempla un estudio de la Teor´ıa de las Probabilidades desde un punto de vista axiom´atico, se privilegia un enfoque riguroso el cual permite que el Profesor de Matem´atica aprecie la importancia de tener herramientas anal´ıticas para estudiar el azar. El Profesor de Matem´atica debe entregar a sus alumnos los conocimientos necesarios para comprender las probabilidades e interesarlos en este tema usando ejemplos significativos. Si bien los contenidos de estos est´andares exceden los contenidos contemplados en la Ense˜nanza Media, es importante que el profesor tenga un conocimiento s´olido de probabilidades y comprenda su rol en estad´ıstica. Por ejemplo, debe ser capaz de comprender los resultados obtenidos en un experimento y de cuantificar su significancia. Se busca que el Profesor de Matem´atica comprenda la noci´on de probabilidad como frecuencia relativa y c´omo este concepto intuitivo lleva a una definici´on rigurosa a trav´es de la Ley de los Grandes N´umeros. Un Profesor de Matem´atica domina los elementos de la combinatoria y desarrolla estrategias para formular y resolver problemas de conteo, particularmente los que se han denominado problemas emblem´aticos. Estos problemas ayudan a atraer la atenci´on de los estudiantes por su simplicidad y car´acter l´udico. Junto a calcular probabilidades de eventos contando casos favorables versus casos totales, se busca que el Profesor de Matem´atica aprecie el marco te´orico m´as profundo donde los experimentos y el conteo corresponden al estudio de variables aleatorias. A lo largo del segundo y tercer nivel se desarrollan los principales conceptos que le permiten comprender el significado de la distribuci´on de una variable aletoria. El Profesor de Matem´atica conoce la importancia de la Ley de los Grandes N´umeros y del Teorema Central del L´ımite. Especialmente aprecia la importancia de la distribuci´on Normal, en cuanto a su relaci´on con las distribuciones discretas y su rol en la cuantificaci´on de los errores estad´ısticos.

221

Finalmente se espera que el Profesor de Matem´atica tenga las nociones b´asicas de procesos estoc´asticos en que los resultados del experimento constituyen una serie temporal. En particular, el profesor es capaz de analizar cadenas de Markov y usarlas para modelar situaciones de la vida real. Tambi´en se contempla en el cuarto nivel el estudio de elementos b´asicos de procesos de Poisson y sus aplicaciones a la vida cotidiana.

222

Cuadro sinóptico Niveles del eje

Nivel 1

Nivel 2

El estudiante interpreta la probabilidad de un evento desde un punto de vista intuitivo en términos de su frecuencia empírica.

El estudiante describe eventos usando variables aleatorias y comprende la noción de distribución de una variable aleatoria en el caso discreto. Calcula la distribución conjunta de variables aleatorias y la distribución condicional. Comprende la noción de variables aleatorias independientes. En este nivel también se contempla que el estudiante se familiarice con los paseos al azar.

Contrasta la noción intuitiva de probabilidad con su definición rigurosa en el contexto de un espacio muestral. Es capaz de describir y operar con eventos usando la notación de teoría de conjuntos. El estudiante utiliza estrategias para resolver problemas de combinatoria. Calcula probabilidades como # casos favorables/ # casos totales. Comprende los conceptos de probabilidad condicional y de eventos independientes. Aplica el Teorema de Bayes para determinar probabilidades.

El alumno conoce y opera con las distribuciones Binomial, Poisson, Geométrica y Multinomial. Determina la esperanza y varianza de una variable aleatoria y calcula la covarianza de dos variables aleatorias en casos simples. El estudiante conoce y aplica la desigualdad de Chebychev. Comprende la Ley Débil de los Grandes Números y mediante esta interpreta la probabilidad de un evento en términos de su frecuencia empírica. Aplica el Teorema Central del Límite para estimar probabilidades, tamaños de muestras y para estimar el desplazamiento de un paseo al azar.

El estudiante resuelve problemas emblemáticos de probabilidades.

224

Eje 6: Probabilidades Nivel 3

Nivel 4

El estudiante comprende el concepto de variable aleatoria continua y de densidad de probabilidad. Relaciona la función distribución de una variable aleatoria con su densidad de probabilidad. Calcula la densidad de una función de una variable aleatoria usando la fórmula de cambio de variables.

El estudiante comprende el significado de un proceso estocástico. El alumno desarrolla elementos para analizar cadenas de Markov con un número finito de estados. Clasifica los estados de una cadena de Markov y calcula distribuciones estacionarias. Analiza el comportamiento límite de una cadena de Markov.

El estudiante calcula distribuciones conjuntas y condicionales en algunos casos simples. Comprende la noción de variables aleatorias continuas independientes.

El alumno se familiariza con procesos de Poisson, sus propiedades y sus aplicaciones a la vida cotidiana.

El alumno calcula momentos y covarianzas de variables aleatorias continuas, en casos simples. Conoce las distribuciones Uniforme, Normal y Exponencial. Utiliza la función generadora de momentos para determinar distribuciones. Aplica la Ley Débil de los Grandes Números y el Teorema Central del Límite en este contexto.

225

Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 1

Nivel 1 Enunciado. El estudiante interpreta la probabilidad de un evento desde un punto de vista intuitivo en t´erminos de su frecuencia emp´ırica. Contrasta la noci´on intuitiva de probabilidad con su definici´on rigurosa en el contexto de un espacio muestral. Es capaz de describir y operar con eventos usando la notaci´on de teor´ıa de conjuntos. El estudiante utiliza estrategias para resolver problemas de combinatoria. Calcula probabilidades como # casos favorables/ # casos totales. Comprende los conceptos de probabilidad condicional y de eventos independientes. Aplica el Teorema de Bayes para determinar probabilidades. El estudiante resuelve problemas emblem´aticos de probabilidades. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Interpreta la probabilidad en t´erminos de frecuencia emp´ırica. Problema 1. Un paciente que se debe someter a una operaci´on le pregunta al doctor cu´al es la probabilidad de que la operaci´on sea un e´ xito. Si la respuesta al paciente es que la probabilidad es de un 95 % ¿C´omo interpreta usted esta probabilidad? ¿Se refiere a una frecuencia? ¿A una opini´on? Problema 2. [49] Un mazo de 52 cartas se baraja y se reparten las cartas hasta que aparece el primer as (incluy´endolo). Se realiza este experimento 100 veces y se obtiene la siguiente tabla para el n´umero de cartas que se reparten: N ◦ de

N ◦ de

N ◦ de

N ◦ de

N ◦ de

N ◦ de

N ◦ de

N ◦ de

N ◦ de

N ◦ de

cartas

veces

cartas

veces

cartas

veces

cartas

veces

cartas

veces

1

11

9

4

17

4

25

1

33

0

2

7

10

2

18

3

26

2

34

0

3

9

11

4

19

2

27

1

35

0

4

6

12

1

20

1

28

1

36

0

5

9

13

5

21

1

29

2

37

0

6

3

14

0

22

4

30

0

38

0

7

3

15

4

23

1

31

0

39

0

8

3

16

3

24

2

32

1

40-49

0

227

Por ejemplo, el primer as apareci´o en la primera carta 11 veces de un total de 100 veces que se realiz´o el experimento. a) Usando esta tabla determine las frecuencias relativas para el n´umero de cartas repartidas hasta el primer as. b) ¿Cu´al es la estimaci´on para la probabilidad de que el n´umero de cartas repartidas hasta el primer as sea mayor o igual a 30? ¿Es esta estimaci´on razonable? c) ¿Qu´e har´ıa usted para encontrar una mejor estimaci´on para la probabilidad considerada en b)? 2. Describe el espacio muestral y los eventos asociados a un experimento usando conjuntos. Calcula probabilidades de eventos simples. Problema 1. [31] Se lanzan tres monedas id´enticas y perfectas. Sea Ai el evento “la i-esima moneda cae cara”, para i = 1, 2, 3. Calcule la probabilidad de A1 ∪ A2 ∪ A3 . Problema 2. [31] Suponga que un punto es elegido al azar en el cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1]. Sea A el evento “el punto est´a en el tri´angulo acotado por las l´ıneas y = 0, x = 1 y x = y” y B el evento “el punto est´a en el rect´angulo con v´ertices (0, 0), (1, 0), (1, 1/2) y (0, 1/2). Calcule P (A ∪ B), P (A ∩ B) y P (B c ). 3. Utiliza estrategias, como uso de diagramas de a´ rbol, para resolver problemas de conteo. Problema 1. [52] Calcule el n´umero de manos de poker que se obtienen de un mazo de 52 cartas. Problema 2. [55] Justifique la f´ormula n r

! =

n n−r

! .

Problema 3. [52] Encuentre el n´umero de secuencias de largo 13 que contienen las letras A, B, C repetidas 4, 6 y 3 veces respectivamente. Problema 4. [55] De cu´antas maneras se pueden poner en un librero 3 novelas, 2 libros de matem´aticas y 1 libro de qu´ımica s´ı: a) Los libros pueden ser puestos en cualquier orden. b) Los 2 libros de matem´aticas y las 3 novelas deben estar juntos. c) Las novelas deben estar juntas, pero los otros libros pueden estar en cualquier orden.

228

Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 1

4. Calcula probabilidades como # casos favorables/ # casos posibles. Problema 1. [31] El cuerpo acad´emico de un liceo est´a formado por 20 profesores de matem´aticas, 15 profesores de ciencias y 25 profesores de otras a´ reas. Un comit´e de seis personas se elige al azar entre los profesores. Encuentre la probabilidad de que todos los miembros del comit´e sean profesores de matem´aticas. Problema 2. De un mazo de 52 cartas se reparte al azar una mano de p´oker de cinco cartas. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener un full (es decir una pareja y un tr´ıo)? ¿Cu´al es la probabilidad de obtener dos pares (aqu´ı una mano de p´oker con cuatro cartas iguales no se considera como dos parejas)? Problema 3. [49] Un mazo de 52 cartas se baraja y se reparten hasta que aparece el primer as (incluy´endolo). Calcule la probabilidad de que el n´umero de cartas repartidas sea k, para k = 1, . . . , 49 y contraste esta probabilidad con la frecuencia emp´ırica obtenida en la Pregunta 2 del Indicador 1. 5. Reconoce y resuelve problemas emblem´aticos de probabilidades. ˜ Problema 1. El problema de los cumpleanos. [31] Suponga que los cumplea˜nos son equiprobables durante los 365 d´ıas del a˜no. Determine la probabilidad de que en un grupo de n personas no haya dos con el mismo d´ıa de cumplea˜nos. Si usted est´a en un grupo de 20 personas ¿apostar´ıa una botella de champa˜na de que hay dos con el mismo d´ıa de cumplea˜nos? ¿Y si estuviese en un grupo de 60? Problema 2. El problema de la llave. [23] Un hombre quiere abrir su puerta y para ello tiene n llaves, de las cuales s´olo una abre la puerta. Suponiendo que el hombre prueba las llaves al azar, calcule la probabilidad de que el hombre acierte exactamente en el r−´esimo ensayo. 6. Comprende el concepto de probabilidad condicional. Utiliza esta noci´on para calcular probabilidades. Problema 1. [31] Suponga que dos monedas son lanzadas al mismo tiempo. Encuentre la probabilidad condicional de que: a) Las dos monedas muestren cara dado que la primera es cara. b) Las dos monedas muestren cara dado que al menos una es cara. Problema 2. [52] Suponga que dos cartas se extraen de un mazo barajado de 52 cartas. ¿Cu´al es la probabilidad de que la segunda carta sea negra? 7. Utiliza el Teorema de Bayes para calcular probabilidades. Conoce el problema de Falsos Positivos. Problema 1. [31] Suponga que hay tres estantes con dos cajones cada uno. El primer estante tiene una moneda de oro en cada caj´on, el segundo tiene una moneda de oro en un caj´on y una de plata en el otro y el tercero tiene una moneda de plata en cada caj´on. Un estante es elegido al azar y un caj´on es abierto. Si el caj´on contiene una moneda de oro, ¿cu´al es la probabilidad de que el otro caj´on tambi´en contenga una moneda de oro?

