Poliedros Regulares en el 3-Toro. Antonio Montero ∗ PCCM,

∗

Daniel Pellicer

?

UMSNH-UNAM

? CCM,UNAM

XXVIII Coloquio V´ıctor Neumann-Lara de Teor´ıa de las Gr´aficas Combinatoria y sus Aplicaciones Morelia, Marzo 2013.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

1 / 56

´Indice: 1

Introducci´on Hist´orica

2

Poliedros Regulares en E3 Poliedros Regulares Abstractos Operaciones con poliedros Realizaciones de Poliedros Regulares

3

El 3-Toro 3-Toro y sus isometr´ıas Ret´ıculas de Puntos

4

Poliedros Regulares en el 3-Toro Poliedros Finitos Poliedros de Petrie-Coxeter

5

Conclusiones

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

2 / 56

Introducci´on Hist´orica Los griegos conoc´ıan los S´ olidos Plat´ onicos y probaron que son todos los s´ olidos convexos regulares.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

3 / 56

Introducci´on Hist´orica Los griegos conoc´ıan los S´ olidos Plat´ onicos y probaron que son todos los s´ olidos convexos regulares.

(f) Tetraedro

(g) Cubo

(i) Icosaedro Tero, Daniel (PCCM, CCM)

(h) Octaedro

(j) Dodecaedro

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

3 / 56

Introducci´on Hist´orica Poliedros de Kepler-Poinsot

Con el tiempo aparecieron m´ as poliedros regulares:

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

4 / 56

Introducci´on Hist´orica Poliedros de Kepler-Poinsot

Con el tiempo aparecieron m´ as poliedros regulares:

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

4 / 56

Introducci´on Hist´orica Poliedros de Petrie-Coxeter

.. y m´as a´ un...

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

5 / 56

Introducci´on Hist´orica Poliedros de Petrie-Coxeter

.. y m´as a´ un...

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

5 / 56

Introducci´on Hist´orica

En los 70’s B. Gr¨ unbaum da una lista de 47 (s´ı ¡¡¡47!!!) poliedros regulares

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

6 / 56

Introducci´on Hist´orica

En los 70’s B. Gr¨ unbaum da una lista de 47 (s´ı ¡¡¡47!!!) poliedros regulares A principios de los 80’s A. Dress describe otro poliedro y prueba que la lista de 48 poliedros regulares es completa.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

6 / 56

Introducci´on Hist´orica

En los 70’s B. Gr¨ unbaum da una lista de 47 (s´ı ¡¡¡47!!!) poliedros regulares A principios de los 80’s A. Dress describe otro poliedro y prueba que la lista de 48 poliedros regulares es completa. En 1982 Danzer y Schulte definen politopo abstracto.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

6 / 56

Introducci´on Hist´orica

En los 70’s B. Gr¨ unbaum da una lista de 47 (s´ı ¡¡¡47!!!) poliedros regulares A principios de los 80’s A. Dress describe otro poliedro y prueba que la lista de 48 poliedros regulares es completa. En 1982 Danzer y Schulte definen politopo abstracto. En 1997 P. McMullen y E. Schulte prueban, partiendo del concepto de politopo abstracto, que la lista de Gr¨ unbaum y Dress es completa.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

6 / 56

´Indice: 1

Introducci´on Hist´orica

2

Poliedros Regulares en E3 Poliedros Regulares Abstractos Operaciones con poliedros Realizaciones de Poliedros Regulares

3

El 3-Toro 3-Toro y sus isometr´ıas Ret´ıculas de Puntos

4

Poliedros Regulares en el 3-Toro Poliedros Finitos Poliedros de Petrie-Coxeter

5

Conclusiones

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

7 / 56

Poliedros Abstractos

Definici´on Un poliedro abstracto P es un conjunto parcialmente ordenado con una funci´on de rango en {−1, 0, 1, 2, 3}.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

8 / 56

Poliedros Abstractos

Definici´on Un poliedro abstracto P es un conjunto parcialmente ordenado con una funci´on de rango en {−1, 0, 1, 2, 3}. Llamar´emos v´ertices, aristas y caras a los elementos de rango 0, 1 y 2 respectivamente.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

