Capítulo 2

PENDIENTE—MEDIDA DE LA INCLINACIÓN

2.1.2 – 2.1.4

Los alumnos utilizaron la ecuación y = mx + b para graficar rectas y describir patrones en los cursos anteriores. La Lección 2.1.1 es un repaso. Cuando la ecuación de una recta se escribe en la forma y = mx + b , el coeficiente m representa la pendiente de la recta. La pendiente representa la dirección de la recta y su inclinación. La constante b es el punto de corte con el eje y, que se escribe (0, b), e indica dónde se cruza la recta con el eje y. Para más información sobre pendiente, consulta la recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 2.1.4.

Ejemplo 1 Si m es positivo, la recta sube de izquierda a derecha. Si m es negativo, la recta baja de izquierda a derecha. Si m = 0 entonces la recta es horizontal. El valor de b indica el punto de corte con el eje y. y=

1 2

x −1

y = − 12 x − 1

y = 0x + 3 o y = 3

y

y

y

x

x

x

Ejemplo 2 Cuando m = 1, como en y = x (o y = 1x + 0), la recta sube una unidad cada vez que adelanta una unidad a la derecha. Las rectas con mayor inclinación tienen un valor de m mayor, es decir, m > 1 o m < –1. Las rectas más planas tienen un valor de m entre –1 y 1, generalmente en forma de fracción. Los tres ejemplos a continuación tienen b = 2 (un punto de corte con el eje y de 2). y= x+2

y = −3x + 2 (más inclinada y en dirección descendiente)

y

8

y

y

x

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y = 13 x + 2 (menos inclinada)

x

x

CC en español, Matemática Integrada I

Ejemplo 3 y

Si se dibuja una recta en un conjunto de ejes, se puede dibujar un triángulo de pendiente entre dos puntos convenientes (normalmente donde se cruzan las rectas de la grilla), como se muestra en el gráfico de la derecha. Cuenta la distancia vertical (llamada Δy) y la distancia horizontal (llamada Δx) en los lados punteados del triángulo de pendiente. Escribe las distancias en Δy una razón: pendiente = m = Δx = 23 . El símbolo Δ significa cambios. El orden en la fracción es importante: el numerador (parte superior de la fracción) debe ser la distancia vertical y el denominador (parte inferior de la fracción) debe ser la distancia horizontal. La pendiente de una recta es constante; por lo tanto, la razón de la pendiente es la misma para dos puntos cualesquiera de una recta.

Δy = 2 Δx = 3 x

y y = 2x + 1 y = 2x – 3

Las rectas paralelas tienen la misma inclinación y dirección, por tanto tienen la misma pendiente, como se observa en el gráfico de la derecha.

x

Si Δy = 0, entonces la recta es horizontal y tiene una pendiente de cero, es decir, m = 0. Si Δx = 0, entonces la recta es vertical y su pendiente es indefinida; por tanto, decimos que no tiene pendiente.

Ejemplo 4

Δx = 40 y

Cuando las distancias verticales y horizontales no son fáciles de A determinar, puedes hallar la pendiente dibujando un triángulo de pendiente genérico y utilizándolo para hallar las longitudes de los segmentos vertical Δy y horizontal (Δx). La figura de la derecha muestra cómo hallar la pendiente de una recta que pasa por los puntos (–21, 9) y (19, –15). Primero grafica los puntos sobre ejes sin escala haciendo una aproximación de su ubicación, y luego dibuja un triángulo de pendiente. Luego, halla la distancia del lado vertical sabiendo que son 9 unidades desde el punto B hasta el eje x y luego 15 unidades desde el eje x hasta el punto C, entonces Δy es 24. Luego, halla la distancia desde el punto A hasta el eje y (21) y la distancia desde el eje y hasta el punto B (19). Δx es 40. Esta pendiente es negativa porque la recta baja de izquierda a derecha, entonces la pendiente es m =

Δy Δx

B x Δy = 24

C

y

3 = − 24 40 = − 5 .

