Proposici´ on. Sea A un rect´angulo en Rn , y sea f : A −→ R una funci´on continua. Entonces f es integrable en A.

Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

Demostraci´on: Como f es continua en A, y A es compacto, f es acotada en A, y uniformemente continua. Dado entonces  > 0, existe δ > 0 tal que para todos x, y ∈ A con kx − yk∞ < δ se tiene |f (x) − f (y)| < /v(A). Consideremos una partici´on P de A de modo que cada rect´angulo tenga lado menor que δ. Si R ∈

JJ

II

J

I

MR (f ) − mR (f ) = f (x0 ) − f (y0 ) ≤ |f (x0 ) − f (y0 )| ≤ /v(A) En consecuencia S(f, P ) − S(f, P ) =

X R∈P

(MR (f ) − mR (f ))v(R) ≤

 X v(R) =  v(A) R∈< P

As´ı pues, f cumple el criterio de Riemann, y por tanto es integrable.

Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

JJ

II

J

I

 El resultado muestra que la integral de Riemann es una generalizaci´on de la integral de Cauchy de funciones continuas. Queda abierto el problema de si ambas integrales coinciden. M´as concretamente, se trata de estudiar si hay alguna otra funci´on integrable que no sea continua (o continua a trozos, con un n´umero finito de discontinuidades). Este problema qued´o resuelto por Lebesgue hacia 1920, gracias a una nueva interpretaci´on de los conjuntos de Rn , basada en la descripci´on anal´ıtica de los conceptos de ´area y volumen de un cuerpo geom´etrico. Lebesgue introdujo una teor´ıa nueva, llamada Teor´ıa de la Medida, que establece una ´ıntima relaci´on entre los conjuntos y las funciones integrables en ellos. En este cap´ıtulo vamos a ver s´olo una peque˜na aplicaci´on de la teor´ıa, que nos permite resolver el problema de la integrabilidad Riemann. Se trata de medir el “tama˜no” del conjunto de puntos de discontinuidad de una funci´on, de una manera que no tiene que ver con conceptos m´etricos (acotado o no acotado,...), topol´ogicos (compacto,...), algebraicos (finito, numerable,...) Definici´ on (Conjuntos de Medida Cero). Sea A un conjunto en Rn . Se dice que A tiene medida cero si verifica: Para todo  0 existe una familia numerable de rect´angulos cerrados en Rn {Ri }i∈N tales ∞ ∞ [ X que A ⊆ Ri y v(Ri ) <  i=1

i=1

Observaci´ on: En la definici´on pueden sustituirse los rect´angulos cerrados por rect´angulos abiertos o semiabiertos. Otra observaci´on evidente, es que si A y B son dos subconjuntos, con A ⊆ B, y B tiene medida cero, A tambi´en tiene medida cero. Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

Ejemplos: 1) Todo conjunto numerable tiene medida cero. En efecto, sea A = {xm }m∈N , y sea  > 0. Podemos escoger para cada m ∈ N un rect´angulo centrado en xm , Rm , cuyo volumen sea /2m (por ejemplo considerando enpRn la norma infinito, basta definir cada Rm como la bola centrada en xm , de radio r = 1/2 n /2m ) Entonces ∞ ∞ ∞ [ X X A⊆ Rm y v(Rm ) = /2m =  m=1

m=1

m=1

De hecho, tambi´en podemos P∞ sumergir A en una uni´on numerable de rect´angulos de volumen cero, de modo que la serie m=1 v(Rm ) = 0, tomando para cada punto xm ∈ A Rm = {xm }, puesto que el conjunto formado por el punto xm es un rect´angulo cerrado, JJ

II

J

I

{xm } = [xm1 , xm1 ] × · · · × [xmn , xmn ] y su volumen es cero. En particular, el conjunto Q de los n´umeros racionales es numerable, y por tanto tiene medida cero. An´alogamente Qn ⊂ Rn tiene medida cero. 2) Pero para tener medida cero no hace falta ser numerable, ni siquiera acotado:

En Rn , un segmento paralelo a uno de los ejes, tiene medida cero. Incluso una recta paralela a uno de los ejes coordenados, tiene medida cero: Por ejemplo, en R2 , consideremos la recta y = y0 . La semi-recta derecha A = {(x, y0 ), x ∈ R} la podemos sumergir en la uni´on de los   , y0 + 2k+3 ], k ∈ N ∪ {0}, de modo que rect´angulos Rk = [k, k + 1] × [y0 − 2k+3 Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

v(Rk ) = 1 · y

 2k+2

∞ X

∞ X  = /2 v(Rk ) = k+2 2 k=0 k=0

An´alogamente, la semi-recta izquierda se puede sumergir en la uni´on de los rect´angulos Qk =   [−k − 1, −k] × [y0 − 2k+3 , y0 + 2k+3 ], y ∞ X

