Las situaciones problemáticas son corrientes en la vida de las personas, por eso debemos enfrentarnos frecuentemente a resolver problemas. Sin embargo, en ocasiones habrás tenido la sensación de que no consigues llegar a la solución por más que analizas los datos y aplicas todo lo que sabes. En esos momentos, acuérdate de los siguientes consejos. Pasos y preguntas que debes seguir a la hora de resolver un problema:

Paso 1: Entender el problema. - ¿Entiendes todo lo que dice? - ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? - ¿Distingues cuáles son los datos? - ¿Sabes a qué quieres llegar? - ¿Hay suficiente información? - ¿Hay información extraña? - ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 3: Ejecutar el Plan. - Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. - Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o deja el problema a un lado por un momento. - No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

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Paso 2: Configurar un Plan. Puedes usar alguna de las siguientes estrategias: - Empezar por el final. - Ensayo y Error. - Usar una variable. - Buscar un patrón. - Hacer una lista, contar, enumerar... - Resolver un problema similar más simple. - Hacer una figura o diagrama. - Resolver un problema equivalente. - Resolver una ecuación. - Buscar una fórmula o generalizar. - Usar un modelo.

Paso 4: Mirar hacia atrás. - ¿Es tu solución correcta? - ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? - ¿Tiene sentido? - ¿Se puede comprobar el resultado? - ¿ S e p u e d e u s a r e l r e s u l ta d o o procedimiento para resolver otro problema?

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 235

PARA APRENDER También te pueden resultar útiles los siguientes consejos: - Acepta el reto de resolver el problema. - Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar… - Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso (el subconsciente se hará cargo). - Hazte cuantas preguntas creas necesarias. - Si es apropiado, trata el problema con números simples. - Analiza el problema desde varios ángulos. - Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar. - Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito. - No tengas miedo de hacer cambios en las estrategias. - La experiencia en la solución de problemas hace que tu confianza crezca. - Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. - Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución. - ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa. Ahora te proponemos diferentes estrategias que te pueden venir bien para que las apliques a la hora de resolver problemas:

1. ENSAYO - ERROR. Encuentra dos números primos consecutivos cuyo producto sea 437. Solución: Primero enumeramos los números primos: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… Como el resultado es 437 y tiene tres cifras, empezamos tomando el 11 y el 13, y vamos probando: 11 y 13

11 · 13 = 143

13 y 17

13 · 17 = 221

17 y 19

17 · 19 = 323

19 y 23

19 · 23 = 437

Los dos números son 19 y 23.

236 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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PARA APRENDER 2. EMPIEZA POR EL FINAL. Julen es muy goloso y le han regalado una caja de bombones. La primera semana come la mitad de los bombones que tenía más uno. La segunda semana come la mitad del resto más dos bombones, y la tercera semana come la mitad del resto más 3 bombones. Si le queda un bombón para la cuarta semana, ¿cuántos bombones tenía la caja? Solución: Empezamos por el final: la 4ª semana tiene 1 bombón. La 3ª semana come la mitad del resto más 3 bombones, luego antes de la 3ª semana tenía: mitad + 3 +1

3ª semana 4ª semana

mitad + 4 = 8 bombones tenía antes de la 3ª semana La 2ª semana come la mitad del resto más 2 bombones, entonces: mitad + 2 +8

2ª semana 3ª y 4ª semana

mitad + 10 = 20 bombones tenía antes de la 2ª semana La 1ª semana come la mitad de los bombones que tenía más 1, por lo tanto: mitad + 1 + 20

1ª semana 2ª, 3ª y 4ª semana

mitad + 21 = 42 bombones tenía al principio Luego la caja tenía 42 bombones. Comprobamos el resultado: La 1ª semana come la mitad más 1 = 22

Le quedan 20 bombones.

