Filial Chiclayo

NOCIONES BÁSICAS DE CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto de los Números Cardinales (IN0): 1. Definición

Es el conjunto de los Naturales, incluyendo el cero.

IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen las mismas propiedades y características que en los Naturales. Conjunto de los Números Enteros (Z):

1. Definición

Son los enteros positivos, los negativos y el cero. = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Es decir +

: es el conjunto de los enteros positivos

-

: es el conjunto de los enteros negativos

2. Recta numérica de los enteros

3. Valor absoluto o Módulo de un número entero ( l l )

1

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4. Operatoria en Z

Cuando trabajes con números positivos y negativos a la vez, debes prestar atención a los signos y las reglas de la operación. Vamos a representar dos números cualesquiera por a, b . Entonces: a) Adición (suma)

a + b. (importante:

)

Caso 1: Suma de enteros de igual signo: Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.

Ejemplo: –7 +–15 = -22

Esta suma también se pudo haber presentado por –7 – 15 = -22

Caso 2: Suma de enteros de distinto signo: Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplo: -20 + 4 = –16 O bien:

4 –20 = –16

b) Multiplicación y/o división Se deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a la siguiente regla: Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo. Caso 2: Signos distintos: el producto (o división) es negativo.

Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:

c) Sustracción (resta)

a–b

La diferencia se transforma en la adición: a – b = a + (-b).

Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a al opuesto de b.

2

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Después de esta transformación, se aplican las reglas operatorias de la adición.

Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23 Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34 Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19 Conjunto de los Números Racionales (Q): 1. Definición

Es el conjunto de todos los números que pueden escribirse como fracción

a: Numerador;

b: Denominador (b

0);

y

donde:

k: Cuociente

Ejemplos de racionales: Pertenecen al conjunto de los racionales Q:



El cero; que se puede escribir como

   

Los números enteros positivos y negativos Las fracciones comunes; Los decimales finitos; y Los decimales infinitos: periódicos o semiperiódicos

2. Números decimales

Todo número racional se puede escribir como número decimal. Un número decimal se obtiene al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción. Caso 1: Decimales finitos: Tienen una cantidad limitada de dígitos decimales. Ejemplo: 3,75. Caso 2: Decimales infinitos periódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos decimales, y tienen el período inmediatamente después de la coma decimal. Ejemplo

Período 43.

Caso 3: Números decimales infinitos semiperiódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos decimales y tienen, después de la coma el anteperíodo y luego el período. Ejemplo

Antiperíodo 5 y período 24.

3

Filial Chiclayo

3. Aproximación decimal Con frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchas cifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible realizar una aproximación decimal. Caso 1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, se aumenta en una unidad el dígito anterior.

Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:

Caso 2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva el dígito anterior. Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda:

En este caso, el primer dígito a desechar es 1, que es menor que 5. Esto hace que el último dígito a conservar, es decir el 4, quede igual.

5. Fracciones equivalentes (iguales)

Sean

4

Filial Chiclayo Esto es, dos fracciones son equivalentes solo si el producto del denominador de una por el numerador de la otra es igual al producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda fracción (producto cruzado).

Ejemplo: ¿Son las fracciones

y

equivalentes?

Planteando que:

La igualdad es falsa. Por lo tanto, las fracciones dadas no son equivalentes. 6. Operaciones con números racionales

Sean a, b, c y d distintos de cero.

Suma:

Ejemplo

Resta:

Ejemplo

Producto:

Ejemplo

División:

Ejemplo

Importante: Es conveniente trabajar la división de fracciones como producto (multiplicación) de fracciones, por las opciones de simplificación que pueden presentarse.

^

Conjunto de los Números Irracionales (Q ): Es el conjunto de los números que no pueden escribirse como fracción a/b, siendo a y b enteros, con b

.

Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. En general son irracionales todas las raíces cuadradas de enteros positivos que no son cuadrado de otro entero. Ejemplo 1: El número es irracional, puesto que = 1,414213562... Este es un número de infinitas cifras decimales, sin que presente un período o semiperíodo. Por lo tanto, es imposible expresarlo como una fracción y es más cómodo expresarlo simplemente como .

Ejemplo 2: El número π es irracional, puesto que π = 3,141592654... y no es posible expresarlo como fracción.

5

Filial Chiclayo Por este motivo es más cómodo expresarlo simplemente como π.

Ejemplo 3: El llamado “número áureo”

1,618033989…es otro irracional, que se simboliza por

En la época de Platón (428 - 347 A.C.) ya se conocían algunos números irracionales tales como:

.

,

,

,

,

, y otros tantos, pero su origen parece remontarse a los tiempos de Pitágoras, a mediados del siglo VI A. C. En una de sus obras, Platón relata la conmoción que habría generado en la comunidad pitagórica la aparición de números que no se ajustaban a las bases de sus creencias místicas (basada en los números enteros) y a una geometría (aún imperfecta) que consideraba que las figuras geométricas estaban constituidas por un número finito de puntos. Conjunto de los Números Reales (IR): 1. Definición Es el conjunto resultante de la unión de los Racionales con los Irracionales. Lo que hoy conocemos como toda la recta numérica.

Pertenecen al conjunto de los Reales IR:

   

El cero, los enteros positivos y negativos; Las fracciones; Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y Los irracionales

Lo anterior se resume en el siguiente diagrama:

6

Filial Chiclayo

2. La Recta Real Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ello se destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), se sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos a su izquierda.

Los números reales se sitúan sobre la recta valiéndose de construcciones geométricas o bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa). PARA PRACTICAR EN CLASE 1.

(2 3

3 2 : 3) 15 2

2.

( 2 * 5 2 * 7 5 * 3) (2 * 5 ( 4))

3.

625 : 25

4.

65 : -13 9 * 7 -(2 * 8 - (-3) 4 ( 2)4 )

2 25

- - 7 + -2

3

2

62

8 9 : 3 ( 1)3

÷ -1

5

+ -4

2

÷ -2

4

+ 3 -125 ÷ 4 625

5.

