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La existencia de modelos

Completud y compacidad

L¨ owenheim-Skolem Up & Down

L´ogica II Pablo Cobreros [email protected]

Tema 7. Cuatro teoremas de la l´ ogica de primer orden

P. Cobreros L´ ogica II: Tema 7

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Introducci´on Introducci´on La existencia de modelos Introducci´on La existencia de modelos: preliminares La existencia de modelos: prueba Completud y compacidad Completud Compacidad L¨owenheim-Skolem Up & Down L¨owenheim-Skolem ascendente L¨owenheim-Skolem descendente Resumen Resumen P. Cobreros L´ ogica II: Tema 7

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Es este tema veremos cuatro resultados importantes de la l´ogica de primer orden: la completud, compacidad, L¨ owenheim-Skolem ascendente y L¨ owenheim-Skolem descendente. Estos cuatro resultados son caracter´ısticos de la l´ ogica de primer orden y en cierto sentido la definen. Los cuatro teoremas son a su vez consecuencia del hecho de que todo conjunto consistente de oraciones de primer orden tiene un modelo. Este u ´ltimo hecho es nuestro primer y principal objetivo en este tema.

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Introducci´ on

Se habla en general de que una l´ ogica es completa cuando hay alg´ un sistema deductivo en el que podemos deducir todas las consecuencias l´ogicas. Esto es, si Γ  ϕ entonces Γ ` ϕ. La l´ ogica de primer orden es completa en este sentido. [Un sistema deductivo es correcto cuando si Γ ` ϕ entonces Γ  ϕ. En este tema asumimos sin prueba que el sistema presentado en el Tema 5 es correcto. Ver Hedman: 102-3.] Una relaci´ on de consecuencia l´ ogica es compacta cuando, si Γ  ϕ entonces hay un conjunto finito Γ∗ ⊆ Γ tal que Γ∗  ϕ. La l´ogica de primer orden es compacta en este sentido. Estas dos propiedades de la l´ ogica de primer orden son consecuencia del hecho de que en la l´ ogica de primer orden, cualquier conjunto consistente de oraciones tiene un modelo (“existencia de modelos”).

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Probar la existencia de modelos para conjuntos de enunciados consistentes de un lenguaje de primer orden nos va a ocupar en la mayor parte de esta secci´ on. Vamos a explicar por encima la prueba de este teorema, pero hay que notar las siguientes restricciones, 1. Caso contable 2. Sin funciones 3. Sin identidad 4. S´ olo predicados

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La existencia de modelos: preliminares

Teorema de la existencia de modelos: Sea Γ un conjunto de oraciones de un lenguaje contable. Si Γ es consistente, entonces Γ tiene un modelo.

Que Γ es consistente, quiere decir que no podemos deducir ninguna contradicci´ on de Γ. Que tiene un modelo, quiere decir que hay una interpretaci´ on en la que todos los miembros de Γ son verdaderos. Por tanto, el teorema se puede parafrasear:

Si Γ 0 ⊥ entonces hay una estructura A tal que A  Γ La existencia de modelos suele ser el coraz´ on de muchos teoremas de completud. La primera prueba de este tipo la di´o Le´on Henkin en 1949 para la l´ogica de primer orden. El tipo de argumento se conoce como “construcci´ on de Henkin”. P. Cobreros L´ ogica II: Tema 7

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La existencia de modelos: preliminares

Idea de la prueba

Dado que Γ es un conjunto cualquiera consistente de oraciones puede parecer una tarea imposible describir un modelo para Γ. La idea, por supuesto, no es tanto describir un modelo para un conjunto particular de oraciones sino un procedimiento por el que podemos construir un modelo para un conjunto arbitrario consistente de oraciones. La prueba se basa en un tipo peculiar de conjuntos de oraciones con las siguientes propiedades: 1 Consistencia 2 Completud y 3 Para toda generalizaci´ on existencial hay una instancia.

