Números reales

Medidas y errores

Magnitudes muy pequeñas

Distribución de temperaturas

Descripción de reacciones químicas

La base de todo magina un mundo sin árboles, o un cielo sin nubes o un mar sin olas. No es algo tan lejano, mira la imagen de la izquierda, puedes ver uno de los árboles desecados de Decid Vlei, en Namibia. No hace falta ponerse tan serios, pero... ¿Te imaginas un mundo sin móviles, sin internet ni televisión, donde no puedas mandar fotos a tus amigos ni saber dónde están para quedar con ellos? ¿Yun mundo en el que no se pueda viajar? No parece divertido, ¿a que no? ¿Y un mundo sin números? Si esta posibilidad no te asusta tanto como las anteriores piensa un poco y recapacita, por­ que los números se esconden detrás de más cosas de las que tú te crees. Quizá pienses que basta con saber contar, pero para el desarrollo de la ciencia y de la técnica necesitamos otros tipos de números que nos permitan expresar y mani­ pular con facilidad las cantidades que miden las distancias y los tiempos, los pesos, las concentraciones y, en general, todas las propiedades de la materia y de los objetos. Incluso tendremos que contar con estos números para darle una oportunidad a nuestro maltratado planeta...

I

Los números reales permiten expresar cantidades y mag­ nitudes y compararlas, así como el grado de aproxima­ ción o la incertidumbre con los que medimos las cosas. La representación decimal de los números reales posibi­ lita trabajar con magnitudes inimaginablemente grandes o pequeñas (piensa en los tamaños de una galaxia o un virus) y operar con ellas con facilidad y rapidez (¿te ima­ ginas una calculadora con números romanos?). Las funciones y fórmulas que usan números reales son básicas para describir el mundo físico: el movimiento y el reposo, la distribución de las temperaturas de los cuer­ pos, las reacciones químicas, la evolución de la economía o de las poblaciones de una especie amenazada, etc. Los números reales son fundamentales para la ingeniería y para ciencias sociales como la economía.

Si has pensado un poco en lo anterior seguro que tendrás respuesta para las siguientes cuestiones: Piensa ejemplos de cantidades que no podamos expresar con los números naturales y de cantidades que no pode­ mos expresar con los números enteros. ¿Hay magnitudes que no sea posible expresar con fracciones? ¿Sabrías diseñar una piscina con proporciones áureas? ¿Nos basta con los enteros para describir la forma de cualquier objeto? ¿Y con las fracciones? ¿Sabrías describir de forma precisa el ritmo con el que crece la cantidad de bacterias en un cultivo? Si quieres averiguar la respuesta a estas preguntas y apren­ der más, sigue leyendo.

^ smSaviadigifal.com Desarrollos en ingeniería

i

po n t e a pu n to

Recuerda lo que sabes sobre números reales.

9

Números reales • Los números naturales, N = {0 , 1, 2, 3...}, se pueden sumar y multiplicar, pero no siempre se pueden restar o dividir. • Los números enteros, Z = {... -2, -1, 0, 1, 2...}, se pueden sumar, multiplicar y restar, pero no siempre dividir. • Los números racionales, Q , se caracterizan porque se pueden obtener como cociente de dos números enteros (conjunto Z ). Q en en c u e n ta

Así, cualquier fracción con denominador no nulo representa un número racional.

El símbolo e significa pertenencia a

x e Q o existen m y / i e Z tales que x = — (n * 0)

un conjunto. Por ejemplo para indicar que x es un número racional se puede e sc rib irx e Q .

'

n

Expresiones asociadas a un número racional Los números racionales también pueden expresarse mediante números decimales, basta con efec­ tuar la división del numerador entre el denominador de la fracción asociada a él. El resultado puede ser: • Un número decimal exacto, con un número finito de cifras decimales. • Un número decimal periódico, con un número infinito de cifras decimales, en el que a partir de un cierto lugar se repite una secuencia fija de cifras. Las cifras decimales que no se repiten for­ man el anteperíodo y la secuencia que repite se denomina período.

tjem p lo sv

149 --- = 7,45

20

Decimal exacto con parte entera 7 y parte decimal 45.

127 — -^- = 11,54 Decimal periódico puro con parte entera 11 y período 54.

349

~ ^ = 2,326 Decimal periódico mixto con parte entera 2, anteperíodo 32 y período 6.

Cualquier número decimal exacto o periódico es un número racional y podemos expresarlo en forma de fracción, denominada fracción generatriz. • Si es un decimal exacto, en el numerador de la fracción generatriz aparecen las cifras del número decimal sin coma, y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. • Si es decimal periódico, se distingue entre puro y mixto.

