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TEMA 2: DISEÑO DE EXPERIMENTOS Objetivo: Proponer modelos para analizar la influencia de varios factores sobre un fenómeno que nos interesa estudiar. 1 Introducción 1. I t d ió a los l diseños di ñ de d experimentos i t factoriales f t i l 2. Diseño con dos factores 3. Diseño con dos factores e interacción 4. Otros diseños de experimentos

1

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1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales Se trata de realizar comparaciones, lo más homogéneas posibles, para identificar los factores (variables categóricas) que explican la variabilidad entre las respuesta a un fenómeno que nos interesa estudiar. Ejemplos:: Ejemplos

A A. En la fabricación de un vino ecológico se trata de ver si la producción depende del tipo de suelo y de si se utiliza o no una fertilización natural.

B. En un estudio sobre la sensibilización de la población de la

UE frente al cambio climático, se quiere ver si depende del sexo, para ello se consideran individuos de todos los países.

Se comparan los niveles medios de respuesta en cada grupo 2

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1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales

DISEÑOS FACTORIALES Cuando se obtienen observaciones para todos los niveles de cada factor cruzados con todos los niveles de todos los otros factores.

Algunos g ejemplos: j p Modelo con dos factores:

yij    i  uij yijk    i   j  uijk

Modelo con tres factores:

yijkl    i   j   k  uijkl

Modelo con dos factores con interacción:

yijk    i   j  (  )ij  uijk

Modelo con un factor:

Modelo con tres factores que interaccionan:

yijkl    i   j   k  ( )ij   ( )ik  (  ) jjk  ( )ijkj  uijkl j 3

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1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales

Los datos que tenemos que obtener para poder cruzar todos los niveles en un diseño con dos factores para el estudio de sensibilización sobre cambio climático son: CR

Y1 28 Y2 28 1,…,28

2 x 28

Si consideramos también el factor educación a dos niveles: Con estudios universitarios Sin estudios universitarios CR Y1 28 1 Y2 28 1

CR Y1 28 2 Y2 28 2

2 x 28 x 2

Y2 1 2 es la respuesta p de un hombre alemán con estudios universitarios 4

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1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales

Si tenemos t dos d factores f t con I y J niveles, i l los l datos d t son:

yij es la respuesta de un individuo del nivel i-ésimo del primer factor y jésimo del segundo factor

Podemos calcular medias por filas, por columnas y de todos los datos

y i

es la media de todos los datos del grupo

i (i =1,…, I)

y j

es la media de todos los datos del grupo

j (j =1,…, J)

y 

es la media de todos los datos

Si podemos replicar el experimento K veces, veces los datos son:

yijk es la respuesta del individuo k-ésimo a nivel i-ésimo del primer factor y

j-ésimo ésimo del segundo factor

Si hay un factor más con k-niveles los datos sin replicar son:

yijk es la respuesta del individuo i-ésimo del primer factor, j-ésimo del

segundo factor y k-ésimo del tercer factor

5 5

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1. Introducción a los diseños de experimentos factoriales

Ejemplo de una planta desalinizadora Para la construcción de una planta desalinizadora se quiere adquirir la maquinaria que produzca menos emisiones de CO2 por unidad fija desalada. Por las características de estas máquinas se cree que las emisiones pueden depender de la cantidad de sal que contenga el agua. Cinco fabricantes ofrecen sus productos y se realiza un experimento para determinar cuál es la mejor oferta. ¿Qué máquina es más eficiente? fi i ? y i Salinidad Poca Bastante Mucha Aparentemente Máquina I

24

26

29

26,3

Máquina II

27

30

32

29 6 29,6

Máquina III

26

27

30

27,6

Máquina IV

25

28

28

27,0

Máquina V

28

29

31

29,3

y j “la máquina” es factor principal “La salinidad del agua” es un factor instrumental i t t l (bloque)

26

28

30

y   28

la mejor es la máquina I

Ninguna es más eficiente que las demás en todas las condiciones de salinidad

¿Las emisiones de CO2 dependen de la máquina empleada? ¿Qué máquina es más eficiente? ¿Influye la salinidad del agua? Si volviéramos a hacer el experimento, ¿consideraríamos las tres salinidades?

