POLÍGONOS REGULARES

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DEFINICIÓN DE POLÍGONO REGULAR Son los polígonos cerrados y convexos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales. ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES Como el resto de polígonos, tienen vértices, lados, ángulos y diagonales. Pero los regulares tienen además otras propiedades y elementos. Todos los polígonos regulares tienen centro, circunferencia inscrita, circunferencia circunscrita, apotema y radio. C. Circunscrita: C. Inscrita: Apotema: Radio: Ángulo central: Ángulo interior:

La que pasa por todos los vértices del polígono. La que es tangente a todos los lados del polígono. Es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado. Es el segmento que une el centro con un vértice. El que forman dos radios consecutivos. El que forman dos lados consecutivos, por el interior del polígono. circunferencia circunscrita

ángulo central

radio

apotema

M

ángulo interior

PROPIEDADES El centro del polígono es a su vez centro de ambas circunferencias. El radio del polígono es el radio de la C. Circunscrita, y la apotema del polígono es el radio de la C. Inscrita. Todos los polígonos regulares pueden construirse a partir de uno solo de sus datos: radio, apotema, lado, ángulo, diagonal... El polígono regular de tres lados es el triángulo equilátero, el de cuatro es el cuadrado. El triángulo no tiene diagonales, el cuadrado y el pentágono tienen las diagonales iguales; a partir del hexágono (incluído) las diagonales pueden tener diferentes medidas. A partir del pentágono (incluído) todos tienen los llamados polígonos estrellados.

PROFESOR: Alfredo Ponce Cinos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

circunferencia inscrita

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POLÍGONOS REGULARES

MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN Existen varios métodos, unos son los llamados métodos generales, que en algunos casos son únicamente aproximados y no son recomendables si se requiere exactitud y precisión. Sirven para dibujar cualquier polígono regular. Los métodos específicos son exactos y existe uno para cada polígono regular hasta once lados aproximadamente. Existen métodos a partir del lado y a partir del radio.

MÉTODOS GENERALES Por los ángulos centrales Consiste en calcular la medida del ángulo central del polígono regular a construir y después, mediante un transportador de ángulos, ir sumando ángulos iguales al calculado. Veamos un ejemplo:

Marcamos el centro de la circunferencia con un punto; trazamos un radio con la medida pedida y luego una circunferencia con el mismo radio del polígono.

Un eneágono es un polígono de nueve lados, por lo tanto tiene también nueve ángulos centrales. Hacemos el cálculo del valor de cada ángulo central, dividiendo el ángulo completo de la circunferencia entre nueve: 360º : 9 = 40º

Con el transportador construimos un ángulo de 40º y trazamos el segundo radio. Sobre este nuevo radio construimos otro ángulo de 40º, así sucesivamente hasta completar el polígono.

40º 40º 40º

40º

Pasar medidas repetidamente con un transportador puede dar mucho error de dibujo. Para que ese error sea mínimo procedemos de la siguiente forma: En lugar de situar el transportador cada vez que marquemos un ángulo central, lo dejamos fijo y vamos marcando las sumas de los ángulos sucesivamente: 40º, 80º, 120º, 160º, 200º...

NO

SÍ

40º 40º

40º

40º 40º

80º 120º

160º 0º

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Construir un eneágono regular de radio 3 cm.

3

POLÍGONOS REGULARES

MÉTODOS ESPECÍFICOS A PARTIR DEL RADIO Recordemos primero que el radio del polígono y el de la circunferencia circunscrita miden lo mismo. La circunferencia tiene infinitos radios y el polígono regular tiene tantos radios como vértices, pero miden lo mismo. Esto quiere decir que el problema es el mismo en estos casos: - Cuando se da el radio del polígono - Cuando se da el radio de la circunferencia circunscrita - Cuando se da la circunferencia circunscrita ya dibujada - Cuando se pide un polígono inscrito en una circunferencia

Trazamos dos ejes perpendiculares, con escuadra y cartabón.

Medimos el radio que nos dan y trazamos una circunferencia, que será la circunscrita al polígono pedido.

radio

Podemos conseguir también los polígonos de doble número de lados trazando la mediatriz de un lado o la bisectriz de un ángulo central. Por ejemplo, el dodecágono a partir del hexágono: Mediante una bisectriz o una mediatriz encontramos un vértice intermedio del dodecágono.

Con la medida del lado del hexágono hacemos centro en el nuevo vértice P y “pasamos” la medida por el resto de la circunferencia.