8 / 56

Poliedros Abstractos

Definici´on Un poliedro abstracto P es un conjunto parcialmente ordenado con una funci´on de rango en {−1, 0, 1, 2, 3}. Llamar´emos v´ertices, aristas y caras a los elementos de rango 0, 1 y 2 respectivamente. Una bandera es una terna (v, a, c) con v v´ertice, a arista y c cara donde v < a < c.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

8 / 56

Poliedros Abstractos

Definici´on Un poliedro abstracto P es un conjunto parcialmente ordenado con una funci´on de rango en {−1, 0, 1, 2, 3}. Llamar´emos v´ertices, aristas y caras a los elementos de rango 0, 1 y 2 respectivamente. Una bandera es una terna (v, a, c) con v v´ertice, a arista y c cara donde v < a < c. Adem´as P satisface un mont´ on de propiedades.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

8 / 56

Poliedros Abstractos Algunos ejemplos:

Rango 3

2

1

0

{a, b, c, d}

{a, b, c}{a, b, d}{b, c, d}{a, c, d}

{a, b} {a, c} {b, c} {a, d} {b, d} {c, d}

{a}

{b}

−1

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

{c}

{d}

∅

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

9 / 56

Poliedros Abstractos Algunos ejemplos:

Rango

Rango 3

2

1

0

{a, b, c, d}

3

{a, b, c}{a, b, d}{b, c, d}{a, c, d}

2

{a, b} {a, c} {b, c} {a, d} {b, d} {c, d}

{a}

{b}

−1

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

{c}

∅

{d}

1

0

−1

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

9 / 56

Poliedros Abstractos Algunos anti-ejemplos:

a

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

10 / 56

Poliedros Abstractos Algunos anti-ejemplos:

c a

a

v a0

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

c0

Coloquio 2013, Morelia

10 / 56

Poliedros Abstractos Automorfismos

Definici´on Si P es un poliedro, φ : P → P es un automorfismo de P si φ es una biyecci´on y tanto φ como φ−1 preservan orden, es decir, F 6 G si y s´olo si φ(F ) 6 φ(G).

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

11 / 56

Poliedros Abstractos Automorfismos

Definici´on Si P es un poliedro, φ : P → P es un automorfismo de P si φ es una biyecci´on y tanto φ como φ−1 preservan orden, es decir, F 6 G si y s´olo si φ(F ) 6 φ(G). Denotamos por Γ(P) al grupo de automorfismos de P.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

11 / 56

Automorfismos

R0

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

R1

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

Definici´on Diremos que un poliedro P es regular si Γ(P) act´ ua transitivamente en F(P), el conjunto de banderas de P.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

13 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

Teorema Un poliedro P es regular si y s´ olo si para alguna bandera Φ y para todo i ∈ {0, 1, 2} existe un automorfismo ρi de P tal que ρi (Φ) = Φi . Adem´ as, cada automorfismo ρi es una involuci´ on, es decir, ρ2i = Id.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

14 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

ρ0

ρ1 ρ2

ρ1

ρ2

ρ1

ρ2 ρ0

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

ρ0

Coloquio 2013, Morelia

15 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

Φ0

Φ

Φ1

Φ2

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

16 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

Φ0

Φ

ρ0

Φ1

Φ2

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

16 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

Φ0

Φ

ρ1

Φ1

Φ2

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

17 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

Φ0

Φ

Φ1

ρ2

Φ2

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

18 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Duales

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

19 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Duales

ρ0

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

20 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Duales

ρ0

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

ρ2

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

20 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Duales

ρ1

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

ρ1

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

21 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Duales

ρ2 ρ0

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

22 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

23 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

ρ1

ρ0

ρ2

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

23 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

24 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

ρ0 ρ1

ρ2

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

24 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

25 / 56

Poliedros Abstractos Poliedros Regulares

ρ0

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

ρ1

Poliedros Regulares en T3 τ

ρ2

Coloquio 2013, Morelia

25 / 56

Operaciones con Poliedros

De manera similar a la dualidad se pueden definir otras operaciones en poliedros regulares. La idea general es, dado un poliedro regular Q, construir un poliedro regular P a partir de Q de tal forma que Γ(P) = Γ(Q).

