ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA

ERRORES EN LAS MEDIDAS

I. Unidades de medición. Todas las mediciones constan de una unidad que nos indica lo que fue medido y un número que indica cuántas de esas unidades fueron medidas. Ejemplo: 36 m II. Números. En la ciencia se usan tres clases de números: los que se cuentan, los que se definen y los que resultan de una medición. Se puede especificar el valor exacto de un número contado o definido, pero el valor exacto de un número medido no puede conocerse. Por ejemplo, se pueden contar con absoluta certeza el número de mesas que hay en clase, el número de dedos de una mano o el número de monedas que llevamos en el bolsillo. Los números contados no están sujetos a error (¡a menos que el número contado sea tan grande que no podamos estar seguros de llevar bien la cuenta!) Los números definidos son relaciones exactas que han sido establecidas como válidas. El número exacto de segundos en una hora y el número exacto de lados de un cuadrado son ejemplos de esto. Los números definidos tampoco están sujetos a error. Todos los números medidos, no importa con cuánto cuidado se realice la medición, implican cierto grado de incertidumbre. III. Incertidumbre en las mediciones. La incertidumbre o error de una medición depende de la precisión del dispositivo utilizado y de la habilidad de la persona que la realizó. Las limitaciones humanas intervienen casi siempre que se hace una medición. Además, no es posible evitar la incertidumbre ocasionada por la limitada precisión de los instrumentos de medición. La incertidumbre de una medición se puede ilustrar con las dos reglas que se muestran en la figura. Las mediciones corresponden a la longitud de una mesa. Suponiendo que el extremo de la regla donde está el cero haya sido colocado cuidadosa y precisamente en el borde izquierdo de la mesa, ¿cuál es la longitud de ésta?

La escala de la regla que aparece en la parte superior de la figura está graduada en centímetros. Usando esta escala se puede decir con certidumbre que la longitud debe estar entre 82 y 83 centímetros. Más aún, podemos añadir que se encuentra más cerca de la marca de 82 que de la de 83 centímetros, y podemos estimar que la longitud es de 82.2 centímetros. La escala de la regla inferior muestra más subdivisiones y tiene mayor precisión porque está graduada en milímetros. Con esta regla se puede decir que la longitud está definitivamente entre 82.2 y 82.3 centímetros, y podemos estimar la longitud en 82.25 centímetros. Observemos que ambas lecturas contienen algunos dígitos que conocemos con exactitud y un dígito más (el último) que ha sido estimado. Observemos también que la incertidumbre en la lectura de la regla inferior es menor que en la de la regla superior. La regla inferior nos permite hacer lecturas hasta centésimas, y la superior, hasta décimas. La regla inferior es más precisa que la superior. Ninguna medición es exacta. Su expresión contiene dos clases de información: (1) la magnitud de la medición y (2) la precisión de la misma. La ubicación del punto decimal y el valor del número expresan la magnitud. La precisión se indica con el número de cifras significativas. IV. Cifras significativas. En cualquier medición, las cifras significativas son los dígitos que se conocen con certeza más un dígito que es incierto. La medición de 82.2 centímetros (hecha con la regla superior de la figura anterior) tiene tres cifras significativas, y la medición de 82.25 centímetros (hecha con la regla de abajo) tiene cuatro cifras significativas. El dígito del extremo derecho siempre es un estimado. Siempre se escribe sólamente un dígito estimado como parte de una medición. Sería incorrecto decir que la longitud de la mesa de la figura, medida con la regla de abajo, es de 82.253 centímetros. Este valor de cinco cifras significativas tendría dos dígitos estimados (el 5 y el 3) y sería incorrecto porque indicaría una precisión mayor que la que esa regla puede proporcionar. Se han desarrollado reglas para escribir y usar las cifras significativas, tanto en las mediciones como en valores calculados a partir de ellas. Regla 1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. Ejemplos: 3.1428 cinco cifras significativas 3.14 tres cifras significativas 469 tres cifras significativas Regla 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. Ejemplos: 7.053 cuatro cifras significativas 7053 cuatro cifras significativas 302 tres cifras significativas Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven sólamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos. Ejemplos: 0.0056 dos cifras significativas 0.0789 tres cifras significativas 0.000001 una cifra significativa Regla 4. En un número con dígitos a la derecha del punto decimal, los ceros a la derecha del último número diferente de cero son significativos. Ejemplos: 43 dos cifras significativas

