Pitágoras y el Pitagorismo (Didáctica Pitagórica) Carlos Luque Arias Reinaldo Núñez Jesús Hernando Pérez

CONTENIDO Presentación Libro I I1) Introducción I2) El método pitagórico Libro II Uso de algunas técnicas pitagóricas en la enseñanza. (Didáctica pitagórica) II1) El cuadrado o su lado como “cálculo”, es decir, como “uno” o “unidad” o “alfa” II2) El triángulo rectángulo isósceles como α (o demi – alfa) II3) Otros polígonos regulares tomados como alfas II4) Perímetros II5) Poliminós Libro III III1) Vigencia del pitagorismo III2) Triplas pitagóricas. III3) Conmesurabilidad. III4) El teorema de Pitágoras III5) Pitágoras y la música Notas Bibliografía básica

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PROLOGO Los “grafitos”, “dichos”, "proverbios", “consignas”, y otras modalidades populares de transmisión de información y de conocimiento en forma rápida y comprimida resultan simultáneamente muy útiles y peligrosas. “Estudiar a los clásicos”, “aprender de los clásicos” o "aprender con los clásicos", son expresiones que resumen una gran sabiduría pero, al mismo tiempo esconden una gran fuerza negativa que puede llegar a inmovilizar el entendimiento. Por ejemplo, ¿qué significa aprender de Pitágoras? El grafito “todo es número”, tan característico de la obra pitagórica, puede leerse de varias maneras; una muy popular es la numerológica o místico - numérica como se ilustra muy bien con aquellas creencias que asocian propiedades benignas o malignas a los números. ¿Quién no le tiene miedo al número trece?. Muchos edificios hacen “desaparecer” el piso treceavo, algunas empresas aéreas evitan la silla #13 en sus aviones, otras personas recomiendan no adelantar actividades importantes en los martes trece y así sucesivamente. Un buen número de personas, incluso grandes maestros o “clásicos” de las ciencias, mitifican el número tres: “tesis, antítesis y síntesis” es el grafito favorito de uno de los más grandes filósofos de todos los tiempos; tres era el número favorito de Charles Saunders Peirce, etc. La numerología no es en sí misma ni buena ni mala, es una manera de entender el pitagorismo patrocinada por el propio Pitágoras; sin embargo, hay otras formas de entender las doctrinas de este formidable creador de “teorías” y de “métodos”. El propósito central de esta primera propuesta didáctica es el de ofrecer una forma “académica” de entender el pensamiento originado en el trabajo de Pitágoras y de sus seguidores. Las diferentes interpretaciones míticas o dogmáticas, aunque tienen mucha importancia, especialmente porque contribuyen a manejar nuestras penas o angustias, no se someten a la crítica sistemática; las interpretaciones académicas, por el contrario, están expuestas al escarnio público, especialmente de los “pares” o colegas, destino que transitará el presente trabajo. El escrito está dividido en tres partes las cuales hemos llamado “libros” en lugar de “capítulos” rindiendo, en esta forma, homenaje de gratitud y respeto a los creadores de teorías matemáticas y de métodos para la educación matemática de la Grecia clásica, quienes organizaban sus escritos en libros. En la primera parte se comprime la biografía de Pitágoras y se hace un resumen de sus principales propuestas “académicas”, mientras que en la segunda se proponen algunos talleres que pueden desarrollarse con diferentes grupos de personas y estudiantes, y en los cuales se utilizan teorías o técnicas de naturaleza pitagórica y se formulan otros posibles desarrollos. En la tercera parte (libro III), se presenta una panorámica de las grandes influencias del pitagorismo en la época actual; esta parte es complementaria y de lectura opcional. Algunos de los contenidos que aparecen en este escrito no fueron conocidos por los pitagóricos, pero el tratamiento de los mismos utiliza técnicas construidas o sugeridas por el propio Pitágoras o, en todo caso, por sus discípulos o seguidores. Dejamos a la iniciativa del lector la decisión de escoger los grupos de personas con los cuales es posible desarrollar las actividades que aquí se proponen o las que el lector organice inspirándose en el “estilo pitagórico”. El coordinador del grupo MUSA. E1 ha trabajado con mucho éxito, la propuesta de este escrito, con varios grupos de niños y niñas de edades comprendidas entre los diez y los doce años.

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El asunto fundamental es uno solo: desarrollar y fortalecer la creatividad matemática a nivel elemental. Creemos firmemente en la posibilidad de incentivar la creatividad matemática, desde muy temprana edad, organizando actividades en las cuales sea posible replicar las características básicas del trabajo de los matemáticos: formulación y contrastación de hipótesis, construcción de conceptos, modelos y teorías matemáticas, formulación y resolución de problemas, introducción y manejo de símbolos, construcción de argumentos y demostraciones, etc. Todo lo anterior, por supuesto, a nivel elemental y de manera gradual. Esta primera propuesta es un ejemplo concreto de lo que significa académicamente “aprender con los clásicos”. Invitamos a nuestros lectores a aprender con Pitágoras y con el pitagorismo.

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LIBRO I I 1) Introducción "Como la suma de 216 resulta del cubo de seis, el tiempo del nacimiento de siete meses, añadiendo a los siete meses seis días, durante los cuales la esperma crece y germina, Andrócides, el escritor pitagórico autor de la obra SOBRE LOS SÍMBOLOS, Eubúlides el pitagórico, Aristoxeno e Hippoboto y Neantes dijeron que Pitágoras reencarnaba cada 216 años." (Jámblico [GP] pag. 37). Como muchas de las biografías de los grandes creadores y educadores, la de Pitágoras y sus seguidores se difunde en multitud de leyendas, dando origen a un buen número de imaginarios. Los testimonios sobre Pitágoras y los pitagóricos de estudiosos o de investigadores se pueden dividir en cuatro grandes grupos: 1. Los anteriores a Aristóteles. Entre ellos los más importantes son los siguientes: Empédocles, Heráclito, Ion, Jenófanes, Heródoto, Isócrates y Platón. 2. Los del período helenístico. Pirrón, Espeusipo, Aristoxeno, Aristóteles, Heráclides Pórtico, Calímaco, Hermipo, Dicearco, Timeo, Filolao, Arquitas, Alejandro Polistor, Antonio Diógenes, Hierocles. 3. Período romano. Nigidio, Figelo, Ovidio, Nicómaco, Apolonio, Porfirio, Jámblico, Diógenes Laercio. 4. Clásicos modernos y contemporáneros. T.L. Heath, I. Levy, R.S. Brumbaugh, M. Cerchez, L.E. Navia, E.S. Stamantis, B.L. Van der Waerden, C.J. de Voegel, H. Wussing, L.Y. Zhmud, D.J. O’Meara, P. Gorman, F. Vera, K.S. Guthrie, C. Kahn, P. Caniff, C. Bamford, K. Raine, T. Szlesak, H. Thesleff, W. Burkert, J.E. Raven, K. Von Fritz, K. Critchlow, R. Lawlor, A. Macauley, A. Zajoric,, M. de Guzmán, y muchos otros estudiosos que han colocado información valiosa en libros, artículos y en el ciberespacio. Un colombiano, el profesor Francisco Lleras, elaboró varios informes sobre Pitágoras y su obra, ganando mérito suficiente para figurar en la base de datos de Yahoo.com. En medio de tan variados testimonios, muchos de los cuales son repetición de informes anteriores, es posible listar, de todos modos, los sucesos más importantes de la vida de Pitágoras. Nació en Samos (Asia Menor), aproximadamente en el año 560 antes de nuestra era. Sus padres, Mnemarco y Pites descendientes de Anteo uno de los fundadores de la ciudad, fueron muy cercanos al rey Polícrates el cual contribuyó a convertir a Samos en una ciudad próspera y en un importante centro comercial. Mnemarco mismo fue un comerciante destacado, con recursos suficientes como para responder holgadamente por la educación de sus hijos: Eumosto, Tirreno, Pitágoras y Zalmoxis. Su capacidad económica le permitió también adoptar a la figura mítica Astreo; sin embargo, esto último forma parte de las muy numerosas leyendas e imaginarios sobre Pitágoras.