;iH en en cuenta Para determinar la fracción genera­ triz de un número periódico se puede usar la siguiente regla, que se deduce de los ejemplos de la tabla. cifras del número sin coma ni periodo - cifras situadas antes del periodo________ tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo

x = 11,54

x = 2,326

x = 11,54

102x = 232,6

102x = 1154,54

10-102x = 2326,6

99x = 1143

900x=2094

_ 1143 _ 127

_ 2094 _ 349

X~ 99 ~ 11

900 _ 150

l . ° Si es mixto se multiplica x por 10", donde n es el número de cifras del anteperíodo. Si es puro se pasa al siguiente paso. 2 .° Se multiplica por 10 ", donde m es el número de cifras del período. De esa manera, el primer período pasa a ser parte entera. 3.o Se restan las expresiones obtenidas en 1 y 2. 4.o Se despeja.

Todo número racional puede escribirse en forma decimal exacta o periódica o en forma de fracción.

10

Números reales Los números con expresiones decimales como los siguientes: 1,010 010 001 000 010 0...

-25,101 112 131415...

72 = 1,414 213 56...

tienen un número infinito de cifras, pero no presentan período. Esto implica que no son números racionales y, por tanto, no pueden expresarse como una fracción. Los números cuya expresión decim al es ilim itada y no periódica se denominan números

irracionales, L Ejemplo >

Son números irracionales los siguientes: Raíces no exactas de números enteros: 7 3 , 7 5 , 7 8 Expresiones decimales infinitas cuyas cifras no siguen ningún período aunque pueden presentar otro tipo de regularidad: 23,110 100 100 010 000... o 0,112 233 445 5... Números importantes en matemáticas como: 71= 3,141592 65...

e = 2,718 28182...

cl>= 7 ± 7 7 = 1,618033 98...

2

La unión de los conjuntos formados por los números racionales y por los números irracionales se denomina conjunto de los números reales. Este conjunto se representa con la letra IR . V

Q

Propiedades de la suma y del producto de números reales

V3

7.5

R

La suma y el producto de dos números reales es siempre otro número real.

Suma

-3

^

Producto

Conmutativa: a + b = b + a

Conmutativa: ab = ba

Asociativa: a+ (b + c) = (a + b) + c

Asociativa: a(bc) = ( ab)c

Elemento neutro: a + 0 = o

Elemento neutro: lo = a

Elemento opuesto: o + (-o) = 0

Elemento inverso: o-— =1 c o n o ^ O

1

o

Distributiva del producto respecto de la suma: ci{b + c) = ab + ac

EJERCICIO RESUELTO a) 2 es natural, entero, racional y real.

Clasifica los siguientes números indicando a qué

b) -3 es entero, racional y real.

conjuntos pertenecen.

2.

c) 0,232323... es racional y real.

a) 2

c) 0,232323...

b) -3

d) 0,12112111211112...

d) 0,121121112... es irracional y real

Halla la fracción irreducible que corresponde a los siguientes

a)

25,25

b) 25,25

4.

Razona con ejemplos si son ciertas o falsas las siguientes afir­ maciones.

números racionales. c) 25,25

d) 25,25 + 25,2525.25

a) La suma de dos irracionales es siempre irracional. b) El producto de dos irracionales es siempre irracional.

3.

Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado. 5. Se quiere vallar un campo rectangular. Se sabe que uno de sus 15

a)

1+

b) 1

i +i2

14

lados mide tres quintas partes de la medida del otro y la diago­ nal mide 30 m. Si un metro de valla cuesta 25 € y se desperdi­ cia un 10 % del material empleado, calcula el precio que se deberá pagar.

11

Ordenación en R . Desigualdades Dados dos números reales a y ó, se dice que

a < b si y solo si b - a es positivo o cero.

La relación < es una relación de orden total en IR , ya que cumple las siguientes propiedades: • Reflexiva: o < a

• Antisimétrica: si a < ó y ó a = b • Transitiva: s i o < ó y ó < c = > a < c La relación es total, ya que para todo par de números o y ó se verifica que o bien a -5

Propiedades de las desigualdades • Si se suma el mismo número real en ambos miembros de una desigualdad, no varía su sentido. 2

< 5 => 2 + (- 3 ) < 5 + (- 3 ) => -1 < 2

• Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por cualquier número real posi­ tivo, no cambia su sentido. 2> -3= > 2-8> -3-8= > 16> -24 • Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por cualquier número negativo, cambia el sentido de la misma. 2

< 4 => 2 •(- 2 ) > 4 •(- 2 ) => -4 > - 8

EJERCICIOS RESUELTOS Sean o y ó dos números reales 1 1 1 ó 1 . ó -< ó- =>11- < — 0 a ó 0 ó a

positivos. Si a0 =¡>{\¡a) +{\fb) -2\fa\fb > 0=»o + ó>2\/a\/ó =>^-í-^>\/o6

cuadrada de su producto.

