MÓDULO MATEMÁTICA Cuaderno 2

Módulos de trabajo para los alumnos del último año del Nivel Medio/Polimodal.

Dirección de Articulación de Niveles Educativos

Universidad Nacional del Nordeste

A u t o r i d a d es Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología

Universidad Nacional del Nordeste

Lic. Daniel Filmus - Ministro

Arq. Oscar Vicente Valdés – Rector

Dr. Juan Carlos Pugliese - Secretario de Políticas Universitarias

Dr. Héctor J. Zimerman – Vicerrector

Lic. Gustavo Crisafulli – Responsable

Med. Vet. Oscar Maccio – Secretario

Área de Articulación

General Académico

Prof. Aldo F. Lineras – Director de

Articulación de Niveles Educativos

Gobierno de la Provincia de Corrientes

Gobierno de la Provincia del Chaco

Dr. Horacio Colombi – Gobernador

Sr. Roy A. Nikisch – Gobernador

Dr. Eduardo Galantini – Vicegobernador

Dr. Eduardo A. Moro - Vicegobenador

Dr. Carlos J. Vignolo – Ministro de

Dr. Jaime L. Grabow – Ministro de

C.P. Rubén A. Ojeda – Subsecretario de

Prof. Martha Fassano –Subsecretaria de

Educación y Cultura Educación

Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología Educación

Prof. Alejandra S. de Panseri – Directora de Enseñanza Media y Superior

DIRECCIÓN DE ARTICULACIÓN DE NIVELES EDUCATIVOS Prof. Aldo F. Lineras – Director de Articulación de Niveles Educativos Prof. Mariana Ojeda – Equipo de Apoyo Técnico Plácido Martínez 1383, Corrientes, Capital. TE/FAX: 03783 – 425314 / 464483 E –mail: [email protected]

ELABORACIÓN DEL MÓDULO

Coordinación Pedagógica

María Paula Buontempo

Coordinación del Módulo:

María Cristina Beltrametti

Autoras

Nelci Noemí del Carmen Acuña Daniela Inés Andreoli Milena Balbi Silvia Mazza

Corrección de estilo

Olga Musimessi

Diseño y diagramación

Julieta Guidici Alberto Rolando Dahan

Octubre 2005

Prólogo El presente material es producto del Programa de Articulación Universidad Nivel Medio II que llevan adelante la Secretaría de Políticas Universitarias y la Universidad Nacional del Nordeste en convenio con los Ministerios de Educación de las Provincias de Chaco y de Corrientes. Se trata de una segunda serie de publicaciones que deben sumarse a las producidas durante 2003, como resultado de la primera etapa de nuestras acciones de articulación. En tal sentido, el presente nos encuentra firmes en el compromiso de trabajar cooperativamente con los demás actores educativos en un esfuerzo basado en la convicción de que la excelencia y calidad de la formación de los egresados se consigue pensando al sistema como tal. Por lo tanto, el tránsito desde los estudios medios hacia los superiores se constituye en espacio de especial referencia para las políticas que buscan asegurar la igualdad de oportunidades en educación, a la vez que son la base del mejoramiento en el ingreso y la retención en estudios superiores. Los equipos redactores han sido conformados con personal universitario y del nivel medio pues se ha buscado en todo momento que los aportes teóricos disciplinares puedan ser pensados a la luz de las prácticas docentes que utilizarán el material. Desde la Universidad Nacional del Nordeste confiamos en que el camino que hemos iniciado profundiza la democratización de nuestro sistema educativo pues el éxito de estas acciones aumentará las posibilidades de los estudiantes de encarar satisfactoriamente sus estudios superiores.

Arq. Oscar Vicente Valdés Rector - UNNE

In t r o d u c c i ó n Con este segundo cuaderno, destinado a los alumnos del Nivel Polimodal que aspiran a cursar alguna carrera en la UNNE, se pretende recrear los aprendizajes de contenidos matemáticos que pueden haber sido aprendidos en los niveles de EGB y Polimodal, a través de situaciones, que les permitan involucrarse paulatinamente con problemas que pongan en juego herramientas y procedimientos específicos de la matemática, continuando su formación iniciada en los niveles escolares anteriores. Planteamos actividades que seguirán la línea de trabajo del Cuaderno I de esta serie, relacionadas con algunos de los procedimientos generales del quehacer matemático: lectura e interpretación de información, interpretación y representación de conceptos y relaciones en distintos marcos (físico, gráfico, geométrico, modelización de si-

tuaciones problemáticas a través de materiales, tablas, dibujos, fórmulas, generalización de soluciones y resultados, elaboración de conjeturas). La Matemática sirve a otras ciencias como herramienta, fundamentalmente en la modelización y el análisis, esto se tratará de hacer con los contenidos seleccionados: las expresiones algebraicas, identidades y ecuaciones lineales y el estudio de la relación de la variabilidad entre cantidades, y las funciones y sus gráficas. Corresponde, por un lado, un tratamiento más sistemático de la noción de variable, parámetro y dependencia, caracterización de dominios o conjuntos de definición, y distintas formas de representación (coloquial, gráfica, algebraicas, tablas, entre otras.)

En las reuniones de articulación del Nivel Polimodal con la Universidad se acordó que para el aprendizaje de los contenidos de la asignatura Matemática correspondientes a los planes de estudio de las diversas carreras de la UNNE, se requiere que los estudiantes hayan desarrollado algunas competencias básicas y específicas, y para este cuaderno se tomaron para su desarrollo las siguientes: • Resolver situaciones problemáticas utilizando correctamente el método de modelización algebraica consistente en la elección del modelo algebraico adecuado: ecuaciones o inecuaciones, sistemas de ecuaciones o sistemas de inecuaciones, el planteamiento del problema, la resolución del modelo algebraico (ecuación, inecuación o sistema), la verificación de las soluciones y la posterior discusión de resultados. • Identificar, definir, graficar, describir e interpretar funciones polinómicas de primero y segundo grado y funciones trascendentes: la logarítmica y la exponencial.

Para lo cual se plantearan actividades para que el alumno pueda realizar: • Traducción de las condiciones de un fenómeno o problema en términos de igualdades, ecuaciones o inecuaciones. • Resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de primer grado por métodos gráficos y algebraicos. • Anticipación de la solución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas lineales a partir del análisis de tablas y gráficos. • Modelización de situaciones problemáticas, expresando las condiciones como ecuaciones o sistemas de ecuaciones y /o inecuaciones. • Resolución analítica y gráfica, por distintos métodos, de ecuaciones de primer grado con una incógnita; sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y /o inecuaciones de primer grado; ecuaciones de segundo grado; ecuaciones logarítmicas, exponenciales (casos simples); sistemas de dos ecuaciones lineales. • Comparación de métodos y discusión del número de soluciones en la resolución de distintos tipos de ecuaciones, inecuaciones y sistemas. • Utilización del lenguaje gráfico para expresar relaciones funcionales y como síntesis de éstas.

• Descripción de un fenómeno utilizando funciones. • Discriminación de relaciones funcionales que aparecen en los periódicos y otras fuentes de información. • Utilización del lenguaje gráfico para expresar relaciones funcionales y como síntesis de estas. • Utilización del lenguaje algebraico para describir gráficas sencillas. • Descripción de las características más importantes de una función a través de su gráfica. • Discriminación de relaciones no funcionales a través de sus gráficos o tablas. • Reconocimiento desde el gráfico del dominio y de la imagen de funciones y análisis de las gráficas de funciones basándose en propiedades de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos, periodicidad, continuidad. • Análisis de los ceros, máximos y mínimos de funciones elementales a partir de su expresión analítica y las variaciones en los gráficos al variar los parámetros. • Relaciones entre la ecuación general de la recta y su gráfico (variaciones del gráfico según cambian los parámetros de la ecuación, pendiente, cantidad de datos necesarios para determinar una recta y obtener su ecuación, distintas formas de representar una recta: ecuación general, forma explicita.)1

En el material comprende seis capítulos: Función Lineal, Sistemas de Ecuaciones Lineales, Función y Ecuación cuadrática, Polinomios, Función Exponencial y Función Logarítmica, Vectores y un Glosario. En cada uno de ellos encontraran problemas resueltos, actividades para resolver y al finalizar cada capítulo ejercicios y problemas de autoevaluación. Se ha querido también aprovechar la oportunidad de brindar situaciones que completen algunos aprendizajes que serán de gran utilidad a la hora de afrontar los estudios universitarios.

1. Acuerdo realizado en las reuniones de articulación entre UNNE, y representantes de los Ministerios de Educación de Chaco y Corrientes.

CAPÍTULO 1. LA FUNCIÓN LINEAL

Este Capítulo contiene Las Relaciones entre Variables. Funciones. La Función de Proporcionalidad entre dos Variables. La Representación de Funciones. Coordenadas en el Plano. La Función Lineal. Ecuación de la Recta. Forma Explícita, Implícita y Segmentaria de la Ecuación de la Recta. Componentes. Paralelismo y Perpendicularidad entre Rectas. Casos Particulares. Recordando algunas Aplicaciones. Para Resolver. Para Autoevaluación. Respuestas.

Autor Silvia M. Mazza

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Las Relaciones entre Variables - Funciones: Recordando que entre dos variables se pueden establecer diferentes tipos de relaciones, en este capítulo vamos a dedicarnos a estudiar algunas funciones. Veamos un ejemplo: EJEMPLO 1:

En una fiesta familiar, un fotógrafo debía registrar los diferentes grupos para organizar el álbum familiar. Específicamente debía formar grupos de padres e hijos. Para conocer las relaciones que existían entre los diferentes integrantes de la familia consultó a cada joven acerca de quién era su padre. Obtuvo la siguiente información que volcó en una tabla: Como podemos ver entre estos dos conjuntos de personas es posible establecer la relación “es hijo de”, en la que a cada joven le corresponde un padre. La relación “es hijo de” permite asociar a cada individuo del grupo de los jóvenes con un individuo del grupo de los mayores que es su padre. Este tipo de relaciones en la que cada individuo del primer conjunto (jóvenes) (denominado dominio: A) puede relacionarse con un individuo del segundo conjunto (mayores) (denominado imagen: B), recibe el nombre de función. El fotógrafo fue muy astuto, porque le preguntó a los jóvenes por su padre. ¿Qué hubiera pasado si hubiera consultado a los mayores acerca de quién era su hijo? Probablemente hubiera perdido más tiempo, porque podía haber personas mayores que no tuvieran hijos o que tuvieran más de un hijo. Entonces ¿la relación que hubiera establecido, “es padre de”, cumple con la condición de ser una función? No sería una función en el caso de que no se verifique que todo elemento del primer conjunto A (mayores) tenga un único correspondiente en el segundo conjunto B (jóvenes), es decir que un padre tuviera más de un hijo. Vemos entonces que si una relación entre dos variables es una función, no necesariamente su inversa será también una función.

Joven (A) José María Luis Víctor Elena

Es hijo de (B) Marcelo Esteban Alberto Juan César

Se dice que f es una función de un conjunto A en otro conjunto B sí y sólo sí f es una relación entre A y B, tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B.

La Función de Proporcionalidad entre dos Variables: Recordemos algunas nociones ya vistas sobre proporcionalidad: En muchas situaciones la relación que existe entre dos magnitudes o variables permanece constante. Por ejemplo, sea “x” una variable e “y” otra variable, se verifica la relación “y es el doble de x”.

13

Cuando el cociente entre dos variables es una constante, ambas variables presentan una proporcionalidad directa. Generalizando se puede establecer la función y = kx Donde el valor de la razón (constante entera = k), se denomina constante de proporcionalidad.

La relación funcional entre ambas variables puede ser resumida en una tabla, en la que se asignan diferentes valores a x obteniéndose diferentes valores para y: Se verifica que yx =2 para cada par que pertenece a la relación.

Asignándole a x valores enteros entre 0 y 5 por ejemplo, obtenemos la siguiente tabla (1):

x x1 x2 x3 x4 . . . xn

y y1 = 2x1 y2 = 2x2 y3 = 2x3 y4 = 2x4 . . . yn = 2xn

x 0 1 2 3 4 5

y 0 2 4 6 8 10

La Representación de Funciones – Coordenadas en el Plano: Si imaginamos en el plano dos ejes orientados perpendiculares entre sí, que se cruzan en el punto que denominaremos origen del sistema de coordenadas, obtenemos un par de ejes coordenados cartesianos ortogonales. El eje horizontal constituye el eje de las abscisas “x” y el vertical el eje de las ordenadas “y”. El plano queda dividido en 4 regiones o cuadrantes. Por convención las abscisas son positivas en el primer y cuarto cuadrantes y las ordenadas en el primero y segundo cuadrantes y negativas en los otros. Considerando para cada eje, a partir del origen, un segmento arbitrariamente elegido, al que asignaremos longitud igual a uno, este es el segmento unidad, podemos establecer una escala para cada eje. 3

EJE DE ORDENADAS

2

2do cuadrante x0

x

-3

-2

3er cuadrante x0

1

-1

1

3 EJE DE ABSCISAS

4to cuadrante x>0, y0 Λ y>0 Λ z>0. Aunque se trata de las más simples, cada una de estas expresiones es una inecuación, a la que podemos concebir como una relación algebraica correspondiente a una desigualdad numérica, es decir, que ponen en relación, a través de los signos < ó ≤, cantidades conocidas y cantidades desconocidas, llamadas incógnitas. En general: Las inecuaciones admiten las mismas operaciones que las ecuaciones, salvo cuando se multiplica a ambos miembros por un factor negativo, ya que en ese caso, cambia el sentido de la desigualdad. Verifica este hecho, simplemente con la desigualdad entre dos números. Las inecuaciones nos permiten expresar y resolver situaciones como la que sigue:

Llamamos inecuación con una incógnita a toda expresión que puede llevarse, por transformaciones, a otra de la forma: f(x)< c ó bien f(x)≤ c , siendo c una constante. Si f es lineal, la inecuación se dice lineal. Cualquier número que cumpla las condiciones de la inecuación, es una solución de la misma.

13) Las longitudes de los tres lados de un triángulo son números naturales y dos de ellos miden 1 cm y 4 cm respectivamente. ¿Cuánto mide el tercer lado? Se sabe que en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su diferencia. Si llamamos x a la longitud del tercer lado, debe cumplirse que: x4-1 lo que equivale a x3 El único natural que cumple las condiciones de ser mayor que 3, pero menor que 5, es x=4 . Cada una de las expresiones de aquella conjunción constituye una inecuación lineal con una incógnita pero, al tratarse justamente de una conjunción, ambas condiciones deben cumplirse a la vez. Este hecho puede expresarse así: x-3

3x ≤4-1

3x+1≤4 5x+3>3x+7 es incompatible y modifícalo para que no -x+1>-3 3x ≤3

5x-3x >7-3 x-14

x ≤1 x >2

x 0 la gráfica es de la forma y = ax2 + bx + c

el vértice es el punto de mínimo (presenta concavidad positiva) Si a < 0 su forma es y = ax2 + bx + c

el vértice es máximo (presenta concavidad negativa) Veamos ahora los casos donde a1 y a2 (coeficientes cuadráticos) tienen el mismo signo

47

y = a1x2 + b1x + c1

El valor de a modifica la abertura de la parábola, en este caso con a1 > a2 la parábola y = a1x2 + bx + c más cerrada que la parábola y = a2x2 + bx + c .

y = a2x2 + b2x + c2 a1 > a2 > 0 xv

y = x2 + 2

y = x2

Si queremos analizar las gráficas de la forma y = ax2 + c y la comparamos con y = x2 vemos que el valor de c modifica ordenada del vértice y el conjunto imagen de la función, pero no el eje de simetría.

Si analizamos otras formas como y = (x ± k)2 respecto de y = x2. Por ejemplo las funciones cuyas gráficas son las siguientes: y = (x + 2)2

y = x2

y = (x - 3)2

¿Cuáles son las cuestiones que se modifican? Habrás observado que se modifica el eje de simetría y la abscisa del vértice; pero no su ordenada ni el conjunto imagen de cada función.

Si combinamos ambos casos tendríamos la siguiente variación: y = x2

y = (x - k)2 - h

k h

Ahora usando todo lo que hemos desarrollado hasta aquí:

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3) Grafica las siguientes funciones: a) y = x2 +3 b) y = -x2 + 3x c) y = x2 – x + 1⁄4 d) y = -3 (x - 2)2 + 5 e) y = (x - 4)2 + 3 Elabora argumentos para justificar tus gráficos. Ahora vamos a trabajar con la gráfica de la función e). Analiza cómo se procedió para graficar. y=(x-4) 2 +3 tiene su eje de simetría en x = 4. Su vértice en (4, 3). El vértice es un mínimo: el valor mínimo de la función es y = 3 , para x= 4 . Piensa cómo podrías determinar estos elementos de la gráfica sin construirla, sólo interpretando la ecuación. Por ejemplo, con tus compañeros inténtenlo para: y = -3 (x-2) 2 + 5 y para y = 2 ( x -1) 2 -1 . Si tu compañero de estudios faltó hoy a clase , y tienes que indicarle por teléfono cómo construir estas dos gráficas, enuncia cómo lo dirías. Algunas conclusiones: Con respecto a los gráficos de las funciones cuadráticas hasta ahora sabemos que si f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) entonces: • Es simétrico respecto de una recta vertical (eje de simetría). • Si el coeficiente a > 0 la parábola tiene sus ramas hacia arriba. • Si el coeficiente a < 0 la parábola tiene sus ramas hacia abajo. • Tienen un valor máximo o mínimo igual a c-b2 / 4 a , cuando x= - b/ 2ª Este valor es un mínimo cuando a>o y es un máximo cuando a < o. Y teniendo en cuenta las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c =0 (a ≠ 0) asociada a la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) • Si b2 – 4ac > 0 el gráfico corta al eje x en dos puntos • Si b2 – 4ac = 0 el gráfico es tangente al eje x • Si b2 – 4ac < 0 el gráfico no corta al eje x Estas observaciones serán retomadas más adelante cuando abordemos el tema ecuaciones cuadráticas. 4) ¿Cuales de las siguientes expresiones corresponden a funciones cuadráticas? . Descríbelas en función a todo lo que ya conoces sobre cuadráticas. a) f(x) = 2x +3 b) f(x) = x2 + 2x + 5 c) f(x) = x2 + 8 d) f(x) = -x2 e) f(x) = x3 f) f(x) = sen x 6 g) f(x) = x

49

5) Estas son las gráficas que realizó un grupo de chicos. Con tu compañero, intenten colocarle arriba, un título que identifique de qué tipo de función se trata, y debajo comentarios para que otro pueda entender relaciones y diferencias entre ellas. 4.0 3.0 2.0 1.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-1.0 -2.0 -3.0 -4.0

Para la realización de la siguiente tarea te invitamos a que visites cualquier sitio de Internet que contenga graficadores de funciones para Windows. Te proponemos dos, pero no son los únicos: En www.emagister.com encontrarás el graficador WINPLOT, de uso muy sencillo. En www.graphmatica.com/espanol encontrarás el programa GRAPHMATICA. 6) Empleando un software construye a partir de la gráfica de la función y = x2, compara y trata de describir las variaciones respecto a la misma de las siguientes funciones: a) y = (x – 1)2 b) y = x 2 + 2x + 3 c) y = (x – 1) · (x – 3) 2 2 d) y = (x – 3) e) y = x + 3 f) y = -x 2 + 1 g) y = -1⁄2 x 2 h) y = -2x 2 Realiza una agrupación de las mismas en función a las características comunes.