La 2ª semana come la mitad del resto más 2 = 12 La 3ª semana come la mitad del resto más 3 = 7

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Le quedan 8 bombones. Le queda 1 bombón para la 4ª semana.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

237

PARA APRENDER 3. PROCEDE SISTEMÁTICAMENTE. CUENTA, ENUMERA… Calcula el número de cuadrados que tiene un tablero de ajedrez. Ten en cuenta todos los tamaños. Solución: Vamos contando el número de cuadros empezando por los casos más sencillos: Del tamaño

hay 64 cuadrados. 1x1

Del tamaño

hay 49 cuadrados. 2x2

Del tamaño

hay 36 cuadrados. 3x3

Del tamaño

hay 25 cuadrados. 4x4

Del tamaño

hay 16 cuadrados. 5x5

Del tamaño 6x6 hay 9 cuadrados. Del tamaño 7x7 hay 4 cuadrados. Del tamaño 8x8 hay 1 cuadrado. 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204 Por lo tanto, en el tablero de ajedrez hay 204 cuadrados.

238 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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PARA APRENDER 4. ORGANIZA LA INFORMACIÓN. HAZ UN DIBUJO. Aritz ha comprado un ordenador que va a pagar en plazos de la siguiente manera: la mitad de su importe, en el momento de llevárselo; dos terceras partes del resto, al cabo de un mes; y los 350 euros restantes, al cabo de dos meses. ¿Cuánto ha costado el ordenador? Solución:

Al llevárselo

1º mes

2º mes

350 euros

Si dividimos la unidad en partes iguales tenemos 6 partes, entonces 350 · 6 = 2100 euros que cuesta el ordenador.

5. ESTUDIA CASOS SENCILLOS Y GENERALIZA. El número 2 000 000 ... 003 está formado por el 2, el 3 y 50 ceros entre ellos. ¿Cuántos ceros tendrá su cuadrado? Encuentra una regla general para cualquier número de ceros. Solución: Empezamos por casos sencillos para estudiar lo que pasa: Si sólo hay 1 cero:

2032 = 41209

hay 1 cero.

Si sólo hay 2 ceros:

2033 = 4012009

hay 1 + 2 = 3 ceros.

Si sólo hay 3 ceros:

2034 = 400120009

hay 2 + 3 = 5 ceros.

Si sólo hay 4 ceros:

2035 = 40001200009

hay 3 + 4 = 7 ceros.

Generalizando: Si hay 50 ceros

hay 49 + 50 = 99 ceros.

Si hay n ceros

hay (n - 1) · n ceros.

Ahora ha llegado la hora de que tú practiques.

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PARA ENTRENAR 1. ESQUEMA DE LA ESCALERA Roberto construye un esquema de una escalera usando cuadrados. He aquí los pasos que sigue:

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Como se puede ver, utiliza un cuadrado para el nivel 1, tres para el nivel 2, y seis cuadrados para el nivel 3. a) ¿Cuántos cuadrados en total deberá usar para construir hasta el cuarto nivel?

b) ¿Y para el nivel n?

2. EL TIPO DE CAMBIO Mei-Ling, ciudadana de Singapur, estaba realizando los preparativos para ir a Sudáfrica como estudiante de intercambio durante 3 meses. Necesitaba cambiar algunos dólares de Singapur (SGD) en rands sudafricanos (ZAR). a) Mei-Ling se enteró de que el tipo de cambio del dólar y el rand era de: 1 SGD = 4,2 ZAR Si cambió 3.000 dólares en rands con este tipo de cambio, ¿cuánto dinero recibió Mei-Ling en rands sudafricanos?

b) Al volver a Singapur, tres meses después, a Mei-Ling le quedaban 3.900 ZAR. Los cambió en dólares de Singapur, dándose cuenta de que el tipo de cambio había cambiado a: 1 SGD = 4,0 ZAR ¿Cuánto dinero recibió en dólares de Singapur?

c) Al cabo de estos 3 meses el tipo de cambio había cambiado de 4,2 a 4,0 ZAR por 1SGD. ¿Favoreció a Mei-Ling que el tipo de cambio fuese de 4,0 ZAR en lugar de 4,2 ZAR cuando cambió los rands sudafricanos que le quedaban por dólares de Singapur? Da una explicación que justifique tu respuesta.