2

EJERCICIOS PROPUESTOS , 8.

Ordena de menor a mayor en cada caso. 68 25 ' b)

9.

14

27

5 y 10

1,23; 1,23 y 1,23

. Tres números reales positivos o, b y c pueden representar las medidas de los tres lados de un triángulo si y solo si verifican

c) 0, demuestra que — + — >2.

y x

si y solo si: 100q

p > ---- — 100 -q

La recta real. Representación gráfica Se considera una recta en la que se han marcado dos puntos: uno que representa el número 0 y otro, a su derecha, que representa el número 1. —i----1 ---- 1 ---- 1 ---- 1 ---- 1 --- i— 0 1 Se verifica que: • Cada punto de la recta se corresponde con un número real. • A cada número real le corresponde uno y solo uno de los puntos de la recta. Por tanto, existe una correspondencia perfecta entre los puntos de la recta y los números reales. Esta recta recibe el nombre de recta real.

Representación de los números enteros Para representar números enteros se lleva la distancia entre 0 y 1 tantas veces como sea preciso sobre la recta, hacia la derecha si el número es positivo o hacia la izquierda si es negativo. Tam­ bién se puede utilizar el compás para obtener el opuesto del correspondiente número entero.

Representación de los números racionales Los números racionales se representan dividiendo segmentos de la recta en partes iguales con la ayuda del teorema de Tales.

Representación de números irracionales Solo algunos números irracionales pueden ser representados en la recta real con regla y com ­ pás, como por ejemplo, las raíces cuadradas de los números naturales, usando el teorema de Pitágoras o el teorema de la altura. Ejemplo ►

O GeoGebra

Representa \Í5 en la recta real. Basta notar que \Í5 = V 4 + 1 = V 22+ 12 ; enton­

Entra en smSaviadigital.com y re­ presenta más números reales.

ces, 75 es la hipotenusa de un triángulo rec­ tángulo de catetos 2 y 1.

0

2 V5

EJERCICIOS RESUELTOS Representa \/l3 y J 2 6 en la

13 = 9 + 4 = 32+ 22

26 = 25 + l = 52+ l 2

recta real. Para ello, escribe previamente los números 13 y 26 como suma de dos cuadrados.

Representa ^

en la recta

real.

V2V3

1

EJERCICIOS PROPUESTOS 15. Representa en la recta real los siguientes números. a) 5

c) -2

--6* Representa en la recta real: a) V Í7

b) V29

c) V ñ

d) V 2Ö

Números reales

13

Valor absoluto El valor absoluto de un número real o coincide con él mismo si es positivo o cero, y es igual a su opuesto si es negativo. Se representa por \a\. | a

si

a> 0

\-a

si

a 0 para cualquier número real o

O GeoGebra

• \ab\ =|o|¡b| para cualesquiera números reales o y

En smSaviadigital.com dibuja más desigualdades con valor absoluto.

b

• Desigualdad triangular: \o + b\ |2|—|—3|| =(2—3| =|—1| = 1

c) |2|+|-3| = 2 + 3 = 5

0 - |- 2 |- |3 |— 12-3|— 1-1| = -1

b)

d) |2 + (-3)| |2(-3)|e) ||2|-|-3||

0|2|+ |-3|

f) -||-2|-|3||

Desarrolla la expresión

Se aplica la definición de valor absoluto a esta expresión y se obtiene:

x+|x-2| y calcúlala para los

. , íx + x - 2 si x - 2 > 0 Í2 x - 2 x + x - 2 \= < =< \x —(x —2) si x - 2 < 0 [ 2

casos x = -2 , x = O y x = 3 . Para x = -2: 2 19.