Actividades Para resolver 7)El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por: R(x) = 12 – 0,01 x2 pesos. Determina el número de unidades que deben venderse cada mes con el propósito de maximizar el ingreso ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo? 8)El costo promedio por unidad en pesos al producir x unidades de cierto artículo es C(x)= 20 - 0,06x + 0,0002 x2. ¿Qué número de unidades producidas minimizan el costo promedio? ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad?

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9)Al lanzar una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20m/s, su altura h(t) expresada en metros después de t segundos está dada por la expresión: h(t) = 20t –5t2. a) Piensa cómo varía la altura que alcanza la pelota respecto del tiempo. Describe la variación y dibuja un gráfico aproximado. b) Comprueba tu gráfico aproximado construyendo una tabla que dé la altura de la pelota a intervalos de un segundo y la gráfica. c) ¿Encuentras alguna relación entre la fórmula, el tipo de variación que pensaste y el gráfico construido? d) ¿Qué pasa después de t = 4 segundos?

Al resolver este problema has empleado muchas cuestiones abordadas en situaciones anteriores tales como: el modelo matemático que permite relacionar la altura alcanzada por la pelota en un instante cualquiera es una función cuadrática. El coeficiente cuadrático es negativo, por lo que las coordenadas de la parábola nos indican el instante en que la pelota alcanza la máxima altura y cuál es la altura máxima. Al construir la tabla de valores solicitada y la gráfica, has verificado que, alcanza la máxima altura en t = 2s . Y para t = 4s, es h (4) = 20 · 4 – 5 · 42 = 80 – 80 = 0 Desde el punto de vista del problema; en t = 4 la pelota alcanza el suelo. En muchas situaciones como estas es importante encontrar los valores que hacen cero la función, para nuestro problema significa el momento donde toca el suelo. Ahora vamos a recordar cuestiones algebraicas que nos sirvan para calcular los ceros o raíces de una ecuación de segundo grado. Comencemos con la definición de ecuación de segundo grado:

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, es una ecuación de la forma:

La ecuación puede ser completa ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0 o puede ser incompleta: • b ≠ 0 y c = 0 de donde resulta una ecuación del tipo ax2 + bx = 0 • b = 0 y c ≠ 0 de donde resulta una ecuación del tipo ax2 + c = 0 • b = 0 y c = 0 de donde resulta una ecuación del tipo ax2 = 0

ax2 + bx + c = 0 con a, b, c ∈ R, y a ≠ 0

10) Busca y enuncia ejemplos para cada uno de estos casos. Toda ecuación de segundo grado con una incógnita tiene dos raíces que denotamos x1 y x2. Las soluciones o raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado de la forma 51

ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0 pueden obtenerse a través de la fórmula b2 - 4ac x1 = -b + √2a

b2 - 4ac ; x2 = -b - √ 2a

que puede ser escrita en forma abreviada b2 - 4ac x1,2 = -b ± √2a La expresión del radicando b2 – 4ac se llama discriminante de la ecuación y se simboliza con la letra griega Δ. Según el tipo de discriminante Δ tenemos: • Si b2 – 4ac > 0; la ecuación tiene dos raíces reales y distintas. • Si b2 – 4ac < 0; la ecuación no tiene raíces reales, tiene dos raíces complejas conjugadas. • Si b2 – 4ac = 0; la ecuación tiene una única solución real, diremos que es una raíz doble. Resuelve las siguientes ecuaciones y compara tus procedimientos y soluciones con las de tus compañeros: a) x2 + 2x +3 = 0 b) - 1⁄2 x2 = 0 c) x2 + 3 = 0 d) -2 x2 = 0 e) - x2 + 1 = 0

Ecuación

Discriminante: Δ0

Completa la siguiente tabla donde x1 y x2 raíces de estas ecuaciones Conjunto numéx1 x2 x1 + x2 x1 . x2 rico al que є Δ

x2+2x+3= 0 - 1⁄2 x2 = 0 x2 + 3 = 0 -2 x2 = 0 -x2 + 1 = 0 Analiza con tus compañeros la tabla y traten de elaborar una conjetura. Enúncienla. Busquen más ejemplos para comprobarla. Un grupo de alumnos afirma lo siguiente: a) Si x1 y x2 son raíces de x2 + b x +c = 0 entonces x1 + x2 = - b y x1 . x2 = c b) Si x1 y x2 son raíces de a x2 + b x +c = 0 entonces x1 + x2 = - b/ a y x1 . x2 = c/a ¿Estás de acuerdo? ¿Concuerdan con las conclusiones que enunciaste respecto del cuadro? Enuncia argumentos.

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Las propiedades que has trabajado aquí se llaman propiedades de las raíces de las ecuaciones de segundo grado.

Actividades Resuelve los siguientes problemas 11)Considera todos los rectángulos de 20 cm de perímetro y expresa el área de esos rectángulos en función de uno de sus lados. Para poder comparar con los resultados de tus compañeros, unifica la notación, al referirte a la base y a la altura, de la siguiente forma: b: base; h: altura. ¿Para qué dimensiones del rectángulo el área es máxima? Toma otros valores para el perímetro y realiza un estudio similar. ¿Qué conclusiones se pueden extraer acerca de los rectángulos de perímetro fijo y área máxima? 12)Sean ab un segmento de longitud igual a 8 cm y p un punto variable sobre dicho segmento. Para cada posición de p se construye un rectángulo que tiene uno de sus lados sobre el segmento ab y cuyo perímetro es 20 cm. Dibuja un rectángulo de 20 cm de perímetro. Calcula su área. 13)Repite lo anterior, para un rectángulo distinto, tratando de conseguir que el área aumente. Trata de conseguir otro rectángulo de área mayor a la de los anteriores. Explica cómo lo pensaste. Remitiéndonos nuevamente al problema 1. y a los problemas anteriores, ¿que relación puedes establecer con el problema inicial y los conocimientos matemáticos que están involucrados en los problemas anteriores? Modelizar requiere identificar y seleccionar las características relevantes de una situación del mundo real, representarlas simbólicamente, analizar el modelo y las características de la situación, razonar tanto sobre aquél como acerca de éstos y por último, considerar la precisión y las limitaciones del modelo. Ahora vamos a trabajar algunas relaciones: Muchas veces las relaciones de proporcionalidad nos sirven para comprender la dependencia entre los elementos que intervienen en una fórmula. Por ejemplo: si tenemos V = 1/3 π r 2 h La fórmula anterior expresa el volumen de un cono como función del radio r de la base y de la altura h del cono. El volumen es proporcional al producto r 2 h siendo 1/3 π el coeficiente de proporcionalidad. Cuando la altura es constante, el volumen es directamente proporcional al cuadrado del radio de la base, cuando el radio r es constante, el volumen es directamente proporcional a la altura. 14)Estudia la relación entre la longitud de la base y la altura de todos los rectángulos de 48 cm2 de superficie. ¿Cómo podríamos escribir esto como relación funcional?

53

15) a)Un ómnibus hace normalmente el viaje de A a B en 21⁄2 hs. Aumentando su velocidad en 8 km/h podría hacer el viaje en 21⁄4 hs. Halla la distancia de A a B y la velocidad usual del ómnibus. b)La altura de un cilindro es dos veces el diámetro de la base. Expresa el volumen del cilindro en función del radio r de la base. 16)Escribe una fórmula que exprese la relación funcional que se indica en cada uno de los enunciados siguientes. a)La resistencia R de un hilo eléctrico a temperatura constante es directamente proporcional a su longitud l e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro. b)El volumen V de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta T e inversamente proporcional a la presión p a que se halla sometida. c)En el movimiento uniforme el espacio recorrido e es directamente proporcional al tiempo t empleado en recorrerlo. En este caso el coeficiente de proporcionalidad se llama velocidad. Si para t = 5 seg. se tiene e = 40 m expresa e como función de t y halla e para t = 10 seg. d)La fuerza F con que se atraen dos imanes es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d entre ellos. Si para d = 8 cm es F = 0,8 g, expresa F en función de d y halla la fuerza con que se atraen cuando d = 6 cm.

B

Q

A

P

R

M

C

17)1Un triangulo ABC es isósceles y su base, igual a la altura, mide 2cm. Para cada punto P sobre la altura se determina un trapecio como lo indica la figura. Considera el área del trapecio, que varía con P ¿Para qué posición de P el área resulta máxima? a)Conjetura una respuesta. b)Trata de validarla utilizando una función como modelo. c)Interpreta el resultado que obtuviste a través del grafico de la función que utilizaste como modelo ¿Que otra información respecto al problema puedes obtener de dicho gráfico? d)¿Se pueden encontrar otros modelos funcionales para esta situación? Justifica la respuesta. 18)Dados dos números positivos s y p, busca un rectángulo de perímetro 2s cm y área p cm2 para los siguientes valores de s y p. a) s = 15 y p = 36 b) s = 41 y p = 402 c) s = 39 y p = 402 (En el glosario encontrarás algunas ayudas para recordar conceptos que te permitan resolverlo) Siguiendo con el problema: d) ¿Qué condiciones deben cumplir los números s y p para que se pueda encontrar un rectángulo de perímetro 2s cm y área p cm2? e) ¿Para qué valores de s y p el sistema de ecuaciones x + y = s; x · y = p tiene solución única, para qué valores tiene soluciones reales y distintas y para qué valores no tiene solución real?

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19)Un cuarto de círculo cuyo radio es 6 cm. Un punto M que se desplaza sobre AB. Construimos un rectángulo, como se indica en la figura, AMDE y estudiamos las variaciones del área de este rectángulo preguntando en concreto si esta área tiene un valor máximo para una posición de M. a)Construye la figura. b)Para diferentes valores de la distancia AM calcula el área del rectángulo y presenta el resultado en un gráfico. Ordena los siguientes valores de AM en orden creciente. AM

C

E

D

A

M

B

Área c)Representa en el plano los puntos cuyas coordenadas sean los valores descritos ( abscisas= AM, ordenada = área ) d)Estudia las variaciones del área del rectángulo AMDE en función de la posición del punto M sobre AB. e)¿Existe una posición de este punto M para la cual el área del rectángulo AMDE sea máximo?

La famosa “Diferencia de Cuadrados” Vamos a tratar de entender la demostración geométrica de una de las expresiones algebraicas más conocidas: b2 – a2 = (b + a) · (b – a). b

Construimos un cuadrado de lado b

b

b

b a

b-a

b

b-a

Marcamos un segmento de lado a con a < b , y construimos un cuadrado, como se indica en la figura, y trazamos una diagonal, obteniendo los siguientes segmentos:

b a

b b-a

Recortamos la figura según se indica:

b-a

b

1. Artículo del Grupo Lycée del IREm de Clement-Ferrand denominado “Introducción a la noción de función en segundo del b.u.p, citado en Matemática, modelos didácticos Programa de perfeccionamiento docente, Ministerio de Cultura y Educación de la Nación.

55

a

b

b-a

b-a

Con las piezas grises armamos un rectángulo (será necesario “dar vuelta” una de ellas):

a

b

a

b

b-a

b-a

Observemos que quedó formado un rectángulo de lado (a + b) y de lado (a - b):

a

b

Al comparar las áreas de las dos figuras, notamos que son iguales: a

b-a

b-a

b-a

b2 – a2

b-a

b

b

a

b

a

b

(b + a) · (b – a)

Hemos “demostrado” geométricamente la identidad algebraica: b2 – a2 = (b + a) · (b – a) Ahora intenta demostrar geométricamente: a) (a + b)2 b) (a - b)2 c) ¿Sirven estas demostraciones para valores negativos? ¿Por qué?

Inecuaciones cuadráticas Así como se puede hablar de ecuaciones lineales y cuadráticas, también para el caso de las inecuaciones cuadráticas, por ejemplo: ax2 + bx + c > 0 ; con a > 0 ¿cómo se resuelve esta inecuación? Hay dos procedimientos: el geométrico y el analítico. Procedimiento geométrico Representamos la parábola de ecuación y = ax2 + bx + c Sea Δ = b2 – 4ac; se presentan tres casos: 1er caso Esta gráfica corresponde al caso Δ > 0. Hay dos raíces reales: x1 y x2

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(supongamos x1 < x2) Se forman los intervalos (-∞; x1) y (x2; +∞) La solución de la inecuación ax2 + bx + c > 0 es la unión de los intervalos donde la parábola está por encima del eje x. Esto es: (-∞; x1) ∪ (x2; +∞) En el intervalo (x1; x2) la parábola está debajo del eje x. Este intervalo es la solución de la inecuación ax2 + bx + c < 0.

(-∞; x1) x1

(x2; ∞) x2

2do caso Esta gráfica corresponde al caso Δ = 0. Las dos raíces coinciden: x1= x2 La solución de la inecuación ax2 + bx + c > 0 es la unión de los intervalos donde la parábola está por encima del eje x. Esto es: (-∞; x1) ∪ (x1; +∞) Esta unión corresponde al conjunto de los números reales excepto x1. (x1; +∞)

(-∞; x1) x1 = x2

3er caso Esta gráfica corresponde al caso Δ < 0. No hay raíces dobles y la parábola está totalmente por encima del eje x. La solución de la inecuación es el intervalo (-∞;+∞). Es decir el conjunto de los números reales.

20)3 La curva de producción para una panadería la da la función B2 + 2B + 4R – 168 = 0 en donde B es pan y R son bizcochos. a)¿Cuál es la capacidad máxima de producción de bizcochos que tiene el panadero? ¿Y para pan? b)¿Qué combinación se producirá si B = 8? ¿Y si B = 4? ¿Y si R = 30? c)Traza la curva de posibilidades de producción. a)Cuando se dedica toda la capacidad a los bizcochos; B = 0 4R = 168 R = 42 Si se dedica toda la capacidad al pan; R = 0 B2 + 2B – 168 = 0 Al aplicar la fórmula para ecuaciones de segundo grado a la ecuación anterior; se tiene B = 12 b) Si B = 8 B2 + 2B + 4R – 168 = 0 (8)2 + 2·(8) + 4R – 168 = 0 4R = 88 R = 22

3. En base a un ejemplo planteado en “Matemáticas para economistas”. Serie Schaum. McGraw-Hill por Edgard T. Dowling.

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R 42 36 30 24 18 12 6 B 2

4

6

8

10

12

14

16

Si B = 4 42 + 2·(4) + 4R – 168 = 0 4R = 144 R = 36 Si R = 30 B2 + 2B + 4·(30) – 168 = 0 B2 + 2B - 48 = 0 La utilización de la fórmula para ecuaciones de segundo grado o la factorización simple: (B + 8) (B – 6) = 0 B = -8 B=6 Puesto que los valores negativos no son aceptables B = 6 Actividades 21)En la ecuación -x2 + bx + 3 = 0 encuentra b para que una de las raíces sea 5. 22)En la ecuación 4x2 - x + c = 0 halla c para que las raíces sean: a)Una real y doble b)Dos reales y distintas c)Dos complejas y conjugadas 23)Queremos fabricar marcos para cuadros con listones de madera de 6m de largo. a)Si la base mide 60 cm ¿Cuánto miden la altura y el área del cuadro? b)Busca y expresa una relación funcional entre la base del marco y el área del cuadro. c)¿Para qué valor de la base el área es máxima? 24)Halla los posibles valores de p para que cumpla las condiciones solicitadas: a)El gráfico de la función y = px2 - x - 1 interseca al eje x en dos puntos. b)El gráfico de la función y = -x2 - px - 5 toca al eje x pero no lo atraviesa. 25)Expresar en forma factorizada las siguientes funciones cuadráticas: a) y = -x2 + 4 b) y = x2 + 5 c) y = x2 + 2x + 1 d) y = x2 + 4x + 4 e) y = -5(x + 4)2 f) y = 9(x + 1)2 - 4

AUTOEVALUACIÓN 1)En un triángulo rectángulo, la diferencia entre los catetos es de 1,8m y el área del triángulo es igual a 26,24 m2. Halla el valor de cada uno de los catetos. Rta. 6,4 y 8,2m 2 2)Una solución de la ecuación 8 x - 14 x + c = 0 es 1⁄4 ¿Cuál es la otra solución? ¿Cuánto vale c? Rta. x2 = 3/2 c = 3 3)Escribe la ecuación de segundo grado que tiene por soluciones 8 y -8 ¿Cómo son las ecuaciones de segundo grado que tienen por soluciones números opuestos? Rta. x2 - 64 = 0

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4)El volumen de un cilindro es igual a 49,152π dm3. Si la altura del cilindro es igual a 3/2 del radio; halla el radio y la altura. R: 3,2 y 4,8dm 5)El número de diagonales de un polígono convexo es 35. ¿De qué polígono se trata? R: decágono 2 6)El área de un rectángulo es de 48 m . Si la base la aumentamos en 2m y el ancho lo disminuimos en 2m; el área del nuevo rectángulo es de (44 - 4√2)m2 ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? R: 6√2 y 4√2m 7)Determina el valor o valores de k para que la ecuación dada tenga raíces iguales. a) k x2 + 8 x + 4= 0 b) x2 + k x +8 = K 8)La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y la diferencia entre los catetos es 7 cm.¿ Cuántos centímetros mide cada uno de los catetos? R: 5 cm y 12 cm.

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CAPÍTULO 4. POLINOMIOS

Este Capítulo contiene Introducción

Utilidad de los Polinomios Definición Identificación Operaciones con Polinomios Teorema de Ruffini Especialización Teorema del Resto Fracciones Algebraicas Raíces de Polinomios. Interpretación Gráfica Teorema Fundamental de la Descomposición Recursos para encontrar raíces Un poco de Historia Relaciones entre raíces y coeficientes Transformación de polinomios. Factorización Modelos Geométricos

Ejercicios resueltos y propuestos Autoevaluación

Autor Daniela I. Andreoli

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POLINOMIOS Introducción En los capítulos anteriores hemos trabajado algunas funciones y ecuaciones polinómicas de bajo grado; en el presente, nos dedicaremos a ver la utilidad, a definir, identificar, operar, transformar y a hallar las raíces del objeto matemático llamado “polinomio”, que tiene múltiples aplicaciones en las ciencias. Por ejemplo, podemos encontrar muy buenas aproximaciones de funciones complicadas que resuelven situaciones en contextos extramatemáticos, a través del denominado Polinomio de Taylor, o bien, simplemente hallar todos los volúmenes, de todos los cubos, de arista x-2, representando la función polinómica (x – 2)3.

