13-1 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato

P atxi A guirrezabal Martin

13 POLIEDROS TETRAEDRO. CUBO. OCTAEDRO. PRISMA. PIRÁMIDE. CONO. CILINDRO. ICOSAEDRO. DODECAEDRO. ESFERA. Contornos aparente y oculto de un sólido. TEMPORALIZACIÓN: 5 horas

REPRESENTACIÓN DE POLIEDROS

Un poliedro es el cuerpo limitado por superficies planas, llamadas caras del poliedro. Si estas caras son todas iguales, la superficie poliédrica es regular. Los lados de las caras se denominan aristas. Teniendo en cuenta que las caras planas concurren en el vértice de un poliedro y sabiendo que la suma de estas caras no puede llegar a ser de 360°, en cuyo caso se trataría de un plano, los poliedros regulares no pueden ser más que cinco: Tetraedro, octaedro, hexaedro o cubo, icosaedro y dodecaedro. Hemos utilizado distintos tipos de nominaciones para los poliedros para demostrar que ésta es una opción del dibujante en aras de la facilidad de interpretación.

Tetraedro. Fig.13.1 Es el polígono regular formado por 4 caras triángulos equiláteros. Tiene cuatro vértices y seis aristas, con lo que se cumple la ley de EULER: Caras + Vértices = Aristas + dos La perpendicular trazada desde un vértice a la cara opuesta pasa por el centro de ella. La proyección vertical de la base se encuentra en la LT. La altura se determina constituyendo un triángulo rectángulo donde el cateto menor es la arista en proyección, R, la hipotenusa es una arista en verdadera magnitud, S y la altura es el otro cateto.

Poliedros 13-2

Fig.13.1

Hexaedro o cubo. Fig.13.2 El hexaedro es el poliedro regular de seis caras; estas caras son cuadrados, siendo sus poliedros triedos trirrectángulos, es decir, que las tres aristas que concurren en un vértice son perpendiculares entre sí. El hexaedro es un paralelepípedo pues sus caras opuestas son paralelas. Al unir los vértices opuestos dos a dos se obtienen cuatro diagonales que son iguales, oblicuas entre sí y que se cortan en el punto medio, que es el centro geométrico del poliedro. Conocida la arista, que define el cuerpo, se puede obtener la diagonal de una cara y la diagonal del poliedro, con dos sencillos triángulos rectángulos. En la figura se representan las proyecciones de un cubo con una cara en el plano H y también la de un cubo con una arista en el plano H. En la primera de las figuras, la proyección horizontal es un cuadrado, de lado la arista del poliedro, y la vertical es un rectángulo de altura igual a la citada arista. En la segunda figura el cubo tiene dos caras proyectantes horizontales y una arista, la 1-2 en el plano H. En proyección horizontal se toman los segmentos 5-7 y 6-8, perpendiculares a 1-2 e iguales a la diagonal d de una cara, ya que son rectas horizontales del plano. En proyección vertical, las aristas 5'-6' y 7'-8' tienen d/2 de cota y la arista 3'-4' tiene de altura la diagonal d de una cara.

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Fig.13.2

Octaedro. Fig.13.3 Es un poliedro formado por ocho caras, que son triángulos equiláteros. Tiene seis vértices y doce aristas. Las tres diagonales son iguales, perpendiculares y se cortan en el punto medio. Las caras opuestas son paralelas dos a dos. La arista define el poliedro y a partir de ella se puede determinar la longitud de una de sus diagonales. La figura de la izquierda muestra las proyecciones de un octaedro con una diagonal vertical. La proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista del poliedro; las aristas oblicuas se proyectan según las diagonales de este cuadrado. En proyección vertical, los vértices 5' y 6' son los extremos de la diagonal vertical y los otros cuatro vértices están en el plano horizontal de cota la mitad de la diagonal. Obsérvese en esta posición, que el poliedro se puede considerar como dos pirámides cuadrangulares unidas por sus bases.