1

1 2

1

5 2 5 6

1 3 1 6

3

6.

1 3 2

1 7 : 2 2

1

7.

1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 1 1 1 3 3

3

1 2

2 4

2 3

7

Filial Chiclayo 1 1 5

8.

2 5

1 1 4 1 2

9.

1 4 3

1 3 7 2

1 1 5 2

1 2

En un seminario de administración asisten 1,400 personas, los 3/7 del total son mujeres . Determinar la cantidad de hombres que asistieron al seminario.

10. Carla gasta su dinero de la siguiente manera: en un par de zapatos los 3/4 ; en un pantalón 1/7 de lo que queda; en un reloj 2/3 del nuevo resto, quedándole al final S/. 20 ¿Con cuánto dinero contaba Carla?

PROBLEMAS PARA LA CASA

12 :

1 1 3 8:

11. 12.

1 5

5 2

1 1 2

2

5 1

1 2 2 1 4

13. Se retiran de un depósito de libros los 2/3 de su contenido; en una segunda operación se sacan los 2/5 del resto; y por último se extrae los 3/7 del nuevo resto, quedando al final 8 libros. Determina la capacidad del depósito.

14. Una deuda de S/. 3,600 debe ser cancelada por 12 personas en partes iguales; pero como algunos son insolventes cada persona restante debe pagar 1/3 más de lo que corresponde para cancelar la deuda ¿Cuántas personas no pagaran?

15. Cuatro socios forman una empresa. El primero aporta 2/5 del capital; el segundo 4/7 del resto; y el tercero los 6/13 del nuevo resto. Hallar cuanto aportó el cuarto socio del capital.

8

Filial Chiclayo DIVISIBILIDAD Son reglas que al aplicarlos a los números naturales, nos permiten determinar si son divisibles por ciertos divisores. Si no fueran divisibles, con dichas reglas se podrían determinar los residuos. Múltiplo Un número A es múltiplo de otro B cuando A contiene a B cierto número entero y exacto de veces. Divisores Se dice que un número B es divisor o divide a A, cuando está contenido un número entero y exacto de veces. Si:

A 0

B k

Donde k Z. Se dice que A es múltiplo de B. º

A = BK: A = B Operaciones con los Múltiplos º

º

º

º

1.

a a a

2.

a - a = a

3.

a . a = a

4.

a .K= a

º

º

º

º

º

º

º

º

º

5.

a

º

k (a) = a º

6.

Si 5a = 7 , como 5 no tiene ningún factor común que 7 aparte de la unidad, entonces “a” tiene que ser múltiplo de 7.

7.

Todo número es múltiplo de la base en la cual está escrito, más la última cifra abcde n = n + e

8.

k k ( a + b) = a + b

0

0

0

0

k

a + bk (k es par)

También: (a - b) = 0

a - bk (k es impar) Criterios Divisibilidad Son las condiciones que debe reunir un número para asegurar que es divisible por otro, sin que sea necesario efectuar la división y también para encontrar los residuos. Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. 0

abcd = 2

d = 0, 2, 4, 6, 8

Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco 0

abcd = 5

d = 0, 5

Divisibilidad por 3 ó 9 Un número es divisible por 3 ó 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 ó 9. 0

abcd = 3

0

a+b+c+d = 3

9

Filial Chiclayo 0

0

abcd = 9

a +b c+d= 9

Divisibilidad por 11 0 abc def Si: = 11 0

Entonces: (f + d + b) – (e + c + a) = 11 Divisibilidad por 7

a b cdefghk

0

7

3 1 2 3 1 231 0

Entonces: 3a + b – 2c – 3d – e + 2f + 3g+ h = 7 Divisibilidad por 13 0

a b c d e fgh k

13

43 14 3 143 1 0

Entonces: –4a – 3b + c + 4d + 3e – f + 4g – 3 h + k = 13 OBSERVACIONES: SI A UN NÚMERO SE LE APLICA EL CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR “a” Y ESTA APLICACIÓN NO RESULTA EXACTA, ENTONCES SE OBTENDRÁ UNA CANTIDAD QUE SERÁ EL RESIDUO DE DIVIDIR N ENTRE “a” n

n

Divisibilidad por 2 ó 5 n n n n Un número es divisible por 2 o 5 si sus últimas “n” cifras son ceros o forman un número que sea divisible por 2 o 5 respectivamente. PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Hallar de “a + b”, si: 0

30ab60 = 99

Rpta.

9 0

2.

Hallar “b” si: 89152b = 91 Rpta.

7 0

3.

Si: abba = 63 (b Hallar: “a + b” Rpta.

4.

0)

9

Hallar “a - b” ab1ba

0

44

10

Filial Chiclayo Rpta.

5.

Si: abba Rpta.

5 0

72 . Hallar “a . b”

18

PROBLEMAS PARA LA CASA 0

1.

Hallar “a”, si a 486 = 11 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

0

2.

Hallar “a”, si 5a 4 = 4 A) 0 D) 7

B) 3 C) 5 E) Hay 2 res puestas 0

3.

Hallar “a” si 2a3a5 = 7 + 6 A) 2 D) 6

B) 5 E) 6

C) 4 0

4.

Hallar ab si: 2ab532 99 A) 42 D) 23

5.

B) 24 E) N. A

C) 32

0

Hallar “a”si: 7a 3a 7

9

A) 1 D) 6

C) 5

B) 3 E) 7

11

Filial Chiclayo NÚMEROS PRIMOS Estudia los posibles divisores de un número (N). Esta división debe ser por lo general exacta. Un número es PRIMO ABSOLUTO, cuando tiene sólo dos divisores que son el mismo número y la unidad Ejemplo: 1 2

1 ;

2

3

1 ;

1

5

;

3

1

7

5

; 23 23

7

; etc.

