Prof.: Bach. Carlos Enrique Guillén Pérez

Cálculo ~ Límites y continuidad

LÍMITES Y CONTINUIDAD INTRODUCCIÓN: El presente material fue desarrollado para ser utilizado como apuntes de clase, para el curso cálculo diferencial e integral, no se pretende ser muy rigurosos con el desarrollo de la teoría matemática, sin embargo algunas definiciones y teoremas se presentan lo más formal posible, esto se hace con el fin de simplificar lo más posible el estudio del cálculo y tratar de minimizar con ello, los futuros errores y obstáculos epistemológicos que puedan presentar los estudiantes. Por otro lado, una de las metas del documento es avanzar más rápido en la parte teórica, sin descuidar detalles importantes y así desarrollar un mayor número de ejemplos y ejercicios, sin embargo y por algunos motivos más, no se incluyen las soluciones de los ejemplos porque se considera de mayor provecho resolverlos durante el desarrollo de las lecciones. Además, otro objetivo del material es brindar al estudiante un acercamiento, aunque no muy detallado hacia el análisis real, es por ello que durante el curso se desarrollarán algunas demostraciones sencillas y cortas con interés formativo. El cálculo diferencial y el cálculo integral son sin duda uno de los mayores triunfos de la creación humana y fruto de cientos de años de análisis e intentos fallidos para resolver muchos problemas difíciles, cuyas soluciones eran claves para el avance de las ciencias, las ingenierías, la economía y otras disciplinas, es por esto que la humanidad se ha sentido muy orgullosa de este conocimiento. El cálculo infinitesimal (diferencial e integral) sienta las bases para el análisis del movimiento, en especial por haber resuelto el problema de la recta tangente a cualquier curva, pero también aporta los métodos generales para cálculo de áreas, volúmenes y distancias, además de brindar técnicas y métodos para resolver los problemas de optimización (máximos y mínimos) y los de relaciones de cambio relacionadas, entre otros. La primera fase del estudio del cálculo se inicia con la teoría sobre límites ya que es la base de todo el análisis infinitesimal, por ello se requiere que el estudiante tenga una base muy sólida en éste tema y que tenga cierta destreza en el cálculo de límites. CONTENIDOS: 1. 2. 3. 4. 5.

Límite de una función alrededor de un punto. Teoremas sobre límites. Cálculo de límites (algebraicos, exponenciales, logarítmicos y trigonométricos). Límites infinitos y límites al infinito. Continuidad de una función. 6. Teoremas sobre continuidad de funciones.

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A) LÍMITES Definición 1: (definición intuitiva de límite) Si f es una función, diremos que la frontera o el límite de f  x  cuando x tiende a un valor a es L , si para “acercar” el valor de f  x  a L tanto como se quiera basta con “acercar adecuadamente” x al valor de a y escribimos lim f  x   L x a

Notación: La forma de leer la expresión anterior es: lim f  x   L : límite cuando x tiende a a de f  x  es igual a L x a

Observación: Además, de la definición anterior y de acuerdo al conocimiento del plano cartesiano de coordenadas rectangulares, se tienen dos direcciones para acercarse a x  a , por ello existen dos límites llamados límites laterales izquierdo y derecho que se denotan y se leen respectivamente como: a) lim f  x   M : límite cuando x tiende a a por la izquierda de f  x  es igual a M xa

b) lim f  x   N : límite cuando x tiende a a por la derecha de f  x  es igual a N xa

De lo anterior se deduce que: si lim f  x   lim f  x  entonces existe lim f  x   L , tal xa

xa

xa

y como se puede observar en la siguiente figura:

Es decir, un límite existe si está definido por la derecha y por la izquierda de su valor de tendencia y además los límites laterales deben ser iguales entre sí.

