Notas para el curso de Física de 1º de Bach.

Prof. Javier Silveira

UNIDAD 1 Parte 1: Rayos de Luz, Sombras, Reflexión y Espejos La Luz Desarrollaremos una teoría que permita comprender el fenómeno de la luz, la luz es aquello que hace posible a uno de nuestros cinco sentidos: la visión. Las primeras características a considerar son las siguientes: 1. La luz debe ser algo que sale de los cuerpos y llega a nuestros ojos. Podíamos haber considerado la posibilidad de que la visión se logra a partir de algo que sale de nuestros ojos, llega a los cuerpos que vemos y luego retorna, pero con esta hipótesis no podríamos explicar porqué no se puede ver en la oscuridad. 2. Para poder ver algunos cuerpos es necesario que la luz llegue a ellos, es decir que estén iluminados, por ejemplo, un trozo de madera no podrá verse si nos encerramos con él en una habitación con luces apagadas y totalmente cerrada. Por otro lado hay objetos que pueden verse aunque no estén iluminados por otros, como una lámpara eléctrica encendida o la llama de una vela encendida, diremos que estos objetos son fuentes de luz mientras que los otros no. Las marcas fosforescentes que tienen las agujas y el círculo horario de muchos relojes despertadores, que permiten ver la hora sin necesidad de encender la luz, ¿son fuentes de luz? El Sol y la Luna, ¿son fuentes de luz? 3. Si me encuentro parado en la calle a mitad de cuadra no puedo ver los autos que están dando vuelta la esquina, tal vez pueda oír su motor, pero no ver el auto, sólo puedo ver un objeto cuando la línea recta que va de mis ojos a él no está interrumpida por otro objeto. Por lo tanto diremos que la luz tiene propagación rectilínea. Suponga que estoy viendo un objeto, ¿Existe algún cuerpo que pueda interponer entre el objeto y mis ojos y sin embargo continuar viéndolo?

Rayos de Luz En base a las características anteriores se puede definir el concepto de rayo de luz. Un rayo de luz es lo que sale de un punto de un objeto y es lo que permite ver ese punto, los rayos se propagan en forma rectilínea, tienen por lo tanto una dirección y sentido de propagación. Este concepto de rayo se aplica por igual a objetos que son fuentes luminosas como a los que no lo son. Por ejemplo, si estoy viendo una flor, o más exactamente el centro de uno de sus pétalos, es porque de ese punto sale un rayo luminoso que llega hasta mis ojos: Representaremos los rayos de luz con un segmento de recta o una semirrecta, en algún lugar de la recta debe dibujarse una punta de flecha que indique el sentido en que se propaga el rayo. El origen del rayo está en el objeto que lo emite y termina en otro objeto, que puede ser el ojo, o en el infinito. Por supuesto, yo no veo solamente el centro de uno de sus pétalos, sino que veo a la flor completa, eso significa que del tallo, de las hojas, del resto de los pétalos, de todos los demás puntos de la flor salen rayos que llegan a mi ojo y me permiten formar una imagen completa de la flor.

Ahora bien, la flor puede ser vista por muchas personas ubicadas en distintas posiciones y al mismo tiempo, eso significa que de la flor salen rayos en todas las direcciones posibles.

Algunos de los rayos que salen de la flor pueden llegar a otro ojo donde se formará otra imagen de la misma. También puede ocurrir que algunos de los rayos nunca lleguen a ningún ojo, simplemente se propagan hasta alcanzar algún objeto o se propagan hasta el infinito. Observe que en la representación de la izquierda puede haber puntos en donde los rayos se interceptan. ¿Cree usted que si dos rayos se interceptan en un punto se afecten mutuamente de alguna forma? Usted podrá estar pensando que en la realidad nunca percibe nada que se parezca a esa maraña de rectas y puntas de flecha del dibujo de la izquierda. Es cierto, lo que sucede es que los rayos son un modelo de la realidad. Los arquitectos antes de emprender la construcción de un edificio generalmente construyen antes un modelo en miniatura, también lo llaman una maqueta del edificio que pretenden construir, la maqueta tiene todas las formas, proporciones e incluso colores que tendrá el edificio real. Con ella los arquitectos pueden analizar aspectos estéticos, si se adapta bien al paisaje y a su entorno, también pueden analizar aspectos físicos, pueden llevar la maqueta a un túnel de viento, en donde justamente se simula el viento, con ello pueden obtenerse datos acerca de cómo resistirá el edificio una tormenta real. Entonces si bien la maqueta no es el edificio real, sí es muy útil para comprender al edificio real, ya que tiene muchas similitudes con éste. De la misma forma los rayos constituyen un modelo de la luz, no son objetos de la realidad sensible, son objetos geométricos, tienen en común con la luz que son rectilíneos, se representan saliendo de un objeto y tienen un sentido de propagación. Como veremos el modelo de rayos será útil para comprender varios fenómenos de la luz. En general la física siempre busca elaborar modelos teóricos a partir de fenómenos observados, con esos modelos se puede comprender la naturaleza pero además también permiten la creación de herramientas útiles, en este caso, el modelo de rayos de la luz constituye una base teórica suficiente, por ejemplo, para la construcción de instrumentos ópticos como microscopios, telescopios o anteojos.