Desarrolla el valor de la

Para x = 0: 2

x>2

si

x 0

f x + 1 si

X>-1

si

x + l< 0

l- x - 1

si

X < —1

1 ^-3 x —31 1= < l- ( x - 3 )

si

x - 3 > °_ |

x-3

si

x >3

si

x —3 < 0 _ 1—x + 3

si

x< 3

í - x - l - x + 3 si Al sumar:

20.

si

x < —1

í -2x + 2

si

x < —1

4

si

- l< x < 3

1 2x-2

si

x>3

|x + l|+ |x-3 | = \ x + l - x + 3

si

- l< x < 3 = i

[x + l + x - 3

si

x> 3

Desarrolla el valor de las siguientes expresiones.

Desarrolla el valor de las siguientes expresiones.

a) 2x-3+|2x-3|

a) |x+2|+|x-3|

b) 2—3x—12—3x|

Calcula el valor de las expresiones anteriores para los casos x = - 2 , x = O y x = 3.

14 Unidad 1

b) x+|x + 2|+|x + 3|

Calcula el valor de las expresiones anteriores para los casos x = -2, x = 0 y x = 3.

Intervalos y entornos La relación de orden permite definir algunos subconjuntos de números reales que tienen una inter­

(-2, 3)

pretación geométrica sencilla en la recta real.

-2

0

Intervalos • Intervalo abierto (o, b) = {x e R , a ) m= ^ / / r

( G r T = [ ( # * 1 - a* - t i r

( V ? ) * = V2IF = 26 = 64

La propiedad 1 permite hallar radicales equivalentes a uno dado y se aplica para poder utilizar las propiedades 2 y 3, tal y como se indica en los ejemplos. Otras aplicaciones de las propiedades son:

• Extracción e introducción de factores en un radical

Ar^Ap = Í A ^

Ejemplos >

18

3/160* =

Ar^

= \ IU Y x - y = z=> logc ¿ - lo g Dfí = !oga| -

B • En cualquier base, el logaritmo de una potencia de base positiva es igual al producto del expo­ nente por el logaritmo de la base:

log0M ) n =/7log0 A

En efecto:

\ogaA = x

1

logo04") = yJ 20

a* = A ciy =An

=${axY = ay =*anx= ay

n\ogC!A = ioga( AY

Cambio de base La calculadora científica y muchos programas informáticos solo proporcionan logaritmos neperianos y logaritmos decimales. La fórmula del cambio de base permite calcular un logaritmo en cual­

Con la calculadora podemos hallar directamente logaritmos decimales y neperianos.

quier base mediante logaritmos en otra base diferente.

log aN =

log„ N

log,o

Se demuestra teniendo en cuenta que x = log,, N ax= N y tomando logaritmos en base b: log6a ' = log6N=>x logs o = log, N => x =

log bo

=> logr N = logóo

EJERCICIOS RESUELTOS Calcula log 0,0001 y

________

log 0,0001 = x => 10' = 0,0001 =>x = -4

lo g vU O O l •

________

3

log V 0 0 0 1 = X => 10' = n/o ÓOI = 10“ 1 => X =

3

2

log 200 = log (2 ■100) = log 2 + log 100 = 0,301 + 2 = 2,301

Tomando log2 = 0,301, calcula: log 200, log 5, log 8 y

10

log 5 = log —

log v2 .

= log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699

log 8 = log 2' = 3 log 2 = 3-0,301 = 0,903 log \¡2 = log 21= ^ log 2 =

46.

Escribe en forma algebraica la expresión log /4 = 3log 2 —

= 0,1505

g y2 log A = log 2 - log x3+ log y - log z = log 8y - log x z = log

8 y2 => A = —j—

- 3logx + 2 lo g y - 4 lo g z . Halla el valor de la expresión log ^- + l°g \¡a — 21----- — donde o ^ l . loga-logo Si log2x = 5

, halla:

log ^2+ log n/o

-2logo+ ^ logo

j^-2+3 jlogo

lo g o - lo g a1

logo-3logo

-2logo

a) log„x =

a) log,x b) log32x-tog,8-log2x2

log, 4

b) log5^25

d) log9 n/3

6

2

b) log32x-log, 8-log,x;

c )lo g 7^

-2

log,,* _ 5

Aplicando la definición, halla el valor de los logaritmos: a) log3 V27

5

Í 2 S ^ . ! £ I ¿ . 2 i o g , , = - ! 2 S ¿ •2log2x = log2 32 log2x log232

5

Escribe en forma algebraica las siguientes expresiones. a) log A = 2 + 2 log x - log y

e) log3 3\Í3

g )lo g 30,3

f) logj V8

h )lo g 80,125

b) logfí = 3(logx - 1 ) —2 (1 —log y )

2

c) logC = 2 lo g V x - lo g x - lo g y + 3log^/y d) log D = log x3+ 3 log y - log x

