Notas de Geometr´ıa Euclideana Jorge Luis L´opez L´opez 10 de mayo de 2016 Resumen Estas notas son usadas como gu´ıa para el curso de Geometr´ıa Euclideana impartido por el autor en la Facultad de Ciencias F´ısicomatem´ aticas durante el semestre febrero-julio del a˜ no 2016. Las notas se est´ an actualizando constantemente conforme el curso avanza. El curso comienza tratando de seguir fielmente los elementos de Euclides. Para la primera parte del curso puede servir como referencia el libro [Hea56], que se encuentra en la biblioteca. En clase se analiza con mucho m´as detalle todo lo expuesto aqu´ı.

1. 1.1.

Introducci´ on Los Elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides es por mucho el trabajo matem´atico m´as famoso de la antiguedad, y tambi´en goza de la distinci´on de ser el libro de texto m´as antiguo continuamente usado. Fue escrito hace 23 siglos. Despu´es de la Biblia, es el libro m´as influyente para la civilizaci´on occidental. Muchos de los teoremas contenidos en los Elementos no fueron descubiertos por Euclides mismo, sino por matem´aticos griegos que lo precedieron. Sin embargo, a Euclides se le atribuye generalmente el hecho de ordenar estos resultados de una manera l´ogica y clara, de manera que se demuestra que son consecuencia de cinco axiomas simples. A Euclides tambi´en se le acredita el hecho de demostrar de manera particularmente ingeniosa algunos teoremas descubiertos previamente. Las construcciones geom´etricas empleadas en los Elementos se limitan a aquellas que pueden realizarse con regla (no graduada) y comp´as. En particular, los argumentos que usan medidas no tienen cabida, pero s´ı los que usan medidas relativas (menor, igual, mayor).

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Los Elementos consisten de trece libros, cuyos contenidos se mencionan vagamente: Libro 1 Fundamentos de geometr´ıa plana (incluyendo resultados que involucran rectas y tri´angulos). Libro 2 “Algebra geom´etrica” (resultados geom´etricos con interpretaciones algebraicas simples). Libro 3 C´ırculos y sus propiedades. Libro 4 Pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos en c´ırculos. Libro 5 Aritm´etica de proporciones. Libro 6 Proporciones aplicadas a geometr´ıa (incluyendo teoremas sobre semejanza). Libro 7 Teor´ıa de n´ umeros elemental. Libro 8 Series geom´etricas. Libro 9 Aplicaciones de los libros 7 y 8. Libro 10 Un m´etodo que puede considerarse el precursor de la integraci´on. Libro 11 Geometr´ıa tridimensional. Libro 12 Volumen relativo de conos, pir´amides, cilindros. Libro 13 S´olidos plat´onicos.

1.2.

Un poco de historia

La geometr´ıa (en griego geo significa “tierra” y metron significa “medida”) comienz´o con problemas pr´acticos como el c´alculo del a´rea de un parcela o el c´alculo del volumen de un contenedor. Las primeras culturas capaces de enfrentar tales problemas fueron las de Babilonia, Egipto, China e India, pero sus reglas para realizar tales c´alculos no estaban justificadas, y en algunos casos representaban solamente una aproximaci´on al valor exacto en cuesti´on. Adem´as, dichas reglas simplemente eran ejemplificadas por un c´alculo muy espec´ıfico, y nunca eran establecidas por una f´ormula general. Por ejemplo, un papiro matem´atico egipcio de hace 36 siglos y medio, conocido como Rhind, contiene el siguiente c´alculo:

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Ejemplo para un campo redondo de di´ametro 9. ¿Cu´al es el a´rea? Tomar 1/9 del di´amero, 1; lo que queda es 8. Sumar 8 veces 8; que da 64. Por lo tanto este contiene 64 de a´rea. La f´ormula general subyacente a este ejemplo es (8d/9)2 . Esta geometr´ıa primitiva fue transformada por los griegos hace 26 y 25 siglos, convirti´endola en una disciplina deductiva, y desde entonces toda la matem´atica adopt´o este esp´ıritu. Ellos inventaron enunciados abstractos que hoy son llamados teoremas, los cuales deben ser demostrados de una manera l´ogica.

2.

Primera parte del libro 1 (hasta la proposici´ on 28)

El Libro 1 comienza con 23 definiciones, que no reproduciremos aqu´ı. Nos limitaremos a dar algunos ejemplos. 2. Una curva es aquello que s´olo tiene longitud. 4. Una recta es una curva que se encuentra uniformemente con los puntos de ella misma. 5. Una superficie es aquello que s´olo tiene longitud y ancho. 7. Un plano es una superficie que contiene toda la recta determinada por cualesquiera dos puntos en ella. 8. Un ´angulo es una porci´on del plano acotada por un par de semirectas que emanan del mismo punto. 10. Cuando dos rectas se intersectan de manera que dos ´angulos adyacentes sean iguales, entonces cada uno de los a´ngulos es recto, y las l´ıneas son llamadas perpendiculares. 15. Un c´ırculo es una figura plana delimitada por una curva formada por todos los puntos que equidistan de otro llamado centro. Una circunferencia es una curva que delimita un c´ırculo. 19. Un tri´angulo es una regi´on del plano acotada por tres l´ıneas rectas. Un cuadril´atero es una regi´on acotada por cuatro l´ıneas rectas.

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20. Un tri´angulo equil´atero es un tri´angulo que tiene tres lados iguales. Un tri´angulo is´osceles es un tri´angulo que tiene solamente dos lados iguales. Un tri´angulo is´osceles es un tri´angulo que tiene sus tres lados diferentes. 23. Dos rectas son paralelas si est´an en el mismo plano y (al extenderlas indefinidamente en ambas direcciones) no se intersectan. La definici´on de recta es obscura. Leibniz di´o una definici´on alternativa que hay que mencionar: una recta es una curva que divide al plano en dos mitades que son id´enticas en todo excepto en la posici´on. Luego de las definiciones vienen diez axiomas, los primeros cinco de los cuales fueron llamados postulados (suposiciones muy simples aceptadas sin justificaci´on), y los restantes nociones comunes.

2.1.

Postulados

1. Para cualesquiera dos puntos distintos existe un u ´nico segmento de recta que los une. 2. Todo segmento de recta se puede extender indefinidamente. 3. Dado un punto O y otro punto A existe una circunferencia con centro O y radio OA. 4. Todos los a´ngulos rectos son iguales. 5. Si una recta intersecta a otras dos rectas de tal manera que la suma de los a´ngulos internos del mismo lado es menor que dos rectos, entonces las dos rectas, al prolongarlas indefinidamente, deben intersectarse del lado en el que los a´ngulos suman menos que dos a´ngulos rectos. Los postulados est´an motivados en parte por las construcciones con regla y comp´as (postulados 1, 2 y 3). Dicho de otra manera, Euclides se limit´o a realizar deducciones l´ogicas a partir de los conceptos de puntos, rectas, y c´ırculos. El postulado 4 habla de la igualdad de unas figuras, y se debe a que Euclides escogi´o el a´ngulo recto como unidad de medida de a´ngulos. El Quinto Postulado es mucho m´as complicado que los dem´as, y hace una afirmaci´on de naturaleza infinita (que debe ser analizado con m´as profundidad). Los sucesores de Euclides cre´ıan que este postulado podr´ıa ser probado a partir de los dem´as. Sin embargo, a pesar de intentarlo dos mil a˜ nos, no hubo ´exito en lograrlo. Finalmente, en el siglo XIX se explic´o la raz´on por la que todos los intentos fallaron: es imposible deducir el Quinto Postulado a partir 4

de los dem´as, y al enunciarlo de otra manera se pueden obtener geometr´ıas consistentes conocidas como geometr´ıas no Euclideanas. Los matem´aticos entonces cambiaron su manera de pensar en los axiomas: la geometr´ıa (y la matem´atica en general) ya no tratar´ıa de formalizar solamente lo que uno ve de manera muy directa, sino tambi´en lo que uno solo ve a un nivel m´as fundamental.

2.2.

Nociones Comunes

1. Cosas que son iguales a la misma cosa son tambi´en iguales entre s´ı. 2. Si a dos iguales se les agregan dos iguales, los totales son iguales. 3. Si a dos iguales se les restan dos iguales, los restos son iguales. 4. Las cosas que coinciden entre s´ı son iguales entre s´ı. 5. El total es m´as grande que las partes. La cuarta noci´on com´ un es un axioma de congruencia: cosas que pueden hacerse coincidir (es decir, se sobreponen al mover r´ıgidamente uno sobre el otro) deben tener iguales magnitudes.

2.3.

