Plan de estudios

GEOMETRIA EUCLIDEA I

Código: MAB301 Nivel: I Ciclo lectivo: II Modalidad: Ciclo Naturaleza: Teórico-práctico Tipo de curso: Regular Área: Álgebra y Geometría Requisito: Lógica y Teoría de Conjuntos Número de créditos: 04 Horas presenciales: 05 Horas docente: 05 Horas teoría: 03 Horas práctica: 02 Horas estudio independiente: 06 Número de horas totales semanales: 11 Unidad Académica que imparte el curso: Escuela de Matemática

Descripción En este curso se desarrollarán conceptos fundamentales de Geometría Superior en el plano y el uso de diferentes métodos de demostración mediante el modelo axiomático. Los contenidos del curso incluyen los tópicos geométricos del programa de secundaria, desarrollados desde una perspectiva formal, propia de un nivel universitario. Se propone la Geometría como alternativa que facilite la visualización, formulación de conjeturas y el establecimiento de relaciones entre conceptos matemáticos. Los contenidos teóricos serán complementados con problemas de aplicación y su relación con otras disciplinas. Además, se incluye la construcción de algunos entes geométricos con regla y compás y con el uso de alguna herramienta tecnológica; con el propósito de desarrollar en el estudiante habilidades y destrezas que le permitan desempeñarse en su profesión y fortalecer conceptos aprendidos.

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Objetivos Que el estudiante: Desarrolle la habilidad para visualizar conceptos y propiedades geométricas del plano mediante interpretaciones gráficas. Demuestre resultados geométricos en el plano mediante diferentes métodos aplicando los conceptos estudiados. Resuelva problemas asociados con variedad de situaciones, que se describen mediante conceptos y propiedades geométricas en el plano. Desarrolle habilidades intelectuales de identificación, comparación e interpretación para su desarrollo profesional y personal. Comunique sus ideas, en forma oral y escrita, haciendo uso de un lenguaje formal simbólico-matemático.

Contenidos Fundamentos de la geometría Nociones geométricas primitivas fundamentales y axiomas de incidencia. Relaciones de colinealidad y coplanaridad. Teoremas básicos de incidencia, rectas concurrentes. Métrica en Geometría. El sistema de coordenadas como función biyectiva, postulados de la función distancia. Postulado de la regla y teoremas relacionados. La relación “estar entre” para puntos y teoremas relacionados. Semirrecta, punto frontera, rayo, rayos colineales, rayos opuestos, segmento, extremos del segmento, puntos interiores o puntos internos del segmento, ángulo, ángulos adyacentes, ángulos par lineal, ángulos par vertical u opuestos por el vértice. El triángulo y sus teoremas fundamentales. Relación de congruencia de segmentos y teoremas relacionados. Punto medio de un segmento. Separación en el plano y el espacio Conjuntos convexos y no convexos. Teoremas básicos de convexidad. Postulado de separación en el plano y definiciones relacionadas. Teoremas de separación en el plano. Teorema de Pasch y teoremas relacionados. Interior y exterior de un ángulo. Teoremas de incidencia basados en la relación de separación en el plano. Teorema de 64

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la Barra. Postulado de separación en el espacio y definiciones relacionadas. Teoremas de separación en el espacio. Medida angular La función medida angular, postulados de la función medida angular. Clasificación de ángulos por su medida, ángulos complementarios, ángulos suplementarios, ángulos congruentes y teoremas relacionados con la congruencia de ángulos. Rayo bisector de un ángulo. Teoremas de la construcción, adición y diferencia de ángulos, proposiciones. Definición y propiedades de perpendicularidad de rectas, rayos y segmentos y teorema relacionados. Recta mediatriz de un segmento, teoremas básicos. Clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos. Congruencia de triángulos La correspondencia “congruencia de triángulos”. Postulado L.A.L. para congruencia de triángulos y teoremas básicos de congruencia de triángulos. Existencia y unicidad del rayo bisector. Existencia de recta perpendicular a una recta dada. Lugar geométrico. Definición y propiedades de las rectas notables en el triángulo y de los segmentos internos de las rectas notables. Desigualdades geométricas Definición de “relación mayor que” para segmentos y para ángulos, teoremas relacionados. Teoremas básicos de desigualdades. Geometría absoluta, postulado V de euclides, paralelogramos y proyecciones paralela y perpendicular Rectas paralelas, segmentos paralelos, rayos paralelos y teoremas relacionados. Existencia de una paralela que contiene un punto exterior a una recta dada. Definición y propiedades de la transversal a dos rectas y de los ángulos que determina. Definición de cuadrilátero. Cuadriláteros cóncavos o convexos. Definición y proposiciones relativas al Cuadrilátero de Saccheri. Suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo en Geometría Absoluta. V Postulado de Euclides. Teoremas básicos de rectas paralelas y transversales. Suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo en Geometría Euclídea y proposiciones derivadas. Definición y teoremas sobre propiedades de: trapecio, paralelogramo, rombo, cuadrado, rectángulo, lados equipolentes. 65

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Semejanza de triángulos, teoremas de Thales y de Pitágoras Definición y teoremas de las funciones “proyección perpendicular” y “proyección paralela”. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos como correspondencia biunívoca y teoremas relacionados. Teorema de Pitágoras, recíproco del teorema de Pitágoras y teoremas relacionados. Segundo teorema de Thales y recíproco del teorema de Thales. Construcciones con regla y compás Construcción de: un segmento congruente con un segmento dado, un ángulo congruente con un ángulo dado, bisectriz de un ángulo, punto medio y mediatriz de un segmento, perpendicular a una recta en un punto dado de ésta, perpendicular a una recta que contenga un punto dado que no pertenece a la recta dada, paralela a una recta dada que contenga un punto dado, división de un segmento en partes iguales, construcción de un triángulo dados sus tres lados, una recta transversal a dos rectas paralelas dadas de un punto dado de modo que el segmento entre las paralelas posea una distancia dada, un triángulo equilátero conociendo la medida de su altura, un triángulo isósceles conociendo un ángulo de la base y la altura sobre ésta.

Bibliografía Clemens, S.; O’Daffer, P. & Cooney, T. (1997). Geometría con aplicaciones y solución de problemas. México. Addison – Wesley Iberoamericana. Eves, H. (1969). Estudio de las geometrías. México. UTEHA. Hemmerling, E. (1990). Geometría Elemental. México. Editorial Limusa. Moise, E. (1986). Geometría elemental desde un punto de vista avanzado. México. Editorial Continental. Moise, E. & Floyd, D. (1986). Geometría Moderna. México. Editorial Iberoamericana. O’Daffer, P. & Clemens, S. (1992). Geometry: A investigative Approach. Menio Park, C.A. Addison Wesley Piblishing Co.

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Rich, B (1991). Geometría. México. Mc Graw – Hill. Tsijli, T. (1999). Geometría Euclídea I. Editorial Universidad Estatal a Distancia. Varilly, J. (1988). Elementos de Geometría Plana. Editorial de la Universidad de Costa Rica.

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