Oscilaciones Jos´e Manuel Alcaraz Pelegrina Curso 2007-2008

1.

Introducci´ on

En el presente cap´ıtulo vamos a estudiar el movimiento en torno a una posici´on de equilibrio estable, concretamente estudiaremos las oscilaciones de peque˜ na amplitud que se producen en torno a una posici´on de equilibrio estable al separar ligeramente al sistema de dicha posici´on de equilibrio. Este tipo de movimiento tiene una gran aplicaci´on en otras ramas de la F´ısica como pueden ser la Ac´ ustica, los espectros moleculares, el estudio de las vibraciones de un s´olido, . . . Comenzaremos viendo el caso m´as sencillo que es el de un oscilador en el que no hay perdidas de energ´ıa, para ir introduciendo posteriormente nuevas fuerzas que describan los procesos de perdida de energ´ıa y como compensar estas perdidas de energ´ıa.

2.

El oscilador arm´ onico lineal

Vamos a estudiar el movimiento de una part´ıcula en las proximidades de un punto de equilibrio. Una part´ıcula se encuentra en equilibrio si la fuerza que actua sobre ella es nula. Para el caso de movimiento en una sola dimensi´on y para una fuerza conservativa se tiene que: F (x) = −

dU dx

esto significa que la part´ıcula se encuentra en equilibrio en los puntos en los que la pendiente de U(x) se anule. El equilibrio ser´a estable si se encuentra en un m´ınimo de energ´ıa potencial y ser´a inestable si se encuentra en un m´aximo de energ´ıa potencial. Vamos a estudiar el movimiento en torno a una posici´on de equilibrio estable. Para ello comenzaremos tomando el punto de equilibrio como origen de coordenadas y de potencial, esto es: xo = 0 y U (xo = 0) = 0. Si consideramos u ´nicamente peque˜ nos desplazamientos podremos aproximar U(x) por un desarrollo en serie: dU U (x) = U (xo ) + x dx

! xo

1 d2 U + x2 2 dx2

!

+ ... xo

Teniendo en cuenta que xo es el origen del potencial y que el potencial en ese punto presenta un extremo, nos queda: 1 U (x) ≈ kx2 2 1

Oscilaciones donde d2 U k= dx2

! xo

que es positiva, ya que en xo el potencial presenta un m´ınimo. La expresiones anteriores constituyen las expresiones de la energ´ıa potencial de un oscilador arm´onico. Sobre los sistemas sometidos a este potencial actua una fuerza que viene dada por: dU F (x) = − = −kx dx expresi´on conocida como ley de Hooke.

2.1.

Ecuaci´ on de movimiento del oscilador arm´ onico

Para obtener la ecuaci´on de movimiento podemos recurrir tanto a la formulaci´on newtoniana com a la formulaci´on lagrangiana de la mec´anica. Como estamos en un caso en una sola dimensi´on y conocemos la expresi´on de la fuerza que actua sobre la part´ıcula, la primera es m´as sencilla de utilizar. De esta manera, la segunda ley de Newton nos dice que la ecuaci´on de movimiento del oscilador arm´onico lineal tiene la forma: m¨ x = −kx que escribiremos como: x¨ + ω 2 x = 0 k >0 donde ω 2 = m Tenemos entonces una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden que puede resolverse f´acilmente. Podemos resolverla utilizando diversos m´etodos, bien probando soluciones de la forma eαt para obtener la soluci´on general de la ecuaci´on y luego particularizar en funci´on de las condiciones iniciales o bien, integrando la ecuaci´on directamente. Utilizando este segundo m´etodo y para suponiendo que en el instante inicial la x = xo 6= 0 y x˙o = 0, obtenemos: x˙2 = −ω 2 (x2 − x2 ) o

y volviendo a realizar la integraci´on obtenemos: x = xo cos(ωt + ϕ) Esta es la expresi´on que describe el movimiento de un oscilador arm´onico. A xo se le denomina amplitud del movimiento y determina los l´ımites extremos entre los que se mueve la part´ıcula. ω recibe el nombre de frecuencia angular o pulsaci´on y depende de las caracter´ısticas del oscilador. Relacionado con la frecuencia angular se define el periodo, T, como el tiempo que tarda la part´ıcula en realizar una oscilaci´on completa, es decir, el tiempo que tarda la part´ıcula en volver a la misma posici´on y tener la misma velocidad (modulo y sentido). La relaci´on entre el periodo y la frecuencia angular es: 2π T = ω Se define tambi´en la frecuencia, ν como el n´ umero de oscilaciones que realiza la part´ıcula por unidad de tiempo. Evidentemente, se tiene que la frecuencia es la inversa del periodo: 1 ν= T Jos´e Manuel Alcaraz Pelegrina

2

Oscilaciones

2.2.