Notaci´ on para el curso (no de Los Elementos)

Los puntos se denotar´an por letras may´ usculas A, B, C, . . . El segmento de recta que une A y B ser´a denotado por AB. Las rectas infinitas se deno←→ tar´an como AB o por letra min´ uscula a, b, . . .. La semirecta que consiste de ←→ la mitad de AB que comienza en A y se extiende indefinidamente contenien−→ do a B ser´a denotada por AB. Las semirectas que forman un ´angulo son sus lados y la intersecci´on de sus lados es el v´ertice del a´ngulo. El ´angulo que tiene v´ertice en A y lados AB y AC ser´a denotado por ∠BAC o ∠CAB. El tri´angulo con v´ertices A, B, y C ser´a denotado por 4ABC. A la circunferencia con centro en A y radio AB se le denotar´a por (A; AB). El s´ımbolo “∼ =” denotar´a congruencia, es decir, sobreposici´on mediante movimiento r´ıgido. Denotaremos la intersecci´on por el s´ımbolo ∩. En el caso en el que la intersecci´on es de una circunferencia p con otro objeto q, la notaci´on p ∩ q denotar´a a uno de los puntos de intersecci´on. La notaci´on para indicar que las rectas p y q son perpendiculares ser´a p ⊥ q. El s´ımbolo “∼ =” denotar´a congruencia, es decir, sobreposici´on mediante movimiento r´ıgido. Dado un a´ngulo, la recta que lo divide en dos partes iguales es llamada bisectriz del a´ngulo. El segmento de recta que une un v´ertice de un tri´angulo con el punto 5

medio del lado opuesto es llamada mediana. La recta que pasa por el punto medio del segmento de recta y es perpendicular a ese segmento de recta es la mediatriz del segmento de recta.

2.4.

Proposiciones

Proposici´ on 1. Dado un segmento de recta, es posible construir un tri´angulo equil´atero con ese segmento como lado. Demostraci´on. Sea AB el segmento de recta dado. Considerar las circunferencias (A; AB) y (B; BA) (postulado 3). Sea C = (A; AB) ∩ (B; BA). Entonces 4ABC (postulado 1) es el tri´angulo requerido, pues AB = AC, BA = BC (definici´on de c´ırculo) y AC = BC (noci´on com´ un 1). Proposici´ on 2. Dado un punto y un segmento de recta, es posible construir un segmento de recta con un extremo en ese punto dado y de la misma longitud que el segmento de recta dado. Demostraci´on. Sea A el punto dado y BC el segmento dado. Considerar un ←→ tri´angulo equil´atero 4ABE (proposici´on 1). Sean F = EB ∩ (B; BC) y ←→ D = EA ∩ (E; EF ) (postulados 2, 3). Entonces AD es el punto requerido ya que ED = EF (definici´on de c´ırculo), EA = EB (definici´on de tri´angulo equil´atero) y por lo tanto AD = BF (noci´on com´ un 2 o 3, seg´ un sea el caso), pero BF = BC (definici´on de c´ırculo), de donde se conluye que AD = BC (noci´on com´ un 1). Proposici´ on 3. Dados dos segmentos de recta de distinta longitud, es posible construir en el segmento de recta mayor un segmento de recta igual al menor. Demostraci´on. Dados los segmentos de recta AB y CD tales que AB > CD, sea F un punto tal que AF = CD (proposici´on 2) y sea E = AB ∩ (A; AF ) (postulados 3). Entonces E es el punto requerido pues AE = AF (definici´on de c´ırculo) y, puesto que AF = CD, se concluye que AE = CD (noci´on com´ un 1). Ejercicios 1. Construir un segmento cuya longitud es el doble de la de un segmento dado. 2. Dados un punto P y un segmento de recta AB, construir un segmento de recta P Q cuya longitud es el doble de la del segmento de recta AB.

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3. Dados un punto P y dos segmentos de recta AB y CD, construir un segmento de recta P Q cuya longitud es la suma de las longitudes de dos segmentos de recta AB y CD. Proposici´ on 4. Si dos tri´angulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen ´angulos iguales entre dicho par de lados, entonces el tercer lado de uno es tambi´en igual al tercer lado del otro, y los dem´as ´angulos de uno son iguales a los respectivos ´angulos del otro. Esta afirmaci´on es conocida como el Criterio de Congruencia LAL. La demostraci´on consiste en probar que dos tri´angulos que satisfacen las hip´otesis de la Proposici´on 4 se sobreponen al mover uno sobre el otro; es decir, dos tri´angulos que satisfacen las hip´otesis de la Proposici´on 4 son congruentes. Demostraci´on. Sean 4ABC y 4DEF tri´angulos tales que AB = DE, AC = DF y ∠BAC = ∠EDF . Podemos llevar 4ABC sobre 4DEF de tal manera que A cae sobre D, B cae sobre E, AC cae sobre DF , C cae sobre F (noci´on com´ un 5). Luego BC cae sobre EF (postulado 1), de donde se concluye que BC = EF , ∠ABC = ∠DEF y ∠ACB = ∠DF E (noci´on com´ un 4). Proposici´ on 5. En un tri´angulo is´osceles los ´angulos de la base son iguales entre s´ı, y si se prolongan los dos lados iguales, los ´angulos situados debajo de la base son iguales entre s´ı. Demostraci´on. Sea 4ABC tal que AB = AC. Entonces 4ABC ∼ = 4ACB, en particular ∠ABC = ∠ACB (proposici´on 4). Luego los ´angulos debajo de la base tambi´en ser´an iguales (nociones comunes 4 y 3, aplicadas en ese orden). Ejercicios 1. Probar que los tres a´ngulos de un tri´angulo equil´atero son iguales. 2. En 4ABC, con AB = AC, los puntos D y E se encuentran en el lado BC de tal manera que BD = CE. Probar que AD = AE. 3. Sup´ongase que AC = AD y que BC = BD, donde C y D son puntos ←→ en lados distintos de la recta AB. Probar que 4ABC ∼ = 4ABD. Proposici´ on 6. Si en un tri´angulo dos ´angulos son iguales, entonces los lados opuestos son iguales.

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Demostraci´on. Sea 4ABC tal que ∠ABC = ∠ACB. Procederemos por reducci´on al absurdo. Sup´ongase que AB > AC. Sea D un punto en AB tal que BD = AC. Entonces 4DBC ∼ = 4ACB (proposici´on 4) y, por lo tanto ∠DCB = ∠ABC = ∠ACB. Esto contradice la noci´on com´ un 5. Luego la suposici´on AB > AC debe ser falsa, de donde se concluye que AB = AC. Ejercicio 1. Probar que si los tres ´angulos de un tri´angulos son iguales entre s´ı entonces el tri´angulo es equil´atero. Proposici´ on 7. Dos segmentos de recta tienen un extremo en com´ un y tienen otro extremo que coincide con los extremos de un tercer segmento de recta, formando as´ı un tri´angulo. Entonces no es posible tener del mismo lado del tercer segmento de recta otros dos segmentos de recta iguales a los primeros y formando tambi´en un tri´angulo con el tercer segmento de recta. Notar que este resultado implica que dos c´ırculos se intersectan en exactamente dos puntos, uno de cada lado de la recta que une los centros. Demostraci´on. Sea AB el tercer segmento, CA y CB los otros dos segmentos con un extremo en com´ un, C. Procederemos por contradicci´on. Sup´ongase ←→ que si es posible encontrar, del mismo lado de AB que C, un punto D tal que DA = CA y DB = CB. Consideremos el caso en el que D no se encuentra en el tri´angulo 4ABC (los dem´as casos se dejan de tarea). Entonces ∠ACD = ∠ADC (proposici´on 5), de donde ∠BCD < ∠ACD = ∠ADC < ∠BDC (noci´on com´ un 5). Esto contradice que ∠BCD = ∠BDC (proposici´on 5). Proposici´ on 8. Si dos tri´angulos tienen sus lados respectivos iguales, entonces son congruentes (es decir, es posible mover uno y sobreponerlo con el otro para hacerlos coincidir). Esta afirmaci´on es conocida como el Criterio de Congruencia LLL. Demostraci´on. Sean 4ABC y 4DEF tri´angulos tales que AB = DE, BC = EF y AC = DF . Llevar 4ABC sobre 4DEF de tal manera que B y C caen sobre E y F , respectivamente. Sea G el punto donde cae A bajo este movimiento. Entonces G yD coinciden (proposici´on 7). Luego 4ABC ∼ = 4DEF . Proposici´ on 9. Dado un ´angulo, es posible construir una recta que lo biseca. Demostraci´on. Sup´ongase que el ´angulo dado est´a determinado por las semi−→ −→ rectas AB y AC. Sup´ongase que AB > AC. Sea D un punto en AB tal que AD = AC (proposici´on 3). Sea 4CDE un tri´angulo equil´atero (proposici´on 1). Entonces ∠CAE = ∠DAE pues 4CAE ∼ = 4DAE (proposici´on 8). 8

Ejercicio 1. Probar que en un tri´angulo is´osceles, la bisectriz del a´ngulo opuesto a la base es tambi´en mediana y altura del tri´angulo. Proposici´ on 10. Dado un segmento de recta, es posible construir una recta que lo biseca. Demostraci´on. Sea AB el segmento de recta dado. Sea 4ABC equil´atero (proposici´on 1). Sea ` la bisectriz de ∠ACB (proposici´on 9). Sea D = `∩AB. Entonces AD = BD pues 4ACD ∼ = 4BCD (proposici´on 4). Ejercicios 1. Probar que en un tri´angulo is´osceles, la mediana a la base del tri´angulo es tambi´en altura y bisectriz. 2. Probar que el tri´angulo formado por los puntos medios de los lados de un tri´angulo quil´atero es un tri´angulo equil´atero. 3. Probar que en un tri´angulo is´osceles, las medianas a los lados iguales son iguales entre s´ı. Proposici´ on 11. Dado un segmento de recta y un punto en ´el, es posible construir una perpendicular al segmento dado que pase por el punto dado. Demostraci´on. Sea AB el segmento dado y C el punto dado. Sup´ongase que AC > CB. Sea D un punto en AC tal que CD = CB (proposici´on 3). Sea 4BDE equil´atero (proposici´on 1). Entonces ED ⊥ AB ya que 4BCE ∼ = 4DCE (criterio de congruencia LLL) y por lo tanto ∠BCE = ∠DCE, que es la definici´on de rectas perpendiculares. Proposici´ on 12. Dada una recta y un punto que no se encuentra en ella, es posible constrir una perpendicular a la recta dada que pasa por el punto dado. ←→ Demostraci´on. Sea C el punto dado y AB la recta dada. Sea D = (C; CA) ∩ ←→ AB (postulado 3). Sea E el punto medio de AD (proposici´on 10). Entonces ←→ CE ⊥ AB ya que ∠ACE = ∠BCE pues 4ACE ∼ = 4BCE (criterio de congruencia LLL).