Ejemplo 5 La ecuación de una recta vertical x = un número. Por ejemplo, el gráfico de la derecha muestra la recta x = 3. Todos los puntos de la recta tienen x-coordenada de 3. Δy

x

cualquier número

La pendiente de la recta es m = Δx = y como no 0 es posible dividir por cero, la pendiente es indefinida. Guía para padres con práctica adicional

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9

Capítulo 2

Problemas ¿La pendiente de cada recta es negativa, positiva, o cero? 1.

2.

3.

Identifica la pendiente en cada ecuación. Indica si el gráfico de la recta es más inclinado o más plano que y = x o y = −x , si sube o baja de izquierda a derecha, o si es horizontal o vertical. 4.

y = 3x + 2

5.

y = − 12 x + 4

6.

y = 13 x − 4

7.

4x − 3 = y

8.

y = −2 + 12 x

9.

3 + 2y = 8x

12.

6x + 3y = 8

10.

y=2

11.

x=5

Sin graficar, encuentra la pendiente de cada recta basándote en la información dada. 13.

Δy = 27 y Δx = –8

14.

Δx = 15 y Δy = 3

15.

Δy = 7 y Δx = 0

16.

horizontal Δ = 6 vertical Δ = 0

17.

entre (5, 28) y (64, 12)

18.

entre (–3, 2) y (5, –7)

Respuestas 1.

cero

2. negativo

3. positivo

4.

pendiente = 3, más inclinada, arriba

5. pendiente = – 12 , más plana, abajo

6. pendiente = 13 , más plana, arriba

7.

pendiente = 4, más inclinada, arriba

8. pendiente = 12 , más plana, arriba

9. pendiente = 4, , más inclinada, arriba 12. pendiente = –2, , más inclinada, abajo

10.

pendiente = 0, horizontal

11. pendiente indefinida, vertical

13.

− 27 8

14.

3 15

16.

0

17.

− 16 59

10

=

1 5

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15. indefinida 18.

− 98

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ANÁLISIS DIMENSIONAL

2.2.4

El análisis dimensional (o análisis unitario) implica utilizar las reglas de la multiplicación y simplificación de fracciones para resolver problemas expresados en distintas unidades. Las ecuaciones para la conversión de unidades se escriben como fracciones (equivalentes a multiplicar por “uno”) de modo tal de eliminar las unidades no deseadas durante la simplificación y conservar las unidades deseadas. Para mayor información acerca de factores de conversión, prefijos métricos y abreviaturas comunes, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 2.2.4. Para mayor información acerca del análisis dimensional, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 2.3.1.

Ejemplo 1 Un acceso vehicular tiene 15 43 pies de largo. ¿Cuál es su largo en pulgadas? Utiliza: 12 pulgadas = 1 pie Queremos que se cancelen las unidades “pie”; es decir, queremos la siguiente fracción:

15 34 pies =

63 pies 12 pulgadas ⋅ 1 pie 4

=

63⋅1 pies 2pulgadas 4⋅1 pie

=

756 pulgadas 4

12 pulgadas 1 pie

.

= 189 pulgadas

Ejemplo 2 Una página de Internet anuncia que el nuevo Neptune Stratus consume en promedio 15 kilómetros por litro de combustible. ¿Cuál es el equivalente en millas por galón? Uso: 1 galón = 3.79 litros 1 milla = 1.61 kilómetros Queremos que se cancelen las unidades en “kilómetros” y en “litros”. Utiliza las siguientes 1 milla litros . fracciones: y 3.79 1 galón 1.61 kilómetros

15 kilómetros litro

litros = 15 kilometro s ⋅ 3.79 ⋅ 1 galón litro

1 milla 1.61 kilómetros

⋅ millas = 151⋅3.791millas = 35.3 galón⋅1.61 galón

Ejemplo 3 Un contenedor es suficientemente fuerte para no romperse con un peso de 40 libras por pulgada cuadrada

(

40 libras (plg)2

). ¿Cuál es el equivalente en gramos por centímetro cuadrado (

gramos (cm)2

)?