Fig.13.3

En la figura del centro se representan las proyecciones del poliedro con una cara en el plano H. En proyección horizontal, la cara inferior y la superior se proyectan según

Poliedros 13-4

dos triángulos equiláteros inscritos en la misma circunferencia; el contorno aparente es un hexágono regular. En proyección vertical, estas dos caras están separadas por la cota h, diferencia de cotas del punto N, de cota cero, y del punto 6 de cota h; para hallar h, se construye el triángulo rectángulo N-6-(6o), siendo la hipotenusa N(6o) = 3-N, la altura de una cara. La proyección vertical del octaedro variará según cambie la posición de la cara situada en el plano H.

Prisma. Fig.13.4 La superficie prismática es una superficie radiada, es decir está engendrada por una recta, llamada generatriz, que trasladándose paralelamente a sí misma, se apoya sobre un polígono. Las posiciones de la generatriz en los vértices del polígono directriz se llaman aristas laterales de la superficie.

Fig.13.4

En general se especifica la forma de las bases (por ej., prisma de base triangular). El paralelepípedo es un prisma particular. Si las aristas tienen sus direcciones perpendiculares a los planos de las bases, el prisma es recto; en caso contrario es oblicuo. En la figura se representa un prisma recto de directriz pentagonal y situado en el plano H, con su desarrollo. Las aristas laterales son rectas perpendiculares al plano H. La cota h es la altura del prisma. Para dibujar el desarrollo tomamos las distancias, en la base, entre cada dos vértices y las situamos progresivamente sobre la LT. Dado que las bases se proyectan en el plano horizontal en verdadera magnitud, las copiaremos sobre el desarrollo.

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Pirámide. Fig.13.5 La superficie piramidal es una superficie radiada engendrada por una recta, que pasando por un punto fijo, se apoya en un polígono llamado directriz. El punto fijo es el vértice de la radiación o vértice de la superficie piramidal, también llamada cúspide de la pirámide. Las posiciones de la generatriz que pasan por los vértices del polígono directriz se llaman aristas laterales. Si a la superficie piramidal se limita por un plano que corta a todas las aristas laterales, tendremos el cuerpo llamado pirámide. Se llama pirámide regular la que tiene por base un polígono regular y cuya cúspide tiene sus proyección ortogonal al centro de ésta.

Fig.13.5

Cono. Fig.13.6 El cono es la superficie cónica limitada por un plano. La superficie cónica está engendrada por una recta, que pasando por un punto fijo llamado vértice de la radiación, se apoya sobre una curva, llamada directriz que puede ser una curva cualquiera, plana o alabeada. La superficie cónica queda definida conociendo la directriz y el vértice. Si el cono tiene por base un círculo, se llama circular, y si su eje es perpendicular al plano de la base, cono recto, recibiendo el nombre de oblicuo, en el caso contrario.

Poliedros 13-6

El caso más sencillo de desarrollo es el del cono recto de base circular, situado en el plano horizontal. Su desarrollo es un sector circular cuyo radio es igual a la generatriz del cono y cuyo arco ABA tiene una longitud l, igual a la de la circunferencia de la base del cono. El procedimiento más rápido para obtener este desarrollo, consiste en calcular el ángulo " del sector, en función de la generatriz g y del radio r de la base del cono. y como l=2Br, resulta de donde "=360.r/g Tomando, pues con un transportador, el ángulo " y describiendo, con centro en V y radio r, el arco ABA, se obtiene el desarrollo de la figura.