Unimos todos los vertices, los anteriores y los nuevos, obteniendo el dodecágono.

o on ág ex oh

lad

P

P

P

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En cualquiera de los casos y para cualquier polígono empezaremos siempre a partir de la circunferencia con el radio dado. Para hacerlo correctamente reduciendo en lo posible el error de dibujo, seguiremos estos pasos:

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POLÍGONOS REGULARES CUADRADO a partir del radio Es el polígono regular de cuatro lados. El radio es la mitad de la diagonal. Trazamos dos ejes perpendiculares, con escuadra y cartabón y la circunferencia circunscrita con el radio.

Unimos los puntos de corte de los ejes con la circunferencia. C

radio

D

B

Si queremos que el cuadrado quede “derecho” trazamos otros dos ejes a 45º con los anteriores, bien con escuadra y cartabón o mediante la bisectriz del de 90º.

D

C

A

B

OCTÓGONO a partir del radio Si estudiamos el cuadrado veremos que con dos pares de ejes perpendiculares y a 45º, uniendo todos los puntos de corte obtenemos el octógono.

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A

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POLÍGONOS REGULARES

HEXÁGONO o EXÁGONO a partir del radio Es el polígono regular de seis lados. Propiedad importante: el radio y el lado miden lo mismo. De esta propiedad se deduce la forma de construirlo, “pasando” la medida del radio por la circunferencia circunscrita. Trazamos dos ejes perpendiculares, con escuadra y cartabón y la circunferencia circunscrita con el radio.

Con el compás y la medida del radio, hacemos centro en un punto de la circunferencia, por ejemplo el A. Trazamos un arco que corte a la circunferencia y obtenemos el punto el punto B. B

radio

Repetimos la operación esta vez con centro en B, para obtener el punto C.

B

Hacemos lo mismo sucesivamente desde cada nuevo punto. Si se traza correctamente, el último punto debe coincidir con el primero, el A. Uniendo los vértices A, B, C... en el mismo orden en que se hicieron obtenemos el hexágono. B

C

C

A A

D

F

E

Si observamos el hexágono ya construido vemos que podemos simplificar el trazado con dos único arcos desde los extremos de un diámetro. Puede hacerse cuando se tienen los diámetros perpendiculares; si no se tienen hay que realizar el trazado anterior. B

C

A

D

F

E

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A

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POLÍGONOS REGULARES

TRIÁNGULO EQUILÁTERO a partir del radio Es el polígono regular de tres lados. Si observamos el hexágono regular veremos que uniendo vértices alternos obtenemos nos queda un triángulo equilátero, por lo que el método es el mismo pero tomando sólo tres vértices. Si queremos que el triángulo tenga la base horizontal empezaremos haciendo centro en el vértice inferior. A

A

C

B

HEPTÁGONO a partir del radio Es el polígono regular de siete lados. Partimos igualmente de los ejes. Con el compás y la medida del radio, hacemos centro en el punto P de la circunferencia, y trazamos un arco que corte a la circunferencia en los puntos 1 y 2.

Trazamos el segmento 1-2, que corta al radio OP en el punto medio M.

2

2

O

O

M P

P

1

1 El segmento 1-M (o el 2-M ya que son iguales), es la medida del lado del heptágono. Tomamos esta medida con el compás y, al igual que con el hexágono, la “pasamos” por la circunferencia. r=M2

A

Para que el polígono tenga la base horizontal empezamos a pasar los lados desde el vértice superior A. Atención: no confundir el vértice E con el punto 1. A

2 G

B

O

M

P F

C

G

B

O F

C

1 D

E

D

E

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B

C

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POLÍGONOS REGULARES

PENTÁGONO a partir del radio Es el polígono regular de cinco lados. Parece el más complicado pero es el mismo que el heptágono y un paso más. Trazamos el segmento 1-2, que corta al radio OP en el punto medio M.

Partimos igualmente de los ejes. Con el compás y la medida del radio, hacemos centro en el punto P de la circunferencia, y trazamos un arco que corte a la circunferencia en los puntos 1 y 2.

2

2

O

O

M P

P

Tomamos como centro el punto M y abrimos el compás hasta el punto A. Trazamos el arco desde A hasta cortar en el punto 3.