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La existencia de modelos: preliminares

Idea de la prueba 1 Que un conjunto Σ es consistente significa que Σ 0 ⊥. 2 Que un conjunto Σ es completo significa que para toda oraci´on ϕ del lenguaje, o bien ϕ ∈ Σ o bien ¬ϕ ∈ Σ. 3 Que Σ tenga la tercera propiedad significa que para toda oraci´on ∃xθ ∈ Σ, θ[c/x] ∈ Σ para alguna constante c. La primera propiedad es una condici´ on necesaria para que un conjunto de oraciones tenga un modelo. La segunda hace que Σ tenga un veredicto para cada oraci´ on del lenguaje. Una caracter´ıstica importante de los conjuntos consistentes y completos es que est´ an cerrados bajo la deducci´ on: Σ ` ϕ ssi ϕ ∈ Σ. En el caso de lenguajes de primer orden, adem´ as de la consistencia y la completud necesitamos la tercera propiedad. La raz´ on es que no siempre es posible deducir una instancia de una generalizaci´ on existencial.

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Idea de la prueba (cont.)

Un conjunto Σ con estas tres propiedades contiene, por as´ı decir, una descripci´ on completa de una estructura. Por tanto, s´ olo falta definir la estructura descrita por el conjunto. Si todo sale bien, toda oraci´on en el conjunto ser´a verdadera en la estructura y viceversa. La prueba muestra que todo conjunto consistente de oraciones Γ es un subconjunto de un conjunto Σ de oraciones consistente, completo y con la propiedad mencionada. Σ tendr´a como modelo una estructura particular S . Como Γ ⊆ Σ, Γ tambi´en tendr´a como modelo S .

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La existencia de modelos: preliminares

Estructura general de la prueba 1. Extensi´ on de Γ a Σ. Queremos que Σ tenga las siguientes propiedades: i) Γ ⊆ Σ. ii) Σ es consistente y completo. iii) Para toda oraci´ on ∃xθ ∈ Σ, hay una oraci´ on θ[c/x] ∈ Σ para alguna constante c. I Expandir el vocabulario de Γ con constantes ind. C = {c1 , c2 , ...}. I Vamos a˜ nadiendo f´ ormulas del lenguaje a Γ con un procedimiento particular. Esto define una secuencia de conjuntos: Σ0 ⊂ Σ1 ⊂ Σ2 ⊂ . . .

donde Σ es el l´ımite de la secuencia.

I Probamos que Σ tiene las propiedades deseadas.

2. Construcci´ on de la estructura para Σ. Esta estructura, S , tendr´ a como universo las constantes del lenguaje y asignar´ a valores a las oraciones de acuerdo a las oraciones que est´ an en Σ. Probaremos que para toda oraci´ on del lenguaje, ϕ ∈ Σ ssi S  ϕ. P. Cobreros L´ ogica II: Tema 7

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La existencia de modelos: prueba

1. Extensi´ on de Γ a Σ Sea L el lenguaje de Γ. Expandimos el vocabulario de L con C = {c1 , c2 , c3 . . . }. El nuevo lenguaje LC es contable. Sea {ϕ1 , ϕ2 , ...} una enumeraci´ on de las oraciones de LC . Definimos Σ del siguiente modo: Σ0 = Γ Σm+1 = 1. Si Σm ∪ {¬ϕm+1 } es consistente, Σm+1 = Σm ∪ {¬ϕm+1 }. 2. Si Σm ∪ {¬ϕm+1 } no es consistente, entonces 2.1 Si ϕm+1 6= ∃xθ, entonces Σm+1 = Σm ∪ {ϕm+1 } 2.2 Si ϕm+1 = ∃xθ, entonces Σm+1 = Σm ∪ {ϕm+1 } ∪ {θ[ci /x]} para una constante ci que no est´ e en Σm ∪ {ϕm+1 }. Este procedimiento define una cadena infinita de conjuntos: Σ0 ⊆ Σ1 ⊆ Σ2 ⊆ Σ3 ⊆ . . . Σ es la uni´ on de todos estos conjuntos o, equivalentemente, el l´ımite de la cadena. P. Cobreros L´ ogica II: Tema 7

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La existencia de modelos: prueba

1. Extensi´ on de Γ a Σ (cont.)

Claim 1: Γ ⊆ Σ. Claim 2: Para toda oraci´ on de LC de la forma ∃xθ, si ∃xθ ∈ Σ entonces θ[ci /x] ∈ Σ, para alguna constante ci de LC . Claim 3: Σ es una teor´ıa completa. Claim 4: Σ es consistente. Los claims 1 y 2 se siguen directamente de la construcci´ on de Σ. El claim 3 tambi´ en: para cualquier ϕ de LC hay un estadio en el que o bien ϕ o bien ¬ϕ es a˜ nadido. Por tanto, para todo ϕ o bien ϕ o ¬ϕ est´ an en Σ. El claim 4 se sigue del hecho de que cada Σm es consistente.