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Nota: Para un límite, lo importante es el comportamiento alrededor del valor aunque éste valor no pertenezca al dominio de la función, como se verá más adelante. CÁLCULO DE LÍMITES A PARTIR DE UNA GRÁFICA Ejemplo 1: [7] Considere las siguientes gráficas de la función f , en cada caso determine la información que se le solicita. 1.

a) lim f  x   x 3

b) lim f  x   x 1

c) lim f  x   x2

d) f  1  e) f  2   g) lim f  x   x 

2. a) lim f  x   x 

b) lim f  x   x 

c) lim f  x   x 3

d) lim f  x   x 2

e) lim f  x   x 2

g) lim f  x   x 2

h) lim f  x   x2

CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CONOCIENDO SUS LÍMITES Ejemplo 2: [7] Construya la gráfica de una función f que cumpla simultáneamente las condiciones dadas. D f    2,3

lim f  x   

lim f  x   

x 3

lim f  x   3

x 2

x 3

x 2

x 

lim f  x   3

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lim f  x   3

x 

f 0  0

lim f  x   3

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Definición 2: (definición formal de límite alrededor de un punto) Sea a  I   , con I un intervalo abierto, f  x  definida sobre I , salvo quizás en x  a , sea L   , entonces lim f  x   L significa que: xa

  0 ,   0 tal que 0  x  a    f  x   L  

La definición anterior representada de manera gráfica se vería así:

FORMAS INDETERMINADAS COMUNES (FI)

Las siguientes expresiones son llamadas formas indeterminas por tratarse de expresiones cuyo valor no es determinable de forma inmediata y requieren de un análisis más cuidadoso y profundo del límite para poder ser calculados. 0  , ,    ,    , 0 , 00 ,  0 , 1 0  ALGUNOS RESULTADOS SOBRE LÍMITES Teorema 1: (unicidad del límite)

Sea a  I , con I un intervalo abierto, f  x  definida sobre I , salvo quizás para x  a . Si lim f  x  existe, entonces éste es único. xa

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

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Teorema 2: (cálculo de límites por evaluación)

Sean k   , a  I   , f y g funciones definidas sobre el intervalo abierto I , n   , P  x  ,Q  x     x  (polinomios con coeficientes reales); entonces, si no suceden las formas indeterminadas anteriores, se cumple que: 1. lim k  k xa

2. lim x  a xa

3. lim  f  x   g  x    lim f  x   lim g  x  x a x a x a 4. lim  f  x   g  x    lim f  x   lim g  x  x a x a x a 5. lim x a

f  x f  x  lim , g  x  0  x a g  x  lim g  x  xa

6. lim k  f  x   k  lim f  x  x a

x a

7. lim x  a n

n

x a

8. lim P  x   P  a  x a

P  x P a  , Q  x  0  Q a  0 x a Q  x  Q a

9. lim

10. lim n x  n a , con x a

n

x definida en su dominio

n 11. lim  f  x    lim f  x   x a  xa  n 12. lim f  x   n lim f  x  x a

x a

13. lim a  a x

x b

n

b

a  0

14. lim log a  x   log a  b  b  0 a  0 con a  1



x b

Ejemplo 3: Calcule los siguientes límites utilizando los teoremas anteriores x 1 1. lim x 3 x  4 2. lim log 2  x   x 2  7  x 4   3 2 3. lim  5  x  3x   7  x 1  

R// 2 R// 1 R// 33

Observación: Recordemos que el límite es independiente del valor de la función evaluada en el valor de tendencia y es que puede suceder que el límite exista aunque el valor de la función en el punto no exista, dado que lo que nos interesa es saber que sucede alrededor del valor de tendencia y no en el valor exacto, el siguiente teorema sugiere que hacer para poder calcular límites en los cuales no es posible realizar una sustitución directamente.

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Teorema 3: (Transformación del límite)

Sea a  I , con I algún intervalo abierto, f  x   g  x  , x  I , salvo para la única posible excepción en x  a . Si lim f  x   L entonces lim g  x   L x a



x a

TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES

Del teorema anterior, se deduce que para calcular límites en los que al evaluar se obtiene una forma indetermina, se puede sustituir la función dada por otra que sea igual a la anterior a excepción de que para la nueva función no exista el problema que indefine a la expresión al momento de evaluar.  Caso I (técnica de cancelación):

Si la forma indeterminada al evaluar un límite cuando x  a es se le debe calcular el límite es de la forma

0 0

y la función a la cual

P  x , con P y Q polinomios, entonces del Q  x

teorema fundamental del álgebra se deduce que P  x  y Q  x  tienen como factor común a

 x  a ,

así para lograr evaluar el límite podemos transformar el límite

factorizando y cancelando del numerador y el denominador la expresión  x  a  . Ejemplo 4: Calcule los siguientes límites: x2  9 1. lim x 3 x  3 x2  4 2. lim 2 x 2 x  x  6

R// 6 R//

4 5

 Caso II (técnica de racionalización):

0 y la función es un 0 cociente con radicales, el límite debe modificarse de tal manera que se elimine el problema y para ello, el proceso a seguir ahora consiste en racionalizar el numerador, el denominador o ambos si es necesario y cancelar la expresión  x  a  .