Cilindro. Fig.13.7 La superficie cilíndrica es una superficie radiada, engendrada por una recta, que apoyándose sobre una curva, se traslada paralelamente a sí misma. La recta que engendra la superficie se llama generatriz y la curva sobre la que se apoya es la directriz de la superficie. El desarrollo del cilindro es un rectángulo cuya longitud es igual a la rectificación de la circunferencia de la base

Fig.13.7

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Icosaedro. Fig.13.8 Es el poliedro regular formado por 20 caras triángulos equiláteros. El poliedro se compone de dos pirámides pentagonales regulares e iguales, de bases paralelas y de una faja de diez triángulos limitados por dichas bases. En la figura se representa un icosaedro con una diagonal vertical, 1'-2'. En esta posición los pentágonos 5-7-9-11-3 y 6-8-10-12-4, bases de las dos pirámides, por estar contenidos en planos paralelos al horizontal, se proyectan en verdadera magnitud. Hecha esta advertencia, la proyección horizontal se reduce al trazado de dos pentágonos regulares inscritos en la misma circunFig.13.8 ferencia, siendo los vértices de uno de ellos los puntos medios de los arcos correspondientes a los lados del otro. En la proyección vertical, el vértice 1' está en la LT; los vértices del pentágono 11'-9'3'-7'-5' están situados en una paralela a la línea de tierra trazada a una distancia H, que se determina reconstruyendo el triángulo rectángulo HAB con datos sacados de la proyección horizontal de la figura; los vértices 10',12',8',4', 6' del pentágono se proyectan en otra paralela a la línea de tierra distante de la anterior H1, que se determina por el triángulo rectángulo CH1B1 con datos igualmente tomados de la proyección horizontal (B1 es igual a B); por último, el vértice 2' se proyecta a una distancia 8'-2'=H

Desarrollo del icosaedro

Poliedros 13-8

Dodecaedro. Fig. 13.9 Es el poliedro formado por 12 caras iguales, pentágonos regulares. Tiene veinte vértices y treinta aristas. Las bases son paralelas entre si, y de cada arista de las bases sale otro pentágono; los cinco pentágonos que parten de una de las bases se engarzan en los otros cinco que parten de la otra para formar la superficie lateral. En la figura se representan las proyecciones de un dodecaedro con una cara en el plano H. Se coloca el pentágono de la base 11-21-31-41-51 y 12-22-32-42-52 y se abaten sobre el plano H las caras pentagonales que tienen por aristas comunes con la base las 11-51 y 51-41. Construidos estos dos pentágonos se ve que el vértice 190 es el abatido del vértice 19. Según esto, por los dos abaFig.13-9 timientos 190 se trazan las perpendiculares a las respectivas charnelas; estas perpendiculares se cortan en 191, proyección horizontal del vértice 19. El resto de las proyecciones horizontales de os vértices se encuentran en la misma circunferencia que el vértice 191. Para hallar las proyecciones verticales se determinan las cotas “H” y “h” a las que se encuentran los vértices. Los vértices 11, 13, 15, 17 y 19 tienen “h2" de cota. Esta cota es el cateto de un rectángulo triángulo cuyo otro cateto es 81-141; proyección de la arista y cuya hipotenusa es la arista en verdadera magnitud. Los vértices 12, 14, 16, 18 y 20 tienen “H” de cota. Esta cota es el cateto de un rectángulo triángulo cuyo otro cateto es N-201, y cuya hipotenusa es la verdadera magnitud N-200 de dicho segmento. Los vértices 6, 7, 8, 9 y 10 tienen “H + h” de cota.

Esfera. Fig.13.10 La esfera es la superficie de revolución engendrada por una circunferencia que gira alrededor de uno de sus diámetros. Sea el punto O-O' el centro de la esfera. Las proyecciones sobre los planos de proyección son dos circunferencias. Se llama ecuador de la esfera, supuesto el eje vertical, a la circunferencia máxima producida por un plano perpendicular al eje que pasa por su centro. Este ecuador se proyecta según e-e' . La proyección e es la circunferencia proyección horizontal de la esfera y la proyección e' es la recta A2-B2.