¿Qué explica más las diferencias entre los resultados resultados, la salinidad del agua o la máquina? 6

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2. Diseño con dos factores MODELO de DISEÑO de EXPERIMENTOS con DOS FACTORES

yijk    i   j  uijk

i =1,…, I

j =1,…, J

k =1,…, K I J   y se cumple que i 1 i  j 1  j 0



es la respuesta media de toda la población

i

es el efecto sobre la respuesta del nivel i del primer factor

 j es el efecto sobre la respuesta del nivel j del segundo factor

uijk es el error (o perturbación) aleatorio debido al resto de variables

que influyen en la respuesta del individuo k-ésimo a niveles i y j de los factores

Hipótesis (condiciones) que asumimos que cumplen los datos:

yijk  N (   i   j ,  2 )

independientes 7

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2. Diseño con dos factores

METODOLOGÍA

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2. Diseño con dos factores

ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO Estimadores de m, ai y bj

ˆ  ˆi  ˆ j 

y yi  y y j  y

1 I J K y  yijk   IJK i1 j1 k1 1 J K y  yijk  i  JK j1 k1 1 I K y  yijkk   j IK i1 k1

Residuos del modelo

eijk  yijk  yi  y j  y Grados de libertad de los residuos IJK  I  J  1 Estimador de la varianza s2

suma de residuosal cuadrado 2 ˆ S  R grados de libertad de los residuos 2    ( y y y y )   ijk        i j i j k  IJK  I  J  1 9

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2. Diseño con dos factores

Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación… Se trata de elegir entre 5 máquinas y se consideran 3 niveles de salinidad y i

Salinidad S li id d

Poca P

Bastante B t t

Mucha M h

Máquina I

24

26

29

26,3

Máquina II

27

30

32

29,6

Máquina III

26

27

30

27,6

Máquina IV

25

28

28

27,0

Má i V Máquina

28

29

31

29 3 29,3

y j

26

28

30

y   28

 S R2  0 , 583

¿Las emisiones de CO2 dependen de la máquina empleada? H0: α1 = α2 … = αI = 0 ¿Qué máquina es más eficiente? Aparentemente la Máquina I, pero no sabemos si también la Máquina IV… ¿Influye la salinidad del agua? H0: β1 = β2 … = βJ = 0 Si volviéramos a hacer el experimento, ¿consideraríamos los tres niveles de salinidad? ¿Qué explica ¿ p más las diferencias entre los resultados,, la salinidad del agua g o la máquina? q 10

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2. Diseño con dos factores

Test ANOVA (¿el factor influye en la respuesta?) H0: Los efectos del factor sobre la respuesta p son cero p para todos los niveles (el factor NO influye) H1: Algún efecto es distinto de cero (el factor SI influye)

(Cuando H0 y las hipótesis del modelo son ciertas)

Para el otro factor se cambia: ap por b I por J

F  FI 1,IJK  I  J 1, 11

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2. Diseño con dos factores

Tabla ANOVA En la tabla ANOVA se representa la idea de que la varianza se puede descomponer en las distintas fuentes que la originan

IJK I J+1 IJK-I-J+1

IJK-I-J+1

IJK-1

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2. Diseño con dos factores

Descomposición de la variabilidad del experimento

SCE( )  JK i( yi  y )2 SCE( )  IK  j ( y j  y )2 2 SCT   i j k ( yijk  y )