¿Por qué estudiar polinomios? Analicemos juntos la siguiente situación: 1) Un negocio de venta de automóviles, luego de un complicado análisis, llegó a la conclusión que su ganancia mensual puede estimarse, en miles de pesos, y en función de las unidades que vende, mediante el polinomio: G(x)= x3-5x2+4x -20. Investiga cuál es la cantidad mínima de automóviles que debe vender mensualmente para obtener alguna ganancia y cuál es la ganancia mínima. Convengamos que esta empresa, que vende x cantidad de automóviles, obtiene alguna ganancia si G(x)= x3-5x2+4x-20 > 0; no obtiene ganancia, pero tampoco pierde si G(x)= x3-5x2+4x-20 = 0 ; pierde, si G(x)= x3-5x2+4x-20 < 0. Aquí nos interesa averiguar la cantidad mínima x de automóviles que debe vender para encontrarse en el primero de los casos, es decir, cuando x3-5x2+4x-20 > 0. Esta expresión es una inecuación y, como es sabido, se comienza trabajando con la ecuación x3-5x2+4x-20 = 0, para luego analizar en qué casos se presenta aquella desigualdad. Por lo tanto, deberíamos hallar, si existen, el o los valores de x que anulan a G(x), o lo que es lo mismo, encontrar, el o los valores de x, que hacen que ese polinomio tenga un valor numérico igual a cero. Esos valores reciben el nombre de raíces o ceros del polinomio y no son más que las soluciones de aquella ecuación polinómica que, en el caso de tratarse de números reales, coinciden con las abscisas de los puntos que la gráfica de la función polinómica asociada, tiene en común con el eje x. ¿Con qué estrategia contamos para abordar esta tarea? No se trata de una ecuación lineal, ni de una cuadrática, que ya sabes resolver. Tampoco es una cúbica de las fáciles, como por ejemplo x3-1 = 0. Existe una fórmula resolvente, la llamada Fórmula de Cardano y Tartaglia, que muy probablemente desconozcas, y que tampoco es nuestra intención trabajar aquí. Sin embargo, podemos explorar algunos métodos gráficos. De la página siguiente, puedes ver la gráfica de la función f(x)= x3-5x2+4x-20, que se anula en x=5, y a la derecha, dos soluciones llamadas nomográ63

ficas, que consisten en descomponer la función original, en otras dos, y hallar la intersección de sus gráficas que, como puede verse, se cortan en el punto de abscisa x=5. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y -20 -20 -24 -26 -20 0 40 106 204 340 520

x3-5x2+4x-20 =0

G(x) x 0

1

x3 =5x2-4x+20

y

2

3

4

5

6

7

125

y = 5x2-4x+20 y = x3

y = x3-5x2+4x-20 1

2

3

x3-5x2+4x-20 =0

4

5

6

x 7

x3-5x2=-4x+20

y

20

y = x3-5x2 y = -4x+20

-20

¡CUIDADO! La gráfica de esta función consiste en los puntos aislados, ya que carece de sentido para valores de x que no sean enteros y no negativos.

1

2

3

4

5

6

x 7

Reflexionemos sobre lo que hemos hecho. Mediante gráficas, encontramos el único valor real de x que satisface la ecuación x3-5x2+4x-20 = 0, sin embargo ¿lo hubiéramos hallado, si ese valor era, por ejemplo, 100? A menos que se utilice algún programa informático graficador, como se ha hecho aquí, graficar una función con el objeto de buscar su intersección con el eje x, si no se cuenta con otros recursos, equivale a comenzar a investigar los valores numéricos que asume el polinomio cuando se le asigna valores arbitrarios, es decir, ‘al tanteo’. Si bien no queremos desmerecer el recurso gráfico, pues nos provee información con respecto al comportamiento de la función, por ejemplo, que a partir de x=5 la función sigue creciendo y que no admite otras raíces reales, debemos admitir también sus limitaciones. Es por ello que retomaremos más adelante esta situación, cuando contemos con recursos más eficaces para abordar su solución. Finalmente, contestemos las preguntas que hace el problema. Cuando la empresa vende en un mes 5 automóviles, no gana ni pierde, pero si vende 6, obtiene una ganancia mínima igual a G(6)=63-5.62+4.6-20=40, y como la función expresa sus valores en miles de pesos, tal ganancia es de $40000. Entonces:

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La cantidad mínima de automóviles que debe vender mensualmente para obtener alguna ganancia es 6 y en tal caso, la ganancia mínima es $40000.

Definir. Identificar. Operar con polinomios El lector estará acostumbrado a trabajar con expresiones tales como:

Reflexiona respecto a cómo, en este problema, interactúan los conceptos de polinomio, ecuación y función. Observa la necesidad de explorar acerca de la operatoria con polinomios, de manera de facilitar, por ejemplo, la búsqueda de sus raíces.

6x8 - 9x5 + 1x + 2 3 [1] 3x5 - x3 + 1 2 Si bien cada uno de los objetos que figuran, tanto en el numerador como en el denominador, son polinomios, esta expresión puede no ser un polinomio; ello dependerá de que la división, que allí está indicada, tenga por cociente a un polinomio y además, el resto sea cero. Una de las formas de dilucidar esta cuestión, es efectuar la división, operando mediante el algoritmo que has visto, y que intentamos que recuerdes aquí, a través de las ayudas que brindamos en cada uno de los pasos. Ten presente que cada término del cociente (monomios), surge de dividir el primer término del dividendo, por el primer término del divisor. dividendo

+

divisor

6x8 + 0x7 + 0x6 - 9x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 1x + 2 3 -6x8 + 2x6 - x3 2x6 - 9x5 + 0x4 - x3 + 0x2 + 1x + 2 3 + - 1x - 2x6 + 2x4 3 3 - 9x5 + 2x4 - x3 + 0x2 + 0x + 2 3 + 9x5 - 3x3 +3 2 2x4 - 4x3 + 7 3 2

[2]

/ 3x5 - x3 + 1 2 2x3 + 2x - 3 cociente 3

-[ 2x3 ( 3x5 - x3+ 1 ) ] 2

-[ 2x ( 3x5 - x3+ 1 ) ] 3 2

-[ 3 ( 3x5 - x3+ 1 ) ] 2

resto

Convengamos que la división [2] involucra todas las operaciones. Practiquemos algunas más, con el objeto de verificar la veracidad de esa cuenta, mediante la consabida prueba: COCIENTE x DIVISOR + RESTO = DIVIDENDO (2x3 + 2x - 3)(3x5 - x3 + 1 )+(2x4 - 4x3 + 7)= 3 2 3 2 =(6x8 - 2x6 + x3 + 2x6 - 2x4 + 1x - 9x5 + 3x3 - 3 )+(2x4 - 4x3 + 7)= 3 3 2 3 2 =6x8 + (- 2 + 2 )x6 - 9x5+ (- 2 + 2 )x4 + (1 + 3 - 4 )x3 + 1x + (- 3 + 7 )= 3 3 3 2 2 =6x8 - 9x5 + 1x + 2 ü 3

Reflexiona sobre qué propósito perseguimos al cambiar los signos del producto de cada uno de los términos del cociente por el divisor. Observa que el grado del polinomio cociente es la resta del grado del dividendo y del divisor y el grado del resto es menor que el del divisor y reflexiona acerca del cociente y el resto, en el caso en que el dividendo sea de menor grado que el divisor, o nulo. Verifica las sumas y las multiplicaciones indicadas, apoyándote en las propiedades que figuran en el Glosario.

Volviendo a nuestra cuestión inicial, está claro que el resto no resultó cero (en este caso, diríamos, que no es el polinomio nulo), por lo tanto, según lo que hemos acordado más arriba, aquella expresión [1], no es un polinomio. Pero, si no es un polinomio, entonces ¿qué es? Se trata

65

de un cociente indicado de dos polinomios, donde el que figura en el denominador no es el nulo. Estas expresiones reciben el nombre de formas racionales o fracciones algebraicas. Aunque no lo parezca, el conjunto de estos objetos, sobre el que se definen las operaciones de suma y producto, muy conocidas por cierto, tienen una estructura algebraica aún más interesante que la de los polinomios, pues en aquél se verifica una propiedad que sólo cumplen algunos polinomios, esta es, la existencia de inversos multiplicativos para todos sus elementos no nulos (el numerador no es el polinomio nulo) que, en el caso de la expresión [1] es: 6x8 - 9x5 + 1x + 2 3x5 - x3 + 1 3x5 - x3 + 1 3 2 2 pues . =1 8 - 9x5 + 1x + 2 3x5 - x3 + 1 6x8 - 9x5 + 1x + 2 6x 2 3 3 Hemos dicho que no todos los polinomios no nulos, admiten inverso multiplicativo. Veamos: x.x1=1 , de lo que podríamos deducir que 1x es el inverso de x. El inconveniente es que 1x no es un polinomio. En cambio, el polinomio 2 ó (2-i), tratándose este último de un número complejo imaginario, poseen inversos multiplicativos. Del primero es 12 y del segundo, es ( 25+51i ). Es muy probable que desconozcas aún qué procedimiento utilizamos para hallar el segundo de los inversos pero, puedes comprobar fácilmente que (2-i) ( 25+51i ) = 1, de la misma manera que 2.21=1 .

Verifica el último caso.

Ahora bien, tampoco son polinomios (ni monomios), las expresiones: 3√x ; 3x ; 3x-3 ; log x ; sen x ; x2-1 x+3

Verifica el último caso.

Pero sí son polinomios, las expresiones: 2 + 4x - 5x2 + 8x3 ; -0,2x6 - √2x2 + 8 7 2

;

x2-1 x+1

Pareciera que la cuestión pasa por observar qué operación afecta a la x. En definitiva ¿qué es un polinomio? Llamamos polinomio en una indeterminada x a toda expresión de la forma n P(x) = anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0 o bien P(x) =Σ ai x i i=0

donde los ai pueden ser números reales e incluso complejos imaginarios, x es la indeterminada e i asume valores enteros no negativos desde 0 hasta n. Además, dos polinomios son iguales, si son ambos nulos, o si tienen iguales los coeficientes de los términos de igual grado. Si bien en la definición de P(x) (que se lee ‘pe de equis’) sólo aparecen letras, debemos distinguir claramente que la x es la indeterminada y las aes, son parámetros. También podemos extender la idea a polinomios con más de una indeterminada, por ejemplo: 3x2yz - xyz. Con esta definición de polinomio, estamos en condiciones de afirmar entonces que:

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Llamamos fracción algebraica al cociente de dos polinomios: P(x) Q(x) donde Q(x) no es el polinomio nulo. Con las fracciones polinómicas se trabaja utilizando las mismas propiedades y técnicas con las que se operan las fracciones numéricas.

2) Identifica cuáles de las siguientes expresiones son polinomios, cuáles son fracciones algebraicas y cuáles no son ninguno de éstos. En el caso de los polinomios, determina su indeterminada, su grado, coeficiente principal y término independiente. a) A (x)=1x3-x+1 ; b) B (x)=√x+2 ; c) C (t)=√t2 +6t +9 5 ; e) E (m)=(m-3)3

; f) F (r)=0

g) G(y)=πy- √y-y 4

; h) H(x)=(x+1)(x-1)

; i) I (z)=z3-2z2+3 z+2

j) J (x)=7

; k) K (x)=x3-3x+2 x-1

; l) L (x)=x2+2x-1-2x

d) D (x)=7-i 3

Reflexiona respecto a la veracidad de los siguientes enunciados: “todos los polinomios son fracciones algebraicas” y “todas las fracciones algebraicas son polinomios”. Repasa ahora, en el Glosario, los conceptos de grado de un polinomio, grado de un término, grado de la suma, resta, producto y cociente, polinomio mónico, polinomio nulo, coeficiente principal, término independiente, monomio, binomio, etc. y verás que los términos independientes, exceptuando el polinomio nulo, son los polinomios de grado cero, que a la sazón, son los únicos inversibles.

Habrás notado que, tanto D como J son polinomios de grado cero a los que llamamos escalares; el primero con coeficientes en el conjunto C de los números complejos, el segundo, en el conjunto de los números naturales, o si prefieres, reales. La presencia de la raíz cuadrada en la expresión C, parece indicar que no se trata de un polinomio, sin embargo, como: t2+6t+9 = t2+3t+3t+3.3 = t(t+3)+3(t+3) = (t+3)(t+3) = (t+3)2 [3] por lo tanto: C(t) = √t2+6t+9 = √(t+3)2 = t+3 que se trata de un polinomio de primer grado, en la indeterminada t. La expresión E es el cubo de un binomio, y por lo tanto, es un polinomio. Verifiquemos: (m-3)3 = (m-3)2(m-3) = (m2-6m+9)(m-3) = m3-3m2-6m2+18m+9m-27 = = m3-9m2+27m-27 [4] La expresión H es el producto de dos binomios, y por lo tanto, es un polinomio. Verifiquemos: (x+1)(x-1) = x2-x+x-1 = x2-1 [5] Las expresiones I y K son fraccionarias. El hecho de tener que decidir si se trata de polinomios o fracciones algebraicas, o ninguno de ambos, te obliga a efectuar las divisiones allí indicadas. En I, llamamos P(z) al numerador y Q(z) al denominador y luego mostramos la cuenta de la división P(z):Q(z) = (z3-2z2+3):(z+2) utilizando, por un lado, el esquema general, y por otro, la llamada Regla de Ruffini, que te invitamos a repasar en el Glosario. Asimismo, hallamos el valor numérico que asume el polinomio que figura en el numerador, cuando se asigna un valor particular a la indeterminada, en este caso z=-2, proce67

dimiento denominado especialización de la indeterminada z, que simbolizamos P(-2). Esquema general

Esquema de Ruffini

Especialización de z en el numerador

z3-2z2 +3 / z+2 -z3-2z2 z2-4z+8 2 -4z +3 4z2+8z 8z+3 -8z-16 -13 Cociente: z2-4z+8 Resto: -13

z+2 1 -2 0 3 -2 -2 8 -16 1 -4 8 /-13 Cociente: z2-4z+8 Resto: -13 Este esquema puede ser utilizado cuando el divisor es un binomio lineal y mónico, aunque esta última restricción puede ser salvada mediante transformaciones.

P (-2) = (-2)3-2(-2)2+3 = -13

[6] Este resultado coincide con el resto de la división (z3-2z2+3):(z+2) que hemos encontrado y este hecho no es casual, aunque muy simple, tiene fuerza de teorema. En efecto: P (-2) = Resto de P (z) z+2

En general:

Teorema del Resto El resto de la división de P(x) por x-α, es P(α). Esto es: P(α) = Resto de P(x) x-α Demostración: Imaginemos la cuenta de la división P(x) /x-α R(x) Q(x) Como el grado del divisor es 1, entonces sucede que el resto es 0, o bien, es un polinomio de grado cero. Entonces, en cualquiera de los casos, se trata de un número que llamaremos r. Por el algoritmo de la división se cumple que: P(x)=(x-α)Q(x)+r y reemplazando en ambos miembros x por α, se tiene que P(α) = (α-α)Q(α)+r de lo que se obtiene que P(α) = r

Observa y verifica, haciendo la división, y luego una multiplicación que, en este último ejemplo, el polinomio x3-3x+2 puede ser escrito como un producto, esto es: x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2).

Volviendo a nuestro ejercicio 2.i), como el resto de la división (z3-2z+3):(z+2) no resultó nulo, concluimos que I(z)=z3-2z2+3 no es un z+2 polinomio Ahora analicemos la fracción algebraica del ítem k). Aprovechamos la oportunidad para hallar el resto, mediante el teorema del resto, es decir, evaluamos el numerador en x=1, de lo que resulta: 13-3.1+2=0 [7]. Sin haber hecho ninguna división, hemos encontrado que el resto de la división es 0, lo que nos dice que la fracción algebraica K(x)=x3-3x+2 es un polinomio. x-1 3) Dados los polinomios P = 2x3-3x2+4x-7 ; Q = -x3+2x2-2x+3 ; R = x3+x2-6x+2 ; S = x-2 a) Efectúa las siguientes operaciones entre polinomios y en caso de resultar posible, determina previamente el grado del resultado: i) P.Q-R ; ii) P+Q : R ; iii) R : S ; iv) S2 b) Halla de dos maneras diferentes: i) P (O) ; ii) Q (- 1 ) ; iii) R (-3) ; iv) S (2-i ) 2

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Hallar raíces Tal como hemos visto en el problema 1, en diversas oportunidades resulta de interés analizar para qué valores se anula un polinomio, valores a los que llamamos raíces. En [6] hemos visto que P(-2)=-13≠0 y concluimos que -2 no es raíz de P(z)=z3-2z2+3; en cambio, en [7], la especialización de x por 1 del polinomio x3-3x+2 resultó ser 0, y decimos que 1 es una de sus raíces. Esto último nos ha permitido escribir a ese polinomio como un producto de otros dos, siendo uno de ellos, el binomio (x-1), es decir, x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2). Por el contrario, el polinomio P(z)=z3-2z2+3 no puede ser escrito como un producto de polinomios, donde uno de ellos sea el binomio z+2. Formalicemos:

Observa qué fácil resulta aquí ver que 1 lo anula, y que las raíces de (x2+x-2), lo son también de x3-3x+2.

Decimos que α es raíz del polinomio P(x), si, y sólo si, la especialización de x por α, es 0. Esto es: α es raíz de P(x) P(α)=0 Lo que equivale a afirmar que (x-α) divide exactamente a P(x) Es decir: α es raíz de P(x) (x-α) | P(x) Lo que equivale a afirmar que P(x) puede escribirse como un producto de polinomios, siendo uno de ellos, el binomio (x-α). O sea: α es raíz de P(x) P(x)=(x-α).Q(x) De lo que antecede, resulta la siguiente cadena de equivalencias: α es raíz de P(x) P(α)=0 (x-α) | P(x) P(x)=(x-α).Q(x) Sabemos que a todo polinomio P(x) es posible asociarle una función polinómica f :R R/f (x)=P (x) e infinitas ecuaciónes polinómicas P(x)=a, entre las que se encuentra P(x)=0, sin embargo nos preguntamos ¿todos los polinomios admiten raíces? y de ser así ¿cuántas? Nuestra respuesta al primero de los interrogantes, es casi todos; resulta obvio que no hay x que anule, por ejemplo, al polinomio P(x)=5. Exceptuando las constantes, “todo polinomio de grado positivo, admite al menos una raíz”. Lo que acabamos de enunciar es, nada más y nada menos, que el Teorema Fundamental del Álgebra, cuya demostración dista mucho de ser sencilla. En cambio, no es muy complejo demostrar que “todo polinomio de grado n, admite n raíces, no necesariamente distintas”. Las raíces que se repiten, reciben el nombre de múltiples (doble, triple, etc.) Ahora bien, si por cada raíz α de P(x), aparece el binomio (x-α) como factor en la expresión de P(x), es de suponer que en tal expresión, aparecerán n binomios, en correspondencia con cada una de las raíces. En efecto, con ciertas aclaraciones que luego puntualizaremos, de esto trata el llamado Teorema Fundamental de la Descomposición Factorial de los polinomios.