43.0 tres cifras significativas 43.00 cuatro cifras significativas 0.00200 tres cifras significativas 0.40050 cinco cifras significativas Regla 5. En un número que no tiene punto decimal y que termina con uno o más ceros (como 3600), los ceros con los cuales termina el número pueden ser o no significativos. El número es ambiguo en términos de cifras significativas. Antes de poder especificar el número de cifras significativas, se requiere información adicional acerca de cómo se obtuvo el número. Si el número es el resultado de una medición, los ceros probablemente no son significativos. Si el número ha sido contado o definido, todos los dígitos son significativos (¡suponiendo que el recuento haya sido perfecto!). Se evitan confusiones expresando los números en notación científica. Cuando están expresados en esta forma, todos los dígitos se interpretan como significativos. Ejemplos: 5 3.6 x 10 dos cifras significativas 5 3.60 x 10 tres cifras significativas 5 3.600 x 10 cuatro cifras significativas 2 x 10-5 una cifra significativa -5 2.0 x 10 dos cifras significativas V. Redondeo. Una calculadora muestra ocho o más digitos. ¿Cómo se puede redondear ese número de cifras a, digamos, tres cifras significativas? Tres reglas sencillas rigen el proceso de eliminar los dígitos no deseados (no significativos) del resultado. Regla 1. Si el primer dígito que se va a eliminar es menor que 5, ese dígito y todos los dígitos que le siguen simplemente se eliminan. Ejemplo: 54.234 redondeado a tres cifras significativas se convierte en 54.2 Regla 2. Si el primer dígito que se va a eliminar es mayor que 5, o si es 5 seguido de dígitos diferentes de cero, todos los dígitos siguientes se suprimen y el valor del último dígito que se conserva se aumenta en una unidad. Ejemplo: 54.36, 54.359 y 54.3598 al ser redondeados a tres cifras significativas quedan todos como 54.4 Regla 3. Si el primer dígito que se va a eliminar es un 5 que no va seguido de ningún otro dígito, o si es un 5 seguido sólo de ceros, se aplica la regla par-impar. Es decir, si el último dígito que se va a conservar es par, su valor no cambia, y tanto el 5 como los ceros que lo siguen se suprimen. Pero si el último dígito a conservar es impar, entonces su valor se aumenta en uno. La intención de esta regla parimpar es promediar los efectos del redondeo. Ejemplos: 54.2500 con tres cifras significativas se vuelve 54.2 54.3500 con tres cifras significativas se vuelve 54.4