50. Tomando log 2 = 0,301 y log 3 = 0,477, halla: a) log3 8

b) log 60

51. Toma logaritmos en la expresión A = (x')\

c) log \J0,012

Halla el valor de los siguientes logaritmos utilizando para ello la calculadora. a) log3 21

b) log001 12

c) lo g ^ l9

21

Aplicaciones de los logaritmos Crecimiento exponencial Para estudiar el crecimiento de algunas poblaciones se pueden utilizar modelos de crecimiento exponencial. Si se considera, por ejemplo, una población inicial de 10 000 bacterias que se duplica cada día: • Al cabo de un día habrá 10 000 -2 = 20 000. • Al cabo de 2 días habrá 20 000 •2 = 40 000 = 10 000 •22. • Al cabo de 3 días habrá 40 000 •2 = 80 000 = 10 000 •23. En estas condiciones y considerando que hubieran pasado t días, el número de bacterias vendría dado por la expresión: P= 10 000 •2' Si el crecimiento de una población inicial de P() individuos verifica que, en cada período de Bacteria de salmonela al microscopio.

tiempo, la población se multiplica por una constante k, entonces, el número de individuos en la población después de t períodos de tiempo es:

P = P0k‘

Interés compuesto El modelo de crecimiento aplicado al capital depositado en una entidad financiera es exponencial. Cada período de tiempo, los intereses generados pasan a formar parte del capital principal, que, en consecuencia, aumenta su capacidad de generar intereses. Si el período es de un año, se dice que la capitalización es anual; si es de un mes, mensual, etc. Una cantidad inicial C() colocada al r % anual se convierte al cabo de t años en un capital acu­ mulado de: C = C j 1+

lOOn

donde n es el número de capitalizaciones que se producen durante un año.

E]"en

Halla el capital acum ulado al colocar 1200 € a un 3 % durante 4 años. C = 1200 • 1,03" = 1350,61 €

si la capitalización es anual.

( 0,03 V C. —1 2 0 0 1 1 + — — I

si la capitalización es mensual.

12

= 1352,79 €

Desintegración radiactiva Las sustancias radiactivas se desintegran a mayor o menor velocidad según sus características. Esta velocidad se puede medir mediante el denominado período de semidesintegración, es decir, me­ diante el tiempo que una cierta masa inicial de dicha sustancia tarda en reducirse a la mitad. Si se cuenta con m{) g de una sustancia radiactiva que tiene un período de semidesintegración de d años, al cabo de t años su masa se habrá reducido a: t

ln2(

m = m00,5d =moe d Calcula el tiempo que tardará una muestra rad iactiva en reducirse a la centésima Bidón para el almacenamiento de resi­ duos radioactivos.

O GeoGebra Entra en sm Saviadigital.com y re­ suelve problemas usndo logaritmos.

22

parte si su período de sem idesintegración es de 14 días. Se busca que m = 0,01mQ. Aplicando la ecuación a la unidad de masa, será:

— t 0,01mQ= m00,5d =>0,01 = 0,5U‘ =>log0,01 = — log0,5=> =>-2 = — log0,5=>f= 1A(~ 2 ) = 93 años 14 6 log 0,5

El pH de las disoluciones La magnitud que mide el nivel de acidez de una disolución se llama pH y se define con la fórmula:

pH = - lo g [H 3O f ]

siendo fH3O ‘ I el valor de la concentración de iones hidronio en mol/L. Las disoluciones muy ácidas tienen pH cercano a 0; las muy básicas, cercano a 14, y las neutras, cercano a 7. Calcula el pH de una disolución de am oniaco (b á sica ) que contiene una concen tra­ Papel indicador del pH.

ción de iones hidronio de IH 30 J = 7,95-10 12 mol/L. El pH tiene un valor de -log [H 3CT| = —log (7 ,9 5 -10 ""') = 11,1.

El precio de un coche de

La ecuación que hay que utilizar es la misma que en el caso del interés compuesto, pero consideran­

cierta marca disminuye con el

do intereses negativos (amortización). Así, se tiene:

paso del tiempo de forma que cada año el valor se reduce en

4000 = 18000 1-

un 25 % . Un coche de dicha marca tiene un precio inicial

25

100

= 18000-0,75' =>0,75' =

4000

2

18000

9

Tomando logaritmos:

de 18 000 € y una persona que lo ha adquirido quiere

log ^

que le abonen 4000 € por él

Iog0,75: = log —

cuando lo cambie. ¿Cuántos años podrá disfrutar del coche? Halla el período de semidesintegración del yodo

Mog0.75 = log^=> t = — — — 9 log 0,75

5.23

La persona que ha adquirido el coche debe cambiarlo a los 5 años.