4) Halla las otras dos raíces del polinomio x3-3x+2. 69

Verifica α2=1 y α3=-2 lo son.

Observa en [8] la expresión del polinomio, como producto de factores binomiales de primer grado y mónicos.

Aquí tenemos la ventaja de saber que admite la raíz α1=1, y que entonces x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2). Por lo tanto el problema se reduce a hallar las dos raíces de x2+x-2. Ahora bien, hemos hallado las tres raíces, pero acordemos que fue posible encontrarlas debido a que conocíamos una de ellas, lo que nos permitió ‘bajar el grado del polinomio’ a uno de segundo grado. Es muy común utilizar el procedimiento de divisiones sucesivas de Ruffini, que se muestra a continuación. x-1 1 0 -3 2 1 1 1 -2 x-1 1 1 -2 0 α1=1 es raíz y además x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2) [8] 1 1 2 x+2 1 2 0 α2=1 es raíz doble y además x3-3x+2=(x-1)(x-1)(x+2) -2 -2 1 0 α3=-2 es raíz simple, lo que ya se observa en el paso anterior Sin embargo, este procedimiento constituye más bien una estrategia de verificación y no de descubrimiento de raíces. Es por ello que cabe preguntarnos ¿cómo hubiéramos abordado esta tarea, de no conocer que el polinomio se anula para 1? Percibimos que nos faltan recursos y queremos convidarte algunos, mediante el siguiente listado de definiciones, propiedades y ejemplos.

1

“Llamamos polinomios equivalentes a aquellos que admiten las mismas raíces”

2

“Todo polinomio con coeficientes racionales puede transformarse en otro equivalente con coeficientes enteros”

3

“Todo polinomio puede transformarse en otro equivalente mónico”.

4

“Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente de dicho polinomio” (Consecuencia del Teorema de Gauss)

5

“Las raíces racionales de un polinomio mónico con coeficientes enteros, son enteras” (Consecuencia del Teorema de Gauss)

6

“Las raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros son tales que el numerador es divisor del término independiente, y el denominador, es divisor del coeficiente principal” (Teorema de Gauss)

Los polinomios: 2x3-2x+4 ; 2x3-6x+4 ; x3-3x+2 3 3 son equivalentes. Los tres admiten las raíces, 1, 1 y -2. Investiga cómo se obtiene cada uno a partir de los otros dos.

En el polinomio mónico del problema 1, G(x)=x3-5x2+4x-20, la única raíz entera se encuentra entre los divisores de -20, que son: ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20

Dado P(x)=x4+2x3-13x2-4x+5 4 2 Multiplicamos por 4, para obtener coeficientes enteros: Q(x)=4x4+8x3-13x2-16x+10 Divisores de 10: ±1; ±2; ±5; ±10 Divisores de 4: ±1; ±2; ±4 Las posibles raíces racionales: ±1; ±1/2; ±1/4; ±2; ±5; ±5/2; ±5/4; ±10 Prueba que las raíces son: α1=1 ; α2=-5 ; α3=√2 ; α4=-√2 2 2

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7

“Si un polinomio admite sólo raíces irracionales o imaginarias, no le serán de utilidad, las propiedades 4, 5 y 6.”

Reflexiona sobre el alcance y las limitaciones del Teorema de Gauss. Lee, en “Un poco de historia” sobre la inexistencia de fórmulas para hallar raíces de polinomios de grado mayor que 4.

8

“Si un polinomio con coeficientes reales admite una raíz compleja, también admite a su conjugada” (Teorema de las raíces complejas de polinomios reales)

9

“Todo polinomio con coeficientes reales y de grado impar, admite al menos una raíz real” (Consecuencias del Teorema anterior)

En el polinomio del problema 1, G(x)=x3-5x2+4x-20 ya sabemos que admite la raíz 5. x-5 1 -5 4 -20 5 5 0 20 1 0 4 0 Buscamos las raíces del cociente x2+4=0 x2=-4 x=±√-4 x=±2i Es decir: α1=5; α2=2i; α3=-2i

10 “Todo polinomio de grado positivo puede escribirse

como un producto así: P(x)=an(x-α1)(x-α2).....(x-αn) donde α1, α2,....αn son las n raíces, no necesariamente distintas de P” (Teorema Fundamental de la Descomposición Factorial)

La descomposición factorial del polinomio G(x)=x3-5x2+4x-20 es G(x)=(x-5)(x-2i)(x+2i) [9] Si el polinomio no es mónico, se debe multiplicar por el coeficiente principal. Este teorema permite reconstruir polinomios a partir de sus raíces.

Para saber más Relaciones entre raíces y coeficientes Si se conocen las raíces de un polinomio P(x)=αnxn+αn-1xn-1+....+α2x2+ +α1x+α0 , de grado positivo, puede construirse siempre un polinomio mónico, que las admita como raíces, a partir de las siguientes relaciones: suma de las raíces α1+α2+α3+...+αn-1+αn=-an-1 suma de los productos tomadas de a dos α1α2+α1α3+...+αn-1αn= an-2 suma de los productos tomadas de a tres α1α2α3+α1α2α4+...+αn-2αn-1αn=-an-3 ................................................. producto de las raíces α1.α2.α3...αn-1.αn=(-1)na0 Estas relaciones permiten reconstruir un polinomio a partir de sus raíces o de una relación conocida entre las mismas. Ejemplo: Hallemos el polinomio real de tercer grado, cuyo coeficiente principal es 2, una de sus raíces es i, y el producto de todas ellas es -3/2. Buscamos primero un polinomio mónico equivalente. Como una de las raíces es i, y se trata de un polinomio real, por prop. 8, otra de sus raíces es –i. Además α1.α2.α3...αn-1.αn=(-1)3a0 i.(-i).α3=-3=-a0 α3=-3 Λ a0=3 . 2 2 2 También α1+α2+α3=-a2

i-i-3=-a2 2

a2=3 . 2

Además α1α2+α1α3+α2α3=a1 i.(-i)+i.(-3)+(-i)(-3)=a1 1-3i+3i=a1 2 2 2 2 a1=1. El polinomio mónico es x3+3x2+x+3 y multiplicando por 2, obtene2 2 mos el pedido: 2x3+3x2+2x+3

UN POCO DE HISTORIA A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro (14651526), Niccolo Fontana (Tartaglia, por tartamudo) y Jerónimo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general, mediante radicales y en función de las constantes que aparecen en la ecuación. A decir verdad, nunca quedó probado que existiera el manuscrito de del Ferro, y fue Tartaglia quien envió a Cardano la solución, pidiéndole que no la diera a conocer, lo que éste no cumplió.

Niccolo Fontana Tartaglia. 1500-1557

Jerónimo Cardano 1501-1576

Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dichas fórmulas. En el caso más general, sólo es posible aplicar métodos de aproximación, que los hay muy variados y de distinto nivel de complejidad.

71

5) Halla: a) Todas las raíces del polinomio: P(y)=y4+10y3+35y2-50y+24 b) Todos los números que elevados al cubo den por resultado 1. c) Todas las soluciones de la ecuación x4-11x2+18=0 (Pista: hacer x2 = y). d) ¿En cuánto hay que aumentar la arista de un recipiente cúbico para que su volumen se duplique?

g -2

4 3 2 1 -1 -1 -2 -3

1

2

6) La única información que se dispone respecto a una función polinomial g es que está definida con dominio en R, que el polinomio que la determina es de tercer grado y mónico y que su gráfica es la que se muestra a la izquierda. Determina g.

Transformar. Factorizar Supongamos que debes realizar la siguiente actividad: 7) Halla, sin uso de calculadora, el resultado de la siguiente operación: 78 945 314 8902 -(78 945 314 891•78 945 314 889) Con la restricción de no usar la calculadora, esta cuenta parece, al menos, tediosa. Sin embargo, fíjate cómo puede resultar útil, la equivalencia que hemos hallado en [5]. Llamando 78 945 314 890=x, resulta 78 945 314 8902-(78 945 314 891•78 945 314 889) 78 945 314 891=x+1 y 78 945 314 889=x-1. Entonces: Pero, según [5], 2 x -(x+1)•(x-1) (x+1)(x-1)=x2-1 2 2 x -(x -1) Operando Y la cuenta ‘complicada’ 1 dio por resultado 1.

Dos cuestiones fueron claves en la resolución de esta operación. Por una parte, la naturaleza tan particular de los números que intervienen, y por otra, el hecho de tener presente, en forma inmediata, la relación [5] que transforma (x+1)(x-1) en x2-1. En este apartado, queremos trabajar algunas de estas transformaciones. En efecto, en ciertas actividades que hemos desarrollado hasta ahora, presenciamos la transformación de un polinomio, escrito en su forma expandida (de sumatoria), a un producto (o viceversa), y en los casos en que fue posible, a una potencia, que es también un producto. Ejemplo de ello son las expresiones: [3]: t2+6t+9=(t+3)2=(t+3)(t+3) [4]: m3-9m2+27m-27=(m-3)3=(m-3)(m-3)(m-3) [5]: x2-1=(x+1)(x-1) [8]: x3-3x+2=(x-1)(x-1)(x+2)

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[9]: x3-5x2+4x-20=(x-5)(x-2i)(x+2i) En todas estas situaciones decimos que hemos factorizado (o factoreado) los polinomios, dado que los hemos expresado como producto de polinomios primos o irreducibles, que son “aquellos polinomios que no pueden descomponerse en producto de polinomios de grado inferior”. Esta transformación tiene diversas utilidades. Una de ellas quedó de manifiesto en la resolución del ejercicio 7; otra, está relacionada con la necesidad de establecer si una fracción algebraica es o no un polinomio, sin recurrir a la clásica división; una tercera, vinculada a la anterior y aplicada a las operaciones entre fracciones algebraicas; y una cuarta, con relación a determinar las raíces de un polinomio, por simple factorización. Veamos un ejemplo, que involucra a algunos de estos casos: 8) Transforma la siguiente operación entre fracciones algebraicas en una única fracción y determina si se trata de un polinomio: 2x3+18x2+54x+54 • x-2 - x3+8 x3+3x2-4x-12 x+3 x3+4x2+4x

Recuerda que la propiedad 10 afirma que todo polinomio de grado positivo, admite tal descomposición. Reflexiona sobre el paralelo que puedes establecer entre la factorización de números naturales y la de los polinomios.

Te aconsejamos repasar estos tópicos, en el Glosario.

Vamos a trabajar por separado cada uno de los polinomios que aparecen en esta operación: Polinomio

Transformaciones Propiedades y Raíces Factor común (no es más que la pro-

2(x3+9x2+27x+27) piedad distributiva), también cono-

cido como 1er. caso de factoreo.

2x3+18x2+54x+54 2(x+3)3 x2(x+3)-4(x+3) (x+3)(x2-4) x3+3x2-4x-12

Cuatrinomio cubo perfecto, también conocido como 4to. caso de factoreo. Raíces: -3 (triple). Factor común por grupos, también conocido como 2do. caso de factoreo.

(x+3)(x+2)(x-2)

Diferencia de cuadrados, también conocido como 5to. caso de factoreo. Raíces: -3, -2 y 2.

x-2

x-2

Se trata de un polinomio primo. Raíz: 2

x+3

x+3

Se trata de un polinomio primo. Raíz: -3

x3+8

(x+2)(x2-2x+4)

Suma de potencias de grado impar, también conocido como uno de los 4 casos del 6to. caso de factoreo. Raíces: -2 y dos imaginarias.

x(x2+4x+4) x3+4x2+4x

x(x+2)2

Factor común Trinomio cuadrado perfecto, también conocido como 3er. caso de factoreo. Raíces: 0 y -2 (doble). 73

Reemplazamos en la expresión original, con lo que se obtiene: 2(x+3)3 . x-2 - (x+2)(x2-2x+4) (x+3)(x+2)(x-2) x+3 x(x+2)2 Cancelamos (x+3)2 y (x-2) en el primer término y (x+2) en el segundo. Sumamos las fracciones en forma análoga a la suma de fracciones numéricas. El común denominador es el múltiplo común mínimo. En este caso, se trata del denominador del segundo término.

2(x+3) - x2-2x+4 x+2 x(x+2) 2(x+3)-x2+2x-4 x(x+2) 2x2+6x-x2+2x-4

Distribuimos

Halla las raíces del polinomio que figura en el numerador y luego escríbelo como un producto. Determina también el cociente y el resto de aquella división de polinomios.

x2+2x x2+8x-4 x2+2x Sumamos Esta fracción algebraica no es un polinomio. Para convencernos que esta expresión no puede simplificarse más, deberíamos hallar las raíces del polinomio numerador y escribirlo como producto de factores binomiales, que es en definitiva, un caso de factoreo sin nombre. Sin embargo, las raíces del polinomio denominador son 0 y -2, y ninguna de éstas, es raíz del polinomio numerador (verifícalo). Esta razón es suficiente para afirmar que no contienen binomios comunes y que, tal expresión, no es un polinomio.

9) A continuación presentamos algunos modelos geométricos, para ciertas propiedades. En cada caso, exceptuando el primero que se da a modo de ejemplo, analiza las áreas o volúmenes destacados en cada figura o cuerpo, compáralas, e intenta identificar alguna propiedad, su nombre y la expresión simbólica correspondiente. Nota: x, y, a, b, c son reales positivos y x > y. Cuadrado de una suma Trinomio cuadrado perfecto

(x+y)2 = x2 + 2xy + y2

x

y

x2

xy

x

x

x y

Reflexiona sobre ¿cuál puede ser el origen de la palabra raíz, para indicar un cero de un polinomio? y ¿por qué los monomios x2 y x3 se leen “x al cuadrado” y “x al cubo”, en lugar de “x a la dos” y “x a la tres”. x

xy

y2

y

a

x

y

x-y

x

y

a

y

x-y y

y y

c

b

x

x-y

b

y

y y

x

x-y

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10) Completa para que resulten identidades: a) (2x-.......)2=.......-.......+25 ; b) (.......+1)2=.......-2x+....... 3 c) 4x2 -.......=(.......+5)(2x-.......)

; d) 3x(2x-7)-5(...........)=(3x-5)(2x-7)

e) 16x4 -81=(...........)(8x3+12x2+18x+27)=(4x2 -9)(...........)=(...........)(...........)(...........)

PARA TU AUTOEVALUACIÓN 11)Responde: a) ¿Qué significa especializar la indeterminada de un polinomio por un escalar? b) Cuando se efectúa ese procedimiento ¿qué se obtiene? c) ¿A qué es igual la especialización de la indeterminada, por el escalar cero, en cualquier polinomio? d) Menciona todas las maneras que conoces para hallar la especialización de x en un polinomio P(x). e) Dado P(x), ¿qué significa P(1) = 6?. Inventa un polinomio que verifique eso. f) Sabiendo que x+5 es un factor de un polinomio Q(x), menciona todas las consecuencias que surjan de este hecho. 12)Sabiendo que P y Q son polinomios reales y que gr (P)=6 y gr (Q)=3, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, suponiendo exacta la división que se propone. Justifica. a) gr (P+Q) = 9 ; b) gr (P+Q) ≤ 6 ; c) gr (P-Q) = 3 d) gr (P.Q) = 9 ; e) gr (P/Q) = 2 ; f) gr (P.P) = 36 Rta: a) Falsa b) Verdadera c) Falsa d) Verdadera e) Falsa f) Falsa 13)Del polinomio A(n) sabemos que es de 5to. grado, que los únicos términos no nulos son, el independiente, el cúbico y el principal y que verifica que A(0)=-3; A(2)=33 y A(-1)=-9/2. Determina un A(n). Rta: el mónico es: A(n)=x5+1x3-3 2 14)Encuentra alguna terna (a,b,c) de números reales, de modo que el polinomio ax3+bx2+cx+32 admita dos raíces opuestas cuyo producto sea -64. Rta: ( 1 ,- 1 , -32) 2 2 15)En las tablitas babilónicas aparece como fórmula para el volumen del tronco 2 1 a-b 2 de pirámide cuadrangular, la expresión: h[ ( a+b 2 ) + 3( 2 ) ] siendo a y b las medidas de los lados de las bases y h, la altura. Halla una expresión equivalente a la dada, y el volumen de tres troncos cualesquiera. Rta: h (a2+ab+b2) 3 a=4; b=2; h=3 v=28 a=1; b=1; h=1 v=1 v=38 a=2; b=3; h=6 75

16)Determina si las siguientes operaciones son polinomios: 2 a) y2 -y-2 ; b) ( x - x+1 ): 2x+1 y +4y+3 x+1 x x2+x Rta: a) No

b) Si

17)Halla, utilizando propiedades de la factorización: a) 1 000 000 0012 – 999 999 9992 ; b) 612 ; c) 499982 Rta: a) 4 000 000 000 c) 2499800004

b) 3721

CAPÍTULO 5. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Este Capítulo contiene Función exponencial

Características de la función exponencial

Función logarítmica

Características de la función logarítmica

Ecuaciones exponenciales Formas de Resolución Conjunto Solución

Ecuaciones logarítmicas Formas de Resolución Conjunto Solución

Problemas resueltos y propuestos Autoevaluación

Autor María Cristina Beltrametti

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FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA Introducción En este capítulo abordaremos el estudio de otras funciones que además de las funciones lineales y cuadráticas son muy útiles al momento de describir y modelar fenómenos del mundo real. Un modelo matemático es una idealización abstracta de un problema y está constituido por expresiones que vinculan las variables intervinientes en él facilitando la evaluación de las posibilidades de solución. En líneas generales es una representación de un fenómeno real, basado en relaciones matemáticas. La función exponencial permite modelar situaciones tales como: crecimiento de bacterias, aumento de poblaciones animales y vegetales, interés compuesto, desintegración de una sustancia radiactiva. Todos estos procesos son tales que la variación (aumento o disminución) en un intervalo de tiempo es proporcional a lo que había al inicio del mismo.