240 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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3. BASURA Para hacer un trabajo en casa sobre el medio ambiente, unos estudiantes han recogido información sobre el tiempo de descomposición de varios tipos de basura que la gente desecha: Tipos de basura

Tiempos de descomposición

Piel de plátano

1-3 años

Piel de naranja

1-3 años

Cajas de cartón

0,5 años

Chicles

20-25 años

Periódicos

Unos pocos días

Vasos de plástico

Más de 100 años

Un estudiante piensa en cómo representar los resultados mediante un diagrama de barras. Da una razón de por qué no resulta adecuado un diagrama de barras para representar estos datos.

4. TERREMOTO TERREMOTO Se emitió un documental sobre terremotos y la frecuencia con que estos ocurren. El documental incluía un debate sobre la posibilidad de predecirlos. Un geólogo dijo: En los próximos 20 años, la posibilidad de que ocurra un terremoto en la ciudad de Zed es dos de tres. ¿Cuál de las siguientes opciones refleja mejor el significado de la afirmación del geólogo? a) 2/3 x 20 = 13,3 por lo que entre 13 y 14 años a partir de ahora habrá un terremoto en Zed. b) 2/3 es más que 1/2, por lo que se puede estar seguro de que habrá un terremoto en Zed en algún momento en los próximos 20 años. c) La posibilidad de que haya un terremoto en Zed en algún momento en los próximos 20 años es mayor que la probabilidad de que no haya ningún terremoto. d) No se puede decir lo que sucederá, porque nadie puede estar seguro de cuando tendrá lugar el terremoto.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 241

5. MONOPA MONOPATÍN Marcos es un gran fan del monopatín. Entra en una tienda denominada PATINADORES para mirar algunos precios. En esta tienda puedes comprar un monopatín completo, o puedes comprar una tabla, un juego de 4 ruedas, un juego de 2 ejes y un conjunto de piezas para montar, y montar tu propio monopatín. Los precios de estos productos de la tienda son:

a) Marcos quiere montar su propio monopatín. ¿Cuál es el precio mínimo y el precio máximo de los monopatines montados por uno mismo en la tienda? 1.- Precio Máximo……………….zeds 2.- Precio Mínimo………………..zeds b) La tienda ofrece tres tablas diferentes, dos juegos diferentes de ruedas y dos conjuntos diferentes de piezas para montar. Sólo hay un juego de ejes para elegir. ¿Cuántos monopatines distintos puede construir Marcos? A 6

B 8

C 10

D 12

c) Marcos tiene 120 zeds para gastar y quiere comprar el monopatín más caro que pueda.¿Cuanto dinero puede gastar Marcos en cada uno de los 4 componentes? Escribe tu respuesta en la tabla de abajo. Componente

Cantidad (Zeds)

Tabla Ruedas Ejes Piezas para montar

242 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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6. CAMPEONAT CAMPEONAT O DE PING-PONG Tomás, Ricardo, Luis y David han formado un grupo de entrenamiento en un club de ping-pong. Cada jugador quiere jugar una vez contra cada uno de los otros jugadores. Han reservado dos mesas de ping-pong para estas partidas. Completa la siguiente plantilla de partidos escribiendo los nombres de los jugadores que jugarán en cada partida. Componente Mesa 1 Mesa 2 1ª Ronda

Tomás-Ricardo

Luis-David

2ª Ronda 3ª Ronda

7. VUELO ESPACIAL ESPACIAL La estación espacial Mir permaneció en órbita 15 años y durante este tiempo dio alrededor de 86.500 vueltas a la Tierra. La permanencia más larga de un astronauta en la Mir fue de 680 días. La Mir daba vueltas alrededor de la Tierra a una altura aproximada de 400 kilómetros. El diámetro de la Tierra mide aproximadamente 12.7000 km y su circunferencia es de alrededor de 40.000 km. Calcula aproximadamente la distancia total recorrida por la Mir durante sus 86.500 vueltas mientras estuvo en órbita. Redondea el resultado a las decenas de millón.