Haces de rayos Un haz de rayos es un conjunto de rayos. Hay casos en que los rayos que conforman el haz presentan una configuración ordenada, para esos casos vamos a presentar unas definiciones.

Pensemos en una de las viejas lamparitas de linterna que emitían luz debido a un filamento incandescente. Como el filamento es muy pequeño podemos considerar que está en un punto. Entonces todos los rayos que salen de la lamparita tienen su origen en un mismo punto. Cuando tenemos un conjunto de rayos que se originan en un mismo punto y el sentido es tal que se alejan de ese punto, decimos que tenemos un haz de rayos divergentes. También puede ocurrir que todos los rayos se dirijan a un mismo punto, en este caso tenemos un haz de rayos convergentes. Finalmente, decimos que tenemos un haz de rayos paralelos cuando todos los rayos tienen la misma dirección y sentido. Para resumir, a continuación se ilustran cada una de estas definiciones:

Para aprovechar mejor la luz emitida por la lámpara, las linternas tienen una superficie espejada con forma curva, de modo que el haz emitido por la lámpara que es divergente, es desviado y se convierte en un haz paralelo, así se logra concentrar la luz emitida en una dirección, como muestra la figura de la izquierda. Vimos entonces cómo se puede generar un haz divergente y un haz paralelo, ¿cómo haría para generar un haz convergente?

Sombras Supongamos una habitación donde hay una única fuente de luz, y supongamos que entre la fuente de luz y una superficie plana que oficie de pantalla, por ejemplo la pared, se interpone un objeto. Resulta que algunos de los rayos emitidos por la fuente alcanzan la pared, mientras que otros son obstruidos por el objeto, como los rayos se propagan en forma rectilínea, en la pared se distinguirá una zona más oscura que es la zona a la que no llegan directamente los rayos emitidos por la fuente. Esa zona más oscura es la sombra, que debido a la propagación rectilínea de los rayos de luz tendrá una forma en relación a la forma del objeto.

Reflexión Cuando un rayo de luz se encuentra con un objeto puede ocurrir que penetre en el objeto o que sea desviado. Si penetra, significa que el objeto es de un material que permite la propagación de la luz en su interior, se dice que ese material es un medio de propagación de la luz, por ejemplo el vidrio y el agua. Este caso, en que la luz pasa de un medio de propagación a otro lo estudiaremos más adelante. Cuando el rayo es desviado, es decir cambia su dirección y sentido y sin cambiar de medio de propagación, decimos que el rayo es reflejado por la superficie del objeto, y a este fenómeno se le llama reflexión. Comúnmente se entiende que la reflexión ocurre solamente en espejos y en superficies lustradas y lisas, pero esto es un error, ya que según la definición anterior la reflexión ocurre también cuando la luz se encuentra con materiales como la madera o el hormigón. Pero sabemos que la reflexión que ocurre en un espejo es diferente a la que ocurre en la madera. Para entender la diferencia hay que considerar que hay dos tipos de reflexión: Reflexión Especular y Reflexión Difusa. Si un haz paralelo se dirige y alcanza una superficie lisa y pulida, cada uno de los rayos que componen el haz será reflejado, pero debido a la regularidad de la superficie los rayos reflejados mantendrán su orden original, los rayos reflejados serán paralelos entre sí. Cuando ocurre esto decimos que la reflexión es especular. Si un haz paralelo se dirige a una superficie irregular, por ejemplo una pared de hormigón, cada uno de los rayos será reflejado, pero debido a la irregularidad de la superficie los rayos reflejados tendrán direcciones diferentes, se pierde el orden original, no habrá un haz reflejado paralelo como en el caso anterior. En este caso ocurre una reflexión difusa.