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Problema 2. Falsos Positivos. [52] Suponga que un examen de sangre entrega dos resultados, positivo o negativo. Se sabe que un 95 % de los individuos con una enfermedad producen un resultado positivo y que un 2 % de los individuos sanos tambi´en producen un resultado positivo. Suponga que un 1 % de la poblaci´on tiene la enfermedad. ¿Cu´al es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la poblaci´on tenga la enfermedad, dado que el resultado de su examen de sangre fue positivo? Problema 3. [49] Suponga que de cada 10.000.000 monedas hay una que tiene dos caras. Si una moneda, elegida al azar, es lanzada 10 veces y cae cara todas las veces, ¿cu´al es la probabilidad que la moneda tenga dos caras? 8. Calcula probabilidades de eventos determinados por etapas usando diagramas de a´ rbol. Problema 1. [52] Un contratista est´a planeando un proyecto de construcci´on a ser completado en tres etapas. El contratista sabe que: a) La probabilidad de que la primera etapa sea completada a tiempo es 0, 7. b) Dado que la primera etapa fue completada a tiempo, la probabilidad de que la segunda etapa sea finalizada a tiempo es 0, 8. c) Dado que la primera y segunda etapa fueron completadas a tiempo, la probabilidad de que la tercera etapa sea finalizada a tiempo es 0, 9. ¿Cu´al es la probabilidad de que las tres etapas sean completadas a tiempo? Problema 2. [52] Un dado sim´etrico tiene una proporci´on p de sus caras pintadas blancas y una proporci´on q = 1 − p pintadas negras. El dado es lanzado hasta la primera vez que aparece una cara blanca, ¿cu´al es la probabilidad de que sea lanzado a lo m´as tres veces? 9. Comprende y aplica la noci´on de independencia de eventos. Problema 1. [52] Suponga que un apostador juega repetidas veces un juego con una probabilidad p de ganar el juego, sin importar el resultado de los juegos anteriores, ¿cu´antas veces debe jugar el juego para tener una probabilidad mayor a 21 de ganar al menos una vez? Problema 2. [52] Suponga que en los siguientes circuitos cada interruptor Si est´a cerrado con probabilidad pi y abierto con probabilidad qi = 1 − pi . Calcule la probabilidad de que la corriente atraviese el circuito de izquierda a derecha, suponiendo que los interruptores actuan independientemente.

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Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 1

Problema 3. [55] Se lanzan dos dados perfectos. Sea E el evento “la suma de los dados es 7”, F el evento “el primer dado es 4” y G el evento “el segundo dado es 3”. Muestre que E y F , F y G, E y G son independientes, pero E no es independiente de F ∩ G. 10. Calcula probabilidades usando las distribuciones Binomial y Multinomial. Problema 1. [52] Un hombre dispara 8 veces al blanco. Suponga que los tiros son independientes y que cada tiro llega al blanco con probabilidad 0, 7. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que acierte exactamente 4 veces? b) Dado que acierta al menos dos veces, calcule la probabilidad de que acierte exactamente 4 veces. c) Dado que los dos primeros tiros aciertan el blanco, ¿cu´al es la probabilidad que acierte exactamente 4 veces? Problema 2. [23] Al arrojar doce dados, ¿cu´al es la probabilidad de obtener cada cara dos veces? 11. Investiga acerca del aporte de A. Kolmogorov al estudio de la Teor´ıa de Probabilidades. Problema 1. ¿Qu´e enfoque utiliz´o A. Kolmogorov para sistematizar el estudio de probabilidades? Analice los axiomas utilizados.

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Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 2

Nivel 2 Enunciado. El estudiante describe eventos usando variables aleatorias y comprende la noci´on de distribuci´on de una variable aleatoria en el caso discreto. Calcula la distribuci´on conjunta de variables aleatorias y la distribuci´on condicional. Comprende la noci´on de variables aleatorias independientes. En este nivel tambi´en se contempla que el estudiante se familiarice con los paseos al azar. El alumno conoce y opera con las distribuciones Binomial, Poisson, Geom´etrica y Multinomial. Determina la esperanza y varianza de una variable aleatoria y calcula la covarianza de dos variables aleatorias en casos simples. El estudiante conoce y aplica la desigualdad de Chebychev. Comprende la Ley D´ebil de los Grandes N´umeros y mediante esta interpreta la probabilidad de un evento en t´erminos de su frecuencia emp´ırica. Aplica el Teorema Central del L´ımite para estimar probabilidades, tama˜nos de muestras y para estimar el desplazamiento de un paseo al azar. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Define variables aleatorias en ejemplos concretos. Describe eventos usando variables aleatorias. Problema 1. [55] Un dado es lanzado dos veces. Determine los posibles valores que pueden tomar las siguientes variables aleatorias: a) El m´aximo valor entre las dos tiradas. b) El m´ınimo valor entre las dos tiradas. c) La suma de las dos tiradas. d) El valor de la primera tirada menos el valor de la segunda tirada. 2. Calcula la distribuci´on de variables aleatorias discretas. Problema 1. [49] Un n´umero es seleccionado al azar en el conjunto {1, 2, 3, . . . , 20}. Sea X el n´umero de divisores de este n´umero. Determine la distribuci´on de X y calcule P (X ≥ 3).

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Problema 2. [55] Sea X una variable aleatoria con funci´on distribuci´on acumulada dada por:

P (X ≤ x) =

  0     1   2    3 5

4   5    9   10    1

x < 0, 0 ≤ x < 1, 1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3, 3 ≤ x < 3, 5, x ≥ 3, 5.

Calcule la distribuci´on de la variable aleatoria X. 3. Encuentra la distribuci´on de una funci´on de una variable aleatoria. Problema 1. [52] Sea X el n´umero de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces. Calcule la distribuci´on de las variables aleatorias X 2 , 3X y |X − 2|. 4. Determina la distribuci´on conjunta de variables aleatorias y tambi´en de funciones de dos variables aleatorias. Problema 1. [52] Una moneda es lanzada tres veces. Sea X el n´umero de caras obtenidas en las primeras dos tiradas e Y el n´umero de caras en las u´ ltimas dos tiradas. Calcule la distribuci´on conjunta de X e Y y encuentre la distribuci´on de X + Y . Problema 2. [52] Sea X el m´aximo e Y el m´ınimo de tres n´umeros escogidos al azar, sin repetici´on, del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Calcule la distribuci´on conjunta de X e Y . 5. Calcula distribuciones condicionales. Comprende la noci´on de variables aleatorias independientes. Problema 1. [52] Dos dados son lanzados independientemente. Sea X el m´aximo de las dos tiradas e Y el m´ınimo. Calcule P (Y = n|X = m) para n, m = 1, . . . , 6. Problema 2. [52] Sean X e Y variables aleatorias discretas independientes que toman valores enteros no-negativos. Pruebe que P (X + Y = n) =

n X

P (X = k)P (Y = n − k).

k=0

Encuentre la probabilidad de que la suma de cuatro dados independientes sea 8 usando las variables aleatorias X, la suma de dos de los dados, e Y , la suma de los otros dos. Problema 3. [52] Sea S la suma de los n´umeros obtenidos al lanzar dos dados sesgados independientes con probabilidades asociadas p1 , . . . , p6 y r1 , . . . , r6 respectivamente, con pi , ri positivas para i = 1, . . . , 6. a) Calcule P (S = k) para k = 2, 7, 12.

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Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 2

r6 r1 + P (S = 12) . r1 r6 c) Deduzca que, sin importar como los dados est´an sesgados, los valores 2, 7 y 12 no pueden ser equiprobables para S. En particular, la suma no puede estar uniformemente distribuida en 2, . . . , 12.

b) Pruebe que P (S = 7) > P (S = 2)

6. Se familiariza con la noci´on de paseo al azar. Problema 1. Consideramos el siguiente modelo para el paseo al azar de una part´ıcula en {0, 1, 2, 3, 4}. La part´ıcula se mueve a la derecha o izquierda con probabilidad 1/2, pero si est´a en 0 y se trata de mover a la izquierda se queda en 0 y si est´a en 4 y se trata de mover a la derecha se queda en 4. Sea Xn la posici´on de la part´ıcula al transcurrir n intervalos de tiempo. Determine P (Xn = i|Xn+1 = j) para i, j = 0, 1, 2, 3, 4. Si inicialmente la part´ıcula elige el punto de partida al azar, determine P (X3 = i) para i = 0, 1, 2, 3, 4. 7. Conoce ejemplos de variables aleatorias con distribuci´on Bernoulli, Binomial y Multinomial. Problema 1. Suponga que una caracter´ıstica f´ısica en un individuo est´a determinado por un par de genes. Si representamos por d el gen dominante y r el gen recesivo, entonces un individuo con genes dd es dominante, con genes rr es recesivo y con genes rd es h´ıbrido. El gen dominante se manifiesta de la misma forma en individuos dominantes e h´ıbridos. Suponga que dos padres h´ıbridos tienen 5 hijos. Sea X el n´umero de hijos que manifiestan el gen dominante, calcule P (X = n) para n = 1, . . . , 5. Problema 2. [52] Suponga que (N1 , . . . , Nm ) tiene una distribuci´on multinomial con par´ametros n y p1 , . . . , pm . Sean 1 ≤ i < j ≤ n. Responda a las siguientes preguntas sin hacer c´alculos: a) ¿Cu´al es la densidad de Ni ? b) ¿Cu´al es la densidad de Ni + Nj ? c) ¿Cu´al es la densidad conjunta de Ni , Nj y n − Ni − Nj ? 8. Conoce ejemplos de variables aleatorias con distribuci´on Geom´etrica. Problema 1. [50] La probabilidad de que un estudiante apruebe el examen escrito necesario para obtener una licencia de piloto privado es 0,7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen en: a) El tercer intento. b) Antes del quinto intento. Problema 2. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Geom´etrica. Demuestre que P (X = n + k|X > n) = P (X = k). D´e una explicaci´on intuitiva de por qu´e esto es cierto.

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9. Se familiariza con la distribuci´on de Poisson. Comprende la deducci´on de esta distribuci´on como un l´ımite de la distribuci´on binomial. Problema 1. [55] El n´umero de accidentes que ocurren en una carretera cada d´ıa tiene una distribuci´on de Poisson con par´ametro λ = 3. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que hoy ocurran tres o m´as accidentes? b) Repita el ejercicio anterior suponiendo que al menos hay un accidente hoy. Problema 2. [31] Un m´aquina produce tornillos de los cuales un 1 % son defectuosos. Estime la probabilidad de que en una caja de 200 tornillos haya a lo m´as 2 tornillos defectuosos. 10. Calcula esperanzas de variables aleatorias discretas. Problema 1. Pruebe que la distribuci´on de una variable aleatoria X con valores posibles 0, 1, 2 est´a determinada por µ1 = E(X) y µ2 = E(X 2 ). Problema 2. [6] Una pareja decide tener hijos hasta tener una ni˜na, pero deciden tener un m´aximo de tres hijos a´un si no han tenido una ni˜na. Determine el n´umero esperado de: a) hijos, b) ni˜nas, c) ni˜nos. Problema 3. [6] Una permutaci´on de a1 , . . . , an tiene un punto fijo si ai est´a en la posici´on i en la permutaci´on. Por ejemplo, la permutaci´on a2 a1 a3 a4 a6 a5 tiene dos puntos fijos: a3 y a4 . Si una permutaci´on de a1 , . . . , an es elegida al azar ¿cu´al es el n´umero esperado de puntos fijos? Problema 4. En un circuito con n interruptores, el interruptor i est´a cerrado con probabilidad pi , i = 1, . . . , n. Sea X el n´umero de interruptores que est´an cerrados. Calcule E(X). Problema 5. El juego de San Petersburgo. Considere el siguiente juego: “El jugador lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara. Si T es el n´umero de tiradas antes de la primera cara, entonces el jugador recibe un pago de 2T ”. Suponga que para jugar este juego debe pagar una entrada. ¿Cu´anto estar´ıa dispuesto a pagar? 11. Calcula la varianza y desviaci´on est´andar de una variable aleatoria discreta. Problema 1. Encuentre la varianza del n´umero de caras obtenidos al lanzar n veces una moneda. ¿Cu´al es la varianza del n´umero de sellos? Problema 2. [52] Sean A1 , A2 y A3 eventos con probabilidades 51 , 14 y 31 , respectivamente. Sea N el n´umero de eventos que ocurren. Calcule E(N ). Calcule Var(N ) cuando: a) A1 , A2 y A3 son disjuntos. b) A1 , A2 y A3 son independientes. c) A1 ⊂ A2 ⊂ A3 .