1 1 1 La masa final debe ser m=—m0 =>-mc = m00,5d =>—= 0,5d . Tomando logaritmos:

8

131, si se sabe que una muestra ha tardado 24 días en

8

1 1 24 log - = log 0 ,5 (l => log — = — 8 8 d

reducirse a su octava parte.

8

1 l*° 8 2 log —=> c/ = 2 4 ----- => 2 . 1 lo g -

log^ d = 24---- — =>d =

días

3 log ^

57.

Si el pH de la sangre es 7,4,

Sustituyendo en la expresión del pH: 7,4 = —loglH.O* ] => —7,4 = log[H.O’ ]

¿cuál es la concentración de iones de hidronio de la sangre?

Aplicando la definición de logaritmo: [H.0*] = 10

En un cultivo de bacterias, el número se duplica cada dos

59.

“ =3,98-10 ’ mol/L

Se depositan en un banco 5000 € durante 2 años. El banco

días. Un día se contabilizan 3000 bacterias.

informa de que el interés es del 3,5 % anual.

a) Calcula el número de bacterias que habrá 15 días después.

a) Calcula el capital acumulado suponiendo que la capitaliza­ ción es anual.

b) ¿Cuántos días han de pasar para que haya el triple de bacte­ rias? ¿Y si el número inicial fuera de 6000 bacterias?

b) ¿A cuánto asciende si es mensual?

c) Se supone que la población se estabiliza al alcanzar las

c) ¿Cuál sería el capital acumulado con una capitalización diaria?

20 000 bacterias. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para ello?

d) Interpreta los resultados obtenidos. 58.

Cierta sustancia radiactiva tiene un período de semidesintegra­ ción de 1600 años. Calcula la cantidad de masa a la que se habrá reducido 1 kilogramo de esta sustancia al cabo de 10 000 años.

60.

s m S a v ia d ig ita l.c o m

practica

Trabaja con los loga­

ritmos y sus aplicaciones.

23

Resumen Números reales Representación

IR

Reales I I Racionales Q

Irracionales! 0

Enteros Z

-3

1

0

1

3

Decimales — I Enteros Negativos

Naturales N

N cZ cO c:

1A

2

3

Intervalos, semirrectas y entornos -O

a

a

b [a,b1

b (a, b)

C—

—O..... »

a

a

b

(-00, o]

[o. b)

(o, ó|

r a Eia. r)

a +r

a-r

a E\a, r]

a +r

—o 0

a a) r

a

b

a- r

(a, -h»)

[a, +°°)

r a E*(a, r)

a +r

Distancia

Valor absoluto

a

si

a >0

-o

si

o< 0

c/(o,ó) = |ó-o| cona.be

Errores Error relativo E =

Error absoluto E = |valor real - valor aproximado!

r

valor real

aproximación por defedo

Potencias y radicales JÑ = An

ïf = xxn= A Propiedades de las potencias

Propiedades de los radicales ( o " ) 'W

n — = o"-"’

(ab)" = anb"

am

a° = 1

( nY

(ï)

= ïI â ê

a-n= — an

(V > F 7 = V / r

■ \[a \[b = '< ía b

\ !¡ÍÁ _ ß ! Vß Vß

nn

=V

0'

EJERCICIOS R E S U E L T O S Numeros reales Demostración de una igualdad característica 61.

N = 0,9

Operaciones con números periódicos

0,9 + 0,09 + 0,009 = 1 + 0,1 + 0,01 = 1,11

Se calculan las fracciones generatrices de los números decimales que aparecen en el primer miem­ bro de la igualdad y se simplifica la expresión mediante cálculos.

Demuestra que: 2,03-1,75 _ 2,03-1,75 _ 1 0,827

203-20

175-1

183

174

90

99

90

99 ^ 30

827-8

0,827

~

990

3

Demostración de que la suma de dos irracionales puede ser entera 63.

=>/V = 1

Razonando de forma similar, se tiene:

0,9 + 0,09 + 0,009

62.