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Ejercicios 1. Probar que si la altura de un tri´angulo es tambi´en mediana entonces el tri´angulo es is´osceles. 2. Probar el lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de dos puntos distintos A y B es la mediatriz del segmento AB. 3. Construir 4ABC dados los datos β, a, mc . 4. Construir 4ABC dados los datos b, c, ha . 5. Construir 4ABC dados los datos a, b, hb . 6. Construir 4ABC dados los datos a, ma , hb . 7. Construir 4ABC dados los datos a, mb , hb . 8. Construir 4ABC dados los datos c, a, ma . 9. Construir 4ABC dados los datos a, ma , β. Proposici´ on 13. La suma de dos ´angulos suplementarios es igual a dos rectos. Demostraci´on. Sea m una recta, A un punto en ella, y n una semirecta que parte de A. Se considera la semirecta l perpendicular a m que parte de A (proposici´on 11). Entonces la suma de los dos a´ngulos que forma l con m es dos rectos. Luego la suma de los dos a´ngulos que forma n con m es tambi´en dos rectos (noci´on com´ un 4). Proposici´ on 14. Si en cualquier recta, y un punto en ella, dos semirectas parten del punto en lados diferentes de la recta de tal manera que los ´angulos adyacentes de un mismo lado de la curva formada por ambos semirectas suman dos rectos, entonces las semirectas forman una recta. Demostraci´on. Sea m una recta y A un punto en ella. Sean n y l dos semirectas que parten de A por distintos lados de m. Procediendo por contradicci´on, sup´ongase que la suma de los ´angulos que forman n y l con A es dos rectos pero que dicha semirectas no forman una recta. Al prolongar l para obtener la recta ` (postulado 2), se forman dos a´ngulos suplementarios, cuya suma es dos rectos (proposici´on 13). Esto implica que los dos ´angulos originales, formados por las semirectas n y l con m, no puede ser dos rectos (noci´on com´ un 5).

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Proposici´ on 15. Si dos rectas se cortan, entonces los ´angulos opuestos por el v´ertice son iguales. Demostraci´on. Sean m y n dos rectas que se cortan en A. Considerar un par de a´ngulos suplementarios con lado en m y un par de a´ngulos suplementarios con lado en n. La suma los a´ngulos de cada uno de estos pares es dos rectos (proposici´on 13). De esto se puede concluir que dos ´angulos opuestos por el v´ertice son iguales (noci´on com´ un 3). Ejercicios 1. Probar que si una mediana de un tri´angulo es tambi´en bisectriz, entonces el tri´angulo es is´osceles. 2. Probar que si las diagonales de un cuadril´atero se bisecan, entonces los lados opuestos del cuadril´atero son iguales y tambi´en los a´ngulos opuestos. Proposici´ on 16. En todo tri´angulo, un ´angulo exterior es mayor que cualquiera de los interiores no adyacentes a ´el. Demostraci´on. Dado el 4ABC, sea D tal que C se encuentra en el segmento BD (postulado 2). Sea E el punto medio de AC (proposici´on 10) y sea −−→ F en la semirecta BE tal que BE = EF (postulado 2 y proposici´on 3). Entonces ∠BAC = ∠ACF pues 4AEB ∼ = 4CEF (proposici´on 15 y criterio de congruencia LAL), pero ∠ACF < ∠ACD (noci´on com´ un 5), de donde se conluye que ∠BAC < ∠ACD. Ejercicios 1. Probar que tres puntos colineales no pueden ser equidistantes a un mismo punto. 2. Probar que por un punto P dado existe una u ´nica recta perpendicular a una recta dada. Proposici´ on 17. En todo tri´angulo la suma de dos ´angulos cualesquiera es menor que dos ´angulos rectos. Demostraci´on. Dado el 4ABC, sea D tal que C se encuentra en el segmento AD (postulado 2). Entonces ∠DCB + ∠ACB es dos rectos (proposici´on 13), pero ∠DCB > ∠ABC (proposici´on 16), de donde ∠ABC + ∠ACB es menor que dos rectos. 11

Proposici´ on 18. En todo tri´angulo, a lado mayor se opone ´angulo mayor. Demostraci´on. Sup´ongase que en el tri´angulo 4ABC se tiene AC > AB. Sea D un punto en el segmento AC tal que AD = AB (proposici´on 3) y dibujar BD (postulado 1). Entonces ∠ABC > ∠ABD (noci´on com´ un 5), pero ∠ABD = ∠ADB (proposici´on 5) y ∠ADB > ∠ACB (proposici´on 16), por lo tanto ∠ABC > ∠ACB. Proposici´ on 19. En todo tri´angulo, a ´angulo mayor se opone lado mayor. Demostraci´on. Sup´ongase que en el tri´angulo 4ABC se tiene ∠ABC > ∠ACB. Procediendo por contradicci´on, sup´ongase que AC = AB o AC < AB. Cuando AC = AB se tiene ∠ABC = ∠ACB (proposici´on 5), y cuando AC < AB se tiene ∠ABC < ∠ACB (proposici´on 8). En ambos casos se tiene una contradicci´on con la hip´otesis, por lo tanto AC > AB. Ejercicios 1. En 4ABC se tiene AB < BC y E es el punto medio de AC. Probar que ∠CBE < ∠ABE. 2. En 4ABC se tiene AB < BC y la bisectriz de ∠ABC intersecta al lado AC en el punto D. Probar que AD < CD. 3. Probar que, de todos los segmentos que unen un punto con una recta, el m´as corto es el que es perpendicular a dicha recta. Proposici´ on 20. En todo tri´angulo, la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el otro lado. Esta afirmaci´on es conocida como desigualdad del tri´angulo. Demostraci´on. Dado el 4ABC, sea D tal que A se encuentra en el segmento BD y AD = AC (postulado 2 y proposici´on 3). Al dibujar CD (postulado 1) se tiene que ∠BCD > ∠ACD (noci´on com´ un 5) y ∠ACD = ∠ADC (proposici´on 5), de donde ∠BCD > ∠ADC. Por lo tanto BD > BC (proposici´on 19), de donde se concluye que BA + AC = BA + AD = BD > BC. Ejercicios 1. Probar que la diferencia de las longitudes de dos lados de un tri´angulo es menor que el tercer lado.

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2. Probar que la suma de las longitudes de los tres segmentos de recta que unen un punto cualquiera a los tres v´ertices de un tri´angulo es mayor que la mitad del per´ımetro del tri´angulo. 3. Probar que la suma de las longitudes de las diagonales de un cuadril´atero convexo es menor que su per´ımetro. 4. Probar que la suma de las longitudes de las diagonales de un cuadril´atero convexo es mayor que la mitad de su per´ımetro. 5. Sean A y B dos puntos del mismo lado de la recta m, y sea P un punto arbitrario en m. Probar que AP + P B es menor cuando m forma a´ngulos iguales con AP y BP . Proposici´ on 21. Si un tri´angulo se construye dentro de otro tri´angulo dado compartiendo su base, entonces los lados construidos del nuevo tri´angulo suman menos que los lados correspondientes del tri´angulo dado, pero el ´angulo que forman es mayor que el ´angulo correspondiente del tri´angulo dado. Demostraci´on. Sean D un punto dentro de 4ABC. Sea E un punto en AC tal que B, D, E son colineales. Aplicando dos veces la proposici´on 20 se prueba que AB + AC > DB + DC. Aplicando dos veces la proposici´on 16 se prueba que ∠BDC > ∠BAC. Proposici´ on 22. Dados tres segmentos de recta tales que la suma de cualesquiera dos de ellos es mayor que el otro, es posible construir un tri´angulo con lados iguales a los segmentos dados. Demostraci´on. Sea BC el segmento de longitud a. Puesto que b + c > a = BC, entonces con A = (B; c) ∩ (C; b) (proposici´on 2, y postulado 3) se puede formar 4ABC tal que AC = b y AB = c. Proposici´ on 23. Dados una recta y punto en ella, es posible contruir un ´angulo igual a un ´angulo dado con v´ertice en el punto dado y con la recta dada como lado. ←→ Demostraci´on. Sea AB la recta dada y ∠DCE el a´ngulo dado. Construir ←→ 4AF G con G en AB tales que AG = CE, AF = CD, y F G = DE (proposici´on 22). Entonces ∠F AG es el ´angulo requerido pues 4AF G ∼ = 4CDE (criterio de congruencia LLL). Proposici´ on 24. Si dos tri´angulos tienen dos lados respectivos iguales, entonces el que tiene el ´angulo mayor entre dichos lados tiene el tercer lado mayor que el tercer lado del otro. 13