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Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 2

12. Calcula covarianzas de variables aleatorias discretas. Problema 1. Sean X1 , X2 y X3 variables aleatorias independientes con varianzas σ12 , σ22 y σ32 , respectivamente. Encuentre la correlaci´on entre X1 − X2 y X2 + X3 . Problema 2. Una urna contiene tres bolas numeradas 1, 2, 3. Dos bolas son extraidas, sin reemplazo, de la urna. Sea X el n´umero en la primera bola e Y el n´umero en la segunda bola. Calcule Cov(X, Y ). ˜ de muestras. 13. Aplica la desigualdad de Chebychev para estimar probabilidades y tamanos
Problema 1. Suponga que una variable aleatoria X tiene esperanza E(X) = µ y E (X − µ)4 = β. Demuestre que P (|X − µ| ≥ t) ≤ β/t4 . Problema 2. [31] Suponga que X tiene una distribuci´on Poisson con par´ametro λ, pruebe que:  P

λ X≤ 2

 ≤

4 λ

y P (X ≥ 2λ) ≤

1 . λ

Problema 3. [16] Se realizan n lanzamientos de una moneda. Para i = 1, . . . , n, consideramos Xi = 1 si el resultado de la i-´esima tirada es cara y Xi = 0 si es sello. Estime el n´umero de veces que se debe lanzar la moneda para obtener ! n 1X Xi ≤ 0, 55 ≥ 0, 9. P 0, 45 ≤ n i=1 ´ 14. Comprende y aplica la Ley D´ebil de los Grandes Numeros. Problema 1. La Ley D´ebil de los Grandes N´umeros es probada suponiendo que las variables aleatorias promediadas Xk son independientes e id´enticamente distribuidas. Determine si es posible generalizar esta ley a los siguientes casos: a) Para todo n 6= k, las variables aleatorias Xn y Xk son independientes y para todo n, las variables Xn est´an id´enticamente distribuidas. b) Para todo n 6= k, las variables aleatorias Xn y Xk son independientes y para todo n, las variables Xn tienen la misma esperanza y varianza. c) Para todo n 6= k, Cov(Xn , Xk ) = 0 y para todo n, las variables Xn est´an id´enticamente distribuidas. d) Para todo n 6= k, Cov(Xn , Xk ) = 0 y para todo n, las variables Xn tienen la misma esperanza y varianza. Problema 2. [26] Una moneda es lanzada repetidas veces, con p la probabilidad de obtener cara. Sean Cn y Sn el n´umero de caras y sellos despu´es de n lanzamientos de la moneda, respectivamente. Demuestre que para δ > 0   1 P 2p − 1 − δ ≤ (Cn − Sn ) ≤ 2p − 1 + δ → 1, n cuando n → ∞.

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15. Se familiariza con el Teorema Central del L´ımite. Aplica este resultado para estimar probabilidades ˜ de muestras. y tamanos Problema 1. Cien dados son lanzados de manera independiente. Estime la probabilidad de que la suma sea al menos 300. Problema 2. [16] Suponga que la probabilidad de que un art´ıculo de un gran lote manufacturado sea defectuoso es 0,1. Determine el menor tama˜no de una muestra aleatoria de art´ıculos del lote, para que la probabilidad de que esta muestra contenga una proporci´on de art´ıculos defectuosos menor que 0, 13 sea al menos 0, 99. Problema 3. [16] Un f´ısico toma 25 medidas independientes de la densidad de un l´ıquido. Sabe que las limitaciones de su equipo son tales que la desviaci´on est´andar de cada medici´on es σ. a) Utilizando la desigualdad de Chebyshev, encuentre una cota inferior para la probabilidad de que el promedio de sus mediciones difieran en menos de σ/4 de la densidad del l´ıquido. b) Usando el Teorema Central del L´ımite, encuentre un valor aproximado para la probabilidad de la parte anterior. 16. Usa el Teorema Central del L´ımite para estimar desplazamiento de un paseo al azar simple. Problema 1. [52] Suponga que en cada intervalo de tiempo ∆t una part´ıcula en Z da a la derecha, un paso a la izquierda o se queda en el lugar con igual probabilidad. Encuentre una aproximaci´on para la probabilidad de que transcurridos 10.000∆t, la part´ıcula est´e a m´as de 100 pasos a la derecha de su posici´on inicial. 17. Investiga la evoluci´on hist´orica de la formulaci´on de los Teoremas L´ımites. Problema 1. Investigue la contribuci´on de Jacob Bernoulli a la demostraci´on de la Ley de los Grandes N´umeros. Problema 2. Investigue los aportes de P. S Laplace, A. de Moivre, P. L´evy y J. W. Lindberg en la formulaci´on del Teorema Central del L´ımite.

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Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 3

Nivel 3 Enunciado. El estudiante comprende el concepto de variable aleatoria continua y de densidad de probabilidad. Relaciona la funci´on distribuci´on de una variable aleatoria con su densidad de probabilidad. Calcula la densidad de una funci´on de una variable aleatoria usando la f´ormula de cambio de variables. El estudiante calcula distribuciones conjuntas y condicionales en algunos casos simples. Comprende la noci´on de variables aleatorias continuas independientes. El alumno calcula momentos y covarianzas de variables aleatorias continuas, en casos simples. Conoce las distribuciones Uniforme, Normal y Exponencial. Utiliza la funci´on generadora de momentos para determinar distribuciones. Aplica la Ley D´ebil de los Grandes N´umeros y el Teorema Central del L´ımite en este contexto. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Describe variables aleatorias continuas. Determina funciones de distribuci´on. Problema 1. [31] Suponga que un punto es elegido al azar de el interior de un disco de radio R. Sea X el cuadrado de la distancia del punto elegido al centro del disco. Encuentre la funci´on de distribuci´on de X. Problema 2. [52] Considere un punto elegido al azar en el a´ rea limitada por las siguientes figuras:

En cada caso determine la funci´on de distribuci´on de la coordenada x del punto.

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2. Relaciona la densidad de probabilidad con la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria continua. Problema 1. [55] Suponga que la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria X es la siguiente:

F (x) =

 x−3   e

para x ≤ 3,

 

para x > 3.

1

Calcule la densidad de probabilidad de X. Problema 2. [55] Suponga que la densidad de probabilidad de una variable aleatoria X es la siguiente:  4    3x2 f (x) =    0

para 1 ≤ x ≤ 4 en otro caso.

a) Determine el valor de t tal que P (X ≤ t) = 1/4. b) Determine el valor de t tal que P (X ≥ t) = 1/2. 3. Calcula la densidad y funci´on de distribuci´on de una funci´on de una variable aleatoria. Aplica la f´ormula de cambio de variables. Problema 1. [55] Sea X una variable aleatoria continua con funci´on de distribuci´on F . Definimos la variable aleatoria Y = F (X). Encuentre la funci´on distribuci´on de Y . Problema 2. [6] Sea X una variable aleatoria en [0, 5] con densidad f (x) = 1/5. Sea Y el volumen de la esfera de radio X. Determine la densidad de Y . Problema 3. [31] Suponga que X tiene densidad f (x) = λe−λx para x > 0 y f (x) = 0 para x ≤ 0. Encuentre la distribuci´on de Y = X β con β 6= 0. 4. Encuentra probabilidades usando la distribuci´on Uniforme. Problema 1. [55] Un punto es escogido al azar en un segmento de l´ınea de largo L. Encuentre la probabilidad de que el cuociente entre el segmento m´as corto y el m´as largo sea menor que 1/4. Problema 2. Los trenes con destino A llegan a la estaci´on en intervalos de 15 minutos desde las 7:00 A.M., mientras que los con destino B llegan en intervalos de 15 minutos desde las 7:05 A.M. Un pasajero llega a la estaci´on de acuerdo a un tiempo uniformente distribuido entre las 7:00 A.M. y 8:00 A.M. y toma el primer tren que llega. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el pasajero tome el tren A?

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Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 3

b) ¿C´omo cambia su respuesta si el pasajero llega a la estaci´on en un tiempo uniformemente distribuido entre 7:10 A.M. y 8:10 A.M.? 5. Calcula probabilidades usando la distribuci´on exponencial f (x) = λe−λt y conoce sus propiedades. Problema 1. [52] Demuestre que si X tiene distribuci´on exponencial, entonces [X], la parte entera de X, tiene distribuci´on geom´etrica en {0, 1, 2, . . .}. Problema 2. [6] Un programa de radio recibe llamadas cuya duraci´on es una variable aleatoria con distribuci´on exponencial con λ = 3. a) Encuentre la probabilidad de que una llamada dure menos de 2 minutos. b) Suponga que una llamada ha durado 1 minuto, ¿cu´al es la probabilidad de que dure menos que tres minutos? 6. Calcula probabilidades con la distribuci´on normal f (x) =

2 2 √1 e−(x−µ) /2σ . σ 2π

Problema 1. [52] Suponga que la distribuci´on de la altura en una poblaci´on grande de individuos es normal. Un 10 % de la poblaci´on mide m´as de 1, 8 m y la altura promedio es 1, 6 m. ¿Cu´al es aproximadamente la probabilidad de que en un grupo de 100 personas elegidas al azar dos o m´as midan m´as de 1, 9 m? Problema 2. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on normal. Encuentre la densidad de eX . 7. Calcula esperanzas y momentos de variables aleatorias continuas. Problema 1. Suponga que X tiene distribuci´on dada por f (x) = λ2 e−λ|x| con λ > 0. Calcule la esperanza y la varianza de X. 8. Calcula la distribuci´on conjunta de variables aleatorias en casos simples. Problema 1. El vector aleatorio (X, Y ) tiene una distribuci´on uniforme en el disco D = {(x, y) / 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1}. Encuentre la probabilidad de que la distancia de (X, Y ) al origen sea mayor que d para 0 ≤ d ≤ 1. Problema 2. Suponga que un punto (X1 , X2 , X3 ) tiene una distribuci´on uniforme en S = {(x1 , x2 , x3 ) / 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3}. Determine: a) P ((X1 − 12 )2 + (X2 − 12 )2 + (X3 − 21 )2 ≤ 14 ). b) P (X12 + X22 + X32 ≤ 1).

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9. Calcula densidades condicionales en casos simples. Comprende la noci´on de variables aleatorias independientes. Problema 1. Suponga que la densidad conjunta de X e Y est´a dada por f (x, y) = 6xy(2 − x − y) con 0 < x < 1, 0 < y < 1. Calcule la densidad condicional fX|Y (x|y). Problema 2. Un punto (X, Y ) se selecciona al azar en el rect´angulo S = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 4} . a) Determine la distribuci´on conjunta de X, Y y la distribuciones de X e Y . b) ¿Son X e Y independientes? 10. Calcula densidades y esperanzas de funciones de dos o m´as variables aleatorias independientes. Problema 1. [16] Sean X1 , X2 , . . . , Xn variables aleatorias independientes, cada una con distribuci´on uniforme en [0, 1]. Calcule la funci´on distribuci´on y la densidad de M = m´ax{X1 , X2 , . . . , Xn }. Problema 2. Suponga que X e Y son independientes y tienen distribuci´on exponencial con par´ametros λ y µ. Calcule la densidad de X + Y . Problema 3. [55] Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas con ¯ = 1 Pn Xi . Pruebe que: media µ y varianza σ 2 y sea X i=1 n ¯ = µ. a) E(X) 2

¯ =σ . b) Var(X) n
Pn ¯ 2 = (n − 1)σ 2 . c) E i=1 (Xi − X) 11. Calcula covarianzas de variables aleatorias. Problema 1. Sea X una variable aleatoria uniforme en [0, 1]. Pruebe que Cov(X, X 2 ) = 0. Problema 2. Considere X1 , X2 , . . . variables aleatorias independientes con esperanza µi y varianza σi2 para i ≥ 1 y sea Yk = Xk + Xk+1 + Xk+2 . Para j ≥ 0 y k ≥ 1 encuentre Cov(Yk , Yk+j ). 12. Usa la funci´on generadora de momentos ψX para determinar distribuciones. Problema 1. Sea X una variable aleatoria exponencial con λ = 1. a) Calcule ψX (t) para t < 1 y E(X n ) para todo n ≥ 0. b) Sea Y = 2X + 5. Calcule ψY (t) y determine su rango de definici´on.