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

26 / 56

Operaciones con Poliedros

De manera similar a la dualidad se pueden definir otras operaciones en poliedros regulares. La idea general es, dado un poliedro regular Q, construir un poliedro regular P a partir de Q de tal forma que Γ(P) = Γ(Q). McMullen y Schulte prueban que un poliedro regular est´a totalmente determinado, salvo isomorfismo, por su grupo de automorfismos y sus generadores distinguidos.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

26 / 56

Operaciones con Poliedros Dualidad δ : (σ0 , σ1 , σ2 ) 7→ (σ2 , σ1 , σ0 ) =: (ρ0 , ρ1 , ρ2 ).

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

27 / 56

Operaciones con Poliedros Dualidad δ : (σ0 , σ1 , σ2 ) 7→ (σ2 , σ1 , σ0 ) =: (ρ0 , ρ1 , ρ2 ). Operaci´on de Petrie: π : (σ0 , σ1 , σ2 ) 7→ (σ2 σ0 , σ1 , σ2 ) =: (ρ0 , ρ1 , ρ2 ).

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

27 / 56

Operaciones con Poliedros Dualidad δ : (σ0 , σ1 , σ2 ) 7→ (σ2 , σ1 , σ0 ) =: (ρ0 , ρ1 , ρ2 ). Operaci´on de Petrie: π : (σ0 , σ1 , σ2 ) 7→ (σ2 σ0 , σ1 , σ2 ) =: (ρ0 , ρ1 , ρ2 ).

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

27 / 56

Operaciones con Poliedros Dualidad δ : (σ0 , σ1 , σ2 ) 7→ (σ2 , σ1 , σ0 ) =: (ρ0 , ρ1 , ρ2 ). Operaci´on de Petrie: π : (σ0 , σ1 , σ2 ) 7→ (σ2 σ0 , σ1 , σ2 ) =: (ρ0 , ρ1 , ρ2 ).

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

27 / 56

Operaciones con Poliedros Schulte y McMullen usaron operaciones de este estilo para clasificar a los poliedros finitos en tres familias:

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

28 / 56

Operaciones con Poliedros Schulte y McMullen usaron operaciones de este estilo para clasificar a los poliedros finitos en tres familias: Familia del Tetraedro {3, 3}

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

o

π

/

{4, 3}3

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

28 / 56

Operaciones con Poliedros Schulte y McMullen usaron operaciones de este estilo para clasificar a los poliedros finitos en tres familias: Familia del Tetraedro {3, 3}

o

π

/

{4, 3}3

Familia del Octaedro {6, 4}3

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

o

π

/ {3, 4} o

δ

/ {4, 3} o

Poliedros Regulares en T3 τ

π

/

{6, 3}4

Coloquio 2013, Morelia

28 / 56

Operaciones con Poliedros Schulte y McMullen usaron operaciones de este estilo para clasificar a los poliedros finitos en tres familias: Familia del Tetraedro

o

{3, 3}

π

/

{4, 3}3

Familia del Octaedro

o

{6, 4}3

/ {3, 4} o

π

δ

/ {4, 3} o

π

o

π

/

{6, 3}4

Familia del Icosaedro

o

O

{10, 5}



/

π

ϕ2

{6, 5 } 2

{ 10 , 3} 3

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

o

o

π

π

O

{3, 5}

/



o

{5, 3}

/

{10, 3}

ϕ2

o

{5 , 3} 2

/

δ

{5, 5 } 2

/

/

δ

o

δ

o

π

{5 , 5} 2

/

O 

ϕ2

{3, 5 } 2

o

Poliedros Regulares en T3 τ

π

/

O

{6, 5}



ϕ2

/ { 10 , 5 } 3 2

Coloquio 2013, Morelia

28 / 56

Realizaciones de Poliedros Regulares

Definici´on Una realizaci´on de un poliedro abstracto P es una funci´on β : P0 → E3 donde P0 es el conjunto de v´ertices de P de tal forma que cada automorfismo de Γ(P) induce una isometr´ıa en Af f (β(P0 )).