A

La distancia A-3 es la medida del lado del pentágono. Como en el heptágono “pasamos” esta medida por la circunferencia, comenzando en el vértice A para que la base quede horizontal. r=A3

2

A

2

E

B O

O

M

3

M

3

P

C

1

A

E

B O

C

D

P

1

D

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1

1

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POLÍGONOS REGULARES

DECÁGONO a partir del radio Es el polígono regular de diez lados. El método es exactamente el mismo que el del pentágono. Únicamente hay que tomar como medida del lado el segmento O-3. Trazamos el segmento 1-2, que corta al radio OP en el punto medio M.

Partimos igualmente de los ejes. Con el compás y la medida del radio, hacemos centro en el punto P de la circunferencia, y trazamos un arco que corte a la circunferencia en los puntos 1 y 2.

2

2

O

O

M P

P

La distancia O-3 es la medida del lado del decágono. Como en los anteriores “pasamos” esta medida por la circunferencia. Si queremos que un lado quede horizontal comenzamos a pasar el lado desde A.

Tomamos como centro el punto M y abrimos el compás hasta el punto A. Trazamos el arco desde A hasta cortar en el punto 3.

2

2

O

O

M

3

M A

3

P

1

3

1

r=0 -

A

O A

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1

1

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POLÍGONOS REGULARES ENEÁGONO a partir del radio Es el polígono regular de nueve lados. Es algo diferente al resto de polígonos regulares.

Con centro en el punto P y radio P-1, trazamos un arco que corte a la prolongación del eje horizontal de la circunferencia en le punto 2.

Partimos igualmente de los ejes. Con el compás y la medida del radio, hacemos centro en el punto A de la circunferencia, y trazamos un arco que corte a la circunferencia el punto 1.

A

A

1

1

2

O

O

Haciendo centro ahora en el punto 2 y abriendo el compás hasta A, trazamos un arco hasta encontrar el punto 3 sobre el eje horizontal.

El segmento Q-3 es la medida del lado del eneágono. Como en los otros, pasaremos esta medida por la circunferencia con el compás. Si comenzamos en A quedará la base horizontal. A

A

1

1 O

Q

2

2

O 3

3

P

P r=Q-3

A

O

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P

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POLÍGONOS REGULARES

ESQUEMA RESUMEN Excepto para el eneágono, podemos reunir todos los polígonos en un único esquema, con lo cual no es necesario memorizar ocho métodos, sino recordar sólo un trazado. Realizando los trazados del pentágono marcamos sobre el mismo dibujo los segmentos correspondientes a cada polígono.

A

1-2 = Q-N = A-3 = O-A = M-2 = O-3 =

2

M

triángulo equilátero cuadrado pentágono hexágono heptágono decágono

P

3

N

del del del del del del

Los lados del octógono y del dodecágono se obtienen, como se indicó en la 1ª página, a partir del cuadrado y del hexágono respectivamente, trazando la mediatriz de un lado o la bisectriz de un ángulo central.

1

Como se puede comprobar con solo dos operaciones (una mediatriz más un arco) se consiguen los más complicados. Para el heptágono y el triángulo equilátero solo hace falta la mediatriz y para el cuadrado y el hexágono bastan los ejes perpendiculares. Lógicamente no hay que realizar todos los trazados siempre, sino únicamente los necesarios para cada polígono.

ERRORES DE DIBUJO El error de dibujo se nota especialmente en trazados en los que hay que repetir muchas veces ciertas operaciones, como en los polígonos regulares, en los que hay que pasar la medida de los lados repetidamente. Un error de dibujo de 0,2 mm (que es poco a simple vista) repetido doce veces en un dodecágono se convierte en un error visible. Para minimizar o al menos reducir a la mitad el error de dibujo, cuando hayamos obtenido la medida del lado, deberemos pasar la mitad de los lados en un sentido y la otra mitad en el otro alrededor de la circunferencia.

A

O

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O

Q

lado lado lado lado lado lado

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POLÍGONOS REGULARES

MÉTODOS ESPECÍFICOS A PARTIR DEL LADO El dato de partida será el lado del polígono, bien por su medida o bien por un segmento ya dibujado en el papel. Los métodos a partir del lado son, en general, algo más complicados, por el número de operaciones y porque son bastante diferentes entre sí, a diferencia de los métodos por el radio. ANTES DE EMPEZAR Algunas cosas de interés comunes a casi todos los trazados: 1. Los métodos están relacionados en cierta forma, lo que facilita su memorización. Como se verá el polígono de 6 está relacionado con el de 3, el de 8 con el de 4, el de 9 con el de 3, el de 10 con el de 5, el de 12 con el de 6. Es decir, están relacionados los que son múltiplos unos de otros.

