SOLUCIONARIO

SGUICES036MT22-A16V1

Poliedros

1

TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Poliedros Ítem Alternativa

Habilidad

1

D

Aplicación

2

A

Comprensión

3

E

Aplicación

4

B

ASE

5

D

ASE

6

C

Aplicación

7

D

Aplicación

8

B

Aplicación

9

D

ASE

10

C

Aplicación

11

E

ASE

12

D

ASE

13

A

Aplicación

14

C

Aplicación

15

E

Comprensión

16

B

Comprensión

17

C

Aplicación

18

D

Aplicación

19

B

ASE

20

B

Aplicación

21

A

Comprensión

22

D

Aplicación

23

D

ASE

24

A

ASE

25

D

ASE

2

1. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

Si el arista de un cubo mide 4 cm, entonces reemplazando en la fórmula del área tenemos: Área del cubo: 6a² = 6·4² = 6·16 = 96 Luego, el área del cubo es 96 cm2

2. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Comprensión

Si el arista de un cubo mide 2 cm, entonces reemplazando en la fórmula del volumen tenemos: Volumen del cubo: a³ = 2³ = 8 Luego, el doble del volumen es 16 cm3

3. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

Al decir que la “capacidad” del cubo es 8 litros, se está indicando que el volumen del cubo es 8 litros, que es equivalente a 8.000 cm3 . Es decir: Volumen del cubo  a3  8.000 cm3

Entonces, a  3 8.000cm 3 = 20 cm. Luego, cada arista (a) mide 20 cm, y como en total son 12 aristas, la suma de todas ellas es 12 ∙ 20 = 240 cm.

3

4. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE Área del cubo 1 6  a2 9   2 16 Área del cubo 2 6b

Aplicando la fórmula de las áreas, tenemos

Donde a: arista del cubo 1, y b: arista del cubo 2. Simplificando por 6, y luego a2 9 aplicando raíz cuadrada tenemos  2 16 b



a 3  b 4

Ahora, elevamos la razón a 3, para calcular el volumen de cada cubo, obteniendo: Volumen de l cubo 1 a 3 27  3  Volumen de l cubo 2 64 b

Luego, la razón entre los volúmenes es 27: 64.

5. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

Si el volumen es 729 cm3, entonces la arista mide 9 cm, luego: I)

Verdadera, ya que la diagonal de la cara (cuadrada) mide 9 2 cm.

II)

Falsa, ya que el área del cubo es 6 veces el área de una cara, es decir, 6∙81 = 486 cm2.

III)

Verdadera, ya que la diagonal de un cubo corresponde al producto entre la medida de su arista y raíz de 3. Luego, en este caso, como la arista es 9 cm, la diagonal mide 9 3 cm.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

4

6. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El área del paralelepípedo se calcula como: Área del paralelepípedo = 2(largo · ancho + ancho · alto + alto · largo) Luego, reemplazando los valores proporcionados, se tiene Área del paralelepípedo = 2(48 + 18 + 24) = 2·90 = 180 cm2

7. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El volumen de la caja se calcula como: largo · ancho · alto. Luego, reemplazando los valores indicados en la figura, se tiene que: Volumen = 10 · 2 · 4 = 80 cm3 Luego, el triple del volumen es 240 cm3.

8. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

Si la caja tiene base cuadrada, y, el ancho y el alto están en la razón 2:3, entonces se puede decir que: largo, ancho y alto, miden 3k, 2k y 2k , respectivamente, para algún valor k en los reales. Entonces: Volumen del paralelepípedo = largo · ancho · alto 3k

96 = 2k · 2k · 3k 96 = 12k3 8 = k3 2=k

2k

2k

Entonces, el largo, el ancho y el alto miden 4 cm, 4 cm y 6 cm, respectivamente. Luego: Área de la caja = 2(4 · 4 + 4 · 6 + 6 · 4) = 2(16 + 24 + 24) = 2·64 = 128 cm2

5

9. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

Si Área del cubo, supongamos de arista a, es 384, entonces 384 = 6a2. Luego, 64 = a2  8=a I)

Verdadera, ya que en un cubo el total de aristas es 12, entonces 12 ∙ 8cm = 96 cm.

II)

Falsa, ya que el volumen sería igual a (8 cm)3 = 512 cm3

III)

Verdadera, ya que la diagonal de un cubo equivale al producto entre la arista y raíz de 3. En este caso, como la arista es 8, la diagonal mide 8 3 cm.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

10. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El área de un paralelepípedo se calcula como la suma de todas las áreas que lo limitan, es decir, A = 2(largo · ancho + largo · alto + ancho · alto). Como el largo, el ancho y el alto están en la razón 2: 1: 1, y el área mide 80 cm², entonces, para algún k en los reales se cumple que: Área = 2(2k·k + 2k·k + k·k) = 80  10k² = 80  k² = 8  k = Luego, el largo mide 2 8 cm, el ancho mide

8 cm y el alto mide

8 8 cm.

