Notas de clase. Trabajo de las fuerzas internas J G¨ u´ emez Departamento de F´ısica Aplicada, Universidad de Cantabria, Espa˜ na M Fiolhais CFisUC, Departamento de F´ısica, Universidade de Coimbra, Portugal Marzo 22, 2016 El concepto de fuerzas internas, es decir, fuerzas que se establecen entre las diversas partes componentes de un sistema extenso, gen´ericamente notadas como F~kint , juega un papel poco importante en la ense˜ nanza de la f´ısica [1, pp. 194-196]. Las discusiones en las que interviene este concepto se suelen reducir a indicar que, de acuerdo con la tercera ley P de Newton, la resultante de las fuerzas internas es cero k F~kint = 0, [2, p. 80], sin llegarse P a reconocer que el trabajo realizado por dichas fuerzas, δW int = k F~kint · d~rk puede ser no nulo [3]. P Para un sistema extenso de masa M = k mk , – donde mk es la masa de su k-´esimo componente elemental (no tiene formas internas de acumular energ´ıa, no se deforma, no gira) –, la segunda ley de Newton aplicada a la k-´esima part´ıcula componente del sistema es F~k = mk ~ak , con   F~kint + F~kext dt = mk d~vk , (1) donde la fuerza total F~k aplicada sobre esta part´ıcula es igual a la suma vectorial de las fuerzas, internas F~kint y de las fuerzas externas F~kext aplicadas sobre la misma. Puesto que las fuerzas internas son pares de acci´on-reacci´on, entonces, la suma de P todas las fuerzas internas es nula, k F~kint = 0. Sumando sobre todas las part´ıculas del sistema, se tiene que M d~vcm = F~ ext dt , P que es la segunda ley de Newton para un sistema de part´ıculas, donde F~ ext = k F~kext es el vector resultante de todas las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema, y donde P ~vcm es la velocidad del centro de masas del sistema, definida como ~vcm = k mk~vk /M . Multiplicando (producto escalar) ambos miembros de la anterior ecuaci´on por la velocidad 1

del centro de masas ~vcm , se tiene M ~vcm · d~vcm = F~ ext · ~vcm dt, de donde – con ~vcm · d~vcm = 1 2 dvcm y ~vcm dt = d~rcm – se obtiene 2 1 2 M dvcm = F~ ext · d~rcm . 2

(2)

Es interesante destacar que en esta Ec. (2) el diferencial del desplazamiento del centro de masas d~rcm no es, en general, el desplazamiento de la fuerza externa resultante F~ ext y que en esta fuerza resultante F~ ext pueden entrar tanto fuerzas que realicen trabajo como fuerzas que no realicen trabajo [5] y con diferentes desplazamientos. Por tanto, esta Ec. (2), otra forma de la segunda ley de Newton, no es un teorema trabajo-energ´ıa cin´etica [6], del mismo modo que el producto F~ ext · d~rcm – denominado pseudotrabajo [4] – no es, en general, un trabajo. Para procesos generales realizados sobre un sistema extenso, adem´as de la segunda ley de Newton se necesita el primer principio de la termodin´amica para una descripci´on completa del mismo [6]. En su forma general, el primer principio de la termodin´amica se puede expresar como [7, pp. 101-102] dKcm + dU = δW ext + δQ .

(3)

En esta ecuaci´on, dKcm es la variaci´on de la energ´ıa cin´etica del centro de masas del sistema, informaci´on que se obtiene mediante la aplicaci´on de la segunda ley de Newton al proceso. En la Ec. (3), dU es la variaci´on de la energ´ıa interna del sistema, que incluye, entre otras posibles variaciones, dU = dK int + dΦ + dUξ + dU (T ) + · · · donde dK int es la variaci´on de la energ´ıa cin´etica interna – o energ´ıa cin´etica relativa al centro de masas –, dΦ es la variaci´on de energ´ıa interna debida a interacciones tipo gravitatorio, electrost´atico, etc., dUξ es la variaci´on de energ´ıa qu´ımica interna debido a reacciones qu´ımicas, y dU (T ) como variaci´on de la energ´ıa interna debida a variaciones de temperatura del sistema (por ejemplo, un gas) como un todo, etc. P El trabajo δW ext realizado por las fuerzas externas es la suma δW ext = k F~kext · d~rk de los trabajos realizados por las fuerzas externas aplicadas, expresi´on que no se debe confundir con el producto anterior (pseudotrabajo) F~ ext · d~rcm , para la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema. En la Ec. (3), el t´ermino δQ es energ´ıa intercambiada por calor (es decir, no hay en este caso una fuerza cuyo punto de aplicaci´on se desplaza). En los procesos a describir, por simplicidad, se va a considerar que dU (T ) = 0 (las partes internas del sistema no experimentan variaciones de temperatura) y que δQ = 0 (el sistema no intercambia energ´ıa por calor con el entorno). Tanto las variaciones de energ´ıa interna relacionadas con interacciones gravitatorias o electrost´aticas, como las variaciones de energ´ıa interna relacionadas con reacciones 2