242

Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 3

Problema 2. Pruebe que si X1 , . . . , Xn son variables aleatorias normales independientes con media µi y Pn Pn Pn varianza σi2 para i = 1, . . . , n, entonces i=1 Xi es normal con media i=1 µi y varianza i=1 σi2 . ´ 13. Aplica la la Ley D´ebil de los Grandes Numeros para variables aleatorias continuas. Problema 1. Sean {Xi }i≥1 los d´ıgitos de un n´umero N elegido al azar en [0, 1], es decir, el n´umero puede ser expresado como N = 0, X1 X2 X3 . . . a) Explique por qu´e los d´ıgitos {Xi } son variables aleatorias independientes equiprobables en {0,1,. . . ,9}. b) Usando la Ley D´ebil de los Grandes N´umeros, pruebe que la frecuencia relativa del d´ıgito 1 en los primeros n d´ıgitos de N es aproximadamente 1/10 para n grande. 14. Aplica el Teorema Central de L´ımite para variables aleatorias continuas. Problema 1. Sean Xi , i = 1, . . . , 30, variables aleatorias independientes, cada una con distribuci´on uniP30 forme en [0, 1]. Estime P ( i=1 Xi > 12). Problema 2. [6] La duraci´on promedio de una ampolleta es de 10, 2 d´ıas con desviaci´on est´andar 9 d´ıas. Cuando una ampolleta se quema es reemplazada por una id´entica. Encuentre la probabilidad de que en los pr´oximos 3 a˜nos se usen m´as de 100 ampolletas.

243

Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 4

Nivel 4 Enunciado. El estudiante comprende el significado de un proceso estoc´astico. El alumno desarrolla elementos para analizar cadenas de Markov con un n´umero finito de estados. Clasifica los estados de una cadena de Markov y calcula distribuciones estacionarias. Analiza el comportamiento l´ımite de una cadena de Markov. El alumno se familiariza con procesos de Poisson, sus propiedades y sus aplicaciones a la vida cotidiana. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante:

1. Se familiariza con cadenas de Markov finitas. Representa las probabilidades de transici´on usando matrices de transici´on y grafos. Problema 1. Un vendedor viajero vive en la ciudad A y vende sus productos en las ciudades A, B y C. Cada semana viaja a una ciudad diferente. Cuando est´a en A, lanza una moneda para determinar que ciudad visitar´a la pr´oxima semana, si es cara visita B y si es sello C. Sin embargo, despu´es de pasar una semana fuera de su casa, tiene deseos de volver. Por tanto cuando est´a en C o B lanza dos monedas, si las dos son cara visita B o C respectivamente, si no viaja a A. Sea Xn la ciudad visitada en la semana n. Describa la matriz de transici´on y el grafo para esta cadena. Problema 2. Suponga que si ha llovido ayer y hoy entonces llover´a ma˜nana con probabilidad 0, 7; si ha llovido ayer pero no hoy llover´a ma˜nana con probabilidad 0, 5; si llovi´o ayer pero no hoy llover´a ma˜nana con probabilidad 0, 4 y si no ha llovido los dos u´ ltimos d´ıas llover´a ma˜nana con probabilidad 0, 2. Proponga una cadena de Markov para este modelo dando su matriz de transici´on. 2. Calcula probabilidades usando matrices de transici´on. Problema 1. Sea {Xn }n≥0 una cadena de Markov con espacio de estados E = {1, 2, 3, 4} y matriz de

245

transici´on

   M =  

1 0 0 0 0 0,3 0,7 0 0 0,5 0,5 0 0,2 0 0,1 0,7

   .  

Represente el grafo asociado a esta cadena y calcule P (Xn+1 = 1, Xn = 3|Xn−1 = 4). Problema 2. En el ejemplo anterior suponga que la distribuci´on inicial est´a dada por µ = (1/10, 3/10, 2/5, 1/5). Calcule la probabilidad P (X3 = 1). 3. Aplica la ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov para calcular probabilidades de transici´on en varios pasos. Problema 1. [19] Sea {Xn }n≥0 una cadena de Markov representando el tiempo en Santiago en el d´ıa n. Suponga que el espacio de estados est´a dado por 1=lluvioso, 2=nublado y 3=soleado y la matriz de transici´on es   0,4 0,6 0    0,2 0,5 0,3  . 0,1 0,7 0,2 Calcule la probabilidad de que el mi´ercoles est´e lluvioso dado que el domingo estuvo soleado. Problema 2. Sea Xn una cadena de Markov con E = {1, 2} y matriz de transici´on 0,7 0,3 0,4 0,6

! .

Si la distribuci´on inicial est´a dada por µ = (3/10, 7/10) calcule P (X4 = 1). 4. Calcula la ganancia esperada al tiempo n para una cadena de Markov. Problema 1. Sea Xn una cadena de Markov con espacio de estados E = {1, 2, 3} y probabilidades de transici´on dadas por   0,3 0,7 0   P =  0 0,6 0,4  . 0,4 0,1 0,5 Suponga que la ganancia est´a dada por (10, 20, 30), es decir, visitar el estado n otorga una ganacia de 10n. Calcule la ganancia esperada despu´es de tres pasos dado que X0 = 1. Si la distribuci´on inicial est´a dada por (1/10, 3/10, 3/5) calcule la esperanza y la varianza de la ganancia despu´es de tres pasos.

246

Matem´atica .:. Probabilidades .:. Nivel 4

5. Comprende la noci´on de cadena irreducible. Problema 1. Considere una cadena de Markov Xn con matriz de transici´on     P =   

1 2

1 2

0

    .   

1 2

1 4

1 4

0

1 3

2 3

Demuestre que la cadena es irreducible. 6. Aplica criterios para determinar si un estado es transiente o recurrente. Problema 1. [19] Considere las matrices de transici´on:  

a)

0,4   0   0,5    0 0

0,3 0,5 0 0,5 0,3

0,3 0 0,5 0 0

0 0 0,5 0 0 0 0,5 0 0,3 0,4

       

b)

         

0,1 0 0,1 0,2 0 0,1 0,1 0 0 0 0 0

 0 0,4 0,5 0  0,2 0 0,5 0   0,3 0 0 0,6    0 0,9 0 0   0 0,4 0 0,6   0 0 0,5 0,5

¿Cu´ales estados son transientes y cu´ales recurrentes? 7. Conoce y aplica el Teorema de convergencia de una cadena de Markov irreducible. Calcula distribuciones estacionarias. Problema 1. Sea Xn una cadena de Markov con estados {a, b, c} y matriz de transici´on 

0,3   1,0 0

 0,4 0,3  0 0 . 0,3 0,7

Estime P (X200 = a|X0 = b). Problema 2. Suponga que los productos A y B tienen, respectivamente, un ´ındice de lealtad de los consumidores de 0, 7 y 0, 8, es decir, si una semana un consumidor compra el producto A, comprar´a A con probabilidad 0, 7 la semana siguiente y, si compr´o B, la semana siguiente comprar´a B con probabilidad 0, 8. ¿Cu´al es la proporci´on l´ımite del mercado para A y B? Suponga que un nuevo producto es introducido con ´ındice de lealtad 0, 9 y que un consumidor que decide cambiar de producto compra indistintamente los otros dos. ¿Cu´al es la nueva proporci´on l´ımite del mercado para estos tres productos?

247

´ 8. Calcula el numero de visitas promedio a un estado. Problema 1. [19] Suponga que los puntos {1, 2, 3, 4} est´an marcados en un c´ırculo y que una part´ıcula se mueve en el sentido horario con probabilidad p y en el sentido anti-horario con probabilidad 1 − p. Sea Xn la posici´on de la part´ıcula en el tiempo n. Encuentre: a) La matriz de transici´on. b) El n´umero de visitas promedio a cada estado. 9. Conoce ejemplos de cadenas de Markov infinitas. Calcula distribuciones estacionarias en casos simples. Problema 1. [19] Una part´ıcula se mueve en {0, 1, 2, . . .} de acuerdo a las siguientes reglas. Si est´a en i ≥ 1 se mueve a i + 1 con probabilidad p y a i − 1 con probabilidad 1 − p. Si est´a en 0, se mueve a 1 con probabilidad p y se queda en 0 con probabilidad 1 − p. Demuestre que esta cadena admite una distribuci´on estacionaria si y s´olo si p < 1/2. 10. Se familiariza con los procesos de Poisson. Problema 1. Las ampolletas producidas en una planta tienen una vida media de 2 meses. Suponga que cada vez que se quema una ampolleta e´ sta se reemplaza y el n´umero de ampolletas reemplazadas constituye un proceso de Poisson. a) Calcule la esperanza y varianza del n´umero de ampolletas reemplazadas por a˜no. b) Suponga que al primero de Noviembre en un a˜no determinado se han cambiado m´as de 10 ampolletas. Calcule la probabilidad de que esto ocurra. Calcule la probabilidad de que la pr´oxima ampolleta dure m´as de un mes. Problema 2. [52] Un contador Geiger est´a registrando radiaci´on a una tasa promedio de 1 impacto/minuto. Sea T3 el tiempo cuando el tercer impacto es registrado. Determine P (2 < T3 < 3). Problema 3. Sea {N (t), t ≥ 0} un proceso de Poisson. Demuestre que para s < t y 0 ≤ m ≤ n se tiene P (N (t) = m|N (t) = n) =

n m

!

 s m  t

1−

s n−m . t

11. Investiga acerca de los procesos de Poisson con la Teor´ıa de Colas y la Teor´ıa de Renovaci´on. Problema 1. Investigue los aportes de A. K. Erlang a la Teor´ıa de Colas. ¿En qu´e problema estaba Erlang interesado? Problema 2. ¿Qu´e problema de la vida cotidiana puede ser modelado como un proceso de renovaci´on?

248

Matem´atica .:. Probabilidades .:. Bibliograf´ıa

Nota bibliogr´afica para el eje de Probabilidades Para los Niveles 1, 2 y 3 el libro de Pitman [52] es un muy buen libro de referencia que podr´ıa incluso ser usado como texto gu´ıa. Tambi´en el libro de Ash [6] es una buena referencia para los primeros dos niveles, ya que contiene y explica diversas estrategias para resolver problemas de conteo y probabilidades condicionales. Otro buen texto de referencia para los Niveles 1, 2 y 3 es el texto de Ross [55]. Existen muchos textos de referencia para el estudio de procesos estoc´asticos, pero ellos exceden los contenidos necesarios para el Nivel 4. Para este nivel mencionamos como una muy buena referencia el libro de de Durrett [19].

Sugerencias para la implementaci´on curricular Es muy importante desarrollar intuici´on para comprender el significado de las probabilidades. El uso de programas computacionales para simular experimentos puede contribuir a desarrollar intuici´on y a comprender el significado de los Teoremas L´ımites.

Bibliograf´ıa para el eje [6] Ash, Carol The Probability Tutoring Book, Wiley Interscience, 1993. [16] DeGroot, Morris H., Probabilidad y Estad´ıstica, Segunda Edici´on, Addison-Wesley Iberoamericana, 1988. [19] Durrett, Rick, Essentials of Stochastics Processes, Springer Texts in Statistics, 1999. [23] Feller, William, Introducci´on a la Teor´ıa de Probabilidades y sus Aplicaciones, Volumen 1. Editorial Limusa, 1975. [26] Grimmett, G. R. y Stirzaker, D. R., Probability and Random Processes, Second Edition, Oxford Science Publications, 1992. [31] Hoel, Paul G., Port, Sidney C. y Stone, Charles J., Introduction to Probability Theory. Houghton Mifflin Company, Boston, 1971. [45] McCord, James R. y Moroney, Richard M., Probability Theory, The Macmillan Company, New York, 1964. [49] Mosteller, Frederick, Rourke, Robert E. K. y Thomas, George B., Probability and Statistics, AddisonWesley Publishing Company Inc., 1961.

249

[50] Myers, Raymond, Myers, Sharon y Walpole, Ronald, Probabilidad y Estad´ıstica para Ingenieros, 6ta edici´on, Prentice Hall, 1999. [52] Pitman, Jim, Probability. Springer Text in Statistics, 1993. [55] Ross, Sheldon, A First Course in Probability. Macmillan Publishing Company, 1988. [56] Ross, Sheldon, Stochastic Processes, Second Edition, John Wiley and Sons Inc., 1996.