2 SCR   i j k ( yijk  yi  y j  y )

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2. Diseño con dos factores

Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación… Se trata de elegir entre 5 máquinas y se consideran 3 niveles de salinidad y i

y j

 S R2  0 , 583

y   28

¿Las emisiones de CO2 dependen de la máquina empleada? Rechazamos H0. Hemos encontrado evidencia de que si dependen de la máquina ¿Qué máquina es más eficiente? Aparentemente la Máquina I, pero no sabemos si también la Máquina IV… ¿Influye la salinidad del agua? Rechazamos H0. Hemos encontrado evidencia de que influye el tipo de agua Si volviéramos a hacer el experimento, ¿consideraríamos los tres niveles de salinidad? ¿? ¿Qué explica más las diferencias entre los resultados, la salinidad del agua o la máquina? ¿? 14

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2. Diseño con dos factores

¿Cómo evaluamos si el modelo propuesto sirve para explicar la variabilidad en la respuesta?

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN Es la proporción ó de la variabilidad observada en los datos que queda explicada por el modelo

R2=SCE/SCT SCE/SCT =(SCE(α =(SCE( α)/SCT)+(SCE( )/SCT)+(SCE(β β)/SCT)

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2. Diseño con dos factores

Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación… Se trata de elegir entre 5 máquinas y se consideran 3 niveles de salinidad

R2 = R2(a) + R2(b) = 0.362 0 362 + 0 0.571 571 = 0 0.933 933 ¿Qué habría pasado si no hubiéramos tenido en cuenta la distinta salinidad del agua? yi

y j

 S R2  0 ,583

y   28

Con los mismos datos no habríamos encontrado la evidencia 16

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2. Diseño con dos factores

Consejos de actuación… actuación… 1. En general ,cruzar todos los factores que creemos que pueden influir en la respuesta es una herramienta más potente para encontrar la evidencia 2 Si algún 2. l ú ffactor no influye, i fl es mejor j ((aunque no iimprescindible) i dibl ) eliminarlo del análisis y repetir el ANOVA. Los datos no cambian así que la información es la misma cambian, misma. Lo que disminuye es el número de parámetros desconocidos. Por tanto, nuestro análisis será más potente eliminando factores no influyentes 3. Los modelos con dos factores, se pueden generalizar para considerar todos los factores necesarios para analizar el experimento p correctamente 17

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2. Diseño con dos factores

Comparaciones de dos niveles Si hay h evidencia id i para rechazar h l hipótesis la hi ót i nula l para ell factor f t podemos preguntarnos ¿son iguales los efectos de los niveles i y j?

^

Si el cero no está dentro del intervalo, entonces rechazamos la hipótesis nula

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2. Diseño con dos factores

Comparaciones dos a dos Si queremos h hacer comparaciones i múltiples, últi l podemos d aplicar li lla corrección de BONFERRONI

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2. Diseño con dos factores

Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación… Se trata de elegir entre 5 máquinas y se consideran 3 niveles de salinidad

La tabla ANOVA que se obtiene con el SPSS es:

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2. Diseño con dos factores

Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación… Se trata de elegir entre 5 máquinas y se consideran 3 niveles de salinidad

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2. Diseño con dos factores

Ejemplo de una planta desalinizadora Continuación… Se trata de elegir entre 5 máquinas y se consideran 3 niveles de salinidad

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2. Diseño con dos factores

DIAGNÓSTICO DE LAS HIPÓTESIS DEL MODELO ¿Hay alguna evidencia CLARA en contra de alguna d las de l hipótesis hi ót i del d l modelo d l que hemos h asumido? id ? Cuando las hipótesis del modelo no se pueden “comprobar” porque hay pocas replicas li (K b bajo) j ) o muchos h niveles i l ( (I (IxJ I IxJ J alto) alto), l ) se analizan li llos residuos id Los residuos del modelo son aproximadamente:

Se estudian con: N Normalidad lid d y media di cero: histograma, gráfico probabilístico normal (Q-Q o P-P plot), test de normalidad (Kolmogorov-Smirnov (K l S i o Shapiro-Wilk)

Cuando alguna de estas características falla es porque las hipótesis p q que hemos asumido en los datos no son ciertas