Energ´ıa mec´ anica del oscilador libre

Al haber trabajado con una fuerza conservativa, la energ´ıa mec´anica total (E = T+U) permanece constante, es decir, es una constante del movimiento. Es f´acil comprobar que se cumple que: dE =0 dt Con ayuda de la soluci´on de la ecuaci´on de movimiento podemos obtener expresiones para la energ´ıa cin´etica, Ec y para la energ´ıa potencial en funci´on del tiempo. As´ı: 1 1 Ec = mx˙2 = mω 2 x2o sin2 (ωt + ϕ) 2 2 1 2 1 2 U = kx = kxo cos2 (ωt + ϕ) 2 2 Se tiene de esta forma que: 1 Ecmax = Umax = kx2o = ET OT AL 2 Durante el movimiento, la energ´ıa cin´etica se transforma en energ´ıa potencial y viceversa, de manera que la energ´ıa mec´anica total se mantiene constante (v´ease la primera integraci´on de la ecuaci´on de movimiento). Es f´acil ver que en los puntos en los que la posici´on es igual a la amplitud se tiene que la energ´ıa cin´etica se anula y la energ´ıa potencial es m´axima y que en la posici´on de equilibrio (x=0) es donde la energ´ıa cin´etica alcanza su valor m´aximo.

2.3.

Diagramas de fase

Los diagramas de fase describen el movimiento de los sistemas din´amicos y no son m´as que representaciones (x,x) ˙ o, en general, representaciones (q, q). ˙ Las cantidades x y x˙ pueden considerarse como coordenadas de un espcio bidimensional, denominado espacio de fases. En general, el espacio de fases de un sistema mec´anico ser´a un espacio con 2n dimensiones, siendo n el n´ umero de grados de libertad del sistema. Un punto del espacio de fases describe el estado del sistema que se mover´a siguiendo una determinada curva a lo largo del espacio de fases. Cualquier curva en el espacio de fases representa la evoluci´on temporal del sistema para unas condiciones iniciales dadas. Todas las rutas posibles para un sistema en funci´on de las diferentes condiciones iniciales que puedan darse constituyen lo que se conoce como diagrama de fases del sistema. En el caso que estamos tratando podemos obtener las curvas (x,x) ˙ a partir de la soluci´on de la ecuaci´on de movimiento:

x = xo cos(ωt + ϕ) x˙ = −xo ω sin(ωt + ϕ) que son las ecuaciones param´etricas de cada una de las curvas que conforman el diagrama de fases de un oscilador libre en una dimensi´on. Eliminando el tiempo en ambas expresiones obtenemos que las curvas del diagrama de fases de un oscilador libre tienen la forma: Jos´e Manuel Alcaraz Pelegrina

3

Oscilaciones

x2 x˙2 + =1 x2o x2o ω 2 o sea, que las curvas que representan el diagrama de fases de un oscilador libre son elipses de semiejes xo y xo ω y que se recorren en el sentido de las agujas de un reloj. Debido a la relaci´on que existe entre la amplitud de las oscilaciones y la energ´ıa del oscilador, el tama˜ no de los semiejes est´a relacionado con la energ´ıa, de manera que podemos expresar la familia de elipses como: x2 x˙2 + =1 2E/k 2E/m Debido al car´acter determinista de la mec´anica cl´asica, dos curvas diferentes del diagrama de fases no pueden cortarse.

3.

El oscilador amortiguado. Discusi´ on de las soluciones.

En la secci´on anterior hemos considerado que la u ´nica fuerza que actuaba sobre la part´ıcula era la fuerza dada por la ley de Hooke. De esta forma, hemos obtenido que la part´ıcula o el sistema describen un movimiento oscilatorio de manera indefinida. Este caso no es muy realista, ya que es bien sabido que siempre existen fuerzas disipativas o de rozamiento que se oponen al movimiento y que tienen como consecuencia la disminuci´on progresiva de la amplitud de las oscilaciones hasta que se detiene el movimiento. Vamos a considerar aqu´ı el caso en el que la fuerza de rozamiento o disipativa dependa de la velocidad de la part´ıcula o del sistema que estemos estudiando. Como caso m´as simple consideraremos que dicha fuerza es proporcional a la velocidad, es decir: fdisipativa = −bx˙ d´onde ya hemos particularizado para el caso de movimiento en una sola dimensi´on o con un solo grado de libertad y b es una constante positiva 1 . Haciendo uso de la segunda ley de Newton, la ecuaci´on de movimiento ser´a: m¨ x = −bx˙ − kx que podemos reescribir como: x¨ + 2β x˙ + ωo2 x = 0 donde: b se denomina factor de amortiguamiento 2m k ωo2 = es la frecuencia propia del oscilador libre m β=