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La existencia de modelos: prueba

Claim 4 Lema: Cada Σm+1 en la cadena es consistente. Si Σm+1 viene de 1 o 2.1 entonces es consistente por construcci´ on. Sea Σm+1 = Σm ∪ {ϕm+1 } ∪ {θ[ci /x]} y asumamos que es inconsistente (para RA): (i) Σm ∪ {ϕm+1 } ` ¬θ[ci /x] (Por Reducci´ on al absurdo) (ii) Σm ∪ {ϕm+1 } ` ∀x¬θ (Por ∀-intro, dado que ci no ocurre en las premisas) (iii) Σm ∪ {ϕm+1 } ` ∃xθ (Por la regla b´ asica, dado que ϕm+1 es ∃xθ) (iv) Σm ∪ {ϕm+1 } ` ¬∀x¬θ (Por la definici´ on de ∀) Por tanto, Σm+1 , como Σm , es consistente. De este hecho se sigue que Σ es consistente. Asume: Σ ` ⊥; como las pruebas formales son finitas, hay un subconjunto finito ∆ de Σ tal que ∆ ` ⊥. Pero ∆ ⊆ Σm , para alg´ un m, de modo que Σm ` ⊥ (contradiciendo el lema anterior).

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La existencia de modelos: prueba

Cerrado bajo la deducci´ on

Los conjuntos consistentes y completos de oraciones est´an cerrados bajo la deducci´ on en el sentido de que para cualquier oraci´ on ϕ, ϕ ∈ Σ ssi Σ ` ϕ La prueba de este peque˜ no lema se deja como ejercicio. Usaremos este hecho en la u ´ltima parte de la prueba.

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La existencia de modelos: prueba

2. Construcci´ on de la estructura para Σ Σ es una teor´ıa consistente y completa. Adem´as, para cada generalizaci´ on existencial hay una instancia. Esto significa que en cierto sentido, Σ describe totalmente una estructura. Sea S la estructura descrita de la siguiente manera: 1. El universo de S es la totalidad de las constantes en Σ 2. La interpretaci´ on de las constantes en S : denS (c) = c 3. La interpretaci´ on de las f´ ormulas at´ omicas: denS (c) ∈ PS ssi Pc ∈ Σ La idea intuitiva: el propio lenguaje que estamos considerando proporciona una estructura. Las constantes se denotan a s´ı mismas. Cada predicado P se interpreta con el conjunto de constantes tales que Pc est´ a en Σ. El hecho de que Σ es consistente garantiza que ninguna oraci´ on recibir´ a m´ as de un valor de verdad. El hecho de que es completo y con la propiedad mencionada, garantiza que toda oraci´ on recibir´ a un valor de verdad. P. Cobreros L´ ogica II: Tema 7

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La existencia de modelos: prueba

2. Construcci´ on de la estructura para Σ (cont.) Lemma: Para toda oraci´ on ϕ en LC : ϕ ∈ Σ ssi S  ϕ

Por inducci´ on sobre f´ ormulas.

Base: Si ϕ es at´ omica, por definici´ on de S . Inducci´ on: (HI): ψ ∈ Σ ssi S  ψ y θ[ci /x] ∈ Σ ssi S  θ[ci /x] (i) ϕ = ψ ∧ θ. ψ ∧ θ ∈ Σ ssi ambos ψ, θ ∈ Σ (puesto que Σ est´ a cerrado bajo la deducci´ on) ssi S  ψ y S  θ (HI) ssi S  ψ ∧ θ (definici´ on de ‘∧’). (ii) ϕ = ¬ψ. ¬ψ ∈ Σ ssi ψ ∈ / Σ (Σ es consistente y completo) ssi S 2 ψ (HI) ssi S  ¬ψ (definici´ on de ‘¬’). (iii) ϕ = ∃xθ. ∃xθ ∈ Σ ssi θ[ci /x] ∈ Σ (por construcci´ on de Σ) ssi S  θ[ci /x] (HI) ssi S  ∃xθ (definici´ on de ‘∃’).