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Mnemarco pagó a Hermodamas para que se encargara, no se sabe durante cuanto tiempo, de la educación de sus hijos. Pitágoras hizo un primer viaje a Tiro financiado, por supuesto, por su padre, donde inicio su contacto con los grandes sabios sirios y caldeos y se inició en el conocimiento de las grandes tradiciones intelectuales de su época. Como se puede ver, la gran sabiduría adquirida por Pitágoras no apareció de la noche a la mañana, fue el resultado de un largo proceso de entrenamiento y de aprendizaje al lado de sabios tan importantes como Anaxímenes, Anaximandro, el propio Tales de Mileto, y varios de los sacerdotes del Asia Menor y de Egipto. Uno de los mentores y maestros más importantes de Pitágoras fue Ferécides de Siro. Este mitógrafo (creador de mitos) y teogonista (formuló una historia de los dioses basada en tres divinidades primordiales: Zas, Cronos y Ctonia), trasmitió a Pitágoras varias de las creencias básicas del pitagorismo, entre ellas la de la re - encarnación y el mito de las cuevas. Ferécides ayudó a que Pitágoras adoptara la firme convicción de viajar a Egipto para continuar el proceso de formación y de purificación. Una leyenda muy importante señala que Ferécides murió de Ptiriasis (invadido por los piojos), bajo el cuidado muy esmerado de Pitágoras. A los 22 años Pitágoras viaja a Egipto, visitando primero Naucratis y luego Heliópolis y Menfis. Visitó también Dióspolis, donde aprendió muchas cosas, entre ellas el tabú de las habas. Conoció a fondo la lengua egipcia y aprendió a manejar los jeroglíficos. De los sacerdotes egipcios aprendió muchos rituales de purificación y toda la matemática desarrollada por la cultura egipcia. Pitágoras permaneció en Egipto, haciendo lo que en términos modernos llamaríamos estudios post – doctorales, durante 10 años. Otra interesante leyenda cuenta que Pitágoras fue expulsado de Egipto por los propios sacerdotes quienes no fueron capaces de tolerar la creciente sabiduría y originalidad de su aventajado estudiante. Sea cual fuere la razón de su salida de Egipto Pitágoras se dirigió a Babilonia donde permaneció otro tiempo al lado del legendario maestro Záratas. Su regreso a Samos ocurrió en el año 529 a.e. Allí fundó una especie de institución educativa, muy parecida a un seminario moderno, la cual apodaron semicírculo pues varias de sus reuniones las hacían en el teatro de la ciudad, el cual tenía forma de semicírculo. Recibió estudiantes de toda Grecia y él mismo visitó varias ciudades difundiendo su doctrina y consiguiendo nuevos discípulos, pero también numerosos enemigos. En el año 518 a.e. visitó a León de Flio. Por esta época Pitágoras ya estaba muy convencido de su misión, y decidió visitar algunos reyes esperando convencerlos de apoyar su labor educadora. Esta visita a León de Flio es legendaria y fue descrita por Cicerón en los siguientes términos ([GP] pag. 95): “Inspirados por ellos (es decir, los siete sabios), todos los hombres que sucesivamente dedicaron su estudio a la contemplación del universo fueron considerados como sabios y llamados de esa forma. Este nombre les duró hasta el tiempo de Pitágoras. Se dice, con la autoridad de Heráclides Póntico, discípulo de Platón, que Pitágoras vino a Flio y tuvo una larga y sabia conversación con León, gobernante de Flio. León admitió el genio y la elocuencia del hombre y le preguntó en qué arte era más hábil. Pitágoras respondió que no conocía ningún arte, sino que era filósofo. León quedó sorprendido con este nuevo nombre y preguntó quiénes eran los filósofos y qué diferencia había entre ellos y el resto de la humanidad. Pitágoras respondió que creía que la vida del hombre era como una feria considerada la mayor ostentación de competiciones

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atléticas y frecuentadas por todo el mundo griego. Algunos van para conseguir gloria y la nobleza de la victoria con el ejercicio atlético de sus cuerpos; otros van a comprar y vender con la esperanza de conseguir provecho y beneficio; pero hay cierta clase de personas, las mas nobles, que no buscan aplauso ni beneficio, sino que van solamente para observar y ver intensamente qué ocurre y cómo. Igualmente estamos presentes aquí como si se tratara de una gran feria, venimos de una ciudad, cambiamos por tanto de una vida y forma a otra, algunos vienen para estar al servicio de la gloria, otros del dinero, pero existen unos pocos elegidos que estudian el universo, y que consideran que ninguna otra cosa tiene importancia. Esta personas se llaman así mismas amantes de la sabiduría, en otras palabras, filósofos”. Como todos los testimonios, esta historia de Cicerón también ha sido cuestionada; sin embargo, dos hechos claves en el relato han sido aceptados como ciertos: la referencia a la re–encarnación, y la introducción del término “filosofía” que todo el mundo atribuye a Pitágoras. La visita a León de Flio la hizo Pitágoras huyendo de Samos, lugar en el cual sus enemigos le hicieron la vida imposible. En ese mismo año, 518 a.e. Pitágoras llegó a Crotona, donde fundó una sociedad comunitaria. La permanencia de Pitágoras en Crotona y su actividad en la sociedad que fundó está envuelta también en todo tipo de leyendas; Jámblico, inspirado en Nicómaco, describe algunos hechos básicos así: “La ilustre ciudad de Crotona fue el primer lugar en que Pitágoras atrajo a muchos discípulos mediante exhortaciones, de modo que la historia nos informa que se ganó más de seiscientas personas. Estas no estaban precisamente entusiasmadas con la filosofía que impartía, sino que eran lo que se llama miembros comunitarios que hacían vida en común según sus instrucciones. Estos seiscientos eran filósofos, pero había muchos oyentes, los llamados “acusmáticos”, a los cuales convirtió en sus seguidores en una sola lección que, como dicen las fuentes, era pública, la primera que impartió nada más llegar a Italia. Con sus discursos atrajo a más de dos mil y se interesaron hasta tal extremo que no regresaron a sus casas, sino que junto con sus mujeres e hijos crearon la escuela pitagórica de grandes proporciones y fundaron la ciudad de la Magna Grecia, como ellos la llamaban. Recibieron leyes de Pitágoras junto con instrucciones que eran como divinos convenios que seguían meticulosamente. Con una sola mente permanecieron con la multitud de los seguidores, honrados y bendecidos por sus vecinos; tenían sus posesiones en común, como hemos dicho anteriormente y consideraban a Pitágoras casi como un dios, como si fuera una especie de dios y filantrópico DAIMON” ([GP] pag. 127). Peter Gorman ([GP] pag. 127) se refiere a esta sociedad en los siguientes términos: “La sociedad, … es de tipo religioso y filosófico, aunque hay en ella tonos políticos claros. Así Jámblico habla de las leyes de la comunidad y de que parecía una ciudad dentro de otra, como si se tratara de miembros separados del resto de los habitantes de Crotona”. Una situación así debió convertirse muy pronto en algo difícil de soportar para los políticos de Crotona quienes, nuevamente, expulsaron a Pitágoras y a sus discípulos. En el año 500 a.e., huyendo hacia el Metaponto, Pitágoras muere dejando tras de sí una vigorosa leyenda, numerosos discípulos y una buena cantidad de conocimiento. La muerte de Pitágoras también está rodeada de construcciones puramente imaginarias; una

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leyenda muy popular nos cuenta que en su huida de Crotona se encontró con un cultivo de habas las cuales, por supuesto, se lo comieron en forma inmediata pues nuestro personaje se desmayó y cayó en medio de estos “repugnantes” productos de la tierra. Pitágoras dejó numerosos discípulos, los más conocidos son Filolao, Arquitas, Menecmo y Timeo. Este último inspiró a Platón en muchas de sus propuestas, una obra de este gran filósofo lleva el nombre de "Timeo". En realidad no es equivocado afirmar que Platón fue el más grande discípulo de Pitágoras.