La mayoría de los cuerpos refleja la luz en forma difusa, es decir que aunque incida sobre ellos un haz paralelo, los rayos reflejados se difunden en todas direcciones. En muchos casos la reflexión difusa es conveniente, por ejemplo en las hojas de papel de un libro, el papel difunde la luz que recibe lo cual me permite distinguir las letras desde cualquier ángulo. Usted tal vez se esté preguntando cómo la hoja de papel que es aparentemente lisa refleja la luz en forma difusa, lo que ocurre es que a nivel microscópico el papel es muy irregular ya que está conformado por un entrelazamiento de fibras vegetales.

A veces se imprime texto en papel satinado, el satinado lo que hace es cubrir el papel con una capa plástica, lo que hace que la superficie sea más regular, entonces el papel se ve brillante, ese brillo hay que entenderlo como una reflexión más parecida a la especular. El brillo del papel satinado si bien lo hace atractivo, en algunos casos dificulta la lectura, especialmente cuando lo ilumino desde una única fuente puntual. También los pizarrones a veces resultan demasiado lisos lo que hace que reflejen la luz de forma demasiado especular, esto hace que algunos alumnos en ciertas ocasiones deban cambiarse de lugar para ver lo que está escrito. ¿En qué condiciones cree que se de este problema con los pizarrones?

Leyes de la Reflexión En la parte anterior vimos lo que puede ocurrir en la reflexión de un haz, ahora vamos a ver qué ocurre con la reflexión de un rayo individual, vamos a expresar la ley matemática que rige esa reflexión. Vamos a pensar en un rayo incidiendo sobre una superficie, al punto en donde el rayo toca la superficie lo llamamos punto de incidencia y al rayo lo llamamos rayo incidente. El rayo puede incidir formando distintos ángulos con la superficie, se podría definir el ángulo de incidencia como el ángulo que forma el rayo con la superficie, pero convencionalmente se elige definir el ángulo de incidencia al ángulo entre el rayo y la normal a la superficie en el punto de incidencia. La normal, es una recta perpendicular la superficie que pasa por el punto de incidencia. Luego de la reflexión, el rayo reflejado formará un cierto ángulo con la normal, a ese ángulo lo llamamos ángulo de reflexión. Como verificaremos experimentalmente en clase, se cumplen las siguientes leyes. La primera ley de la reflexión dice que el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión deben ser iguales. La segunda ley dice que el rayo incidente, el rayo reflejado y la normal están en un mismo plano. A continuación expresamos todo lo anterior en forma geométrica y simbólica. Rin: rayo incidente Rref: rayo reflejado N: normal P: punto de incidencia
̂: ángulo de incidencia : ángulo de reflexión

Utilizando los símbolos las leyes se pueden expresar de forma más simple: Primera ley:
   Segunda ley: Rin, Rref y N están en un mismo plano. Es importante comprender que las leyes de la reflexión se refieren al comportamiento de un rayo, cuando hablamos de reflexión difusa y especular nos referimos a lo que ocurre con un haz.

Las leyes de la reflexión se cumplen siempre, tanto en la reflexión difusa como en la especular, lo que ocurre en la reflexión difusa es que debido a la irregularidad de la superficie las normales en distintos puntos tienen distintas direcciones, por eso lo rayos reflejados tampoco tendrán una dirección definida.