VI. Cifras significativas y cantidades calculadas. Supongamos que al medir la masa de un pequeño bloque de madera se obtiene una lectura de 2 gramos en una balanza, y observamos que su volumen es de 3 centímetros cúbicos al sumergirlo en el agua contenida en una probeta graduada. La densidad de ese trozo de madera es igual a su masa dividida entre su volumen. Si dividimos 2 entre 3 en la calculadora, la lectura de la pantalla es 0.6666666. Sería incorrecto decir que la densidad del bloque de madera es de 0.6666666 gramos por centímetro cúbico. Al hacerlo así, estaríamos suponiendo un grado de precisión que no se justifica. La respuesta se debe redondear a un número razonable de cifras significativas. El número de cifras significativas permitido en un resultado calculado depende del número de cifras significativas de los datos utilizados para calcularlo, y del tipo de operación u operaciones matemáticas que se hayan efectuado para obtener dicho resultado. Existen reglas distintas para la multiplicación y la división, y para la suma y la resta. Multiplicación y división. En este caso, la respuesta deberá tener el mismo número de cifras significativas que el dato inicial que tenga menos cifras significativas. En el cálculo de la densidad del ejemplo anterior, la respuesta debe redondearse a una sola cifra significativa: 0.7 gramos por centímetro cúbico. Si la medida de la masa hubiera sido 2.0 gramos y la del volumen se hubiera mantenido en 3 centímetros cúbicos, la respuesta seguiría redondeándose a una sola cifra significativa, es decir, a 0.7 gramos por centímetro cúbico. Si el resultado de la medición de la masa hubiera sido 2.0 gramos y el volumen medido hubiera sido 3.0 ó 3.00 centímetros cúbicos, entonces la respuesta se redondearía a dos cifras significativas: 0.67 gramos por centímetro cúbico. Ejemplo: 8.536 x 0.47 = 4.01192 (respuesta en la calculadora) El dato de entrada que tiene el menor número de cifras significativas es 0.47, con dos cifras significativas. Por lo tanto, la respuesta de 4.01192 obtenida en la calculadora debe redondearse a 4.0. Suma y resta. En la suma o la resta, la respuesta no debe tener dígitos más allá de la posición del último dígito común a todos los números sumados o restados. Ejemplo: 34.6 + 17.8 + 15 = 67.4 (respuesta en la calculadora) La posición del último dígito común a todos estos números es la correspondiente a las unidades. Por consiguiente, la respuesta de 67.4 obtenida en la calculadora debe redondearse a unidades, y es 67. VII. Expresión de una medida y su error. Los criterios a seguir para la determinación del error son los siguientes: a) Cuando se realiza una sóla medida ( pesada, determinación de una longitud, etc. ), su error absoluto se toma igual a la precisión del aparato de medida, siempre que no tengamos la seguridad de que no se puede interpolar visualmente; por ejemplo, si es una pesada, la pesa más pequeña, si se trata de una regla graduada en milímetros, 1 mm, si de una probeta cuyas divisiones son de dobles 3 centímetros cúbicos, 2 cm , etc. b) En los aparatos provistos de una escala, tales como barómetros, amperímetros, voltímetros, etc., y en el caso de realizar una sola medida, se considerará su error igual al valor de la división más pequeña que pueda apreciarse por interpolación visual. Si la determinación la hemos de realizar

ajustando los extremos de la escala del aparato, dado que para ambos extremos hemos de considerar un error de una división apreciada, el error total será de dos divisiones. c) Cuando debamos deducir un valor con auxilio de una gráfica, z = f(x), se determinarán los correspondientes valores de z, para x + ∆x y para x - ∆x, y su error vendrá dado por ∆z =

z max − z min 2

Los errores absolutos se expresarán siempre con una sóla cifra significativa, que se habrá forzado en una unidad si la primera suprimida es igual o mayor que 5. Sólo apareceran con dos cifras significativas, cuando la primera de ellas sea un 1; siguiéndose para la segunda el mismo criterio que en el caso anterior. Ejemplos: Incorrecto 2.317 ± 0.762 7.5 ± 0.072 57324 ± 1258 4.132 ± 0.163 0.03214 ± 0.0063 0.04375 ± 0.0126

Correcto 2.3 ± 0.8 7.50 ± 0.07 57000 ± 1200 4.13 ± 0.16 0.032 ± 0.006 0.044 ± 0.013

VIII. Expresión de una medida, realizada varias veces, y su error. Si realizamos un gran número de veces la medida directa de una magnitud, los diferentes valores se agruparán alrededor de un cierto valor medio que nosotros vamos a tomar como valor verdadero. Una sola determinación, y aún dos, que den casualmente el mismo valor no son garantía de una buena medida. Por ello deben realizarse, como mínimo, de 5 a 10 medidas de cada magnitud x. De ellas deduciremos el valor medio: n

∑ xi x =

i =1

n

que tomaremos como verdadero, y le asignaremos un límite superior de error que vendrá dado por la media de las diferencias, en valor absoluto, entre el valor medio y cada uno de los resultados xi de las n medidas realizadas, es decir, n