qu´ımicas, se pueden relacionar con el trabajo de las fuerzas internas como, por ejemplo dΦ = −δW int o dUξ = −δW int . Las fuerzas internas permiten tanto intercambiar entre s´ı formas de energ´ıa interna como transformar la energ´ıa interna, o parte de ella, en energ´ıa cin´etica del centro de masas. Para destacar mejor el papel que juega la fuerza resultante de las fuerzas externas, que se incorpora en la segunda ley de Newton, y el papel que juega el trabajo de las fuerzas externas, que se encuentra en el primer principio de la termodin´amica, se van a considerar varios tipos de procesos, dependiendo de que la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre un sistema extenso sea, o no, cero y de que el trabajo realizado por las fuerzas externas sea, o no, nulo. En cada caso, se mostrar´a el papel que juega el trabajo que realizan las fuerzas internas implicadas en el proceso.

1 (a)

di cm

i

i

r

df f

(b)

2

v1

v2 f r int F~1/2

int F~2/1

Figura 1: (a) Dos part´ıculas 1 y 2, inicialmente separadas una distancia di , se mueven bajo la acci´on de fuerzas gravitatorias, alcanzando velocidades v1 y v2 cuando la distancia entre ambas es df . (b) Fuerzas (internas) que act´ uan sobre las part´ıculas en una posici´on gen´erica del proceso.

En la Figura 1 se muestra un esquema de un proceso en el que dos part´ıculas, 1, de masa m1 , y 2, de masa m2 , inicialmente situadas a distancia di interaccionan gravitacionalmente, alcanzando velocidades v1 y v2 , respectivamente, cuando se encuentran a una distancia P P final df . Para este proceso, j F~jext = 0, y j Wjext = 0. Puesto que no hay fuerzas externas, se tiene que dKcm = 0, el centro de masas del sistema no var´ıa ni su velocidad ni su posici´on inicial. Y, puesto que el trabajo externo es nulo, se tiene que dU = dK int + dΦ = 0 . A su vez, la variaci´on de la energ´ıa potencial gravitatoria a lo largo del proceso es igual al (menos) trabajo realizado por las fuerzas internas, −∆Φ = W int , con 

Gm1 m2

1 1 − df di

3



= W int ,

(4)

donde W int =

Z f i

int int F~2/1 · dr1 + F~1/2 · dr2 .

Este trabajo de las fuerzas internas es, a su vez, el responsable de las variaciones de la energ´ıa cin´etica interna del sistema, ∆K int = W int , con 1 1 m1 v12 + m2 v22 = W int , 2 2 y con 1 1 1 1 m1 v12 + m2 v22 = Gm1 m2 − . 2 2 df di La energ´ıa cin´etica interna, producida a lo largo del proceso, proviene de la disminuci´on de la energ´ıa potencial gravitatoria de interacci´on entre las part´ıculas 1 y 2, siendo las fuerzas internas el intermediario, a traves del trabajo que realizan, de esta transformaci´on entre energ´ıas internas del sistema. En este proceso las fuerzas internas no mueven el centro de masas del sistema conjunto, y son el mecanismo que permite, mediante la realizaci´on de un trabajo interno, la transformaci´on de la variaci´on de las energ´ıas internas de interacci´on en variaci´on de la energ´ıa cin´etica interna, redistribuyendo las energ´ıas internas y manteniendo constante la energ´ıa interna total. 

1

2i

di

cm



r

(a) df

f v2

(b)

F~1ext

r int F~1/2

int F~2/1

Figura 2: (a) Dos part´ıculas 1, que est´a fijada, y 2, est´an inicialmente separadas una distancia di . La part´ıcula 2 se mueve bajo la acci´on de una fuerza gravitatoria, alcanzando una velocidad v2 cuando su distancia a la part´ıcula 1 es df . (b) Fuerzas externas y fuerzas internas que act´ uan sobre las part´ıculas en una posici´ on gen´erica del proceso.

