Interpretación Gráfica

Unidad didáctica 3. Cálculo de superficies y volúmenes 3.1

Cálculo de superficies.

En el presente apartado se estudiarán las superficies, perímetros y relaciones geométricas más importantes de las principales figuras planas. Se dejará para el siguiente apartado el estudio de las superficies en los cuerpos tridimensionales.

3.1.1 Triángulo El triángulo es el polígono más sencillo al estar constituido sólo por tres lados. Es necesario recordar que polígono es toda figura plana, cerrada, constituidas por lados rectos. Para poder calcular la superficie del triángulo es necesario definir la altura como la perpendicular trazada desde cualquier vértice al lado opuesto.

altura (h)

base (b)

S

bh 2

3.1.2 Rectángulo El rectángulo es el polígono de cuatro lados que tienen la particularidad de ser paralelos y perpendiculares dos a dos. A partir de polígonos de cuatro lados se puede definir la diagonal (d) como la línea recta que une dos vértices no consecutivos. Se definirá el perímetro (P) como las suma de todos los lados que cualquier polígono. b

h

d

h

b

S  b  h ; P  2b  2h ; d  b 2  h 2

3.1.3 Cuadrado Es un caso particular del rectángulo en el que sus cuatro lados (l) son iguales. S  l 2 ; P  4l ; d  2  l

Cálculo de superficies y volúmenes 1

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3.1.4 Rombo Es un cuadrilátero (polígono de cuatro lados) con todos los lados iguales y paralelos dos a dos. En este polígono las dos diagonales posibles reciben el nombre de diagonal mayor (D) y diagonal menor (d) l

l

d D

l

S

l

1 Dd ; P  4l ; l  D2  d 2 2 2

3.1.5 Círculo Es la figura plana en la que todos sus puntos equidistan de un mismo punto llamado centro. Al perímetro de esta figura se le da el nombre de longitud de la circunferencia (L). Se define el diámetro (Φ) como la línea recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Se define el radio como la mitad del diámetro.

Ø

r

S    r 2 ; L  2  r ;   2r

3.1.6 Trapecio Es el polígono de cuatro lados en el que dos de ellos son paralelos. En general, para calcular su área es necesario recurrir a la triangulación, es decir, a dividirlo en triángulos y rectángulos cuya área se puede calcular fácilmente.

Rectángulo T2 T1

En este caso para calcular la superficie del trapecio es necesario sumar las áreas de los dos triángulos y del rectángulo.

Cálculo de superficies y volúmenes 2

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3.1.6.1 Trapecio rectángulo Es aquel trapecio que tiene un ángulo recto. base menor (b)

h

Base mayor (B)

S

B  b   h 2

3.1.6.2 Trapecio isósceles Es aquel trapecio que dos la dos iguales. base menor (b)

h

Base mayor (B)

S

B  b   h 2

3.1.7 Polígono regular Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados (l) iguales. Se define apotema (ap) como la línea recta que une el centro de un polígono regular con el punto medio de cualquiera de sus lados.

apotema (ap)

S

P  ap 2

Cálculo de superficies y volúmenes 3

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3.1.8 Ejercicios 1. Calcular la superficie, el perímetro y la diagonal de un rectángulo de lados 4 y 5 cm. 2. Calcular la superficie, el perímetro y la diagonal de un cuadrado de lado 4 cm. 3. Calcular la superficie y la longitud de la circunferencia de un círculo de 5 cm de radio. 4. Calcular la superficie, el perímetro y el lado de un rombo cuyas diagonales son 6 y 3 cm. 5. Calcular la superficie y la longitud de la circunferencia de un círculo de 5 cm de diámetro. 6. Calcular la superficie de un triángulo que está contenido en un cuadrado de lado 4 cm. 7. Calcular la superficie de un trapecio rectángulo de bases 6 y 4 cm. y de altura 7 cm. 8. Calcular gráficamente la superficie y el perímetro de la siguiente figura.

Relación de ejercicios de cálculo de superficies

1. Calcular la diagonal de un rectángulo de lados 6 y 8 cm. 2. Calcular la longitud de la circunferencia de un círculo de radio 6 cm. 3. Calcular el perímetro de un rombo de diagonales 6 y 8 cm. 4. Calcular la superficie de un círculo que está inscrito (que está dentro) de un cuadrado de lado 4 cm. 5. Calcular la superficie de un círculo que está circunscrito (que está fuera) de un cuadrado de lado 4 cm. 6. Calcular gráficamente la superficie y el perímetro de la siguiente figura.