8. RESPALDO RESPALDO AL PRESIDENTE En Zedlandia, se realizaron varios sondeos de opinión para conocer el nivel de respaldo al Presidente en las próximas elecciones. Cuatro periódicos hicieron sondeos por separado en toda la nación. Los resultados de los sondeos de los cuatro periódicos se muestran a continuación: Periódico 1: 36,5% (sondeo realizado el 6 de enero, con una muestra de 500 ciudadanos elegidos al azar y con derecho a voto) Periódico 2: 41,0% (sondeo realizado el 20 de enero, con una muestra de 500 ciudadanos elegidos al azar y con derecho a voto) Periódico 3: 39,0% (sondeo realizado el 20 de enero, con una muestra de 1.000 ciudadanos elegidos al azar y con derecho a voto) Periódico 4: 44,5% (sondeo realizado el 20 de enero, con 1.000 electores que llamaron por teléfono para votar) Si las elecciones se celebraran el 25 de enero, ¿cuál de los resultados de los periódicos sería la mejor predicción del nivel de apoyo al presidente? Da dos razones que justifiquen tu respuesta.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 243

9. MANZANAS Un agricultor planta manzanos en un terreno cuadrado. Con objeto de proteger los manzanos del viento planta coníferas alrededor de la totalidad del huerto. Aquí ves un esquema de esta situación donde se puede apreciar la colocación de los manzanos y de las coníferas para cualquier número (n) de filas de manzanos:

a) Completa la tabla: n

Números de manzanos

Números de coníferas

1

1

8

2

4

3 4 5 b) Se pueden utilizar dos fórmulas para calcular el número de manzanos y el de coníferas dentro del planteamiento descrito anteriormente: Número de manzanos = n2 Número de coníferas = 8n Siendo n el número de filas de manzanos. Existe un valor de n para el cual el número de manzanos sea igual al de coníferas. Halla este valor de n y muestra el método que has usado para calcularlo.

c) Supongamos que el agricultor quiere plantar un huerto mucho mayor, con muchas filas de árboles. A medida que el agricultor vaya haciendo mayor el tamaño del huerto. ¿qué aumentará más rápidamente: el número de manzanos o el de coníferas? Explica cómo has hallado la respuesta.

244 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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10. SUPERFICIE DE UN CONTINENTE A continuación, se presenta un mapa de la Antártida.

Estima el área de la Antártida utilizando la escala que acompaña al mapa. Muestra cómo has hecho los cálculos y explica cómo has hecho tu estimación. (Puedes dibujar sobre el mapa, si te es útil para hacer la estimación).

11. EL RECIBO DE LA LUZ A continuación tienes el recibo de energía eléctrica consumida en los dos últimos meses en un domicilio:

FACTURACIÓN

EUROS

1. Potencia contratada: 3,3 kW x 2 meses x 141,5263 cént. €/kWmes 2. Energía consumida: 972 kW x 8,0401 cént. €/kWh 3. Impuesto sobre electricidad: 4,864% x 87,49 x 1,05113 4. Alquiler de equipos de medida: 2 meses x 57 cént. €/mes

y=

Total:

k x

5. IVA 16 % Importe:

Calcula los importes de cada concepto y el total de la factura.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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12. GRANJAS Aquí ves una fotografía de una casa de campo con el tejado en forma de pirámide.

Debajo hay un modelo matemático del tejado de la casa con las medidas correspondientes.

La planta del ático, ABCD en el modelo, es un cuadrado. Las vigas que sostienen el tejado son las aristas de un bloque (prisma rectangular) EFGHKLMN. E es el punto medio de AT, F es el punto medio de BT, G es el punto medio de CT y H es el punto medio de DT. Todas las aristas de la pirámide tienen 12 m de longitud. a) Calcula el área de la planta del ático ABCD. El área de la planta del ático ABCD es igual a ……………….m2 b) Calcula la longitud de EF, una de las aristas horizontales del bloque. La longitud de EF es igual a .……….m

13. SECUENCIAS DE NÚMEROS Fíjate en esta secuencia de 5 números: 3

2

5

7

12

Los dos primeros son arbitrarios y el resto se forma sumando los dos anteriores. a) Crea la secuencia para: 2

16

b) Obtén una fórmula que te permita, dados los dos primeros, crear una secuencia para n números.

246 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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14. CON SEIS PALILLOS PALILLOS ¿Cómo construirías 4 triángulos equiláteros iguales utilizando exactamente seis palillos?