El 95% de los residuos estandarizados deben estar entre -2 y 2, en una nube de puntos sin forma

 Homocedasticidad y linealidad: Diagrama de dispersión (residuos

estandarizados vs. Valor pronosticado)

 Datos atípicos: p box-plot p 23

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2. Diseño con dos factores

Gráficos de Residuos frente a Valores pronosticados

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2. Diseño con dos factores

Con los datos publicados sobre la reserva total de agua embalsada en cada una de las cuencas de la Península en los meses de enero de 2004 y 2005,

¿hay alguna evidencia iniciado h l id i de d que en 2005 pudo d haberse h b i i i d un periodo de sequía?

ANOVA de un factor

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2. Diseño con dos factores

Continuación… Se trata de ver si hay alguna evidencia de que en 2005 pudo haberse iniciado un periodo de sequía.

Si tenemos en cuenta t t que una parte t importante i t t de d las l diferencias entre las cantidades de agua embalsadas en el mismo año se debe a los diferentes tamaños de las cuencas y que tenemos este factor controlado, consideraremos un modelo que incluya la CUENCA como un factor instrumental (bloque)

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2. Diseño con dos factores

Continuación… Se trata de ver si hay alguna evidencia de que en 2005 pudo haberse iniciado un periodo de sequía.

Hemos encontrado evidencia estadística para rechazar que

Antes de dar por bueno el resultado, miramos los residuos. ¿Presentan alguna evidencia clara de que no se alguna de las hipótesis que en hemos asumido en el modelo (normalidad, linealidad, etc…)? 27

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2. Diseño con dos factores

Continuación… Se trata de ver si hay alguna evidencia de que en 2005 pudo haberse iniciado un periodo de sequía.

La homocedasticidad no se cumple. Transformamos la variable i bl respuesta t con ell logaritmo l it neperiano i 28

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2. Diseño con dos factores

Continuación… Se trata de ver si hay alguna evidencia de que en 2005 pudo haberse iniciado un periodo de sequía.

La conclusión ó es la misma, pero la evidencia es más á clara (sin transformar, p-valor=0.027) y la proporción de variabilidad explicada por el modelo mayor (sin transformar, transformar R2= 0 0.985) 985)

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3. Diseño con dos factores e interacción Cuando la respuesta en los niveles de un factor depende de cuál se q hay y una INTERACCIÓN entre el nivel de otro factor,, se dice que

los dos factores

Un ejemplo de posible interacción se da entre medicamentos j p típico p p SIN INTERACCIÓN

CON INTERACCIÓN

CON INTERACCIÓN

sin B

sin B

sin B

con B

con B

sin A

sin A

sin A

con A

con A

con A

Y22 = μ+α2+β2+u22 sin B

con B

sin A

4

99

con A

101

200

con B

Y22 = μ+α2+β2+¿?+u22 Y22 = μ+α2+β2-¿?+u22 sin B

con B

sin A

4

99

con A

101

1985

sin B

con B

sin A

4

99

con A

101

1 30

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3. Diseño con dos factores e interacción

MODELO con dos FACTORES e INTERACCIÓN

(αβ)ij es el efecto de la interacción entre el nivel i del primer factor y el nivel j del segundo factor K es el número de réplicas del experimento Para que los efectos de la interacción se puedan estimar (haya más datos que parámetros) es necesario que K ≥ 2

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3. Diseño con dos factores e interacción

ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO Estimadores de m , ai , bj y (ab)ij

ˆ , ˆi , ˆ j

Los mismos del modelo de dos factores sin interacción

(  )ij  yij  yi  y j  y yij

1 K  yijk  K k1

Residuos del modelo

eijk  yijk  yij Grados de libertad de los residuos IJ ( K  1)

Estimador de la varianza s2

suma de residuosal cuadrado Sˆ 2  R grados de libertad de los residuos 2 y y (  )   ij ijk i j k  IJ ( K  1)

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3. Diseño con dos factores e interacción

