PARADA TEÓRICA

20

"Factor común y por grupos

Facforizar un polinomio,

de n cantidad de términos, es expresarlo como un producto de polinomios primos.

Factor común Para factorizar un polinomio a través del factor común, se debe recordar multiplicación respecto de la suma o resta. a(b

= e)

= a. b

= a.c

la propiedad

distributivo

de la

(el factor a se repite en ambos términos)

=

=

Para extraer el factor común, se debe proceder de manera inversa: a.b a.c = a.(b e) Primero se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego, encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común. El factor común puede ser la variable del polinomio, coeficientes del mismo.

puro

elevada a la menor potencia, y/o el DCMde todos los

Factorizar los siguientes polinomios: a) P(x) = 2i - 4x. p(x) = 2x.x - 2. 2x ~ 2x es el factor común de los dos términos. p(x) = 2x(x 2) ~ Expresión factoreada de P(x) a través del factor común.

+

+

2i

4x 2x

2x

Para normalizar p(x) = 2/ -

~

un polinomio,

_1

=

322

Dentro del paréntesis

va lo que resulta

de dividir cada término

se debe sacar como factor común el coeficiente

2(~- t)

_1) ----c

= 2(x2

por 2x.

principal.

Polinomio normalizado

6

+

Factor común por grupos Se aplica el factor común por grupos a polinomios Factorizar los siguientes polinomios: a) p(x) = x5 - 2x4 - 3x + 6 p(x) = (x5 - 2x4) + (-3x + 6) ~~ x4 -3 p(x) = x4-(x - 2) -3(x - 2)

---l.~

----l)oo~

----l.~

b) Q(x) = Q(x)

=

+ 3x2 + 2x + 2 = (3x3 (x + 1)(3x2 + 2)

3i

+

3/)

que no tienen un factor común en todos sus términos.

Se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma tal que en cada uno de ellos haya un factor común. En cada término debe aparecer el mismo factor para poder extraerlo nuevamente como factor común. Al sacar nuevamente factor común, la expresión queda factorízada a través del factor común por grupos.

+

(2x

+

2) = 3x2(x.+

1)

+

2(x

+

1)

PARADA TEÓRICA

21

Suma y resta de potencias de igual exponente de la forma p(x) = x"

Para un polinomio

± a" existen cuatro posibilidades:

p(x) ::;::x" p(x) = x" 1) P(x) = x4

-

16 = x4

-

± a" ± a"

1\ n es 1\ n es

par impar

24

Se buscan las raíces de p(x): x4 - 16 = O=> Ixl = 2 => Xl = 2 Por el teorema del resto: P(2) = O => (x - 2) es divisor de p(x) p( -2) = O => (x + 2) es divisor de p(x) Se aplica la regla de Ruffini 16):(x - 2)

V-

1 2

p(x)

O

O

O -16

2 2

4 4

8

16

8

O

= i - 16

2) p(x) = x4

+

=

(x3

-2

8)(x - 2) =

2

4

-2

O

O

4

2)

8 -8

O

(i + 4)(x +

2)(x - 2)

81, no tiene raíces reales. 32 = x5 + 25 Se buscan las raíces de p(x): x5 + 32 ~ O => x = -2

x3 - 27 = x3 - 33 Se buscan las raíces de p(x): x3 - 27 = O => x = 3

3) p(x)

x2 = -2

+ 2x2 + 4x + 8):(x + 1

(i + 2i + 4x +

1\

4) p(x) = x5

=

+

Por el teorema del resto: P(3) = O => (x - 3) es divisor de p(x)

Por el teorema del resto: p( -2) = O => (x + 2) es divisor de p(x)

Se resuelve por la Regla de Ruffini p(x):(x - 3) p(x) = x3 - 27 = (x - 3)(i + 3x + 9)

Se resuelve por la Regla de Ruffini p(x):(x p(x) = (x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)(x

+ 2) +

2)

Resumiendo: p(x) = x" ± a" n

impar

Divisor/es xn n

+

an

-

a

xn

+

an

+

3)

X

(x

n

+

a)

(x - a) (x

n par

+ a)

1\

(x - a)

No tiene divisores de la forma (x ± a)

DiferenciQ de cuadrados a) p(x) = / - 9 = / - 32 = (x - 3) (x b) p(x) = x4

-

25 = (x2)2 - 52 = (/ - 5)(/

e) p(x) = / - 49 = / - 72 = (x - 7)(x

+ 5)

+ 7)

p(x)

= i - a2 =

(x - a)(x

+

a)

Trinomio cuadrado y cuatrinomio cubo perfectos Trinomio cuadrado perfecto

i±

+ a2

2ax

f

= (x

± a)2 ~

Cuadrado de un binomio: expresión factorizada del trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio cuadrado perfecto: desarrollo del cuadrado del binomio.