15. CAMBIO DE MONEDA Hodei se ha ido de vacaciones a Inglaterra a practicar su Inglés. Antes de coger el avión compró 200 libras por las que pagó 307,74 euros. a) Un euro, ¿cuántas libras son? b) Hodei quiere comprarse una camiseta que cuesta 48,5 libras y necesita calcular su coste en euros para hacerse una idea de su valor. El ha estimado a ojo que la camiseta cuesta aproximadamente 60 euros. ¿Es correcta su estimación? ¿Qué error comete? c) Si cinco noches de hotel le cuestan 467 libras, ¿cuál será el valor en euros según su aproximación? ¿Y el valor real?

16. CONJETURA DE GOLBACH La conjetura de Golbach afirma que todo número entero par es la suma de dos números primos. Compruébalo para los siguientes números pares: 48, 24, 18, 32.

17. NÚMEROS PRIMOS GEMELOS Dos números primos se llaman gemelos si sólo distan entre sí dos números. Por ejemplo 11 y 13. Encuentra 5 pares de números gemelos.

18. CROMOS A un chico se le caen los cromos en el patio del colegio. Cuando le preguntan cuántos eran, responde: sólo se que al agruparlos de dos en dos me sobraba uno, si los agrupaba de tres en tres me sobraban dos, al agruparlos de cuatro en cuatro me sobraban tres y al agruparlos de cinco en cinco me sobraban cuatro. ¿Cuántos cromos tenía el niño?

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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19. PLACAS SOLARES Una comunidad de vecinos está muy preocupada por el cambio climático y quiere instalar placas solares en el tejado para autoabastecerse. Ha pedido un presupuesto a una empresa y les han dado la siguiente información: - Las placas solares permiten un ahorro de 2/7 del consumo de energía del edificio. - El precio de la instalación y de las placas es de 22 000 euros. Por otro lado uno de los vecinos se ha enterado de que el Instituto de la Energía da subvenciones a comunidades por la instalación de placas solares por la mitad del coste de las placas y su instalación. Si en cada recibo bimensual cada vecino paga 46,34 euros, ¿cuánto tiempo tardarán en amortizar las placas solares y su instalación, si el consumo de la comunidad se mantiene?

20. PROBLEMA DE EDADES En el año 2000, la edad de Nekane era igual a la suma de la cuatro cifras del año de su nacimiento. ¿En qué año nació?

21. UN NÚMERO GRANDE ¿Cuál es el número más grande que eres capaz de escribir usando una sola vez las cifras 0, 1, 2 y 3? Recuerda que si usas las potencias razonablemente, puedes obtener un número inmenso.

22. EL GROSOR DE UN FOLIO a) ¿Cómo medirías el grosor de un folio? Piensa que si tienes un montón de folios, seguro que te resultará más fácil. b) Si doblas un folio por la mitad, obtienes medio folio con el doble de grosor. Si lo vuelves a doblar por la mitad, tendrás un cuarto de folio de un grosor cuatro veces mayor. Al realizar la operación 7 veces, tendrás un taquito de papel de grosor el grosor del folio inicial por 27. Parece ser que no es posible doblar un folio más de 7 veces. Intenta superar el récord. c) Si se pudiera doblar un folio 30 veces, ¿qué grosor tendría el resultado?

248 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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23. ACCIDENTES Elena ha leído este fin de semana en la prensa la siguiente noticia: 108 personas fallecen en accidentes de tráfico en el pasado puente de mayo: El pasado puente del primero de mayo fallecieron 91 personas en accidentes de turismos y 17 en accidentes de moto. La Dirección General de Tráfico ha informado de que la mitad de los fallecidos en turismos no llevaba el cinturón puesto. Uno de cada tres fallecidos en moto no llevaba casco. En cuanto la edad de los fallecidos, la mitad tenía menos de 35 años, y de estos, uno de cada cuatro era menor de 25 años. La distracción por el uso del teléfono móvil parece ser la causa principal en dos de cada cinco accidentes, la infracción de las normas de tráfico en uno de cada tres y el exceso de velocidad en tres de cada diez. Con estos datos completa la siguiente tabla: Causa del accidente

Nº de fallecidos

Medidas de seguridad No llevaba cinturón No utilizaba casco Cumplía las medidas de seguridad Edades Mayores de 35 años Menores de 35 años Menores de 25 años Causa principal del accidente Uso del móvil Infracciones de las normas Exceso de velocidad Otras circunstancias 24. CILINDROS Si se enrolla una hoja de papel en los dos sentidos posibles, se obtienen dos cilindros distintos. ¿Tienen esos cilindros el mismo volumen?

