parametrización de una superficie

ejemplos

Parametrización de superficies en R3 Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL

11 de abril de 2011

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

definición

parametrización de una superficie

definición (parametrización de una superficie)

vectores tangentes

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definición

parametrización de una superficie

definición (parametrización de una superficie) Φ : D ⊂ R2 → R3 continua e inyectiva

vectores tangentes

parametrización de una superficie

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parametrización de una superficie

definición (parametrización de una superficie) Φ : D ⊂ R2 → R3 continua e inyectiva parametrización de una superficie si

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

definición

parametrización de una superficie

definición (parametrización de una superficie) Φ : D ⊂ R2 → R3 continua e inyectiva parametrización de una superficie si Φ(u, v ) = (x, y , z) con   x = x(u, v ) y = y (u, v ) (S)  z = z(u, v )

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

definición

parametrización de una superficie

vectores tangentes

parametrización de una superficie esfera

esfera

esfera centro 0 radio r

ejemplos

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

esfera

esfera

  x = r cos u cos v y = r sin u cos v  z = r sin v u ∈ (0, 2π), v ∈ (− π2 , π2 )

esfera centro 0 radio r

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

esfera

esfera

  x = r cos u cos v y = r sin u cos v  z = r sin v u ∈ (0, 2π), v ∈ (− π2 , π2 ) falta una curva

esfera centro 0 radio r

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

esfera

esfera

  x = r cos u cos v y = r sin u cos v  z = r sin v u ∈ (0, 2π), v ∈ (− π2 , π2 ) falta una curva parametrizar la curva que falta esfera centro 0 radio r

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

elipsoide

ejercicio

parametrizar el elipsoide x 2 y 2 z2 + 2 + 2 =1 a2 b c

parametrización de una superficie cilindro

cilindro

cilindro elíptico centro 0, radios ayb

ejemplos

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

cilindro

cilindro

  x = a cos u y = b sin u  z=v u ∈ (0, 2π), v ∈ (−1, 1) cilindro elíptico centro 0, radios ayb

parametrización de una superficie toro

toro

ejemplos

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

toro

toro

  x = (a + r cos u) cos v y = (a + r cos u) sin v  z = r sin u u ∈ (−π, π), v ∈ (0, 2π)

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

toro

observación

observación hay infinitas formas de parametrizar una misma superficie

parametrización de una superficie

ejemplos

definición

vectores tangentes definición (vectores tangentes)

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

definición

vectores tangentes definición (vectores tangentes) Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 )

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

definición

vectores tangentes definición (vectores tangentes) Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 ) u 7→ Φ(u, v0 ) y

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

definición

vectores tangentes definición (vectores tangentes) Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 ) u 7→ Φ(u, v0 ) y v 7→ Φ(u0 , v ) curvas diferenciables en (u0 , v0 )

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

definición

vectores tangentes definición (vectores tangentes) Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 ) u 7→ Φ(u, v0 ) y v 7→ Φ(u0 , v ) curvas diferenciables en (u0 , v0 ) llamamos vectores tangentes en las direcciones u y v :

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

definición

vectores tangentes definición (vectores tangentes) Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 ) u 7→ Φ(u, v0 ) y v 7→ Φ(u0 , v ) curvas diferenciables en (u0 , v0 ) llamamos vectores tangentes en las direcciones u y v : Φu (u0 , v0 ) =

∂Φ = (xu , yu , zu ) ∂u

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

definición

vectores tangentes definición (vectores tangentes) Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 ) u 7→ Φ(u, v0 ) y v 7→ Φ(u0 , v ) curvas diferenciables en (u0 , v0 ) llamamos vectores tangentes en las direcciones u y v : Φu (u0 , v0 ) =

∂Φ = (xu , yu , zu ) ∂u

Φv (u0 , v0 ) =

∂Φ = (xv , yv , zv ) ∂v

parametrización de una superficie

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vectores tangentes en las direcciones u y v

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vector tangente a la superficie

vector tangente a la superficie

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vector tangente a la superficie

vector tangente a la superficie Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 )

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

definición

vector tangente a la superficie

vector tangente a la superficie Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 ) t 7→ Φ(u(t), v (t)) = α(t) curva en la superficie

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

definición

vector tangente a la superficie

vector tangente a la superficie Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 ) t 7→ Φ(u(t), v (t)) = α(t) curva en la superficie vector tangente a α dα = α(t ˙ 0) dt t=t0

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

definición

vector tangente a la superficie

vector tangente a la superficie Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 ) t 7→ Φ(u(t), v (t)) = α(t) curva en la superficie vector tangente a α dα = α(t ˙ 0) dt t=t0 llamamos vector tangente a la superficie a todos los α˙

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

proposición

proposición

proposición todos los vectores tangentes a Φ(D) son combinación lineal de Φu (u0 , v0 )

y

Φv (u0 , v0 )

parametrización de una superficie

ejemplos

vectores tangentes

proposición

proposición

proposición todos los vectores tangentes a Φ(D) son combinación lineal de Φu (u0 , v0 ) concretamente,

y

Φv (u0 , v0 )

parametrización de una superficie proposición

proposición

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ejemplos

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

proposición

proposición

proposición Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 )

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

proposición

proposición

proposición Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 ) α(t ˙ 0 ) vector tangente a t 7→ Φ(u(t), v (t))

vectores tangentes

parametrización de una superficie

ejemplos

proposición

proposición

proposición Φ : D ⊂ R2 → R3 diferenciable en (u0 , v0 ) α(t ˙ 0 ) vector tangente a t 7→ Φ(u(t), v (t)) ⇒ ˙ 0 )Φu (u0 , v0 ) + v˙ (t0 )Φv (u0 , v0 ) α(t ˙ 0 ) = u(t

vectores tangentes