3. Los trazados deben hacerse muy minuciosamente ya que es fácil confundir centros, puntos, etc. fijándose bien en los dibujos explicativos. 4. El error de dibujo es mayor que en los métodos del radio por el número de trazados. Hay que cuidar la precisión en los trazados desde el primer paso. 5. Se usan frecuentemente los trazados de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, que recordamos debajo. También las perpendiculares y paralelas, que realizaremos con escuadra y cartabón. MEDIATRIZ de un segmento: Recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.

BISECTRIZ de un ángulo: Recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales, pasando por el vértice.

Se toma con el compás una medida claramente mayor que la mitad del segmento. Haciendo centro en los extremos A y B del segmento trazamos dos arcos que se cortan en los puntos 1 y 2. La recta que pasa por ellos es la mediatriz.

Se toma con el compás una medida cualquiera y se traza un arco con centro en el vértide del ángulo, obteniendo los puntos 1 y 2. Se traza la mediatriz del segmento 1-2 que resulta ser la bisectriz.

1 2 B

A

V 1 2

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2. En casi todos los métodos el objetivo de los trazados es obtener el centro de la circunferencia circunscrita, y una vez dibujada ésta, “pasar” la medida del lado por ella, como en los métodos del radio.

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POLÍGONOS REGULARES CUADRADO a partir del lado Es el polígono regular de cuatro lados.

B

A

Con centro en un extremo y con el radio igual al lado, trazamos un arco hasta encontrar el punto C.

Por C trazamos una paralela hasta encontrar D.

C

C

B

A

B

A

También puede trazarse un ángulo de 45º con escuadra y cartabón, desde uno de los extremos del lado hasta encontrar el vértice C. C

C

45º B

A

B

A

TRIÁNGULO EQUILÁTERO a partir del lado Es el polígono regular de tres lados. Con centro en un extremo y la medida del lado trazamos un arco que sobrepase el centro del segmento por arriba.

Con la misma medida y centro en en otro extremo trazamos un arco similar que se cortará en el vértice C.

Unimos el vértice C con los otros dos.

C

C

A

B

A

B

A

B

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Trazamos dos perpendiculares por los extremos del lado, suficientemente largas.

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POLÍGONOS REGULARES

HEXÁGONO O EXÁGONO a partir del lado Es el polígono regular de seis lados. Para comprender el trazado veremos primero la relación entre el hexágono y el triángulo equilátero. Si observamos un hexágono regular comprobaremos que está compuesto de seis triángulos equiláteros.

O

B

Además todos los triángulos tienen uno de sus vértices en el centro de la circunferencia circunscrita del hexágono. Por lo tanto, para construir un hexágono a partir del lado primero construiremos el triángulo equilátero inferior. Con centro en el vértice superior del triángulo haremos una circunferencia que pase por A y B, que es la circunferencia circunscrita del hexágono. Con la medida del lado del hexágono hacemos el trazado de un triángulo equilátero. (No es necesario dibujar el triángulo, aquí se representa por facilitar la comprensión).

B

A

B

A

Con centro en el vértice superior O trazamos una circunferencia que pase por A y B , que será la circunferencia circunscrita del hexágono.

Tomando la medida del lado AB con el compás, la “pasamos” por la circunferencia, como en el método del radio.

O

O

A

B

A

B

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A

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POLÍGONOS REGULARES

PENTÁGONO a partir del lado Es el polígono regular de cinco lados. Para entender mejor el proceso observemos antes el esquema inferior. Si tomamos un lado y dos diagonales convenientemente veremos que se forman tres triángulos isósceles, uno de vértices ABD y otros dos iguales de vértices BCD y ADE. E

E

D

D

C

D

E

E

C

3º

2º

1º A

B

A

B

A

A

B

B

Trazamos una perpendicular por el extremo B, con escuadra y cartabón.

A

Trazamos la mediatriz del lado AB, encontrando el punto M.

Con centro en el extremo B y radio BA, trazamos un arco hasta la perpendicular, encontrando el punto P.

M

A

B

Con centro en M y radio MP trazamos un arco hasta encontrar el punto Q, en la prolongación del lado AB hacia la derecha.

P

A

B

B

P

A

M

B

Q

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El proceso es dibujar primero el triángulo ABE y luego añadir los otros dos. Si conociéramos la medida de la diagonal el problema se reduce a construir triángulos a partir de los tres lados. El método que veremos a continuación sirve para encontrar la medida de la diagonal a partir del lado.