Función Exponencial Analicemos el siguiente problema: 1) Un laboratorio químico-farmacéutico está desarrollando un nuevo medicamento. Al realizar sus experiencias han determinado que las bacterias que emplean se reproducen por bipartición cada hora. Considerando que inicialmente hay una bacteria, al cabo de una hora, cuando la bacteria alcanza un cierto grado de madurez, se divide y da lugar a otras dos bacterias jóvenes; estas a su vez al cabo de una hora, reproducen el mismo proceso. Teniendo en cuenta el proceso anteriormente descripto: a)¿Cuántas bacterias se encuentran presentes al cabo de 3 horas? Al cabo de 3 horas podemos afirmar que hay 8 bacterias. ¿Podrías justificar por qué? b)¿Qué sucederá al cabo de 5 horas? ¿Qué sucede con el número de bacterias a medida que aumenta el número de horas? Para responder estas cuestiones podríamos continuar con las ramas del diagrama y contar o bien observar alguna característica o regularidad que esté presente en el comportamiento de las bacterias a medida que transcurre el tiempo. Como el número de bacterias se duplica al cabo de cada hora, de modo que el número de bacterias presentes en una determinada hora es el doble del número de bacterias que había la hora anterior; la población de bacterias crece a un ritmo determinado. Y al cabo de 5 horas habrá 32 bacterias: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 o bien 25 = 32

Una forma de determinar el número de bacterias es hacer un diagrama y contar lo que sucede en cada rama del dibujo: En la primera hora, se generan dos nuevas bacterias a partir de la bacteria inicial, en la segunda hora, por cada una de ellas se generan dos nuevas, y así sucesivamente. O sea que al cabo de la tercera hora habrá: 2 · 2 · 2 = 8 o bien 23 = 8 bacterias. 3ª hora 2ª hora 1ª hora

ahora

79

c)Resumiendo lo realizado hasta ahora en una tabla, Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 … t

Nº de bacterias 1 2 = 21 4 = 2 · 2 = 22 8 = 2 · 2 · 2 = 23 16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25

Graficando el número de bacterias en función del tiempo transcurrido 8

6

4

2

… 1

2

3

4

a) ¿Cuál será la expresión, “regla” o “fórmula” que nos permita calcular el número de bacterias presentes en la muestra conociendo las horas transcurridas? Como habrán observado, una expresión que nos permite obtener el número de bacterias N al cabo de un cierto tiempo t, es: N(t) = 2t, t expresado en horas. La variable independiente es el tiempo (t) expresado en horas y la variable dependiente es el número de bacterias. Al modelar el crecimiento del número de bacterias trabajamos con funciones de números reales, aunque el número de bacterias es un número entero. Esto constituye una práctica muy usual que nos permite estudiar las características de la función. f (t) = 2t

La función que describe el crecimiento del número de bacterias presentes en una muestra cuyo número se duplica cada hora y que tiene como población inicial una bacteria se define de la siguiente manera: f:R R+ / f(t) = 2t Resolvamos la siguiente situación:

Tiempo en años 0 1 2 3 … t

Kg de sustancia 1 1=( 1 )1 2 2 1 . 1=1=( 1 )2 2 2 4 2 1 . 1=1=1 . 1 . 1=( 1 )3 2 4 8 2 2 2 2 …

2) Un elemento radiactivo tiene la propiedad de desintegrarse con el transcurso del tiempo transformándose en otro elemento mediante un proceso denominado desintegración radiactiva, el que consiste en la emisión por parte del núcleo de partículas alfa y beta (α y β). La emisión de energía se debe a la inestabilidad del núcleo alcanzando un estado más estable luego de la emisión. En un laboratorio se observa una sustancia radiactiva que al desintegrarse, el número de partículas de la sustancia madre se reduce en un 50% cada año. (El año en este caso, se denomina vida media. La vida media es el tiempo que debe transcurrir para que el número de partículas se reduzca a la mitad). a)Si la masa objeto de estudio en el momento t = 0 es de 1 kilogramo, completa la tabla para obtener la expresión que permite encontrar qué cantidad de sustancia madre permanece al cabo de t años.

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La expresión que permite obtener la cantidad de sustancia t años después si la cantidad inicial de masa es de 1 kg es: N(t)=( 1 )t; t en años 2 Graficando algunos de los valores obtenidos: M(t) 1

1

2

3

4

5 años

t 0 1 2 3 4 5

Kg (masa) 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32

En esta situación podríamos preguntarnos acerca de cuánta cantidad de masa habría años anteriores al que iniciamos el estudio, como así también, teniendo en cuenta que el proceso de desintegración es continuo, qué cantidad de masa hay al cabo de 8 meses, 5 meses o 3 años y medio. Halla empleando tu calculadora qué cantidad de masa hay al cabo de: a) 8 meses b) 15 meses c) 3 años y medio t a)La expresión que debemos emplear es la hallada anteriormente: N(t)=(1 2) ; t en años. Como t está expresado en años, debemos expresar 8 meses en partes de un año, 8 meses es equivalente a 2 año 3

Luego N(2/3)=( 1 )2/3=0,63 kg de masa 2 Con la calculadora 1 ab/c 2 xy 2 ab/c 3 ≅ 0,6299 ≅ 0,63 b) Procedemos de igual manera que en el caso anterior: t=15=5 12 4 N(5/4)=( 1 )5/4=0,42 kg de masa. 2 Con la calculadora 1 ab/c 2 xy 5 ab/c 4 ≅ 0,4204 ≅ 0,42 c) Para t = 3 años y medio es t = 3,5. N(3,5)=( 1 )3,5=0,089 kg de masa. 2 Con la calculadora 1 ab/c 2 xy 3.5 ≅ 0,0883 ≅ 0,089

Halla empleando tu calculadora qué cantidad de masa había: a) 2 años atrás b) 5 meses atrás

81

¿Cómo varía la masa a lo largo del tiempo?

Al igual que en el problema 1, para modelar esta situación empleamos la expresión: N(t)=( 21 )t ; asignándole a t valores pertenecientes al conjunto de los números reales. La gráfica es: 1 N(t)=( )t 2

t

Realiza las siguientes actividades: Actividades 3)Utilizando un graficador como Winplot representa: y = 2x ; y = 3x ; y = 5x.. a)Construye la tabla de valores. b)Determina el conjunto dominio y el conjunto imagen. c)¿Las funciones son crecientes o decrecientes? Justifica tu respuesta. d)Si se trata de funciones crecientes, ¿cuál crece más rápidamente? Y en caso contrario, si se trata de funciones decrecientes, ¿cuál decrece más rápidamente? e)¿Qué sucede cuando se le asigna a x valores muy grandes en valor absoluto? x x 4)Utilizando un graficador como Winplot grafica: y = ( 1 ) ; y = ( 1 ) 2 3 a)Determina el conjunto dominio y el conjunto imagen. b)¿Las funciones son crecientes o decrecientes? Justifica tu respuesta. c)Si se trata de funciones crecientes, ¿cuál crece más rápidamente? Y en caso contrario, si se trata de funciones decrecientes, ¿cuál decrece más rápidamente? ¿Qué sucede cuando se le asigna a x valores muy grandes en valor absoluto?

La función que hemos estudiado y analizado, se llama función exponencial, y se expresa de la siguiente manera: f:R R+ / f(x) = ax , a > 0; a ≠ 1 Presenta las siguientes características: • a es un número real positivo distinto de 1. • Su dominio es el conjunto de los números reales (R). • Su conjunto imagen es el conjunto de los números reales positivos (R+). • La gráfica pasa por el punto de coordenadas (0,1) pues ∀ a ∈ R, a ≠ 0, a0 = 1.

7x 2x ( 23 )x

Si a > 1 • La función es creciente. • La función crece más rápidamente cuanto mayor es el valor de a. • Cuando x ∞; f(x) ∞. • Cuando x -∞; f(x) 0. El semieje negativo de las x es asíntota horizontal de la gráfica de la función.

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Si 0 < a < 1 • La función es decreciente. • La función decrece más rápidamente cuanto menor es el valor de a. • Cuando x -∞; f(x) ∞. • Cuando x ∞; f(x) 0. El semieje positivo de las x es asíntota horizontal de la gráfica de la función.

( 21 )x

( 71 )x

( 32 )x

Retomemos la situación 1: 5) Bajo las mismas condiciones establecidas en el problema 1 analiza qué ocurrirá si en la situación inicial hay 5 bacterias. a)¿Cuál es el número de bacterias al cabo de una hora? ¿Y de tres horas? ¿Y de 5 horas? b)Completa la tabla de modo que Tiempo Nº de bacterias puedas obtener una expresión 0 5 1 5 · 2 = 10 = 5 · 2 que permita calcular el número de 2 10 · 2 = 20 = 5 · 2 · 2 = 5 · 22 bacterias presentes en la muestra 3 20 · 2 = 40 = 5 · 2 · 2 · 2 = 5 · 23 al cabo de un tiempo t 4 40 · 2 = 80 = 5 · 2 · 2 · 2 · 2 = 5 · 24 c)¿Al cabo de cuánto tiempo ha5 80 · 2 = 160 = 5 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 5 · 25 brá 5120 bacterias en la muestra? 6 Calcula empleando la calculadora … … científica. t Teniendo en cuenta las consideraciones dadas en el problema 1, la función f(x) = 5 · 2t modela el número de bacterias presentes en la muestra donde originalmente había 5 bacterias. Resuelve las siguientes actividades: Actividades 6)Seguramente habrás oído alguna vez la historia del inventor del ajedrez. Como recompensa por su invento, pidió a su rey un grano de trigo por el primer cuadro, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y así sucesivamente. a)¿Cuántos granos de trigo hay que poner en el 7º cuadro? ¿Y en el 10º? b)¿A qué cuadro le corresponden 8192 granos de trigo? c)Sin hacer cálculos, ¿estará muy lejos del cuadro anterior el correspondiente a 32768 granos? Anótalo y después comprueba tu hipótesis. d)Busca una fórmula que relacione el número del cuadro con el número de granos. e)Representa gráficamente esa relación. (Atención con las escalas.)

Nota: un tablero de ajedrez tiene 64 cuadros.

7) a)Un peso colocado a un interés compuesto del 7% se convierte al cabo de 1 año en 1 + 1 · 0,07 = 1,07. ¿En cuántos pesos se convierten $200 al cabo de 1 año? ¿Y $1000? ¿Y $150? ¿En cuánto se convierten c pesos al cabo de un año? b)Si los intereses se acumulan al capital y dejamos el peso varios años, se va

83

convirtiendo en: 1er año 2do año 3er año 2 $1 1 + 1 · 0,07 1,07 + 1,07 · 0,07 1,07 + 1,072 · 0,07 1,07 1,07 (1 + 0,07) = 1,072 1,072 (1 + 0,07) = 1,073 Continúa el proceso hasta el 6to año. Halla una expresión que permita calcular en cuánto se habrá convertido el peso al cabo de n años. 8)Martín ha iniciado un plan de actividad física. Para ello se propone correr cada día 1,5 veces el tiempo que corría el día anterior. Si el primer día comienza con 2 minutos de carrera, ¿cuánto tiempo correrá el quinto día? ¿cuánto tiempo lleva corriendo si hoy ha corrido aproximadamente 1 hora 16 minutos? Busca una fórmula que relacione el tiempo de carrera y el número de días que lleva corriendo. Ayúdate de una calculadora científica. 9)En biología se emplean con frecuencia como modelo matemático para describir el aumento de poblaciones, ya sea de bacterias, de pequeños animales y en algunos casos hasta de seres humanos, expresiones de la forma: f (t )=C·bk·t , donde C, b y k son constantes. La población P de una cierta localidad después de t años está dada por la expresión: P(t )=7600·(�)t a)¿Cuál es la población inicial? b)¿Cuál es la población después de 1, 2, 3, 5 años? ¿Y de 10 años? c)¿La población crece o decrece con el tiempo? A continuación, reflexiona con tus compañeros de grupo el comportamiento de las funciones que resultan de aplicar a la función f(x) = 2x las transformaciones indicadas: 10) A partir de la gráfica de la función f : R R+ / f(x) = 2x Construye la gráfica de las funciones (emplea un graficador) y enuncia tus conclusiones: a) f1(x)=2x+2 ; f2(x)=2x-3 d) f7(x)=2x+2 ; f7(x)=2x-1 b) f3(x)=3·2x ; f4(x)=1·2x e) f8(x)=3·2(x+2) ; f6(x)=-1·2(x-1) 3 3 c) f5(x)=-3·2x ; f6(x)=-1·2x 3

Habrás notado que a partir de una función dada, se obtienen funciones relacionadas aplicando ciertas transformaciones. Sea f(x) = ax, a > 0; a ≠ 1, entonces:

Ejemplo

f(x) + c = ax + c • Si c > 0 la gráfica de f(x) se desplaza c unidades hacia arriba. • Si c < 0 la gráfica de f(x) se desplaza c unidades hacia abajo. • En estos casos la gráfica se traslada sobre el eje de las ordenadas.

2x+2 3 1

-2

2x 2x-3

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Ejemplo

k · f(x) = k · ax • Si k > 1 la gráfica de f(x) se “alarga” verticalmente en un factor k. • Si 0 < k < 1 la gráfica de f(x) se “acorta” verticalmente en un factor k. • Si k = -1 se refleja la gráfica de k · f(x) respecto del eje x.

2x 1·2x 3

3·2x

-2x

Ejemplo

f(x + h) = ax+h • Desplaza la gráfica de la función f(x) una distancia h unidades hacia la izquierda f(x - h) = ax-h • Desplaza la gráfica de la función f(x) una distancia h unidades hacia la derecha

2x+2 2x 4

2x-1

2 1 -2

2

Resuelve las siguientes actividades: Actividades 11)Los puntos (0; 1,2) y (3; 9,6) pertenecen a la gráfica de la función exponencial f(x) = k · ax. Halla los valores de k y a. 12)La gráfica corresponde a una función de la forma f(x) = k · ax. Halla los valores de k y a.

Función Logarítmica En el primer problema encontramos la expresión f(t) = 2t que describe el número de bacterias presente en una muestra, que se duplica cada hora, con una bacteria inicialmente. Hallamos el número de bacterias presente en la muestra al cabo de 1 hora, 5 horas, 10 horas. Así al cabo de 1 hora, hay presente: 21 = 2 bacterias, para t = 5 horas, el número de bacterias presente es 25 = 32 bacterias y al cabo de 10 horas 210 = 1024 bacterias. Ahora bien, si deseamos saber cuántas horas deben transcurrir para que la población sea de 65.536 bacterias, se trata de hallar el valor de t del dominio cuya imagen es 65.536. Debemos resolver la siguiente situación: 65.636 = 2t Este problema se resuelve fácilmente conociendo la inversa de la función f : R R+ / f(t) = 2t La función f(t) = 2t definida de R en R+ es biyectiva, por lo tanto f -1 es función.

f (x) = en

Una función exponencial muy usual es la función f(x) = ex, donde e es un número irracional que se define como el valor al que tiende la sucesión (1+n1)n cuando n tiende a infinito. A medida que n toma valores muy grandes, la expresión (1+n1)n tiende a 2,7182818… 12)

5,6 4

1

Se llama función inversa de f(x) a otra función f -1(x) que cumple la siguiente condición: Si f(a) = b f -1(b) = a -1 Para que f (x) sea función debe ser f biyectiva.

85

13) Grafica a partir de las gráficas de f(x) = 2x y g(x) = (�)x las gráficas de sus respectivas funciones inversas. f:R x -3 -2 -1 0 � 1 2 3 4

2x 1/8 � � 1 √2 2 4 8 13

g:R x -3 -2 -1 0 1 2

R+ / f(x) = 2x x 1/8 � � 1 √2 2 4 8 13

f -1(x) -3 -2 -1 0 � 1 2 3 4

f(x)=2x

f -1(x)

R+ / g(x) = (�)x (�)x 8 4 2 1 � �

x 8 4 2 1 � �

y=x

y=x

g -1(x) -3 -2 -1 0 1 2

g(x)=(�)x

g -1(x)

La función inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica. En general: f(x)=loga x es la función inversa de la exponencial f(x)=ax La función y=log2 x es la función inversa de la función y=2x y la función y=log� x es la función inversa de la función y=(�)x Las funciones f(x)=ax y f -1(x)=loga x son simétricas son respecto a la recta y = x La expresión de la función logarítmica es: R / y=f(x)=loga x; a ∈ R+; x ∈ R+; a ≠ 1 ∧ ay = x f : R+ Y presenta las siguientes características: • a es un número real positivo distinto de 1. • Su dominio es el conjunto de los números reales positivos (R+) • Su conjunto imagen es el conjunto de los números reales (R) • La gráfica pasa por el punto de coordenadas (1; 0).

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Si a > 1

Si 0 < a < 1 0 7 la solución es básica o alcalina y cuando pH = 7 la solución es neutra. El pH suele calcularse con una cifra decimal. Encontra el pH de la sangre, sabiendo que la concentración de iones de hidrógeno en la sangre de una persona sana suele ser [H+]-3,98·10-8 moles/litro. (ZILL D. DEWAR J. 1999)

pH=-log10[H+]=-log10[3,98.10-8]=-[log 3,98+log 10-8]= =-[log 3,98+(-8).log 10]≅-[0,60+(-8).1]=-0,6+8=7,4. La sangre humana es una solución básica. Resuelve las siguientes actividades Actividades 16)El nivel de intensidad b de un sonido medido en decibeles (dB) se define por: b=10log10 II ; donde I es la intensidad del sonido en vatios/cm2 e I0=10-16 vatios/ 0 cm2 es la intensidad del sonido más débil que puede oírse (0 dB). Completa la siguiente tabla: Sonido Intensidad vatios/cm2 Nivel de Intensidad en dB Umbral de dolor del oído humano 10-4 Despegue de un jet 10-7 Alarma de fuego 10-9 Conversación 10-11 Susurro 10-14 17)Empleando el graficador WINPLOT o como consideres conveniente, grafica a partir de la función f(x)=log2x las funciones que se obtienen: a)Trasladando la función f(x) 3 unidades a la derecha. b)Trasladando la función f(x) 2 unidades a la izquierda. c)Trasladando f(x) 2 unidades hacia arriba sobre el eje de las ordenadas. d)Trasladando f(x) 3 unidades hacia abajo sobre el eje de las ordenadas. e)Multiplicando la función f(x) por 3. f)Multiplicando la función f(x) por �. Escribe las expresiones de cada una de las funciones resultantes y las caracterís-

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ticas de las mismas. Indica dominio e imagen de cada una de ellas. Enuncia tus conclusiones.