250

Eje 7 Estadística

Matem´atica .:. Estad´ıstica

ESTADISTICA Descripci´on General La Estad´ıstica es una de las ramas de la Matem´atica que tiene la mayor relaci´on con la obtenci´on y construcci´on de modelos de la realidad, fin de toda ciencia. Ella provee de herramientas para el an´alisis sistem´atico de datos, para la inferencia y el test de hip´otesis y para el dise˜no de experimentos. Un Profesor de Matem´atica domina los elementos b´asicos de la Estad´ıstica. Una de las razones tiene que ver con la ventana que abre la Estad´ıstica a las otras ciencias, y en consecuencia las ventanas y lazos que el profesor tiene que crear con sus alumnos y con los profesores de ciencias. Es importante que el profesor tenga la capacidad de interpretar y explicar la enorme cantidad de informaci´on de origen estad´ıstico que recibimos a diario a trav´es de los medios de comunicaci´on. El eje de Estad´ıstica est´a orientado a los temas eminentemente pr´acticos de la estad´ıstica, dejando para el eje de probabilidades numerosos desarrollos y teor´ıas necesarias para su cabal comprensi´on. En general, se espera que a lo largo de los niveles el estudiante desarrolle un pensamiento estad´ıstico, cr´ıtico y creativo, que lo capacite para realizar estudios por su propia cuenta. A lo largo de los niveles existe una permanente conexi´on con el eje de Probabilidades, naturalmente. En el nivel 4 se realiza una conexi´on importante con el eje de Algebra Lineal y con el eje de An´alisis. La importancia de esta conexi´on no queda reflejada completamente en los est´andares, pero pensamos que en una implementaci´on curricular, especialmente por razones metodol´ogicas esta relaci´on debe ser enfatizada. En los est´andares no se ha incluido el desarrollo de investigaciones con datos de la realidad. La realizaci´on de un taller de proyectos estad´ısticos donde se analicen problemas concretos, con datos de la realidad local puede tener un valor pedag´ogico enorme. Tampoco se incluye en los est´andares el uso de herramientas computacionales. No cabe la menor duda que en una implementaci´on curricular se puede usar el tema de estad´ıstica para introducir al Profesor de Matem´atica a una serie de herramientas computacionales que debe dominar.

253

Cuadro sinóptico Niveles del eje

Nivel 1

Nivel 2

El estudiante en este nivel introductorio se familiariza con la descripción de datos de diferente índole, usando tablas de frecuencias y herramientas gráficas. Utiliza indicadores de tendencia central y dispersión para resumir información.

El estudiante se familiariza con aspectos operacionales de la distribución Normal y se aproxima desde un punto de vista empírico a la Ley de los Grandes Números y al Teorema Central del Límite. Comprende el concepto de muestra y analiza diferentes métodos de muestreo. Asocia probabilidades de ocurrencia a las muestras y utiliza un enfoque empírico para encontrar la distribución de la media muestral de una variable numérica. Opera con la distribución normal y la distribución t de Student.

El estudiante tiene un primer encuentro con técnicas de ajuste de datos. Adquiere un manejo operacional de la recta de mínimos cuadrados. Utiliza cambios de escala para relaciones logarítmicas o exponenciales. Analiza los errores para descubrir cambios de escala que mejoren la regresión.

En este nivel el alumno construye intervalos de confianza para la media de una variable y comprende los supuestos que sustentan este análisis. Interpreta el significado de los intervalos de confianza y adopta una actitud crítica frente a los resultados de un estudio estadístico.

El estudiante se familiariza con los elementos centrales de series de tiempo, como tendencia, estacionalidad, ciclos y ruido blanco. Aplica ajuste de mínimos cuadrados y medias móviles para el análisis de series de tiempo y para plantear predicciones.

256

Eje 7: Estadística Nivel 3

Nivel 4

El estudiante encuentra intervalos de confianza y realiza Test de Hipótesis para la media, en el caso que la varianza es desconocida. Realiza test para la diferencia entre dos medias.

El estudiante en este nivel se introduce en el tema de estudios experimentales. Comprende el Análisis de Varianza (ANOVA) en el caso de un factor y lo aplica para comparar resultados de experimentos.

El alumno se familiariza con otras dos distribuciones importantes de la estadística: la distribución Chi cuadrado y la F de Fisher. El alumno construye estimaciones y realiza test de hipótesis para la varianza de una población y para la comparación de varianzas de dos poblaciones.

El estudiante reencuentra el método de mínimos cuadrados, pero ahora desde el punto de vista de la inferencia estadística. Comprende los supuestos que permiten determinar la distribución de los parámetros de una regresión. Construye intervalos de confianza para los parámetros y el coeficiente de correlación de la regresión. Realiza test de hipótesis para éstos.

El estudiante analiza el problema de inferencia estadística cuando la población es Binomial. Construye intervalos de confianza para la proporción de una distribución Binomial. Analiza encuestas de opinión.

Deduce las fórmulas para los coeficientes de una regresión múltiple usando criterio de minimización e interpreta geométricamente, conectando con el eje de Algebra Lineal.

257

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 1

Nivel 1 Enunciado. En este nivel introductorio el estudiante se familiariza con la descripci´on de datos de diferente ´ındole, usando tablas de frecuencias y herramientas gr´aficas. Utiliza indicadores de tendencia central y dispersi´on para resumir informaci´on. El estudiante tiene un primer encuentro con t´ecnicas de ajuste de datos. Adquiere un manejo operacional de la recta de m´ınimos cuadrados. Utiliza cambios de escala para relaciones logar´ıtmicas o exponenciales. Analiza los errores para descubrir cambios de escala que mejoren la regresi´on. El estudiante se familiariza con los elementos centrales de series de tiempo, como tendencia, estacionalidad, ciclos y ruido blanco. Aplica ajuste de m´ınimos cuadrados y medias m´oviles para el an´alisis de series de tiempo y para plantear predicciones. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Obtiene una tabla de frecuencias (relativas) y de frecuencias acumuladas (relativas), a partir de una tabla de datos num´ericos. Problema 1. [48] Un consultor de marketing observa las compras de 50 consumidores en un supermercado y obtiene los siguientes datos: 2,32

6,61

6,90

8,04

9,45

10,26

11,34

11,63

12,66

12,95

13,67

13,72

14,35

14,52

14,55

15,01

15,33

16,55

17,15

18,22

18,30

18,71

19,54

19,55

20,58

20,89

20,91

21,13

23,85

26,04

27,07

28,76

29,15

30,54

31,99

32,82

33,26

33,80

34,76

36,22

37,52

39,28

40,80

43,97

45,58

52,36

61,57

63,85

64,30

69,49

Las cantidades est´an expresadas en M$ (miles de pesos). Obtenga una tabla de frecuencias relativas. Indique las caracter´ısticas principales de esta distribuci´on de frecuencias.

259

2. Calcula media y desviaci´on est´andar a partir de una tabla de frecuencias. Problema 1. [48] En 1798, el cient´ıfico ingl´es Henry Cavendish midi´o la densidad de la Tierra usando una balanza de torsi´on. La variable medida fu´e la densidad de la Tierra como m´ultiplo de la densidad del agua. Las medidas obtenidas por Cavendish son: 5,50

5,61

4,88

4,07

5,26

5,55

5,36

5,29

5,58

5,65

5,57

5,53

5,62

5,29

5,44

5,34

5,79

5,10

5,27

5,39

5,42

5,47

5,63

5,34

5,46

5,30

5,75

5,86

5,85

Obtenga una tabla de frecuencias y a partir de ella haga un histograma. a) A partir de la tabla de frecuencias obtenga una estimaci´on para la densidad de la Tierra. Calcule tambi´en la desviaci´on est´andar. b) Obtenga una estimaci´on de la densidad calculando la media, directamente de los datos. Compare con a) y comente. Haga lo mismo con la desviaci´on est´andar. 3. Conoce, calcula e interpreta los principales indicadores de una muestra de datos num´ericos. Problema 1. El ‘resumen de cinco n´umeros’: valor m´ınimo, primer cuartil, mediana, tercer cuartil y valor m´aximo, se usa para describir un conjunto de datos. Diga si estos cinco indicadores representan bien a los datos. D´e ejemplos que justifiquen su afirmaci´on. Problema 2. Considere una lista de datos x1 , . . . , xn . Una transformaci´on lineal cambia estos datos en x∗i = a + bxi ,

i = 1, 2, . . . , n.

Indique cu´al de los siguientes estimadores permanece sin cambios ante esta transformaci´on: primer quintil, desviaci´on est´andar, media, moda, valor m´ınimo. Problema 3. Los siguientes datos corresponden a los resultados de la PSU de los alumnos de un curso de un liceo de la capital: 678

450

487

577

589

510

698

653

810

570

743

567

661

590

628

765

702

654

675

580

689

640

632

580

683

508

750

538

693

568

456

567

604

628

672

534

588

604

308

622

635

723

651

644

651

a) Elija 3 indicadores para describir estos datos y calc´ulelos. Explique las razones que lo llevaron a elegir esos 3 indicadores. b) Si el Centro de Padres quiere conocer los resultados del curso en la PSU a trav´es de tres indicadores, ¿cu´ales elegir´ıa?

260

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 1

c) Si la Direcci´on del Liceo quiere conocer los resultados del curso en la PSU a trav´es de tres indicadores, ¿cu´ales elegir´ıa? d) Si el Ministerio de Educaci´on quiere conocer los resultados del curso en la PSU a trav´es de tres indicadores, ¿cu´ales elegir´ıa? 4. Utiliza el Diagrama de Cajas (Boxplot) para describir datos. Problema 1. [2] a) A partir del siguiente diagrama de cajas determine el m´ınimo m, el primer cuartil Q1, la mediana mM, el tercer cuartil Q2 y el m´aximo M.

b) Para los siguientes datos de una variable: -1

1

2

2

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

6

6

7

9

determine m, Q1, mM , Q2 y M . Haga el diagrama de cajas. c) La siguiente regla se usa para determinar puntos at´ıpicos: “Una observaci´on X es at´ıpica si X < Q1 − 1,5(Q3 − Q1) o X > Q3 + 1,5(Q3 − Q1)”. Para los datos de arriba determine los puntos at´ıpicos y haga el diagrama de cajas modificado. Problema 2. [2] A partir de los datos de lluvia obtenidos en tres estaciones de medici´on de una ciudad durante doce meses, se ha construido el siguiente diagrama de caja:

261

a) ¿Cu´al de las tres estaciones mostr´o el mayor rango de variaci´on en la cantidad de lluvia ca´ıda en 12 meses? b) Seleccione una de las alternativas: Como el diagrama de caja de la estaci´on 1 es sim´etrico, la distribuci´on de datos debe ser sim´etrica: i) Si.

ii) No.

iii) No se puede decir.

c) Los siguientes son los datos de la estaci´on 4: 2

5

9

9

9

10

11

11

11

11

12

15

Determine los cinco n´umeros para esta muestra. ¿Existen puntos at´ıpicos de acuerdo a la regla indicada en el problema anterior? d) Haga el diagrama de cajas modificado para estos datos. 5. Ajusta datos usando m´ınimos cuadrados. Usa la recta de regresi´on para predecir o interpolar. Problema 1. [47] La siguiente tabla muestra los resultados de mediciones de la resistencia el´ectrica medida en 10−6 Ohm del platino a distintas temperaturas en Kelvin Temperatura x

100

200

300

400

500

Resistividad y

4,1

8,0

12,6

16,3

19,4

Encuentre la recta de regresi´on usando como variable explicativa la temperatura. A partir de sus c´alculos, ¿cu´al ser´ıa aproximadamente la resistencia el´ectrica del platino a 350 Kelvin? 6. Calcula e interpreta el coeficiente de correlaci´on en regresi´on lineal. Comprende el significado de punto influencial y de punto at´ıpico. Problema 1. Ordene los siguientes gr´aficos de acuerdo al coeficiente de correlaci´on:

