UN MODELO DE ADAPTACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS AL SISTEMA ECTS F.J. Boigues1, V. Estruch, J. Pastor y A. Vidal 1

Instituto de Matemática Pura y Aplicada (I.M.P.A.) Departamento de Matemática Aplicada, Universidad Politécnica de Valencia E. P. S. de Gandia, Carretera Nazaret-Oliva, s/n 46730 Grao de Gandia, Valencia Correo-e: [email protected] Tfno: 96 387 71 49. Ext: 76675. Fax 96 387 71 49

RESUMEN Se presenta una propuesta de adaptación al sistema europeo de transferencia de créditos (ECTS) de asignaturas de contenido matemático en estudios relacionados con el medio ambiente y las ciencias de la naturaleza. Incidimos en una reordenación de los espacios docentes que potencien, de forma más eficaz, un aprendizaje más activo y más acorde con el paradigma de una formación permanente a lo largo de toda la vida. Mostraremos el sistema de evaluación seguida en cada espacio docente como una aproximación de la evaluación continua. Y, por último, plantearemos una metodología que ayude a la difícil tarea de ponderar el trabajo real del estudiante. El trabajo presentado integra experiencias de innovación desarrolladas durante los últimos años en asignaturas de matemáticas impartidas en diversas titulaciones de la Escuela Politécnica Superior de Gandia.

PALABRAS CLAVE: aprendizaje, resultados, ECTS

1. INTRODUCCIÓN La declaración de Bolonia (1999) supone un punto de inflexión hacia la creación de un espacio europeo de educación superior (EEES). Este proceso busca, por una parte, fortalecer la dimensión intelectual, científica y tecnológica de Europa, a nivel general, estableciendo un sistema ágil de homologación de estudios y, por otra, establecer un referente de calidad para las instituciones de educación superior de la U.E. Para el logro de esos objetivos se han fijado una serie de bases que se resumen en tres: · posicionamiento fuerte ante la competitividad; · mejora de la empleabilidad y · normalizar la movilidad entre países miembros. En la comunicación que presentamos se propone una adaptación metodológica de las asignaturas básicas de matemáticas correspondientes a titulaciones relacionadas con las ciencias de la naturaleza, como pueden ser Ciencias Ambientales, Ingeniería Forestal o Biología, al nuevo paradigma de educación superior. Comenzaremos sintetizando algunos principios del nuevo marco. A continuación, pasaremos a definir los espacios docentes que impulsan un aprendizaje más activo. Junto a cada espacio docente describiremos una aproximación a un sistema de evaluación formativa y continua que, creemos, puede ayudar a valorar más efectivamente la dinámica enseñanza-aprendizaje que se pretende ir implantando gradualmente. Finalmente mostraremos las pautas que hemos seguido para valorar en créditos ECTS una de las asignaturas que estamos, actualmente, impartiendo en la Licenciatura en Ciencias Ambientales. El trabajo que presentamos sintetiza diversas experiencias desarrolladas a lo largo de los últimos años en la Escuela Politécnica Superior de Gandia de la Universidad Politécnica de Valencia. 2. HACIA UN NUEVO MODELO EDUCATIVO EN LA UNIVERSIDAD La universidad española, con motivo de la cumbre de Bolonia, punto de partida para el establecimiento futuro del EEES, inició un periodo de reflexión que evoluciona hacia una renovación de su modelo educativo. Las

reuniones de Ministros de Educación de de Praga (2001), Berlín (2003) y Bergen (2005), se han dedicado a hacer balance de los progresos realizados hasta cada fecha, incorporando las conclusiones de los seminarios internacionales realizados y estableciendo directrices para la continuación del proceso. Sin embargo, hasta el momento, el proceso se mantiene en un punto de establecimiento de marcos genéricos (cambio “desde arriba”), que son recogidos en diferentes normas sobre definición de conceptos y primeras aproximaciones al futuro marco general. Algunas universidades españolas han abordado los modelos metodológicos (cambio “desde abajo”) que será necesario poner en marcha para hacer posible el nuevo marco para la educación superior en nuestro país. Evidentemente, siempre se tratará de aproximaciones a la metodología final, que estará condicionada por la concreción de los planes de estudios y a las competencias que, en dirección vertical y sentido de arriba hacia abajo, sea conveniente establecer para las asignaturas de contenido matemático que, en sentido estricto, no tienen como objetivo fundamental la formación de especialistas en teorías o técnicas matemáticas. De modo sintético, algunos de los rasgos del nuevo modelo [1] serían: · Potenciar la faceta del aprendizaje: - Aprendizaje autónomo del estudiante como elemento clave en la nueva idea de formación a lo largo de la vida frente a la clásica de formación terminal (simple obtención del título académico). - Impulsar metodologías activas. · El aprendizaje como proceso constructivo del estudiante [2], que ha de integrar tanto el trabajo personal como el trabajo cooperativo. · Integrar los conocimientos teóricos y los prácticos, así como la búsqueda de una mayor interdisciplinaridad [3] que potencie la formación en competencias. · La introducción del crédito ECTS [4] que ayude a la equiparación de los títulos y, consecuentemente, facilite la movilidad de estudiantes y profesores. · Relevancia de las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TIC), sea como fuente de conocimiento o como plataforma de nuevos modelos de enseñanza [5]. · Necesidad de implantar nuevas formas de evaluar, que impliquen nuevas formas de aprender [6].