Un NUMERO COMPUESTO, cuando tiene más de dos divisores Ejemplo: 6 sus divisores son: 1, 2, 3, 6 15 sus divisores son: 1, 3, 5, 15 20 sus divisores son:1, 2, 4, 5, 10, 20 Los Números Primos Entre Sí (PESI) Llamados también relativos, se denomina así al conjunto de números que tienen como único divisor común a la unidad. Métodos para Reconocer si un número es o no Primo Se obtiene la raíz cuadrada por exceso del número Se divide el número entre todos los números primos. Menores o iguales que su raíz cuadrada por exceso y sin ninguna de las divisiones resulta exacta, el número es primo Aplicación – Determine si 97 es o no número primo – Determinar si 173 es o no número primo Formulas Usuales Número de Divisores: (N°D) Sea N = a . b . c ........ Entonces . N°DN = ( + 1)( + 1)( + 1) ......... . Ejemplos: 1. ¿Cuántos divisores tiene 540? 2. Hallar el número de divisores de 588 000 Suma de Divisores de un número: (SD) Sea N = a . b . c ........ Entonces: . SDN = a

1

1 b

a 1

1

1

b 1

1

c c

1 1

...... .

Ejemplos: 1. Hallar la suma de divisores de 540 2. La suma de todos los divisores de 2160 es: Producto de los divisores de un número: Sea N = a . b . c ........ Entonces:

PD(N) =

O También: PD(N) = N

N(

1)(

1)(

1).....

N D( N )

. PD N

N

N ºD N 2

.

12

Filial Chiclayo Ejemplos: 1. Hallar el producto de los divisores 2. Hallar el producto de todos los divisores de 36. Suma de las inversas de los divisores de un número “N”: (SI N) . SI(N) =

SD N N

.

Ejemplos: Determinar la Suma de las Inversas de los divisores de 540 El indicador de un número “N”( (N)); son indica la cantidad de números menores enteros que N que son primos con N. Sea N = a . b . c ........ Entonces: -1 -1 -1 . (N) = a .b .c ...............(a – 1)(b - 1)(c - 1) . Ejemplos: 1. Sea el número 180 ¿Cuántos números con primos con el y son también menores que él? Conceptos Adicionales: Divisor propio: Son todos aquellos divisores menores que él mismo Ejemplo: 12, divisores propios {1; 2; 3; 4; 6} Números perfectos: Son aquellos números cuya suma de sus divisores es igual a él mismo Ejemplo:: 6 28 Número defectuoso: Son aquellos números que cumplen con la condición que las sumas de sus divisores son propios son menores que él mismo. Ejemplo: 35 Números abundantes: Llamados también, son aquellos cuya suma de divisores propios es mayor que él mismo. Ejemplo: 20 Número amigos: Sea N1 N2 los números. Serán amigos si la suma de divisores propios de N 1 es igual a N2 y viceversa. Ejemplo: 220 284 PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Si: ab es un número primo ¿Cuántos divisores tiene el número ababab ? Rpta. 32

2.

Hallar la suma de las cifras del menor número impar de 20 divisores Rpta. 18

3.

¿Cuál es el menor número por el cual hay que multiplicar a 120, para que el producto tenga 30 divisores? Rpta. 6

4.

Hallar el número de 3 cifras, cuyos factores primos son sus 3 cifras. Dar el valor de la cifra de las centenas. Rpta. 3

5.

¿Por cuánto números compuestos es divisible el número 8200? Rpta.

20

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

¿Cuántas veces hay que multiplicar a 40 por 50 para que tenga 64 divisores más? A) 1

B) 2

C) 3

13

Filial Chiclayo D) 4

2.

E) 6

Si: N = 13

n+2

A) 3 D) 6

3.

B) 4 E) 7

B) 3 E) 15

C) 9

¿Cuántos divisores compuestos tienen el número 360? A) 20 D) 18

5.

C) 5

Indicar la suma de cifras del número de divisores de 600

A) 6 D) 12

4.

n

– 13 tiene 75 divisores compuestos, hallar el valor de n

B) 21 E) 19

C) 22

Determinar el número de divisores pares del numeral 360 A) 45 D) 65

B) 40 E) 70

C) 18

MCD, MCM

Mínimo y Múltiplo (MCM) El MCM de varios enteros es el menor número entero positivo que sea divisible entre cada uno de ellos. Máximo Común Divisor (MCD) El MCD de varios enteros positivos, es el mayor número entero que sea divisor de cada uno de ellos. Ejemplo: Divisores 1; 2; 4 ; 8 1; 2;

4 ; 6; 12

MCD(8; 12)

Números 8

Múltiplos a; 16; 24; 32; ....

12

12; 24; 36 ........ MCM(8, 12)

Métodos par hallar el MCD y MCM a.

Por Descomposición Canónica El MCM es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente El MCD es igual al producto de los factores comunes extraídos de menor exponente Ejemplo: Dados los números 5 4 2 A=2 .3 .7 4 6 6 B=2 .3 .7 .5 5 6 6 MCM(A, B) = 2 . 3 . 7 . 5 4 4 2 MCD(A, B) = 2 . 3 . 7

b.

Por Descomposición Simultanea El MCD es igual al producto de los factores comunes El MCM es igual al producto de los factores comunes y no comunes extraídos Ejemplo:

14

Filial Chiclayo Hallar el MCM, Y MCD de 45; 150 y 120 45 – 120 – 150 15 – 40 – 50 3 – 8 – 10 3 – 4– 5 3 – 1– 5 1 – 1– 5 1 – 1–..... 5 1 – 1 – .. . . . 1 c.

3 5 2 2 2 3 5

MCD MCM

3.5

15

23 . 32 .52

1800

Métodos de Divisiones Sucesivas o Algoritmo de Euclides Nos permite calcular el MCD de dos números Sean los números A y B (A > B)

Ejemplo: Hallar el MCD de 125 y 13

Propiedades: 0

1.