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

29 / 56

Realizaciones de Poliedros Regulares

Dada una realizaci´on, es posible recuperar la estructura del poliedro definiendo recursivamente funciones βi : Pi → P(Vi ).

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

30 / 56

Realizaciones de Poliedros Regulares

Dada una realizaci´on, es posible recuperar la estructura del poliedro definiendo recursivamente funciones βi : Pi → P(Vi ). Diremos que una realizaci´ on β es fiel si βi es inyectiva para toda i ∈ {−1, 0, 1, 2, 3}.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

30 / 56

Realizaciones de Poliedros Regulares

Dada una realizaci´on, es posible recuperar la estructura del poliedro definiendo recursivamente funciones βi : Pi → P(Vi ). Diremos que una realizaci´ on β es fiel si βi es inyectiva para toda i ∈ {−1, 0, 1, 2, 3}. Diremos que β es discreta si V = β(P0 ) es un conjunto discreto.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

30 / 56

´Indice: 1

Introducci´on Hist´orica

2

Poliedros Regulares en E3 Poliedros Regulares Abstractos Operaciones con poliedros Realizaciones de Poliedros Regulares

3

El 3-Toro 3-Toro y sus isometr´ıas Ret´ıculas de Puntos

4

Poliedros Regulares en el 3-Toro Poliedros Finitos Poliedros de Petrie-Coxeter

5

Conclusiones

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

31 / 56

El 3-Toro

Si τ = ht~υ1 , t~υ2 , t~υ3 i es un grupo de traslaciones con ~υ1 , ~υ2 , ~υ3 linealmente independientes definimos el 3-toro generado por τ como T3τ = E3 /τ = {[x]τ : x ∈ E3 }

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

32 / 56

El 3-Toro

Si τ = ht~υ1 , t~υ2 , t~υ3 i es un grupo de traslaciones con ~υ1 , ~υ2 , ~υ3 linealmente independientes definimos el 3-toro generado por τ como T3τ = E3 /τ = {[x]τ : x ∈ E3 } Definimos la m´etrica eτ en T3τ por: eτ ([x]τ , [y]τ ) = ´ınf {e(t1 (x), t2 (y)) : t1 , t2 ∈ τ } .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

32 / 56

El problema:

Decidir para qu´e grupos τ generados por 3 traslaciones linealmente independientes un poliedro regular P realizado en E3 tiene realizaci´on discreta en T3τ = E3 /τ .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

33 / 56

El problema:

Decidir para qu´e grupos τ generados por 3 traslaciones linealmente independientes un poliedro regular P realizado en E3 tiene realizaci´on discreta en T3τ = E3 /τ .

P

β

/ E3  

T3τ

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

33 / 56

El 3-Toro ¿Cu´ ando se portan bien las isometr´ıas?

Proposici´on Si g es isometr´ıa de E3 , g induce una isometr´ıa gˆ de T3τ si y s´ olo si g ∈ N (τ ), el normalizador de τ en Isom(E3 ).

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

34 / 56

El 3-Toro ¿Cu´ ando se portan bien las isometr´ıas?

Proposici´on Si g es isometr´ıa de E3 , g induce una isometr´ıa gˆ de T3τ si y s´ olo si g ∈ N (τ ), el normalizador de τ en Isom(E3 ).