1

b es positiva ya que la fuerza se opone al movimiento

Jos´e Manuel Alcaraz Pelegrina

4

Oscilaciones

Tenemos as´ı una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden homog´enea. Para obtener la soluci´on general de esta ecuaci´on, probamos soluciones de la forma x(t) = eαt , con lo que se obtiene la siguiente ecuaci´on caracter´ıstica: α2 + 2βα + ωo2 = 0 que tiene como soluciones: α = −β ±

q

β 2 − ωo2

Seg´ un sea el radicando, tendremos soluciones reales (funciones exponenciales) o imaginarias (funciones trigonom´etricas). Los tres casos posibles son: 2 2 1. ωq o > β . Tenemos lo que se denomina oscilaciones amortiguadas: α = −β ± i ωo2 − β 2 y se tiene un movimiento seudoperi´odico.

2. ωo2 = β 2 . Tenemos lo que se denomina amortiguamiento cr´ıtico: α = −β y se tiene un movimiento aperi´odico. 3. q ωo2 < β 2 . Tenemos lo que se denomina movimiento sobreamortiguado: α = −β ± β 2 − ωo2 y se tiene tambi´en un movimiento aperi´odico.

3.1.

Oscilaciones amortiguadas: ωo2 > β 2 q

Definiendo ω12 = ωo2 − β 2 , tenemos que: β 2 − ωo2 = ±iω1 , con lo cual α = −β ± iω1 y la soluci´on general tiene la forma:   1 x(t) = e−βt Aeiω1 t + A∗ e−iω1 t 2 que tambi´en puede escribirse como: x(t) = ae−βt cos(ω1 t + φ) y por lo tanto: x(t) ˙ = −ae−βt [β cos(ω1 t + φ) + ω1 sin(ω1 t + φ)] La soluci´on es una sinusoide cuya amplitud decrece con el tiempo. N´otese que si β → 0 se tiene que ω1 → ωo .

3.2.

Amortiguamiento cr´ıtico: β 2 = ωo2

En este caso α = −β es una ra´ız doble, por lo que x1 (t) = e−βt es una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial. Necesitamos otra soluci´on que ser´a de la forma: x2 (t) = te−βt Por lo tanto la soluci´on general de la ecuaci´on de movimiento para este caso ser´a de la forma: x(t) = (a1 + a2 t)e−βt que en funci´on de las condiciones iniciales: x(t = 0) = xo yx(t ˙ = 0) = x˙ o se convierte en: x(t) = [xo + (x˙ o + x0 β)t] e−βt Para este caso se tiene que el tiempo requerido para acercarse a una distancia dada del punto de equilibrio es m´ınimo. Jos´e Manuel Alcaraz Pelegrina

5

Oscilaciones

3.3.

Sobreamortiguamiento: β 2 > ωo2 q

En este caso α = −β ± β 2 − ωo2 = −β ± ω2 , con lo que la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial tiene la forma: 

x(t) = e−βt a1 eω2 t + a2 e−ω2 t



ω2 no es una pulsaci´on (frecuencia angular) ya que el movimiento no es peri´odico, sino que tiende asint´oticamente hacia la posici´on de equilibrio. La velocidad es entonces: h

x(t) ˙ = e−βt a1 (ω2 − β)eω2 t − a2 (β − ω2 )e−ω2 t

i

d´onde los par´ametros a1 y a2 se determinan en funci´on de las condiciones iniciales: x(t = 0) = xo yx(t ˙ = 0) = x˙ o . De esta forma, tenemos que: x(t) =

i e−βt h (x˙ o + xo (β + ω2 )) eω2 t + (xo (ω2 − β) − x˙ o ) e−ω2 t 2ω2

Dependiendo de cual sea el valor inicial de la velocidad, nos podemos encontrar con tres casos diferentes: x˙ o > 0. En este caso x(t) alcanza un m´aximo antes de caer mon´otonamente hacia la posici´on de equilibrio. x˙ o = 0. En este caso x(t) tiende mon´otonamente hacia la posici´on de equilibrio. x˙ o < 0. Si |x˙ o | es lo suficientemente grande, x(t) puede pasar al otro lado de la posici´on de equilibrio, para luego tender hacia dicha posici´on de equilibrio desde ese lado.