∞ X  v(Qk ) = = /2 2k+2 k=0 k=0

JJ

II

J

I

As´ı pues, la recta entera se puede sumergir en una uni´on numerable de rect´angulos, con suma de los vol´umenes menor que  Tambi´en en este caso se puede hacer otra demostraci´on sumergiendo A en una uni´on numerable de rect´angulos de volumen cero, escogiendo por ejemplo los rect´angulos Rk = [k, k + 1] × [y0 , y0 ] y Qk = [−k − 1, −k] × [y0 , y0 ]

Definici´ on (Conjuntos de Contenido Cero). Sea A un conjunto de Rn . Se dice que A tiene contenido cero si verifica: Para todo  > 0 existe una familia finita de rect´angulos cerrados en Rn {Ri }ki=1 , tal que

Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

JJ

II

J

I

A⊆

n [ i=1

Ri

y

n X

v(Ri ) < 

i=1

Observaci´ on: En la definici´on pueden sustituirse los rect´angulos cerrados por rect´angulos abiertos o semiabiertos. Los conjuntos de contenido cero son acotados. Evidentemente, todo conjunto de contenido cero tiene medida cero, pero hay conjuntos de medida cero que no son de contenido cero. Por ejemplo, la recta paralela a uno de los ejes en el plano, no puede tener contenido cero ya que no es acotada, y el conjunto de los n´umeros naturales N en R es de medida cero por ser numerable, pero no es de contenido cero por no ser acotado. M´as adelante veremos otros ejemplos. Tambi´en es evidente que si A y B son dos subconjuntos con A ⊆ B y B tiene contenido cero, entonces A tiene contenido cero. Proposici´ on. Sea A un conjunto compacto. Entonces A tiene medida cero si y s´olo si tiene contenido cero.

Seg´un las observaciones anteriores, s´olo hay que demostrar que un conjunto compacto de medida cero tiene contenido cero. ∞ [ Sea  > 0, y sea {Ri }i∈N una familia numerable de rect´angulos abiertos tales que A ⊆ Ri Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

y

∞ X

i=1

v(Ri ) < 

i=1

La familia {Ri }i∈N es un recubrimiento abierto de A, que es compacto, luego admite un k [ subrecubrimiento finito, {Ri1 , . . . , Rik }, de modo que A ⊆ Rij y j=1 k X j=1

v(Rij ) ≤

∞ X

v(Ri ) < 

i=1

as´ı que A tiene contenido cero. JJ

II

J

I

 Proposici´ on.

1. La uni´on numerable de conjuntos de medida cero tiene medida cero.

2. La uni´on finita de conjuntos de contenido cero tiene contenido cero. Observaciones:

Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

La uni´on finita de conjuntos de contenido cero tiene contenido cero, y la uni´on numerable de conjuntos de contenido cero tendr´a medida cero, pero puede no tener contenido cero. Como ejemplo podemos poner otra vez el de la recta, que se puede describir como la uni´on de los segmentos Ak = [−k, k] × y0 ; es evidente que cada uno de estos segmentos es un conjunto de contenido cero, y sin embargo la recta no lo es. Otro ejemplo es el conjunto A = Q ∩ [0, 1], que es numerable, luego es uni´on numerable de conjuntos de contenido cero formados por un s´olo punto cada uno, pero no tiene contenido cero. La demostraci´on de que no tiene contenido cero se basa en el siguiente resultado: Proposici´ on. 1) Sea [a, b] un intervalo real. Para toda familia finita de rect´angulos {Ri }i=1,...,k k k [ X tal que A ⊆ Ri se tiene b − a ≤ v(Ri ). En particular, si a < b, [a, b] no tiene contenido i=1

i=1

cero. 2) Sea A un rect´angulo en Rn y {Ri }i=1,...,k una familia finita de rect´angulos tales que k k [ X Ri . Entonces v(A) ≤ v(Ri ) A⊆ JJ

II

J

I

i=1

i=1

Como consecuencia, los conjuntos de contenido cero y los de medida cero tienen que tener interior vac´ıo. El rec´ıproco tampoco es cierto. Hay conjuntos con interior vac´ıo, que no tienen ni contenido cero ni medida cero:

Por ejemplo A = Q ∩ [0, 1] tiene interior vac´ıo, y no tiene contenido cero. Y B = [0, 1] \ Q tiene interior vac´ıo y no tiene medida cero. Vamos a ver algunos resultados en los que intervienen de forma fundamental los conjuntos de medida cero: Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

Proposici´ on. Sea A un rect´angulo en Rn , y f : A −→ R integrable, tal que f ≥ 0. Entonces Z f = 0 si y s´olo si el conjunto H = {x ∈ A : f (x) > 0} tiene medida cero. A

Demostraci´on: Pongamos H =

∞ [

H1/n , donde H1/n = {x ∈ A : f (x) ≥ 1/n}, y veamos que cada H1/n

n=1

tiene contenido cero. Z Para n ∈ N fijo, y sea  > 0. Como f = 0, existe P una partici´on de A tal que S(f, P ) < A

/n. Sean R1 , . . . , Rk los rect´angulos de RP que cortan a H1/n .