Use: 1 kilogramo = 1000 gramos = 2.2 libras 1 pulgada = 2.54 centímetros Queremos que se cancelen las unidades de “libras” y “pulgadas”. Utiliza las fracciones: 1000 gramos 1 pulgada y 2.54 . Observa que para cancelar las (plg)2 necesitamos multiplicar dos 2.2 libras centímetro veces por la fracción. 40 libras (plg)2

=

1 plg 40 libras 1000 gramos 1 plg ⋅ ⋅ 2.54 cm ⋅ 2.54 cm (plg)(plg) 2.2 libras

Guía para padres con práctica adicional

=

401000 ⋅ gramos⋅11 ⋅ 2.2⋅2.54 cm⋅2.54 cm

≈ 2800

gramos (cm)2

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11

Capítulo 2

Utiliza el análisis unitario y las siguientes ecuaciones de conversión para resolver los siguientes problemas. 1 hora = 60 minutos 1 año = 365 días 1 mililitro = 20 gotas 1 galón = 3.79 litros 1 galón = 4 cuartos 1 yarda = 3 pies

1 semana = 7 días 1 litro = 1000 mililitros 1 kilómetro = 0.625 millas 1 pulgada = 2.54 centímetros 1 metro = 100 centímetros

1 día = 24 horas 1 litro = 1000 centímetros 1 milla = 5280 pies 1 galón = 128 onzas líquidas 1 pie = 12 pulgadas

Problemas 1.

¿A cuántas millas equivale una carrera de 10 kilómetros?

2.

¿Cuántas horas hay en un año?

3.

La distancia a la luna es de aproximadamente 250,000 millas. ¿A cuántos pies equivale?

4.

¿A cuántos pies por segundo avanza un auto que avanza a 50 millas por hora?

5.

¿A cuántos galones equivalen doscientas onzas fluidas?

6.

¿A cuántos metros equivalen quinientos pies?

7.

Si un azulejo cuesta $8.50 por pies cuadrados, ¿cuánto cuesta por pulgada cuadrada?

8.

Si una alfombra se vende a un precio de $20 por yarda cuadrada, ¿cuál es el costo por pie cuadrado?

9.

Una soda tiene 355 mililitros. ¿A cuántas gotas equivale? ¿A cuántos galones equivale?

10.

Un gusano avanzaba 8 pulgadas en 5 segundos. ¿Cuántas millas por hora representa?

11.

Un experimento de química requiere 2 gotas de ácido cada 100 mililitros de solución. ¿Cuánto ácido debe utilizarse para un galón de solución?

12.

Si compro $30 de gasolina a $2.75 por galón y mi auto llega a 34.2 millas por galón, ¿cuánto podré recorrer con mis $30?

13.

Una piscina contiene 10,000 galones de agua. ¿Cuántos metros cúbicos es esto?

14.

El karting de John dio 10 vueltas en una pista de 1320 pies en 12 minutos. ¿A qué velocidad iba en kilómetros por hora?

15.

En octubre de 2007, un euro valía $1.42. El precio de la gasolina en Suiza era 0.85 euros por litro. ¿Cuál era el costo en dólares por galón?

12

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CC en español, Matemática Integrada I

Respuestas 1.

6.25 millas

2.

8760 horas

3.

1,320,000,000 pies

4.

≈ 73.3 segundo

5.

1.5625 galones

6.

≈ 152.4 metros

7.

≈ $0.06 por plg2

8.

$2.22 por pie 2

9.

7100 gotas ≈ 0.09 galones

pies

10.

≈ 0.09

13.

3.79 metros 3

millas hora

11.

75.8 gotas ≈ 4 ml

14.

20

Guía para padres con práctica adicional

kilómetros hora

12.

373 millas

15.

≈ $4.57 por galón

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13

Capítulo 2

CÓMO ESCRIBIR UNA ECUACIÓN A PARTIR DE LA PENDIENTE Y UN PUNTO EN LA RECTA

2.3.1

En trabajos anteriores, los alumnos utilizaron las sustituciones en ecuaciones como y = 2x + 3 para hallar los pares de x e y que hacían que la ecuación fuera verdadera. Los alumnos registraron los pares en una tabla, y luego los utilizaron como coordenadas para graficar una recta. Cada punto (x, y) en la recta hace que la ecuación sea verdadera. Luego, los alumnos utilizaron los patrones que vieron en las tablas y gráficos para reconocer y escribir ecuaciones en la forma de y = mx + b . La “b” representa el punto de corte con el eje y de la recta, la “m” representa la pendiente, mientras que x e y representan las coordenadas de cualquier punto en la recta. Cada recta tiene un valor único para m y un valor único para b, pero existen infinitos valores (x, y) para cada ecuación lineal. La pendiente de la recta es la misma entre dos puntos cualesquiera de la recta. Podemos utilizar esta información para escribir ecuaciones sin crear tablas o gráficos. Para obtener información adicional, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas en las Lecciones 2.2.2 y 2.2.3.