4.

Oscilaciones forzadas

Hemos visto en la secci´on anterior que en el oscilador amortiguado se produce una p´erdida de energ´ıa que provoca que el sistema acabe deteni´endose. Para evitar esto, vamos a considerar que sobre el sistema actua una fuerza externa que se encarga de compensar estas p´erdidas de energ´ıa. Estamos ante lo que denominaremos un oscilador forzado. La ecuaci´on de movimiento tendr´a ahora la forma siguiente: m¨ x = −bx˙ − kx + F (t) donde F(t) es la fuerza externa, a la que denominaremos fuerza impulsora, que se encarga de contrarrestar el efecto de la fuerza de amortiguamiento. Como ejemplo de fuerza impulsora, vamos a considerar el caso de una fuerza arm´onica, es decir, una fuerza que varia en el tiempo de forma senoidal o cosenoidal, por ser este un caso sencillo desde el punto de vista matem´atico pero con bastantes aplicaciones. De esta manera, tendremos: m¨ x = −bx˙ − kx + Fo cos(ωt) que se puede escribir como: Jos´e Manuel Alcaraz Pelegrina

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Oscilaciones

x¨ + 2β x˙ + ωo2 x = f cos(ωt) donde β y ωo tienen la misma definici´on que en un oscilador amortiguado y f = Fmo . Tenemos as´ı una ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes no homog´enea cuya soluci´on general es la suma de la soluci´on de la ecuaci´on diferencial ordinaria homog´enea correspondiente, (xo (t)) mas una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea, (xp (t)). Consideraremos el caso de amortiguamiento d´ebil, esto es, β 2 < ω02 . En este caso, la soluci´on de la ecuaci´on diferencial homog´enea era de la forma: xo (t) = ao e−βt cos(ω1 t + ϕ) q

siendo ω1 = (ωo2 − β 2 ). Para una fuerza impulsora de tipo arm´onico, una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial no homog´enea ser´a tambi´en una funci´on arm´onica del tipo: xp (t) = a cos(ωt − δ) siendo la frecuencia angular ω la misma que la de la fuerza impulsora y a y δ son dos constantes que dependen de la amplitud de la fuerza impulsora, de su frecuencia, del factor de amortiguamiento y de la frecuencia del oscilador libre. De esta forma, la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial ser´a de la forma: xg (t) = ao e−βt cos(ω1 t + ϕ) + |

{z

Parte transitoria

}

a cos(ωt − δ) |

{z

}

Parte estacionaria

El primer t´ermino del segundo miembro se denomina parte transitoria de la soluci´on, puesto que al haber una dependencia de la forma e−βt , a medida que transcurre el tiempo, este t´ermino tiende a anularse, de manera que, cuando t  β1 (en general, para t > 5−6τ1 ), podemos despreciar este t´ermino frente al segundo miembro, al que denominaremos parte estacionaria de la soluci´on del oscilador forzado.

4.1.

Soluci´ on estacionaria. Amplitud y desfase.

Para obtener la forma de la parte estacionaria de la soluci´on de la ecuaci´on de movimiento del oscilador forzado vamos a utilizar n´ umeros complejos, esto es, vamos a considerar que la soluci´on es de la forma: xp (t) = Aeiωt , d´onde A ser´a un n´ umero complejo de la forma: A = aeiα . Toda la dependencia temporal de la funci´on la hemos incluido en el t´ermino eiωt . De esta forma, sustituyendo en la ecuaci´on de movimiento se obtiene que: A=

  f 2 2 ω − ω − i2βω o (ωo2 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2

de manera que tendriamos: a= q

f (ωo2 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2

−2βω α = arctan ωo2 − ω 2

!

(1) Jos´e Manuel Alcaraz Pelegrina

7

Oscilaciones

La soluci´on de la ecuaci´on de movimiento ser´a entonces: n

o

xp (t) = Re aeiωt−δ = a cos(ωt − δ) d´onde Re{} indica la parte real del n´ umero, a es una funci´on de la frecuencia ω como se ha obtenido anteriormente y hemos puesto δ = −α. δ representa el desfase entre la fuerza impulsora y el desplazamiento. Para un ωo y un β dados se tiene que: δ = 0 si ω = 0 δ=

π 2

si ω = ωo y

δ → π si ω → ∞.