En la Figura 2 se muestra un esquema de un proceso en el que las part´ıculas, 1, fija, y 2, inicialmente situadas a distancia di interaccionan gravitacionalmente, alcanzando la part´ıcula 2 una velocidad v2 cuando se encuentra a una distancia final df de la part´ıcula 1. Puesto que la part´ıcula 1 permanece en reposo, sobre ella debe aplicarse una fuerza int externa F~1ext , que no realiza trabajo, que compense la fuerza interna F~2/1 que la part´ıcula P ~ ext P ext 2 hace sobre ella. En este proceso j Fj 6= 0, y j Wj = 0. Puesto que la fuerza externa resultante no es nula, se tiene que dKcm = F~1ext · d~rcm , el centro de masas del sistema var´ıa su velocidad y su posici´on. Y, puesto que el trabajo 4

externo es nulo, se tiene que dKcm + dU = 0 . La variaci´on de la energ´ıa potencial gravitatoria a lo largo del proceso es igual al (menos) trabajo realizado por las fuerzas internas, dΦ = −δW int , y se tiene de nuevo la Ec. (4) donde ahora Z f int · d~r2 , W int = F~1/2 i

int F~2/1

pues en este caso la fuerza no realiza trabajo. Con dU = dK int + dΦ, este trabajo de las fuerzas internas es, a su vez, el responsable de la variaci´on de la energ´ıa interna total del sistema, dK = dKcm + dK int , con dK = W int . As´ı, se tiene 21 m2 v22 = W int , y que 1 1 1 m2 v22 = Gm1 m2 − 2 df di 



.

La aplicaci´on de la segunda ley de Newton a este proceso permite explicar, debido a las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema, el aumento de la energ´ıa cin´etica del centro de masas del mismo. Puesto que estas fuerzas externas no realizan trabajo, se necesita el primer principio de la termodin´amica para explicar que el origen u ´ltimo de esta energ´ıa cin´etica, es la energ´ıa de interacci´on acumulada en la configuraci´on inicial de las part´ıculas. Pero para superar la paradoja que supone constatar que el sistema adquiere energ´ıa cin´etica de traslaci´on a trav´es de fuerzas externas que no realizan trabajo, es interesante utilizar el concepto de trabajo de las fuerzas internas. En este caso, y a trav´es de las fuerzas externas, el trabajo de las fuerzas internas permite disminuir la energ´ıa interna del interacci´on sistema y desplazar el centro de masas del mismo (aunque para ello debe intervenir un cuerpo de masa infinita, el que fija la part´ıcula 1).

1

di cm

(a)

2i F~2ext

r df

(b)

F~1ext

f F~2ext

r int F~1/2

int F~2/1

Figura 3: (a) Dos part´ıculas 1, que est´a fijada, y 2, sobre la que se aplica una fuerza externa, est´an inicialmente separadas una distancia di . La part´ıcula 2 se separa de la part´ıcula 1 una distancia final df . (b) Fuerzas externas y fuerzas internas que act´ uan sobre las part´ıculas en una posici´on gen´erica del proceso.

En la Figura 3 se muestra un esquema de un proceso en el que las part´ıculas, 1, fija, y 2, sobre la que se aplica una fuerza externa F~2ext , inicialmente situadas a distancia di interaccionan gravitacionalmente, alcanzando la part´ıcula 2, con velocidad cero, una 5

posici´on a distancia final df de la part´ıcula 1. Puesto que la part´ıcula 1 permanece en reposo, sobre ella debe aplicarse una fuerza externa F~1ext , que no realiza trabajo, que int compense la fuerza interna F~2/1 que la part´ıcula 2 hace sobre ella. Y, puesto que la int part´ıcula 2 no var´ıa su velocidad nula inicial, se debe tener que F~2/1 = −F~2ext . En este P ~ ext P proceso, j Fj = 0, y j Wjext 6= 0. Puesto que la fuerza externa resultante es nula, se tiene que dKcm = 0, el centro de masas del sistema, aunque s´ı var´ıa su posici´on, no var´ıa su velocidad, que es siempre nula. (Esto es semejante a lo que ocurre cuando, en un problema de termodin´amica, se aplica una fuerza externa al pist´on de un sistema cilindro-pist´on que encierra un gas, fuerza que s´ı realiza trabajo, a la vez que sobre la base del cilindro se aplica otra fuerza igual y de sentido contrario, pero que no realiza trabajo. En este caso, el centro de masas del gas no var´ıa su energ´ıa cin´etica, pero s´ı se desplaza.). Se tiene entonces que dU = δW ext . La variaci´on de la energ´ıa potencial gravitatoria a lo largo del proceso es igual al (menos) trabajo realizado por las fuerzas internas, con −Gm1 m2