Si: A = B MCD (A, B) = Número Menor MCM (A, B) = Número Mayor

2.

Si: A y B son PESI MCD (A, B) = 1 MCM (A, B) = A . B

3.

Si MCM (a, b, c) = M Entonces: MCM(ak; bk; ck) = Mk MCM(a/k; b/k; c/k) = M/k

4.

Si: MCD (a, b, c) = N Entonces: MCD(ak; bk; ck) = Nk MCD(a/k; b/k; c/k) = N/k

5.

Si: MCD (A, B) = d A/d = q1 B/d = q2 Donde: q1 q2 son PESI Entonces: A = dq 1 B = dq2

15

Filial Chiclayo 6.

Para dos números A y B MCM (A, B), MCD (A, B) = A . B

7.

Para dos números A y B MCM(A, B) = MCD (A, B) . q1 . q2

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) Condiciones: 1° Es divisor común a los números dados 2° Es el mayor posible Ejemplos: 1. Sean los números: 30 y 45 30 , 3, 5, 6, 10, 15, 30 45 1, 3, 5, 9, 15, 45 1° Divisores comunes: 1; 3; 5; 15 2° El mayor es 15 MCD (30, 45) = 15 2.

Sean los números: 24 y 40 24 1, 2,3, 4, 6, 8, 12, 24 40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 1° Divisores comunes: 1, 2, 4, 8 2° El mayor es 8 MCD (24, 40) = 8

Propiedad “Todos los divisores comunes de los números dados son también divisores del M.C.D de estos números” Determinación de MCD 1°

Por Factorización Individual De cada número dado , realizar su descomposición canónica y tomar únicamente los factores comunes con su MENOR EXPONENTE Ejemplo: Sean A, B y c descompuestos en sus factores primos. 3 2 3 A=2 .3 .5 .7 4 2 3 3 2 8 B = 2 . 5 . 7 . 11 MCD = 2 . 5 . 7 5 4 2 2 C = 2 . 5 . 7 . 13

2º

Por Factorización Simultánea Ejemplo: Hallar MCD de 2100, 2520 y 840.

3º

Por Divisiones Sucesivas: (Algoritmo de Euclides) Ejemplo: Calcule el MCD de 611 y 182 1° Se divide el mayor entre el menor y se colocan en el gráfico siguiente:

Se sigue con este proceso hasta que la división sea exacta (r = 0)

Ejemplo: Hallar el MCD de 1534 y 403 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) Condiciones 1° Es el múltiplo común a los números dados 2° Es el menor posible

16

Filial Chiclayo

Ejemplos: 1. Sean los números 9 y 6 9 9, 18, 27, 36, 45, 54, ..................... 6 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...................... 1° Múltiplos comunes: 18, 36, .................... 2° El menor es 18 MCM (9 y 6) = 18 2.

Sean los números 6, 12 y 18 6 6, 12, 18, 24, 36, 42, .................. 12 12, 24, 36,48, 60, 72, 84, ................ 18 18, 36, 54, 72, 90, 108, ................ 1° Múltiplos comunes: 36, 72, 108 ................ 2° el menor es 36 MCM (6, 12, 18) = 36 Propiedades “Todos los múltiplos comunes de los números dados son también múltiplos del mcm de esos números” Determinación de MCM 1°

2°

Por Factorización Individual Luego de realizar la descomposición canónica, se toman todos los factores pero con su MAYOR EXPONENTE. Ejemplo : Sean los números A, B y C descompuestos en sus factores primos. 3 5 4 A=2 .3 .5 2 3 5 2 4 5 5 2 3 B=2 .3 .5 .7 MCM (A, B , C )= 2 . 3 . 5 . 7 . 11 4 3 3 C = 2 . 5 . 11 Por Descomposición Simultánea Ejemplo: Hallar el MCM de 2100, 2520 y 420

PROPIEDADES GENERALES 0

1.

Si: A = B

MCD (A, B) = B MCM (A, B) = A

Ejemplo: 0

24 = 6

2.

MCD (24, 6) = 6 MCM (24, 6) = 24

Si A y B son números PESI a. MCD (A, B) = 1 b. MCM(A, B) = A. B OBSERVACIÓN: [MCM (A, B.C) = A . B . C]

3.

[A, B, C son PESI 2 a2]

Si en varios números se les divide a cada uno entre su MCD, los cocientes que se obtienen son números PESI. MCD(A, B, C) = d A d

p;

B d

q;

C d

r

son PESI

17

Filial Chiclayo OBSERVACIÓN: SI SE DIVIDE MCM DE VARIOS NÚMEROS ENTRE CADA UNO DE ELLOS, LOS COCIENTES OBTENIDOS SON NÚMEROS PESI

4.

Dados 2 números A y B se cumple que: . MCD (A, B) . MCM (A .B) = A . B .

5.

Si a varios números se les multiplica o divide por una misma cantidad, entonces el MCD y MCM de dichos números quedad multiplicado o dividido por dicha cantidad. MCD(Ak, Bk, CK ) dk c. MCD(A, B, C) = d A B C d MCD , , k k k k MCD(Ak, Bk, CK ) mk

d.

MCM(A, B, C) = m

MCD

A B C , , k k k

m k

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

¿Cuántos divisores tienen el número 120? Rpta.

2.

La menor distancia que se puede medir indistintamente utilizando una cinta métrica de 4;10 o 16 metros de largo es: Rpta.

3.

¿Cuál es la mayor longitud de una medida con la que se pueden medir exactamente tres dimensiones 280; 1120 y 1600 metros. Rpta.:

4.

04. ¿Hallar el M.C.D. de: 4 7 6 2 2 A=2 .3 .5 B=2 .3 .7 Dar como respuestas el valor de su última cifra. Rpta.:

5.