Ejemplo 1 ¿Cuál es la ecuación de una recta con una pendiente de 2 que pasa por el punto (10, 17)? Escribe la ecuación general de una recta.

y = mx + b

Sustituye los valores que conocemos: m, x, e y.

17 = 2(10) + b 17 = 20 + b −3 = b

Halla b.

y = 2x − 3

Escribe la ecuación completa usando los valores m = 2 y b = –3.

Problemas Escribe la ecuación de una recta con la pendiente dada que pasa por el punto indicado. 1.

pendiente = 5, (3, 13)

4.

pendiente =

14

3 2

, (6, 8)

2.

pendiente = − 53 , (3, –1)

3.

pendiente = –4, (–2, 9)

5.

pendiente = 3, (–7, –23)

6.

pendiente = 2, ( 52 , –2)

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Respuestas 1.

y = 5x − 2

2.

y = − 53 x + 4

3.

y = −4x + 1

4.

y=

5.

y = 3x − 2

6.

y = 2x − 7

3 2

x −1

Guía para padres con práctica adicional

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15

Capítulo 2

CÓMO ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE UNA RECTA A PARTIR DE DOS PUNTOS

2.3.2

Ahora los alumnos tienen todas las herramientas que necesitan para hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. Recuerda que la ecuación de una recta requiere una pendiente y un punto de corte con el eje y en y = mx + b . Los alumnos pueden escribir la ecuación de una recta que pasa por dos puntos creando un triángulo de Δy pendiente y calculando Δx tal como se explica en las Lecciones 2.1.2 a 2.1.4. Para obtener más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2.3.2. Si quieres ejercicios adicionales y más práctica, consulta el material del Punto de comprobación 5.

Ejemplo 1 Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 9) y (–2, –3).

(1, 9)

Posiciona los dos puntos aproximadamente donde corresponden sobre los ejes de coordenadas, no es necesario que seas preciso. Dibuja un triángulo de pendiente genérico. Calcula la pendiente = dos puntos.

Δy Δx

= 12 = 4 utilizando los valores dados de los 3

12 (–2, –3)

3

Escribe la ecuación general de una recta. Sustituye m y cualquiera de los puntos en la ecuación. Por ejemplo, usa (x, y) = (1, 9) y m = 4. Resuelve b. 5=b

Escribe la ecuación completa. y = 4x + 5

Ejemplo 2 Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (8, 3) y (4, 6).

(4, 6)

4 3

Dibuja un triángulo de pendiente genérico ubicado aproximadamente en los ejes de coordenadas. Aproxima las ubicaciones de los puntos dados.

(8, 3)

Δy

Calcula m = Δx = − 43 . La pendiente es negativa ya que la recta baja de izquierda a derecha. Sustituye m y cualquiera de los puntos, por ejemplo (8, 3), en la ecuación general de una recta. Resuelve b. 9=b 16

Escribe la ecuación completa. y = − 43 x + 9

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Problemas Escribe la ecuación de la recta que contiene cada par de puntos. 1.

(1, 1) y (0, 4)

2.

(5, 4) y (1, 1)

3.

(1, 3) y (–5, –15)

4.

(–2, 3) y (3, 5)

5.

(2, –1) y (3, –3)

6.

(4, 5) y (–2, –4)

7.

(1, –4) y (–2, 5)

8.

(–3, –2) y (5, –2)

9.

(–4, 1) y (5, –2)

3.

y = 3x

Respuestas 1.

y = −3x + 4

2.

y=

4.

y = 25 x + 3 45

5.

y = −2x + 3

6.

y=

7.

y = −3x − 1

8.

y = −2

9.

y = − 13 x − 13

Guía para padres con práctica adicional

3 4

x+

1 4

3 2

x −1

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