I2. EL SISTEMA PITAGÓRICO ( LA PRIMERA TEORÍA) “Había entre ellos un hombre que sabía mucho, que poseía en efecto gran riqueza de comprensión y especialmente fue capaz de toda clase de sabios trabajos, ya que cuando hacía uso de toda su inteligencia, veía fácilmente todas y cada una de las cosas que son, en sus diez o quizás veinte vidas” (Empédocles. Purificaciones) Las contribuciones de Pitágoras al desarrollo de la cultura occidental sólo pueden apreciarse entendiéndolas como un gran paso intermedio en el largo camino de construcción de la filosofía, de la ciencia y del mundo académico, y cuyos inicios se remontan a las civilizaciones caldeas, sumerias y egipcias. Pitágoras asimiló toda clase de sabiduría anterior y aprendió a diferenciar las creaciones libres y puramente imaginarias de aquellas cuyos fundamentos residen en los hechos, datos y argumentos; Pitágoras introdujo dentro de su sistema metafísico científico místico, el concepto de teoría. La mística pitagórica está fuertemente sustentada en argumentos simples, pero muy contundentes y coherentes. Así, la existencia del alma humana puede sustentarse en la siguiente forma: el número tiene verdadero ser, no nace, no crece, no se transforma ni muere; no yace ni fluye, los números no son cosas ni imágenes mentales, existen en sí mismos, independientemente de los hombres y de las cosas; pero el hombre, mortal como es, puede concebir el número, incluso puede explicitar muchas de sus propiedades que también son inmutables; de esto se deduce que el hombre debe poseer también una componente inmortal, el alma, que le permite tales realizaciones. Desde Tales, Anaxímenes y Anaximandro, los sabios griegos emprendieron la búsqueda del “verdadero ser” no en construcciones antropomórficas como los dioses, sino en principios inmutables que permanecen en medio de las transformaciones que sufren los seres y las cosas, todas estas volátiles y mortales; el agua, por ejemplo, siempre está allí, lo mismo sucede con el aire, o el fuego, o la tierra. Pitágoras, por su parte, encuentra en el número lo que verdaderamente es, lo único eterno e inmutable; los números son, entonces, lo que da “ser” a las cosas, a los animales, a las plantas: el ser de las cosas reside en los números que ellas deben mostrar y que se pueden explicitar en las relaciones y proporciones que el alma humana puede captar. Las cosas y todos los demás entes tienen ser y por lo tanto alma, y esta se explícita a través de números o de relaciones numéricas. Este argumento, puramente "metafísico", encuentra refuerzo en las relaciones numéricas que los pitagóricos fueron descubriendo en diferentes situaciones como es el caso de la música. Siguiendo el argumento, hay que aceptar la migración de las almas o la re – encarnación. ¿Qué pasa cuando alguien muere, o cuando se destruye un objeto?

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Desaparece el cuerpo o la “materia”, pero no el ser o el alma; esta pasa a otro encierro, a otra “cueva”, a una nueva forma. El alma, aquello que los hombres poseen como parte del ser, inmortal por lo tanto, habita encerrada en un cuerpo que de cualquier manera le queda estrecho, viéndose obligada, por tanto, a buscar un encierro más amplio y, en consecuencia, re – encarna. Pero en esta búsqueda de otro cuerpo se corre el riesgo de retroceder, de caer; por lo tanto, hay que prepararse. El ser esta siempre caído, no puede suceder de otra manera, necesita forma y no encuentra la más adecuada; toma determinaciones diferentes, todas ellas “materiales” y degradables: cosas, plantas, animales, hombres, héroes, estrellas, extraterrestres; e incluso, como lo señaló el propio Pitágoras, teorías habladas o escritas, logos. Filosofar o teorizar, como se lo explicaba a León de Flio, significa entender el movimiento del ser en el universo, su dirección hacia la “armonía”, hacia una integración cada vez más equilibrada entre alma y cuerpo. Cada determinación encajona una porción del ser y este trata de lograr lugares más adecuados para su potencialidad infinita y numérica. El pitagorismo es una metodología para orientar esta evolución. Mal aplicada hace retroceder y caer más hondo; se necesitan rituales iniciáticos severos y dolorosos, parecidos a los que se exigen en las comunidades académicas modernas y contemporáneas. El acople que el alma le pide al cuerpo no puede encontrarse de cualquier manera; se trata de re – encarnar más alto, mas armoniosamente en otro organismo mejor adaptado, o como mínimo, purificando el que se tiene; pero claro, si no se sigue un método, el único posible, se retrocede y se cae; y si no se aplica como se debe, se desciende más bajo, a una cosa. La teoría pitagórica permite entender todas las leyendas. La leyenda de Astreo y Abaris, por ejemplo, encaja perfectamente; estos dos extraterrestres que vinieron a visitar a Pitágoras, el primero desde las estrellas y el segundo enviado por los hiperbóreos desde el planeta anti - tierra, son seres más evolucionados, más armoniosos; era tan armónica la relación cuerpo – alma en estos semidioses, que con sólo mirarlos se alcanzaba la inspiración de un sabio. El tabú de las habas es también bastante comprensible; para re – encarnar más alto, es preciso no solamente abrirse camino, sino además, ir colocando prohibiciones y tapando agujeros que hundan o hagan retroceder. Pitágoras conoció la historia de las habas en Egipto, donde los sacerdotes las habían prohibido porque florecían en el fango que dejaba las inundaciones del Nilo. Eran, por lo tanto, la primera modalidad viva del ser, su manifestación vital inicial y a la cual no se debe regresar, pues es primitiva. Las prohibiciones son la otra cara de las reglas: si debe hacerse algo, claramente debe eludirse lo contrario; si se quiere avanzar en la purificación, no hay que invitar al cuerpo a retroceder, no hay que tentarlo con manjares negativos, ni impuros, no hay que comer habas. El aforismo “todo es número”, acuñado espontáneamente por la tradición pitagórica e inspirado en los aforismos “todo es agua” de Tales de Mileto y “todo es aire” o “todo es apeiron” de otros sabios de Mileto, puede entenderse en la siguiente forma: ante todo, como ya lo señalamos, el número es la prueba de que el ser y las almas existen, y él

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mismo es ser; de otra parte el devenir, es decir, el ser re – encarnándose, muestra numéricamente el verdadero fluir, el que va en la dirección correcta, el que se dirige a la armonía; cualquier otro movimiento es tabú, es retrógrado, conduce al regreso. El número es la ventana para entender el ser, para comprender lo que no yace, ni fluye, ni se degrada; el número, el alma, el ser, son eternos, son una y la misma cosa. El devenir de las cosas y de la naturaleza, movimiento del ser, del número, de las almas para encerrarse en una porción material u otra, lleva siempre dos direcciones: la que muestra armonía y por lo tanto, números o relaciones numéricas, y la que la destruye. Sólo existe una manera de diferenciarlos: el movimiento que se muestra numéricamente lleva la dirección adecuada, hacia la armonía. El ser se muestra numéricamente porque es uno como tal y a la vez dos cuando deviene, se encajona y toma forma, apareciendo siempre como cuerpo y espíritu; de ello se desprende la doble dirección del movimiento: el uno aparece siempre como dos; hay pues oposiciones. ¿Cuántas? Las oposiciones deben ser diez, no es posible que existan más o menos, pues sólo hay cuatro maneras de tomar forma espacial: punto (uno), línea (dos), superficie (tres) y espacio (cuatro); esta es la primera tetraktis (cuaterna), el diez: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Utilizando puntos, cálculos o alfas, esta primera tetraktis se dibuja así: α α α

α

α α α α α α,

lo que nos la muestra como un número triangular. Un diálogo famoso, popularizado por Luciano, remite a este número tan especial: Pitágoras: Pasemos ahora a contar. Agorastes: Sé como hacerlo. Pitágoras: ¿Cómo cuentas? Agorastes: Uno, dos, tres, cuatro. Pitágoras: ¿Ves?, tú piensas haber contado cuatro y son diez; un triángulo perfecto y nuestro juramento. (ver [GBJD] pag. 33) ¿Cuál juramento? Miguel de Guzmán nos ilustra este punto [GMd]: “No, por aquel que ha entregado a nuestras almas la tetraktis, una fuente que contiene las raíces de la naturaleza eterna”.