La suma de cifras del mínimo común múltiplo de los números 144, 256 y 225 es: Rpta.:

6.

La mayor cifra de M.C.D. de los números 1825; 2625 y 3650; es: Rpta.:

7.

Si el número de divisor es de los números 300 y 16.90 son iguales. Hallar “n”. Rpta.

8.

Tres amigos parten regularmente de la misma ciudad cada 8; 12 y 16 días, respectivamente. La última vez que salieron juntos fue el 16 de octubre de 1998 con la promesa de reunirse los tres en la primera oportunidad para intercambiar información sobre las carreras profesionales a seguir: ¿En qué fecha se produce el encuentro?

n

n

Rpta.: 9.

n

n

Si el M.C.M. de A = 45.60 y B = 45 . 60; es igual a 12 veces su M.C.D. Hallar “n”. Rpta.:

18

Filial Chiclayo 10. El mínimo común múltiplo de dos números es 240 y su M.C.D. es 2; si uno de los números es 16. ¿Cuál es el otro?. Rpta.: 11. La suma de los residuos que se obtienen al calcular el MCD de 924 y 548 por método de las divisiones sucesivas es: Rpta. 12. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son 16, 14 y 12cm. ¿Cuántos de estos ladrillos serán necesarios para formar el cubo compacto más pequeño posible?: Rpta. 13. Se tiene un terreno de forma rectangular cuyas dimensiones son 360m y 280m, se debe parcelarlo en terrenos cuadrados e iguales de tal manera que no sobre ni falte terreno. El número de parcelas que se obtendrán como mínimo es: Rpta 14. Hallar 2 números cuyo MCD es 18 y que tienen 21 y 10 divisores respectivamente. Dar como respuesta la suma de dichos números. Rpta 15. Si el MCD de A y B es 74 y MCD de 7A y 5B es 2590, calcule B si la suma de A y B es 888. Rpta PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

Determinar el MCD es 1240 y 980 por el método de Algoritmo de Euclides. La suma de los cocientes que se obtienen en el proceso A) 9 D) 12

2.

B) 38 E) 84

C) 66

El MCD de dos números es 18 y su MCM es 108. si un o de los números es 36. ¿Cuál es el otro número? A) 60 D) 54

4.

C) 11

Se tiene tres cajas de galletas y granel y se desea empaquetarlas en bolsas plásticas de manera que no sobren de las 270, 390 y 450 galletas que respectivamente hay en las cajas. ¿Cuántas bolsas plásticas como mínimo se necesitan? A) 74 D) 37

3.

B) 10 E) 13

B) 58 E) 52

C) 56

El MCD de dos números es 9. ¿Cuál es su MCM, si el producto de dichos números es 1620? A) 180 D) 58

B) 190 E) 135

C) 45

5. N representa un número entre 50 y 60. el MCD de N y 16 es 8. ¿Cuál es el valor de N? A) 52 D) 58

B) 54 E) 59

C) 56

TEMA: NÚMERO FRACCIONARIO

19

Filial Chiclayo

Concepto Llamados también “Fracciones””, “quebrados”, “números quebrados” o “fracciones racionales”, vienen a ser las cantidades en las cuales la unidad se divide en partes iguales, de las cuales se toman una o más de una. (Fracciones positivas) Notación f

A B

Se lee: “A sobre B”, “A entre B” o “A – B avos”

;

Forma General F=

A B

A; B

;b

0

Nota: Las formas

0 a y ;a 0 0

son formas no determinadas en este nivel, por lo que evitamos su uso.

Estructura

-

a

Numerador

b

Denominador

Numerador: indica el número de partes que se consideran de la unidad. Denominador: Indica el número total de partes en que se ha dividido la unidad, todas ellas iguales.

Nota: Los números fraccionarios dan lugar a un conjunto de números que contiene al conjunto de números naturales (N) y al conjunto de números enteros (Z), conocido como el Conjunto de Números Racionales (Q)

Q

Números Fraccionarios

N Z

N

Z

Q

Clasificación

20

Filial Chiclayo Los números fraccionarios se clasifican: 1) Por las relaciones entre sus términos a. Fracción Propia: Aquella menor que la unidad

(

a b

1

b)

3 7 ; , etc 8 9

Ej. b.

a

Fracción Impropia: Aquella mayor que la unidad.

(

a b

1

a

b)

17 37 ; , etc 5 8

Ej.

OBS. Las fracciones impropias constituyen los números mixtos, es decir, aquellos que poseen parte entera y parte fraccionaria. Ej.

c.

17 5

17 5 2 3

17 5

3

2 5

Fracciones iguales a la unidad: Aquellas donde el numerador es igual al denominador, por lo que el valor de la fracción es igual a uno.

a b

1

a

b

Ej. 18/18; 27/27

2) Las agrupaciones de fracciones: a.

Fracciones homogéneas: Son aquellas que poseen el mismo denominador. Ej.

b.

3 27 9 ;… son fracciones homogéneas ; ; 16 16 16

Fracciones heterogéneas: Son aquellas que poseen diferentes denominadores entre sí. Ej.

7 26 8 … son fracciones heterogéneas. ; ; ; 5 3 81

3) Por la naturaleza del denominador: a.

Fracciones comunes; corrientes u ordinarias: son aquellas que poseen un denominador el cual no es potencia de 10. Ej.

5 30 5 … son fracciones comunes. ; ; ; 8 20 2000

21

Filial Chiclayo

b.

Fracciones decimales: son aquellas fracciones cuyos denominadores son potencia de 10. Ej.

73 42 ; ; … son fracciones decimales 100 10000

4) Por su carácter como número racional a. Fracciones reducibles o reductibles: son aquellas fracciones que poseen divisores comunes tanto en el numerador como en el denominador, distintos de la unidad. Forma general: Si:

a es fracción reductible b

f

mk nk

f

tal que K = MCD (a,b)

K Ej.