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 18) Retomemos el problema del número de granos que se debía colocar en cada casilla del tablero de ajedrez, podríamos preguntarnos ¿cuántos granos se deberán colocar en el casillero 32?, como así también, ¿en qué casillero se colocan 2048 granos? La expresión que nos permite calcular el número de granos en cada casilla es N=2n, donde n es el número de cuadro del tablero. A la casilla 32 le corresponde 232=4294967296 granos y 2048 granos corresponden a la casilla 11. Queda planteada la ecuación: 2048=2n; resolver esta ecuación es hallar el exponente al que debemos elevar 2 para obtener 2048. Como 2048 es una potencia de 2, 2048=211, 211=2n, luego n = 11 Y aplicando logaritmos en base 10 por ejemplo resulta: log 2048=log 2n n=log 2048=11 log 2 Hemos resuelto una ecuación llamada ecuación exponencial. En este caso como 2048 es una potencia de base 2, hemos podido expresar ambos miembros de la igualdad como potencias de igual base, en cuyo caso, para hallar la solución basta con igualar los exponentes, pero no siempre esto es posible. En general las ecuaciones exponenciales se resuelven aplicando logaritmos. Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la incógnita figura en el exponente. Resolvamos juntos los siguientes problemas 19) Calcula el tiempo en que se ha depositado en un banco a interés compuesto un capital de $15000 al 4,5% anual, si el monto es de $18530. Reemplazando los datos en la expresión del monto: M = Co(i+i)n Resulta: 18530 = 15000 (1+0,045)n 18530=1,045n Operando: 18530 = 15000.1,045n 1,235=1,045n 15000

M: monto Co: Capital inicial i: tanto por 1 n: nro. de períodos de capitalización.

Se trata de hallar el valor de n, es decir, el exponente al que hay que elevar 1,045 para obtener 1,235. Ha quedado planteada una ecuación exponencial que a diferencia de la anterior no podemos resolver fácilmente igualando exponentes pues 1,045n y 1,235 no son potencias de igual base. Recurriremos en este caso, para resolver ecuaciones exponenciales, a los logaritmos y sus propiedades. Repasa las propiedades de los logaritmos y potencias para resolver 89

este tipo de ecuaciones (ver glosario). Aplicando log a ambos miembros resulta log 1,235=log 1,045n aplicando propiedades de los logaritmos log 1,235=n.log 1,045 n= log 1,235 = 4,79 años ≅ 4 años 9 meses 14 días . log 1,045 20) La población de una cierta comunidad después de t años está dada por la expresión p(t)=5000.c 0.02.t a)Determina la población inicial. b)Calcula la población al cabo de 5 años. c)¿Al cabo de cuántos años se triplicará la población inicial? a) P(0)=5000.e0.02.0=5000.e0=5000.1=5000 b) P(5)=5000.e0,02.5 ≅ 5.525 habitantes. 18000=e0,02t c)15000=5000.e0,02t 3=e0,02t 5000

Recordar: lne=1

Al igual que en el problema anterior debemos calcular el exponente al que hay que elevar la base e para obtener 3. Aplicamos en este caso, logaritmo natural o de base e: en 3= en(e0,02t) en 3=0,02t . en e=0,02t t=en 3=54,93 ≅ 55años 0,02 La población inicial de la comunidad es de 5000 individuos y deberán transcurrir 55 años para que se triplique, bajo las mismas condiciones iniciales. 21) La expresión A(t)=580.e-0,000218t permite calcular la cantidad de sustancia radiactiva presente al cabo de t años, en un proceso de desintegración. Calcula la vida media de la sustancia radiactiva. (La vida media de un elemento radiactivo, como ya lo mencionamos anteriormente es el tiempo que debe transcurrir para que cierta sustancia radiactiva se desintegre la mitad).

La cantidad inicial de sustancia es A(0)=580.e-0,000218.0=580.e0=580.1= =580 Por definición de vida media A(t)= A0 2 Debemos resolver la ecuación 580=580.e-0,000218t 2 Cancelando 580: 1=e-0,000218t 2 Aplicando logaritmos ln(12)=ln(e-0,000218t ) ln 0,5=-0,000218t.lne

ln 0,5=-0,000218t

t= ln 0,5 =7382,74 -0,000218 La vida media de la sustancia es de 7382,74 años. Es interesante notar

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que la vida media de la sustancia no depende de la cantidad inicial. Resolvamos a continuación las siguientes ecuaciones. Te dejamos como tarea que revises y justifiques cada uno de los pasos que se ejecutan en cada resolución. a) 3x+1=243 Como 243=35, 3x+1=35 , entonces igualamos los exponentes: x+1=5 y despejamos: x=5-1=4 Verificamos: 34+1=35

35=35

b) 85x+1=( 14 ) 3x+2 En este caso, expresamos � y 8 como potencia de 2: 8=23 y �=2-2: (23)(5x+1)=(2-2)3x+2 Aplicando propiedad de la potenciación (potencia de otra potencia): 3(5x+1) 2 =2-2(3x+2), potencias de igual base. Igualando los exponentes: 3(5x+1)=-2(3x+2) 15x+3=-6x-4 15x+6x=-4-3 Resolviendo la ecuación: 21x=-7 x=- 7 =-1 21 3 Verif.:85.(-1/3)+1=(�)3.(-1/3)+2

8-5/3+1=(�)-1+2

8-2/3=�1

3

(√8)-2=�

2-2=�

c) √2.(81)2x+1=16x-3 En este caso, expresamos √2, 1/8 y 16 como potencias de 2: √2=21/2; (81)=2-3; 16=24. Procediendo como en el ejemplo anterior, resulta 21/2.(2-3)(2x+1)=(24)(x-3) Aplicando propiedades de la potenciación 21/2.2-3.(2x+1)=24.(x-3) Por propiedades del producto de potencias de igual base, resulta 1/2-3.(2x+1) 2 =24.(x-3). Igualando los exponentes: �-3(2x+1)=4(x-3) Resolviendo la ecuación 1-6x-3=4x-12 -6x-4x=-12+3-1 2 2 -10x=-24+6-1=-19 2 2

x=19=+0.95 20

En todas las ecuaciones que hemos resuelto, hemos igualado las bases, de modo que ha quedado planteada la igualdad de dos expresiones exponenciales, y de ahí se deduce la igualdad de los exponentes.

22) Resolver la siguiente ecuación: e2x -ex -6 = 0 Para resolver esta ecuación emplearemos lo que llamamos “cambio de variable”. (e2x )=(ex )2, llamemos t a ex, reemplazando ex por t en la ecuación dada obtenemos t2-t-6=0 Resolvemos la ecuación cuadrática en t: t=1±√1-4.1.(-6)=1±√25=1±5 2.1 2 2 t1=1+5=3; t2=1-5=-2 2 2 Para t=3 es ex=3

x=ln3 91

EN SÍNTESIS: Las ecuaciones exponenciales pueden resolverse siempre empleando logaritmos y en casos particulares por igualación de bases. Si es posible igualar las bases, queda planteada una igualdad de expresiones exponenciales y la solución de obtiene igualando los exponentes. En caso de no poder escribir una igualdad de expresiones exponenciales de igual base, se aplica a ambos miembros de la igualdad logaritmos en la base más conveniente. Para la resolución de este tipo de ecuaciones se deben tener presentes las propiedades de la potenciación y de los logaritmos.

Para t=-2 es ex=-2; este valor no lo consideramos porque x=ln(-2) no pertenece al conjunto de los números reales.

Actividades 23)Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 4.3x-4 = 0 b) 3.4x +6 = 0 c) (1/3)x .9x-1 = 27 d) 32x .9x = 192 x x e) 2 .4 = 72 f) (√5)x .125x+1 = 625 24)Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 32x +9x = 192 b) 2x +4x = 72 x 1-x c) 5 +5 = 5 d) 3x +3-x = 17.3x-1 3-x

Ecuaciones logarítmicas Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas afectadas de un logaritmo.

25) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) log3 (2x-1) = 2 b) log2 x + log2 (x-4) = 5 c) log5 (x+2) -1 = log5 (3x-2) Para resolver estas ecuaciones es muy importante que tengas presente la definición y las propiedades de los logaritmos. (Ver glosario). Recuerda que loga x ab=x; a ∈ R+; a ≠ 1 y b ∈ R+ a) log3 (2x-1) = 2 Aplicando definición de logaritmos 2x-1=32 Resolviendo la ecuación 2x-1=9 2x=10 x=5 Verificación: log3 (2.5-1)=log3 9=2 b) log2 x + log2 (x-4) = 5 Aplicando la propiedad de logaritmo de un producto: log2 x + log2 (x-4) = log2 [x. (x-4)] = 5 Aplicando definición de logaritmo x. (x-4)=25 Resolviendo la ecuación x2-4x-32=0: x=4±√16-4.1(-32) x=4±√144=4±12 2.1 2 2 x1=4+12=8 2

x1=8

x2=4-12=-4 2

x2=-4

Verificamos: log2 8+ log2 (8-4)=3+log2 4=3+2=5 Se verifica para x=8 y para x=-4 se descarta pues log2 (-4) no es un número real. Los logaritmos sólo están definidos para números reales positivos.

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Continuamos resolviendo ecuaciones logarítmicas a) log2 (9+x2)=log 6 + log x Aplicando propiedad del logaritmo de un producto: log2 (9+x2)=log 6x Como en ambos miembros figuran logaritmos de igual base es 9+x2=6x Resolvemos la ecuación x2-6x+9=0 x=6±√36-4.1.(9) x=6=3 x=3 2.1 2 Verificamos: log (9+32)=log (9+9)=log 18=log (6.3)=log 6+log 3 b) log2 x - log4 2x = 1 En este caso ambos logaritmos tienen distinta base, de modo que efectuamos un cambio de base para expresar todos los logaritmos en la misma base. Escribimos los logaritmos en base 2: log4 2x = log2 2x = log2 2x log2 4 2 por cambio de base

Reemplazando log2 x - log2 2x = 1; operando 2log2 x - log2 2x = 1 2 2 Aplicando propiedades de los logaritmos (logaritmo de una potencia y x2)=2 de un cociente resulta: log2 x2- log2 2x =2 log2 ( 2x x≠0 log2 ( 2x )=2 x/2=22 x=4.2 x=8 Verificamos log2 8-log4 2.8=3-log4 16=3-2=1 26) Resuelve las siguientes ecuaciones a) 2log2 x -log4 x=6 c) log3 (9-3x)=2 e) log(2-x)2=3

EN SÍNTESIS: Para resolver ecuaciones logarítmicas es conveniente, empleando las propiedades de los logaritmos, transformarlas en un único logaritmo y aplicando la definición de logaritmos, resolver la ecuación que queda planteada. En este tipo de ecuaciones es muy importante verificar la solución hallada para descartar las raíces extrañas.

b) log3 (x-1)+log3 (x+1)=0 d) log(x2-12x+11)=log(3x-25) f) log2 x +log2 (x-2)=3

PARA AUTOEVALUACIÓN 1)El número de bacterias presentes en un cultivo después de t horas está dado por la expresión N(t)-N0.e0,45t donde t se mide en horas. Si la colonia se inicia con 500 bacterias, a)¿Cuántas habrá después de 6 horas? b)¿Y de 12 horas? Rta.: a)7439 bacterias; b)110703 bacterias 2)Halla el valor de k en la expresión N(t)=N0.ek.t si se sabe que para t = 2 es N(t) = 3 · N0. Rta.: k=ln3 ≅ 0,5493 2 3)Determina la vida media del radio si su fórmula para el decaimiento radiactivo es A(t)-A0.e-0,0004279t (t en años). Rta.: t = 1619,88años 4)¿Cuánto dinero se debe invertir al 5,5% anual compuesto de manera continua

93

para obtener un rendimiento de $100.000 al cabo de 10 años? Rta.: $ 58543 5)Encuentra el pH de una solución con una concentración de 7 · 10-5 iones de hidrógeno [H+]. Rta.: pH = 4,1 6)Si W es el peso de un animal promedio de una especie a la edad t, se encuentra a menudo que lnW=ln(A-W )+B(t-C ) donde A, B y C son ciertas constantes. Expresa W como una función de t. Rta.: W =e B(t-C) 7)Un nuevo producto se lanza al mercado A-W al tiempo t = 0 y de ahí en adelante sus ventas mensuales crecen de acuerdo con la fórmula. Si después de un año las ventas son de 7000, halla el valor de k. Rta.: k≅-2,4333 8)Halla los valores de k y a de la expresión f(x)=k · ax, sabiendo que f(3)=32,4 y f(5)=291,6 Rta.: k=1,2 ; a=3

CAPÍTULO 6. VECTORES

Este capítulo contiene Vectores

Introducción Módulo, Dirección y Sentido

Operaciones con vectores

Suma y Resta de Vectores Regla del Paralelogramo Producto de un escalar por un vector Combinación Lineal Un poco de Historia Vectores y Fuerzas: Barco en un Canal Fuerza Resultante Coordenadas rectangulares y polares Componentes de un vector Suma y Resta utilizando componentes Producto por escalares y combinaciones lineales utilizando las componentes

Problemas propuestos y resueltos Autoevaluación

Autor Milena María Balbi

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VECTORES: MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO En este capítulo vas a trabajar con vectores, comenzamos proponiéndote que resuelvas la siguiente situación: 1) Una empresa de turismo tiene dos promociones para conocer el país, saliendo en avión desde Resistencia, con vuelos directos: Plan Norte: Plan Centro- Sur: • Tucumán. • Rosario. • Salta “La linda”. • Neuquen. • Jujuy. • San Luis. • Formosa. • Córdoba. I) Traza en el mapa cada recorrido, respetando el orden en que se viaja a cada lugar, también indica de dónde se parte y adonde se llega. II) Compara los recorridos de cada Plan realizando, con regla graduada, una medición estimativa de los mismos. III) En uno de los Tours, debido a inclemencias climáticas, el avión en vez de realizar su vuelo de Resistencia-Tucumán-Salta, lo hizo desde Resistencia directamente a Salta. Compara ambos recorridos . IV) Calcula la diferencia entre las distancias Resistencia-Córdoba y ResistenciaRosario. A un grupo de alumnos se les entregó un mapa de las mismas características que éste, pero en diferente escala, por lo que seguramente las medidas que ellos realizaron en centímetros diferirán con las que realizaste, como así también los cálculos que hicieron no resultarán exactamente como los que hiciste . A continuación te presentamos cómo los alumnos resolvieron el problema: I)Unieron las ciudades con segmentos que indican la dirección y colocaron flechas en un extremo que indican el sentido, es decir, de dónde se sale y adónde se llega. II)Luego realizaron mediciones en centímetros de los recorridos de ambos planes, corroborando lo que a simple vista se observa, que la longitud del recorrido del Plan Norte es menor que la del Plan Centro-Sur. Llamaron RT a la distancia entre Resistencia y Tucumán, así sucesivamente usaron la misma simbología para referirse a todos los

TS: Tucumán–Salta, SJ: Salta-Jujuy, JF: Jujuy-Formosa, FR: Formosa-Resistencia. RR: Resistencia-Rosario, RN: Rosario-Neuquén, NS: Neuquén-San Luis, SC: San Luis-Córdoba, CR: Córdoba-Resistencia. La suma del Plan Norte es: RT+TS+SJ+JF+FR=2,0cm+0,9cm+0,4cm+2,5cm+0,6cm=6,4cm La suma del Plan Centro-Sur es: RR+RN+NS+SC+CR=2,5cm+3,5cm+2,6cm+1,1cm+2,4cm=12,1cm

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segmentos orientados, la medida registrada de cada uno de ellos es su módulo. S III)Midieron las dos posibilidades y luego calcularon que la distancia T R entre Resistencia-Tucumán-Salta RT+TS=2,0cm+0,9cm+2,9cm es mayor que la distancia de Resis- RS=2,4cm tencia-Salta.

IV) Construyeron los vectores RR y RC desde el mismo origen, con la guía del docente concluyeron que la diferencia está dada por el vector CR

R

C

R

En el item I) de la actividad anterior utilizaron las nociones de vector, y en el item II) sumaron los módulos de vectores. Respecto al punto III) necesitamos aclararte que al comparar las dos alternativas planteadas RT+TS=0,2cm+0,9cm=2,9cm y RS=2,4cm la suma definida entre vectores no es igual a la suma que definimos entre números en capítulos anteriores. Por último en el punto IV) se utiliza la diferencia entre dos vectores. Para definir magnitudes tales como los desplazamientos, las fuerzas, las velocidades, necesitamos, además de un número, una dirección y un sentido. Éstas magnitudes se denominan vectoriales y las representamos mediante segmentos orientados llamados vectores. Un vector es un segmento de recta orientado, se caracteriza por: 1) su módulo, que es la longitud del segmento y se lo indica entre barras |v| ó |AB|. 2) su dirección, que viene dada por la recta que pasa por él o cualquier recta paralela. 3) su sentido, que es uno de los dos sentidos posibles sobre la recta que pasa por él. B A

Un vector no tiene una ubicación definida; puede trasladarse a cualquier lugar del plano sin modificar ni su módulo, ni su orientación (dirección y sentido). Por esta razón se dice que los vectores son libres. Dos o más vectores libres son equivalentes si tienen igual módulo y la misma dirección y sentido. Los vectores se expresan con una letra minúscula o con dos letras mayúsculas, su origen y su extremo respectivos. Por ejemplo, v=PQ indica el vector que tiene origen en el punto P y extremo en el punto Q. Siempre que sea posible, pondremos una flecha encima para indicar que se trata de un vector, el sentido que le coloquemos a la misma no interesa, ya que el mismo viene fijado por el orden de las letras y no por la “flechita” que tiene arriba. A continuación tendrás definiciones sobre lo que has trabajado y actividades para afianzar lo aprendido.

SUMA DE DOS VECTORES La suma de dos vectores libres u y v es otro vector u+v obtenido de esta forma: a)Transladamos v a continuación de u, haciendo coincidir el origen de v

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con el extremo de u. b)El origen de la suma u+v es el origen de u. c)El extremo de la suma u+v es el extremo de v. Es decir, u+v es el vector que va desde el origen de u hasta el extremo de v cuando hemos puesto v a continuación de u

u

v v u

Si u=PQ y v=QR, entonces u+v=PR. Es decir, PQ+QR=PR.

u+v

Si sumamos un vector libre a con su opuesto - a obtenemos un vector reducido a un punto (su origen y extremo coinciden); se trata del vector nulo o vector cero que se expresa 0: a + (- a) = 0

Q PQ

QR R

PR=PQ+QR

P

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES

-a

La suma de vectores cumple algunas propiedades, trabajadas en capítulos anteriores:

a

• Propiedad Asociativa: ( a + b )+ c = a +( b + c ). • Propiedad Conmutativa: a + b = b + a. Estas propiedades facilitan la realización de la suma de dos o más vectores, en el caso de la conmutativa permite la utilización de la Regla del Paralelogramo, y en la asociativa la posibilidad de sumar de a dos cuando tenemos tres o más vectores, entre otras. 2) Verifica que las propiedades enunciadas se cumplen consultando el glosario.