Si la forma indeterminada al evaluar un límite cuando x  a es

Ejemplo 5: Calcule los siguientes límites: x x 1. lim x 0 xx xh  x h 0 h x 1 3. lim 3 x 0 x 1 x 1 4. lim 3 x 1 x 1

2. lim

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R// 1 R//

1 2 x

R// 1 R// 3

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 Caso III (técnica de cambio de variable):

0 y la función es algo 0 complicada, como para aplicarle directamente alguno de los casos anteriores, es conveniente realizar un cambio de variable “adecuado” que permita simplificar el trabajo de calcular el límite. Si la forma indeterminada al evaluar un límite cuando x  a es

Ejemplo 6: Calcule los siguientes límites: 1 3 x 1 1. lim x 0 x 1 1

R//

 y  2  8 lim 2 y 4 4   y  2

2 3

3

2. Nota:

Para ciertos casos de la forma

R// 3

 es posible también aplicar las técnicas anteriores 

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS FUNDAMENTALES

Los siguientes teoremas establecen el cálculo de límites de expresiones trigonométricas por evaluación, siempre y cuando las funciones estén definidas para x  a . Teorema 4:

Sea a en el dominio de la función correspondiente en cada caso 1. lim sen  x   0

5. lim tan  x   tan  a 

2. lim cos  x   1

6. lim sec  x   sec  a 

3. lim sen  x   sen  a 

7. lim cot  x   cot  a 

4. lim cos  x   cos  a 

8. lim csc  x   csc  a 

x 0

x 0

x a x a

x a x a x a x a

Además, se tienen los siguientes límites trigonométricos notables: 9. lim x 0

sen  x  1 x

10. lim x 0

1  cos  x  0 x 

Ejemplo 7: Calcule los siguientes límites: 1  cos x 1. lim x 0 x2 sen  2 x  2. lim x 0 x tan  3x  3. lim x 0 8 x cos x [email protected]

R//

1 2

R// 2 R//

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Teorema 5: (teorema del emparedado o del encaje)

Sean h , f y g funciones tales que: f  x   g  x   h  x  x  I   , salvo, la única posible excepción para x  a  I Si lim f  x   L  lim h  x  entonces lim g  x   L x a

x a



x a

Ejemplo 8: Calcule el siguiente límite utilizando el teorema del encaje: 1 1. lim xsen   x 0 x

R// 0

LÍMITES LATERALES Definición 3: (definición intuitiva de límites laterales)

La expresión lim f  x   L quiere decir que nos acercamos (aproximamos) al límite de xa

f desde valores en el eje x menores que a , i.e. f  x   L cuando x  a , con x  a

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Por otro lado, la expresión lim f  x   L quiere decir que nos aproximamos xa

(acercamos) al límite de f desde valores en el eje x mayores que a , i.e. f  x   L cuando x  a , con x  a

El siguiente teorema formaliza matemáticamente la existencia del límite a partir de unas condiciones sobre los límites laterales. Teorema 6:

Sea a  I   , con I un intervalo abierto, f  x  definida sobre I , salvo quizás en x  a , sea L   , entonces se cumple que lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L . x a

x a

xa

 Ejemplo 9: A) Considere la función g definida por:  2 x  3 si x  1  g  x    2 si x  1 7  2 x si x  1  Evalué cada una de las siguientes expresiones 1. lim g  x  3. lim g  x  5. lim g  x  x 1

2. lim g  x  x 1

x 1

4. g 1

B) Calcule el siguiente límite 3x  2 1. lim 2 x 6 x  2  2

x 3

R// No existe

3

Recordemos que: Identificar las gráficas básicas de las funciones exponenciales y logarítmicas será de gran ayuda, pues a través de ellas podremos ayudarnos para calcular gran cantidad de límites laterales, así mismo como límites infinitos y límites al infinito.