1 1 − df df



= W ext ,

R donde W ext = if F~2ext · d~r2 . Con −dΦ = δW int , y puesto que W ext = −W int , donde R int W int = if F~1/2 · d~r2 , se tiene que ∆U = −W int , con 

Gm1 m2

1 1 − df di



=−

Z f i

int F~1/2 · dr2 .

La aplicaci´on de la segunda ley de Newton a este proceso indica que el centro de masas del sistema no va a cambiar su velocidad. En este caso, el trabajo realizado por las fuerzas internas es el responsable de la disminuci´on de la energ´ıa interna del sistema. Esto se puede conseguir gracias a la aplicaci´on de una fuerza externa que s´ı realiza trabajo. En la Figura 4 se muestra un esquema de un proceso en el que las part´ıculas, 1, fija, y 2, sobre la que se aplica una fuerza externa F~2ext , inicialmente situadas a distancia di interaccionan gravitacionalmente, alcanzando la part´ıcula 2 una velocidad v2 , para una distancia final df de la part´ıcula 1. Puesto que la part´ıcula 1 permanece en reposo, sobre ella debe aplicarse una fuerza externa F~1ext , que no realiza trabajo, que compense la fuerza int interna F~2/1 que la part´ıcula 2 hace sobre ella. Y, puesto que la part´ıcula 2 s´ı var´ıa su P P int velocidad, se debe tener que F2/1 < −F2ext . En este proceso j F~jext 6= 0, y j Wjext 6= 0. Puesto que la fuerza externa resultante no es nula,   1 2 (m1 + m2 )dvcm = F~2ext − F~1ext · dLcm , 2

y el centro de masas del sistema, var´ıa su posici´on y su velocidad. Se tiene entonces que para este proceso dKcm + dU = δW ext , 6

1

di cm

(a)

2i F~2ext

r df

(b)

F~1ext

f F~2ext

r

v2

int F~1/2

int F~2/1

Figura 4: (a) Dos part´ıculas 1, que est´a fijada, y 2, sobre la que se aplica una fuerza externa, est´an inicialmente separadas una distancia di . La part´ıcula 2 alcanza una velocidad final v2 cuando se encuentra separada de la part´ıcula 1 una distancia final df . (b) Fuerzas externas y fuerzas internas que act´ uan sobre las part´ıculas en una posici´on gen´erica del proceso.  

donde dU = dK int + dΦ y −dΦ = δW int . Con Gm1 m2 d F~ int · d~r2 , y con dK = dKcm + dK int = 1 m2 v22 , se tiene que 1/2

1 r

= δW int , donde δW int =

2

1 m2 dv22 − δW int = δW ext , 2

(5)

donde δW ext = F~2ext · d~r2 . Se tiene por tanto que ∆K − W int = W ext , con Z f  1 int m2 v22 = F~2ext − F~1/2 · d~r2 . 2 i

(6)

En este proceso, parte del trabajo realizado por las fuerzas externas se emplea en realizar un trabajo contra las fuerzas internas, de tal forma que s´olo el trabajo restante realizado por las fuerzas externas se utiliza para acelerar el centro de masas del sistema. Como se ha mostrado en los ejemplos considerados, dependiendo de las fuerzas externas aplicadas y del trabajo que ´estas realicen, el trabajo de las fuerzas internas puede jugar diferentes papeles. En algunos casos, las fuerzas internas no mueven el centro de masas del sistema conjunto, pero son el mecanismo que permite la redistribuci´on las energ´ıas internas, manteniendo constante la energ´ıa interna total. Aunque pueda parecer una paradoja que fuerzas externas que no realizan trabajo permitan acelerar el centro de masas de un sistema, el papel del trabajo de las fuerzas internas permite entender esta clase de procesos. Otra situaci´on interesante se produce cuando fuerzas externas que s´ı realizan trabajo desplazan el centro de masas del sistema, pero sin acelerarlo. De nuevo, el trabajo de las fuerzas internas permite explicar esta situaci´on. En conclusi´on, aunque la suma de las fuerzas internas es nula para un sistema que realiza un cierto proceso – lo que implica que las fuerzas internas no intervienen en la 7