3. LOS ESPACIOS DOCENTES Si se desea un nuevo modelo de enseñanza y aprendizaje que potencie la calidad, es necesaria una reestructuración de la actividad docente que permita un mejor control y valoración continuada del proceso. En base a los condicionantes impuestos por el Plan de Ordenación Docente, establecido en la Universidad Politécnica de Valencia, y, fundamentalmente, por el número de alumnos a los que hay que atender, nuestra propuesta, para una asignatura única de Fundamentos Matemáticos, de primer curso, a la que en la actualidad se le adjudica 12 créditos docentes (120 horas de clase + 4 horas de examen/convocatoria) se concreta en las siguientes acciones: 3.1 Clases de teoría y problemas en grupo grande (60-75 alumnos) La motivación del tema será una cuestión fundamental. Se puede usar la técnica del problema aplicado, ilustrando las ventajas que la herramienta matemática aportará a su formación con referencia al futuro profesional. Se desarrollarán los contenidos propuestos en el programa, mediante una acción magistral de enseñanza que vaya más allá de la resolución rutinaria de problemas, más o menos estandarizados, que ayude a los estudiantes a alcanzar una comprensión satisfactoria de los conceptos básicos y métodos del Cálculo [7]. Se Introducirán tanto los conceptos teóricos, ilustrados con ejemplos apropiados, como, en su caso, las posibles aplicaciones en una contextualización adecuada al nivel de los alumnos. Al final de la clase, se propondrán una serie de ejercicios que sinteticen los contenidos del tema.

Tipos de tareas - Profesor: marca los objetivos de aprendizaje, expone el tema y orienta el trabajo del alumno. - Alumno: recoge los conceptos por medio de las notas de clase y los repasa en casa, ayudado del material de autoaprendizaje complementario que se le proporciona. Evaluación: - Método: Evaluación continua mediante 4 controles de 1.5 h. - Método: Evaluación global mediante 2 controles de 2 h.

3.2 Laboratorio grupo mediano (25-30 alumnos) Se pretende facilitar el aprendizaje mediante el manejo básico de un asistente matemático. Trabajar con problemas contextualizados que supongan un nivel considerable de cálculo, en cualquier caso superior al exigible que tenga que realizarse “a mano”. Se aprovecharán, fundamentalmente, las posibilidades gráficas que proporcionan los asistentes matemáticos para lograr un aprendizaje de base, sobre todo, conceptual. Tipos de tareas - Profesor: Expone brevemente la práctica a realizar y atiende los problemas que puedan surgir a lo largo de la realización de la misma. - Alumno: Realiza solo, con el asesoramiento puntual del profesor, la práctica siguiendo una guía de autoaprendizaje que se le ha entregado. Evaluación: - Método: Propuesta de problemas al final de cada práctica. - Método: Control global

3.3 Sesiones de actividades en grupo mediano (25-30 alumnos) distribuidos en grupos de 4 ó 5 alumnos En estas sesiones se pretende realizar un seguimiento continuado del aprendizaje de los alumnos y estimular el trabajo cooperativo en equipo. Cada sesión se estructura en dos partes. En la primera el profesor plantea una serie de ejercicios de los últimos temas vistos en clases teóricas. En la segunda parte el profesor resolverá las dudas que los alumnos planteen sobre los ejercicios propuestos. Tipos de tareas - Profesor: La figura del profesor es, esencialmente, de asesor y sólo resuelve dudas. - Alumno: Trabaja activamente en grupo preparando la memoria de la actividad para luego exponerla públicamente Evaluación: - Método: Directa a partir de la entrega de los ejercicios propuestos.