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Gráficas de la función f  x   a x f :     0  a 1

a 1

Observe de las gráficas anteriores que: Si 0  a  1 lim a  0 x

x 

lim a x  

x 

Si a  1 lim a   x

x 

lim a x  0

x 

Gráficas de la función f  x   log a x f :     0  a 1

a 1

Observe de las gráficas anteriores que: Si 0  a  1 lim log a x  

x 

lim log a x  

x 0

lim log a x  0  0

x 1

lim log a x  0  0

x 1

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Si a  1 lim log a x  

x 

lim log a x  

x  0

lim log a x  0  0

x 1

lim log a x  0  0

x 1

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“Es claro que” en todos los casos cuando x  1 los límites dan por resultado cero, sin embargo son ceros de “diferente naturaleza” ya que lo que hacemos es acercarnos a 1 y no llegar hasta 1 y observando la gráfica podemos intuir que el resultado al evaluar el logaritmo no es exactamente cero, ya que esto sólo sucede en el valor exacto de x  1 , este tipo de observaciones van ser importantes para el cálculo de algunos límites. ÁLGEBRA DE LOS INFINITOS

El infinito no es un número real y por tanto no se comporta como tal, sin embargo se pueden establecer propiedades para “realizar operaciones” con él, algunas de ellas son las que se enuncian a continuación. Algunas propiedades del infinito

Sea k   entonces: 1)  k      k   2)  k      k    si k    3) k   k   con k  0   si k    si k    4) k   k   con k  0   si k   Otras propiedades se enunciarán posteriormente. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO

Para los límites no acotados, es decir para aquellos cuyo resultado no es un número, sino que se trata de algún infinito, se dicen que no convergen, que divergen o que no existen puesto que no existe un número real al cual se aproxime el límite. ALGUNOS RESULTADOS PARA LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO Teorema 7:

Sea a  I   , con I un intervalo abierto, f  x  y g  x  funciones definidas sobre I , salvo quizás en x  a , tales que: 1. lim f  x   k    0 x a

2. lim g  x   0 x a

3. g  x   0 Entonces lim xa

f  x   si k  0  g  x   si k  0



Nota: El teorema precedente también es válido si x  a  , x  a  o x   .

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Una variación del teorema anterior se da según el “signo del cero de g  x  ” en tal caso se aplica la regla de los signos para determinar hacia cual infinito tiende el límite. Ejemplo 10: [7] Calcule los siguientes límites: 2x 1. lim x 1 x  1 3x  2 x 2. lim x x 4  5 x

R// No existe R// 0



 1   x 3. lim    2007 x   e  1 4. lim x  ln    1  x 

R// 2007 R// 

Teorema 8:

Sea a  I   , con I algún intervalo abierto, f  x  y g  x  funciones definidas sobre

I , salvo quizás en x  a , tales que: 1. lim f  x   k    0 x a

2. lim g  x    x a

3. g  x   0 Entonces lim x a

f  x 0 g  x



Nota: El teorema anterior también es válido si x  a  , x  a  o x  

Ejemplo 11: Calcule los siguientes límites: 3 1. lim 4 x  x 5x4  2 x2  1 2. lim x  3x 4  x

R// 0 R//

5 3

Teorema 9: n

Si P  x    ai x i  a0  a1 x  a2 x 2    an 1 x n 1  an x n es un polinomio de grado n en i 0

  x  , entonces:

lim P  x   lim an x n ai   , i  0, , n

x 

x 

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Teorema 10: n

Sean P  x    ai x i  a0  a1 x  a2 x 2    an 1 x n 1  an x n y i 0

m

Q  x    b j x j  b0  b1 x  b2 x 2    bm 1 x m 1  bm x m polinomios de grado n y m j 0

respectivamente en   x  , entonces:

P  x a xn  lim n m ai , b j   , i  0, , n , j  0, , n x  Q  x  x  b x m



lim

Ejemplo 12: Calcule los siguientes límites: 5x4  2 x2  1 1. lim x  3x 4  x 7 x3  2 x 2  1 2. lim x  x 1 1 x 3. lim 4 x  x  3 x  1 4. lim  9 x 2  x  4 x 2  2  x    5.

lim  4 x 2  6  4 x 2  x   

R//

5 3

R//  R// 0 R//  [7]

R//

x 

1 4

LÍMITES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICOS INVERSAS

Si las funciones están bien definidas en su dominio y si x  a está en dicho domino, entonces: 1. lim arcsen  x   arcsen  a 