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Un meridiano de la esfera es la circunferencia máxima producida por un plano que pasa por el eje. Todos los meridianos son iguales. El meridiano que es paralelo al plano vertical se llama meridiano principal y se proyecta según m-m'; la proyección m es la recta A1-B1 y la proyección m' es la circunferencia proyección vertical de la esfera. Se llama paralelo a la sección producida por un plano cualquiera perpendicular al eje de la Fig.13.10 esfera. El ecuador es el mayor de los paralelos. Para situar un punto en la superficie esférica, se coloca sobre una línea cualquiera de ella; así, los puntos 1-1' y 2-2' están sobre el paralelo p-p' y además pertenecen a la esfera, por estar en una circunferencia de ella. El siguiente capítulo se dedica expresamente a esta figura.

Contorno aparente y oculto de un sólido. Como norma general siempre que queramos dibujar el contorno aparente (aristas vistas de un poliedro) y el oculto de un cuerpo tendremos en cuenta lo siguiente: 1.- Todas las aristas exteriores son siempre vistas 2.- De dos aristas vistas, en la base del poliedro (apoyado sobre el plano), sale siempre una arista vista. Según esto no podemos encontrar ninguna arista oculta (en trazo discontinuo) si esta arista forma parte del contorno exterior del poliedro. Este proceso que se cumple para todos los cuerpos y planos en que se apoyen debe ser revisado en el caso de cuerpos situados en el plano que pasa por la LT.

Representación de un poliedro situado sobre un plano. Pirámide. Caso general. Fig.13.11 Para representar cualquier poliedro apoyado en un plano de proyección deben seguirse los siguientes pasos: Supuesta la representación de una pirámide, de la que se conocen el tamaño de la base y su altura. 1.- Representar el plano dado por sus trazas. 2.- Abatir el plano para poder situar en él la base de la figura, dada en verdadera magnitud. 3.- Desabatir el plano para hallar las proyecciones de la base. Según el tipo de poliedro puede ser necesario desabatir el centro de la base. Una vez desabatida la base y hallada la proyección horizontal del plano, dibujar la proyección vertical de la base

Poliedros 13-10

por medio de rectas contenidas en el plano. 4.- Dibujar por el centro de las bases en proyección una recta, indefinida, perpendicular a las trazas del plano. 5.- Tomar en la perpendicular un punto cualquiera y hallar la diferencia de cotas m-n entre dicho punto y el centro de la base. 6.- Sobre la recta altura en verdadera magnitud obtenida en el paso 5, situar a partir de la proyección horizontal del centro de la base, la altura real de la pirámide. 7.- R e a l i za r e l p ro ce so contrario a la obtención de la verdadera magnitud de la altura. Por el extremo opuesto a la altura real de la pirámide dibujada en el paso 6, llevar paralela a la diferencia de cotas m-n, con lo que obtendremos un punto en proyección sobre la perpendicular a la traza horizontal del plano. (5) 8.- Levantar el punto (5) obtenido en el paso anterior sobre la perpendicular a la traza vertical del plano. 9.- Dibujar los contornos aparentes y ocultos del poliedro, recordando que todas las aristas exteriores deben ser vistas. Las aristas de la base que no se encuentran en el exterior del cuerpo son aristas no vistas y por tanto toda arista que no salga de dos aristas vistas en la base no puede ser visFig.13.11 ta.

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Representación de un cubo situado sobre un plano oblicuo. Caso general. Fig.13.12

Fig.13.12

Intersección de una recta con un poliedro. Caso general. Fig.13.13 Se hace pasar un plano $ por la recta, en este caso un plano proyectante horizontal. Se determina la sección que produce dicho plano en el poliedro y los puntos donde la recta corte a esta sección son los puntos de intersección buscados (ver figura 14.9). En la Fig.13.13 el plano corta al cubo según las rectas verticales que arrancan de los puntos A1 y B1 que son puntos de entrada y salida de la recta en el poliedro.

Fig.13.13