∑ xi − ∆x =

x

i =1

n

De acuerdo con la teoría de errores de Gauss, en la que se supone que éstos se producen por causas aleatorias, se toma el error cuadrático como la mejor estimación de error:

n

2 ∑ (x i − x )

∆x =

i =1

n

El resultado del proceso de medida se expresa como x ± ∆x

seguido de la unidad de medida. Además del error absoluto, se define el error relativo como el cociente entre el error absoluto y el valor medio. Es decir, ∆x ε= x El error relativo es un índice de la precisión de la medida. Es habitual que la medida directa o indirecta de una magnitud física con aparatos convencionales tenga un error relativo del orden del uno por ciento o mayor. Errores relativos menores son posibles, pero no son habituales. La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, sólamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél viene definido por la resolución del aparato de medida. Es evidente, que si el resultado de las n medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo con la fórmula será cero; pero, eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo, sino que el error instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas y, por consiguiente, el error instrumental será el error de la medida. IX. Error de las medidas indirectas. Una vez tengamos determinado cada uno de los valores experimentales con su error absoluto y relativo, debemos hallar el valor de la magnitud cuya medida pretendemos lograr a través de una fórmula. En ella sustituiremos los valores de cada magnitud medida, y efectuando operaciones deduciremos el valor correspondiente. En general, siempre que intervenga una fórmula, obtendremos el límite de error considerando a los errores como diferenciales o incrementos físicamente pequeños y recurriendo al análisis infinitesimal para obtener las correspondientes expresiones. Un procedimiento elemental consiste en tomar logaritmos neperianos en las expresiones y diferenciar. Así por ejemplo, supongamos que cierta magnitud M se obtenga a través de la expresión

M =a

b2 c

en la que a, b y c son tres magnitudes que hemos medido experimentalmente y de las que conocemos sus correspondientes errores. De esta forma, si en la expresión anterior tomamos logaritmos neperianos se obtiene:

ln M = ln a + 2 ln b – ln c y si diferenciamos esta última, dM da db dc = +2 − M a b c

Pues bien, para el cálculo, como hemos dicho antes, se identifican las diferenciales con los errores absolutos, y como éstos vienen afectados de un doble signo, determinaremos el límite de error, tomando aquel que nos de el resultado más desfavorable, es decir, cuando todos los errores se sumen. De esta forma, la expresión anterior se transforma en: ∆M ∆a ∆b ∆c = +2 − M a b c

o bien,

εM = εa + 2 εb + εc de la que deducimos la siguiente regla práctica que nos permite hallar los errores en el caso de expresiones como la considerada: "El error relativo de la magnitud M es igual a la suma de los errores relativos de cada uno de los términos de la expresión multiplicados por los exponentes". Esta regla será útil para el caso en que las magnitudes implicadas en la expresión aparezcan como factores, cocientes, potencias y raíces, pues éste último caso se reduce al de potencias de exponentes fraccionarios. Si en la expresión intervienen coeficientes, éstos serán números puros y, por consiguiente, no afectados. En el caso de que aparezcan números irracionales tales como π o el número e, o bien logaritmos y funciones trigonométricas, su error absoluto es igual a la unidad del orden de la última cifra conservada y se procura tomar tantas cifras como sean necesarias a fin de conseguir que su error relativo sea unas 10 veces menor que el más pequeño de los errores relativos de las magnitudes medidas. Así cuando tomamos para π el valor 3.14 cometemos un error relativo de 0.01/3.14 ≈ 0.3 %, mientras que si tomamos 3.141, su error vale 0.001/3.141 ≈ 0.03 %, y así sucesivamente. En el caso de que en la expresión de partida aparezcan determinadas magnitudes que deban sumarse o restarse, para el cálculo del error se sustituirá ésta por su suma efectuada, a la que se asignará un error de acuerdo con la regla: "El error absoluto de la suma ( o diferencia ) es igual a la suma de los errores absolutos de los sumandos". Ejemplo. Vamos a determinar el volumen de un cilindro del cual se ha hallado su longitud utilizando un calibre o pie de rey, obteniéndose como promedio el valor εl = 0.2 % l = 122.5 ± 0.3 mm y su diámetro medido con un palmer vale: d = 10.62 ± 0.07 mm εd = 0.7 %