4. CREDITOS ECTS Y MÉTODOLOGÍA DE ASIGNACIÓN El concepto de crédito ECTS (sistema de transferencia y acumulación de créditos) pretende valorar el peso de los módulos de enseñanza en relación con el trabajo relativo del estudiante. El real decreto 1125/2003 define el crédito europeo como “la unidad de medida del volumen de trabajo del estudiante para alcanzar los objetivos del programa”. A continuación, mostraremos el método empleado para determinar los créditos ECTS que se

asignan a Fundamentos Matemáticos para el estudio del medio ambiente. En el siguiente cuadro resumimos los datos más importantes de esta asignatura de primer curso de la Licenciatura en Ciencias Ambientales. DATOS DE LA ASIGNATURA Titulación: Licenciatura en ciencias ambientales Plan: 1998 Asignatura: Fundamentos matemáticos para el estudio del medio ambiente Tipo: Troncal Curso: Primero Semestre: Anual Teoría y problemas: 10 Laboratorio:2 Creditos LRU: 12 Departamento: Matemática Aplicada Area de conocimiento: Matemática Aplicada Temario

Tema 1: Matrices. Determinantes. Tema 2: Sistemas de ecuaciones lineales. Tema 3: Vectores y sus operaciones. Tema 4: Diagonalización de matrices. Tema 5: Números reales y sucesiones. Tema 6: Funciones reales de variable real. Tema 7: Derivabilidad. Tema 8: Cálculo de primitivas. Tema 9: La integral de Riemann y sus aplicaciones. Tema 10: Cálculo multivariante. Tema 11: Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Tabla 1. Resumen de la asignatura valorada

El método de transformación en créditos ECTS que hemos seguido es el conocido por los expertos en sistemas de acumulación y transferencia como “el referido a resultados de aprendizaje” [8]. Para calcular el volumen de trabajo de un estudiante se ha de fijar y enumerar con claridad los resultados de aprendizaje, es decir, aquellos conceptos, procedimientos y aplicaciones que un estudiante debe conocer y comprender después de haber completado su proceso de aprendizaje. La mayoría de los resultados de aprendizaje serán específicos al modulo correspondiente (asignatura), y aunque pueda haber algunos comunes a otras áreas (transversales), se ha de procurar identificarlos y especificarlos de la mejor forma posible. A continuación se detallan los pasos seguidos en la valoración de créditos ECTS. Dado que fijar el temario en resultados de aprendizaje es algo impreciso, hemos optado por descomponer cada tema en bloques conceptuales y fijar una serie de problemas que el alumno debe ser capaz de realizar. Entendemos por bloque conceptual un conjunto de definiciones, proposiciones y ejemplos que tienen una cierta vinculación. Por ejemplo el tema 1 sobre matrices se ha separado en bloque I: Introducción a las matrices y sus operaciones; bloque II: Matrices elementales; bloque III: La matriz inversa y Bloque IV: Determinantes. Se espera que el estudiante acuda de manera activa a las clases teórico-prácticas, es decir, atienda las explicaciones, tome notas y plantee sus dudas. Esa actitud ha de ser suficiente para que sea capaz de resolver los ejercicios que se proponen al final de cada bloque temático. Es posible que algunos alumnos no sean capaces de resolver algún ejercicio. Las tutorías del profesor se dedicarán, en parte, a resolver las diferentes dificultades que pueden surgir, mediante consultas a demanda o programadas (con cita previa). El temario consta de 11 temas divididos en 45 bloques temáticos. Se necesita una media de 2 horas por bloque, que se impartirá de manera presencial. Además, consideramos que el estudiante empleará otras 2 horas en resolver los problemas propuestos en cada bloque. Aunque se realizaron algunas encuestas para medir el tiempo que necesitaban los alumnos para realizar las tareas, la gran dispersión en los datos obtenidos nos lleva a optar por una valoración que es, en mayor medida, fruto de la experiencia acumulada, especialmente durante los tres últimos cursos. Dedicación del alumno (clases teóricas/prácticas) Horas presenciales Horas de trabajo personal 45 bloques x 2h ≈ 90 h. 45 bloques x 2h ≈ 90 h. Total: 180 h.

Tabla 2. Valoración de las clases teóricas-prácticas Respecto a las clases de laboratorio, se han diseñado ocho prácticas de dos horas de duración que están relacionadas con la clases teóricas, además de otras dos sesiones que sirvan de síntesis de todo lo realizado hasta

el momento y también de evaluación., Las sesiones de síntesis permiten diferenciar la parte de álgebra y la de cálculo presentes en el temario. Se espera que el estudiante, con la ayuda de una guía, pueda realizar la práctica y, después, con la repetición de la misma de manera individual será suficiente para desarrollar con éxito las otras dos que sirven de evaluación. Dedicación del alumno (clases de laboratorio) Horas presenciales Horas de trabajo personal 10 prácticasx 1h ≈ 10 h. 10 prácticas x 2h ≈ 20 h. Total: 30 h

Tabla 3. Valoración de las clases de laboratorio Es en las sesiones de actividades cuando el profesor, realmente, fija los resultados de aprendizaje que espera que el alumno alcance, después de seguir el proceso de enseñanza-aprendizaje durante un periodo de tiempo. Se han diseñado 5 sesiones de 2h para que el estudiante pueda demostrar sus conocimientos o constate sus carencias. Se supone el repaso o preparación previa del contenido de la sesión por parte del alumno. Dedicación del alumno (clases de actividades) Horas presenciales Horas de trabajo personal 5 sesiones x 2h ≈ 10 h. 5 sesiones x 2h ≈ 10 h. Total: 20 h.