segunda ley de Newton que describa dicho proceso –, estas fuerzas internas s´ı pueden realizar trabajo – lo que significa que el trabajo de las fuerzas internas s´ı puede intervenir en la ecuaci´on del primer principio de la termodin´amica que describa el mismo proceso [8] –.

Referencias [1] J M Knudsen, P G Hjorth, Elements of Newtonian Mechanics. Including Nonlinear Dynamics, Springer Heidelberg 2000 [2] J J Mart´ınez Benjam´ın, Mec´anica Newtoniana, Edicions UPC, 2000 [3] L Viennot, Newton’s laws: a very persistent consistency, Phys. Educ. 47 595-598 (2012) [4] B A Sherwood, Pseudowork and real work, Am. J. Phys. 51, 597-602 (1983) [5] A J Mallinckrodt, H. S. Leff, All about work, Am. J. Phys. 60 356-365 (1992) [6] J G¨ u´emez, M Fiolhais, From mechanics to thermodynamics: analysis of selected examples, Eur. J. Phys. 34 345-357 (2013) [7] C Fern´andez Pineda, S Velasco Maillo, Introducci´on a la Termodin´amica, Ed. S´ıntesis, Madrid 2009 [8] J G¨ u´emez, M Fiolhais, L Brito, On the work of internal forces Eur. J. Phys. 36 (2015) 045008 (10pp)

8

Respuestas al informe de arbitraje INFORME DE ARBITRAJE Trabajo de las fuerzas internas (10 Julio 2015) El art´ıculo versa sobre los efectos del trabajo neto que las fuerzas internas de un sistema de part´ıculas puede ejercer sobre el sistema en s´ı. Estos efectos ayudan a explicar en detalle los procesos f´ısicos que tienen lugar en diversos problemas de Mec´anica, que los autores describen con detalle. As´ı como la suma total de fuerzas internas es nula, puede que el trabajo total ejercido por las mismas sobre el sistema no lo sea, como bien explican los autores. Esto puede originar cambios entre las distintas componentes de energ´ıa interna del sistema y en el momento lineal de las part´ıculas. Estos interesantes resultados son, como los autores resaltan, poco conocidos en el a´mbito de la docencia de la Mec´anica, por lo que este art´ıculo es de especial inter´es para esta revista. La longitud del art´ıculo es considerable (desconozco si habr´a o no limitaciones impuestas por el editor), pero hay algunas partes en las que la discusi´on se podr´ıa acortar. Por ejemplo, veo texto bastante repetitivo en la descripci´on de muchos de los casos (el hecho de que la part´ıcula 1, cuando est´a en reposo, deba estar sometida a una fuerza externa que iguale a la interna y que no realice trabajo, est´a explicado varias veces de manera muy similar). R: La segunda versi´ on del art´ıculo tiene ya menos p´ aginas, 8, que el original, 11. Contando unas 10 palabras por l´ınea, y unas 30 l´ıneas por p´ agina, se tienen unas 2400 palabras. Tal vez, para ahorrar m´as espacio y hacer la lectura m´as a´gil, los autores podr´ıan considerar una reestructuraci´on del art´ıculo, hablando de todos los diferentes casos de manera m´as entrelazada, en lugar de tratarlos por separado. Eso es algo que dejo a merced de los autores (y del editor). R: Pensamos que tratando cada caso por separado se ven mejor los diferentes papeles que pueden jugar las fuerzas internas. Y, de esta forma, se puede ver tambien el papel que juega la segunda ley de Newton, en la que entra la resultante de las fuerzas externas, y el primer principio de la termodin´ amica, en el que entra el trabajo de las fuerzas externas. Reestructuralo para entrelazar los casos nos parece que ser´ıa confuso - - El hecho de que la ecuaci´on 1 no implique un teorema trabajo-energ´ıa no me qued´o claro en un principio, y tuve que reflexionar bastante sobre ello. Reconozco que una explicaci´on mas detallada tal vez no tenga m´as cabida en el art´ıculo (dada su longitud actual), pero en mi caso ech´e de menos una explicaci´on m´as detallada (o tal vez, una explicaci´on m´as clara que la del p´arrafo que sigue a la ecuaci´on 1). R: Hemos intentado explicar un poco mejor la Ec. (1), enfatizando que es la segunda ley de Newton y no una ecuaci´ on de energ´ıas. En el parrafo que sigue a esta ecuaci´ on hay tres referencias que pueden ayudar al lector a entenderlo. - - Despu´es de la ecuaci´on 2, ”centro-de-masas” no deberia llevar guiones. R: Ya los hemos quitado 9