REGLA DEL PARALELOGRAMO La propiedad conmutativa permite realizar la suma de dos vectores utilizando la llamada REGLA DEL PARALELOGRAMO: a)Dibujamos los dos vectores u y v con el mismo origen

v u

b)Completamos un paralelogramo trazando: • por el extremo del vector u un segmento de recta paralelo al vector v. • por el extremo del vector v un segmento de recta paralelo al vector u. c)La suma de los dos vectores es la diagonal orientada del paralelogramo obtenido, que tiene su origen en el origen común de los dos vectores u y v.

u+v u v

SUMAS Y RESTAS DE VECTORES La resta o diferencia entre dos vectores u y v se expresa u - v y se define como la suma del primero ellos con el opuesto del segundo: u-v=u+(-v) 99

u+v

v

u -v

u+v

u

-u -u-v

u+v

v

-u+v

Para dibujar la diferencia u - v podemos colocar - v a continuación de u y unir el origen de u con el extremo de - v También podemos utilizar la regla del paralelogramo para dibujar la diferencia u - v. Además, esta regla permite obtener fácilmente las sumas y restas posibles de los dos vectores u y v: u + v, u - v, - u + v y - u - v Observa que - u + v = - ( u - v ) Y que -u-v=-(u+v)

u-v

-v

3) Dados los vectores graficados: a

b

c

d

e

f

Resolver gráficamente las siguientes sumas y restas: a) a + d, - a + d, a - d y - a - d b) b + c, - b + c, b - c y - b - c c) e + f, - e + f, e - f y - e - f 4) Juan empuja un carrito de supermercado con una fuerza horizontal de 2,7kg; como su madre está apurada le pide el carro y aplica una fuerza 2 veces y media mayor que la de Juan. I) Grafica los vectores que representan ambas fuerzas. II) Grafica la situación en que Juan y su madre empujen juntos.

j = 2,7kg

j

m = 2,5x j = 2,5x(2,7kg) = 6,75kg m

R=j+m=j+2,5xj=2,7kg+6,75kg=9,45kg

A continuación te mostramos la resolución que realizó María para que la analices y cotejes con tus compañeros. I) j: fuerza que hace Juan j = 2,7kg m: fuerza que hace la madre m es dos veces y medio más grande que j m= 2,5 x j II) Llama R a la fuerza que resulta de aplicar la fuerza de Juan junto con la de su mamá: R = j + m En el punto I) es muy simple graficar el vector j, pero para graficar el vector m, María calcula primero su longitud, y cuando se aumenta o disminuye el módulo de un vector lo que se resuelve es un simple producto del número real o escalar, que modificará la fuerza, por el vector. En el punto II) María suma los vectores j y m, pero esta operación encierra más operaciones, se multiplica primero para hallar m y luego se

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suma con j, a esta expresión R = j + 2,5 x j se la llama combinación lineal entre dos vectores, se extiende a más vectores y no es necesario que estén relacionados entre sí, como el caso de Juan y su mamá.

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Si m=0 el vector mu es el vector nulo, un vector que tiene módulo 0 y que se indica por 0. Es decir, 0u=0. Resumiendo, multiplicar un vector por un número real m equivale a alargar (o encoger) su módulo tantas veces como indica el valor absoluto de m, e invertir su sentido si m es negativo. El número m por el que se multiplica un vector recibe el nombre de escalar. En las figuras de la derecha tienes tres ejemplos de un producto de un escalar por un vector.

Se define el producto de un número real m por un vector u como el vector mu que tiene: 1)Dirección: la misma que u 2)Sentido: el mismo que u si m es positivo opuesto al de u si m es negativo 3)Módulo: el módulo de u multiplicado por el valor absoluto de m ; |u|.|m| Ejemplos

3a

5) Dados los vectores: a

a

b

c

d

e

1b 2

f b

Grafica los siguientes vectores 2 a, 0,5 b, 1,5 c, - 3 d, - 1,75 e y - 0,4 f.

-1,25c

c

COMBINACIONES LINEALES DE DOS VECTORES Si dados dos vectores, a y b, construimos otros vectores combinando productos por escalares con sumas y restas, por ejemplo: 3a+2b -2a+b - 4 a - 1,5 b 2a-3b diremos que hemos formado combinaciones lineales de los dos vectores a y b. En la figura de la derecha tienes estas cuatro combinaciones lineales obtenidas por aplicación de la regla del paralelogramo. Es decir, una combinación lineal de dos vectores a y b es cualquier otro vector v obtenido así: v= ma + nb siendo m y n escalares.

3a+2b

-2a+b

b

a

-4a-1,5b 2a-3b

6) Dados los vectores a y b de la actividad 5: Grafica aplicando la regla del paralelogramo los vectores c, d, e y f, siendo: c = a + 2b , d = -3a + b , e = -2a - 0,5b y f = 2a - 3b

7) Dados los vectores:

101

b

a

c

Halla gráficamente los siguientes vectores: u = 1,5a + 2b + 1,75c v = 3a - 1,5b + 3,25c Además de las propiedades que nombramos, se utiliza también entre los vectores una muy conocida, la propiedad distributiva del producto de un escalar por una suma o una resta de vectores, puedes consultar ésta propiedad en el glosario, antes de resolver la actividad 8. 8) Dados los vectores v u Construir tres gráficas que verifiquen las siguientes igualdades: a) 3( u+v ) = 3u + 3v b) - 2( u+v ) = - 2u - 2v c) 1,5( u+v ) = 1,5u + 1,5v SIN EMBARGO... El singular incidente de la tribu vectorial Algunos han dicho que una vez existió una tribu de indios que creían firmemente que las flechas eran vectores. Si querían matar un ciervo que se encontraba directamente al noreste, no disparaban una flecha en dirección al noreste, sino que disparaban dos flechas simultáneamente, una directamente hacia el este y la otra directamente hacia el norte, confiados en que la poderosa resultante de las flechas mataría al ciervo. Los científicos escépticos han dudado de la veracidad de este rumor, basándose en que no se han encontrado ni las más ligeras trazas de la existencia de la tribu. Ahora bien, la absoluta desaparición de la tribu, como consecuencia de la inanición, es precisamente lo que cualquiera hubiera esperado, dadas las circunstancias; y, puesto que la teoría que afirma que la tribu existió confirma dos cosas tan diversas como el comportamiento no vectorial de las flechas y el principio darwinista de la selección natural, no es, seguramente, una teoría que se deba rechazar a la ligera.2 Banes Hofmann About Vectors, Prentice-Hall,1966

UN POCO DE HISTORIA... Y ALGO MÁS... “El primer hombre que extendió un brazo para señalar que en determinada dirección y sentido, a mediodía de marcha, había observado una manada de animales que podría proporcionar una buena caza, fue quien utilizó por primera vez el concepto de vector. La idea de vector nace, naturalmente, cuando es preciso comunicar la dirección, el sentido y la intensidad, del viento, de una fuerza, de una velocidad. Primero fue el concepto, luego el símbolo. En 1788 Lagrange “aritmetiza” la física, descomponiendo una fuerza según tres ejes; en 1797 Gauss suma geométricamente vectores, pero el álgebra vectorial recién toma fuerza con Grassmann, Möbius y Hamilton... Grassmann, en 1888, define axiomáticamente espacios vectoriales y Kroenecker, en 1903, introduce el producto tensorial. Ricci y Levi-Civita, también a principios de nuestro siglo, utilizan el cálculo tensorial (descendiente de aquel simple ademán de primitivo cazador), que resultara ser la herramienta idónea para el desarrollo de la física relativista...El mensaje de los vectores resulta hoy indispensable en matemática y en física, en planificaciones económicas y en la teoría sobre la que se basa la obtención de un electrocardiograma. La generalización del concepto primitivo ha hecho nacer nuevas ramas científicas y nuevas técnicas. Aquel cazador sigue indicando el camino”1

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Te proponemos que resuelvas una situación problemática que se presenta a menudo en nuestra región: 9) Adrián quiere cruzar el río nadando. Nada en dirección perpendicular a la orilla con una velocidad de 5km/h, pero la corriente lo desplaza hacia la derecha con una velocidad de 4km/h. a)Representa en el dibujo la velocidad con que nada Adrián y la velocidad de la corriente. b)Halla gráficamente la velocidad que finalmente tiene Adrián indicando su dirección, sentido y módulo.

VECTORES Y FUERZAS. EJEMPLO: UN BARCO EN UN CANAL Otra aplicación de los vectores es representar magnitudes físicas que tienen módulo, dirección y sentido, y que se suman aplicando la regla del paralelogramo, como velocidades, aceleraciones y fuerzas. Ahora nos centraremos en las fuerzas y suponemos que estás algo familiarizado con ellas y con sus unidades. A la fuerza suma de dos o más fuerzas se le llama resultante. A continuación enunciamos un par de casos en que la obtención del módulo de la resultante de una suma es muy fácil: a)Cuando las fuerzas tienen la misma dirección. Entonces: • si las fuerzas tienen el mismo sentido, el módulo de la suma es la suma de los módulos; • si las fuerzas tienen sentido opuesto, el módulo de la suma es la diferencia de los módulos. b)Cuando las fuerzas son perpendiculares puede aplicarse el teorema de Pitágoras. Si, como es habitual, indicamos el módulo de un vector a con la notación |a|, y sabiendo que u y v son perpendiculares, podemos escribir: |u + v|2 = |u|2 + |v|2 10) Pensemos en un bote que se desplaza en un río. En el velocímetro del bote se registra una velocidad de 30km/h, se trata de una velocidad perpendicular a la orilla del río. Por otra parte, la corriente del río actúa paralelamente a la orilla y con una velocidad de 40km/h. En la orilla un hombre observa que el bote se desplaza en la dirección de la velocidad resultante. a)Grafica ambas velocidades y la resultante. b)Calcula el módulo de la resultante. Para definir la posición de un punto en el plano basta con fijar la ordenada y la abscisa correspondientes, pero también se puede ubicar ese mismo punto teniendo otros datos, como los que utiliza Matías en la próxima situación.

v u

u+v u

v

u+v

u+v v

u

1. María Josefa Guasco, Cecilia Crespo Crespo y otros; “Geometría su enseñanza”, PROCIENCIA, Conicet,1996, pág 99. 2. Banes Hofmann, About Vectors, Prentice-Hall, 1966, en “Geometría su enseñanza”, PROCIENCIA, Conicet,1996, pág 100.

103

11) El domingo Matías sale con su barco desde la amarra y cuando se comunica con Juan Manuel, que había salido más temprano, le comenta que se encuentra a 1000m de la amarra. a) Representa con vectores las posibles posiciones del barco de Matías. b) A ese dato Matías agrega que había navegado en línea recta con un ángulo de 60º con respecto a la línea de la costa. Representa la posición de Matías. En el problema anterior Matías utiliza una manera distinta para comunicar su posición, no utiliza lo que llamamos coordenadas cartesianas, sino que emplea la distancia a la que se encuentra de la amarra y el valor de un ángulo, utiliza las coordenadas polares. Un vector queda definido por cualquiera de ellas, por ejemplo: b(4;2) o b(√20;26º33´54´´)

b=(4,2)

donde √20 es el módulo de b y 26º33´54´´ es el ángulo comprendido entre la recta horizontal que pasa por el origen del vector y el vector propiamente dicho.

B(4,6)

COMPONENTES DE UN VECTOR Definamos en el plano un sistema de coordenadas es decir un punto origen y dos ejes perpendiculares. A todo punto P haremos corresponder un par de números que son sus coordenadas (x ; y); se escribe P(x ; y). Por ejemplo: sean A(1;2) y B(4;6). El vector AB queda identificado por el par: (3;4)

AB=(3,4)

A(1,2)

v=(3,4) u=(3,4)

Dos vectores son equivalentes o equipolentes si tienen igual módulo, dirección y sentido. Entonces representan un mismo vector, llamado vector libre.

En la gráfica anterior podemos observar que el vector u tiene componentes (3;4), las mismas que el vector AB, ya que ambas flechas representan un desplazamiento de 3 unidades en horizontal y 4 unidades en vertical. Todas las flechas equipolentes tienen las mismas componentes; éstas pueden obtenerse restando a las coordenadas del extremo las coordenadas del origen: B(4,6) Así, la flecha de origen el punto A(1;2) y extremo del punto B(4;6) tiene de componentes (3;4) siendo: AB=(3,4) 3=4-1 y 4=6-2, por tanto AB=(4-1; 6-2)=(3;4) Si A=(a1; a2) y B=(b1; b2), las A(1,2) componentes de AB son AB=(b1-a1; b2-a2). Comprueba que siempre se verifica: AB = B – A

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12) Dados los seis vectores

B(2,3)

H(-9,3) GH

K(-9,1)

E CD(4,-4)

EF(0,-4)

G(-3,1)

KM=(-1,-2) M

AB

C(4,3)

I

IJ(3,0)

J(-3,-1)

Calcula: a) Las componentes del vector AB c) Las coordenadas del punto E e) Las coordenadas del punto I

A(0,-1)

D

F(10,-1)

b) Las coordenadas del punto D d) Las componentes del vector GH f) Las coordenadas del punto M

SUMA DE VECTORES TRABAJANDO CON COMPONENTES La suma de vectores es una operación muy fácil de hacer cuando se trabaja con componentes; basta sumar las dos componentes, la 1ª con la 1ª y la 2ª con la 2ª. Así, en la figura tienes las sumas siguientes: u+v = (1,3)+(4,2) = (1+4,3+3) = (5,5) a+b = (-1,-3)+(5,2) = (-1+5,-3+2) = (4,-1) En general, si u=(u1 , u2) y v=(v1 , v2), entonces u+v = (u1 , u2)+(v1 , v2) = (u1+ v1 , u2+ v2)

v=(4,2)

u=(1,3)

u+v=(5,5)

a+b=(4,-1) a=(-1,-3)

Resuelve las siguientes actividades: Actividades 13) I)Realiza las siguientes sumas de vectores representándolos en una hoja cuadriculada: a) (-2 , 4) + (5 , 2) b) (1 , -3) + (-7 , 4) c) (-4 , 0) + (7 , -6) d) (-3 , 3) + (-3 , 3) e) (4 , 5) + (-4 , 1) f ) (3 , -5) + (-3 , 5) II)Realiza las sumas del ítem anterior utilizando la regla del paralelogramo.

b=(5,2)

14)Dados los vectores: a=(-2; 4), b=(5; 2), c=(1; -3), d=(-7; 4), e=(-4; 0) y f=(5; -6) realiza las siguientes sumas de vectores representándolos en una hoja cuadriculada: 1) ( a + b ) + c 2) a + ( b + c ) 3) ( d + e ) + f 4) d + ( e + f ) 15)Dados los vectores a=(-2; 4), b=(5; 2) y c=(1; -3), realiza las siguientes sumas de vectores representándolos en una hoja cuadriculada: 1) a + b + c 2) c + a + b 3) b + c + a 4) b + a + c

SUMAS Y RESTAS DE VECTORES Recordemos que la diferencia u-v entre dos vectores u y v se define como la suma del primero de ellos con el opuesto del segundo: 105

-u+v

u+v

v u u-v

-u -v

-u-v

u - v = u + (- v ) Como es fácil ver que las componentes de -v se obtienen cambiando de signo las componentes de v,es decir, si v=(v1 ,v2) entonces -v=(-v1 ,-v2) se llega a la conclusión de que para restar dos vectores basta restar sus componentes: u - v = u + (- v ) = (u1 , u2) + (-v1 , -v2) = (u1- v1 , u2- v2) Resumiendo, las sumas/restas de dos vectores u=(u1 , u2) y v=(v1 , v2), cuando se trabaja con componentes, se obtienen así: u+v=(u1+v1, u2+v2); -u+v=(-u1+v1,-u2+v2); -u-v=(-u1-v1,-u2-v2); u-v=(u1-v1,u2-v2) 16) Te dan los vectores b=(-1,2) a=(3,-1)

Aplicando la regla del paralelogramo dibuja en una hoja cuadriculada los vectores c=a+b d=-a+b e=-a-b f=a-b Calcula también las componentes de los vectores c, d, e y f.

PRODUCTOS POR ESCALARES Y COMBINACIONES LINEALES

a=(-3,1)

2a=(-6,2)

b=(4,2) 1b=(2,1) 2

w=(-4,3) 2a=(-6,2) a=(-3,1)

b=(4,2)

1b=(2,1) 2

El producto mu de un escalar m por un vector u=(u1,u2) también es muy fácil de hacer cuando se trabaja con componentes: se multiplica cada componente de u por m mu=m(u1,u2)=(mu1,mu2) Así, en la figura, tienes representados los dos productos: 2a = 2 (-3 , 1) = (2(-3) , 2·1) = (-6 , 2) -�b= -�(4 , 2) = (-�4 , -�2) = (-2 , -1) Y la combinación lineal de los vectores u=(u1,u2) y v=(v1,v2) construida con los escalares m y n respectivamente es el vector w = mu + nv = m(u1,u2)+n(v1,v2) = (mu1,mu2)+(nv1,nv2) = (mu1+nv1,mu2+nv2) En la parte inferior de la figura tienes la combinación lineal: w = 2a + �b= (-6 , 2) + (2 , 1) = (-4 , 3) 17) Te dan los vectores b=(-1,2) a=(3,-1)

Aplicando la regla del paralelogramo dibuja en una hoja cuadriculada los vectores: c = 3a + 2b d = - 2a + b e = - 4a - 1,5b f = 2a - 3b. Calcula también las componentes de los vectores c, d, e y f.