Finalmente, como el volumen de un paralelepípedo se calcula como el producto entre el largo, ancho y alto, se obtiene que: Volumen = 2 8 · 8 · 8 = 2·8· 8 = 16· 2 2 = 32 2 Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo mide 32 2 cm³.

6

11. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

El volumen de la caja original de arista 20 cm. es Volumen = arista3 Volumen = 203 Volumen = 8.000 cm3.

(Reemplazando) (Elevando al cubo)

Si cada una de las aristas de la caja fuera 5 cm menor, es decir el cubo tuviera aristas de 15 cm, entonces: Volumen = arista3 Volumen = 153 Volumen = 3.375 cm3

(Reemplazando) (Elevando al cubo)

Luego, para determinar cuánto volumen menos tendría la caja, calculamos la diferencia entre los volúmenes: (8.000 – 3.375) = 4.625 cm3. Por lo tanto, si cada una de las aristas de la caja fuera 5 cm menor, la caja podría contener 4.625 cm3 menos.

12. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

1 litro de agua corresponde a 1.000 cm3, por lo tanto 100 litros de agua corresponden a 100.000 cm3, volumen contenido en un paralelepípedo de largo 80 cm, ancho 50 cm y alto desconocido. El volumen de un paralelepípedo se calcula: Volumen = largo · ancho · alto 100.000 = 80 · 50 · alto 100.000 = 4.000 · alto 100.000 = alto 4.000 25 = alto

(Reemplazando) (Desarrollando la multiplicación) (Dividiendo por 4.000)

7

Es decir, el agua en el acuario alcanza una altura de 25 cm. Como el alto del acuario es de 70 cm, entonces entre el borde superior del acuario y la superficie del agua, hay una distancia de 45 cm.

13. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Volúmenes y superficies Aplicación

El área de un cubo de arista a es: A = 6a2 Como la arista del cubo del enunciado es 8, entonces su área es: A = (6  82) = (6  64) = 384 Luego, un cuarto de esa área sería (384: 4) = 96

14. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El volumen de agua, corresponde al volumen del acuario menos el volumen de la caja. El volumen del acuario es El volumen de la caja es

V1 = (50  100  40) = 200.000 cm3 V2 = (10  20  5) = 1.000 cm3

Luego, el volumen de agua es

(V1 – V2) = (200.000 – 1.000) = 199.000 cm3

15. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Comprensión

La cantidad de caras de un icosaedro es 20.

8

16. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Comprensión

Volumen prisma = Área de la base · Altura = 14 · 12 = 168 cm3

17. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El volumen de un prisma es igual al producto entre el área de la base y su altura. En este caso, la base es un hexágono regular, el que está formado por 6 triángulos equiláteros de lado

2 y su altura es

5 . Luego, el volumen del prisma es:

 lado 2  Área = 6 ·   3  ·  4 

 22   3 · 5 =6·   4   

2  5 = 6 ·   3 · 4 

Recuerda que el área de un triángulo equilátero es A 

5 = 3 15

lado 2  3. 4

18. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El volumen de un prisma se calcula como el producto entre el área de la base, y su altura. Como en este caso las bases son hexágonos regulares y las caras laterales son cuadradas, entonces todas las aristas del cuerpo son iguales. Dado que cada cara lateral es un cuadrado de área 12 cm², entonces cada lado del cuadrado mide 12  2 3 cm. Luego, todas las aristas del cuerpo miden 2 3 cm, incluyendo la altura. Luego, la base es un hexágono regular de lado 2 3 cm. y su área equivale a 6 triángulos equiláteros de igual lado, es decir:

lado 2  3 (2 3 ) 2  3 12  3  6  6  18 3 cm². Área = 6  4 4 4

9

Entonces, el volumen del prisma es: Volumen = Área basal · altura = 18 3  2 3 = 36·3 = 108 cm³.

19. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

El área de un prisma se calcula como la suma de todas las áreas que lo limitan. Como ABED es un cuadrado de lado a, entonces las hipotenusas de los triángulos isósceles rectángulo ABC y DEF, también miden a y sus catetos

a 2 . 2

Entonces: Área cuadrado ABED = a² Área triángulos ABC y DEF =

1 a 2 a 2 a2  2 a2     2 2 2 8 4

Área rectángulos ACFD y BCFE =

Área prisma = a² +

a 2 a2 2 a  2 2

3 2 2  a2 2 a2 2 a2 a2  1   + + + = a²· 1   2  = a²·   2 2 2 4 4  2   

3 2 2   ·a². Por lo tanto, el área total del prisma es  2  

20. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

Para calcular el área de un poliedro, se debe sumar las áreas de todas sus caras. Cada uno de los triángulos rectángulos congruentes tiene base 3 cm y altura 4 cm. Por lo tanto, el área de cada uno de ellos es: base  altura 2 3 4 Área  2

Área 

(Reemplazando)

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Área = 6 El rectángulo vertical tiene largo de 4 cm y ancho de 2 cm. Luego, su área mide: Área = largo · ancho Área = 4 · 2 Área = 8

(Reemplazando)

El rectángulo horizontal tiene un largo de 3 cm y un ancho de 2 cm. Luego, su área mide: Área = largo · ancho Área = 3 · 2 Área = 6

(Reemplazando)

Como el triángulo rectángulo tiene catetos 3 y 4, entonces su hipotenusa, por trío pitagórico, mide 5 cm. Entonces, el rectángulo diagonal tiene un largo de 5 cm y un ancho de 2 cm. Luego, su área mide: Área = largo · ancho Área = 5 · 2 Área = 10

(Reemplazando)

Al sumar las áreas de las cinco caras resulta: Área total = 6 + 6 + 8 + 6 + 10 = 36 Por lo tanto, el área total del prisma mide 36 cm2.

21. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Comprensión

La pirámide de la figura, está compuesta de 12 aristas, 7 caras y 7 vértices.

11

22. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

1 (Área de la base · Altura). Luego: 3 4.950 1 1 Área = · 152 · 22 = · 225 · 22 = = 1.650 cm3 3 3 3

El volumen de una pirámide es igual a

23. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

El volumen de una pirámide equivale a un tercio del área de la base por la altura. Entonces, si una pirámide recta de altura h tiene como base un cuadrado de lado x, su volumen es

x2h . 3

Si el lado de la base aumenta en 3 unidades, manteniendo la altura constante, entonces el nuevo volumen es ( x  3) 2  h ( x 2  6 x  9)  h x 2 h  6 xh  9h x 2 h     2 xh  3h 3 3 3 3

Por lo tanto, el volumen de la pirámide aumenta en (2xh + 3h) unidades.

24. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

En las condiciones dadas en la figura, cada uno de los cuadrados que apareció luego del corte es congruente con el que fue removido de la superficie del cubo original. Luego, en términos del área, los tres cuadrados que se restan de la parte exterior se vuelven a sumar en la parte interior. Entonces, él área total de la figura después del corte es igual al área total del cubo antes del corte. Luego: (1)

El volumen del cubo original es de 1.000 cm³. Con esta información, y la del enunciado, se puede determinar el área total de la figura, ya que

12

Volumen = arista3 1.000 = arista3 10 = arista

(Reemplazando el valor del volumen) (Aplicando raíz cúbica)

Es decir, la arista del cubo original mide 10 cm. El área de un cubo se calcula: Área = 6 · arista2 Área = 6 · 102 Área = 6 · 100 Área = 600

(Reemplazando) (Desarrollando las operaciones)

Luego, el área del cubo original mide 600 cm2. Por lo tanto, por lo explicado anteriormente, el área total de la figura mide 600 cm2. (2)

El volumen cortado es de 125 cm3. Con esta información y la del enunciado, no se puede determinar el área total de la figura, ya que no se puede determinar la medida de la arista del cubo original.

Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

25. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

El área total de un paralelepípedo se calcula: Área = 2 · (largo · ancho + ancho · alto + largo · alto) Como el paralelepípedo tiene un área total de 800 cm2, entonces: 2 · (largo · ancho + ancho · alto + largo · alto) = 800 largo · ancho + ancho · alto + largo · alto = 400

(Dividiendo por 2)

Si se conocen las dimensiones, es posible calcular el volumen como: Volumen = largo · ancho · alto Luego: (1)

Dos de sus caras son cuadrados cuyo lado mide 10 cm. Con esta información y la del enunciado, se puede calcular el volumen del paralelepípedo, ya que significa que dos de sus dimensiones (es irrelevante cuales) miden 10 cm.

13

Luego, reemplazando en el despeje del enunciado por ejemplo el alto y el ancho con 10 cm, se puede calcular el largo: largo · ancho + ancho · alto + largo · alto = 400 largo · 10 + 10 · 10 + largo · 10 = 400 20 · largo + 100 = 400 20 · largo = 400 – 100 20 · largo = 300 largo = 15

(Reemplazando) (Agrupando) (Agrupando) (Desarrollando) (Dividiendo por 20)

Luego, el largo mide 15 cm. Entonces el volumen mide (10 · 10 · 15) = 1.500 cm3. (2) Las tres aristas que salen de un vértice están en la razón 2 : 2 : 3. Con esta información, se puede calcular el volumen del paralelepípedo, ya que se puede escribir cada dimensión en términos de una constante de proporcionalidad K: alto = 2K, ancho = 2K y largo = 3K. Luego, reemplazando en el despeje del enunciado, resulta: largo · ancho + ancho · alto + largo · alto = 400 3K · 2K + 2K · 2K + 3K · 2K = 400 6K2 + 4K2 + 6K2 = 400 16K2 = 400 K2 = 25 K=5 Luego: alto = 2K = 2 · 5 = 10 cm, ancho = 2K = 2 · 5 = 10 cm largo = 3K = 3 · 5 = 15 cm Entonces el volumen mide (10 · 10 · 15) = 1.500 cm3. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

14

(Reemplazando) (Desarrollando) (Reduciendo) (Dividiendo por 16) (Aplicando raíz cuadrada)