Demostraci´on. Ejercicio. Proposici´ on 25. Si dos tri´angulos tienen dos lados respectivos iguales, entonces el que tiene el tercer lado mayor tiene el ´angulo mayor entre los dos primeros lados. Demostraci´on. Ejercicio. Proposici´ on 26. Si dos tri´angulos tienen dos ´angulos respectivos iguales, y los lados que unen estos dos ´angulos tambi´en son iguales, entonces los dos tri´angulos son congruentes. Si dos tri´angulos tienen dos ´angulos respectivos iguales, y el lado opuesto a uno de estos ´angulos tambi´en es igual al correspondiente en el otro tri´angulo, entonces los dos tri´angulos son congruentes. La primera parte de esta afirmaci´on es conocida como el Criterio de Congruencia ALA. La segunda parte es conocida como el Criterio de Congruencia AAL. Demostraci´on. Primera Parte: Sea 4ABC y 4DEF tales que BC = EF , ∠ABC = ∠DEF y ∠ACB = ∠DF E. Proceder por contradicci´on, suponiendo que AB < DE. Sea G un punto tal que A se encuentra en BG y GB = DE (postulado 2 y proposici´on 3). Entonces 4GBC ∼ = 4DEF (criterio de congruencia LAL) y por lo tanto ∠GCB = ∠DF E, luego ∠GCB = ∠ACB, que contradice la noci´on com´ un 5. Se concluye que AB = DE y por lo tanto ∼ 4ABC = 4DEF (criterio de congruencia LAL). Segunda Parte: Ejercicio. Ejercicios 1. Probar que si un tri´angulo rect´angulo tienen su hipotenusa y un cateto iguales respectivamente a la hipotenusa y un cateto de otro tri´angulo rect´angulo, entonces los tri´angulos son congruentes. 2. Probar que si una altura de un tri´angulo es tambi´en bisectriz, entonces el tri´angulo es is´osceles. 3. Si en el cuadril´atero ABCD la diagonal AC es bisectriz de los ´angulos interiores en A y C, probar que los a´ngulos interiores en B y D son iguales. 4. En 4ABC se tiene AB = AC. Sean D y E puntos en los lados AB y AC, respectivamente, tales que AD = AE. Probar que si CD y BE se intersectan en el punto O, entonces AO es bisectriz de ∠BAC. 14

5. Probar que la altura a la base de un tri´angulo is´osceles es bisectriz y mediatriz. 6. Probar que el lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de dos rayos que parten del mismo punto es la bisectriz del a´ngulo que forman. 7. Probar que las bisectrices de un tri´angulo tienen un punto en com´ un que es el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del tri´angulo. Esta circunferencia es llamada circunferencia inscrita al tri´angulo y su centro es llamado incentro. 8. Probar que el ´area de un tri´angulo es igual al producto de la mitad de su per´ımetro con el inradio. Proposici´ on 27. Si una recta corta a dos rectas dadas de tal manera que dos ´angulos alternos internos son iguales, entonces las dos rectas dadas son paralelas. Notar que este resultado es el rec´ıproco del Postulado de las Paralelas (Postulado 5). Demostraci´on. Sean m y n dos rectas que cortan a ` en A y B, respectivamente. Procediendo por contradicci´on, sup´ongase que m y n no son paralelas, intersect´andose en un punto C. Entonces uno de los dos a´ngulos alternos internos es un a´ngulo interior a 4ABC y el otro es exterior. Esto contradice la proposici´on 16, luego m y n son paralelas. Proposici´ on 28. Si una recta corta a dos rectas dadas de tal manera que dos ´angulos correspondientes son iguales, entonces las dos rectas dadas son paralelas. Demostraci´on. Ejercicio. Ejercicios 1. Probar que si un cuadril´atero tiene lados opuestos iguales, entonces los lados opuestos del cuadril´atero son paralelos. 2. Probar que si las diagonales de un cuadril´atero se bisecan, entonces los lados opuestos del cuadril´atero son paralelos.

15

3. 3.1.

Resultados sobre la geometr´ıa del c´ırculo sin usar el Postulado de las Paralelas Algunas definiciones del Libro III

Una cuerda de un c´ırculo es un segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Un di´ametro es una cuerda que pasa por el centro del c´ırculo. Un arco de un c´ırculo es una porci´on de la circunferencia que se encuentra entre dos de sus puntos. Toda cuerda determina dos arcos del c´ırculo. Un arco determinado por un di´ametro es llamado semicircunferencia. Un sector de un c´ırculo es la porci´on del c´ırculo que se encuentra entre dos radios. Un ´angulo central de un c´ırculo es uno cuyos lados son radios. Toda cuerda tiene asociada un ´angulo central que es a lo m´as dos rectos. Una recta es tangente a un c´ırculo si tiene exactamente un punto en com´ un con el c´ırculo. Este punto es llamado punto de tangencia. An´alogamente, se dice que dos c´ırculos son tangentes si tienen exactamente un punto en com´ un. Si un c´ırculo se encuentra dentro de otro la tangencia es interna, de lo contrario es externa.

3.2.

Algunas proposiciones del Libro III

Proposici´ on 3. En un c´ırculo, un radio biseca una cuerda que no pasa por el centro si y s´olo si el radio y la cuerda son perpendiculares. Demostraci´on. Ejercicio. Proposiciones 16, 17 y 18. Sup´ongase que una recta intersecta un c´ırculo. Entonces la recta y el c´ırculo son tangentes si y s´olo si la recta es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Demostraci´on. Sea (C; CP ) el c´ırculo, ` la recta, y P = (C; CP ) ∩ `. Si ` es tangente al c´ırculo, entonces cualquier otro punto Q en ` no debe estar a distancia CP de C. Esto s´olo es posible si CP ⊥ `. Rec´ıprocamente, si CP ⊥ `, entonces todo punto Q 6= P de ` cumple CP < CQ. Ejercicios 1. Sea P un punto fuera de un c´ırculo. Construir las tangentes al c´ırculo que pasan por P .

16

2. Suponer que S y T son los puntos de tangencia de las tangentes a un c´ırculo trazadas desde un punto P fuera del c´ırculo. Probar que PS = PT. 3. Probar que si dos c´ırculos son tangentes (interna o externamente), entonces la recta que pasa por sus centros tambi´en pasa por el punto de tangencia. 4. Probar que si P es el punto de tangencia de dos c´ırculos tangentes, entonces la recta tangente a un c´ırculo en P es tambi´en tangente al otro c´ırculo. 5. Sean m y n tangentes comunes a c´ırculos de distintos radios de tal manera que ambos c´ırculos se encuentran dentro del a´ngulo formado por m y n. Probar que la l´ınea que une los centros de los c´ırculos biseca al ´angulo formado por m y n. 6. Sean m y n tangentes comunes a c´ırculos de distintos radios de tal manera que los c´ırculos se encuentran en a´ngulos opuestos formados por m y n. Probar que la l´ınea que une los centros de los c´ırculos biseca al a´ngulo formado por m y n. Proposiciones 26, 27, 28 y 29. Considerar dos c´ırculos del mismo radio con centros en E y E 0 , respectivamente. Sean A y B puntos en un circunferencia, y sean A0 y B 0 puntos en la otra. Entonces son equivalentes: _

_

1. AB=A0 B 0 . 2. AB = A0 B 0 . 3. ∠AEB = ∠A0 E 0 B 0 . Demostraci´on. Primero hay que convencerse de que si dos c´ırculos tienen igual radio, entonces son congruentes. Luego se prueban las implicaciones en el siguiente orden. _

_

1 ⇒ 2: Puesto que AB=A0 B 0 y los c´ırculos tienen el mismo radio, es posible llevar el c´ırculo centrado en E al centrado en E 0 de tal manera que _

_

A cae sobre A0 y AB cae sobre A0 B 0 , luego AB = A0 B 0 . 2 ⇒ 3: Puesto que AB = A0 B 0 , se tiene 4AEB ∼ = 4A0 E 0 B 0 por el criterio 0 0 0 de congruencia LLL, luego ∠AEB = ∠A E B . 3 ⇒ 1: Puesto que ∠AEB = ∠A0 E 0 B 0 y los c´ırculos tienen igual radio, _ es posible llevar el E en E 0 y hacer que los a´ngulos coincidan, luego AB cae _

sobre A0 B 0 . 17

Ejercicios 1. Probar que en un c´ırculo, un di´ametro es mayor que cualquier cuerda que no es di´ametro. 2. Dado un punto A dentro del c´ırculo, construir una cuerda que es bisecada por A. Probar que esta cuerda es la m´as corta de todas las cuerdas que pasan por A. 3. Probar (sin usar el teorema de Pit´agoras) lo siguiente: a) Dos cuerdas de un c´ırculo son iguales si y s´olo si se encuentran a igual distancia de su centro. b) Si dos cuerdas de un c´ırculo no son iguales, la mayor est´a m´as cerca del centro.