T bl ANOVA Tabla

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3. Diseño con dos factores e interacción

Tests ANOVA (¿el factor influye en la respuesta?) H0: Los efectos del factor sobre la respuesta son cero para todos los niveles (el factor NO influye) H1: Algún efecto es distinto de cero (el factor SI influye)

Test ANOVA (¿la INTERACCIÓN influye en la respuesta?) H0: Los efectos f de d las l interacciones sobre b la l respuesta son cero para todas d las combinaciones de los niveles de los dos factores (la interacción NO influye) H1: Algún efecto es distinto de cero (la interacción SI influye)

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3. Diseño con dos factores e interacción

SIN INTERACCIÓN sin B

con B

sin A

4

99

con A

101

200

a ab e depe d e te

espuesta Suma de cuadrados 19503,125 18915 125 18915,125 6,125 10,500 38434,875

Fuente TratA TratB TratA * TratB Error Total corregida

sin B

con B

sin A

4

99

con A

101

1985

CON INTERACCIÓN sin B

con B

sin A

4

99

con A

101

1

Fuente TratA TratB TratA * TratB Error Total corregida

Fuente TratA TratB Error Total corregida

Suma de cuadrados 1965153,125 1959210,125 1599376,625 5523739 875 5523739,875

1 1 1 4 7

Media cuadrática 19503,125 18915 125 18915,125 6,125 2,625

F 7429,762 7205 762 7205,762 2,333

Significación ,000 ,000 000 ,201

a ab e depe d e te

CON INTERACCIÓN

espuesta Suma de cuadrados 1965153,125 1959210,125 , 1599366,125 10,500 5523739,875

gl

a ab e depe d e e Fuente TratA TratB TratA * TratB Error Total corregida

espues a Suma cuadrados 1,125 10,125 19110,125 10,500 19131,875

gl 1 1 1 4 7

gl 1 1 5 7

gl 1 1 1 4 7

Media cuadrática 1965153,1 1959210,1 , 1599366,1 2,625

F 748629,8 746365,8 , 609282,3

Significación ,000 ,,000 ,000

Media cuadrática 1965153,1 1959210,1 319875,325

F 6,143 6,125

Significación ,056 ,056

Media cuadrática 1,125 10,125 19110,125 2,625

F ,429 3,857 7280,048

Significación ,548 ,121 ,000

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4. Otros diseños de experimentos

DISEÑOS PARA TRES FACTORES MODELO completo

Para poder utilizar este modelo se necesitan un mínimo de IJK+1 datos Por ejemplo con tres factores y 5 niveles cada uno, hay que hacer 125 experimentos. A veces no es fácil conseguir tantos datos Alternativa: utilizar un DISEÑO DE CUADRADOS LATINOS

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4. Otros diseños de experimentos

DISEÑO DE CUADRADOS LATINOS puede utilizar cuando tenemos,, TRES factores,, con el MISMO Se p número de niveles y SIN interacciones entre ellos. Cada nivel de un factor se cruza solo una vez con cada uno de los niveles de los otros factores. Ejemplo de diseño de cuadrados latinos para 3 factores con 9 niveles:

Con este diseño el número mínimo de datos necesario es 9x9=81, en lugar de los 9x9x9=729 del diseño factorial 37

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4. Otros diseños de experimentos

Ejemplo de mariposas nocturnas Una asociación de Amigos de la Entomología quiere diseñar un cartel de sensibilización para la conservación de las mariposas nocturnas. Para elegir la imagen del cartel deciden hacer un estudio para ver como influyen algunos factores en la impresión que causan las fotos. Los factores son: Saturación del color, Efectos, Composición Se pide a 126 personas que valoren de 1 a 5 una foto cada uno del cuadrado latino.

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4. Otros diseños de experimentos

OTROS DISEÑOS DE EXPERIMENTOS: Cuadrados greco-latinos Factoriales a dos niveles Anidados Split-plot Medidas repetidas …

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