Se sigue del lema que S  Σ. Como Γ ⊆ Σ, S es tambi´en un modelo de Γ. Esto prueba el teorema de la existencia de modelos.

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Completud

Teorema de Completud: Para todo conjunto de oraciones Γ y toda oraci´ on ϕ, si Γ  ϕ entonces Γ ` ϕ. El teorema de completud es un corolario del teorema de la existencia de modelos.

Prueba: Asumimos: Γ  ϕ Γ ∪ {¬ϕ} no tiene modelos (por la definici´ on de ) Γ ∪ {¬ϕ} ` ⊥ (Por el teorema de la existencia de modelos) Γ ` ϕ (Por las reglas de RA y Doble negaci´ on)

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Completud

El teorema de completud parece un resultado positivo de la l´ogica de primer orden. Parece positivo que podamos proporcionar sistemas deductivos que rastrean completamente la relaci´on de consecuencia l´ogica. Sin embargo, una consecuencia directa del teorema de completud es el Teorema de Compacidad. Como veremos en un momento no est´a claro (intuitivamente hablando) que la compacidad sea una propiedad deseable de la l´ ogica. M´as adelante (parte en este tema pero sobre todo en el tema 8) veremos que la compacidad impone serias limitaciones expresivas.

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Compacidad

Definici´ on: Una relaci´ on de consecuencia l´ ogica  es compacta ssi, si Γ  ϕ entonces hay un subconjunto finito Γ∗ ⊆ Γ tal que Γ∗  ϕ. Teorema de compacidad:  es compacta. Prueba: Asumimos Γ  ϕ Γ ` ϕ (Por el teorema de completud) Γ∗ ` ϕ, para alg´ un conjunto finito Γ∗ ⊆ Γ (Dado que las pruebas formales son finitas) Γ∗  ϕ, para alg´ un conjunto finito Γ∗ ⊆ Γ (Por la correcci´on del sistema deductivo)

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Compacidad: segunda formulaci´ on

Definici´ on: Una l´ogica es compacta cuando cualquier conjunto de f´ ormulas Γ es satisfacible ssi todo subconjunto finito de Γ lo es. La direcci´on de izquierda a derecha es trivial. La direcci´on de derecha a izquierda no lo es, pero se sigue del teorema de completud. Esta formulaci´ on es equivalente a la anterior. Es la compacidad una caracter´ıstica deseable de una l´ogica? No parece que sea una caracter´ıstica de la l´ ogica del lenguaje natural (si es que existe algo as´ı), por el siguiente argumento.

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Compacidad

Compacidad y lenguaje natural La compacidad de la l´ ogica de primer orden no es un hecho trivial. Por ejemplo, los siguientes enunciados parecen ser expresables y tener un significado completamente preciso en castellano: S0 S1 S2 S3 .. .

Hay Hay Hay Hay

un n´ umero finito de objetos en el universo. al menos un objeto en el universo al menos dos objetos en el universo al menos tres objetos en el universo

Sin embargo, cualquier lenguaje en el que se pueda expresar este conjunto de enunciados no es compacto. En el lenguaje de primer orden los enunciados de S1 en adelante son expresables. Esto implica que, de modo m´as general, la noci´on de finitud no es expresable en ning´ un lenguaje de primer orden. Este hecho jugar´a un papel esencial m´as adelante. P. Cobreros L´ ogica II: Tema 7

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Compacidad

Compacidad y lenguaje natural La compacidad de la l´ ogica de primer orden no es un hecho trivial. Por ejemplo, los siguientes enunciados parecen ser expresables y tener un significado completamente preciso en castellano: S0 S1 S2 S3 .. .

Hay Hay Hay Hay

un n´ umero finito de objetos en el universo. al menos un objeto en el universo al menos dos objetos en el universo al menos tres objetos en el universo

Sin embargo, cualquier lenguaje en el que se pueda expresar este conjunto de enunciados no es compacto. En el lenguaje de primer orden los enunciados de S1 en adelante son expresables. Esto implica que, de modo m´as general, la noci´on de finitud no es expresable en ning´ un lenguaje de primer orden. Este hecho jugar´a un papel esencial m´as adelante. P. Cobreros L´ ogica II: Tema 7

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Compacidad

Compacidad y lenguaje natural La compacidad de la l´ ogica de primer orden no es un hecho trivial. Por ejemplo, los siguientes enunciados parecen ser expresables y tener un significado completamente preciso en castellano: S0 S1 S2 S3 .. .