30 = 3(10)

;

Como 10 es MCD (30 ; 50)

50 = 5(10)

b.

N- 1

30/50 es fracción reductible

Fracciones irreductibles o irreducibles: Son aquellas fracciones que no posee divisores comunes que no sea la unidad, es decir, los elementos de la fracción son números PRIMOS ENTRE sí (PESI) Forma general:

Si

a b

Ej. c.

es fracción irreductible

a y b son PESI

5 3 8 ; ; ; … son fracciones irreductibles 7 5 9

Fracción equivalente: es aquella fracción que contiene un número de veces a la otra. Ej. 18 y 54 son fracciones equivalentes porque 8 24 18(3) = 54 y 8(3) = 24

MCD Y MCM DE FRACCIONES:

MCD (a /b; c /d; e /f) =

_MCD (numeradores)__ MCM (denominadores)

MCM ( a /b ; c /d ; e / f) = __MCM (numeradores)_ MCD (denominadores) Ejemplo:

22

Filial Chiclayo I)

MCD ( 12 / 8 ; 4 / 3 ; 20 / 5 ) = MCD ( 12; 4; 20 ) = _4_ MCM ( 8; 3; 5 )

2)

120

MCM ( 5 /4 ; 6 /8 ; 14 / 6 ) = MCM ( 5; 6; 14 )__ = _210 MCD ( 4; 8; 6 )

= _1_ 30

= 105

2

Operaciones con fracciones.1) Adición y sustracción

a b

c d

ad bc bd

Ejm.

2 3

4 5

10 12 15

5 4

2 5

15 8 12

4 5

2 .4 3 .5

22 15

7 12

2) Multiplicación

a b

c d

e f

...

ace... bdf ...

Ejm.

2 3

ad Ejm. bc

2 3

8 15

3) División

a b

c d

a b

d c

4 5

2 .5 3.4

5 6

Obs: 1) Número mixto: es aquel originado, a raíz de las fracciones impropias, de la suma entre un número entero y una fracción. Ejm.

2 5/8 = 2

5 8

21 8

2) Fracción de fracción: Es aquella en donde el numerador y el denominador son fracciones.

Ejem.

.

23

Filial Chiclayo PROBLEMAS PARA LA CLASE 3 de la mitad de una torta equivalen a la fracción. 4 Rpta.:

1)

Los

2)

Karina ha bordado ya ½ de una cinta en color amarillo 2/3 de color verde y 1/6 de color rojo le quedan para bordar 8 cm. de cinta. La longitud total de la cinta es: Rpta.:

3)

En una bodega se han vendido la sexta parte, la quinta parte y la décima parte de una pieza de género, quedando un saldo de 120m. ¿Cuántos metros tenía la pieza completa?. Rpta.:

4)

La diferencia entre

1 3

1 1 y 6 6

1 4

es:

Rpta.: 5)

La mitad de

1 1 de 1 es: 4 3

Rpta.: 6)

Hallar el valor de “x”, si:

2

x

3

1 3

1 3

Rpta.: 7)

A un alambre se le hacen dos partes, de modo que cada pedazo sea igual al anterior, aumentado en su mitad. ¿Qué fracción del alambre es el pedazo más grande?. Rpta.:

8)

Un jugador en su primer juego pierde la mitad de su dinero; en el segundo juego pierde un cuarto de lo que le quedaba y en el tercer juego pierde 1/7 del nuevo resto. ¿Qué fracción del dinero inicial le ha quedado?. Rpta.:

9)

¿Cuántas fracciones equivalentes a 60/84 tienen como términos a números pares de dos cifras? Rpta.:

10) Un hombre tenía 30L de agua, los 4/5 los envaso en botellas de ¾ de litro y el resto en botellas de ½ litro. Hallar la cantidad total de botellas. Rpta.:

11) Antonio llego tarde a una conferencia y se perdió 1/7 de ella, 3 minutos más tarde llego José y escuchó los 5/6 de la conferencia. Si la conferencia empezó a las 10 a.m. ¿A que hora terminó? Rpta.: 12) Si es que avanzo los ¾ de un trayecto y luego retrocedo la mitad de lo avanzado, me encontraría a 10m. antes del punto medio del trayecto. Hallar la distancia total del trayecto en metros. Rpta.: 13) En una vasija llena de agua se agrega cierta cantidad de sal, disolviéndola. Se extrae 4/7 del contenido y se reemplaza con agua; luego se retiran 7/11 del recipiente y se vuelven a completar con agua y finalmente se retiran los 5/16 del volumen total. Si al final quedan 21 gr. De sal y asumiendo que la cantidad de agua que se retira ¿Qué cantidad de sal se retiro inicialmente? Rpta.:

24

Filial Chiclayo 14) Un comerciante vende sus pantalones de la siguiente manera: del total que tenía 1/3 mas 4 a S/. 50 cada uno y finalmente vende la mitad de los que le quedaban, mas 4, a S/. 30 cada uno, con lo que se le acaban los pantalones. Hallar la suma de cifras de la cantidad de pantalones y la cantidad de soles que recaudo. Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

1) Una persona entra a una Iglesia con una suma compuesta exclusivamente de monedas de 20 centavos, da a un pobre ½ centavo por cada moneda que tenía y, entonces ocurre un milagro, las monedas que le quedaban se transformaron en monedas de 50 centavos. El devoto gasto luego 7 de estas monedas y regreso a su casa con el doble de lo que tenía antes de llegar a la Iglesia. Determinar la suma primitiva. a) 98 b) 99 c) 100 d) 101

e) 102

2) Un inglés y un alemán beben un barril de cerveza por espacio de 2 horas, al cabo de los cuales el ingles se queda dormido y el alemán se bebe lo que queda en 2 horas y 48 minutos. Pero si el alemán se hubiera quedado dormido en lugar del ingles y este hubiera continuado, habría tardado en vaciar el barril cuatro horas y cuarenta minutos ¿Qué parte del contenido del barril bebió en total el alemán? a) 4/5 b) 5/6 c) 1/2 d) 2/3

e) 9/10

3) Jaimito tiene cierto número de cartas para entregar. En el primer distrito por donde pasa deja los 2/3, y luego en el siguiente entrega 400 cartas. En el tercer y último distrito que recorre entrega los 2/7 de los que tenía al inicio, quedando libre para ir a descansar. ¿Cuántas cartas entrego ese día? a) 8000 b) 6000 c) 6200 d) 8400