25. BUSCANDO UNA LEY ¿Cuál es la diferencia entre dos números cuadrados consecutivos? Busca una ley general.

26. CUADRADO MÁGICO Completa el siguiente cuadrado mágico con las cifras del 1 al 9, sin repetir ninguna, de tal manera que si sumamos las casillas en horizontal, vertical o en diagonal obtengamos de resultado 15. 8 5

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 249

27. LIMONES Un agricultor envía a uno de sus hijos al mercado para vender 120 limones a 10 cént. cada 5 limones. El joven fue al mercado y vendió los 5 primeros limones, pero en vez de guardar el dinero se lo gastó en caramelos. Como sabía que su padre le regañaría por haberse gastado el dinero, se puso a pensar cómo podría vender los limones restantes para sacar todo el dinero que tenía que ganar con la venta. ¿Podrías ayudarle?

28. EUSKAL-EXPRESS Iraide ha pasado las vacaciones de verano en casa de sus tíos. A la vuelta se le han olvidado todos los cuadernillos de verano y su prima Ana le ha dicho que se los va a enviar por mensajero. Iraide ha encontrado en casa una factura de una empresa de mensajería que había utilizado en otra ocasión. Ana ha pesado el paquete con los cuadernillos: 3,2 kg, y ha medido en un mapa la distancia que hay hasta la ciudad de Iraide: 126 km.

Euskal-Express CIF G-8528631 TFNO: 555 245 355 www.euskalexpress.com Servicio: Transporte: 250 g a 25 km 7 % de IVA Total

a) Cuánto pagará Ana si envía el paquete con Euskal-Express? 2,00 €

18,75 € 1,45 €

b) ¿Y si lo hace utilizando el servicio urgente?

22,20 €

Por un servicio urgente habrá un incremento del 30 % al total.

29. CON LOS NÚMEROS DEL 1 AL 9 Encuentra tres números de 3 cifras cada uno, de forma que el segundo sea el doble que el primero, y el tercero sea el triple. Sólo puedes utilizar las cifras del 1 al 9 sin que se repita ninguna y debes utilizarlas todas.

30. ¿DÓNDE ESTÁ EL EURO? Tres amigos están en una cafetería y toman los tres lo mismo. Cuando le piden la cuenta al camarero, éste les dice que son 25 euros. Cada uno pone 10 euros y le entregan al camarero 30 euros. Cuando el camarero vuelve con el cambio, como sobraban 5 euros, les reparte uno a cada uno y se queda con los dos que sobran de propina. Haciendo cuentas, uno de los amigos dice: como nos han devuelto 1 euro a cada uno y habíamos puesto 10 euros, es como si sólo hubiésemos puesto 9 euros; es decir, entre los tres hemos puesto 27 euros, más los dos que se ha quedado el camarero, son 29 euros. ¿Dónde está el euro que falta?

250 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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31. ¿DÓNDE ESTÁ EL FALLO? Observa el siguiente razonamiento: Cogemos dos números iguales: Multiplicamos la igualdad anterior por a : Restamos:

a =b a 2 = ab a 2 −b 2 = ab −b 2

Deshacemos la igualdad notable de la izq uierda: (a + b )(a − b ) = ab −b 2 Sacamos factor común a la derecha: (a + b )(a − b ) = b (a − b ) Dividimos los dos miembros por: (a +b ) = b Como a = b: a +a = a → 2a =a → 2 = 1

¿2 = 1? ¿Dónde está el fallo? 32. RESUELVE RESUELVE EL CRUCIGRAMA

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Polinomio cuyos términos están escritos en orden creciente de sus grados. Determina qué representa el número 2 en el polinomio P(x) = 3x2 + 8x - 1. Lo son los monomios con la misma parte literal. Polinomios con dos términos. Monomio de grado cero de un polinomio (dos palabras). ¿Qué nombre reciben los números 3, 8 y - 1 del polinomio P del apartado 2? Polinomio al que no le falta ningún término.