Entonces,

V=

πd 2 4

l=

3.141 10.62 122.5 = 10.85 cm 3 4

y según lo dicho anteriormente: εV = επ + 2 εd + εl = 0.03 + 2 0.7 + 0.2 = 1.64 = 1.6% Por lo tanto, ∆V = εV x V= 0.016 x 10.85 = 0.17 cm3 expresando el resultado final de la siguiente forma: V = 10.85 ± 0.17 cm3 con un error relativo εV = 1.6 % X. Representaciones gráficas. Ordinariamente el estudio experimental de una ley física, se realiza mejor ayudándose de una representación gráfica, pues mediante ella, se obtiene una visión global del fenómeno, que permite, con un simple golpe de vista, ver mucho más y con mayor claridad que lo que se podría apreciar a través de la lectura del texto y de tablas de valores que ofrecen dificultad para una rápida interpretación. Ahora bien, para que de la representación gráfica se obtenga la máxima información ha de ajustarse a ciertas normas, las cuales vamos a dar a continuación: 1º) Utilizar papel milimetrado y titular la representación gráfica de que se trate. 2º) Sobre ambos ejes deben expresarse las magnitudes físicas y las unidades en que han sido medidas. 3º) La variable independiente se representará en el eje de abscisas. 4º) Las unidades de las escalas de los ejes abarcarán una serie de números (milímetros, centímetros, etc. ) que se recomienda sean: 1, 2, 5, 10, 20, 50, etc. 5º) Las escalas abarcarán sólamente el intervalo de medidas realizadas. 6º) Sobre los ejes no se indicarán los valores de las medidas, sino las divisiones de la escala, suficientemente espaciadas. 7º) Cada punto experimental de la gráfica debe ir rodeado del rectángulo ( o cruz ) de error de base x ± ∆x y altura y ± ∆y, cuando los errores sean apreciables en los valores de ambas magnitudes. 8º) La curva trazada en la gráfica, representativa de la función y = f(x), debe ser de trazo fino y continuo ( nunca en forma de línea quebrada ), sin que pasen necesariamente por los puntos experimentales, bastando que atraviesen los rectángulos de error. Unicamente las curvas de calibrado pueden ser quebradas.

9º) Cuando sea posible, hallar la ecuación de la gráfica resultante. En general, sólo si se observa que es lineal ( ver párrafo siguiente: "Ajuste de una recta por mínimos cuadrados"). XI. Ajuste de una recta por mínimos cuadrados. Muchas veces, aunque el fenómeno estudiado responde a una ley lineal, los valores experimentales no se hallan exactamente sobre una recta, sino distribuidos más o menos simétricamente a un lado y a otro de la misma. Para hallar la ecuación de la recta que describe la ley física correspondiente se recurre al método de los mínimos cuadrados, con lo que se logra que los puntos experimentales queden distribuídos simétricamente a ambos lados de ella y lo más próximos posible. Si la ecuación buscada es y = mx +n debe ocurrir que

C = ∑ ( y i − y i ´) = ∑ ( y i − mxi − n ) 2

2

sea mínimo, en donde yi son las ordenadas experimentales e yi' son las de la recta buscada, para el mismo valor de xi. Derivando C respecto a las dos incógnitas del problema, la ordenada en el origen n y la pendiente m, e igualándolas a cero, se llega a las ecuaciones: m ∑ ( xi ) + n ∑ xi = ∑ xi y i 2

m ∑ xi + N n = ∑ y i

que escribiremos de la forma SN − PQ  m= Rm + Pn = S   RN − P 2 ⇒ Pm + N n = Q   RQ − PS n=  RN − P 2

siendo R = ∑ (xi ) ; P = ∑ xi ; S = ∑ xi y i ; Q = ∑ y i ; Nn = ∑ n 2

De este sistema obtendremos m y n que son los valores buscados para representar la recta.