3.3.

Una proposici´ on del Libro VI

Proposici´ on 33. En c´ırculos congruentes, ´angulos centrales son proporcionales a los arcos que subtienden. Demostraci´on. Considerar un c´ırculo con centro en P dos puntos A y B en su circunferencia. Considerar otro c´ırculo con centro en Q y dos puntos C y D _ AB ∠AP B = _ . Se probar´a esto en su circunferencia. El teorema afirma que ∠AQD CD para el caso en que las razones son racionales (Euclides solamente argumenta ∠AP B m este caso), es decir, existen n´ umeros naturales m y n tales que = ∠AQD n ∠AP B ∠AQD ∠AP B ∠AQD o, equivalententemente, = . Sea α = = . m n m n _ Entonces existen puntos A1 , A2 , . . . , Am−1 en AB y puntos C1 , C2 , . . . , Cn−1 _

en CD tales que ∠AP A1 = ∠A1 P A2 = ∠A2 P A3 = · · · = ∠Am−1 P B = ∠CQC1 = ∠C1 QC2 = ∠C2 QC3 = · · · = ∠Cn−1 QD = α. _

_

_

_

_

_

Luego AA1 =A1 A2 =A2 A3 = · · · =CC1 =C1 C2 =C2 C3 = · · · . Si la longitud de todos estos arcos es denotada por β, entonces se concluye que _

AB _

CD

=

mβ m ∠AP B = = . nβ n ∠CQD

18

Esta proposici´on fue usada por Erat´ostenes (275-194 a.C.), director de la biblioteca de Alejandr´ıa, para obtener una estimaci´on bastante adecuada de la circunferencia de la Tierra. Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, Erat´ostenes sab´ıa que en Siena (hoy Asun, en Egipto) el d´ıa del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos. Suponiendo que Alejandr´ıa estaba al norte de Siena (realmente est´an sobre meridianos que distan 3◦ ) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos pod´ıan suponerse paralelos, midi´o la sombra en Alejandr´ıa el mismo d´ıa del solsticio de verano al mediod´ıa, demostrando que ´angulo central que la diferencia de latitudes entre las ciudades era de 1/25 parte de 180◦ . Posteriormente, tom´o la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandr´ıa, fij´andola en 5,000 estadios1 , de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 2 × 25 × 5, 000 = 250, 000 estadios (esto es 44, 500 km.). Actualmente se calcula que la circunferencia polar mide 40,075 km. Ejercicios 1. Si la circunferencia de un c´ırculo mide 10, hallar las longitudes de los arcos que subtienden los siguientes ´angulos en el centro del c´ırculo: (a)10◦

(b)30◦

(c)90◦

(d)110◦

(e)120◦

(f)180◦

2. Una ciudad se encuentra a latitud de 25◦ en el hemisferio norte. Hallar su distancia al Ecuador, al Polo Norte, y al Polo Sur (Suponer que la circunferencia de la Tierra es de 40, 000 km.). 3. Una ciudad se encuentra a 617 km al sur del Ecuador. Hallar su latitud (Suponer que la circunferencia de la Tierra es de 40, 000 km.). 4. Un cazador camina 50 km al sur de su campamento, y luego 30 km al este. Mata entonces a un oso y por u ´ltimo camina 50 km al norte y retorna a su campamento. ¿De qu´e color era el oso?

4.

Resultados del Libro I que dependen del Postulado de las Paralelas

Esta secci´on trata de las restantes 20 proposiciones del Libro I de Los Elementos de Euclides. 1

El estadio usual para Erat´ ostenes equivale a unos 178 m.

19

Proposici´ on 29. Si una recta corta a dos rectas paralelas, entonces los ´angulos correspondientes son iguales, y los ´angulos alternos internos tambi´en son iguales. Demostraci´on. Para proceder por contradicci´on, sup´ongase que dos a´ngulos correspondientes son distintos, o dos a´ngulos alternos internos son distintos. Usando el postulado de las paralelas se concluye que las rectas se deben intersectar, contradiciendo la hip´otesis de que son paralelas. Ejercicio 1. Para 4ABC, suponer que AD k BC y AD = AB. Probar que BD biseca el a´ngulo interior o el a´ngulo exterior en B. Proposici´ on 30. Rectas que son paralelas a otra son paralelas entre s´ı. Demostraci´on. Para proceder por contradicci´on, sup´ongase que las rectas `, m, n cumplen ` k m y ` k n pero P = m ∩ n. Al unir P con un punto Q en ` se obtiene una contradicci´on con la proposici´on 29. Ejercicios 1. Probar que si una recta intersecta a una de dos rectas paralelas entonces tambi´en intersecta a la otra. Proposici´ on 31. Dada una recta y un punto que no est´a en ella, es posible contruir una recta paralela a la recta dada que pase por el punto dado. Demostraci´on. Sean ` y P la recta y el punto dados. Sea Q un punto en `. Usando la proposici´on 23 se construye una recta tal que P Q la intersecta a ella y a ` de tal manera que los ´angulos alternos internos son iguales, y se concluye recurriendo a la proposici´on 27. Proposici´ on 32. En cualquier tri´angulo, si uno de los lados se extiende, el ´angulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a ´el, y la suma de los tres ´angulos interiores es igual a dos rectos. ←→ Demostraci´on. Se usa la proposici´on 31 para construir una recta CD paralela al lado AB del 4ABC. Luego se concluye usando las proposiciones 29 y 13.

20

Ejercicios 1. En el 4ABC is´osceles, una recta perpendicular a la base BC intersecta ←→ ←→ AB y AC en los puntos D y E, respectivamente. Probar que 4ADE es is´osceles. 2. En 4ABC, ∠BAC = 90◦ y ∠ACB = 30◦ . Probar que BC = 2AB. 3. En 4ABC, ∠ABC = 60◦ y BC = 2AB. Probar que 4ABC es un tri´angulo rect´angulo. 4. Probar que en un tri´angulo rect´angulo el ´angulo entre la altura sobre la hipotenusa y uno de los catetos es igual al a´ngulo opuesto a ese cateto. 5. Probar que en 4ABC la bisectriz y la altura por A forman un a´ngulo que es la mitad de la diferencia entre los a´ngulos interiores en B y C. 6. Probar que en el tri´angulo rect´angulo 4ABC la bisectriz de ∠ABC, la altura de la hipotenusa BC, y el lado AC forman un tri´angulo is´osceles. 7. Probar que la suma de los a´ngulos interiores de un pol´ıgono (convexo o no) de n lados es (n − 2)180◦ . 8. Probar que la suma de los a´ngulos exteriores de un pol´ıgono convexo es 360◦ . 9. Construir 4ABC dados el lado a y los a´ngulos α y β. 10. Construir 4ABC dados los a´ngulos α y β y la altura por C. Proposici´ on 33. Un cuadril´atero en el cual dos lados opuestos son iguales y paralelos es un paralelogramo. Demostraci´on. Sea ABCD un cuadril´atero tal que AB k CD y AB = CD. Por la proposici´on 29 y el criterio de congruencia LAL se tiene 4ABC ∼ = 4DCB. Se concluye que AC k BD usando la proposici´on 27. Proposici´ on 34. En cualquier paralelogramo los ´angulos opuestos son iguales, los lados opuestos son iguales, y cualquier diagonal biseca el ´area. Demostraci´on. Sea ABCD un cuadril´atero tal que AB k CD y AC k BD. Por la proposici´on 29 y el criterio de congruencia ALA se tiene 4ABC ∼ = 4DCB.