5. lim arccsc  x   arccsc  a 

2. lim arccos  x   arccos  a 

6. lim arcsec  x   arcsec  a 

3. lim arctan  x   arctan  a 

7. lim arccot  x   arccot  a 

xa

xa

xa

xa xa xa

Ejemplo 13: Calcule el siguiente límite: 1.

lim arctan  x 

x 

R//

 2

De momento las herramientas con las que se cuentan para calcular límites son muy sencillas, pero con forme avancemos, en el tema de derivadas veremos una aplicación muy poderosa de ellas para el cálculo de límites complicados, llamada Regla de L`Hôpital.

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B) CONTINUIDAD Definición 4: (definición intuitiva de continuidad)

Decir que una función f es continua en x  a , significa que su gráfica no tiene ningún hueco, corte o salto en a . Definición 5: (continuidad puntual)

Sea a  I   , con I un intervalo abierto, f una función definida en x  a , se dice que f es continua en x  a si y sólo si lim f  x   f  a  , i.e. para que f sea continua xa

en x  a se debe cumplir que: 1. Exista f  a  2. Exista lim f  x  xa

3. lim f  x   f  a  xa

Notas: i. Si una función no es continua en x  a , se dice que es discontinua en x  a .

ii.

Si f es una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto a, b , se dice que es continua sobre ese intervalo, este hecho se denota en símbolos como f  C a, b , análogamente si f es continua en todos los puntos de un intervalo cerrado  a, b  se dice que es continua sobre  a, b  y escribimos f  C  a, b  .

iii.

Si una función es continua en toda la recta real (i.e. es continua en  ), se dirá simplemente que es continua.

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De acuerdo a la(s) propiedad(es) que no se cumplen de la definición 5, las discontinuidades son clasificadas en evitables y no evitables. A continuación se muestra una gráfica donde es posible reconocer los tipos más comunes de discontinuidades.

ALGUNAS FUNCIONES CONTINUAS Teorema 11:

Si f : D f     y g : Dg     son funciones continuas, k   , entonces: 1. y  k es continua en  2. y  x es continua en  3. y  x n es continua en  , con n   4. y  n x es continua en  , con n   , n  0 si x  0 5. y  a x es continua en  , con a    6. y  log a x es continua en   , con a    7.

f  x   g  x  es continua en D f  Dg

8.

f  x  g  x  es continua en su dominio

9.

f  x es continua en su dominio, con g  x   0 g  x

10. f  g  x  es continua en su dominio



Notas: Además de las funciones anteriores, muchas otras funciones son continuas, sin embargo también muchas otras no lo son, para verificar si una función es o no continua hacemos uso de la definición de continuidad.

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Ejemplo 13: [7] A) Considere la función f definida por: si t  0 1  t  f  t   b  t 2 si 0  t  k 7  t si x  k  Determine el o los valores de k y b , de modo que f sea continua en  R// k  3 , b  1 B) Considere las funciones:  x 2  ax  b si x  2  g  x   6 si x  2 2ax  3b si x  2 

cx 2  4 f  x   cx  b

si x  6 si x  6

Determine condiciones suficientes para a , b y c para que la función f  g sea continua en x  2 1 R// a  0 , b  2 y c  15 B) Sea f una función continua en  que cumple: f  x lim  6 y f  x  0  x  2 x2 x  2 Considere la función:  a f  x   2  4x  x  5x  6  g  x   2  bsen x  2  a   f  x

si x  2 si x  2 si x  2

Determine el valor de a y b para que la función g sea continua en  R// a  1 , b  6 Teorema 12: (teorema del valor intermedio)

Si f es una función continua en  a, b  y k es cualquier número entre f  a  y f  b  , entonces existe al menos un c entre a y b tal que f  c   k . Nota: El teorema afirma que si x toma todos los valores entre a y b , la función continua f  x  debe tomar todos los valores entre f  a  y f  b  .

La principal aplicación del teorema 12 en el álgebra, consiste en que dado un polinomio P  x  tal que P  a   0 y P  b   0 , con a, b   tal que a  b , entonces el polinomio P tiene alguna raíz (cero) en el intervalo  a, b  .

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Prof.: Bach. Carlos Enrique Guillén Pérez

Cálculo ~ Límites y continuidad

Bibliografía:

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