E3 

T3τ

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

g

gˆ

/ E3  / T3 τ

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

34 / 56

Ret´ıculas de Puntos

Si τ = ht~υ1 , t~υ2 , t~υ3 i es un grupo generado por tres traslaciones linealmente independientes la ret´ıcula de puntos asociada a τ , denotada por Λτ , es el conjunto Λτ = [0]τ = {mv1 + nv2 + kv3 : m, n, k ∈ Z}.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

35 / 56

Ret´ıculas de Puntos Ejemplos

Si τ = h(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)i entonces Λτ = Z3 = Λ(1,0,0) .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

36 / 56

Ret´ıculas de Puntos Ejemplos

Si τ = h(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)i entonces Λτ = Z3 = Λ(1,0,0) . Si τ = h(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)i entonces Λτ = Λ(1,1,0) .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

36 / 56

Ret´ıculas de Puntos Ejemplos

Si τ = h(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)i entonces Λτ = Z3 = Λ(1,0,0) . Si τ = h(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)i entonces Λτ = Λ(1,1,0) . Si τ = h(1, 1, 1), (2, 0, 0), (0, 2, 0)i entonces Λτ = Λ(1,1,1) .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

36 / 56

Ret´ıculas de Puntos Ejemplos

Si τ = h(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)i entonces Λτ = Z3 = Λ(1,0,0) . Si τ = h(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)i entonces Λτ = Λ(1,1,0) . Si τ = h(1, 1, 1), (2, 0, 0), (0, 2, 0)i entonces Λτ = Λ(1,1,1) .

(a) Λ(1,0,0)

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

(b) Λ(1,1,0)

Poliedros Regulares en T3 τ

(c) Λ(1,1,1)

Coloquio 2013, Morelia

36 / 56

¿Cu´ando las isometr´ıas se portan bien con las ret´ıculas?

Proposici´on Sean τ un grupo de traslaciones generado por 3 traslaciones linealmente independientes, g ∈ Isom(E3 ). Entonces g ∈ N (τ ) si y s´ olo si g 0 preserva a Λτ .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

37 / 56

Primera aproximaci´on:

Estudiar ret´ıculas invariantes bajo reflexiones.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

38 / 56

Ret´ıculas Invariantes Bajo Reflexiones

Si Λ es una ret´ıcula invariante bajo la reflexi´ on por un plano Π que intersecta a Λ, entonces Λ tiene (a lo m´ as) dos clases de puntos:

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

39 / 56

Ret´ıculas Invariantes Bajo Reflexiones

Si Λ es una ret´ıcula invariante bajo la reflexi´ on por un plano Π que intersecta a Λ, entonces Λ tiene (a lo m´ as) dos clases de puntos: Aquellos cuya proyecci´ on en Π es un punto de Λ ∩ Π.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Ret´ıculas Invariantes Bajo Reflexiones

Si Λ es una ret´ıcula invariante bajo la reflexi´ on por un plano Π que intersecta a Λ, entonces Λ tiene (a lo m´ as) dos clases de puntos: Aquellos cuya proyecci´ on en Π es un punto de Λ ∩ Π. Aquellos cuya proyecci´ on en Π es punto medio entre dos puntos de Λ ∩ Π.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

39 / 56

Un poco de simbolog´ıa .. .

···

···

.. . (a) Proyecci´ on de Λ(1,0,0) en el plano x = 0.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Un poco de simbolog´ıa .. .

.. .

···

···

···

···

.. .

.. .

(a) Proyecci´ on de Λ(1,0,0) en el plano x = 0.

(b) Proyecci´ on de Λ(1,0,0) en el plano x = y.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Un poco de simbolog´ıa .. .

···

···

.. . (c) Proyecci´ on de Λ(1,1,1) en el plano x = 0.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Un poco de simbolog´ıa .. .

···

.. .

···

···

···

.. .

.. .

(c) Proyecci´ on de Λ(1,1,1) en el plano x = 0.

(d) Proyecci´ on de Λ(1,1,0) en el plano y = 0.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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´Indice: 1

Introducci´on Hist´orica

2

Poliedros Regulares en E3 Poliedros Regulares Abstractos Operaciones con poliedros Realizaciones de Poliedros Regulares

3

El 3-Toro 3-Toro y sus isometr´ıas Ret´ıculas de Puntos

4

Poliedros Regulares en el 3-Toro Poliedros Finitos Poliedros de Petrie-Coxeter

5

Conclusiones

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros Regulares en T3τ ¿Qu´e hemos hecho?

Dimos un criterio algebraico para determinar cu´ando un poliedro regular realizado en E3 admite realizaci´ on en T3 .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros Regulares en T3τ ¿Qu´e hemos hecho?