--

i± a) p(x) = x2

2ax

+

+

6x

a2

=

(x

± a)(x ± a)

+9= i+

+

2.3x

1 x

b) Q(x) =

1

(x

± a)2

i - 4x + 4 = i - 2.2x +

= (x + 3)2

22

i + ax + ax + a2 = i + 2ax + a2

=

-x - a--

I ¡

x-a(x-a)

= (x - 2)2

a

2

x

2

i + 8x + 9 = i + 2.4x + 32 I ·11 t x 3*4 3 cuadrado

+ a)2

1

x

No es trinomio

(x

3

1 e) R(x) =

32

=

x

(x - a)2

= x2 - a(x - a) - a(x _ a) _ a2

i - ax + a2 = i - 2ax + a2

=

perfecto

ax

+ a2

Cuatrinomio cubo perfecto 3a2.x

x3

+

+ a3

= (x

+

x3

± 3ai + 3a2.x ± a3

= (x

± a)( x ± a)(x ± a)

(x

+ a)3 =

+

Cubo de un binomio: expresión cuatrinomio cubo perfecto. Cuatrinomio cubo perfecto: es el desarrollo del cubo del binomio.

a)T(x)

3a/

t

a)3~

+ a) (x + a) (x + a) = (i + 2ax + a2)(x + a) = x3 + 3ai + 3a2x + a3 3

= x

1

+ 3.2j +

3.22.x

-

4i

+

8x - 8 * x3

1 x

23 = (x

1

+

a) (x - a) a2)(x - a) 3a2x _ a3

2)3

2

x

e) M(x) = x3

+

del

Expresión factorizada

(x - a)3 = (x - a) (x = (i - 2ax + = x3 - 3ax2 +

(x

= x3 + 6i + 12x + 8

± a)3 ~

= (x

factorizada

-

3.2i 6 *4

+ 3.22.x 12 * 8

- 23~

1 2

No es cuatrinomio

cubo perfecto

- a2

Teorema de Gauss Si el polinomio p(x), de grado n, con coeficientes enterosy término independiente no nulo, admite una raíz racional ~ (fracción ureducib!e), entonces p es divisor del término independientey q lo es del coeficiente principal. ,. Para hallar las ruices rucionoles de P ()x = ax n + bx n-l + cx n-2 + ...+ d: • se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal. • se buscan las posibles raíces: p ~ Divisores del término independiente.

q ~ Todo polinomio

Divisores del coeficiente

principal.

p(x), de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse

como:

Siendo a el coeficiente principal de p(x) y Xl; X2; ... ; Xn SUS n raíces reales. Para hnllor las raíces racionales de p(x) = 2x3 - 3/ - 8x - 3: Posibles raíces ~ Divisores del término independiente, (-3): ± 1, ± 3} 1 Divisores del coeficiente principal, (2): ± 1, ± 2 Xl = ± 1; X2 = ± "2 ; X3 = ± 3 ; X4 Se especializa

el polinomio

p( -1) = O ~

xI= -1, esraíz

p(- ~)

=

O ~

X2

P (3) = O ~ p(x) = 2x3

X3

-

3/

p(x) parias

posibles raíces (xn es raíz si p(xn)

=

= O).

= -~, es raíz = 3, es raíz - 8x - 3 ~

p(x) = 2(x

+

1)(x + ~)(x

- 3)

Un polinomio p(x) tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores iguales; el orden de multiplicidad de la misma está dado por el exponente del factor.

Polinomio factorizado

Raíces

Xl

=

Multiplicidad

-1 A

x2

= -"21 A

Xl

=

X2

=

x3

=

Tres raíces simples

3

-1

Una raíz doble

P3(X) = (x - 2)3 = (x - 2)(x - 2)(x - 2)

Una raíz triple

Xl = x2 =

ps(x)

=

x3(x

+ 3) = x.x.xíx + 3)

-2 A

x3

=~ =

Xs

=

1

-2, raíz doble y 1, raíz triple

0, raíz triple y -3, raíz simple

·Casos combinados En algunos polinomios se deben aplicar varias veces los distintos factores de los mismos sean primos.

casos de factorización

hasta que los

a) Si se puede sacar factor común, es el primer paso que se debe realizar, y luego analizar si a algunos de los factores

se los puede seguir descomponiendo

en nuevos factores.

b) Se analizan factores

las condiciones para sacar factor común por grupos, y luego se estudia se los puede seguir descomponiendo en nuevos factores.

e) Se puede también

aplicar el Teorema de Gauss.

Se encuentra una raíz de x3 - 5x2 + 8x - 4. S(1) = OY se aplica la Regla de Ruffini con el divisor (x -5 1 -4 x3

-

5i + 8x

1).

8-4 -4 4

- 4 = (x -

4 O 1)(/

- 4x

+ 4)

si a algunos de los