Semana 12

Áreas de polígonos

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Áreas de polígonos

Seguimos construyendo nuestro mundo matemático. En esta sesión abordaremos el cálculo de áreas de figuras planas como terrenos, paredes, casas y otros objetos, ¿Cómo vas a lograr esto? Durante esta semana verás cómo se construyen y aplican las fórmulas para calcular el área de polígonos regulares e irregulares. Al final, reconocerás la utilidad que tiene la geometría para resolver situaciones referidas a nuestro entorno, como, por ejemplo, calcular el número de lozas para cubrir el piso de un baño o cuál es el monto a cancelar a un albañil, según los metros cuadrados que haya enlozado.

Empecemos a remodelar nuestro hogar. Juan gasta 0,12 l de pintura en una superficie de un metro cuadrado, ¿qué cantidad utilizaría para pintar la fachada de su casa? (toma en cuenta que todas las paredes solo tienen ventanas de longitud 1m). Ten presente que 1 galón equivale a 3,785 l. Dentro de poco contarás con las herramientas necesarias para dar solución a éste problema.

Para dar solución al problema anterior debemos calcular el área, pero ¿qué es el área? El área de una figura plana es la medida de la región encerrada por la figura, es decir, la medida de su superficie. Hallar el área de un polígono es buscar un procedimiento para comparar su cantidad de superficie con la superficie unidad. El método más sencillo sería colocar el polígono unidad tantas veces como sea posible para rellenar el polígono problema. La figura que se toma habitualmente es el cuadrado, lo que genera el nombre de las unidades de medida de superficie: metro cuadrado (m2) centímetro cuadrado (cm2) entre otros, 220

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Por ejemplo, si queremos hallar el área de la Figura 26, tomamos como unidad el cuadrado, así se observan 8 cuadrados completos y cuatro triángulos rectángulos; tengamos en cuenta que dos triángulos forman un cuadrado completo.

Figura 26

En total hay 4 triángulos

4 triángulos son 2 cuadrados completos.

El área total de la figura es la suma de las dos áreas obtenidas por cuadrados completos y por triángulos: A = 8 +2 = 10m. Ahora, revisemos cómo se construyen las fórmulas para los diferentes polígonos.

1. Área del cuadrado y del rectángulo

Altura

3cm

3cm

Para calcular el área de dos paralelogramos (Figura 27), les dibujamos una cuadrícula, en la que el lado de cada cuadrado representa 1 unidad; por ejemplo, 1 centímetro.

3cm

6cm

Base

Figura 27 221

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Para el cuadrado, el primer paralelogramo, contamos el número de que aparecen: hay 9 . Este resultado es el área y puede expresarse así: 3 × 3 = 9 cuadrados. Área = 9cm2. Así pues, área del cuadrado = lado × lado = l2

El área (A) del cuadrado es igual al cuadrado de su lado. A = l x l = l2

El segundo paralelogramo es un rectángulo. Para hallar el área, contamos los cuadros unidad: hay 18. Esto puede expresarse: 6 × 3 = 18 cuadrados. Área = 18cm2. Así pues, el área del rectángulo = base × altura = b.h

El área del rectángulo es igual al producto de la base b por su altura h, es decir, A = b x h

2. Área de un romboide Para calcular el área del romboide, nos fijamos en que si lo cortamos a lo largo de su altura y esa parte triangular la unimos al otro lado, la figura que resulta es un rectángulo. Ahora bien, ¿el área del romboide es igual a la del rectángulo que se forma?, ¿por qué? Es recomendable que dibujes un romboide en papel milimetrado y sigas los pasos mencionados y así, contando las cuadriculas, comprobarás tus ideas. La base y la altura del rectángulo miden lo mismo que las del romboide (Figura 28).

altura

altura

base

base Figura 28

Como las dos figuras ocupan la misma superficie: Área del romboide = Área del rectángulo, así tenemos que, área del romboide = base × altura. El área de un romboide es igual al producto de la base b por su altura h, es decir, A = b x h

3. Área de un triángulo Dibuja y recorta dos triángulos iguales y únelos de tal manera que formen un romboide. ¿El área de un triángulo se corresponde con la del romboide? B altura A 222

base

C Figura 29

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Puedes observar que el área del triángulo ocupa la mitad de la superficie del romboide, éste tiene la misma base y la misma altura que el triángulo. Como el área del romboide = base × altura, tenemos : Área del triángulo = área del romboide = base × altura

2

2

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto entre bxh la base por su altura, es decir A = 2

4. Área de un trapecio El área de un trapecio es igual a la mitad del producto entre la suma de las bases y la altura. A = (b’ + b) x h 2 b’

b’

b

h

h

b + b’

b

¿Notaste que dos trapecios forman un romboide?

5. Área del rombo Cuatro triángulos forman el rombo. Guíate por la fórmula del triángulo, para que construyas el área del rombo. D d

El área del rombo es igual al producto de las diagonales, dividido entre dos. A = d x D 2 Ahora, empecemos a aplicar todos nuestros conocimientos. 1. Quieres remodelar el suelo de tu habitación, que mide 5m de largo por 3m de ancho, con lozas cuadradas que miden 0,5m de lado. ¿Qué área tiene el suelo de la habitación?, ¿cuál es el área que ocupa cada loza?, ¿cuántas lozas serán necesarias para cubrir el suelo de la habitación?, ¿cuánto gastarás en lozas, si el costo es de 60 Bs. el metro cuadrado?