Dimos un criterio algebraico para determinar cu´ando un poliedro regular realizado en E3 admite realizaci´ on en T3 . Traducimos el criterio algebraico a un criterio geom´etrico en t´erminos de ret´ıculas.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

43 / 56

Poliedros Regulares en T3τ ¿Qu´e hemos hecho?

Dimos un criterio algebraico para determinar cu´ando un poliedro regular realizado en E3 admite realizaci´ on en T3 . Traducimos el criterio algebraico a un criterio geom´etrico en t´erminos de ret´ıculas. Determinamos condiciones para que una ret´ıcula quede invariante bajo una reflexi´on por un plano.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros Regulares Finitos en T3τ El Tetraedro

Si τ es un grupo generado por tres traslaciones linealmente independientes de tal forma que Λτ queda invariante bajo Γ(T ), entonces la proyecci´on de Λτ al plano de reflexi´ on de ρ1 ve como alguna de las siguientes:

0

Π0 ∩ Π2

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

0

Π0 ∩ Π2

Poliedros Regulares en T3 τ

0

Π0 ∩ Π2

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros Regulares Finitos en T3τ El Tetraedro

Teorema Sea τ un grupo generado por tres traslaciones linealmente independientes. El tetraedro regular T admite realizaci´ on en T3τ si y s´ olo si 2 Λτ ∈ {aΛ(1,0,0) , bΛ(1,1,0) , cΛ(1,1,1) : a > 2, b > 2, c > √ }. 3

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros Regulares Finitos en T3τ

¿Qu´e pasa con la familia del octaedro?

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros Regulares Finitos en T3τ El Octaedro y el Cubo

Teorema Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El octaedro regular admite realizaci´ on en T3τ si y s´ olo si Λτ ∈ {aΛ(1,0,0) , bΛ(1,1,0) , cΛ(1,1,1) : a > 2, b > 1c > 1}.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros Regulares Finitos en T3τ El Octaedro y el Cubo

Teorema Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El octaedro regular admite realizaci´ on en T3τ si y s´ olo si Λτ ∈ {aΛ(1,0,0) , bΛ(1,1,0) , cΛ(1,1,1) : a > 2, b > 1c > 1}.

Corolario Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El cubo C admite realizaci´ on en T3τ si y s´ olo si Λτ ∈ {aΛ(1,0,0) , bΛ(1,1,0) , cΛ(1,1,1) : a > 2, b > 2, c > 2}.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros Regulares Finitos en T3τ ¿Y el icosaedro?

Teorema Sea τ un grupo generado por 3 traslaciones linealmente independientes. Si G es un grupo de isometr´ıas de E3 que deja invariante a Λτ , entonces G no tiene rotaciones de orden distinto a 2, 3, 4 o 6.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros Regulares Finitos en T3τ ¿Y el icosaedro?

Teorema Sea τ un grupo generado por 3 traslaciones linealmente independientes. Si G es un grupo de isometr´ıas de E3 que deja invariante a Λτ , entonces G no tiene rotaciones de orden distinto a 2, 3, 4 o 6.

Teorema Si P es un poliedro de la familia del icosaedro, entonces no existe τ , un grupo generado por 3 traslaciones linealmente independientes, de tal forma que P tenga realizaci´ on en T3τ .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

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Poliedros de Petrie-Coxeter en T3τ

(a) {4, 6|4}

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

(b) {6, 4|4}

(c) {6, 6|3}

Poliedros Regulares en T3 τ

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Poliedros de Petrie-Coxeter en T3τ {4, 6|4} y {6, 4|4}

Teorema Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El poliedro {4, 6|4} admite realizaci´ on en T3τ si y s´ olo si Λτ ∈ {4aΛ(1,0,0) , 4bΛ(1,1,0) , 2cΛ(1,1,1) : a, b, c ∈ Z}.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Poliedros de Petrie-Coxeter en T3τ {4, 6|4} y {6, 4|4}

Teorema Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El poliedro {4, 6|4} admite realizaci´ on en T3τ si y s´ olo si Λτ ∈ {4aΛ(1,0,0) , 4bΛ(1,1,0) , 2cΛ(1,1,1) : a, b, c ∈ Z}.