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POLÍGONOS REGULARES

PENTÁGONO Continuación a partir del lado El segmento AQ resultante es la medida de la diagonal del pentágono que estábamos buscando.

P

M

A

B

Q

Ahora construimos los triángulos isósceles que se indicaban al principio: primero el ABD, luego los BDC y ADC.

E

ra d

io

AB

radio A Q

C

A

A

B

B

Únicamente queda tener en cuenta que no es necesario dibujar el triángulo interior y que NO debemos borrar los trazados anteriores, eliminados arriba para facilitar la comprensión. El conjunto quedará como en el dibujo inferior. D

P

E

A

C

M

B

Q

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D

D

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POLÍGONOS REGULARES

De aquí deducimos el método: primero construimos un pentágono regular con el lado AB del decágono. El vértice superior será el centro de la circunferencia circunscrita del decágono, por la que “pasaremos” el lado AB. Construimos un pentágono a partir del lado lado AB del decágono.

Con centro en el vértice superior trazamos una circunferencia por A y B, que es la circunscrita al decágono.

O

A

B

A

Pasamos la medida del lado AB por la circunferencia, la mitad en un sentido y la otra mitad en el contrario, para reducir el error.

B

Uniendo los puntos de corte obtenemos el decágono. G

F E

H

O

O

I

D

C

J radio AB

A

B

A

B

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DECÁGONO a partir del lado Es el polígono regular de diez lados. Como se indicó en la página 11 el decágono y el pentágono están relacionados, lo que facilita mucho su trazado. Si observamos el decágono inferior veremos que, al construir un pentágono con el mismo lado, el vértice superior coincide con el centro del decágono, al igual que ocurría con el hexágono y el triángulo equilátero.

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POLÍGONOS REGULARES

OCTÓGONO a partir del lado Es el polígono regular de ocho lados. Como se indicó en la página 11 el octógono y el cuadrado están relacionados, lo que facilita mucho su trazado. Si observamos el octógono inferior veremos que, al construir un cuadrado con el mismo lado y trazar su circunferencia circunscrita, ésta pasa por el centro O del octógono.

De aquí deducimos el método: primero construimos un cuadrado con el lado AB del octógono. Trazaremos el centro de la circunferencia circunscrita del cuadrado y hallaremos O, centro de la circunferencia circunscrita del octógono, por la que “pasaremos” el lado AB. Construimos un cuadrado a partir del lado lado AB del octógono.

Con escuadra y cartabón trazamos la mediatriz del lado AB, que debe pasar por el centro del cuadrado. La prolongamos hacia arriba hasta cortar en O a la circunferencia.

Trazamos las diagonales del cuadrado para hallar su centro y su circunferencia circunscrita.

O

A

B

A

Con centro en O trazamos una circunferencia por A y B, que es la circunscrita del octógono.

B

B

A

Pasamos la medida del lado AB por la circunferencia, en ambos sentidos. Uniendo construimos el octógono. E

F

G

D O

O

C

H

A

B

radio AB

A

B

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O

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POLÍGONOS REGULARES

DODECÁGONO a partir del lado Es el polígono regular de doce lados. Está relacionado con el hexágono y a su vez éste con el triángulo equilátero. El dodecágono tiene su centro en la circunferencia circunscrita del hexágono.

O

V

Con centro en el vértice superior V t ra z a m o s l a c i r c u n fe r e n c i a circunscrita del hexágono, que no es necesario dibujar.

Construimos un triángulo equilátero a partir del lado lado AB del dodecágono.

Con escuadra y cartabón trazamos la mediatriz del lado AB, que debe pasar por el vértice V del triángulo. La prolongamos hacia arriba hasta cortar en O a la circunferencia. O

V

A

V

A

B

A

B

Con centro en O trazamos una circunferencia por A y B, que es la circunscrita del dodecágono.

B

Pasamos la medida del lado AB por la circunferencia, en ambos sentidos. Uniendo construimos el dodecágono. H

G

I

F

J

E O

O K

D

C

L A

B

radio A B

A

B

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Método: Con el lado AB del dodecágono construimos un hexágono y su circunferencia circunscrita. Con ella hallamos O. centro de la circunferencia circunscrita del dodecágono.

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POLÍGONOS REGULARES ENEÁGONO a partir del lado Es el polígono regular de nueve lados. Está relacionado con el triángulo equilátero.