262

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 1

Problema 2. [48] Un estudio en desarrollo cognitivo pretende relacionar la edad (meses) a la cual un ni˜no peque˜no dice su primera palabra, con el resultado del test de Gessel tomado un tiempo m´as tarde. La siguiente tabla describe las observaciones hechas con 21 individuos: Caso

edad

puntaje

Caso

edad

puntaje

1

15

95

12

9

96

2

26

71

13

10

83

3

10

83

14

11

84

4

9

91

15

11

102

5

15

102

16

10

100

6

20

87

17

12

105

7

18

93

18

42

57

8

11

100

19

17

121

9

8

104

20

11

86

10

20

94

21

10

100

11

7

113

a) Haga una regresi´on lineal con el objeto de explicar el resultado del test de Gessel con la edad de la primera palabra. En base a la regresi´on encontrada, ¿cu´al ser´ıa el resultado del test de Gesell de un ni˜no que dijo su primera palabra a la edad de 21 meses? b) Calcule el coeficiente de correlaci´on entre las variables. c) Elimine la observaci´on n´umero 18. Calcule el nuevo coeficiente de correlaci´on. ¿Cambiar´ıa su respuesta en a)? ¿Cree usted que la edad de la primera palabra predice bien el resultado del test de Gessel? 7. Discute la relaci´on causal entre la variable respuesta y la variable explicativa. Problema 1. En una ciudad del norte de Europa se realiz´o un estudio mediante regresi´on lineal que lleg´o a la siguiente conclusi´on: “Existe una alta correlaci´on (95 %) entre el n´umero de nacimientos en la ciudad y el tama˜no de la poblaci´on de cigue˜nas que vive en los alrededores”. Comente. 8. Ajusta datos con regresiones no lineales. Problema 1. [47] Despu´es que el agente ionizante ha sido apagado, la concentraci´on de iones n que permanece en el gas en el instante t est´a dada por n=

n0 , 1 + n0 αt

263

donde n0 es la concentraci´on inicial de iones y α es una constante llamada coeficiente de recombinaci´on. En un experimento para determinar α, un gas es ionizado con radiaci´on X, la que es apagada en t = 0. Los siguientes son los datos obtenidos

n 10−4

5,03

4,71

4,40

3,97

3,88

3,62

3,30

3,25

3,08

2,92

2,70

t [s]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Use el m´etodo de m´ınimos cuadrados para estimar α y n0 . Compare el valor de n0 estimado con el valor 5,03 dado en la tabla. ¿Porqu´e es m´as conveniente usar el valor estimado? Problema 2. [47] En una investigaci´on se consider´o cinco grupos de ratas que fueron alimentadas por un tiempo con una dieta deficiente en vitamina A. Luego se les di´o cantidades altas de vitamina A en la forma de aceite de bacalao. A cada grupo de ratas se les di´o una dosis diferente. Los siguientes son los resultados obtenidos

Dosis [mg]

0,25

1,00

1,50

2,50

7,50

Aumento peso [g]

-10,8

13,5

16,4

28,7

51,3

a) Grafique los datos considerando como variable explicativa x la dosis suplementaria de vitamina A. ¿Podr´ıa decir que los datos se ajustan bien con una recta? b) Dada la tendencia de crecimiento que muestra la ganancia de peso en funci´on de x, proponga una transformaci´on f de la variable x y realice un nuevo gr´afico. Luego obtenga los coeficientes de la regresi´on para y = a + bf (x). c) Si la dosis de vitamina A es de 5 [mg], ¿cu´al ser´ıa la ganancia de peso de la rata?

9. Conoce el problema de las series de tiempo y sus conceptos b´asicos: tendencia, estacionalidad y ciclos. Problema 1. Para la siguiente serie de datos con los resultados en ventas de una empresa, que tienen un ciclo aproximado de 3 a˜nos, calcule las medias m´oviles y luego obtenga la tendencia de la serie usando ajuste de m´ınimos cuadrados.

264

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 1

˜ Ano

Ventas $ 106

1947

3

˜ Totales m´oviles (3 anos)

˜ Medias m´oviles (3 anos)

1948

4

15

5

1949

8

18

6

1950

6

21

7

1951

7

24

8

1952

11

27

9

1953

9

30

10

1954

10

33

11

1955

14

36

12

1956

12

Problema 2. Se cuenta con los siguientes datos correspondientes al stock de un cierto vegetal congelado para los a˜nos 1990 y 1991. Mes

1990(1)

1991(2)

(1)+(2)=(3)

MA(4)

T(5)

MA A(6)

E(7)

Enero

560

780

1340

670

0

670

97,4

Febrero

500

720

1220

610

5

605

88,0

Marzo

450

670

1120

560

10

550

80,0

Abril

420

660

1080

540

15

525

76,3

Mayo

420

630

1050

525

20

505

73,5

Junio

480

660

1140

570

25

545

79,3

Julio

590

730

1320

660

30

630

91,6

Agosto

750

860

1610

805

35

770

112,0

Septiembre

860

970

1830

915

40

875

127,3

Octubre

900

980

1880

940

45

895

130,2

Noviembre

900

950

1850

925

50

875

127,3

1720

860

55

Diciembre

850

870

805

117,1

Total

7680

9480

8250

1200

Promedio

640

790

687.5

100

(4) Media Aritm´etica.

(5) Tendencia.

(6) Media Aritm´etica Ajustada.

Se dispone de datos de stock promedio mensual para los a˜nos 1987 a 1991. ˜ Ano

X

Y

XY

X2

1987

-2

520

-1040

4

1988

-1

580

-580

1

1989

0

540

0

0

1990

1

640

640

1

1991

2

790

1580

4

3070

600

10

265

(7) Indice Estacional.

Dise˜ne una estrategia para obtener una predicci´on de la evoluci´on del stock para el a˜no 1992 mes a mes. Tome en cuenta los efectos estacionales, la tendencia de crecimiento y elimine las fluctuaciones y posibles ciclos trianuales. 10. Comprende la importancia de la representaci´on de datos en forma gr´afica. Problema 1. Para describir resultados estad´ısticos se utilizan a menudo diversos esquemas gr´aficos, como por ejemplo, histogramas, diagramas de torta, gr´aficos propiamente tales, etc. Mediante ejemplos concretos, muestre la importancia que tiene la elecci´on de las escalas para las variables cuando se desea describir correctamente los datos. Muestre tambi´en c´omo es posible manipular el significado de los datos haciendo una elecci´on de escalas maliciosa. 11. Relaciona media y desviaci´on est´andar con conceptos f´ısicos. Problema 1. Dados los valores xi , i = 1, 2, . . . , n de una variable num´erica, se puede pensar que para cada i, el valor xi representa la posici´on de una part´ıcula de masa 1 sobre el eje real. En este caso la media de estos datos corresponde al centro de masa de las part´ıculas. a) Siguiendo esta analog´ıa interprete la f´ormula para la media calculada a partir de una tabla de frecuencias. b) Siguiendo esta analog´ıa, ¿a qu´e concepto f´ısico corresponder´ıa la desviaci´on est´andar?

266

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 2

Nivel 2 Enunciado. El estudiante se familiariza con aspectos operacionales de la distribuci´on normal y se aproxima desde un punto de vista emp´ırico a la Ley de los Grandes N´umeros y al Teorema Central del L´ımite. Comprende el concepto de muestra y analiza diferentes m´etodos de muestreo. Asocia probabilidades de ocurrencia a las muestras y utiliza un enfoque emp´ırico para encontrar la distribuci´on de la media muestral de una variable num´erica. Opera con la distribuci´on normal y la distribuci´on t de Student. En este nivel el alumno construye intervalos de confianza para la media de una variable y comprende los supuestos que sustentan este an´alisis. Interpreta el significado de los intervalos de confianza y adopta una actitud cr´ıtica frente a los resultados de un estudio estad´ıstico. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Conoce la distribuci´on normal est´andar. Asocia probabilidad con a´ reas y calcula probabilidades usando tablas. Problema 1. Suponga que la variable aleatoria X es distribuida seg´un la normal est´andar. Usando una tabla determine: a) P (X ≥ 1). b) P (−1 ≤ X ≤ 1). c) P (1 < X ≤ 2). Problema 2. Encuentre los valores de z para los cuales: a) P (0 ≤ X ≤ z) = 0,3790. b) P (0 ≤ X ≤ z) = 0,4900. c) P (−z ≤ X ≤ z) = 0,599.

267

2. Calcula probabilidades asociadas a una distribuci´on normal. Problema 1. [34] Se supone que los resultados de la prueba final en un curso est´an distribuidas normalmente, en una escala de 1 a 100, con media 74 y desviaci´on est´andar 12. Si el profesor le pondr´a un 7 al 10 % superior, el siguiente 20 % recibir´a un 6, el siguiente 30 % un 5, el siguiente 30 % un 4 y el 10 % inferior un 3. a) ¿Qu´e puntaje hay que tener para sacarse un 7? b) ¿Qu´e puntaje hay que tener para sacarse un 5? c) ¿Qu´e puntaje hay que tener para pasar el curso? ´ si un conjunto de datos sigue aproximadamente una distribuci´on normal, mediante el gr´afico 3. Evalua cuantil-cuantil contra la normal. Problema 1. Considere los siguientes gr´aficos cuantil-cuantil contra la normal. Ord´enelos de acuerdo a su cercania a una normal.

4. Conoce el concepto de muestra aleatoria. Problema 1. Para determinar la proporci´on de piezas defectuosas un inspector se ubica al final de la cadena de producci´on y escoge en orden, uno de cada 20 productos terminados. Una vez concluida la producci´on de 1000 piezas, ha obtenido una muestra de 50 piezas. Discuta si la muestra es aleatoria.

268

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 2

Problema 2. Se desea hacer un estudio a los usuarios telef´onicos de la comuna de La Florida. Dise˜ne una estrategia para elegir una muestra de 1000 usuarios. Problema 3. Un canal de televisi´on realiza encuestas de opini´on durante la realizaci´on de un programa de debate que se transmite de 20 a 21 horas. Para ello se pone a disposici´on del televidente un n´umero telef´onico y este puede contestar SI o NO a una pregunta planteada durante el programa. En el desarrollo de un programa sobre la educaci´on en Chile, se plante´o la pregunta: ¿Cree usted que la educaci´on en Chile ha mejorado? Un 70 % dice que NO y un 30 % dice que SI. Explique porqu´e este m´etodo de muestreo es sesgado. ¿Hacia donde cree que est´a el sesgo? 5. Conoce la distribuci´on de la media muestral de una variable normal. Problema 1. [34] Seg´un estudios, los ni˜nos en edad de Kindergarten tiene una altura que sigue una distribuci´on normal con media µ = 99 [cm] con una desviaci´on est´andar σ = 5, 1 [cm]. a) ¿Cu´al es la probabilidad que la altura promedio de los ni˜nos de un curso de 25 alumnos se encuentre entre 101 y 97 [cm]? b) ¿Cu´al es la probabilidad que la altura de un ni˜no elegido al azar sea menor que 97 [cm]? Compare con la probabilidad que la altura promedio de los ni˜nos de un curso de 25 alumnos sea menor que 97 [cm]. 6. Construye intervalos de confianza para la media de una poblaci´on normal, conocida la varianza. Problema 1. Usando la tabla de la normal, encuentre los valores cr´ıticos z ∗ para obtener intervalos de confianza del 99 %, 90 %, 80 % y del 70 %. Problema 2. Seg´un estudios, los ni˜nos en edad de Kindergarten tiene una altura que sigue una distribuci´on normal. Sin embargo no se conoce la media, pero s´ı su desviaci´on est´andar σ = 5, 1 [cm]. A trav´es de un muestreo simple se obtuvo una muestra de 15 ni˜nos de Kindergarten y se encontr´o una media muestral x ¯ = 103 [cm]. a) Construya un intervalo de confianza al 95 % para la media. b) Como una manera de disminuir el largo del intervalo a la mitad, se puede cambiar el nivel de confianza. ¿Qu´e nivel de confianza debe elegir para conseguirlo? c) Otra manera de disminuir el largo del intervalo a la mitad es aumentando el n´umero de observaciones. ¿Cu´antas observaciones debe realizar para lograrlo? 7. Conoce el Teorema Central del L´ımite y comprende su significado. Problema 1. [48] El n´umero de accidentes por semana en una esquina peligrosa tiene una media de 2, 2 y una varianza de 1, 4.