Espejo Plano Un espejo plano es una superficie plana lisa y pulida, en donde ocurre por lo tanto una reflexión especular, se pueden obtener por ejemplo con una lámina plana de metal pulido, pero los más comunes consisten en una lámina de vidrio plana con una capa de metal muy delgada en una de sus caras. Como los espejos planos son tan comunes, usted podrá comprobar que la imagen de un objeto que se forma en un espejo plano tiene la misma forma, tamaño y color que el objeto real. ¿Se podrá decir entonces que la imagen es una réplica exacta del objeto real? La respuesta es no, hay una clara diferencia que se pone en evidencia si colocamos un texto frente a un espejo e intentamos leerlo desde su imagen, resulta que en la imagen el texto está invertido de izquierda a derecha. Las imágenes en el espejo plano son simétricas respecto al objeto real. Las leyes de la reflexión permiten explicar las características de las imágenes en los espejos planos como veremos a continuación. Formación de imágenes en los espejos planos Para simplificar las explicaciones y los dibujos vamos a representar a los espejos vistos de canto, los dibujamos entonces como una recta y trabajamos en dos dimensiones, pero las conclusiones serán válidas para las tres dimensiones. Para entender cómo se forma una imagen vamos a pensar en un objeto muy simple, una pequeña esfera, tan pequeña que podemos considerar que se trata de un objeto puntual, vamos a llamarle O. Como O es un objeto puntual (está en un punto) podemos decir que el haz de rayos que sale de O es un haz divergente. De este haz divergente sólo consideraremos los rayos que llegan al espejo, que se representan en la figura de la izquierda. Aplicando las leyes de la reflexión a cada uno de estos rayos tenemos el haz de rayos reflejados Si prolongamos los rayos reflejados hacia la región detrás del espejo, como se muestra en la figura con líneas punteadas, vemos que las prolongaciones de los rayos se intersectan en un mismo punto I. Entonces el haz de rayos reflejados también es un haz divergente con origen en I, por lo tanto para una persona situada frente al espejo parecerá que en la posición de I también hay una esfera pequeña como la esfera real O. Desde el punto de vista visual, el haz de rayos reflejados corresponde al de un objeto que esté efectivamente situado detrás del espejo, puedo por ejemplo cambiar mi ángulo de visión y comprobar que I se comporta como un objeto real.

Para encontrar la imagen I, debimos prolongar los rayos, es decir que en realidad no hay rayos pasando por la posición de I, se dice entonces que I es una imagen virtual. Como veremos más adelante en el caso del espejo cóncavo la imagen no siempre se forma prolongando los rayos y en ese caso la imagen no será virtual. Posición de la imagen en un espejo plano En esta sección haremos una demostración, antes necesitamos tener en cuenta un teorema de la geometría. Si se cortan dos rectas paralelas con una tercera, los ángulos que se forman con esa recta y cada una de las paralelas deben ser iguales. Como se ve en el dibujo de la izquierda, los ángulos indicados con “a” y los ángulos “b” son idénticos. Ahora sí volvemos a la formación de imágenes en el espejo. ¿Dónde exactamente está situada la imagen I? Para responder a esta pregunta basta con considerar sólo dos rayos de los que salen del objeto O. Uno de ellos es especial, ya que es el rayo que sale de O y es perpendicular al espejo, el punto de incidencia de este rayo es el punto A de la figura de abajo. Por ser perpendicular al espejo el ángulo de incidencia de este rayo es 0o, entonces su ángulo de reflexión debe ser también 0o, entonces el rayo reflejado será también perpendicular al espejo y queda superpuesto al rayo incidente. El otro rayo es uno cualquiera que incide en el espejo en un punto que llamaremos B. Aplicando las leyes de la reflexión a este rayo determinamos el rayo reflejado que aparece en la figura de la izquierda con el nombre C. Prolongando con líneas punteadas al rayo reflejado perpendicular al espejo y al rayo C, vemos que se cortan en I. La primera ley de la reflexión dice que
  .

y que    , por el teorema Por otro lado, observando la figura vemos que
   geométrico que mencionamos antes.

  . Como
   entonces debe ser cierto que  Pensando ahora en los triángulos OAB Y IAB, vemos que son ambos rectángulos, comparten el lado AB, y el ángulo opuesto al lado AB es el mismo. Podemos concluir entonces por semejanza de triángulos que el lado OA es igual al lado AI. Dicho de otra forma, lo que demostramos es que la distancia del objeto al plano del espejo es igual que la distancia de la imagen al plano del espejo.