- - En la ecuaci´on de dU, entiendo psi (energ´ıa interna debida a interacciones de tipo gravitatorio, electrost´atico, etc.), puede resumirse como la ”energ´ıa potencial entre las part´ıculas” o la ”energ´ıa potencial interna”. ¿Es esto correcto? R: S´ı, la energ´ıa potencial entre las part´ıculas forma parte de la energ´ıa interna del sistema - - No entiendo la diferencia entre la energ´ıa cin´etica interna y la debida a la temperatura de todo o de partes del sistema. De hecho, la temperatura del sistema deber´ıa estar determinada a partir de la energ´ıa cin´etica de sus part´ıculas (a no ser que cada part´ıcula del sistema se est´e considerando como ”otro” sistema con una temperatura definida). ¿Podr´ıan los autores aclarar este detalle? R: En la Pag. 2 ya comentamos que : En los procesos a describir, por simplicidad, se va a considerar que dU (T ) = 0 (las partes internas del sistema no experimentan variaciones de temperatura). Como cada part´ıcula no tiene modos internos de acumular energ´ıa ni puede deformarse, en los ejemplos que se estudian no interviene la temperatura. SUGERENCIAS Y COMENTARIOS: - - Antepen´ ultimo p´arrafo de p´agina 3. ... es aqu´el en el que... (acento en aqu´el). R: Ya lo hemos quitado - - P´ag. 3 a 5. La explicaci´on de los dos primeros ejemplos es excelente. - - Pen´ ultimo p´arrafo de la p´agina 6. Sugerir´ıa a los autores dividir la primera frase en dos partes. Por ejemplo: Consid´erese ahora el siguiente proceso: Un coche el´ectrico, de masa mc, almacena en una bater´ıa energ´ıa en forma de productos qu´ımicos que, al reaccionar adecuadamente, producen una corriente el´ectrica. Como resultado, el coche se mueve hacia adelante. - - P´ag. 7: ”energ´ıa interna qu´ımica” cambiar por ”energ´ıa qu´ımica interna ”. - - P´ag. 7: ”el desplazamiento del centro de masas del coche que se produce” cambiar por ”el desplazamiento producido sobre el centro de masas” R: Hemos suprimido todos los ejemplos en los que interviene energ´ıa qu´ımica interna - - P´ag. 8, primer p´arrafo: me parece un poco confuso. ¿C´omo es posible que el centro de masas var´ıe su posici´on sin variar su velocidad? Supongo que los autores est´an hablando solamente de los estados inicial y final, pero esto (solo a partir del texto) no queda muy claro. R: Cuando, en un problema de termodin´ amica, se aplica una fuerza externa al ´ embolo que encierra un gas encerrado en un cilindro, fuerza que realiza trabajo, sobre la base del cilindro se aplica otra fuerza igual y de sentido contrario, pero que no realiza trabajo. En este caso, el centro de masas del gas no var´ıa su energ´ıa cin´ etica, pero se desplaza. - - P´ag. 8-10: en los ejemplos del proyectil, parece que despreciamos la Gravedad. ¿Podr´ıan los autores clarificar este punto? - - P´ag. 8: ”energ´ıa interna qu´ımica” cambiar por ”energ´ıa qu´ımica interna ”. R: Hemos suprimido todos los ejemplos en los que interviene energ´ıa qu´ımica interna 10

- -P´ag. 10: el u ´ltimo p´arrafo del art´ıculo, en el que se describe la conclusi´on del mismo, me parece demasiado escueto; desmerece el contenido del art´ıculo. Sugerir´ıa a los autores reeescribirlo y ampliarlo (separando tambi´en el p´arrafo actual en varias oraciones, para mayor agilidad en la lectura). R: Hemos intentado ampliarlo y mejorarlo.

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