4.2.

Resonancia de amplitud

La amplitud de oscilaci´on es una funci´on de la frecuencia angular de la fuerza impulsora. Esta funci´on presentar´a un m´aximo para un valor de la frecuencia angular al que llamaremos frecuencia de resonancia, ωR , definida como: da dω

!

=0 ω=ωR

Derivando la expresi´on de la amplitud a respecto de ω e igualando a cero, se obtiene que la frecuencia de resonancia es: ωR =

q

ωo2 − 2β 2

2

Si ωo2 > β 2 > ω2o , no hay resonancia ya que el radicando ser´ıa nulo. En ese caso se produce una disminuci´on monotona de la amplitud al aumentar la frecuencia. Si el amortiguamiento es d´ebil, o sea β , se tiene que ωR ' ωo y, en general, se tiene que ωR < ωo . La amplitud de resonancia, esto es, el valor de la amplitud, cuando la frecuencia angular es igual a la frecuencia de resonancia es funci´on del factor de amortiguamiento.

4.3.

Resonancia de la energ´ıa cin´ etica

La energ´ıa cin´etica del oscilador forzado est´a dada por: m 1 ω2f 2 T = mx˙ 2 = sin2 (ωt − δ) 2 2 (ωo2 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2 Si calculamos el promedio temporal de la energ´ıa cin´etica en un periodo obtenemos: < T >=

ω2f 2 m 4 (ωo2 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2

que es una funci´on de ω y presentar´a un m´aximo para un valor de la frecuencia angular al que denominaremos frecuencia de resonancia de la energ´ıa cin´etica, ωE , que vendr´a dado por: Jos´e Manuel Alcaraz Pelegrina

8

Oscilaciones

d dω

!

=0 ω=ωE

Derivando el promedio temporal de la energ´ıa cin´etica e igualando a cero obtenemos que la frecuencia de resonancia de la energ´ıa cin´etica est´a dada por: ωE = ωo

4.4.

Potencia media absorbida

Vamos a calcular ahora, el promedio temporal en un periodo de la potencia suministrada al sistema por la fuerza impulsora. Esta viene dada por: Pabsorbida =< F x˙ > por lo que sustituyendo la expresi´on de la fuerza impulsora y de la velocidad del oscilador forzado y realizando el promedio obtenemos: mω 2 f 2 β Pabsorbida = 2 (ωo − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2 Tiene la misma forma que la energ´ıa cin´etica, por lo que tambi´en presenta resonancia a la misma frecuencia angular que la energ´ıa cin´etica, esto es, para una frecuencia angular de la fuerza impulsora igual a ωo .

5.

Oscilaciones bajo un potencial arbitrario

Vamos a considerar el movimiento de una part´ıcula en un potencial arbitrario U(x). Para un sistema conservativo en el que la energ´ıa mec´anica se mantiene constante se cumple que: 1 E = mx˙ 2 + U (x) 2 por lo que se tendr´a que: s

x˙ =

2 [E − U (x)] m

El movimiento s´olo ser´a posible para aquellas zonas del espacio en las que el radicando sea positivo, esto es, E − U (x) > 0. Los puntos en los que el radicando se anula se denominan puntos de retorno del movimiento.

5.1.

Diagramas de fase

A partir de la forma de U(x) podemos tener informaci´on acerca de como ser´a el diagrama de fases del sistema y viceversa, conociendo el diagrama de fases del sistema, podemos obtener informaci´on acerca del potencial. As´ı, cuando el movimiento sea oscilatorio en torno a una posici´on de equilibrio estable, el diagrama de fases estar´a formado por curvas cerradas. Cuando tengamos un punto de equilibrio inestable, en el diagrama de fases, tendremos curvas que parten de dicho punto. Jos´e Manuel Alcaraz Pelegrina

9

Oscilaciones

6.