Método: Partimos del lado AB del eneágono. Los pasos a realizar sirven para obtener el centro de la circunferencia circunscrita del eneágono.

A

B

A

B

Unimos los puntos M y N y prolongamos la altura del triángulo, que corta a MN en el punto O.

Prolongamos los lados del triángulo hasta cortar a la circunferencia en M y N.

B

ATENCIÓN: No confundir el punto O en MN con el punto de corte en la circunferencia. NO

O SÍ

A

A

B

Con centro en O trazamos una circunferencia por A y B, que es la circunscrita del eneágono.

A

B

B

Pasamos la medida del lado AB por la circunferencia, en ambos sentidos. Uniendo construimos el eneágono. F G

E

D

H O

O

I

C

radio AB

A

B

A

B

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A

Con centro en V, vértice superior del triángulo, trazamos una circunferencia que pase por P.

Hallamos el centro del triángulo P mediante dos alturas, con escuadra y cartabón.

Construimos un triángulo equilátero a partir del lado AB del eneágono.

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POLÍGONOS REGULARES HEPTÁGONO a partir del lado Es el polígono regular de siete lados.

Método: Partimos del lado AB del heptágono. Los pasos a realizar sirven para obtener el centro de la circunferencia circunscrita del heptágono. Trazamos la mediatriz del lado AB.

Construimos un triángulo rectángulo tomando como cateto el lado AB del heptágono, y con un ángulo de 30º. Obtenemos el tercer vértice P.

P

30º

B

El punto O es el centro de la circunferencia circunscrita del heptágono.

Con centro en el extremo A, (el vértice del ángulo de 30º siempre) trazamos un arco que pasae por P, hasta cortar a la mediatriz en O.

O

O

P

P

A

B

A

A

B

Pasamos la medida del lado AB por la circunferencia, en ambos sentidos. Uniendo construimos el heptágono.

O

P rad io

AB

A

B

B

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A

P

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POLÍGONOS REGULARES OTRAS PROPIEDADES QUE AYUDAN A MEJORAR LOS TRAZADOS

Tienen siempre lados opuestos paralelos. Tienen siempre un vértice opuesto a otro. Las diagonales que unen vértices opuestos se cortan en el centro.

Polígonos con número impar de lados: Tienen un vértice opuesto a un lado, pero no otro lado opuesto. No hay diagonales que pasen por el centro.

CENTRO DEL POLÍGONO REGULAR El centro del polígono es también el de sus circunferencias inscrita y circunscrita. Las mediatrices de los lados se cortan en el centro. Las bisectrices de los ángulos interiores se cortan en el centro. Las diagonales que unen vértices opuestos (número par) se cortan en el centro. circunferencia circunscrita circunferencia inscrita

Para hallar el centro de un polígono regular dado podemos hacer cualquiera de estas cosas: Las mediatrices de dos lados que no sean opuestos.

Las bisectrices de dos ángulos que no sean opuestos.

Dos diagonales entre vé r t i c e s o p u e sto s (polígonos pares).

Una combinación de las anteriores.

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POLÍGONOS CON NÚMERO PAR O IMPAR DE LADOS Polígonos con número par de lados:

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POLÍGONOS REGULARES

ALTURA DE UN POLÍGONO REGULAR En un polígono impar la altura se mide desde el punto medio de un lado hasta el vértice opuesto. En uno par se mide desde el punto medio de un lado hasta el punto medio del lado opuesto.

a

altura

altura

r

a

a

Impares: La altura es la suma de una radio más una apotema.

Pares: La altura es la suma dos apotemas.

= = M

POLÍGONOS de número doble de lados Podemos conseguir los polígonos de doble número de lados trazando la mediatriz de un lado o la bisectriz de un ángulo central. Se halla el centro del polígono y se traza su circunferencia circunscrita.

Trazamos una mediatriz o bisectriz hasta cortar a la circunferencia circunscrita en V, que será un vértice intermedio del polígono doble.

El vértice nuevo unido a uno del anterior nos da el lado del polígono doble.

O V

V

A

PROFESOR: Alfredo Ponce Cinos. Se prohíbe la distribución y reproducción sin citar autor y procedencia. Se prohíbe la venta sin autorización expresa del autor.

MEDIATRICES de los lados Las mediatrices de los lados en un polígono regular coinciden con las bisectrices de los ángulos centrales. Si se dibuja bien y se dispone de un buen material, pueden hacerse con escuadra y cartabón, trazando una perpendicuar al lado pasando por el centro.