21

Por primera vez Euclides toca el concepto de a´rea. Aunque en este punto Euclides no aborda con profundidad este concepto, la proposici´on 34 y las siguientes que tratan sobre el a´rea en este Libro I utilizan solamente dos propiedades b´asicas del a´rea, mismas que explicaremos a continuaci´on. Primero que nada, vamos a considerar el ´area como una funci´on real definida para pol´ıgonos. Es decir, si P es el conjunto de todos los pol´ıgonos planos, entonces el a´rea es una funci´on que le asigna a cada elemento P ∈ P un n´ umero real (mediante un proceso que aun no sabemos c´omo es). De esta manera, el a´rea asigna un valor num´erico a cada pol´ıgono. Representaremos el ´area del pol´ıgono p como a(p). Las dos propiedades que usa Euclides son: Propiedad de congruencia Si p1 y p2 son pol´ıgonos congruentes, entonces a(p1 ) = a(p2 ). Propiedad de aditividad Si p se descompone en pol´ıgonos p1 , p2 , . . . , pn , entonces a(p) = a(p1 ) + a(p2 ) + · · · a(pn ). Ambas propiedades para el ´area son muy naturales. Las cuestiones fundamentales que quedan por resolver (y que Euclides no formula) son las siguientes. Pregunta 1 ¿Existe una funci´on ´area? Pregunta 2 En caso de que una funci´on a´rea exista, ¿esta es u ´nica? De manera precisa, si a1 y a2 son dos funciones a´rea, ¿es cierto que a1 (p) = a2 (p) para todo p ∈ P? La respuesta a la primer pregunta es naturalmente SI. La respuesta a la segunda pregunta es NO (considerar, por ejemplo, la funci´on constante nula a(p) = 0 para todo p ∈ P). La funci´on a´rea que conocemos se recupera de manera u ´nica si adem´as de las dos propiedades anteriores (congruencia y aditividad) pedimos que a(p) > 0 para todo p ∈ P y a(c) = 1 si c es el cuadrado unitario. Ejercicios 1. Probar que si los pares de lados opuestos de un cuadril´atero son iguales, entonces el cuadril´atero es un paralelogramo. 2. Probar que si los pares de a´ngulos opuestos de un cuadril´atero son iguales, entonces el cuadril´atero es un paralelogramo.

22

3. Probar que un cuadril´atero es un paralelogramo si y s´olo si sus diagonales se bisecan. 4. Probar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un tri´angulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de la longitud del tercer lado. 5. Sea D el punto medio del lado AB de 4ABC. Probar que si E es un punto en AC tal que DE k BC, entonces AE = EC y DE = BC/2. 6. Probar que los puntos medios de los cuatro lados de un cuadril´atero son los v´ertices de un paralelogramo. 7. Probar que las tres medianas de un tri´angulo concurren en un punto que divide a cada una de ellas en la raz´on 2 : 1. 8. En 4ABC se tiene que AB = AC y los puntos D, E, F se encuentran en los segmentos BC, AB, AC, respectivamente, de tal manera que DE ⊥ AB y DF ⊥ AC. Probar que el valor de DE + DF no depende de la localizaci´on del punto D. 9. Probar que los tres segmentos que unen los puntos medios de los tres lados de un tri´angulo lo dividen en cuatro tri´angulos congruentes. 10. Probar que si tres rectas paralelas cortan segmentos iguales en otra recta entonces tambi´en cortan segmentos iguales en cualquier recta que las intersecta. 11. Un trapezoide es un cuadril´atero que tiene dos lados paralelos. Probar que el segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapezoide es paralelo a los otros dos lados y es igual a la mitad de la suma de sus longitudes. 12. Sea A un punto en el interior de un ´angulo. Construir un segmento con extremos en los lados del a´ngulo y tal que A sea su punto medio. 13. Dado un ´angulo, determinar el lugar geom´etrico de aquellos puntos cuya suma de sus distancias a los lados del a´ngulo es constante. 14. El punto E en el interior del cuadrado ABCD es tal que ∠ABE = ∠BAE = 15◦ . Probar que 4CDE es equil´atero. 15. Probar que el punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un cuadril´atero coincide con el punto de intersecci´on de los segmentos que unen los puntos medio de los pares de lados opuestos del cuadril´atero. 23

Proposici´ on 35. Dos paralelogramos que comparten la base y tienen el lado opuesto sobre la misma recta tienen igual ´area. Demostraci´on. Sean ABCD y EBCF paralelogramos tales que A, D, E, F son colineales. Puesto que AD = BC = EF , se tiene que AE = DF y 4BAE ∼ = 4CF D por el criterio de congruencia LAL, luego a(ABGD) = a(EGCF ) y a(ABCD) = a(EBCF ). Proposici´ on 36. Si una recta contiene a lados de dos paralelogramos, siendo ´estos lados iguales, y otra recta contiene a los lados opuestos de ambos paralelogramos, entonces los paralelogramos tienen la misma ´area. Demostraci´on. Sean ABCD y EF GH paralelogramos tales que B, C, F, G son colineales con BC = F G y A, D, E, H son colineales. De la proposici´on 33 se tiene que EBCH es un paralelogramo y de la proposici´on 35 se concluye que a(ABCD) = a(EBCH) = a(EF GH). Proposici´ on 37. Si dos tri´angulos comparten la base, y los v´ertices opuestos determinan una recta paralela a la base, entonces tienen la misma ´area. Demostraci´on. Sean 4ABC y 4DBC tri´angulos tales que AD k BC. Sean ←→ E y F en AD tales que BE k AC y CF k BD. Entonces a(AEBC) = a(DBCF ) por la proposici´on 35 y a(4ABC) = a(4DBC) por la proposici´on 34. Proposici´ on 38. Si una recta contiene a las bases de dos tri´angulos, siendo ´estas iguales, y otra recta paralela a la primera contiene a los v´ertices opuestos de ambos tri´angulos, entonces los tri´angulos tienen la misma ´area. Demostraci´on. Sean 4ABC y 4DEF tales que B, C, E, F son colineales ←→ con BC = EF y AD k BC. Sean G y H en AD tales que BG k AC y F H k DE. Entonces a(GBCA) = a(DEF H) por la proposici´on 35 y a(4ABC) = a(4DBC) por la proposici´on 34. Proposici´ on 39. Si dos tri´angulos comparten la base y tienen igual ´area, entonces los v´ertices opuestos determinan una recta paralela a la base. Demostraci´on. Sup´ongase que a(4ABC) = a(4DBC), con A y D del mis←→ mo lado de BC. Procediendo por contradicci´on, sup´ongase que AD y BC no son paralelas. Sea E punto en BD tal que AE k BC. Entonces se obtiene la contradicci´on a(4ABC) = a(4EBC) 6= a(4DBC). Proposici´ on 40. ——————— 24

Se ha comprobado que la proposici´on 40 que aparece en las traducciones de Los Elementos de Euclides fue insertada por un ge´ometra posterior. Esta es la raz´on por la que no se enuncia en estas notas. Proposici´ on 41. Si un paralelogramo comparte la base con un tri´angulo y tiene el lado opuesto de tal manera que al extenderlo pasa por el v´ertice opuesto del tri´angulo, entonces el paralelogramo tiene el doble del ´area que el tri´angulo. ←→ Demostraci´on. Sea ABCD un paralelogramo y E un punto en AD. Entonces a(4ABC) = a(4EBC) por la proposici´on 37 y se concluye usando la proposici´on 34. Ejercicios 1. Probar que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un tri´angulo determina un tri´angulo cuya a´rea es la cuarta parte del a´rea del tri´angulo original. 2. Probar que un cuadril´atero es un paralelogramo si y s´olo si sus diagonales lo dividen en cuatro tri´angulos con la misma ´area. 3. Probar que el paralelogramo formado por los puntos medios de los lados de un cuadril´atero tiene la mitad del ´area del cuadril´atero original. 4. Probar que las medianas de un tri´angulo lo dividen en seis tri´angulos con la misma a´rea. Proposici´ on 42. Dado un ´angulo, es posible contruir un paralelogramo con un ´angulo igual al ´angulo dado y de ´area igual al ´area de un tri´angulo dado. Demostraci´on. Sea ABC el tri´angulo dado. Sea E el punto medio de BC. Sea F tal que AF k BC (proposici´on 31) y ∠CEF igual al ´angulo dado ←→ (proposici´on 23). Sea G un punto en AF tal que CG k EF (proposici´on 31). Entonces CEF G es el paralelogramo deseado. Proposici´ on 43. En cualquier paralelogramo, al partir una diagonal en dos diagonales de dos paralelogramos con lados paralelos al original, el complemento de este par de paralelogramos son dos paralelogramos de igual ´area. Demostraci´on. Sea ABCD un paralelogramo. Sea I en la diagonal AC. Sean E, F, G, H puntos en los lados AB, BC, CD, DA respectivamente, tales que AEIH y CGIF son paralelogramos con diagonales AI y CI, respectivamente. Solamente hay que aplicar la proposici´on 34 para tener las tres igualdades a(4ABC) = a(4ACD), a(4AEI) = a(4AHI) y a(4CF I) = a(4CGI). 25