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Las diez oposiciones eran las siguientes: limitado – ilimitado impar – par homogéneo – heterogéneo derecha – izquierdo masculino – femenino estático – dinámico recto – torcido luz – oscuridad bueno – malo. cuadrado – oblongo. El cosmos es armonioso, continua el relato pitagórico, puesto que es la totalidad del ser; debe, por lo tanto, mostrarse como cuatro y como diez: la bóveda celeste, el fuego primordial, los siete planetas (conocidas en aquella época) y la antitierra (esta última postulada por la teoría pitagórica para “guardar las apariencias”, es decir, para que cuadre con la teoría). El cuatro (tetraktis fundamental) corresponde a los elementos constitutivos de la materialidad: tierra, agua, aire, fuego. Los pitagóricos utilizaban la música como una herramienta de purificación del alma. Según Miguel de Guzmán ([GMd]), con sus congruencias expresables mediante relaciones numéricas, se captaba la armonía más profunda del cosmos. La capacidad cuasimágica de la música es elemento heredado por el pitagorismo de las corrientes órficas más primitivas. Un hecho fundamental, reconocido por la mayoría de los comentaristas, es el experimento realizado por Pitágoras para descubrir relaciones numéricas en la música, hecho este que resultó determinante en la construcción de su teoría y la de su metafísica. La música entró a formar parte del método pitagórico, en primer lugar, como ejemplo de armonía pues lo que se oye agradablemente se expresa numéricamente; luego, como herramienta para purificar el cuerpo y ayudarlo a seguir la ruta hacia la perfección y la armonía; y finalmente, como un lenguaje que permite explicar el método. Pitágoras mismo manejaba magistralmente la lira y el canto, elementos que utilizaba para expresar sus pensamientos y sobre todo, para recordar sus antiguas encarnaciones: Euforbo y Etálides. Este último fue el primer humano que adquirió la facultad de recordar sus antiguas formas de vida. Esta última leyenda, la inició Ferécides. El propio Ferécides recordaba que en alguna época fue piojo, y como buen “experimentador” que era se dejó invadir de piojos con el propósito de replicar sus antiguas vivencias; infortunadamente no previó que estos animalitos también encierran una porción de ser buscando una mejor cueva o cuerpo. A propósito de las cuevas, Ferécides vivió en una; Pitágoras también hizo varios “retiros espirituales” en cuevas. Encerrarse en una cueva permite enseñarle al cuerpo lo que él mismo es respecto del alma; la analogía sería: Cueva/cuerpo = cuerpo/ alma .

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El pitagorismo, poco a poco, fue construyendo un imponente edificio teórico y metodológico, algunos de cuyos elementos pueden reunirse en la siguiente forma: 1. Fundamentos metafísicos i. El verdadero ser es numérico. ii. El devenir existe porque el uno, el ser, se muestra siempre como dos: cuerpo y alma. iii. El alma migra buscando un cuerpo más armonioso, una cueva que le dé mayor espacio. iv. Entre todas las cosas existen conexiones gracias al ser, al número, a las almas. 2. Fundamentos filosófico – científicos: los cuatro MATHEMA: Aritmética, Geometría, Astronomía, Música. (la tetraktys de la ciencia). 3. Fundamentos metodológicos. i. Obedecer reglas y prohibiciones. ii. Comprimir estas reglas y prohibiciones en “versos”, “aforismos”, "grafitos", “principios” o “leyes”. Los famosos versos de oro ejemplifican perfectamente esta parte del método: Para ilustrar, replicamos uno de estos versos: “Observa la justicia en acciones y palabras. Nunca te comportes sin reglas, ni razón. Piensa que el hado condena a todo morir, y que los fáciles honores y bienes de fortuna son inciertos; que las pruebas de la vida vienen por voluntad divina. Sea adversa o favorable alégrate siempre de tu suerte, mas trata con noble tesón de mejorarla. Piensa que el destino es más benévolo para los buenos que comprenden y a sus designios ajustan”. iii. iv. v.

La razón y la argumentación son las guías principales del entendimiento. Utilizar cuidadosamente la analogía: “Uno es a dos, como dos es a cuatro”. “El macho es a la hembra, como el impar es al par”. Apoyarse en los dibujos para efectuar buenos cálculos, y lograr argumentos correctos:

1=1 1+3=4 “... y así sucesivamente”.

1+3+5=9

Un excelente dibujo es lo mismo que un grafito o un aforismo o una “parábola” (en el sentido cristiano).

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Este "... y así sucesivamente" es la primera versión explícita del "infinito potencial" como un proceso de construcción de relaciones numéricas. Otro ejemplo de "argumentos sin palabras" es el siguiente: Teorema

A

A

B

B C

C

D

D

vi.

vii.

En cada una de las diez oposiciones, uno de los opuestos es armonía el otro desarmonía; sin embargo el armónico puede cambiar a no armónico, pongamos por caso, lo malo puede convertirse en bueno y recíprocamente, o el macho en hembra "... y así sucesivamente". La redondez, la esfericidad o circularidad, es la forma de la perfección. Semicírculo equivale, entonces, llegar a la mitad del camino.

Como se puede ver de este resumen bastante incompleto, el relato pitagórico tiene ya todas las características de una teoría: es una construcción conceptual y un ensamble de proposiciones, relacionadas unas con otras mediante lazos lógicos, que más tarde explicitará Aristóteles. El relato permite hacer predicciones y es entonces refutable, cosa que no ocurre ni con los imaginarios, ni con los mitos, ni con las religiones. De hecho, el pitagorismo fue refutado por sus propios seguidores.

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LIBRO II USOS DE ALGUNAS TÉCNICAS PITAGÓRICAS (DIDÁCTICA PITAGÓRICA) II1. El cuadrado o su lado como “cálculo”, es decir, “u nidad” o “alfa”. El cuadrado es una de las tetraktys básicas del pitagorismo, cuatro lados iguales, cuatro vértices y cuatro ángulos iguales. Con cuadrados, todos del mismo tamaño, se pueden organizar muchas actividades que permiten el desarrollo de destrezas matemáticas básicas: formular y contrastar conjeturas, conceptualizar y construir teorías, construir modelos explicativos , formular y demostrar teoremas, formular y resolver problemas, introducir, y utilizar símbolos especiales, representar mediante dibujos y diagramas, etc. Tomando un cuadrado como unidad de área y el lado como unidad de longitud, es posible construir figuras de diferentes formas y tamaños, siguiendo determinadas reglas y hacer cuentas con estas figuras. Se asume un conocimiento básico de los números naturales. Un ejemplo de las reglas son las siguientes: (c1) Para formar una figura con cuadrados del mismo tamaño tomados cada uno como alfas, se colocan unos al lado de otros de tal manera que uno de los lados de cada cuadrado coincida con uno de los lados de otro y sin que los cuadrados se traslapen o superpongan. Ejemplos i) Los siguientes cuadrados están bien colocados y por lo tanto, las figuras están bien construidas:

ii)

Los siguientes cuadrados están mal colocados, y las figuras respectivas están mal construidas.

iii)

Un único cuadrado esta bien colocado; pero dos o más cuadrados colocados de tal manera que uno de ellos o un grupo de ellos este aislado (sin contacto con otro), no es una buena figura.

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(c2) Dos figuras se consideran iguales si tienen la misma forma y el mismo número de alfas (es decir, tiene la misma área), independientemente del lugar y de la dirección en que estén colocados. (1) Ejemplos i) Las siguientes figuras son, en realidad, la misma figura:

ii) Por el contrario, las figuras siguientes son diferentes entre si:

De acuerdo con estas reglas, dada una figura cualquiera, bien construida, al escoger uno de los vértices de uno de los cuadrados, este vértice es común a lo mas a cuatro cuadrados. Una primera actividad es la de construir los cuadrados suficientes para cada actor, para luego participar dentro de una pequeña teoría de corte pitagórico como la que se muestra a continuación: Formar rectángulos y cuadrados. (2) El desarrollo de esta actividad debe conducir a resultados como los siguientes: Teorema 1. Si los lados de un rectángulo son de longitud n, m respectivamente, el área es igual a n · m = m · n, por la regla (c2). Teorema 2. Dado un número n, existe un único rectángulo de área n, si y solo si n es un número primo. Teorema 3. Si se construye un cuadrado de lado a + b, el área se puede expresar de dos maneras diferentes: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Teorema 4. Si se construye un rectángulo de lados a y m + n, el área se puede expresar de dos maneras: a · (n + m) = a · n + a · m Un problema interesante, dentro de esta mini - teoría (todo problema matemático se formaliza dentro de una teoría) es el siguiente: Según el teorema 2, si n es un número que no es primo, ¿cuántos rectángulos de área n se pueden construir?