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Según el enunciado, el lado de cada loza mide 0,5m y dado que éstas son cuadradas, usamos la fórmula para hallar el área referida a esa figura. Así: A

= l x l = l2 = (0,5m)2 = 0,25m2

área de cada loza.

De acuerdo al problema ¿Qué forma tiene la habitación? Para hallar el área de ésta, utilizamos A = b x h = 3m · 5m 15m2 área de la habitación.

¿Qué operación debes realizar para saber cuántas lozas cubrirán completamente la habitación? Así, para enlozar la habitación se necesitaran 15m2 ÷ 0,25m2 = 60 lozas. ¿Cuánto debes invertir para recubrir la habitación con los 15m2 de loza? ¡Termínalo!

2. Este domingo vas de paseo con la familia a una granja, donde hay un gran jardín cuadrado y en el centro de éste hay una piscina que tiene forma de rombo. El diseño ha despertado tu curiosidad y le preguntas al dueño las medidas correspondientes, a lo que él responde: el lado del jardín es de 50m, mientras que para la piscina se conoce que la diagonal mayor es de 6m y la diagonal menor mide 4,5m. Con estos datos, calcula el área que tiene el jardín sin la piscina. ¿Qué se te ocurre? Debes hallar el área del jardín sin la piscina; por tanto calcularemos el área del cuadrado y le restamos el área del rombo.

A

= l x l = l2 = (50m)2 = 2500m2

área del jardín completo.

dxD 27m2 6m · 4,5m = = = 13,5m2 área de la piscina. 2 2 2 Área del jardín sin la piscina = A - A = 2500m2 - 13,5m2 = 2468,5m2 A

=

6. Área de un polígono irregular Hasta el momento, hemos enfocado nuestra atención en las figuras regulares. Pero, ¿cómo harías para calcular el área de un polígono irregular? (ver Figura 30). A 9cm 9cm

F E

12 cm

B

224

C

10cm 6cm

Figura 30

D

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¿Te parece compleja la imagen? Obsérvala detenidamente y reconoce las figuras planas presentes en el polígono irregular. ¿Sabes hallar sus áreas? Para calcular el área total de la figura, podemos hallar por separado el área de cada una de sus partes y luego sumar los resultados. Ya tienes todo para resolverlo, tienes capacidad, creatividad y ¡las fórmulas! En la sesión del CCA, muestra el resultado a tus compañeros para comparar y nutrirte de las experiencias de otros. Recuerda realizar todas las actividades propuestas.

Saber más Para ampliar la información sobre el área del trapecio y rombo, consulta la siguiente dirección web: http://www.aplicaciones.info/decimales/geopla06.htm Te recomendamos visualizar las áreas de paralelogramos, triángulos y trapecios en la siguiente dirección web: http://www.genmagic.org/mates1/ap1c.html Para armar figuras de forma interactiva, visita la siguiente dirección web: http:// www.psicoactiva.com/juegos/tangram/jg_tangram.htm:

12,5m

1. Un albañil construye una pared de 12,5m de alto y 34m de largo. Si en cada m2 se colocan 75 ladrillos, ¿Cuántos de estos cubren la pared?

34m

2. La pirámide de Cheops (Egipto) tiene 4 caras triangulares. El lado de la base de cada una de ellas mide 230m y la altura 180m. ¿Cuál es la medida de la superficie (área) de la pirámide?

180m

230m 3. Para embaldosar un pasillo de una empresa se han empleado 250 baldosas en forma de rombo, cuyas diagonales miden 20cm, y 16cm. Calcula, en m2, la superficie del pasillo.

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En las Figuras 31 y 32, halla el perímetro y la medida del área. 9m

6m 25m

10m

8m

12m 5m 3m 9m 8m

12m 10m

13m

18m 6m

4m 20m



Figura 31

Figura 32

El tangram El tangram o juego de formas chino es un juego individual que estimula la creatividad. Con él se pueden construir infinidad de figuras. En chino, recibe el nombre de tabla de la sabiduría o tabla de los siete elementos. Como su nombre lo indica, consta de siete figuras: un cuadrado, un paralelogramo (romboide) y cinco triángulos (dos grandes, dos pequeños y uno mediano). Sus reglas son muy simples: con dichos elementos, ni uno más ni uno menos, se deben construir figuras. Además es un juego planimétrico, es decir, todas las figuras deben estar contenidas en un mismo plano. Aparte de esto, se tiene libertad total para elaborar las figuras. Puedes dibujarlo a mayor tamaño sobre cartulina, y después recortar las piezas. ¡Anímate! Y construye en familia estas figuras. Puedes ampliar esta lectura y visualizar otros juegos de interés matemático, consultando la siguiente dirección web: http://www.arrakis.es/~mcj/tangram.htm

Un amigo te muestra un plano de una parcela que quiere comprar (ver Figura 33). El modelo esta a escala 1:1200, ¿cuál es el área real de la parcela en metros cuadrados? Con los conocimientos adquiridos esta semana, ¡ayuda a tu amigo! 40m

15m 30m 25m 80m 15m

16m 50m

17m

Figura 33 226

La imaginación lleva a la abstracción, la abstracción, a la creatividad, la creatividad al arte y el arte a la imaginación.