269

a) Sea x ¯ la media de accidentes semanales observados durante el u´ ltimo a˜no. ¿Cu´al es la probabilidad (aproximada) que x ¯ sea menor que 2? b) Si no cambian las condiciones de seguridad en esa intersecci´on, ¿cu´al es la probabilidad (aproximada) que haya m´as de 100 accidentes en esa esquina durante el pr´oximo a˜no? Problema 2. Para la poblaci´on econ´omicamente activa de la ciudad de Concepci´on se considera la variable ingreso mensual X. Para efectos de determinar el ingreso mensual promedio por individuo en Concepci´on se ha elegido una muestra aleatoria consistente en 18 individuos y se ha usado como estimaci´on del ingreso, el promedio de la muestra para obtener un intervalo de confianza usando la tabla N (0, 1). La varianza se supone conocida de estudios anteriores. a) ¿Cree usted que la variable ingreso mensual sigue una distribuci´on normal? ¿Porqu´e? b) El resultado de la encuesta fu´e cuestionado. El argumento que se di´o es que la variable ingreso mensual no sigue una distribuci´on normal. ¿Cree usted justificado el reclamo? c) ¿Qu´e har´ıa para aplacar las cr´ıticas? ¿En que fundamentos basa su respuesta? 8. Construye intervalos de confianza para la media, con varianza conocida. Interpreta los intervalos de confianza. Problema 1. [48] Se obtiene una muestra aleatoria de 50 corredores ol´ımpicos varones y se mide el peso de cada uno. Se obtiene una media muestral de x ¯ = 60 [kg]. Suponga que la desviaci´on est´andar de la poblaci´on es σ = 5 [kg]. a) D´e un intervalo de confianza para µ al 95 %. b) D´e un intervalo de confianza para µ al 99 %. c) ¿Cu´al de los dos intervalos cree usted que es mejor? 9. Realiza test de hip´otesis para la media de la poblaci´on, cuando la varianza es conocida. Problema 1. [48] En cada una de las siguientes situaciones se requiere de un test de hip´otesis para la media µ. Establezca la hip´otesis H0 y la hip´otesis alternativa Ha adecuada: a) El a´ rea promedio de los departamentos de un conjunto habitacional de grandes proporciones (varios miles de departamentos) se publicita como 75 metros cuadrados. Un grupo de futuros propietarios piensa que el tama˜no promedio es mucho menor. Ellos contratan un ingeniero para que tome una muestra y pruebe su sospecha. b) El auto de Juan recorre 17 kil´ometros por cada litro litro de combustible en la carretera. Recientemente le cambi´o el tipo de aceite del motor, siguiendo una propaganda que anunciaba que su auto ganar´ıa en eficiencia. Despu´es de manejar 1000 kil´ometros Juan quiere chequear si efectivamente su auto es m´as eficiente.

270

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 2

c) El di´ametro del eje de un motor peque˜no debe ser de 5 [mm]. Si el di´ametro es menor o mayor el motor no funciona correctamente. El fabricante mide el di´ametro de una muestra de ejes para determinar si la media se ha movido del requerido 5 [mm]. Problema 2. [48] Un computador tiene un programa para generar n´umeros aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [0, 1]. Si esto es cierto, la media de la poblaci´on es µ = 0, 5 y la varianza es σ 2 = 0, 0833. Mediante un comando se generan 100 n´umeros, cuya media es x ¯ = 0, 4817. Suponiendo que la varianza permanece fija, se desea testear la hip´otesis: H0 : µ = 0, 5 versus Ha : µ 6= 0, 5. a) ¿Es el test significativo al 5 % (para rechazar H0 )? b) ¿Es el test significativo al 1 % (para rechazar H0 )? 10. Conoce aspectos hist´oricos de la distribuci´on normal. Problema 1. Investigue los or´ıgenes de la distribuci´on normal. Establezca las contribuciones de De Moivre e indique cu´al era la motivaci´on que ten´ıa para sus estudios. ¿Cu´ales fueron las contribuciones de Laplace y sus motivaciones?

271

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 3

Nivel 3 Enunciado. El alumno encuentra intervalos de confianza y realiza Test de Hip´otesis para la media, en el caso que la varianza es desconocida. Realiza test para la diferencia entre dos medias. El alumno se familiariza con otras dos distribuciones importantes de la estad´ıstica: la distribuci´on Chi cuadrado y la F de Fisher. El alumno construye estimaciones y realiza test de hip´otesis para la varianza de una poblaci´on y para la comparaci´on de varianzas de dos poblaciones. El estudiante analiza el problema de inferencia estad´ıstica cuando la poblaci´on es binomial. Construye intervalos de confianza para la proporci´on de una distribuci´on binomial. Analiza encuestas de opini´on. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante:

1. Conoce la distribuci´on t y construye intervalos de confianza para la media con varianza desconocida. Problema 1. Desde un punto de vista cualitativo, ¿cu´al es la diferencia entre la distribuci´on normal est´andar y la distribuci´on t de Student? ¿Qu´e sucede a medida que el grado de libertad de la t de Student crece? Problema 2. Para la distribuci´on t calcule (con la ayuda de una tabla): a) P (−1,75 ≤ t) con GL = 10. b) P (−1 ≤ t ≤ 2) con GL = 15. c) z tal que P (−z ≤ t ≤ z) = 0,95 para GL = 20 y GL = 12. Problema 3. Se dispone de un mecanismo de medici´on de ciertas se˜nales de sonido, cuya intensidad sigue una distribuci´on normal. Se dispone de s´olo 5 observaciones (pues son caras de obtener) con las cuales se construye un intervalo de confianza para la media del 90 %. Para estimar el ancho del intervalo se us´o la distribuci´on t con 4 grados de libertad. ¿Cree usted que este procedimiento est´a justificado, si s´olo se cuenta con 5 observaciones?

273

Problema 4. [47] En un laboratorio, 25 estudiantes de ingenier´ıa midieron en forma independiente el calor espec´ıfico del aluminio, obteniendo una media de 0, 2210 calor´ıas por grado (centigrado) por gramo y una desviaci´on est´andar de 0, 0240. Encuentre el intervalo de confianza del 95 % para la media. 2. Realiza test de hip´otesis para la media de la poblaci´on con varianza desconocida. Problema 1. [66] Un empresario envasador de az´ucar produce bolsitas de az´ucar de 300 gramos. Cuando el proceso est´a bajo control, cada bolsa que sale de producci´on tiene un promedio de 300 gramos. Si el promedio se desv´ıa significativamente de este valor, hay que revisar el proceso pues se encuentra fuera de control. Peri´odicamente se toma una muestra de 9 bolsitas. En una ocasi´on se encontr´o una muestra cuya media muestral fu´e de 309 gramos y una desviaci´on est´andar de 13, 5 gramos. En virtud de los datos: a) ¿Hay que rechazar la hip´otesis H0 : µ = 300 versus Ha : µ 6= 300, con un nivel de significancia del 10 %? b) ¿Y si se considera con un nivel de significancia del 5 %? c) ¿Recomendar´ıa al gerente de producci´on revisar el estado de las m´aquinas? 3. Realiza test de hip´otesis para la diferencia entre dos medias. Problema 1. Para hacer un test de hip´otesis para la diferencia entre dos medias se requieren ciertos supuestos sobre la distribuci´on de la variable x y los tama˜nos n1 y n2 de las muestras. En cualquier caso se suponen que las muestras son aleatorias e independientes. En cada caso indique qu´e estad´ıstico hay que considerar y los supuestos necesarios: a) Si las varianzas son conocidas y n1 y n2 son peque˜nos. b) Si las varianzas son desconocidas y n1 y n2 son peque˜nos. c) Si las varianzas son desconocidas y n1 y n2 son grandes. Problema 2. [2] Un investigador quiere comparar el peso corporal de dos linajes de ratas de laboratorio. Para ello realiz´o mediciones y obtuvo los siguientes pesos en gramos: Linaje 1

32

35

36

37

38

41

43

Linaje 2

38

39

39

40

44

46

47

El investigador quiere saber si estos datos dan evidencia sobre la diferencia en peso entre estos dos linajes. Suponga que los datos provienen de muestras aleatorias, independientes, de distribuciones normales y con varianza com´un.

274

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 3

a) Establezca la hip´otesis nula y la hip´otesis alternativa. b) Calcule el valor del estad´ıstico y su valor-p. c) Indique el resultado del test con significaci´on del 5 %. d) Un intervalo de confianza para la diferencia entre la media µ1 del linaje 1 y la media µ2 del linaje 2 al 95 % es (−9, 32; −0, 82). i) ¿Qu´e indica el 95 % acerca de la calidad de este intervalo de confianza? ii) Usando el intervalo de confianza del 95 %, ¿aceptar´ıa o rechazar´ıa la hip´otesis H0 : µ1 − µ2 = −9 versus Ha : µ1 − µ2 6= −9? 4. Conoce la distribuci´on χ2 y realiza test de hip´otesis para la varianza de una distribuci´on. Problema 1. Determine los valores cr´ıticos: a) P (χ2 ≤ z1 ) = 0, 05 y P (χ2 ≥ z2 ) = 0, 05 con GL = 12. b) P (χ2 ≤ z) = 0, 05 con GL = 50. Problema 2. [34] Los datos de peso de 20 estudiantes mujeres en una universidad fueron recopilados el primer d´ıa de clases. Se obtuvo una desviaci´on est´andar s = 6, 5 [kg]. ¿Existe evidencia para rechazar la hip´otesis nula “El peso de las estudiantes femeninas tiene una varianza mayor o igual a 5 [kg]” al 5 %? 5. Conoce la distribuci´on F y realiza test de hip´otesis para la comparaci´on de dos varianzas. Problema 1. El estad´ıstico usado para la comparaci´on de varianzas de dos poblaciones normales sigue una distribuci´on F o de Fisher. Esta distribuci´on F = F (n, m) tiene dos par´ametros: n los GL del n´umerador y m los GL del denominador. a) Si anotamos F (n, m, α) el valor z tal que P (F (n, m) ≥ z) = α, explique el significado de la f´ormula F (n, m, α) = 1/F (m, n, 1 − α). b) Usando una tabla encuentre F (10, 15, 0,99). Problema 2. [66] Supongamos que tenemos dos marcas de ampolletas A y B. El tiempo de vida de las ampolletas A sigue una distribuci´on normal de media µa y varianza σa2 y la vida de las ampolletas B sigue una normal de media µb y varianza σb2 . A partir de un experimento se han obtenido los siguientes datos: x ¯a = 1200 hr, sa = 60 hr, na = 17, x ¯b = 1300 hr, sb = 50 hr, nb = 21.

275

a) Haga un test para la hip´otesis H0 : σa = σb versus Ha : σa > σb . b) Haga un test para la hip´otesis H0 : σa = σb versus Ha : σa 6= σb . Comente. 6. Aplica el Teorema Central del L´ımite para aproximar la proporci´on muestral de una poblaci´on binomial. Problema 1. Una de las formas que toma el teorema central del l´ımite, es que la distribuci´on de la proporci´on muestral pˆ de una muestra de tama˜no n de una poblaci´on binomial de par´ametro p, se aproxima a la distribuci´on normal de media p y varianza p(1 − p)/n a) Indique en qu´e sentido es esta aproximaci´on. b) Desde el punto de vista pr´actico, ¿qu´e valores de n se consideran grandes para hacer v´alida la aproximaci´on? ¿Depende su respuesta de p? ¿Por qu´e? 7. Construye intervalos de confianza para la proporci´on de una poblaci´on. Problema 1. [48] Se desea hacer un estudio para determinar la intenci´on de voto de un cierto grupo de votantes. Se quiere que el largo del intervalo de confianza para la proporci´on de votantes por el primer candidato sea de 0, 06. a) ¿Cu´antas observaciones se deber´ıa hacer? Suponga que p = 0, 5 pues se sabe que la elecci´on ser´a estrecha. b) Si la proporci´on p es distinta de 0, 5, ¿habr´ıa que aumentar el n´umero de observaciones? 8. Realiza test de hip´otesis para la proporci´on de una poblaci´on. Problema 1. En la realizaci´on de encuestas de intenci´on de voto entre dos candidatos a veces se llega a la conclusi´on que, si bien un candidato obtiene m´as preferencias que otro, existe un “empate t´ecnico”. Explique con detalles el significado de esta expresi´on. Problema 2. [2] El director de una instituci´on educacional dice que sus estudiantes son tan inteligentes que la mitad de ellos tiene un CI de 140 o m´as. Basado en estos antecedentes presenta un proyecto a una agencia para obtener fondos. Como la agencia no estaba segura de los dichos del director, realiza un estudio y selecciona al azar a 50 estudiantes a los cuales les administra el test CI. Se obtiene la siguiente distribuci´on muestral: CI

Frecuencia

110-119

4

120-129

12

130-139

19

140-149

11

150-159

4

276

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 3

a) Escriba la hip´otesis nula y la alternativa para este problema. b) ¿Cu´al es su conclusi´on con un nivel de significaci´on del 5 %? c) Suponga que el tama˜no de la muestra sea de solamente 10 estudiantes, ¿podr´ıa repetir el an´alisis hecho en b)? Explique. 9. Investiga algunos aspectos hist´oricos de la estad´ıstica Problema 1. Investigue sobre las contribuciones de Ronald Fisher a la estad´ıstica. Problema 2. Investigue y escriba sobre el marco cultural en el que se forma y se desarrolla el trabajo de Fisher. Investigue sobre eventos cient´ıficos que estaban ocurriendo en Inglaterra en el per´ıodo en que vivi´o Fisher. Problema 3. Averig¨ue qui´en desarroll´o la distribuci´on t de Student.