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El siguiente problema conduce a las triplas pitagóricas: Dados dos cuadrados de área n y m, ¿es posible construir un cuadrado de área n + m ? La solución de este problema, como es sabido, no es nada fácil (ver Libro III); sin embargo se pueden trabajar varios ejemplos. Pongamos por caso, si se tienen dos cuadrados de lados 4 y 3, respectivamente, es posible construir un cuadrado de lado 5, en forma tal que 32 + 42 = 52. El siguiente dibujo conduce a otro teorema:

1 + 3 = 22

1=1

1 + 3 + 5 = 32

“...y así sucesivamente”

¿Cuál es el teorema? Es posible construir (el lector debe hacerlo) un argumento explicativo, para el anterior teorema , del siguiente tipo: cada paso consiste en agregar un número impar de alfas. (Nótese que, se trata de construir todos los posibles números cuadrados, partiendo del caso inicial “un alfa”). El algoritmo de la división puede trabajarse en la siguiente forma: dado un número fijo n > 1 (por ejemplo 3), si se consideran m alfas, donde m es un número cualquiera (por ejemplo 31), se construye el rectángulo de mayor área, con uno de los lados de longitud n, con los m alfas dadas, ¿cuántas alfas sobran? En el ejemplo 3 · 10 +1 y entonces sobra una. En general m = n · q + r, donde 0 ≤ r < n; q ≥ 0. El caso n = 2 produce la famosa división pitagórica de los números en dos clases: pares e impares. Otras construcciones interesantes son las siguientes i)

1=1

Números triangulares

1 + 2 = 2 · 3/2

1 + 2 + 3 = 3 · 4/2

“... y así sucesivamente”

16

Por lo tanto: Teorema 5. Si n es un número natural, n ≥ 1, entonces, 1 + 2 + · · · + n = n · (n + 1)/2 Nota. La demostración del teorema 5 , dada por Pitágoras mediante los dibujos, es la misma que la demostración dada por C. F. Gauss muchos siglos después. ii)

Números hex (h1, h2, h3, ...)

h1 =1 h2 =7

h4 =37

h3 =19

h5 = 61

“... y así sucesivamente”

17

hn puede escribirse de por lo menos dos formas diferentes. ¿Cuales? iii)

Identidades con números triangulares ( T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1 + 2, ··· ,Tn =

n(n + 1) , ··· ) n

a)

T2 = 3T1 + T 0

T4 = 3 T2 + T1

T6 = 3 T3 + T2 “... y así sucesivamente”

b)

32 = T0 + 6T1 + T2

52 = T1 + 6T2 + T3

18

72 = T2 + 6T3 + T4

“... y así sucesivamente”

En los ejemplos anteriores hemos utilizado la expresión “y así sucesivamente” o los puntos suspensivos (. . .) para indicar que el proceso se puede continuar indefinidamente. Este método pitagórico es uno de los aportes más fundamentales al desarrollo de la matemática: es la forma inicial de todos los procedimientos que permiten manejar el infinito potencial. Se trata de lo siguiente: iniciar un proceso cualquiera y explicitar la regla o reglas para pasar de situaciones ya dadas a una situación nueva. (3) iv)

Suma de cuadrados consecutivos

+ 12

= 22

+

=

1+3+1

+ 22

+

32

=

1 + 3 + 5 + 3+ 1 “... y así sucesivamente”

En el siguiente ejemplo intervienen como alfas los vértices y los lados de un cuadrado (recordar que los cuadrados que se utilizan son todos del mismo tamaño) 19

Formula de Euler (Versión Pitagórica) 1)

1) Números de vértices = v =4 Números de lados = l =4 Números de caras = c =2 (v + c ) − l = 2

2)

2)

3)

3)

4)

v = 6, l = 7, c = 3 (v + c ) − l = 2 v = 8, l = 10, c = 4 (v + c ) − l = 2

4)

v = 24, l = 36, c = 14 (v + c ) − l = 2

" ... y así sucesivamente" Para validar este " ... y así sucesivamente" debe elaborarse un argumento que muestre claramente dos cosas: i) la formula de Euler vale para la situación inicial y ii) suponiendo que la formula vale para una situación dada y se pasa a una nueva, la formula se mantiene. Para establecer lo segundo se consideran los varios casos posibles Caso 1.- El paso de una situación dada a una nueva consiste en añadir un α ( un cuadrado), colocándolo en forma tal que uno de sus lados, coincide con el lado de uno solo de los cuadrados de la figura dada:

En este caso, se agregan dos vértices una cara y tres lados. Esto implica que la formula de Euler no se altera: si vale en una situación dada vale en la siguiente. Caso 2.- Se agrega a la figura dada un alfa de tal manera que un lado del cuadrado que se agrega coincida con un lado de algunos de los cuadrados de la figura dada y un vértice opuesto coincide con un vértice de otro de los cuadrados de la figura dada.

20

En esta ocasión aparecen un vértice nuevo tres lados, y dos caras nuevas y una vez mas la formula de Euler no se altera. Dejamos al lector el considerar los casos restantes. El lector también puede expresar la formula de Euler trabajando con otros alfas. II2) El triángulo rectángulo isósceles como alfa (o demi – alfa).

En este caso, continuamos con la regla (c2) y modificamos la regla (c1) en la siguiente forma: (T1) Para formar una figura, con triángulos rectángulos isósceles del mismo tamaño tomados cada uno como alfas (o demi – alfas), se colocan unos al lado de otros de tal manera que uno de los catetos (o la hipotenusa) de cada triángulo coincida con uno de los catetos (respectivamente con la hipotenusa) de otro y sin que los triángulos se traslapen o superpongan. Ejemplos i) Los siguientes triángulos están bien colocados.

ii)

Los siguientes triángulos están mal colocados:

Un triángulo solo esta bien colocado; pero dos o más triángulos en los cuales uno o un grupo de ellos este aislado están mal colocados. Dos triángulos (rectángulos isósceles y del mismo tamaño) dan origen a un cuadrado y a un triángulo rectángulo isósceles:

Se sigue inmediatamente, entonces. el siguiente hecho:

21

Toda figura construible con cuadrados (del mismo tamaño) se puede construir con triángulos rectángulos isósceles (del mismo tamaño); pero, lo recíproco no es cierto. La siguiente figura (este es uno de los muchos ejemplos) no se puede construir con cuadrados:

El procedimiento pitagórico que sigue permite escribir los números cuadrados en otra forma interesante (la unidad de área es la del triángulo)

1 + 3

=

2·2

1 + 3 + 5 + 7

= 22

=

1 + 3+ 5

2.6 + 4 = 42

=

2·4 + 1

= 32

“... y así sucesivamente”

Si se toma el triángulo como una demi – alfa (es decir, la unidad de área es el cuadrado respectivo), entonces, el área de los triángulos que se forman es expresable como base por altura sobre dos, tomando como base uno de los catetos y como altura el otro. II3) OTROS POLÍGONOS TOMADOS COMO ALFAS (O UNIDADES DE ÁREA O CÁLCULOS).

El triángulo equilátero, el hexágono regular, los rectángulos con lados conmensurables (las longitudes deben ser múltiplos de una misma longitud), y otras figuras como los poliminós (que se presentarán más adelante), pueden escogerse como unidades de construcción de figuras. Con hexágonos regulares del mismo tamaño se pueden alcanzar nuevas relaciones aritméticas. Un ejemplo paradigmático es el siguiente:

22

1 = 1

1 + 4 = 1 + 2 + 2= 2 + 3

1 + 4 + 7 = 1 + 2 + 3 + 3 + 3= 3 + 4 + 5

1 + 4 + 7 + 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 + 5 + 6 + 7 “... y así sucesivamente”. Un problema muy interesante, conocido por los pitagóricos, es el siguiente: Si se toma un pentágono regular como alfa, se pueden formar figuras siguiendo las mismas reglas ya enunciadas; sin embargo, alrededor de un punto solo se pueden colocar a lo mas dos pentágonos. ¿Por qué? Lo mismo sucede con todos los polígonos regulares salvo con los triángulos, los cuadrados y los hexágonos. ¿Por qué? Si se encuentra la respuesta, puede entonces elaborarse una explicación al hecho que se describe a continuación: Llamamos cintas a aquellas figuras que se pueden formar con polígonos regulares (del mismo tamaño y de la misma forma) de tal manera que, cada polígono o alfa tenga a lo más dos polígonos adyacentes; por ejemplo las siguientes figuras son cintas:

23

Cada una de las cintas anteriores tiene dos extremos; sin embargo, podemos imaginar fácilmente cintas “cerradas”, es decir, sin extremos. La siguiente figura, por ejemplo, es una cinta cerrada constituida por cuadrados del mismo tamaño:

Efectúese el siguiente experimento: 1) Construir cintas cerradas con cuadrados (del mismo tamaño siempre), con triángulos equiláteros y con hexágonos regulares. 2) Trate de construir cintas cerradas con pentágonos regulares y con octágonos regulares. ¿Se encuentra alguna diferencia entre 1) y 2) ? II4) Perímetros

Retómese los cuadrados como alfas y considérese el lado como la longitud unidad. Cada figura construida siguiendo las reglas (c1) y (c2) tiene un perímetro. Un excelente ejercicio consiste en determinar el área y el perímetro de cada figura construida. Algo mucho más interesante es lo siguiente: Dado un número n fijo, encontrar el rectángulo de área n y de mayor perímetro. También encontrar el rectángulo de área n y de menor perímetro. Naturalmente, si el número n es primo, hay un único rectángulo de área n, cuyo perímetro es 2(n + 1). El caso interesante aparece si el número n no es primo. Ensayar el caso n = 36. ¡formúlese un teorema¡

II5) Poliminós

Una figura de área n construida con n polígonos regulares recibe el nombre de n – minó. Se tiene entonces 1 – minos (triangulares, cuadrangulares, hexagonales), 2 – minos (o dominos), 3 – minos (o triominos), 4 – minos (o tetraminos), 5 – minos (o pentaminos), etc. Todas estas figuras reciben el nombre genérico de poliminos. En los ejemplos que siguen, se trabajará con poliminos construidos con cuadrados. Actividades análogas pueden desarrollarse con triángulos o hexágonos.

24

Ejemplo 1. (Dominós)

1

1)

(1) 2

2)

(1 1)

( 2) 3

3)

(111)

(12)

(1111)

(112)

4)

(211)

(21)

5

(121)

(22)

5) 8

(11111)

(1112)

(1121)

25

(1211)

(122)

(2111)

(212)

(221) “... y así sucesivamente”

Ejemplo 2 (monominós y dominós)

1

1)

(1) 2

2)

(111)

(2) 3

3)

. (111) obsérvese que 3=2+1

(12)

(21) 5

4)

(1111)

(211)

(112)

(121)

(22)

obsérvese que 5=3+2 8

26

5)

(1211)

(11111)

(122)

(1112)

(2111) (212) obsérvese que 8=5+3

(1121)

(221) “...y así sucesivamente”

Ejemplo 3. (Pentaminós) ¿Cuántos Pentaminós existen? Si los construimos aplicando la regla (c2), los Pentaminós son los siguientes:

27

¿Cuál es el pentaminó de menor perímetro? No es nada fácil formar rectángulos con todos los Pentaminós. Por eso cambiaremos las reglas considerando Pentaminós rígidos. Mantenemos la regla (c1) pero, modificamos la regla (c2). Primero una definición: (PtR) Un pentaminó es rígido si solo puede utilizarse transladandonlo.

Con este tipo de definición, el pentaminó

es completamente diferente del pentaminó.

Análogamente, son también diferentes los Pentaminós:

La nueva regla es la siguiente: (p2) Solo se pueden construir figuras con los Pentaminós rígidos que se muestran a continuación:

Si el cuadrado es la unidad de área, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? 1) Un rectángulo se puede construir si y solo si el área es múltiplo de 5.

28

2) Un rectángulo se puede construir si y solo si el área es múltiplo de 10. 3) Cualquier rectángulo se puede construir. Este ultimo ejemplo sugiere una nueva posibilidad: introducir en la teoría los movimientos geométricos: translación, rotación, reflexión, dilatación. Este placer se lo dejamos al lector. La solución del siguiente problema requiere el concepto del perímetro: un problema de manteles (o pañuelos). En la figura se representan varios manteles (o pañuelos) en mal estado.

(1)

(3)

(5)

(2)

(4)

(6)

29

Ordenar de mayor a menor según el grado de dificultad para arreglar cada mantel (o pañuelo). Dibuje los casos que faltan. Problema: Utilizar el método pitagórico para demostrar el siguiente teorema: Todo numero se escribe como sumas de potencias de dos. Pregunta :la siguiente afirmación, ¿es verdadera o falsa? Todo numero se escribe como suma de potencias de tres. En el siguiente ejemplo se utilizan, como alfas, cubos del mismo tamaño

1=1

1+3+22 =23

1+3+22 +2.5+32=33

1+3 +22 +2.5+32 +3.7+ 42 =43 "...Y así sucesivamente." Por lo tanto Teorema- si n es un numero natural entonces n3 =1+22 +...+n2 +1.3+2.5+3.7+...+(n-1) (2n-1). Problema. Mediante el método pitagórico, utilizando cubos como alfas, demostrar la siguiente ecuación: (a+b)3 =a3 +3 a2 b+ 3ab2 +b3. Otro tipo de uso del método pitagórico se ilustra en el siguiente ejemplo:

30

1=1

1

1

2

2

1= +

1

1

2

4

1= +

+

1 4

1 1 1 1 + + + 2 4 8 8 "...Y así sucesivamente".

1=

Por lo tanto: 1=

1 1 1 1 1 1 1 + + + + ... + + + n n +1 2 4 8 16 2 2 n +1 2

para todo n ≥ 1 En el libro [NR] aparece el siguiente ejemplo:

12

22

32

42

52

12

22

32

42

31

12+22+32+42

12+22+32+42

(12+22+32+42)+42+(12+22+32+42)

(12+22+32+42) + (12+22+32+42) + (12+22+32+42) 1 3(12+22+32+42) = 4 × 5 × (2 × 4 + 1) 2 . . . 1 12+22+32+...+ n 2 = n(n + 1)(2n + 1) . 6

32

LIBRO III

En esta parte del trabajo se presentan algunos temas complementarios útiles como información adicional. III 1) Vigencia del pitagorismo

Tomemos , en calidad de préstamo, las palabras de I.R. Shafarevich publicadas en la revista The Mathematical Intelligencer (vol. 3, pag. 182 – 184, 1981), para señalar la vigencia del pitagorismo: “La matemática como ciencia nació en el siglo VI a. de c. en la comunidad religiosa de los pitagóricos y fue parte de esta religión. Su propósito estaba bien claro. Revelando la armonía del mundo expresada en la armonía de los números proporcionaba un sendero hacia una unión con lo divino. Fue este objetivo elevado el que en aquel tiempo proporcionó las fuerzas necesarias para un logro científico del que en un principio no puede darse parangón. Lo que estaba involucrado no era el descubrimiento de un bello teorema ni la creación de una nueva rama de la matemática, sino la creación misma de las matemáticas. Entonces casi en el momento de su nacimiento habían aparecido ya aquellas propiedades de la matemática gracias a las cuales las tendencias humanas se manifiestan más claramente que en ningún otra parte. Esta es precisamente la razón por la que en aquel tiempo la matemática sirvió como modelo de desarrollo de los principios fundamentales de la ciencia deductiva. En conclusión quiero expresar la esperanza de que por esta misma razón la matemática ahora pueda servir como modelo para la solución del problema fundamental de nuestro tiempo: renovar un supremo objetivo y propósito religioso para la actividad cultural humana ¨. Tamaña declaración de parte de uno de los más grandes matemáticos del siglo XX, no puede ser calificada sino de una sola manera: pitagorismo puro. La vigencia del pitagorismo puede verse de diferentes maneras: 1. En el Ciberespacio. Cerca de 5000 sitios están identificados con el nombre "el teorema de Pitágoras" y un número mucho mayor nos muestra el buscador Google.com solo con el nombre de Pitágoras . "Me enamoré de Pitágoras." exclama el dueño de uno de los sitios que se identifican con "Pitágoras". "No lo conocía; pero cuando lo entendí quede completamente enamorado" anuncia este cibernauta embelesado. Como él miles y miles de personas persiguen el nombre de este inmortal genio, tratando de encontrar inspiración y buenos motivos intelectuales y también místicos. 2. En el desarrollo moderno de la matemática. El grafito "Todo es número" se ha transformado en otros como "todo es símbolo" o más recientemente "Todo es colecciones"; pero ,siempre contando. Ahora tenemos números cardinales y ordinales; y si todo conjunto se puede bien ordenar, entonces tal conjunto tiene un

33

número ordinal y también un número cardinal;; y así por el estilo, (" ... y así sucesivamente"). 3. En la practica de los matemáticos. Aunque todavía hay matemáticos que descalifican este tipo de trabajo, hay otros que continúan creando conocimiento matemático elaborando dibujos adecuados. En el libro de Roger Nielsen ([NR]) hay multitud de ejemplos. El ejemplo siguiente, debido al profesor Solomón Golomb, capta la técnica pitagórica de "demostración sin palabras":

(1+2)2 = 1+2⋅22 = 1+23

(1+2+3)2=1+23+3.32 (1+2+3+4)2=1+23+33+4.42 =1+23+33

=1+2+3+4 "...y así sucesivamente".