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MÁS SOBRE COMBINACIONES LINEALES En esta actividad resolveremos el problema inverso al de la actividad anterior: expresar un vector w como combinación lineal de otros dos vectores a y b. Es decir, encontrar dos escalares x e y tales que w= xa + yb. Si conocemos las componentes de los tres vectores, es decir, w=(w1;w2), a=(a1;a2) y b=(b1;b2) para expresar w como combinación lineal de a y b deberemos resolver la ecuación vectorial (w1;w2) = x(a1;a2) + y(b1;b2) Esta ecuación vectorial equivale al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x a1 + y b1 = w1 x a2 + y b2 = w2

xa w a b yb

18) Expresa como combinación lineal de AP, los siguientes vectores: AB=(2,-1) y AC=(2,2) Resuelve el problema numérica y gráficamente a) AP= (3,5) b) AP= (-6,1) c) AP= (-4,-7)

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1)Dados los vectores a y b de la figura, dibuja los siguientes vectores: u=2a + 3b x= -3a + 2b y= -2a - b b z= a - 5b a

2)Si el vector v tiene módulo 10 (|v|=10), calcula el módulo de los siguientes vectores: a)|3v|= b)|-4v|= c)|3v|= d)|1v|= 4

2

3)Si u=(4,-2), v=(-1,5) y w=(0,3), calcula: u+v-1+w= u + 2b + 3w = 2 3 3u - 2v + w =

u+v+w= 3

4)Dado el triángulo de vértices A(4,2), B(10,5) y C (2,6): a)Ubica los puntos en un sistema de ejes cartesianos ortogonales y dibuja el triángulo. b) Calcula el perímetro del triángulo ABC. c) ¿Es rectángulo el triángulo ABC? Justifica la respuesta.

107

5)Escribe el vector a=(-2,7) como combinación lineal de los dos vectores u=(2,-1) y v=(2,2). 6)¿Dónde están situados los extremos de todos los vectores que tienen módulo 4 si su origen es el origen de coordenadas? Dibuja unos cuántos vectores de módulo 4 (con su origen en el origen de coordenadas) en este gráfico.

G l o s ar i o

FUNCIÓN Una función es una relación entre dos variables que cumple la condición: a cada valor de la variable independiente x le corresponde un único valor de la variable dependiente y, y se expresa simbólicamente así: f : A B/ y=f (x) donde A es el conjunto de valores que puede tomar x y se llama dominio; B es el conjunto de valores que puede tomar y, y se llama codominio o rango; e y=f (x) es la regla o criterio que permite asignar a los valores de x, los de y que le corresponden. Se dice que y es función de x y el valor que toma la función cuando x=a, se anota f (a). También se dice que y es la imagen de a por f. Las condiciones exigidas reciben el nombre de condiciones de existencia y unicidad. Simbólicamente se expresan de la siguiente manera: Condición de existencia: ∀x∈A, ∃y∈B/(x, y)∈f Condición de unicidad: ∀x, ∀y, ∀z: ((x, y)∈f ∧ (x, z)∈f y=z) Las funciones cuyo dominio y codominio son conjuntos de números reales se llaman funciones escalares o funciones reales de una variable real. Las funciones escalares son conjuntos incluidos en R2 por lo que su gráfica es el conjunto de puntos (x, y) del plano para los cuales y = f (x). Los puntos de intersección con el eje de las abscisas (eje x), si existen, son los puntos en los que se anula la función y se llaman ceros de la función. x0 es cero de la función f si y solo si f (x0)=0 La intersección con el eje de ordenadas (eje y), si existe, es el punto de coordenadas (0, f (0)) y se obtiene asignándole a x el valor cero. Clasificación de funciones En una función un elemento del codominio puede ser imagen de varios elementos del dominio pero cada elemento del dominio debe tener imagen única en el codominio.

Si una función es tal que ningún elemento del codominio es imagen de más de un elemento del dominio se dice que la función es inyectiva. f:A B es inyectiva ∀x∈A,∀a∈A: (x≠a f (x)≠f (a)) En otras palabras, elementos distintos del dominio, tienen imágenes distintas en el codominio. Si cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio, se trata de una función sobreyectiva. f : A B es sobreyectiva ∀y∈B,∃x∈A/ y=f (x) Las funciones inyectivas y sobreyectivas se llaman funciones biyectivas.

f: R R/ f(x)= x3 + 3x –2 Función inyectiva y sobreyectiva

f: R [-2,∞)/f(x)=(x+1)2-2 Función sobreyectiva y no inyectiva

f: R R +/f(x)= 2x Función biyectiva

Función inversa Se llama función inversa de f(x), cuando ésta existe, a otra función que designamos como f-1 (x) y que cumple la siguiente condición: si f (a)=b f-1 (b)=a. Cuando es posible, para obtener la expresión de la inversa de una función se procede de la siguiente manera: 1º En la expresión inicial se intercambia la x por y : x = f(y) si y = f(x) 2º Se despeja la y en la expresión obtenida y = f-1(x). si x= f(y) Sólo existen las inversas de las funciones biyectivas. Funciones polinómicas Las funciones polinómicas son funciones del tipo: f : R R / f (x)=anxn+an-1xn-1+....+a2x2+a1x+a0 ∀ai ∈R (Ver polinomios). Para construir el gráfico de una función polinómica resulta de gran utilidad conocer las raíces reales del polinomio: P (x)=anxn+an-1xn-1+....+a2x2+a1x+a0 correspondiente a la función f. Se trata de resolver la ecuación anxn+an-1xn-1+....+a2x2+a1x+a0=0. Las raíces reales de la ecuación son los ceros de la función ya que indican los puntos donde la gráfica de la función intercepta al eje de las abscisas.Función lineal La función lineal tiene por regla de correspondencia un polinomio de primer grado o de grado cero. f : R R / f (x) = ax+b, a∈R, b∈R es la expresión de una función lineal. Su gráfico es una recta de pendiente a y ordenada al origen b, corta al eje de las ordenadas en el punto (0; b) y al eje de las abscisas en el punto de coordenadas (-b/a, f(-b/a)). El valor x=-b a se obtiene al resolver la ecuación ax+b=0, a≠0. El valor de a indica cuánto varía f(x) por cada unidad de variación de x. La pendiente a es la tangente trigonométrica del ángulo positivo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas.

Si a es positiva la función es creciente y si a es negativa la función es decreciente.

F: R R/f(x) = 2x-3 Pendiente 2. Ordenada al origen -3

f: R R/f(x) = -3x+2 Pendiente –3. Ordenada al origen 2 La función constante y la función identidad son funciones lineales particulares. Función constante La función constante es un caso particular de la función lineal donde a = 0. Esta función asigna a todo número real x del dominio, otro número real b. f : R R/ f (x)=b, b∈R Su gráfico es una recta paralela al eje de las abscisas que pasa por el punto de coordenadas (0; b). La recta que es gráfica de la función constante tiene pendiente cero y ordenada al origen b.

Función identidad La función identidad es la función lineal en la cual a=1 y b=0. Esta función asigna a cada número real, el mismo número real. f : R R / f (x)=x es la expresión de la función identidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen, tiene pendiente a=1. La recta forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las abscisas. Esta recta contiene a la bisectriz del primer cuadrante. Ecuación lineal Su forma canónica es a x + b = 0, con a, b∈R y a≠0 y siempre tiene solución real: x = -b/a Función cuadrática La función cuadrática es una función que tiene por regla de correspondencia un polinomio de segundo grado. La expresión de la función cuadrática es: f : R R / f (x) = ax2 - bx + c, a ≠ 0 El gráfico de la función cuadrática es una parábola cuyo vértice tiene coordenadas V=( -b ; f(-b )) y eje de simetría x=-b 2a

2a

2a

El vértice es punto de máximo de la función. (a 0 respectivamente. Ecuación cuadrática: su forma canónica es ax2 -bx +c =0 con a, b, c números reales y a ≠ 0. El número de soluciones depende del discriminante ∆ = b2 - 4ac Si ∆ > 0 se tienen dos soluciones reales (distintas) Si ∆ = 0 se tiene una solución real (raíz doble) Si ∆ < 0 las dos raíces son complejas (dos raíces imaginarias conjugadas). En cualquiera de los casos las soluciones están dadas por: 2 2 x1=-b +√b - 4ac , x2=-b -√b - 4ac 2a 2a que se suelen presentar agrupadas así: ± 2 x=-b √b - 4ac 2a -b Además x1+x2= a y x1.x2= ac y por lo tanto: ax2 +bx +c =a(x-x1).(x-x2)

∆ = b2 - 4ac >0 x1 , x2 son reales y distintas

∆ = b2 - 4ac = 0 x1 , x2 son reales e iguales

Función constante f : R R / f (x)=b, b∈R El vértice es punto de mínimo. (a>0)

Función identidad f : R R / f (x)=x

Cuando la expresión de la función cuadrática tiene la forma f (x)=a(x-h)2+m, la parábola asociada al gráfico de la función f tiene vértice V=( h; m) y eje de simetría x=h. A la forma se llega a partir de la expresión

∆ = b2 - 4ac 0, b ≠1, x∈R +, a la función f : R+ R / f (x) = logb x se llama función logarítmica. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. f : R+

R /f(x) = log2 x

(b>1)

En general, y = logb x es la función inversa de la exponencial y = bx • La función es creciente • lim logb x= -∞; x→ 0 • lim logb x= ∞ x→∞ f : R+

R /f(x) = log1/2 x

(01 o 0R+/ f(x) = 2x (a > 1)

Ecuaciones Exponenciales A una ecuación en la que la incógnita aparece en un exponente se la llama ecuación exponencial. Las ecuaciones exponenciales pueden resolverse por i) igualación de bases o ii) empleando logaritmos. Si es posible igualar las bases, queda planteada una igualdad de expresiones exponenciales y la solución de obtiene igualando los exponentes. En caso de no poder escribir una igualdad de expresiones exponencial de igual base, se aplica a ambos miembros de la igualdad logaritmos en la base más con-

veniente. Para la resolución de este tipo de ecuaciones se deben tener presente las propiedades de la potenciación y de los logaritmos. Ecuaciones logarítmicas Para resolver estas ecuaciones es conveniente, empleando las propiedades de los logaritmos, transformarlas en un único logaritmo y aplicando la definición de logaritmos, resolver la ecuación que queda planteada. En este tipo de ecuaciones es muy importante verificar la solución hallada para descartar las raíces extrañas. Propiedades de las potencias • a0 = 1 ; a1 = a a ≠ 0 • ap · aq = ap + q • ap · bp = (a · b)p • (ap)q = ap · q • 1/a = a-1 ; 1/ap = a-p ; ap/aq = ap-q p n n • √a = a n1 ; √aq = a n Logaritmos Sea a>0 y a≠1, e y>0, llamaremos logaritmo en base a de y al único número x que verifica ax=y. Es decir, loga y=x ax=y . 1.- El logaritmo de la base es siempre 1 loga a = 1 pues a 1 = a 2.- El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base loga 1 = 0 pues a0 = 1 , siendo a distinto de cero.Propiedades de los Logaritmos a ∈ R+ a ≠1, x ∈ R+, y ∈ R+ 1.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: loga (x . y) = loga x + loga y 2.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base loga (xy) = y . loga x A partir de estas dos propiedades se pueden deducir las siguientes: 3.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. loga ( xy )=loga x-loga y Tener en cuenta que loga( xy )=loga (x 1y ) 4.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. loga √x = 1 loga x = loga x y

y

y

y

Tener en cuenta que loga√x = loga (x1/y) Las calculadoras científicas permiten obtener logaritmos decimales y neperianos

únicamente. Los logaritmos decimales son los logaritmos de base 10, y se acostumbra denotar log10 x=log x omitiendo la base. El logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número e≅2,7182 y se denota loge x = ln x . Cambio de base Si queremos calcular logaritmos en otra base, es conveniente realizar un cambio de base. logb x= log x logb x= ln x log b ln b Polinomios Llamamos polinomio a una indeterminada, con coeficientes en ℜ, a toda expresión de la forma: P (x)=anxn+an-1xn-1+....+a2x2+a1x+a0 donde los ai , con i=0,1,...., n son en general, números reales. A x llamamos indeterminada. Si an ≠ 0, an se llama coeficiente principal y n es el grado del polinomio. A a0 denominamos término independiente, a1x, término lineal, a2x2 término cuadrático y así sucesivamente. Al máximo i/ai ≠ 0, llamamos grado del polinomio. Los exponentes de la indeterminada son números naturales o cero. Se llama grado de un término al exponente con el que figura la indeterminada en ese término. El término de grado cero es el término independiente.A todo polinomio se le puede asociar una ecuación polinómica P (x)=0 y una función polinómica f : ℜ ℜ/ f (x)=P (x). Especialización de la indeterminada x: Llamamos especialización de la indeterminada x por α, al valor numérico que asume el polinomio cuando x=α y denominamos P (α). Raíz de un polinomio: se dice que α es raíz del polinomio, si y sólo si, P (α)=0. Suma y resta de polinomios: Para sumar o restar dos polinomios basta con sumar o restar los coeficientes de los términos de igual grado. La suma de polinomios es, en definitiva, suma de números reales. Verifica, por tanto, las propiedades: • Asociativa: [P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)] • Conmutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) • Existe elemento neutro: polinomio nulo

( todos los coeficientes son ceros) • Cada polinomio tiene un opuesto El conjunto de los polinomios de grado n en la indeterminada x, con la operación suma, (P(x), +) tiene estructura de grupo conmutativo o abeliano. Producto de polinomios: Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro. El grado del polinomio producto de dos polinomios no nulos, es la suma de los grados de los polinomios factores. Gr [P.Q] = gr[P] + gr[Q] División de polinomios: Dados dos polinomios A y B, con B, existen y son únicos dos polinomios Q y R que verifican: i) A = B. Q +R ii) R =0 o gr R < gr B Si A=0 ó grA Q=0 y R=A Si A ≠ 0 y gr A > gr B->gr Q= grA - grB Teorema de Ruffini El cociente y el resto de la división de un polinomio P (x)=anxn+an-1xn-1+.....+a1x+a0 , de grado n positivo, por otro de la forma x-a, pueden ser hallados fácilmente mediante el siguiente esquema: an

+ a

an-1

an-2 ...... a1

a0

a.qn-1 a.qn-2 .... a.q1 a.q0 qn-1

qn-2

qn-3 ...... q0

r

donde qn-1 = an qn-2 = an-1 +a.qn-1 qn-3 = an-2 +a.qn-2 ...………………….. q0 = a1 +a.q1 el resto es r=a0 +a.q0 el cociente es: qn-1xn-1+qn-2xn-2+....+q1x+q0 Este esquema es el que se conoce como el esquema de Ruffini y permite hallar fácilmente los coeficientes numéricos del polinomio cociente y el resto de la división de un polinomio P (x) = anxn+an-1xn-1+....+ a1x+a0 , de grado n positivo, por otro de la forma x-a, que es un polinomio de primer grado y mónico. Teorema del Resto: el resto de la división de P (x) por (x-a) es P (α). Descomposición Factorial: Todo polinomio de grado positivo puede escribirse

como un producto así: P (x)=an.(x-a1).(xa2).....(x-an), donde a1,a2,.....an son las n raíces, no necesariamente distintas de P. Todo polinomio P(x) es divisible por x - a si y solo si P(a) = 0, o sea a es raíz de P(x). Cuadrado de un binomio: Cuadrado del primero, más el duplo del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 Al segundo miembro se lo conoce como trinomio cuadrado perfecto y observa que no es lo mismo que a2+b2. Cubo de un binomio: Cubo del primero, más el triplo del cuadrado del primero por el segundo, más el triplo del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Al segundo miembro se lo conoce como cuatrinomio cubo perfecto y observa que no es lo mismo que a3+b3. Suma y diferencia de potencias de igual exponente: Indicamos con i cualquier natural impar y con p, cualquier natural par. • (ai - bi ) es divisible por la diferencia de las bases y: (ai - bi ) = (a - b)(ai-1 + ai-2 b + ai-3 b2 + ..... + a bi-2 + bi-1) • (ap - bp) es divisible por la suma y la diferencia de las bases y (ap - bp) = (a - b)(ap-1 + ap-2 b + ap-3 b2 + ..... + a bp-2 + bp-1) (ap - bp) = (a + b)(ap-1 - ap-2 b + ap-3 b2 - ..... - a bp-2 + bp-1) • (ai + bi ) es divisible por la suma de las bases y: (ai + bi ) = (a + b)(ai-1 - ai-2 b + ai-3 b2 - ..... - a bi-2 + bi-1) • (ap + bp) no es divisible por la suma ni por la diferencia de las bases. En particular, es muy usada la relación llamada diferencia de dos cuadrados que se simboliza así: a2-b2 = (a+b)(a-b). Sistemas de ecuaciones lineales: Dado el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 se sabe que puede ser resuelto por distintos métodos (sustitución, igualación, reducción, determinantes) y que pueden tener una sola solución, infinitas o ninguna; pero si el determinante principal

a1 b1 c1 ∆= a2 b2 c2 = a1.b2.c3+a2.b3.c1+a3.b1.c2– a3 b3 c3 a3.b2.c1-a1.b3.c2-a2.b1.c3 es distinto de cero, entonces tienen única solución y el valor de las incógnitas están dadas por: d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 d2 b2 c2 a2 d2 c2 a2 b2 d2 x= d3 b3 c3 ; y= a3 d3 c3 ; z= a3 b3 d3 ∆ ∆ ∆ Si ∆ = 0 y los determinantes de los numeradores también lo son, el sistema tiene infinitas soluciones (indeterminado). En tal caso, es conveniente reducir incógnitas, despejar una en función de otras y dar valores arbitrarios a estas últimas. Si ∆ = 0 y los determinantes de los numeradores no son nulos, el sistema no admite solución (incompatible). Si el sistema tiene dos ecuaciones con dos incógnitas, se procede en forma similar y cada determinante se halla de la siguiente forma: a1 b1 = a1.b2 - b1.a2 a2 b2 Sistemas de ecuaciones con alguna no lineal: Por ejemplo una ecuación cuadrática y una lineal, ambas con dos incógnitas. Lo más conveniente en estos casos es intentar despejar una incógnita en una de las ecuaciones y reemplazar en la otra (en el caso de que haya dos), controlando la aparición de soluciones extrañas. También resulta útil graficar las variaciones que sufre una de las incógnitas en función de la otra en ambas ecuaciones, buscando luego las coordenadas de los puntos de intersección. ECUACIONES TRASCENDENTES: Una ecuación f(x)=g(x) es trascendente, si por lo menos una de las funciones no es algebraica. Son ejemplos de estas ecuaciones, las exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas. En general, las ecuaciones trascendentes sólo pueden resolverse en forma aproximada. En algunos casos la resolución de estas ecuaciones se reduce a la resolución de ecuaciones algebraicas con la ulterior aplicación de valores tabulados. INECUACIONES: Resolver una inecuación (o un sistema de inecuaciones) significa determinar entre qué límites deben estar comprendidos los valores de las incógnitas para que la desigualdad (o

todas las desigualdades contenidas en el sistema) sea válida. En forma análoga a lo que hacemos con las ecuaciones, la resolución de inecuaciones, se reduce al reemplazo sucesivo de una inecuación por otra equivalente a ella con el sólo cuidado que al multiplicar una inecuación por un número negativo, la desigualdad cambia su sentido. • La inecuación de primer grado ax>b, tiene la solución x>b/a para a>0 y x0 ó x