9N = 9

Restando:

Demuestra que 0,9 = 1 y calcula el valor de:

ION = 9,9

Si A/= 0,9:

6 1_58

91

33 = 330 = 1

819

91

91

3

990

110

110

Se eleva al cuadrado:

( n/ó + 4 n/2 + V 6 -4 V 2 ) =(x/ó + 4V2) + ( x/ó - 4 n/2 ) +2(V6+ 4 n/2 )( n/ó —4V2 ) =

Demuestra que la expresión

= 6 + 4 7 2 + 6 - 4 7 2 + 2 (7 3 6 - 1 6 - 2 ) = 12 + 2736-32 =12 + 2-2 = 16

V 6 + 4 n/2 + \/6 —4 V 2 da como resultado un número entero. Calcula ese valor.

Demostración de propiedades de números reales

La expresión es igual a 4, ya que su valor es positivo y su cuadrado vale 16.

Sean o y ó dos números reales positivos diferentes. 1 1 , 1 , 1 a b (a +b)\ - + - \= a-- +a- —+ b-- + b-- = 2 + - + \a b J a b a b b a / v

64.

Dados dos números reales positivos diferentes,

Para calcular los dos últimos sumandos:

demuestra que el producto de

(o - bY > 0 => a ’ + b2- 2ab > 0 =¿>o? + b? > lab => 7

su suma por la suma de sus

+^-~>2=$ — + -^->2=» y + ~ > 2 ab ab ab b a

inversos es mayor que 4. Aunque se desconoce el valor de los dos últimos sumandos, sí se sabe que este es mayor que 2. Luego: , v

Representación de números reales 65.

Representa en la recta real el número \/3 + 2

72 .

, J 1 {a

^3

1)

1

1

. 1

, 1

b)

a

b

a

b

_

o

b

b

a

_

_

.

+272 =7l+ 2 + 2-l-72 =V(i +72)' =1 + 72

Para representar \Í2 se aplica el teorema de Pitágoras: 72 =12+ 12. Luego se añade el 1.

25

Potencias y radicales Se factorizan los

Operaciones de potencias con exponente entero I

66.

Escribe como producto de dos potencias cada expresión.

a)

V5020 -16“12

• =

210 ^20

,4-i-12

,3-45-10+48 23

^-5

ç; 3+12-20 _

(2-5*)2 .(2‘ )

1

b)

103-8"15-256

/ - j \6

\-1 5

103-8"15-256

a)

183-(-8) 7-6¿

=

V27i’ -144'2

V50^-16"12

23•36•2~21•2l>■ 3/l

32)3-(23r 7-(2-3)A

36 -2"8-3'

(33; M 2 4- 3 T 2

-23-21+4+8

n6+4-6+4

= -2-6-3£

183-(-8)-7.6*

b)

144"

Operaciones con potencias de

Se obtienen las fracciones algebraicas de los números decimales que aparecen y se calculan las po­

exponente decimal

tencias de exponente fraccionario.

67.

Calcula el valor de:

a) 32a* + 271¿ 247

32*° + 2 7 ~ = (32)1 + (27)f = (25)s +(33)f _ 22+ 35 _ 4 + 243 _ 247 _ ~

247

“

247

1

1

“

247

“

247 “

247

“ 247 _1

32°* + 27lë

a)

1

247

16-1

__

__

b) 8a3 + 64a16 =8^+64 90 = 83+ 64^ = ^23 + ^26 =2 + 2 = 4

b) 80'3+ 64°'1¿

Operaciones con radicales

2-3\Í2 68.

Opera y simplifica las

a)

= V 2V 2 = \ / V F T = r f? = V8

\¡2+2\¡2

siguientes expresiones. 3\/5

5\/3

/—

3 V5 >/3

—T=r----- p +V15 = — — = ■ 5V3 3V5 5 V3V3

5V Î 5

3 Æ

15

Demostración de igualdades sin operar

lÎÆ

J

15

/—

■- ■-+ V15

=— Æ

15

a) Si se elevan al cuadrado los dos miembros de la igualdad, se obtiene que: W l2 - 2 V ñ ) = 12-2Vñ

69.

5 V3 V5

3 V5 V5

y

( V ñ - l ) 2= l l + l - 2 V ñ = 1 2 - 2 V lI

Comprueba, sin resolver, las

Como los dos miembros de la igualdad inicial son positivos y sus cuadrados son iguales, se verifi­

igualdades:

ca la igualdad propuesta.

a) V 12-

2Æ

=Æ - 1

b) Si se elevan al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene el mismo resultado

b) V 6 - 2 V 5 = 1 - V s

por tanto, no se verifica la igualdad propuesta.

Simplificación de expresiones radicales

tfcb 70.