4)

Una avenida esta plantada en ambos lados de árboles. La décima parte de la longitud lo ocupan cerezo, los 2/9 del resto ciruelos; ½ el nuevo resto perales; 1/3 del nuevo resto manzanas y los 168 metros restantes duraznos. ¿A cuanto asciende el número de árboles plantado, si la distancia entre árbol y árbol es igual a 12 metros? a) 60 b) 61 c) 121 d) 124

5)

e) 7600

e) 122

Un comerciante vende los ¾ de un lote de bolsas de azúcar, mas 1/74 de bolsa; enseguida vende los ¾ del resto mas ¼ de bolsa, después de otras dos ventas hechas en las misma condiciones, el comerciante se queda sin azúcar. ¿Cuántas bolsas habían luego de la primera venta? a) 105 b) 90 c) 30 d) 26

e) 21

25

Filial Chiclayo TEMA: NÚMEROS DECIMALES Concepto.Son las expresiones lineales de las fracciones racionales (como resultado de dividir al numerador de la fracción entre sus denominador).

ab … z , ABC … W

Forma general:

Parte

Parte Aval (decimal o mantisa)

Entera (Característica) Clasificación.-

D. Exacto D. Periódico Racionales (Q)

D. Inexacto

Números

D. semiperiódico

Decimales Irracionales (II)

Irreales (no periódicos)

Trascendentes (constantes matemática Infinitesimales)

Decimales Racionales.I)

Decimal exacto o limitado: Aquel cuya mantisa tiene un número finito de términos. Se origina a partir de una fracción ordinaria equivalente de una fracción decimal. * Fracción generatriz (fg): Es la fracción irreductible que da origen a los decimales racionales.

Forma general:

ab … m , np … Z =

“k1” veces “k2” veces

ab...mnp ...z 10...0

(“k1 + k2” veces)

(“k2” veces)

26

Filial Chiclayo

* En bases otras * En otras

ab...mnp ...z ( z )

ab … m , np … Z(k) =

10...0( k )

(“k + m” veces)

(base K - aval) “k” veces

“m” veces

(“m” veces)

* En otras bases (base K - aval)

Ejm.

10042 100

100,42

5021 50

fracción generatriz.

OBS: 1)

Una fracción común da decimal exacto si su denominador tiene como únicos factores primos al 2 y/o 5. Ejemplo:

2)

33 5

6,6

El número de cifras de la mantisa de un decimal exacto lo da el mayor exponente de los factores 2 y/o 5 que posea el denominador de su fracción generatriz. Ejm.

II)

87 20

87 5 .2 2

4,35

Decimal Inexacto: Aquel cuya mantisa posee un número ilimitado de términos. Puede ser a su vez. a)

Decimal Periódico, Periódico Simple o Periódico Puro: Es aquel decimal formado por una fracción común, cuya mantisa posee términos que se repiten en determinados ciclos o periodos (series de una o más cifras repetidas infinitamente en la mantisa de un decimal).

"

Forma general:

"veces " "veces     abc...z abc...m 999 ... 9

abc ... m, np...z   " "veces

" "veces  

" "veces

periodo

OBS: 1)

Una fracción dará decimal periódico puro si el denominador no posee ni los factores 2; 5 o uno de ello. Ejm:

121 133 2)

121 19.7

D.P.P

El número de cifras de la mantisa lo dará el menor número formado solo por cifras 9 que contienen al denominador (y a sus factores primos), usándose para ello la “tabla de 9” 9 99 999 9999 99999

2

= = = = =

3 2 3 .11 3 3 .37 2 3 .11.101 2 3 .41.271



27

Filial Chiclayo b) Decimal semiperiódico, Periódico Compuesto o Periódico Mixto: es aquella décima cuya mantisa presenta periodo y un grupo de número llamados “parte no periódica”. También es ocasionado por fracciones ordinarias. "

Forma general

abc...g , hi ...z ... m, np   

“ ” veces

Parte

veces " "veces "   abc...z abc...m 999 ... 9900 ... 00      " "veces

Parte periódica (“ ” veces)

No periódica (“ ” veces)

" "veces

OBS: 1)

Una fracción será decimal Periódico Mixto si su denominador posee otros factores primos además del 2 y/o del 5. El número de cifras de la mantisa del decimal Periódico Mixto responde al criterio del número de cifras del decimal exacto (para la parte no periódica) y el del decimal periódico puro (para el periodo).

2)

Propiedades generales de los números decimales.-

1)

Si a un decimal se le corre la coma “k” unidades a la izquierda o derecha, entonces al decimal quedara dividido o multiplicado por una potencia de 10 cuyo exponente sea un número entero que indique el número de casillas que se desplaza la coma respecto de su posición inicial.