Hay Hay Hay Hay

un n´ umero finito de objetos en el universo. al menos un objeto en el universo al menos dos objetos en el universo al menos tres objetos en el universo

Sin embargo, cualquier lenguaje en el que se pueda expresar este conjunto de enunciados no es compacto. En el lenguaje de primer orden los enunciados de S1 en adelante son expresables. Esto implica que, de modo m´as general, la noci´on de finitud no es expresable en ning´ un lenguaje de primer orden. Este hecho jugar´a un papel esencial m´as adelante. P. Cobreros L´ ogica II: Tema 7

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El tama˜ no de una estructura El universo de una estructura para un conjunto de oraciones tendr´a un tama˜ no determinado. Algunas estructuras tendr´an universos de cardinalidad finita, otras de cardinalidad numerable y otras de cardinalidad incontable. Los teoremas de L¨ owenheim-Skolem establecen conclusiones acerca del tama˜ no de los modelos para conjuntos de oraciones de lenguajes de primer orden. Como veremos m´as adelante, estos teoremas imponen serias restricciones sobre la representaci´ on de estructuras infinitas en lenguajes de primer orden. En esta secci´ on veremos, sin prueba, el significado de estos teoremas.

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L¨ owenheim-Skolem ascendente

Teorema de L¨ owenheim-Skolem ascendente: Si un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene modelos arbitrariamente grandes (modelos de cardinalidad mayor o igual que κ para todo cardinal infinito κ). En un lenguaje de primer orden podemos encontrar conjuntos de oraciones que ponen un l´ımite por arriba al tama˜ no de las estructuras en las que son verdaderas. Por ejemplo, la oraci´ on ∀x∀y ∀z(x ≈ y ∨ x ≈ z) ser´a verdadera en estructuras que tienen a lo sumo dos elementos. El Teorema de L¨ owenheim-Skolem ascendente nos dice que un lenguaje de primer orden no puede poner un l´ımite por arriba a estructuras infinitas. El teorema es una consecuencia directa del Teorema de compacidad.

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L¨ owenheim-Skolem descendente

La cardinalidad de un lenguaje de primer orden es la cardinalidad del conjunto de sus oraciones. Si el vocabulario es finito, el conjunto de las oraciones ser´ a ℵ0 . Si el vocabulario tiene cardinalidad incontable, el conjunto de sus oraciones tendr´ a esa cardinalidad. El teorema de L¨ owenheim-Skolem desdendente establece una conexi´ on entre la cardinalidad de un lenguaje de primer orden y la cardinalidad de los modelos para conjuntos de oraciones de ese lenguaje. Teorema de L¨ owenheim-Skolem descendente: Sea L un lenguaje de primer orden de cardinalidad κ, donde κ es un cardinal infinito. Todo conjunto de oraciones de L que tiene un modelo tiene un modelo de cardinalidad menor o igual a κ. Por ejemplo, un conjunto de oraciones de un lenguaje contable de primer orden que tenga como modelo el conjunto de los n´ umeros reales, tendr´ a tambi´en modelos de cardinalidad contable. La Teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden contable que trata de describir el universo conjuntista. Por el Teorema de L¨ owenheim-Skolem descendente, esta teor´ıa tiene modelos contables. Este hecho se conoce como la Paradoja de Skolem. P. Cobreros L´ ogica II: Tema 7

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Resumen

En este tema hemos visto cuatro teoremas fundamentales de la l´ogica de primer orden: completud, compacidad, LS-ascendente y LS-descendente. La prueba del teorema de completud es un corolario del teorema de la existencia de modelos (Henkin). El teorema de compacidad se puede probar usando el teorema de completud. El teorema de LS-ascendente es una consecuencia directa del teorema de compacidad. LS-descendente se puede probar empleando el teorema de la existencia de modelos. Estos teoremas son caracter´ısticos de la l´ ogica de primer orden y determinan el ‘poder expresivo’ de este tipo de lenguajes (la precisi´on con que podemos hablar de estructuras). En el siguiente tema vermos algo m´as acerca de la posibilidad de representar estructuras con precisi´on con lenguajes de primer orden.

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