Proposici´ on 44. Dados una recta, un ´angulo y un tri´angulo, es posible construir un paralelogramo con un ´angulo igual al ´angulo dado, ´area igual a la del tri´angulo dado, y un lado sobre la recta dada. Demostraci´on. Ejercicio. Proposici´ on 45. Dado un ´angulo, es posible contruir un paralelogramo con lados sobre los lados del ´angulo y de ´area igual al ´area de un cuadril´atero dado. Demostraci´on. Ejercicio. Ejercicio 1. Dado el tri´angulo 4ABC, construir un tri´angulo is´osceles con base AB y ´area igual a a(4ABC). Proposici´ on 46. Dado un segmento de recta, es posible construir un cuadrado con este segmento como lado. Demostraci´on. Sea AB el segmento dado. Construir una perpendicular a AB que pase por el punto A. Sea D un punto en dicha perpendicular tal que AD = AB. Por D construir una paralela a AB, y por B construir una paralela a AD. Sea C el punto de intersecci´on de estas dos paralelas construidas. Entonces ABCD es el cuadrado deseado. Proposici´ on 47. En un tri´angulo rect´angulo el cuadrado que tiene como lado a la hipotenusa tiene ´area igual a la suma de las ´areas de los cuadrados que tienen como lados a los catetos. Este resultado es conocido como el Teorema de Pit´agoras. Demostraci´on. Sea 4ABC un tri´angulo rect´angulo con ´angulo recto en A. Sean ABF G, ACHK y BCDE cuadrados exteriores a 4ABC (proposici´on 46) Sea L en DE tal que AL k BE y M = AL ∩ BC. Entonces A, C, G son colineales, al igual que A, B, K (proposici´on 14). Adem´as ∠ABE = ∠CBF , y 4EBA ∼ = 4CBF por el criterio LAL. Por lo tanto a(BF GA) = 2a(4BF C) = 2a(4BAE) = a(BELM ) (proposici´on 41). De manera an´aloga, a(CHKA) = 2a(4CAD) = a(CDLM ). Proposici´ on 48. Si en un tri´angulo el cuadrado que tiene como lado a uno de los lados del tri´angulo tiene ´area igual a la suma de las ´areas de los cuadrados que tienen como lados a los otros lados del tri´angulo, entonces el ´angulo entre los dos u ´ltimos lados es recto. 26

Demostraci´on. Sea 4ABC tal que el cuadrado sobre el lado BC es igual a la suma de los cuadrados sobre los lados AB y AC. Sea D el punto sobre la perpendicular por A al segmento AC tal que AD = AB. Puesto que 4ACD es tri´angulo rect´angulo, aplicando la proposici´on 47 y la hip´otesis de lo que se quiere mostrar se tiene que CD = CB. Se concluye del criterio LLL que 4ABC ∼ = 4ADC. Ejercicios 1. Las diagonales y un lado de un paralelogramo tienen longitudes 30, 16 y 17, respectivamente. Probar que el paralelogramo es un rombo. 2. Construir un cuadrado cuya a´rea sea la suma de las a´reas de tres cuadrados dados.

4.1.

F´ ormula del ´ area de un rect´ angulo

Calcularemos el ´area del rect´angulo en t´erminos de sus lados. Sea R(a, b) un rect´angulo de altura a y base b. Sea f (a, b) la funci´on de dos variables positivas a, b definida por f (a, b) = a(R(a, b)). Tenemos dos propiedades para el ´area que se traducen en las siguientes propiedades para f : Congruencia f (a, b) = f (b, a). Aditividad f (a1 + a2 , b) = f (a1 , b) + f (a2 , b). Vamos a imponer otros dos axiomas a la funci´on a´rea: Positividad f (a, b) > 0. Normalizaci´ on f (1, 1) = 1. Proposici´ on 49. Si una funci´on f satisface las tres condiciones anteriores entonces f (a, b) = ab para toda a, b > 0. Demostraci´on. Por la aditividad y la normalizaci´on, se tiene que f (m, n) = mn para todo par de n´ umeros naturales n, m. Tambi´en por aditividad y normalizaci´on se tiene que f (1/m, 1/n) = 1/mn para todo par de n´ umeros naturales n, m. De lo anterior se tiene que f (a, b) = ab para todo par de n´ umeros racionales positivos. Por positividad y aditividad, f (a0 , b) > f (a, b) si a0 > a. Entonces, por la simetr´ıa, se tiene que f (a, b0 ) > f (a, b) si b0 > b. Luego f (a0 , b0 ) > f (a, b0 ) > f (a, b) si a0 > a y b0 > b. Es decir, f es una “funci´on creciente”. 27

Sean a, b n´ umeros reales positivos. Para cada n´ umero  > 0 existen n´ umeros racionales positivos a1 , a2 , b1 , b2 tales que a −  < a1 ≤ a ≤ a2 < a + , b −  < b1 ≤ b ≤ b2 < b + . Como f es creciente se tiene (a − )(b − ) < a1 b1 ≤ f (a, b) ≤ a2 b2 < (a + )(b + ). Como ab − (a + b − ) < f (a, b) < ab + (a + b + ) para todo , se concluye que f (a, b) = ab.

5.

Algunos resultados de otros libros

5.1.

Consecuencias del Teorema de Pit´ agoras

Las siguientes dos proposiciones constituyen la ley de cosenos moderna. Proposici´ on 50 (Proposici´on 12 del libro II). En todo tri´angulo obtus´angulo, el ´area del cuadrado sobre el lado que subtiende el ´angulo obtuso es mayor que la suma de las ´areas de los cuadrados sobre los otros lados por el doble del ´area del rect´angulo cuyos lados son uno de los lados adyacentes al ´angulo obtuso y la proyecci´on, sobre este u ´ltimo lado, del otro lado adyacente al ´angulo obtuso. Demostraci´on. Ejercicio. Proposici´ on 51 (Proposici´on 13 del libro II). En todo tri´angulo acut´angulo, el ´area del cuadrado sobre el lado que subtiende un ´angulo elegido es menor que la suma de las ´areas de los cuadrados sobre los otros lados por el doble del ´area del rect´angulo cuyos lados son uno de los lados adyacentes al ´angulo fijo y la proyecci´on, sobre este u ´ltimo lado, del otro lado adyacente al ´angulo fijo. Demostraci´on. Ejercicio. Ejercicio 1. Sean a, b, c las longitudes de los lados BC, AC, AB del 4ABC, respectivamente, y sea D el punto medio de BC. Probar que la longitud m de la mediana AD esta dada por m2 = (2b2 + 2c2 − a2 )/4.

28

5.2.

Resultados sobre ´ angulos en el c´ırculo

Proposici´ on 52 (Proposici´on 20 del libro III). En un c´ırculo, el ´angulo central es el doble del ´angulo inscrito si ambos subtienden el mismo arco. Demostraci´on. Sean A, B, C puntos en una circunferencia con centro en O. Se considerar´an tres casos: Caso 1. Uno de los lados de ∠BAC contiene a O: En este caso se tiene ∠BOC = ∠BAC + ∠OCA (proposici´on 32), pero ∠BAC = ∠OCA (proposici´on 5). Caso 2. O se encuentra en el interior de ∠BAC: Sea P la otra inter←→ secci´on de AO con la circunferencia del c´ırculo dado. Entonces, por el caso 1 anterior, ∠P OB = 2∠P AB y ∠P OC = 2∠P AC, de donde se concluye ∠BOC = 2∠BAC. Caso 3. O se encuentra en el exterior de ∠BAC: Sea P la otra inter←→ secci´on de AO con la circunferencia del c´ırculo dado. Entonces, por el caso 1 anterior, ∠P OB = 2∠P AB y ∠P OC = 2∠P AC, de donde se concluye ∠BOC = 2∠BAC.

Proposici´ on 53 (Proposici´on 21 del libro III). En un c´ırculo, los ´angulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales. Demostraci´on. Es consecuencia inmediata de la proposici´on 52. Se dice que un pol´ıgono es c´ıclico si sus v´ertices se encuentran en una circunferencia. Proposici´ on 54 (Proposici´on 22 del libro III). Los ´angulos opuestos de un cuadril´atero c´ıclico suman dos rectos. Demostraci´on. Ejercicio. Proposici´ on 55 (Proposici´on 31 del libro III). En un c´ırculo, todo ´angulo inscrito que subtiende un di´ametro es un ´angulo recto. Demostraci´on. Ejercicio. Proposici´ on 56 (Proposici´on 32 del libro III). Sea P un punto fuera de un ←→ c´ırculo, y AB una cuerda del c´ırculo. Entonces P A es tangente al c´ırculo si y s´olo si ∠P AB es igual a los ´angulos inscritos que subtienden el mismo arco que ∠P AB. 29

Demostraci´on. Sea AC el di´ametro del c´ırculo. Se tiene que ∠ABC = 90◦ (proposici´on 55). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: ←→ 1. P A es tangente al c´ırculo, 2. ∠CAP = 90◦ , 3. ∠P AB = 90◦ − ∠BAC, 4. ∠P AB = ∠AP B.

Ejercicios 1. Probar el rec´ıproco de la proposici´on 54. 2. Probar que si el ex´agono ABCDEF es c´ıclico y los a´ngulos interiores en A y D son iguales, entonces BC k EF . 3. Probar que si las cuerdas perpendiculares AB y CD de un c´ırculo se intersectan en el punto M (dentro del c´ırculo), entonces la recta que pasa por M y es perpendicular a AD biseca la cuerda BC. 4. Dado un segmento de recta AB, construir el lugar geom´etrico de todos los puntos P tales que ∠AP B es igual a un ´angulo dado α. 5. En un tri´angulo dado 4ABC construir un punto P tal que ∠AP B = ∠BP C = ∠CP A. 6. Dado un a´ngulo y un punto P dentro de ´el, construir una circunferencia que sea tangente a los lados del a´ngulo y que contenga al punto P .

6.