Oscilaciones de gran amplitud del p´ endulo plano

Para finalizar el presente cap´ıtulo dedicado a las oscilaciones, vamos a ver un ejemplo de oscilaciones no lineales. Veremos las oscilaciones de gran amplitud de un p´endulo plano. Un p´endulo plano est´a formado por una masa m, que est´a unida a una varilla de longitud l (que supondremos de masa despreciable) que hace que la part´ıcula se vea obligada a describir una trayectoria circular bajo la acci´on de su peso. Tomando el origen de energ´ıa potencial gravitatoria en la parte m´as baja de la circunferencia descrita por la part´ıcula, la lagrangiana del sistema est´a dada por: 1 L = ml2 θ˙2 − mgl(1 − cos θ) 2 d´onde hemos tomado como coordenada generalizada el ´angulo de giro descrito por la varilla respecto de la vertical. La ecuaci´on de Lagrange que obtenemos para la variable θ es entonces: θ¨ + ωo2 sin θ = 0 d´onde ωo2 = gl . Tenemos as´ı una ecuaci´on diferencial no lineal debido al t´ermino sin θ que aparece en ella. Para el caso de peque˜ nas oscilaciones en los que podamos aproximar el seno por el primer t´ermino de su desarrollo en serie, obtenemos la ecuaci´on de un oscilador arm´onico para la variable θ. De esta forma, para peque˜ nos ´angulos, el p´endulo plano se comporta como un oscilador arm´onico, pero, en general, tenemos un sistema no lineal.Haciendo una primera integraci´on de la ecuaci´on anterior obtenemos una expresi´on de la velocidad angular en funci´on del ´angulo: θ˙ =

q

2ωo2 (cos θ − cos θo )

d´onde θo es el ´angulo inicial. Esta expresi´on nos permite obtener los diagramas de fase del sistema. Integrando esta ecuaci´on podemos obtener la funci´on θ(t) que nos indicar´a como var´ıa el ´angulo en funci´on del tiempo. Sin embargo, como tenemos una ecuaci´on no lineal, lo que vamos a hacer es utilizar dicha ecuaci´on para obtener el periodo de las oscilaciones. En efecto, podemos escribir: dθ q 2 = 2ωo (cos θ − cos θo ) dt que lo podemos expresar como: dt =

dθ 1 r θo 2ωo sin 2 1 − sin2 θ2 sin2 θo 2

Podemos obtener un cuarto del periodo de las oscilaciones integrando esta expresi´on entre θ = 0 y θ = θo . Haciendo el cambio: u=

sin 2θ sin θ2o

obtenemos que el periodo viene dado por: τ=

π 4 Z θo du dϕ 4 Z 2 q √ √ = ωo 0 ωo 0 1 − u2 1 − k 2 u2 1 − k 2 sin2 ϕ

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Oscilaciones siendo k = sin θ2o . Las dos u ´ltimas integrales son dos formas de expresar lo que se conoce como integral el´ıptica completa de primera especie que se encuentra tabulada. En la tabla siguiente mostramos algunos de los valores que obtendriamos del periodo para distintos valores del ´angulo inicial: θo π 4 π 3 π 2

π

7.

τ ω4o 1.6336 1.6858 1.8541 ∞

Bibliograf´ıa

En este apartado, vamos a comentar brevemente como tratan el tema de oscilaciones algunos de los libros de mec´anica utilizados a lo largo del curso. Comenzaremos por el libro Classical Dynamics of particles and systems de J.B. Marion. Este libro dedica un cap´ıtulo a las oscilaciones lineales, que incluye al oscilador libre y al oscilador amortiguado y otro cap´ıtulo a las oscilaciones forzadas. El tratamiento es claro y bastante detallado. La mayor parte de las secciones anteriores se basan en los cap´ıtulos de dicho libro. El libro Mec´anica de Landau dedica un cap´ıtulo a oscilaciones peque˜ nas. Aunque sigue una l´ınea diferente a la aqu´ı expuesta, ya que trata primero las oscilaciones forzadas y luego las oscilaciones amortiguadas, es una lectura que es recomendable realizar. Por u ´ltimo, el libro Mec´anica Cl´asica de H. Goldstein tiene un tema dedicado a oscilaciones peque˜ nas, pero parte de que ya se conocen las propiedades del oscilador libre, del oscilador amortiguado y del oscilador forzado y se centra en el estudio de osciladores con varios grados de libertad. Es una lectura tambi´en recomendable, aunque como paso posterior al estudio del tema tratado en las secciones anteriores. Aunque se trata de un art´ıculo, creemos que puede ser interesante la lectura del mismo, titulado Oscillations with three damping effects. Wang,X. et al. 2002. Eur.J. Phys.23, 155-164, en el que se describe tres dispositivos experimentales para estudiar oscilaciones amortiguadas en los que hay una dependencia con la velocidad constante, lineal y cuadr´atica, respectivamente. Se describen los dispositivos experimentales y se presenta una t´ecnica para resolver la ecuaci´on de movimiento de manera aproximada en los tres casos.

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