Corolario Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El poliedro {6, 4|4} admite realizaci´ on en T3τ si y s´ olo si Λτ ∈ {4aΛ(1,0,0) , 4bΛ(1,1,0) , 2cΛ(1,1,1) : a, b, c ∈ Z}.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

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Poliedros de Petrie-Coxeter en T3τ {6, 6|3}

Teorema Sea τ un grupo de generado por tres traslaciones linealmente independientes. El poliedro {6, 6|3} admite realizaci´ on en T3τ si y s´ olo si Λτ ∈ {8aΛ(1,0,0) , 4bΛ(1,1,0) , 8cΛ(1,1,1) : a, b, c ∈ Z}.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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´Indice: 1

Introducci´on Hist´orica

2

Poliedros Regulares en E3 Poliedros Regulares Abstractos Operaciones con poliedros Realizaciones de Poliedros Regulares

3

El 3-Toro 3-Toro y sus isometr´ıas Ret´ıculas de Puntos

4

Poliedros Regulares en el 3-Toro Poliedros Finitos Poliedros de Petrie-Coxeter

5

Conclusiones

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Conclusiones ¿Qu´e hicimos?

Abordamos el problema de determinar aquellos grupos τ generados por tres traslaciones linealmente independientes para los cuales, un poliedro realizado en E3 , admite realizaci´on en T3τ .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Conclusiones ¿Qu´e hicimos?

Abordamos el problema de determinar aquellos grupos τ generados por tres traslaciones linealmente independientes para los cuales, un poliedro realizado en E3 , admite realizaci´on en T3τ . Estudiamos las ret´ıculas Λτ asociadas a los grupos τ , las cuales nos permitieron, por medio de an´ alisis geom´etrico, determinar condiciones para que los poliedros fueran realizados.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

53 / 56

Conclusiones ¿Qu´e hicimos?

Clasificamos los grupos τ para todos los poliedros finitos, as´ı como para los poliedros de Petrie-Coxeter obteniendo los siguientes resultados:

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Conclusiones ¿Qu´e hicimos?

Clasificamos los grupos τ para todos los poliedros finitos, as´ı como para los poliedros de Petrie-Coxeter obteniendo los siguientes resultados: I

Un poliedro de la familia del tetraedro, de la familia del octaedro o de la familia de alguno de los poliedros de Petrie-Coxeter admite realizaci´ on en T3τ si y s´ olo si Λτ es aΛ(1,0,0) , bΛ(1,1,0) o cΛ(1,1,1) para algunos par´ ametros a, b y c que dependen de las coordenadas de los v´ertices del poliedro.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

54 / 56

Conclusiones ¿Qu´e hicimos?

Clasificamos los grupos τ para todos los poliedros finitos, as´ı como para los poliedros de Petrie-Coxeter obteniendo los siguientes resultados: I

I

Un poliedro de la familia del tetraedro, de la familia del octaedro o de la familia de alguno de los poliedros de Petrie-Coxeter admite realizaci´ on en T3τ si y s´ olo si Λτ es aΛ(1,0,0) , bΛ(1,1,0) o cΛ(1,1,1) para algunos par´ ametros a, b y c que dependen de las coordenadas de los v´ertices del poliedro. No existe grupo τ de tal forma que un poliedro de la familia del icosaedro tenga realizaci´ on en T3τ .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Conclusiones ¿Qu´e queda por hacer?

Completar las lista de los 48.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Conclusiones ¿Qu´e queda por hacer?

Completar las lista de los 48. Completar la lista salt´ andose la realizaci´ on en E3 .

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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Conclusiones ¿Qu´e queda por hacer?

Completar las lista de los 48. Completar la lista salt´ andose la realizaci´ on en E3 . Explorar otras 3-variedades.

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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¡Gracias!

Tero, Daniel (PCCM, CCM)

Poliedros Regulares en T3 τ

Coloquio 2013, Morelia

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