Seguir el razonamiento anterior puede resultar muy difícil, pero es importante que usted haga el esfuerzo de seguir paso a paso el proceso deductivo. Lo anterior es un ejemplo de cómo se procede en física, y en general en toda ciencia, para obtener un postulado. Toda afirmación que se haga en una teoría científica debe ser demostrada en forma lógica y matemática, y si no se demuestra entonces debe ser confirmada experimentalmente. Imagen de un objeto extenso Teniendo en cuenta el postulado deducido arriba vamos a ver cómo se forma la imagen de un objeto extenso. Extenso significa que no es pequeño y por lo tanto no se puede suponer que está un punto, por ejemplo un objeto con forma de flecha. El origen de la flecha, llamado A en el dibujo de abajo, debe tener su imagen A’ del otro lado del espejo y a la misma distancia del espejo a la que se encuentra A. Para encontrar A’ entonces se deber trazar una línea punteada perpendicular al espejo, el punto de corte de esta línea con el espejo en el dibujo se llama M. Luego hay que medir la distancia AM, A’ debe estar en la línea punteada y a la misma distancia del espejo. Lo anterior vale también para los puntos C, D y B. De hecho en este caso es suficiente encontrar las imágenes de sólo dos puntos, A y B. Si las imágenes son A’ y B’, la flecha imagen debe ser la flecha con origen en A’ y final en B’

El mismo procedimiento se puede aplicar para encontrar la imagen de una letra “L”. La “L” queda determinada por la posición de sus vértices a, b, c, d, e, f, por lo tanto para encontrar la “L” imagen basta con encontrar las correspondientes imágenes de esos puntos a’, b’, c’, d’, e’, f’. Para encontrar la imagen del punto a se traza una recta perpendicular al plano del espejo, como es una recta auxiliar se traza punteada, se mide la distancia del punto a al espejo, la imagen a’ debe estar sobre la misma recta y a una distancia igual al espejo. Se repite el procedimiento para los demás puntos, luego se unen y se obtiene la imagen de la “L”. ¿La “L” objeto es idéntica a la “L” imagen? La respuesta es no. Si fuesen la misma figura se debería poder superponer ambas eles, mediante una rotación y una traslación sin salirse del plano, usted observará que eso no es posible.

Lo que ocurre es que las eles no son exactamente idénticas sino que una es simétrica respecto a la otra, es la misma relación que hay entre la mano izquierda y la derecha, o entre el pie izquierdo y el derecho, no podemos ponernos un zapato izquierdo en el pie derecho, y eso es porque los pies no tienen exactamente la misma forma, son simétricos uno respecto del otro. La simetría es entonces una característica de las imágenes en el espejo plano.

Espejos esféricos Cuando la superficie que refleja especularmente no está sobre un plano sino sobre una sección esférica tenemos un espejo esférico. Si la superficie reflejante está en la parte interna de la esfera entonces es un espejo cóncavo, como el espejo (a) de la figura de abajo. Si la superficie reflejante está en la parte externa de la esfera, como en el espejo (b) de abajo, entonces es un espejo convexo.

Vamos a definir las características fundamentales de los espejos esféricos, con estas características queda determinada su geometría, y como veremos estas características también son fundamentales para determinar las imágenes que se forman en estos espejos.

C: Centro de curvatura. Es el centro de la esfera sobre la que está la superficie espejada. R: Radio de curvatura. Es el radio de la esfera, es decir la distancia desde el centro de curvatura a cualquier punto de la superficie del espejo. V: Vértice. Es el centro de la superficie reflejante. Eje del espejo. Es la recta determinada por los puntos C y V.

Antes de continuar necesitamos repasar algunos conceptos de geometría. Consideremos una circunferencia con centro en el punto C y de radio r. Una recta tangente a la circunferencia es una recta que solo la corta en un punto, por ejemplo en la figura de la izquierda t es una recta tangente. Una propiedad que utilizaremos a continuación es que si trazamos el radio que une el centro C con el punto de contacto de la recta tangente, entonces ese radio es perpendicular a la tangente. Teniendo presente esta propiedad veamos cómo se forma la imagen de un objeto puntual O situado frente a un espejo cóncavo. Consideremos primer un rayo que sale del punto O e incide sobre el punto A del espejo. Por la propiedad anterior, la normal en el punto A será el radio CA que se traza punteado en la figura de la derecha. Aplicando las leyes de la reflexión, ahora que tenemos la normal, podemos trazar el rayo reflejado. Haciendo lo mismo para otro rayo cualquiera que sale de O e incide en el punto B del espejo obtenemos un segundo rayo reflejado. Los rayos reflejados se intersectan en el punto I. Desde la perspectiva del observador que aparece en el dibujo, hay un haz divergente con origen en I, entones ahí es donde verá la imagen del objeto real. Contrariamente a lo que ocurrió con el espejo plano, en este caso la posición de la imagen no se obtiene con las prolongaciones de los rayos reflejados, en este caso no es virtual la imagen, en este caso decimos que es una imagen real. Imagen de un objeto extenso Ahora veremos cómo se encuentra la imagen de objetos extensos, pero antes es necesario demostrar una propiedad. Supongamos un rayo paralelo al eje del espejo, el rayo incide en el punto que llamamos M en el dibujo de la izquierda. Como vimos antes la normal en este caso será el radio CM, entonces el ángulo î que se indica en el dibujo será en ángulo de incidencia. El ángulo de refracción deberá ser igual, entonces podemos trazar el rayo reflejado. Llamemos F al punto en la intersección del rayo reflejado con el eje del espejo.