Simplifica:

1

4b _

2 ^ b ^ $0» ^ 2/3 ) h- n/2 ][(l-H \/3)—72]

1+ 2V3+3 —2

2 + 2V3

_ 1+ n/3-V2 _ il + \Í3 - \¡2){l- síi) _ 2 + V2-Vó 1 + V3

(l

n/3 )(1

—n/3 )

2

Logaritmos Cálculo de logaritmos a partir de uno conocido y aplicando las propiedades

a) log 0,0625 = log

625 = log— = log 2'* = -4log2 = -4-0.301 = -1,204 10000 16 5

b) log 5,625= l o g ^ ^ = l o g ^ = log45-log8 = log(3' -5)-log2' = 72. Tomando log 2 = 0,301 y que

10

log 3 = 0,477, calcula:

= 2log3 + log5-3log2 = 2-0,477 + lo g y - 3 - 0 ,3 0 1 =

a) log 0,0625 b) log 5,625

= 0,954 + log 10 - log 2 - 0,903 = 0,954 + 1 - 0,301 - 0,903 = 0,75

c) log2 45

log 45 _ log3‘ +log5 _ 2log3 + logl0-log2 _ 1,653 _ log 2

Demostración de que todo número real positivo puede expresarse empleando logaritmos

log2

log 2

‘ ) => log0x = log„A/•log„o = logaN =>x = N

Demuestra que a'os° N = N y

(

1 V°g?3 _ 1

12 J

( i Vogj3 calcula el valor de

0.301

Sea x = a' "'1,v. Tomando logaritmos en base o en los dos miembros:

lognx = log0(o 73.

^

-

_ i

logí3 3

" 2

Aplicaciones de los logaritmos Estimación de poblaciones

Podría pensarse que es el mismo criterio, ya que las proporciones en tos periodos son las mismas. Sin embargo, hay que tener en cuenta que, en cada periodo de cálculo, se considera como cantidad

74.

La población inicial de

inicial las bacterias existentes más las aparecidas en el periodo anterior, lo que hace que los porcen­

bacterias de un cultivo es de

tajes se calculen sobre cantidades iniciales diferentes en cada caso.

4000. Para estimar la

Los patrones de crecimiento son diferentes. Para cada caso, serían:

población que habrá al cabo de 120 días, se utilizan tres

I.

f =—

= 10; ¿t = l + —

=>P = 4000-1.2010 = 24 767 bacterias

II.

r=—

= 20: ^ = 1 + —

=>P = 4000-1.10'° = 26 910 bacterias

criterios: I. Que cada 12 días aumenten en un 20 % . II. Que cada 6 días aumenten en un 10 % . III. Que cada 3 días aumenten en un 5 % .

12 6

100 100

III. í = — = 40; k = l + — =>P = 4000-1,054° = 28160 bacterias 3 100 En resumen, no es el mismo criterio.

¿Crees que, en realidad, se tra­ ta del mismo criterio?

Cálculo del pH 75.

Si se tienen 1,25 •10 1moles

Se calculan los moles/litro: [hijo* ]=

1 25-10"3 ’ ^ ^— = 2,5-10‘ 3 mol/L

de lH 30 +] en 500 mL de una disolución de ácido

Se calcula el pH: pH = -log[H :0* ] = —log2,5-10“ =2,6

clorhídrico, ¿cuál es el pH de la misma?

27

A C T IV ID A D E S 85.

Expresa mediante un intervalo los siguientes conjuntos de números reales x y represéntalos en la recta real.

Números reales 76.

a)

Escribe dos números comprendidos entre: , 19 20 a) — y — 23 y 23

M b) y22

1

2

2

77=0

a) logr = —3

102. Calcula el valor de x en cada una de las expresiones dadas a

log3x= - l log,o'' =x

1Î

0

continuación. a) log - x + log - x2= 9

a b) log1 x-logL x4 •log±

95.

Considerando log2 = 0,301, log3 = 0,477

y lo g /\a\+\b\

un sonido de 20 dB? ¿Y si se compara un sonido de 40 dB con uno de 30 dB?

|o-ó| 8=>2 >2 =>-t > - t => -

> -

=>

cada dos días aumenta en un 50 % , ¿cuál será la población a los 12 días?

log, -

> lo g J -

=>3logJ -

> 4 lo g J -

y simplificando: 3 > 4

b) ¿Y si se supone que cada día aumenta en un 25 % ? 115. Javier pretende colocar césped artificial en un jardín cua­ drado, sabiendo que su lado tiene una longitud, en metros,

109. Representa en la recta real el conjunto de valores reales x tales que

1

2x--