JJ

II

J

I

Ri

H1/n

Se tiene H1/n ⊆

k [

Ri

i=1

Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

Por otro lado, en cada Ri hay por lo menos un punto de H1/n , luego MRi (f ) ≥ 1/n, luego k

k

X 1X v(Ri ) ≤ MRi (f )v(Ri ) ≤ S(f, P ) ≤ /n n i=1 i=1 de donde k X

v(Ri ) ≤ 

i=1

JJ

II

J

I

As´ı pues, cada H1/n tiene contenido cero, y H que es uni´on numerable de conjuntos de contenido cero ser´a de medida cero. Rec´ıprocamente, sea P es una partici´on de A, y R uno de los rect´angulos de RP . Como H tiene interior vac´ıo, R tiene puntos que no est´an en H, donde por tanto la funci´on vale cero, as´ı que mR (f ) = 0. En consecuencia, para toda partici´on P de A se verifica S(f, P ) = 0. Y como R f es integrable, se tiene A f = 0 

Proposici´ on. Sea A un rect´angulo en Rn , y f : A −→ R una funci´on acotada con f ≥ 0. Si el Z conjunto H = {x ∈ A : f (x) > 0} tiene contenido cero, entonces f es integrable en A y f =0 A

Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

Demostraci´on: Veamos que f verifica el Criterio de Riemann: Sea M una cota superior de |f |, y sea  > 0. Como H tiene contenido cero, existe una k k [ X o familia finita de rect´angulos R1 , . . . , Rk tales que H⊆ y Ri v(Ri ) < /M i=1

i=1

P R2

R2

H JJ

II

J

I

R1

H R1

Sea P la partici´on de A definida por los v´ertices de los rect´angulos Ri . Cada rect´angulo de

P o bien est´a contenido en alguno de los Ri , o bien verifica R ∩ Rio = ∅ para todo i = 1, . . . , k Si R ∩ Rio = ∅ para todo i, entonces R ∩ H = ∅, luego MR (f ) = 0. Entonces X X MR (f )v(R) ≤ MR (f )v(R) = S(f, P ) = R∈RP

Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

≤ M

k X

R∈RP ,R⊆Ri ,1≤i≤k

 = M

v(Ri ) ≤ M

i=1

Y como f ≥ 0, S(f, P ) ≥ 0, luego S(f, P ) − S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤  por tanto f verifica el Criterio de Riemann, y es integrable en A. Adem´as, Z 0≤ f ≤ S(f, P ) ≤  A

Z para todo  > 0, luego tiene que ser

f =0 A

JJ

II

J

I

 Este resultado no es cierto si H s´olo tiene medida cero: en concreto, no se puede deducir de que H tenga medida cero que f sea integrable. Como ejemplo, puede considerarse la funci´on  1 si x ∈ Q ∩ [0, 1] f (x) = 0 si x 6∈ Q ∩ [0, 1]

Proposici´ on. Sea A un rect´angulo en Rn y f, g : A −→ R dos funciones acotadas, tales que el conjunto H = {x ∈ A : f (x) = 6 g(x)} Ztiene contenido cero. Entonces f es integrable en A si y Z s´olo si g es integrable en A, y adem´as

f= A

Conjuntos de Medida Cero y de Contenido Cero

g A

Demostraci´on: Consideremos la funci´on h = f − g, y las funciones h+ = max{h, 0} y h− = − min{h, 0}. h+ (x) ≥ 0 para todo x ∈ A, y h− (x) ≥ 0 para todo x ∈ A. Adem´as {x ∈ A : h+ (x) > 0} ⊆ {x ∈ A : h(x) Z 6= 0} ⊆ H, luego tiene contenido cero. Por h+ = 0.

la proposici´on anterior, h+ es integrable en A, y

A

An´alogamente {x ∈ A : h− (x) > 0} ⊆ {x ∈ A : h(x) Z 6= 0} ⊆ H, luego tiene contenido cero. Por la proposici´on anterior, h− es integrable en A, y h− = 0. A Z Por tanto h = h+ − h− es integrable en A, y h = 0. A

JJ

II

J

I

Por u´Zltimo, como f Z= g + hZ y g = f − h, se tiene que f es integrable si y s´olo si g lo es, y Z f= g+ h= g adem´as A

A

A

A