Observemos que el ángulo α es igual al ángulo î, por la propiedad de las paralelas que vimos cuando tratamos el espejo plano. Por otro lado  = î, por la ley de la reflexión. Entonces el triángulo CFM tiene dos ángulos iguales, por lo tanto es isósceles, por lo tanto el lado CF es igual al lado FM. Por otro lado vemos que la distancia FM es aproximadamente igual a la distancia FV. Entonces el punto F debe estar en el punto medio de CV. Al punto F se le llama foco del espejo. En el razonamiento anterior partimos de un rayo cualquiera paralelo al eje, si tomamos otro, razonando igual veremos que también pasa por el punto medio de CV, es decir por el foco, entonces demostramos una propiedad general que la podemos resumir así: todo rayo que incide paralelo al eje es reflejado pasando por el foco. Explique por qué también es válida la siguiente propiedad: todo rayo que incide pasando por el foco es reflejado paralelo al eje. Si decimos que la distancia focal es la distancia del foco al vértice, y simbolizamos con f a la distancia focal, se cumple entonces la relación f = R/2. Las dos propiedades nos permiten hallar la imagen de un objeto extenso solamente trazando dos rayos principales, uno que incide paralelo al eje y uno que incide pasando por el foco. Si quiero encontrar la imagen del objeto del dibujo de la derecha determinado por los puntos A y B, debo considerar donde estarán las correspondientes imágenes A’ y B’. Como B está sobre el eje, un rayo que salga de B viajando sobre el eje se reflejará sobre sí mismo, entones la imagen B’ estará también sobre el eje, hay que encontrar dónde estará la imagen A’ de A y será suficiente para determinar la imagen del objeto. Considero los dos rayos principales que salen de A, el que sale paralelo al eje y el que sale pasando por el foco, los rayos reflejados serán respectivamente un rayo que pasa por el foco y un rayo paralelo al eje. Analice con atención la figura. Entonces como se ve en la figura la imagen del objeto A’B’ tendrá las siguientes características: está invertida de arriba abajo, es real, es de menor tamaño. Ocurre algo distinto si coloco al objeto a una distancia del espejo menor a la distancia focal. En este caso para trazar el rayo que sale de A y pasa por el foco es necesario tarazar una prolongación, que se traza en forma punteada, como se ve en la figura de la izquierda. Ahora vemos que el objeto no está invertido, es una imagen virtual y es de mayor tamaño. Veamos qué pasa con el espejo convexo. Razonando en forma similar podemos demostrar que las propiedades que vimos para el espejo cóncavo son válidas para el espejo convexo, en este caso los puntos C y F están detrás de la superficie reflejante, pero valiéndonos de prolongaciones también se pueden trazar los rayos principales.

Examine la figura de la izquierda y vea como se encuentra la imagen. En este caso la imagen es virtual. ¿Por qué es virtual? La imagen no está invertida y es de menor tamaño que el objeto. Para terminar veamos unas fotografías que ilustran lo que acabamos de ver.

Imagen de una vela frente a un espejo cóncavo, colocada a una distancia mayor a la distancia focal.

Imagen de una vela colocada frente a un espejo cóncavo a una distancia menor a la distancia focal. ¿Qué ocurrirá si el objeto está exactamente colocado a una distancia igual a la distancia focal?

Imagen de la vela colocada frente a un espejo convexo. Piense en aplicaciones útiles de este caso de una disminución de tamaño y para el caso anterior de un aumento de tamaño.