33. PUNTOS PUNTOS POR GASOLINA El dueño de una gasolinera quiere premiar a sus mejores clientes dándoles puntos por repostar durante un mes. La oferta es la siguiente: por la primera vez que reposten les dará 1 punto por cada 100 €; por la segunda, dos puntos por cada 100 €; por la tercera, 3 puntos por cada 100 €, y así sucesivamente. Estos puntos se van acumulando y los pueden luego canjear bien por un menú en la cafetería (100 puntos), o bien por un fin de semana en un agroturismo (1000 puntos). a) Si el dueño de un camión reposta 350 € a la semana, ¿podrá obtener un menú gratis? ¿Y el fin de semana? b) Si uno de los clientes ha conseguido el fin de semana sin problemas y reposta semanalmente, ¿cuántos litros de gasolina tendrá que echar semanalmente si el litro está a un euro?

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 251

34. PORCENTAJES PORCENTAJES Si a una cierta cantidad la disminuimos en un 10 %, ¿qué porcentaje debemos incrementarla para obtener la misma cantidad?

35. LUZ ROJA Una lámina de cristal absorbe el 20 % de la luz roja que le llega, es decir, deja pasar el 80 %. ¿Cuántas láminas hacen falta como mínimo, una encima de otra, para que pase como máximo la mitad de la luz roja que le llegue?

36. AGUA Y VINAGRE Si vaciamos estos dos recipientes en una jarra, ¿cuál es la proporción de agua y de vinagre en la jarra? MEZCLA 2 partes de agua 1 parte de vinagre

MEZCLA 3 partes de agua 1 parte de vinagre

37. ANTENA Una compañía de telefonía móvil quiere colocar una antena en la cima de una montaña para asegurar la cobertura en cuatro localidades de la zona. Las medidas que han podido tomar son las siguientes: Se sabe, por otras antenas que se han colocado, que la señal es aceptable hasta una distancia no superior a 90 km de la antena. ¿Será aceptable la señal en las localidades C y D?

38. LA LOTERÍA Hay lugares dónde la Lotería toca muy a menudo. ¿Tiene sentido comprar Lotería en los sitios dónde más se vende por que así tengo más probabilidad de que me toque? Razona tu respuesta.

252 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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39. LA MÁQUINA DE GALT GALT ON ¿Por qué casillas apostarías? Explica tu razonamiento.

40. LA NOTA NOTA MEDIA La profesora de Matemáticas nos ha dado las notas de nuestro último trabajo. Éstas han sido: 5, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 10. Joseba y Nagore hoy no han venido a clase, pero les hemos dicho que la nota media de los trabajos era 7 y que coincide con la mediana, y que el rango de las notas ha sido 8. A Josefa le había salido muy bien el trabajo. ¿Crees que con esos datos pueden saber qué nota han sacado cada uno?

41. NOTAS NOTAS DE LOS ALUMNOS El Departamento de Educación está estudiando el rendimiento de los alumnos en la asignatura de Matemáticas durante el curso pasado y ha presentado las siguientes gráficas que resumen los datos estudiados.

Sabiendo que 28 413 alumnos han obtenido la calificación de SUFICIENTE, ¿cuántos alumnos han sido evaluados? ¿Cuántos han obtenido la calificación de SOBRESALIENTE?

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 253

42. LA ZONA COLOREADA ¿Qué fracción del cuadrado está coloreada?

43. EL OSO POLAR Un oso polar se desplaza a buscar comida 20 km al sur, después anda 10 km al este y por último recorre 20 km al norte. Entonces se da cuenta de que ha llegado al mismo lugar de donde salió. ¿De dónde salió el oso?

44. AUDIENCIAS Dos cadenas de televisión han presentado los resultados de sus índices de audiencia en los últimos cuatro meses. Las dos afirman que sus cadenas han experimentado un aumento en su audiencia.

a) ¿Cuántos espectadores ganó cada cadena?

b) ¿Qué representación refleja mejor la situación?

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