Semejanza

Proposici´ on 57 (Proposici´on 2 del libro VI). Sup´ongase que una recta corta dos lados de un tri´angulo. Entonces esta recta es paralela al tercer lado del tri´angulo si y s´olo si corta a los otros dos en segmentos proporcionales. Demostraci´on. (⇒) Sean D y E en los lados AB y AC de 4ABC, respectivamente, tales que DE k BC. Puesto que a(4BDE) = a(4CED) se tiene que ←→ ←→ a(4ADE) a(4ADE) = . Si G y H son puntos en AD y AE, respectivamena(4BDE) a(4CED) te, tales que AD ⊥ EG y AE ⊥ DH, entonces se puede reescribir la anterior AD · GE AE · DH AD AE igualdad entre razones como = , luego = . DB · GE AE · EC DB EC 30

(⇐) Basta invertir del orden en el argumento anterior. Ejercicios 1. Probar, usando la Proposici´on 57, que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un tri´angulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de su longitud. 2. Probar que si D es cualquier punto en el lado BC de 4ABC, entonces AD es bisectriz del a´ngulo en A si y s´olo si AB/AC = BD/DC. 3. (Proposici´on 9 del libro VI) Sean m y n enteros positivos. Dividir un segmento dado en la raz´on m/n. 4. Suponer que un punto O no est´a en los lados de 4ABC o sus prolon←→ ←→ ←→ gaciones. Sean K, L, y M puntos en OA, OB y OC, respectivamente, de tal manera que KL k AB y LM k BC. Probar que KM k AC. Se dice que dos pol´ıgonos son semejantes si tienen ´angulos respectivos iguales y lados respectivos proporcionales. Proposici´ on 58 (Proposici´on 4 del libro VI). Si dos tri´angulos tienen ´angulos respectivos iguales entonces son semejantes. Este resultado es conocido como el Criterio de Semejanza AAA. Demostraci´on. Sean 4ABC y 4A0 D0 E 0 tales que ∠ABC = ∠A0 D0 E 0 , ∠BCA = ∠D0 E 0 A0 y ∠CAB = ∠E 0 A0 D0 . Sup´ongase que AB > A0 D0 . Sea D el punto en AB tal que AD = A0 D0 . Sea E el punto en AC tal que DE k BC. Entonces 4ADE ∼ = 4A0 D0 E 0 (Criterio de Congruencia ALA). De la Proposici´on AE AB AC AB AC AD = , luego = . Se concluye que 0 0 = 0 0 . 57 se tiene que DB EC AD AE AD AE BC AB Un argumento similar puede usarse para probar que 0 0 = 0 0 . DE AD Proposici´ on 59 (Proposici´on 5 del libro VI). Si dos tri´angulos tienen lados respectivos proporcionales entonces son semejantes. Este resultado es conocido como el Criterio de Semejanza LLL. Demostraci´on. Ejercicio. Proposici´ on 60 (Proposici´on 6 del libro VI). Si dos tri´angulos tienen un a´ngulo igual y los lados adyacentes a dicho ´angulo son proporcionales, entonces los tri´angulos son semejantes. Este resultado es conocido como el Criterio de Semejanza LAL. Demostraci´on. Ejercicio. 31

Ejercicios 1. Probar que si 4ABC es semejante a 4A0 B 0 C 0 y 4A0 B 0 C 0 es semejante a 4A00 B 00 C 00 , entonces 4ABC es semejante a 4A00 B 00 C 00 . 2. Probar que en tri´angulos semejantes las alturas correspondientes son proporcionales a lados correspondientes. 3. Probar que en tri´angulos semejantes las medianas correspondientes son proporcionales a lados correspondientes. 4. Probar que en tri´angulos semejantes las bisectrices correspondientes son proporcionales a lados correspondientes. 5. Probar que en tri´angulos semejantes los inradios se encuentran en la misma proporci´on que los lados correspondientes. 6. Probar que las a´reas de tri´angulos semejantes son proporcionales a los cuadrados de lados correspondientes. 7. Probar que los per´ımetros de tri´angulos semejantes son proporcionales a lados correspondientes. 8. Tres rectas paralelas cortan a las rectas m y n en los puntos A, B, C y K, L, M , respectivamente. Probar que AB/BC = KL/LM . 9. (Proposici´on 13 del libro VI de Los Elementos) El cuadrado de la altura a la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo es igual al producto de de las proyecciones de los lados sobre la hipotenusa. 10. Probar que en un trapezoide que no es un paralelogramo la recta que une la intersecci´on de las diagonales con la intersecci´on de los lados no paralelos biseca ambos lados paralelos. 11. Construir 4ABC dados β, γ, ha . 12. Si se tiene ∠BAC = 2∠ABC en 4ABC, probar que a2 = b(b + c).

6.1.

Aplicaciones de semejanza a c´ırculos

Proposici´ on 61 (Proposici´on 37 del libro III). Sea P un punto fuera de un −→ c´ırculo, sea T un punto en la circunferencia, y sea AB un cuerda tal que AB ← → pasa por P . Entonces P T es tangente al c´ırculo si y s´olo si P A · P B = P T 2 .

32

Demostraci´on. Basta observar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: ← → 1. P T es tangente al c´ırculo, 2. ∠P T A = ∠T BA, 3. 4T P A y 4BP T son semejantes, 4. P A · P B = P T 2 . Proposici´ on 62 (Proposici´on 36 del libro III). En un c´ırculo, las cuerdas AB y CD se intersectan en un punto P dentro del c´ırculo. Entonces P A · P B = P C · P D. Demostraci´on. Ejercicio. Ejercicios 1. Dos c´ırculos se intersectan en los puntos A y B. Sean M N su tangente ←→ com´ un. Probar que AB pasa por el punto medio de M N . 2. Sea S un c´ırculo y sean A y B puntos fuera de ´el. Para cada recta ` que pasa por A e intersecta S en puntos M y N considerar el circunc´ırculo de 4BM N . Probar que todos esos c´ırculos tienen un punto en com´ un distinto de B. Proposici´ on 63. Las longitudes de circunferencias son proporcionales a los radios. Demostraci´on. Sean c1 y c2 las longitudes de las circunferencias de dos c´ırculos (O1 ; r1 ) y (O2 ; r2 ). Inscribir un hex´agono regular en cada uno de los c´ırculos. Los hex´agonos tendr´an lados de longitud `j,1 , j = 1, 2. Bisectar los a´ngulos centrales subtendidos por los lados del hex´agono, para obtener dos pol´ıgonos regulares inscritos con 12 lados de longitudes `j,2 , j = 1, 2. Repetir el procedimiento para obtener sucesivamente pol´ıgonos regulares inscritos con n lados de longitudes `j,n , para n de la forma 3 × 2m . Por semejanza se tiene que `1,n r1 = , r2 `2,n Se concluye que

y por otro lado

`1,n n`1,n c1 = → `2,n n`2,n c2 c1 c2 = . r1 r2

33

cuando n → ∞.

Proposici´ on 64 (Proposici´on 2 del libro XII). Las ´areas de dos c´ırculos son proporcionales a los cuadrados de sus radios. Demostraci´on. Es parecida a la demostraci´on de la proposici´on 63. Las proposiciones 63 y 64 prueban que existen constantes de proporcionalidad α y β tales que longitud de circunferencia =α radio

y

a´rea de c´ırculo = β. radio

. Proposici´ on 65. α = 2β. Demostraci´on. Sean A y B puntos en una circunferencia de radio O, tales que ∠AOB = 360◦ /n. Sea C en AB tal que OC es la altura de 4ABO. Entonces el a´rea del c´ırculo es el l´ımite n × AB × OC/2 cuando n → ∞. Luego (n × AB) × OC (per´ımetro) × r α × r2 = = . n→∞ 2 2 2

β×r2 = a´rea de c´ırculo = l´ım

Sea π definido como la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria o, equivalententemente, como el a´rea de la circunferencia unitaria. Proposici´ on 66. La circunferencia de un c´ırculo de radio r es 2πr. Demostraci´on. Es consecuencia inmediata de la proposici´on 63. Proposici´ on 67. El ´area de un c´ırculo de radio r es πr2 . Demostraci´on. Es consecuencia inmediata de la proposici´on 64. ¿Cu´al es el valor num´erico de π? Al considerar un hex´agono inscrito en el c´ırculo unitario se hace evidente que π > 3, pero mejores estimaciones de π no son tan sencillas. Por ejemplo, usando algunos m´etodos complicados para estimar ra´ıces cuadradas por medio de fracciones y los dos ejercicios 10 1 siguientes, Arqu´ımedes prob´o que 3 < π < 3 . 71 7

34

Ejercicios 1. Probar que, si an denota la longitud del lado de un pol´ıgono con q regular p n lados inscrito en el c´ırculo unitario, entonces a2n = 2 − 4 − a2n . Aplicando esto, encontrar una f´ormula para a3×2m . 2. Probar que, si bn denota la longitud del lado de un pol´ıgono p regular con 2( 4 + b2n − 2) n lados circunscrito al c´ırculo unitario, entonces b2n = . bn

Referencias [Hea56] Sir Thomas L. Heath, The thirteen books of Euclid’s elements, Dover Publications, 1956. [Sta10] Saul Stahl, Geometry: from Euclid to knots, Dover Publications, 2010.

35