277

Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 4

Nivel 4 Enunciado. En este nivel el estudiante se introduce en el tema de estudios experimentales. Comprende el An´alisis de Varianza (ANOVA) en el caso de un factor y lo aplica para comparar resultados de experimentos. El estudiante reencuentra el m´etodo de m´ınimos cuadrados, pero ahora desde el punto de vista de la inferencia estad´ıstica. Comprende los supuestos que permiten determinar la distribuci´on de los par´ametros de una regresi´on. Construye intervalos de confianza para los par´ametros y el coeficiente de correlaci´on de la regresi´on. Realiza test de hip´otesis para e´ stos. Deduce las f´ormulas para los coeficientes de una regresi´on m´ultiple usando criterio de minimizaci´on e interpreta geom´etricamente, conectando con el eje de Algebra Lineal. Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los est´andares de este nivel cuando el estudiante: 1. Analiza los resultados de un An´alisis de Varianza con un factor (ANOVA). Problema 1. [2] Para cada una de las siguientes situaciones encuentre el valor-p para un ANOVA con un factor: a) El valor observado del estad´ıstico F es 3, 2 y la distribuci´on nula es una F (6, 15). b) El valor observado del estad´ıstico F es 1, 7 y la distribuci´on nula es una F (5, 10). c) El valor observado del estad´ıstico F es 7, 0, I = 3 y n = 24. d) El valor observado del estad´ıstico F es 7, 0 y se asign´o 6 sujetos elegidos al azar a cada uno de los 4 grupos de tratamientos. Problema 2. [2] Un an´alisis de varianza para comparar varios m´etodos de lavado de una cierta tela entreg´o un valor para F = 25, 5 basado en 3 y 6 grados de libertad. a) ¿Cu´antos m´etodos de lavado se est´an comparando? b) ¿Cu´antos observaciones (pedazos de tela) fueron consideradas? c) ¿Son los resultados estad´ısticamente significativos a un nivel de significai´on del 1 %? Explique.

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2. Realiza un An´alisis de Varianza con un factor. Problema 1. [2] Un investigador estaba interesado en medir el efecto de la privaci´on del sue˜no en la habilidad de detectar objetos en movimiento en una pantalla. Un total de 20 sujetos estuvieron disponibles para el estudio. Los primero 5 elegidos aleatoriamente fueron asignados al Grupo I (4 horas sin dormir), los siguientes 5 fueron asignados al grupo II (12 horas sin dormir), los siguientes 5 fueron asignados al grupo III (20 horas sin dormir) y los u´ ltimos 5 asignados al grupo IV (28 horas sin dormir), todos elegidos de manera aleatoria. Despu´es de estas horas sin dormir, los sujetos fueron sometidos a una prueba donde se anot´o cada vez que fallaron en reconocer un objeto en movimiento en la pantalla. Los resultados del experimento est´an indicados en la tabla siguiente: 4 horas

12 horas

20 horas

28 horas

36

38

46

76

21

45

74

66

20

46

67

62

26

22

61

44

21

40

59

61

a) ¿Es este un estudio observacional o experimental? b) Identifique y d´e nombre a la variable explicativa y a la variable respuesta. c) Se dice que cada uno de los individuos fu´e asignado al azar en cada grupo. Indique un m´etodo para hacer esto y real´ıcelo. d) Establezca la hip´otesis nula y la alternativa. e) De acuerdo a los datos ¿se rechaza la hip´otesis nula, si se considera un nivel de significaci´on del 1 %? Problema 2. [2] Un experto nutricionista toma a 18 ciclistas profesionales y los asigna al azar en 3 grupos de 6 cada uno. El grupo B recibe un suplemento vitam´ınico y el grupo C recibe una dieta de alimentos sanos. El grupo A se alimenta de manera normal. Despu´es de tener a estos deportistas con las dietas indicadas por un cierto per´ıodo, el experto mide el tiempo que le toma a cada uno de los ciclistas recorrer 9 kms. Se observan los siguientes datos: Grupo A

Grupo B

Grupo C

19

16

12

18

12

15

16

14

12

18

15

14

14

14

10

17

13

13

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Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Nivel 4

Establezca la hip´otesis nula y la alternativa y conduzca un an´alisis de varianza con un factor usando α = 0, 01. Realice todos los c´alculos y obtenga una conclusi´on. 3. Conoce la distribuci´on muestral de los par´ametros de una regresi´on lineal simple y la aplica para construir intervalos de confianza. Problema 1. Para hacer inferencia estad´ıstica en los par´ametros de una regresi´on lineal se requiere de ciertas hip´otesis. Para satisfacer dichas hip´otesis indique cu´al de la siguientes debe ser verdadera: a) La variable explicativa debe seguir una distribuci´on normal. b) La media de los residuos debe ser cero. c) El histograma de frecuencias de los residuos debe ser sim´etrico. d) El histograma de frecuencias de los residuos debe tener dos m´aximos equidistantes del origen. e) La variable explicada debe tener media cero. Problema 2. La ley de Ohm establece que la corriente I en un cable met´alico es proporcional a la diferencia de potencial aplicada en los extremos del cable e inversamente proporcional a la resistencia R del cable. En un laboratorio de un establecimiento secundario se realizaron varios experimentos para estudiar esta ley. Se vari´o el voltaje y en cada caso se ley´o la corriente de un instrumento. El problema era determinar el valor de la constante R. De la relaci´on escrita arriba tenemos I =0+

V . R

Los datos experimentales obtenidos fueron: Voltaje [V]

0.5

1.0

1.5

1.8

2.0

Corriente [I]

0.52

1.19

1.62

2.00

2.40

a)

Haga un gr´afico con los datos. ¿Existe alg´un punto at´ıpico u outlier?

b)

Encuentre el ajuste de m´ınimos cuadrados. ¿Cu´al es valor estimado para 1/R?

c) Encuentre un intervalo de confianza para 1/R al 95 %. d) En el modelo f´ısico β0 = 0. Calcule el estad´ıstico t para esta hip´otesis y d´e su valor-p. e) Como β1 = 1/R, encuentre un intervalo de confianza para R al 95 %. f ) Indique cu´ales son las hip´otesis que se tiene en cuenta para obtener las distribuciones de los estad´ısticos usados arriba. ¿Cree que en este caso se cumplen las hip´otesis? Explique.

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4. Realiza test de hip´otesis para los par´ametros de una regresi´on. Problema 1. Los estudiantes de un curso introductorio de estad´ıstica tomaron un test de entrada para medir su conocimiento matem´atico previo. El resultado de este test X se usa para predecir la nota del examen final en estad´ıstica Y . La regresi´on estimada es Y = 10,5 + 0,8X, el error est´andar de βˆ1 es 0,38 y el tama˜no de la muestra es 55. ¿Existe evidencia suficiente para afirmar que la nota del examen de diagn´ostico no afecta a la nota final de estad´ıstica? 5. Realiza test de hip´otesis para el coeficiente de correlaci´on. Problema 1. [48] En un estudio realizado en el pueblo egipcio de Kalama, se examin´o la relaci´on entre varias variables socio econ´omicas familiares y el peso de los ni˜nos al nacer. a) La correlaci´on entre el ingreso mensual y el peso al nacer que se encontr´o fue de 0,39 con una muestra de 40 individuos. Calcule el estad´ıstico t para un test de la hip´otesis nula que la correlaci´on en la poblaci´on es 0. b) Los investigadores esperaban que mayores pesos al nacer estaban asociados a m´as altos ingresos. Exprese este concepto en la hip´otesis alternativa. c) Determine el valor-p para H0 versus la hip´otesis dada en b). Comente. 6. Deduce las f´ormulas para los estimadores de los coeficientes en Regresi´on Lineal. Problema 1. Encuentre los estimadores para los par´ametros de una regresi´on planteando y resolviendo el problema de minimizaci´on correspondiente: a) En el caso de una regresi´on simple. b) En el caso de una regresi´on m´ultiple. En este caso use notaci´on matricial para plantear el problema y para expresar la soluci´on final. Problema 2. Use proyecciones para interpretar el problema de regresi´on m´ultiple. 7. Averigua sobre el aporte de Gauss al problema de m´ınimos cuadrados. Problema 1. Averig¨ue qui´en propuso por primera vez el ajuste de datos mediante m´ınimos cuadrados ¿Qu´e problemas se encontraba estudiando?

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Matem´atica .:. Estad´ıstica .:. Bibliograf´ıa

Nota bibliogr´afica para el eje de Estad´ıstica Para la realizaci´on de los est´andares del eje de Estad´ıstica se consult´o varios textos, los que aparecen en la bibliograf´ıa m´as abajo. Entre estos libros, destaca de manera muy especial el texto de las autoras Martha Aliaga y Brenda Gunderson [2], el cual desarrolla la estad´ıstica de una manera muy did´actica y completa. Tiene la particularidad de introducir el concepto de test de hip´otesis muy temprano, ayudando a la pronta asimilaci´on de este importante tema. Adem´as, el texto en discusi´on, tiene aplicaciones de herramientas tecnol´ogicas modernas. Sin lugar a dudas, este libro es muy adecuado para servir de apoyo en una implementaci´on curricular. Otro texto que tiene muy buenas caracter´ısticas es el de Moore y McCabe [48]. Su presentaci´on es muy acorde con los est´andares aqu´ı desarrollados.

Sugerencias para la implementaci´on curricular Los est´andares de Estad´ıstica, que hemos presentado m´as arriba, no contemplan la utilizaci´on de paquetes estad´ısticos de manera expl´ıcita. Sin embargo, en una implementaci´on curricular esto es absolutamente necesario. Los alumnos deben familiarizarse con un paquete estad´ıstico que le permita manejar los datos y obtener los an´alisis que son requeridos. Adem´as es necesario, que durante el desarrollo de los contenidos, los alumnos dise˜nen estudios estad´ısticos, ya sea sobre datos conocidos o generando sus propios datos. La elecci´on de temas para la realizaci´on de estudios estad´ısticos deber´ıa privilegiar los asuntos de educaci´on. Esto permite, adem´as de desarrollar la estad´ıstica, conocer y discutir sobre problemas de la educaci´on propiamente tal. Estos estudios estad´ısticos pueden abordarse en el contexto de un seminario.

Bibliograf´ıa para el eje [2] Aliaga, Martha y Gunderson, Brenda, Interactive Statistics. Second edition. Prentice Hall, 2003. [34] Johnson, Robert, Elementary Statistics Second edition. Duxbury Press, 1976. [47] Miller, Irwin y Freund, John, Probability and Statistics for Engineers. Prentice Hall, Inc. 1965. [48] Moore, David y Mc Cabe, George, Introduction to the Practice of Statistics W. H. Freeman and Company. 1989. [66] Yamane, Taro, Statistics. Harper & Row and John Weatherhill, Inc. Second edition, 1969.

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Matem´atica .:. Bibliograf´ıa

Bibliograf´ıa Referencias [1] Ahlfors, Lars V., Complex Analysis, Third Edition, Mc Graw-Hill Inc., 1979. [2] Aliaga, Martha y Gunderson, Brenda, Interactive Statistics. Second edition. Prentice Hall, 2003. [3] Andrews, G. E., Number Theory. Dover Pub. Company, N. Y. 1971. [4] Apostol, T. M., Introduction to Analytic Number Theory. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, N. Y. 1976. [5] Ara´ujo, Paulo Ventura, Geometria Diferencial, Colec¸a˜ o Matem´atica Universit´aria, Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada, CNPq, 1998. [6] Ash, Carol, The Probability Tutoring Book, Wiley Interscience, 1993. [7] Bak, Joseph y Newman, Donald J., Complex Analysis, Second Edition, Springer-Verlag, New-York, 1997. [8] Blumenthal, Leonard, A Modern View of Geometry. W. H Freeman and Company, 1961. [9] Brand, Louis, Differential and Difference Equations, John Wiley and Sons, 1966. [10] Braun, Martin, Differential Equations and Their Applications. Springer, 1992. [11] Burger, E. B. y Starbid, M., The Heart of Mathematics, an Invitation to Effective Thinking, Key College Publishing, in cooperation with Springer-Verlag, N. Y. 2000. [12] Burton, David, Introduction to Modern Abstract Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1967. [13] Courant, Richard y John, Fritz, Introduction to Calculus and Analysis. Volume I, Springer Verlag, 1989. [14] Courant, Richard y Robbins, Herbert, What is Mathematics? Oxford University Press, 1996. [15] Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry, Second Edition, Wiley Classics Library Edition, 1989.

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Matemática Estándares para la formación en Ciencias de profesores de Enseñanza Media