En lo que sigue, se mostrarán nuevos ejemplos de utilización de ideas básicas del pitagorismo en temas contemporáneos o en desarrollos de tipo didáctico.

34

III 2) Triplas pitagóricas

Una tripla pitagórica es una tripla (x, y, z) de números naturales tales que

x 2 + y 2 = z2

y

m.c.d.(x, y, z) = 1.

Lema 1. Si (x, y, z) es una tripla pitagórica entonces x o y es par , z es impar. Demostración. (Ver [BD]). Si suponemos x, y ambos pares entonces x = 2k, y = 2t y así, x 2 + y 2 = 4k2 + 4t 2 = 4(k 2 + t 2). De esto se sigue que z también sería par, lo cual contradice la hipótesis de que x, y, z son primos entre si. Si suponemos x, y son ambos impares entonces x = 2k + 1, y = 2t + 1 y en consecuencia x 2 + y 2 = (4k2 + 2k + 1) + (4t 2 + 2t + 1) = 4k 2 + 4t 2 + 2(k + t) + 2 = 2(2k 2 + 2t 2 + k + t + 1) y nuevamente resulta que z es par. Pero, si z es par, z = 2p, entonces z2 = 4p2 y de la relación

4p2 = 2(2k 2 + 2t 2 + k + t + 1) se infiere que

2p2 = 2k 2 + 2t 2 + k + t + 1,

o sea, se tendría que un cierto número par es impar, lo cual no es posible. Naturalmente si y es par y x es impar entonces z es impar; y si y es impar y x es par, nuevamente z es impar. Un argumento similar permite concluir que no son posibles las siguientes situaciones: x impar, y, z pares; y impar, x, z pares. Lema 2. Si a·b=cn, donde n ≥ 1, m.c.d.(a, b) = 1 entonces, existen números a1, b1 tales que

a = an, y b = b1. Demostración. Podemos asumir que a > 1 y b > 1. Escribimos a y b como producto de primos, los cuales pueden repetirse: a = p1· p2 … pr

b = q1· q2 … qs Como a, b son primos relativos entonces cada pi es diferente de cada qj. Esto implica que la factorización de a · b es

35

a·b = p1· p2 … pr q1· q2 … qs Factorizando c,

c = v1 ·v2 … vt se tendrá la relación n

p1R1... p Rr q1pn ...qsps = v1n1 ...vt e r Como la factorización es única ,salvo el orden ,podemos concluir que la tupla de primos ( v1 ,..., vt ) es la misma tupla ( p1 , , , pr , q1 , , , qs ) salvo el orden y que cada exponente Ri ,pn es un múltiplo de nj. De estas observaciones se sigue el lema . Teorema: Todas las triplas pitagóricas (x,y,z) con x un número par están dadas por x = 2 st

, y = s 2 − t 2 , z = s 2 + t 2 ,donde s > t > 0 , m.c.d( s , t ) = 1 y s − t es impar

Demostración: supóngase que (x,y,z) es una tripla pitagórica. Como x es par (por hipótesis) se sigue del lema 1 que y, z son impares y en consecuencia z-y, y+z son pares y así z-y y-z son pares z-y =2u, y+z =2v se tiene entonces 2

⎛x⎞ ⎛ z − y ⎞⎛ z + y ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟ = uv. ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠

Ahora bien, u, v son primos relativos ;de lo contrario ,m.c.d (u,v)=d >1 implicaría que d dividiría a u- v y a u+2 y por lo tanto a y ,z lo cual es imposible pues y, z son primos relativos ya que ambos son impares . según el lema 2 u =t2, v=s2. Se concluye entonces que : z =u +v =s2+ t2 y =u - v =s2- t2 x2 = 4uv = 4s2t2 x=2st Como m.c.d (x ,y) =1,se sigue que m.c.d (s ,t) =1finalmente si s -t fuera par y = s2-t2 = (s- t) (s+ t) sería también par y esto no es posible . Recíprocamente ,cada tripla (2st,s2-t2,s2+t2),

s- t impar s >t > 0 36

m.c.d (s,t) =1 es una tripla pitagórica: i). ii)

(2st)2 + (s2- t2 )2 = 4s2 t2 + s4 -2s2 t2 + t4 = s4+ t4 + 2s2 t2 =(s2 + t2)2. Supongamos que p > 1es un numero que divide a 2st,s2-t2,s2+ t2, p divide entonces (pues si divide a s2-t2 y a s2+t2 , divide a la suma y ala a 2s2 y a 2t2 diferencia). P es mayor que 2 , pues s2+ t2 es impar (en efecto, uno de los dos s o t es impar ya que se esta suponiendo que s-t es impar). Se concluye ,entonces , que p/s2 y p/ t2 y así, p/s y p/t. pero como s, t son primos relativos llegamos a una contradicción. Varios ejercicios se pueden formular aplicando el anterior teorema por ejemplo, encontrar todas las triplas pitagóricas (x,y,z) de tal manera que x =40

III . 3) La Conmesurabilidad

Como ya se ha mencionado, son muy pocos los hechos de la vida de Pitágoras y de sus seguidores establecidos sin ningún lugar a dudas; igual cosa sucede con sus contribuciones a la matemática, a la filosofía, y en general al desarrollo del conocimiento; sin embargo, estas pequeñas cosas que se conocen son suficientes para conseguir inspiración y ser creativos. Así con relación a, la idea de la conmesurabilidad, no es posible determinar con certeza si fue o no adoptada por Pitágoras y sus seguidores. Sin embargo, puede asumirse y construir con ella argumentos de validez parcial pero suficientes como para sustentar teorema de gran utilidad, y aprender a razonar. A continuación se presentan algunos ejemplos ilustrativos. Supongamos entonces lo siguiente: Hipótesis de la Conmesurabilidad: dados los segmentos A1, ... , Ap existe un segmento A de tal manera que : Longitud (A1)=n1 longitud (A), . . . Longitud (A p) =np longitud (A), Donde n1, ... , np son números naturales. Teorema1-. El área de cualquier rectángulo R es igual al producto de las longitudes de los lados Demostración: supongamos que los lados del rectángulo R son los segmentos A, B y que la longitud unidad corresponde a la longitud del segmento U. Según la hipótesis de la Conmesurabilidad, existe un segmento T de tal manera que:

longitud (U) = n longitud (T) longitud (A) = m longitud (T) = m /n longitud (B) = r longitud (T) = r /n

37

El área unidad corresponde a la del cuadrado cuyo lado es U. 1) Contando se concluye lo siguiente : el área del rectángulo R es m.r veces el área del cuadrado de lado Ty 2) El área unidad es n2 veces el área del cuadrado de lado T . Por lo tanto el área del cuadrado de lado T es m.r .

1 n2

=

1 n2

y así, el área de R es igual a

m r . = longitud (A) . longitud (B) n n

Teorema 2 El área de todo triángulo rectángulo es igual a la mitad del producto de las longitudes de los catetos. Demostración : El área de todo triángulo rectángulo es la mitad del área de un rectángulo Teorema 3- El área de todo triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de uno de sus lados multiplicada por la longitud de la altura correspondiente. Esto se demuestra considerando que todo triángulo es o bien la suma de dos triángulos rectángulos o la diferencia de dos triángulos rectángulos.

B

A

C

D Por ejemplo, dado el triángulo Δ ABC, se construyen los segmentos BD y CD de tal manera que el ángulo BDC sea recto. La longitud del segmento BD es la longitud de la altura del triángulo Δ ABC correspondiente al lado AC tomado como base. Utilizando el teorema anterior, la figura muestra como terminar la demostración. Trabajando en forma estrictamente rigurosa, en la demostración del teorema 1, y en consecuencia en la demostración de los otros dos teoremas, se ha hecho uso, implícitamente, de hechos, como el siguiente: Si en el rectángulo □ABCD, se escoge en lados opuestos, por ejemplo en los lados AB y CD puntos E, F respectivamente de tal manera que longitud (AE) = longitud (CF) entonces, la figura AECF es un rectángulo. Esto no es posible demostrarlo utilizando únicamente la conmesurabilidad; se necesitan otros axiomas o supuestos, se requiere la teoría de la congruencia de triángulos y algunas propiedades del paralelismo, sin

38

embargo, el propósito aquí es ilustrar como se puede utilizar la hipótesis de la conmesurabilidad en la construcción de argumentos sencillos.