2)

Si le sumamos o le restamos ceros a un decimal, su valor absoluto no se alterara

3)

Descomposición Polinómica de Decimales.-

Forma general:

abc ... m, np ...z ( k )     " " veces

ak (

bk (

2)

... mk

" " veces

nk

4)

1)

1

pk

2

... zk

β

Complemento Aritmético de Decimales.-

Forma general:

CA abc ... m, np...z (k ) 10...0( k ) abc ... m, np...z ( k )           " "cifras " "cifras " "cifras

Ejm:

"

1"cifras

" "cifras

CA (0,7) = 1 – 0,7 = 0,3 CA (12,5) = 100 – 12,5 = 87,5

28

Filial Chiclayo PROBLEMAS PARA LA CLASE

 01) Se tiene un decimal periódico 0,5 que está entre dos números periódicos cuya generatriz tiene como denominador 11 y como numerador a dos números impares consecutivos. Hallar la diferencia entre los periodos. Rpta.:

 02) Una fracción es tal que multiplicada por 5 y dividida por 7 da como resultad dos fracciones cuyo producto es 3,8 . Hallar la suma de los términos de dicha fracción irreductible. Rpta.:

Si: a 5

b 11

0.781 Hallar: “a + b”

03) Rpta.: 04) Si S = 3 0,216

 0,4

 0,16

E=

0,1

 2,3 x 0,375

  0,83 : 1,3

Hallar: “E + S” Rpta.:

 05) Dados los números: 0, ab

b

5  y 0, ba 5a 6 6 18 Hallar la tercera cifra decimal que resulta al sumarlos. Rpta.:

06) Sean:

 0,1232323 ... 3,6 E= y 6,777 ... F = 0,01 + R; siendo R=

1,1 2,2 3,3 ... 9,9     1,1 2,2 3,3 ... 9,9

Hallar: E/F Rpta.:

 07) Hallar la fracción equivalente a 2,6 cuyo numerador está entre 106 y 117 y el denominador entre 41 y 44. Dar como respuesta la suma del numerador y denominador de dicha fracción: Rpta.: 08) Si:  4 2,8 9  11 3,7 9

8

K

3,38

0,36 2,27

5 7

1,36 2,02 10 77 9 77

19 23

29

Filial Chiclayo

K 3

Hallar el valor de Rpta.:

09) Si al denominador de una fracción propia e irreductible se le añaden 3 unidades, se volvería equivalente a ½, en cambio si le sumamos 4 unidades al numerador, este se hace igual al denominador ¿Cuántas unidades hay que sumar a ambos términos de la fracción original para que sea igual a 0,81? Rpta.:

10) Un estudiante convierte 2 fracciones generatrices en números decimales y observa que una resulta decimal exacta con 2 cifras decimales y la otra es inexacta periódica pura con 2 cifras decimales en el periodo y exactamente iguales a la anterior. Luego calcula la diferencia entre ellas y se obtiene 2/825. Determinar el numerador común de las fracciones generatrices. Rpta.: 11) Un padre de familia, con el objeto de llevar a su familia al circo, adquiere 3 entradas de adulto y 2 de niño por S/. 2.20. después. Como hubiera invitado a otras personas, adquiere a los mismos precios, seis entradas para niño y 2 de adulto, en S/. 2.40. hallar el precio de una entrada de niño y una de adulto. Rpta.: 12) Un contratista contrata los servicios de un obrero por 36 días, y como no tiene trabajo para todos los días le ofrece S/. 1,25 por cada día que trabaje y S/. 0,50 por cada día que no trabaje. Al cabo de los 36 días el obrero ha recibido S/. 30.00. ¿Cuántos días trabajó y cuántos no trabajó? Rpta.: 13) Se reparte una herencia entre 3 personas. A la primera le corresponden S/. 1245,67; a la segunda el triple de la primera mas S/. 56,89; a la tercera S/. 76,97 menos que a la suma de lo de las otras dos. Si además se han separado S/. 301,73 para gastos, ¿A cuánto ascendía la herencia? Rpta.: 14) Hallar: 1

3

1

n

1

3

1

n

1  y dar como respuesta el producto de sus resultados. 3

Rpta.: 15) Un camión conduce cinco fardos de mercancías, el primero pesa 72,675 Kg.; el segundo, 8 Kg. menos que el primero; el tercero, 6,104 Kg. más que los 2 juntos y el cuarto tanto como los 3 anteriores ¿Cuál es el peso del quinto fardo si el peso total de las mercancías es 960,34 Kg.? Rpta.:

30

Filial Chiclayo PROBLEMAS PARA LA CASA

01)

02)

Hallar 2 fracciones que tengan denominador 13 y por numeradores 2 números consecutivos, que comprendan entre ellas a la fracción decimal 0,15454. dar como respuesta la suma de las fracciones. a) 2/13

b) 3/13 c) 4/13

d) 5/13

e) 9/13

Un muchacho que tiene S/. 0,60 quiere reunir S/. 3,75. Pide a su padre S/. 1,75 y este le da 17 centavos menos de lo que le pide; pide a un hermano 30 centavos y este le da S/. 15 centavos más de lo que le pide. ¿Cuánto le ha costado todo? a) S/. 1,76

b) S/. 3,14

c) S/. 0,90

d) S/. 1,12

e) S/. 2,78

03)

Un hombre se compra un traje, un sombrero, un bastón y una billetera. Esta le ha costado S/. 3,75; el, sombrero le ha costado el doble de lo que le costo la billetera; el bastón S/. 1,78 más que el sombrero y el traje 5 veces lo que costo la billetera ¿Cuánto le ha costado todo? a) S/. 30,12

b) S/.17,90

c) S/. 28,93

d) S/. 15,77

e) S/. 39,28 04)

El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. Menos que el segundo, el segundo 43, 016 Kg. más que el tercero y el tercero, 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en el depósito Dar como respuesta el peso de uno de ellos a) 247,197

b) 266,839

c) 222,318

d) 150,178

e) N.A. 05)

Pedro adquiere cierto número de libros por S/. 46,68. si hubiera comprado 4 mas le habrían costado S/. 77,80 ¿Cuántos libros ha comprado y cuánto ganará si cada libro lo vende por S/. 9,63? a) 6; S/.11,10 b) 8; S/.10 c) 7; S/. 9,8 d) 10; S/. 46,68 e) 30; S/. 77,80

31