Tabla 4. Valoración de las sesiones de actividades. Finalmente queda por establecer el tiempo que ha de dedicarse a las sesiones de evaluación. Al apostar por una aproximación a la evaluación continuada, decidimos realizar 6 sesiones de evaluación, dos de las cuales coinciden con las convocatorias de examen “oficiales” previstas, las cuales pueden servir de evaluación diferenciada de las partes de álgebra y de cálculo. Dedicación del alumno (sesión de evaluación) Horas presenciales Horas de trabajo personal 4.5 h. 1 sesion ≈ 1.5 h. 4.5 h. 2 sesion ≈ 1.5 h. 6 h. 3 sesion ≈ 2 h. 4.5 h 4 sesion ≈ 1.5 h. 4.5 h. 5 sesion ≈ 1.5 h. 6 h. 6 sesion ≈ 2 h. Total: 40 horas

Tabla 5. Valoración global de la asignatura

El valor medio de un crédito ECTS, atendiendo a los estudios realizados por la comisión europea (entre los que se destaca el proyecto Tunning), se puede estimar entre 25 0 30 horas de trabajo, tal como hemos expuesto anteriormente. Por tanto la valoración global en créditos ECTS de la asignatura queda resumida en el siguiente cuadro: Dedicación del alumno (sesión de evaluación) Clases teóricas/prácticas 180 horas anuales Clases de laboratorio 30 horas anuales Sesiones de actividades 20 horas anuales Sesiones de evaluación 40 horas anuales Total: 270 horas anuales=de 9 créditos a 10 créditos ECTS

Tabla 6. Valoración del estudiante en las sesiones de evaluación

5. ALGUNAS CONCLUSIONES Se espera que la asignación de créditos en los nuevos planes de estudio estén marcados de manera impositiva. De todas maneras todo esfuerzo en adaptar las asignaturas a los nuevos créditos ECTS, supone al menos un ejercicio

de reflexión sobre la docencia actual en la universidad y, por tanto, un punto de partida para mejorar la calidad de la enseñanza y del aprendizaje. El esfuerzo para adaptar las asignaturas actuales a los ECTS ayudará, posteriormente, a plantear desarrollos curriculares realistas. La asignación de créditos ECTS a una determinada asignatura no es algo definitivo, su validez ha de ser contrastada de manera continuada. El trabajo del estudiante es un concepto significativo e interesante, pero de difícil, relativa y subjetiva concreción. De todas maneras, es posible realizar aproximaciones, siendo necesario introducir mecanismos que ajusten y validen lo establecido. Es necesario reforzar el papel importante que tiene el profesor en los nuevos espacios docentes. Es evidente la necesidad de coordinar los diversos espacios docentes para un desarrollo equilibrado de las asignaturas. Las sesiones de actividades pueden ser más eficaces en los logros de aprendizaje que una clase teórica, siempre que se desarrollen correctamente, procurando que todos los miembros del grupo trabajen todos los problemas. Las sesiones de laboratorio pueden ser fundamentales para contextualizar la asignatura y ser una fuente de motivación. Por último, las prácticas de laboratorio pueden ayudar a mejorar la comprensión de conceptos básicos del cálculo al compaginar los aspectos gráficos y los analíticos o formales.

REFERENCIAS [1] UPV, (2005): El espacio Europeo de Educación Superior. XXIV seminario Inter-Universitario de Teoría de la Educación. Vicente Esteban Chapapria (editor). Editorial UPV, ref. 2005-2565, 2005. [2] Piaget, J.,(1985): The equilibrium of cognitive structures. Cambridge, M.A. Harvard University Press, 1985. [3] Proyecto Tunning, (2000): Informe final. Proyecto Piloto. Universidad de Deusto, 2000. [4] MECD, (2003): La integración del sistema universitario español en el Espacio Europeo de Enseñanza Superior. Documento-Marco. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, 2003. [5] UNESCO, (1998): La educación superior en el S. XXI: visión y Acción. Documento de trabajo. Conferencia mundial sobre la educación Superior, Paris, 1998. [6] Zabalza, (2003): Competencias docentes del profesorado. Ed. Narcea, Madrid, 2003. [7] Artigue, M., Douady, R., Moreno, L., Gómez, P.(1995) La enseñanza de los principios del calculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos. Ingeniería didáctica en educación matemática, 97-140. Grupo Ed. Iberoamericana, 1995. [8] Guía del usuario, ECTS, (2003). Documento de la Comisión Europea. http://europa.eu.int/comm/education/socrates/guide-es.doc