El siguiente teorema muestra otro ejemplo Teorema En el triángulo Δ ABC, si DE es paralelo a BC entonces longitud ( AD ) longitud ( AB )

X'

Y'

=

longitud ( AE ) longitud ( AE )

V

Z'

V'

W'

Demostración: existe un segmento U de tal manera que Longitud (AD = n longitud (U) y Longitud (DB) =m longitud (U). Dividiendo los segmentos AE y DB, respectivamente en n y m partes de longitud igual a la de U la y trazando paralelas, por cada una si estas divisiones al segmento

39

BC, y por lo tanto al segmento DE cada una de estas paralelas intercepta los segmentos AE y EC, respectivamente, en n y m puntos. Por ejemplo, los puntos Z, W. Por cada uno de estos puntos se trazan paralelas al lado AB de tal manera que se formen paralelogramos del tipo □X'XZV y triángulos del tipo Δ VZZ', (nótese que la longitud (X'X) = longitud (U) (por construcción). Todos los triángulos del tipo Δ VZZ' o Δ V'WW' son congruentes (teoría de la consecuencia del triángulo y del paralelismo) y por lo tanto, se determinan n puntos del tipo Z, Z1 en el segmento AE y m puntos del tipo W, W1 en el segmento EB. Entonces longitud ( AD) n longitud ( EA) = = . longitud ( AB) n + m longitud ( AC )

.

III .4) El teorema de Pitágoras

¿Porqué este teorema se conoce con este nombre? La repuesta a esta pregunta se relaciona con dos hechos fundamentales: los pitagóricos, y muy probablemente Pitágoras, presentaron la primera demostración de este hecho conocido desde mucho antes en la misma Europa, en Asia, y en la China; de otra parte, este teorema permitió descubrir la inconmensurabilidad. La tripla pitagórica (3,4,5) era conocida por los egipcios en la época en que Pitágoras los visito. De hecho, la utilizaban para construir ángulos rectos: a una cuerda de longitud 3+4+5 =12, dividida en tres partes de longitud 3,4,5 respectivamente, se le da la forma de triángulo, el cual es rectángulo y por lo tanto, se produce un ángulo recto (ver figura)

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

4

5

Existen como mínimo, unas trescientas demostraciones diferentes de este teorema, infortunadamente, no se conoce la de los pitagóricos, es decir la demostración inicial. En los elementos de Euclides aparece la demostración que se reproduce a continuación: considere el triángulo rectángulo Δ ABC y constrúyase los cuadrados sobre los catetos y la hipotenusa respectivamente (ver figura)

40

A"

A'

R1

A

R2

C"

B"

C

D

B

RE C'

B'

Desde el punto A se traza una perpendicular al segmento C'B'. La idea es demostrar los siguientes hechos: 1.) El área del cuadrado □ ACC"A" =R1 es igual al área del rectángulo □ CDEC'. 2.) El área del cuadrado R2 =□ ABB"A' es igual al área del rectángulo □ DBEB1. Para este propósito se consideran los triángulos Δ BCB" y Δ ABB'. Estos dos triángulos son congruentes pues se tienen los siguientes hechos CBB'' = 1 recto + ABC = ABB'. Longitud (AB) = longitud (BB") Longitud (CB) = longitud (BB') De otra parte, área (R2) = 2 área ( Δ CBB")= 2 área ( Δ ABB') = área (□ DBBCB') En forma similar se demuestra que: Área (R1) = área (□ CDCE). En la obra de Euclides se demuestra también el reciproco del teorema de Pitágoras: Teorema (proposición 48 de Euclides). Si el cuadrado construido sobre uno de los lados de un triángulo es equivalente a los cuadrados, juntos, de los otros dos lados, el ángulo formado por estos dos lados es recto.

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Demostración : considere el triángulo Δ ABC y supóngase que longitud (CB)2 = longitud(CD)2 + longitud (BD)2.

Se construye el segmento DA perpendicular a AC y se toma D de tal manera que longitud (AD) sea igual a la longitud (AB). Se une C con D y se comprueba que: longitud (DA)2 = longitud (AB)2 2 longitud (DA) + longitud (AC)2 = longitud (AB)2 + longitud (AC) Pero por el teorema de Pitágoras, se tendrá: Longitud (DC)2 = longitud (AD)2 + longitud (AC)2. De las igualdades anteriores se concluye que: Longitud (DC)= longitud (CB) y así, los triángulos Δ ABC y Δ ACD son congruentes y en consecuencia los ángulos CAD y ACB son congruentes; es decir ambos son rectos y el teorema queda demostrado. En su obra Racionalismo Aplicado el profesor Gaston Bachelar llama la atención sobre el siguiente hecho; el teorema de Pitágoras es en realidad un asunto de semejanza de figuras. Los semi-círculos, son entre si semejantes y como consecuencia del teorema de Pitágoras se tiene el siguiente teorema: (4) El área del semi-círculos de diámetro la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los semi-círculos de diámetro, respectivamente, cada uno de los catetos. De hecho, si llamamos d a la longitud de la hipotenusa y c1, c2, a las longitudes de los catetos, entonces las áreas de los semi-círculos son ,respectivamente: 1 d2 1 c12 1 c2 πd 2 πc12 πc22 (π ), (π ) , y (π 2 ) es decir, , , ;pero como d 2 = c12 + c22 2 4 8 8 2 4 2 4 8 πd 2 πc12 πc22 entonces = + . 8 8 8 En forma similar, con triángulos isósceles semejantes es posible enunciar el siguiente teorema cuya demostración dejamos al lector: El área de un triángulo isósceles T de base la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los triángulos isósceles semejantes a T, de bases respectivamente los catetos del triángulo rectángulo.

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Un paso más nos conduce a este teorema: El área del polígono regular de n lados, cuyo lado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los polígonos regulares de n lados, cuyos lados son, respectivamente, los catetos del triángulo. Pero, no hay necesidad de que las figuras consideradas sean regulares, de hecho, se pueden considerar polígonos de cualquier forma y enunciar un teorema más general en la siguiente forma Supóngase que T ,T1,T2 son polígonos semejantes y que uno de los lados de T es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y uno de los lados de T1 es un cateto del triángulo y uno de los lados de T2 es el otro cateto: entonces Área(T1) = área (T1) + área (T2) Si se continua este proceso, se descubrirá que al final, lo que se tiene en el siguiente hecho: Considérese un triángulo rectángulo Δ ABC y la altura correspondiente a la hipotenusa (ver figura H) los triángulos Δ ABC, Δ ABD, y Δ BDC son semejantes; claramente se tiene: Área ( Δ ABC) =área ( Δ ABD) + área ( Δ BCD). Pero esto corresponde al siguiente paso particular del teorema de Pitágoras: El área del triángulo rectángulo T cuya hipotenusa es la hipotenusa de un triángulo rectángulo R es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos semejantes a T cuya hipotenusa son los catetos del triángulo R. Este ultimo teorema, desde el punto de vista de la simplicidad ,debe ser la primera versión del famoso enunciado pitagórico.

Figura H

Dos observaciones finales: a)Las triplas pitagóricas resuelven, también ,el siguiente problema : Encontrar, todos los triángulos rectángulos en los cuales las longitudes de los lados sean números naturales. b)El teorema de Pitágoras implica el siguiente hecho fundamental: La diagonal de un cuadrado y el lado de dicho cuadrado son inconmensurables. La demostración más conocida, popularizada por Aristóteles, es la siguiente : Supongamos, por un momento, que la diagonal de un cuadrado C y su lado son onmensurables. Existe entonces, un segmento U de tal manera que

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l = longitud (Lado de C) = n. Longitud (U) y = nu d = longitud (diagonal de C) = m longitud (U) = m.u Se tendrá ,entonces, por el teorema de Pitágoras , la siguiente relación : 2l2=d2 2. 2 2n u =m2u2 2n2= m2 m es entonces un número natural par; por lo tanto m =2k , k