Cálculo de superficies y volúmenes 4

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3.2

Cálculo de volúmenes

En el presente apartado se estudiarán los volúmenes, las superficies que encierran a dichos volúmenes y relaciones geométricas más importantes de las principales figuras tridimensionales.

3.2.1 Prisma recto Es un cuerpo que tiene dos bases paralelas e iguales y las caras perpendiculares a las bases, dichas bases pueden ser cualquier polígono. Su volumen se define como la superficie de la base por su altura y su superficie como la suma de la superficie de sus bases más la superficie de las caras.

V  S base  h ; S  S bases  S caras  2  S base  P  h

3.2.2 Cubo Es un caso particular de prisma recto en el que todas las bases y las caras son cuadrados.

V  l3 ; S  6l 2

3.2.3 Cilindro recto Es un caso especial de prisma recto en el que las bases son círculos.

V    r 2  h ; S  S bases  S caras  2  r r  h 

Cálculo de superficies y volúmenes 5

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3.2.4 Pirámide recta Es un cuerpo que tiene una base y un vértice en la proyección de dicha base, las caras laterales se forman uniendo el citado vértice con los vértices de la base.

V 

S base  h ; S  S bases  S caras 3

3.2.5 Cono recto Es un cuerpo que tiene una base circular y un vértice sobre el centro de la base, las caras laterales se forma uniendo el citado vértice con cada uno de los puntos de la circunferencia de la base mediante las rectas llamadas generatrices.

V

 r2 h 3

; S  S base  S caras    r 2    r  r 2  h 2

3.2.6 Tronco de pirámide recta Es un cuerpo similar a la pirámide al que le falta la parte superior, su volumen se calcula a partir del de la pirámide entera a la que se le resta el trozo que le falta; de igual modo se procede con la superficie.

3.2.7 Tronco de cono recto Es un cuerpo similar al cono al que le falta la parte superior.

Cálculo de superficies y volúmenes 6

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V 

  h  R 2  R  r  r 2  3

; S  S bases  S caras   R 2  r 2    R  r  h 2  R  r 

2

3.2.8 Prisma oblicuo Es un prisma cuyas caras no son perpendiculares a las bases, sino que forman un determinado ángulo con ellas (θ)

V  S base  h ; S  S bases  S caras

3.2.9 Cilindro oblicuo Es un caso especial de prisma oblicuo en el que las bases son círculos.

h   V    r 2  h ; S  S bases  S caras    r  2  r   sen  

3.2.10

Esfera

Es un cuerpo en el que todos sus puntos equidistan de un mismo punto llamado centro. Se define el diámetro (Φ) como la línea recta que une dos puntos de la esfera pasando por el centro. Se define el radio como la mitad del diámetro.

V 

4   r3 ; S  4  r 2 3

Cálculo de superficies y volúmenes 7

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3.2.11

Ejercicios

1. Calcular el volumen y la superficie de un prisma rectangular recto de lados 4, 5 y 6 cm. 2. Calcular la superficie de un cubo de lado 6 cm. 3. Calcular el volumen y la superficie de un cilindro recto de radio 5 cm y altura 10 cm. 4. Calcular el volumen de una pirámide rectangular de lados 3 y 6 cm. y de altura 12 cm. 5. Calcular la superficie de un cono recto de radio 12 cm. y altura 2 cm. 6. Calcular el volumen de un tronco de cono de radios 3 y 5 cm, y altura 4 cm. 7. Calcular el volumen y la superficie de una esfera de radio 5 cm. 8. Calcular el volumen de una esfera que se encuentra inscrita en un cubo de lado 7 cm. Relación de ejercicios de cálculo de volúmenes

1. Calcular el volumen y la superficie de un prisma recto de base cuadrada de lado 4 cm. y altura 6 cm. 2. Calcular el volumen y la superficie de un cilindro recto que se encuentra inscrito en el prisma del ejercicio anterior. 3. Calcular el volumen de una pirámide rectangular de lados 5 y 7 cm. y de altura 10 cm. 4. Calcular la superficie de un cono recto que se encuentra inscrito en el prisma del ejercicio 1. 5. Calcular el volumen y la superficie de una esfera de radio 2 cm.

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